TUGAS TERSTRUKTUR KALKULUS PEUBAH BANYAK. Dari Buku Kalkulus Edisi Keempat Jilid II James Stewart, Penerbit Erlangga.

Transkripsi

1 TUGAS TERSTRUKTUR KALKULUS PEUBAH BANYAK Dari Bk Kalkls Edisi Keempat Jilid II James Steart Penerbit Erlangga Dissn ole : K i r b a n i M5 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SEBELAS MARET

2 Halaman 9 carila itna jika ada ata perliatkan baa it tidak ada! Penelesaian: didekati sepanjang smb seingga dan maka: didekati sepanjang kra maka: karena diperole it ang berlainan maka it dari ngsi ang diberikan tidak ada carila itna jika ada ata perliatkan baa it tidak ada! Penelesaian: didekati sepanjang smb didekati sepanjang smb didekati sepanjang garis 5 didekati sepanjang garis 5

3 diperole Halaman 5 tentkan impnan terbesar dimana ngsi tersebt kontine! Penelesaian: Himpnan terbesar ngsi tersebt kontine adala { R } gnakan koordinat polar ntk mencari it tersebt! Penelesaian: Jika r merpakan bentk koordinat polar dari dengan r seingga jika maka r r ; arctan ; rcos; rsin seingga r Cos r r r Cos r Sin Sin r r r Cos r Cos r r Sin Sin r Cos Sin r r Cos Sin r Cos Sin r

4 Halaman S di titik pada plat baja rata diberikan ole T / + + dengan T dikr dalam o C serta dan dalam meter Carila laj perbaan s teradap jarak di titik dalam a ara- dan b ara- Penelesaian: aara- T di titik Jadi Laj perbaan s trn pada : C bara- T di titik Laj perbaan s trn pada: C Halaman 8 Paraboloid - memotong bidang di seba parabola Carila persamaan parametrik garis singgng teradap parabola ini di titik - Gnakan kompter ntk membat graik paraboloid parabola dan garis singgng pada laar ang sama Penelesaian : 8misalkan jika jika

5 a Gnakan kompter ntk membat graik b Carila dan ketika c Carila dan dengan menggnakan Persamaan dan d Perliatkan baa dan dan e Apaka asil bagian d bertentangan dengan Teorema Clairat? Gnakan graik dan ntk mengilstrasikan jaaban Anda Penelesaian: adengan menggnakan sotare matlab maka diperole asil sebagai berikt: b 5

6 5 5 5 cpersamaan : b a b a b a Persamaan : b a b a b a d

7 eberikt ini gambar kra permkaan Halaman Jelaskan mengapa ngsi terdierensiasi di titik ang diberikan Kemdian carila linierisasi L dari ngsi dititik tersebt dengan

8 di titik Penelesaian : Trnan parsial o o #Trnan parsial dan kedana adala ngsi kontinseingga berdasarkan pada teorema : Jika trnan parsial dan ada dekat abdan kontin di abmaka terdeerensiasi di ab Maka terdeerensiasi o Linierisasi L : L a b a b a a b a + 9Carila ampiran linier dari ngsi di dan gnakan ntk mengampiri bilangan Penelesaian :

9 L ;9;599 L Tinggi gelombang di lat terbka bergantng pada laj angin dan lama akt t dimana angin bertip pada laj tersebt Nilai ngsi t dicatat dalam tabel berikt Drasi jam Laj angin knot t

10 Gnakan table ntk mencari ampiran linier teradap ngsi tinggi gelombang ketika dekat knot dan t dekat jam Kemdian taksirla tinggi gelombang ketika angin tela bertip selama jam pada laj knot Penelesaian : a b a b Untk maka: 5 8 Untk - maka: 8 Maka 5 t Untk maka: t 8 Untk - maka: t

11 8 Maka t 5 t L t t t 5 5t 8 Seingga L tinggi gelombangna 5 ketika angin bertip selama jam dengan Halaman 8 kecepatan knot Jari-jari kerct lingkaran tegak bertamba besar pada laj 8 inci/ detik sedangkan tinggina menst pada laj 5 inci/ detik Pada laj berapaka olme kerct berba ketika jari-jari adala inci dan tinggi adala inci? Penelesaian : r r T ; 8 inci T ; -5 t det ik t Vker ct V t V r V T r t T t r T r T rt r rt r ; t t t t t inci det ik Maka laj perban Volm kerct ketika jari-jarina inci dan tinggina inci adala: V 8 inci t det ik inci -5 inci det ik 8 inci det ik det ik Jadi laj Volm kerct bertamba sebesar 8 inci ketika jarijarina inci dan tinggina inci det ik

12 Mobil A melaj ke tara pada Jalan Raa dan mobil B melaj ke barat pada Jalan Raa 8 Masing-masing mobil mendekati persimpangan jalan raa ini Pada saat tertent mobil A berada km dari persimpangan dan melaj pada 9 km/jam sedangkan mobil B berada km dari persimpangan dan melaj pada 8 km/jam Seberapa cepat jarak antara mobil it berba pada saat tersebt? Penelesaian : U B A r Jarak mobil A ke persimpangan km da dt 9 km / jam tanda negati karena jarak mobil A ke persimpangan semakin berkrang Jarak mobil B ke persimpangan km db dt 8 km / jam tanda negati karena jarak mobil B ke persimpangan semakin berkrang Jarak keda mobil : r A B Maka berdasarkan atran rantai : dr dt r A da dt r B db dt

13 Halaman 95 A A A B B / da dt 9 A da dt B A A B db B dt 9 / B db dt 8 Jadi jarak antara keda mobil it berkrang dengan laj8 km/jam 8 m/detik 8 g i + j + k Penelesaian : g g ; g g ; g g ; jadi g ; i+j+k II 9 9 Jadi ektor satan i j k D g g -i-j+k i k k 8

14 Andaikan baa Anda sedang mendaki bkit ang bentkna diberikan ole persamaan dan Anda sedang berdiri di titik dengan koordinat a Ke ara manaka searsna Anda melangka mla-mla agar mencapai pncak bkit paling cepat? b Jika Anda mendaki dalam ara tersebt pada sdt di atas garis orisontal berapaka Anda akan mendaki mla-mla? Penelesaian : a b tan θ -/- Halaman θ derajat seingga besar sdt adala derajat + D adala daera ang dibatasi ole parabola dan garis Penelesaian : dibatasi ole kontin pada minimm mtlak Mencari titik kritis dan dan dan karena polinom seingga terdapat maimm mtlak dan seingga sat-satna titik kritis adala dan nilai Graik

15 ntk Ini merpakan ngsi menrn dengan nilai minimm adala 9 dan nilai maksimm min ma 9 Seingga nilai-nilai ini dibandingkan dengan nilai di titik kritisdi sini dapat disimplkan baa nilai maksimal mtlak pada D adala dan nilai minimal mtlak adala 9 Carila olme kotak persegi panjang terbesar dengan sisi-sisi ang sejajar dengan smb ang dapat diletakkan didalam ellipsoid Penelesaian : Misalkan kotak persegi panjang mempnai panjang satan lebar satan tinggi satan Maka olme kotak adala V ang berada di dalam elipsoida 9 maka akan dicari olme kotak pada kadran I ang dibatasi ole elipsoida dengan besar dan adala positi

16 9 ambil ang bernilai positi seingga persamaan ntkv menjadi V Diperole trnan parsial dari V V V Jika V maksimm maka V V tidak bernilai nol 8 tidak bernilai nol 8 Ini menatakan baa 8 ambil nilai ang positi seingga maka diperole diambil nilai ang positi dan Maka olme kotak persegi panjang terbesar pada kadran I adala

17 V V Besar olme kotak persegi panjang terbesar ang dibatasi ole elipsoida 9 adala 8V 8 satan Halaman 8Carila nilai ekstrem dari: + 5 pada daera ang diberikan ole pertidaksamaan + Penelesaian : ; ; diperole titik kritis ait dititik seingga: 5 5 ; Kemdian kita akan mencari nilai di titik-titik ang terletak pada lingkaran Berikt adala gambar lingkaran Untk seingga: 5 5 5

18 5 Untk seingga: Dengan metode Pengali Lagrange diperole sebagai berikt: dengan g dengan g ; Seingga diperole persamaan: Dari dan maka diperole nilai -;kemdian kita akan mencari nilai-nilai di titik- titik ang terketak pada lingkaran + ; seingga ntk diperole Jadi pada daera diperole nilai maimm dida titik ait ait seingga ma dan nilai nilai minimm di sat titik ait di seingga Halaman 9Plat baja berada di bidang- dan menempati persegi panjang 8 dengan dan dikr dalam meter S di titik di bidang adala T min

19 dengan T dikr dalam derajat Celcis S pada titik-titik ang berjarak sama dikr dan dicatat dalam tabel a Taksir nilai trnan parsial T dan T Apa satanna? b Taksir nilai D T dengan i+j / Taksirkan asil Anda c Taksir nilai T Penelesaian : a T T T Lim ;Ambil T T Untk - T Untk T T 8 T T T T 8 T 8 8 seingga:

20 Seingga dengan mengambil nilai rata-ratana maka T 5 T T T Lim ; Ambil T T Untk - T Untk T T T T T T T seingga: Seingga denga mengambil nilai rata-ratana maka 5 5 T b T 5; seingga: D T 5; 5

21 c T T ntk T T ntk T ambil ata T T 8 T T Dengan merata-rata asil di atas kita dapatkan 5 T 8 Gnakan kompter ntk membat graik permkaan + dan bidang singgngna serta garis normal di 5 pada laar sama Pili daera asal dan titik pandang seingga Anda memperole pandangan bags teradap ketiga objek tersebt Penelesaian : Halaman 9 Jika dengan / dan mempnai trnan parsial keda kontin perliatkan baa : Penelesaian : Bkti:

22 Maka

23 Seingga Jadi Terbkti Halaman 5 Pentagon dibentk dengan menempatkan segitiga sama kaki pada persegipanjang seperti diperliatkan dalam gambar Jika pentagon mempnai keliling tetap P carila panjang sisi pentagon ang memaksimmkan las pentagon Penelesaian : Ma : + Kendala :g + + P > θ

24 8 8 ; ; g g g Metode lagrange : g ; ; ;

25 p p p p

26 p p p p p p p p Halaman Selembar panjang lembaran baja ang dilapisi seng selebar inci ars ditekk menjadi bentk simetri dengan tiga sisi lrs ntk membat talang air Penampang melintang diperliatkan dalam gambar a Tentkan kran ang memngkinkan aliran maksimm dengan kata lain carila kran ang memberikan kemngkinan las penampang melintang maksimm b Apaka akan lebi baik ntk menekk baja menjadi talang air dengan penampang melintang setenga lingkaran daripada penampang melintang tiga-sisi? Penelesaian :

27 Misal : g : g g g Metode lagrange : Ma : Kendala :

28 dan a Las maksimm

29 9 8 8 b Jika membentk lingkaran : L 59 r Ternata asilna lebi dari las maksimm Jadi penampang melintang talang lebi baik dibentk legkng setenga lingkaran Halaman 9 Jika elips /a + /b mentpi lingkaran + berapaka nilai a dan b ang meminimmkan las elpis? Penelesaian : r r

30