OLEH : IKHTISHOLIYAH DOSEN PEMBIMBING : Dr. subiono,m.sc

Transkripsi

1 OLEH : IKHTISHOLIYAH DOSEN PEMBIMBING : Dr. subiono,m.sc JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER SURABAYA 2011

2 Pemodelan matematika dan teori kontrol optimal banyak digunakan dalam kehidupan sehari-hari, salah satunya teori kontrol optimal diterapkan pada pengendalian berbagai jenis penyait. Pada tugas akhir ini pengendalian optimal tidak diterapkan pada penyakit yang khusus, akan tetapi digunakan untuk pola penyebaran penyakit yang mempunyai model epidemi tipe SIR (Susceptible-Infected-Recovery). Untuk menegendalikan pola penyebaran penyakit ini, diperlukan suatu vaksin. Vaksin adalah bahan antigenik yang digunakan untuk menghasilkan kekebalan aktif terhadap suatu penyakit sehingga dapat mencegah atau mengurangi pengaruh infeksi. Pada tugas akhir ini pengendalian penyakit yang mempunyai model epidemi tipe SIR dilakukan dengan vaksinasi untuk meminimalkan individu rentan (S) dan terinfeksi (I) serta memaksimalkan individu yang sembuh (R) secara bersamaan. Kontrol optimal diperoleh dengan menerapkan Prinsip Minimum Pontryagin. Keyword : Model Epidemi SIR, vaksinasi, kontrol optimal, Prinsip Minimum Pontryagin

3 Perhatian terhadap masalah penyakit menular Harus dipahami bagaimana pertumbuhan dan penyebarannya serta strategi untuk mengontrol penyakit Model matematis telah menjadi alat penting dalam menganalisa penyebaran dan pengendalian penyakit menular. Penyebaran penyakit tipe SIR (Susceptible-Infected-Recovery) Pemerintah dapat memprediksi perkembangan suatu penyakit Dapat segera mengambil kebijakan untuk mencegah terjadinya wabah penyakit menular Pada tugas akhir ini akan dibahas tentang analisis stabilitas pada penyakit yang mempunyai model epidemi tipe SIR dan akan didapatkan kontrol yang optimal untuk meminimalkan individu rentan (S) dan terinfeksi (I) serta memaksimalkan individu yang sembuh (R) secara bersamaan dengan menggunakan Prinsip Minimum Pontryagin

4 LATAR BELAKANG RUMUSAN MASALAH BATASAN MASALAH TUJUAN MANFAAT Bagaimana mendapatkan kestabilan model epidemi tipe SIR? Bagaimana mendapatkan sistem kontrol yang optimal dari model epidemi tipe SIR dengan vaksinasi?

5 LATAR BELAKANG RUMUSAN MASALAH BATASAN MASALAH TUJUAN MANFAAT Model dasar sistem dan parameter yang digunakan diambil dari referensi [9]. Variabel kontrol dibatasi sehingga Laju kelahiran dan kematian dianggap sama. Populasi diasumsikan tertutup sehingga jumlahnya konstan. Keampuhan vaksin adalah 100% dan kekebalan yang terjadi karena vaksin bersifat permanen.

6 LATAR BELAKANG RUMUSAN MASALAH BATASAN MASALAH TUJUAN MANFAAT Mendapatkan kestabilan dari model epidemi tipe SIR. Mendapatkan bentuk kontrol yang optimal pada model epidemi tipe SIR dengan pengontrol vaksinasi.

7 LATAR BELAKANG RUMUSAN MASALAH BATASAN MASALAH TUJUAN MANFAAT Memberikan pengetahuan tentang kestabilan pada model epidemi tipe SIR serta pengendalian optimalnya menggunakan vaksinasi sehingga hasil dari tugas akhir ini adalah berguna untuk mengontrol suatu penyakit agar penyakit tersebut dapat sekecil mungkin menular ke individu lainnya. BACK TO HOME

8 MODEL EPIDEMI TIPE SIR KESTABILAN TITIK TETAP LINEARISASI AKAR-AKAR PESAMAAN KARAKTERISTIK KESTABILAN ROUTH HURWITZ OPTIMAL KONTROL PRINSIP MINIMUM PONTRYAGIN Model epidemi klasik adalah model SIR dengan dinamika penting (kelahiran dan kematian) yang diberikan oleh : dimana : (2.1) (2.2) (2.3) : Populasi yang rentan : Populasi yang terinfeksi : Populasi yang sembuh : Laju besarnya populasi yang terinfeksi : Jumlah kelahiran yang sama dengan jumlah kematian : Koefisien transmisi : Laju kesembuhan dari individu yang telah terinfeksi

9 MODEL EPIDEMI TIPE SIR KESTABILAN TITIK TETAP LINEARISASI AKAR-AKAR PESAMAAN KARAKTERISTIK KESTABILAN ROUTH HURWITZ OPTIMAL KONTROL Model yang disajikan dalam [9] digunakan untuk mengurangi jumlah individu yang rentan dan terinfeksi serta meningkatkan jumlah individu sembuh. Dengan adanya pengontrol u(t), maka konstrain sistem dinamik dari persamaan diferensial pada (2.2) menjadi : (2.4) (2.5) (2.6) PRINSIP MINIMUM PONTRYAGIN

10 MODEL EPIDEMI TIPE SIR KESTABILAN TITIK TETAP Tujuan akhir dari masalah optimal kontrol dari model epidemi tipe SIR adalah untuk mendapatkan bentuk yang optimal sehingga meminimalkan fungsi objektif dengan kontrol : LINEARISASI AKAR-AKAR PESAMAAN KARAKTERISTIK KESTABILAN ROUTH HURWITZ dengan & :Konstanta positif kecil :Bobot parameter positif : Populasi yang rentan (2.7) OPTIMAL KONTROL : Populasi yang terinfeksi PRINSIP MINIMUM PONTRYAGIN

11 MODEL EPIDEMI TIPE SIR KESTABILAN TITIK TETAP LINEARISASI AKAR-AKAR PESAMAAN KARAKTERISTIK KESTABILAN ROUTH HURWITZ OPTIMAL KONTROL PRINSIP MINIMUM PONTRYAGIN Pandang sistem persamaan diferensial : (2.8) Sebuah titik merupakan titik kesetimbangan dari (2.8) jik a memenuhi : Kestabilan asimtotis lokal merupakan kestabilan dari sistem linier atau kestabilan dari linierisasi sistem tak linier. Kestabilan lokal pada titik kesetimbangan ditentukan oleh tanda bagian real dari akar-akar karakteristik sistem dari matriks Jacobian yang dihitung di sekitar titik kesetimbangan. Untuk sistem tak linear harus dilinearkan sehingga didapatkan bentuk sistem linear.

12 MODEL EPIDEMI TIPE SIR KESTABILAN TITIK TETAP LINEARISASI AKAR-AKAR PESAMAAN KARAKTERISTIK Linearisasi adalah proses hampiran persamaan diferensial nonlinear dengan bentuk linear. Tinjau kembali persamaan (2.8) dimana X, Y dan Z adalah persamaaan nonlinear dan adalah titik kesetimbangan dari persamaan (2.8). Selanjutnya akan dicari pendekatan linear disekitar dengan melakukan ekspansi menurut deret Taylor disekitar titik. Dalam hal ini, matriks KESTABILAN ROUTH HURWITZ OPTIMAL KONTROL PRINSIP MINIMUM PONTRYAGIN disebut matriks Jacobian disekitar titik kesetimbangan.

13 MODEL EPIDEMI TIPE SIR KESTABILAN TITIK TETAP LINEARISASI AKAR-AKAR PESAMAAN KARAKTERISTIK KESTABILAN ROUTH HURWITZ OPTIMAL KONTROL PRINSIP MINIMUM PONTRYAGIN DEFINISI 2.1 [2] Jika J adalah matriks berukuran n x n maka vektor taknol dinamakan vektor karakteristik dari J yang memenuhi : Jx = x (2.9) untuk suatu skalar. Skalar dinamakan nilai karakteristik dari J dan x dikatakan vektor karakteristik yang bersesuaian dengan. Untuk mencari nilai karakteristik matriks J yang berukuran n x n, maka dapat dituliskan kembali Persamaan (2.12) sebagai Jx = Ix atau secara ekivalen ( J - I ) x = 0 (2.10) Supaya menjadi nilai karakteristik harus ada penyelesaian taknol dari Persamaan (2.13), sehingga persamaan tersebut akan mempunyai penyelesaian taknol jika dan hanya jika det ( J - I ) = 0 (2.11)

14 MODEL EPIDEMI TIPE SIR KESTABILAN TITIK TETAP LINEARISASI AKAR-AKAR PESAMAAN KARAKTERISTIK KESTABILAN ROUTH HURWITZ OPTIMAL KONTROL Kriteria Kestabilan Routh-Hurwitz adalah suatu metode untuk menunjukkan kestabilan sistem dengan memperhatikan koefisien dari persamaan karakteristik tanpa menghitung akar akar karakteristik secara langsung. Jika diketahui suatu persamaan karakteristik dengan orde ke-n sebagai berikut : Kemudian susun koefisien persamaan karakteristik sehingga menjadi sebuah tabel sebagai berikut Tabel Routh Hurwitz PRINSIP MINIMUM PONTRYAGIN

15 MODEL EPIDEMI TIPE SIR Tabel 2.1 Tabel Routh Hurwitz KESTABILAN TITIK TETAP LINEARISASI AKAR-AKAR PESAMAAN KARAKTERISTIK Dengan KESTABILAN ROUTH HURWITZ OPTIMAL KONTROL PRINSIP MINIMUM PONTRYAGIN Sistem dikatakan stabil jika akar persamaan karakteristik dari suatu matriks mempunyai real nilai eigen negatif jika dan hanya jika elemen elemen pada kolom pertama memiliki tanda yang sama.

16 MODEL EPIDEMI TIPE SIR KESTABILAN TITIK TETAP LINEARISASI AKAR-AKAR PESAMAAN KARAKTERISTIK Tujuan dari optimal control adalah menentukan signal yang akan diproses dalam plant dan memenuhi konstrain fisik. Kemudian, pada waktu yang sama dapat ditentukan ekstrim (Maksimum/minimum) yang sesuai dengan kriteria performance index. KESTABILAN ROUTH HURWITZ OPTIMAL KONTROL PRINSIP MINIMUM PONTRYAGIN Optimal kontrol (u* ), tanda * menyatakan kondisi optimal yang akan mendorong dan mengatur plant C dari keadaan awal sampai keadaan akhir dengan beberapa konstrain. Kontrol dengan keadaan dan waktu yang sama dapat ditentukan ekstrim berdasarkan performance index yang diberikan

17 MODEL EPIDEMI TIPE SIR KESTABILAN TITIK TETAP LINEARISASI AKAR-AKAR PESAMAAN KARAKTERISTIK KESTABILAN ROUTH HURWITZ OPTIMAL KONTROL PRINSIP MINIMUM PONTRYAGIN Secara umum, formulasi yang dapat diberikan pada permasalahan optimal control adalah : 1. Mendiskripsikan secara matematik artinya diperoleh metode matematika dari proses terjadinya pengendalian (secara umum dalam bentuk variabel keadaan). 2. Spesifikasi dari performance index 3. Menentukan kondisi batas dan konstrain fisik pada keadaan (state) dan atau kontrol. Kontrol yang mengoptimalkan (memaksimalkan atau meminimumkan) performance index (2.12) Dengan kendala (2.13) Kontrol merupakan kontrol optimal, jika disubtitusikan ke dalam sistem dinamik (2.13) akan memperoleh state yang optimal dan pada saat yang sama juga mengoptimalkan Performance index (2.12).

18 Prinsip Minimum Pontryagin Prinsip Minimum Pontryagin merupakan suatu kondisi sehingga dapat diperoleh penyelesaian optimal kontrol yang sesuai dengan tujuan. (meminimumkan performance index). Misal diberikan permasalahan dengan suatu kontrol yang terbatas sebagai berikut : Didefinisikan persamaan Hamiltonian Untuk kondisi pada persamaan Hamiltonian tersebut digeneralisasi dengan meminimumkan fungsi tujuan yang dapat dinyatakan sebagai berikut min (2.14) kendala (2.15)

19 1. Studi Pendahuluan Pada tahap ini dilakukan identifikasi permasalahan dengan mencari referensi yang menunjang penelitian. Referensi yang dipakai adalah jurnal ilmiah, tugas akhir, maupun artikel dari internet, 2. Mencari Titik Setimbang Pada tahap ini akan dicari titik setimbang bebas penyakit dan endemik dari model epidemi tipe SIR. 3. Analisis Stabilitas Model epidemi tipe SIR. Pada tahap ini dilakukan analisis model epidemi tipe SIR dengan menganalisis kestabilan lokal model epidemi tipe SIR. 4. Penyelesaian Optimal Kontrol Pada tahap ini akan didapatkan kontrol yang optimal dari model epidemi tipe SIR dengan vaksinasi dengan menggunakan Prinsip Minimum Pontryagin. 5. Analisis Hasil Penyelesaian dan Penarikan Kesimpulan Pada tahap ini akan dilakukan penarikan kesimpulan mengenai kontrol optimal dari model epidemi tipe SIR dengan vaksinasi

20 Studi Pendahuluan Titik Setimbang Bebas Penyakit Titik Setimbang Endemik Analisis Stabilitas Model Penyelesaian Optimal Kontrol Analisis Hasil dan Simulasi Penyelesaian serta Penarikan Kesimpulan

21 4.1 DESKRIPSI DAN ASUMSI MODEL A. Populasi dibagi menjadi 3 kelompok. B. Diasumsikan v adalah laju kelahiran yang sama dengan laju kematian. C. N adalah jumlah populasi keseluruhan dari populasi susceptible, infectious, dan recovery, D. adalah laju besarnya populasi yang terinfeksi E. adalah laju kesembuhan dari individu yang telah terinfeksi. F. u(t) adalah prosentase populasi rentan yang divaksinasi per unit waktu. Sehingga :

22 4.2 TITIK SETIMBANG MODEL Untuk mencari titik kesetimbangan pada persamaan (2.1) -(2.3), diperoleh dari sehingga persamaan (2.1) - (2.3) menjadi TITIK SETIMBANG BEBAS PENYAKIT Titik kesetimbangan bebas penyakit ( disease-free equilibrium) didapatkan pada saat I(t)=0 yakni suatu keadaan dimana tidak terjadi infeksi/penularan pada populasi. sehingga dari didapatkan titik setimbang bebas penyakit yaitu

23 TITIK SETIMBANG ENDEMI Didapatkan dari endemi sehingga didapatkan titik setimbang 4.3 KESTABILAN LOKAL Karena pada persamaan model (2.1) (2.3) dapat terlihat bahwa persamaan tersebut adalah tak linear, maka untuk mendapatkan kestabilan titik setimbang dari persamaan (2.1) (2.3), dilinearkan disekitar titik (S, I, R), sehingga didapatkan matrik jacobian dari hasil linearisasi adalah sebagai berikut :

24 4.3.1 KESTABILAN LOKAL TITIK SETIMBANG BEBAS PENYAKIT Pada titik setimbang matrik jacobiannya adalah Nilai eigen diperoleh dari sehingga didapatkan nilai eigen Karena laju kematian alami untuk nilai v > 0, maka. Sedangkan untuk belum dapat ditentukan tandanya (dapat bernilai positif atau negatif). Oleh karena itu, akan dicari bilangan Reproduksi Dasar terlebih dahulu.

25 Dari persamaan (2.1) - (2.3) dapat dicari Basic Reproductive ( ) dimana Basic Reproductive bertujuan untuk mengetahui dinamik penyebaran penyakit, artinya apakah penyakit tersebut terjadi endemi (wabah penyakit) atau tidak. Didefinisikan, dari nilai tersebut didapatkan nilai sebagai berikut :

26 4.3.2 KESTABILAN LOKAL TITIK SETIMBANG ENDEMI Pada titik setimbang, dengan Nilai eigen diperoleh dari, maka Sehingga diperoleh bentuk polynomial Dengan

27 Dengan menggunakan kriteria kestabilan Routh-Hurwitz untuk menentukan kestabilannya polynomial orde 3 mempunyai akar negatif pada bagian realnya jika dan hanya jika elemem-elemen dari kolom pertama pada tabel Routh-Hurwitz mempunyai tanda yang sama. Supaya akar-akar karakteristik bernilai negatif pada bagian realnya, maka :

28

29

30 Suscetible Individuals Infected Individuals Time(day) Gambar 4.1 Populasi Susceptible ( rentan ) Tanpa Kontrol Time(day) Gambar 4.2 Populasi Infected ( yang terinfeksi ) Tanpa Kontrol Recovered Indiiduals Time(day) Gambar 4.3 Populasi Recovered ( sembuh ) Tanpa Kontrol

31 Susceptible Individuals Infected Individuals Time(day) Gambar 4.4 Populasi Susceptible ( rentan ) Dengan Kontrol Time(day) Gambar 4.5 Populasi Infected (yang terinfeksi) Dengan Kontrol Recverd Individuals Time(day) Gambar 4.6 Populasi Recovered (sembuh) Dengan Kontrol

32 Control Variables Time(day) Gambar 4.7 Kontrol u(t) u 1 Untuk kontrol u(t) yaitu prosentase jumlah populasi rentan yang diberikan vaksin pada saat t pada awal periode pengendalian adalah maksimal yakni sebesar 0.9, kemudian bergerak menurun dan konstan pada saat kurang lebih 60 hari / 2 bulan sampai pada akhir periode pengendalian sehingga setelah itu hanya 0.3 dari populasi rentan yang harus diberikan vaksin. Hal ini mengakibatkan pemberian vaksin pada individu yang rentan semakin berkurang karena populasi ini mulai mengalami kesembuhan. Hasil dari penerapan kontrol / pemberian vaksin u(t) yang dilakukan dalam mengendalikan populasi yang terinfeksi memberikan suatu hasil yang optimal dengan fungsi objektif yang minimum.

33 KESIMPULAN SARAN BACK TO HOME Pada analisis stabilitas dapat diketahui bahwa: Kestabilan lokal titik setimbang bebas penyakit bersifat stabil asimtotis untuk, sedangkan untuk titik setimbang endemi bersifat stabil asimtotis untuk. Pada optimal kontrol dapat diketahui bahwa : Pada model pengendalian epidemi tipe SIR dengan kontrol vaksinasi diselesaikan dengan menerapkan Prinsip Minimum Pontryagin dan dapat diketahui bahwa nilai kontrol u(t) yang optimal didapat : Dengan u(t) = prosentase populasi rentan yang diberikan vaksin pada saat t.

34 KESIMPULAN SARAN BACK TO HOME Hasil simulasi dengan DOTcvpSB menunjukkan keefektifan pengendalian dengan kontrol vaksinasi dapat mengurangi populasi yang terinfeksi sehingga penyebaran penyakit dapat ditekan dan meminimumkan biaya dalam pemberian vaksin.

35 KESIMPULAN SARAN BACK TO HOME Pada penelitian ini tidak dibahas mengenai analisis kestabilan global dari model epidemi tipe SIR, dan diasumsikan laju kelahiran sama dengan laju kematian serta tidak diperhatikan masa inkubasi, oleh karena itu penulis menyarankan pada pembaca yang tertarik masalah ini agar pada penelitian selanjutnya menyertakan analisis global dari model epidemi tipe SIR dan memperhatikan masa inkubasi serta laju kelahiran yang tidak sama dengan laju kematian.

36 [1] Anggraeni, E. (2010), Penyelesaian Numerik dan Analisis Perilaku Model Epidemi Tipe SIR dengan Vaksinasi Untuk Pencegahan Penularan Penyakit. Tugas Akhir S1 Jurusan Matematika ITS Surabaya. [2] Finizio, N. dan Landas, G Ordinary Differential Equations with Modern Applications. California: Wadsworth Publishing Company. [3] Hirmajer, T., Canto, E.B., dan Banga, J.R., (2009), DOTcvpSB: a Matlab Toolbox for Dynamic Optimization in Systems Biology, User s Guide Technical Report, Instituto De Investigaciones Marinas [IIM-CSIC], Spanyol. [4] Kamien, M.I. dan Schwarz, N.L Dynamics Optimization: The Calculus Of Variations and Optimal Control In Economics And Management. Norh Holland. Amsterdam. [5] Nugroho, Susilo. (2009). Pengaruh Vaksinasi Terhadap Penyebaran Penyakit Dengan Model Endemi SIR. Tugas Akhir S1 Jurusan Matematika Universitas Sebelas Maret. [6] UNICEF, Going the extra mile: UNICEF Indonesia immunization drive reaches remote areas, Diakses pada tanggal 21 juni 2011, pukul WIB. [7] UNICEF, Polio: stories from West Java, unicef.org/indonesia/reallives_2956.html. Diakses pada tanggal 21 juni 2011, pukul WIB. [8] WHO, Measles, /fs286/en/. Diakses pada tanggal 21 juni 2011, pukul WIB. [9] Zaman. Gul, Hyo Jung. Il, Yang. H.K, 2010 Stability Analysis And Optimal Vaccination Of An SIR Epidemic Model, Biosystem. 93 (2008)

37