BUKU AJAR METODE ELEMEN HINGGA

Transkripsi

1 BUKU AJA ETODE EEEN HINGGA Diringkas oleh : JUUSAN TEKNIK ESIN FAKUTAS TEKNIK

2 STUKTU TUSS.. Deinisi Umm Trss adalah strktr yang terdiri atas batang-batang lrs yang disambng pada titik perpotongan dengan sambngan tanpa momen pin. embebanan pada batang / strktr trss hanya terdapat pada sambngannya saja berpa gaya-gaya aksial saja. Tegangan yang diakibatkan oleh gaya-gaya aksial disebt tegangan primer. Sambngan llas ata keling selama ditata dengan hati-hati dimana smb-smb batang bertem pada sat titik dapat dianggap sebagai batang trss karena tegangan seknder akibat proses pengelasan tidak terlal berpengarh pada tegangan primer. Strktr trss akan stabil jika terssn atas konstrksi-konstrksi dasar berbentk segitiga dimana jmlah batang yang diperlkan dalam menysn strktr stabil tersebt dirmskan sebagai n j ntk n jmlah batang, j jmlah sambngan. Setiap kelebihan batang pada strktr trss yang stabil yang didasarkan atas rms tersebt di atas disebt batang-batang redndant. Contoh strktr trss yang stabil adalah : Gambar.... ersamaan Stiness ada Koordinat okal Untk batang trss yang dimodelkan sebagai berikt : Gambar.. Batang tersebt dikenai beban gaya dan yang merpakan gaya-gaya batang yang bekerja pada jng dan. Dalam hal ini E adalah modls elastisitas batang, A adalah las penampang lintang batang dan adalah panjang batang. Titik jng dan disebt titik-titik nodal, merpakan pergeseran titik akibat gaya dan

3 merpakan pergeseran titik akibat gaya. Keda pergeseran tersebt dinamakan derajat kebebasan batang. Jika dianggap berharga konstan batang niorm/serba sama maka pergeseran tiap titik yang berjarak dari nodal dapat ditentkan. Jika diasmsikan pergeseran aksial akibat gaya di sepanjang batang mengikti rms linier, diperoleh : a a dalam hal ini a dan a adalah konstanta yang ditentkan nilainya berdasarkan kondisi batas berikt : ada, a ada, a a maka a Jika nilai a dan a dikembalikan pada persamaan maka akan diperoleh persamaan berikt : jika dibah dalam ariabel dan akan menjadi : Dimana dan dinamakan ngsi bentk. Untk kondisi tegangan niaksial, regangan yang terjadi dideinisikan sebagai : lim adalah pertambahan panjang yang sangat kecil. Jika persamaan disbstitsikan pada persamaan akan diperoleh a ata : ' ' ' d engac pada teori statika, gaya-gaya aksial dirmskan sebagai : S σ A E A ' ' S ] [ Dan energi regangan dinyatakan sebagai : U S ' d [ ' ] d

4 Dengan menggnakan Teorema Castigliano akan diperoleh gaya-gaya batang sebagai berikt : U ' ' [ ] ' d ' ' ' ' d d ' ' ' ' d d 7 Dalam bentk matriks dapat ditlis menjadi {} [k] {} ata : k k k k atriks [k] disebt matriks stiness matriks kekakan dengan koeisien-koeisien k ij ' i ' j d i, j, 9 Jika ngsi-ngsi bentk pada persamaan dimaskkan pada persamaan 9 akan diperoleh nilai matriks [k] sebagai berikt : Catatan : ersoalan-persoalan elemen hingga pada mmnya bertjan menentkan nilai {} dan {} sedangkan nilai [k] biasanya telah tersedia / diketahi. 8 atihan Soal. : Coba rmskan nilai [k] jika pergeseran titik pada batang trss mengikti pola : a. polinomial a a a! b. eksponensial e a!

5 .. ersamaan Stiness ada Smb Dengan Orientasi Sembarang erhatikan gambar berikt ini : y φ,, y, Gambar.. enrnan rms ntk mentransormasikan smb lokal ke smb global diawali dengan memperhatikan hbngan bahwa di nodal dan berlak : φ sinφ cos φ sinφ cos Jika dignakan cos φ dan sin φ maka, dalam bentk matriks, akan diperoleh persamaan : ersamaan energi dalam U akan menjadi : U T Dalam persamaan koordinat lokal, {} [k] {} menjadi :

6 ersamaan dan disbstitsikan pada persamaan, menjadi U T aka persamaan kekakan {} [k] {} menjadi : } { U U U U Jadi matriks adalah matriks [k] yang dicari. Contoh Soal : Gambar.. Strktr trss batang dengan panjang m membentk konstrksi segitiga sama sisi dan memiliki rigiditas aksial sebesar N. Jika beban sebesar N diaplikasikan, tentkan sema gaya batang dan pergeseran titik jng yang terjadi karenanya! Jawab :. Gambar diagram benda bebas dari konstrksi tersebt adalah : Gambar..

7 7. Nilai sins dan cosins tiap batang adalah : Elemen φ - o - o - ½ ¼ - ¼ ¾ - o ½ ¼ ¼ ¾. aka mengac pada persamaan, persamaan di tiap elemen adalah : a. elemen - : b. elemen - : c. elemen - :. roses penggabngan persamaan elemen menjadi persamaan strktr. Karena,,... adalah gaya-gaya nodal, bkan gaya batang. Jadi gayagaya batang diperoleh dari penjmlahan gaya-gaya nodal pada posisi yang bersesaian. elemen - elemen - elemen - elemen - elemen - elemen - elemen - elemen - elemen - elemen - elemen - elemen - Jadi {} [k] {} diekspansikan menjadi {} [K] {D}, dimana : { } { } D [K] [k] [k] [k]

8 8 [ ] K Sehingga didapat :. engac pada kondisi pembebanan dan jenis tmpan, didapatkan syarat batas sebagai berikt : a. jenis tmpan jepit dan arah tegak lrs tmpan rol tidak terjadi pergeseran b. pada arah gerak tmpan rol tidak terdapat beban lar c. pada arah gerak tmpan rol terdapat beban lar Dengan memberikan harga pada ariabel-ariabel {} dan {D} yang diketahi maka dapat dilihat bahwa : a. pada posisi baris dan, elemen {} diketahi nilainya, elemen {D} tidak diketahi b. pada posisi baris,,, dan, elemen {} tidak diketahi nilainya, elemen {D} diketahi aka ntk memdahkan perhitngan dilakkan transormasi matriks dengan rtan langkah sebagai berikt : a. Geser elemen baris dan matriks {} ke posisi baris dan sehingga rtan baris matriks {} berbah menjadi,,,,,. b. Geser baris dan matriks [K] ke posisi baris dan sehingga rtan baris matriks [K] berbah menjadi,,,,,. atriks yang dihasilkan adalah :

9 9 [ ] K c. Geser kolom dan matriks [K] hasil pergeseran baris, ke posisi kolom dan, sehingga rtan kolom matriks [K] menjadi,,,,,. atriks yang dihasilkan adalah : [ ] K d. Geser elemen baris dan matriks {D} ke posisi baris dan sehingga rtan baris matriks {D} berbah menjadi,,,,,. atriks hasil transormasi adalah : Garis merah adalah garis batas partisi matriks yang akan dignakan ntk melakkan penyederhanaan hitngan.. Untk menyelesaikan persamaan matriks di atas, mengac pada hkm perkalian matriks, didapat persamaan berikt : a. A I C II D b. B III C IV D karena D hanya berisi elemen maka didapat persamaan berikt :

10 a. yang diselesaikan menjadi : [ ] K b. Dengan demikian sema ariabel yang tidak diketahi telah ditemkan. Nilai negati pada gaya-gaya batang mennjkkan arah pembebanan yang berbeda dengan asmsi awal. aka diagram benda bebas yang sebenarnya adalah : Gambar.. atihan Soal. : Gambar.7. Jika diketahi strktr trss sebagaimana tampak pada gambar m, dimana rigiditas aksial batang-batangnya ditetapkan sebesar N, maka tentkan besar gaya reaksi tmpan, sema gaya batang dan pergeseran titik jng yang terjadi akibat gaya N sejajar landasan! Dapatkah Anda menghitng gaya-gaya aksial yang terjadi pada masing-masing batang Adakah batang yang mendapatkan beban tekan

11 STUKTU B.. Deinisi Umm Beam adalah batang lrs ditmp di da ata lebih titik, mendapatkan pembebanan tnggal, merata mapn beban kombinasi termask beban momen dimana deleksi yang terjadi terdiri atas deleksi linier berarah tegak lrs smb aksial dan pntiran. Strktr beam lrs serba sama niorm dapat dilihat pada gambar..,, Gambar.. ada batang dimaksd, smb longitdinal terletak pada smb sedangkan smb transersal adalah smb y. Batang memiliki konstanta momen inersia I, modls elastisitas E dan panjang. Batang dianggap memiliki derajat kebebasan pada setiap titik nodal yait deleksi transersal akibat gaya transersal dan slope sdt rotasi yang merpakan trnan terhadap / akibat momen bending. Tidak terjadi pergeseran pada arah. Berdasarkan analisis statika strktr, deleksi yang terjadi pada beam ntk daerah tanpa pembebanan dinyatakan sebagai : yang menghasilkan penyelesaian : a a a a 7 ada kondisi batas berlak : a / a a a a a / a a a Dalam bentk matriks dapat ditlis sebagai berikt : a a a a

12 Ata a a a a 8 Jika nilai matriks {a} pada persamaan 8 dikembalikan pada persamaan 7 maka akan didapat : 9 Dimana : adalah ngsi-ngsi bentk deleksi. Untk menentkan matriks konstanta matriks stiness, diketahi bahwa dari Teorema Castigliano ntk beam berlak persamaan : d U ; i i U aka dengan mengikti prosedr sebagaimana pada strktr trss akan diperoleh persamaan berikt : {F} [K] {q} Catatan :. erl diketahi bahwa dalam kondisi tanpa tmpan seperti pada gambar.. beam hars berada dalam keseimbangan dibawah gaya nodal dan deleksi. Jadi : a. ΣF - dapat dilihat pada matriks [K] bahwa baris - baris b. Σ terhadap salah sat jng hars sama dengan nol.

13 . Karena pada matriks [K] baris - baris maka matriks [K] singlar, artinya [K] - tidak bernilai tidak eksis, jadi tidak ada penyelesaian. Secara isik hal ini tidak benar karena tidak pernah terjadi beam tanpa tmpan. aka dapat dipastikan bahwa ada setidaknya tmpan pada jng-jng strktr beam. Contoh : Jika jng ditmp dengan tmpan jepit, maka sehingga persamaannya menjadi - - Contoh Soal.. : Gambar.. Diketahi strktr beam sebagaimana tampak pada gambar.. Tentkanlah gaya-gaya internal dan momen nodal pada titik-titik nodal! Jawab :. Gambar diagram benda bebas dari konstrksi tersebt adalah :,,, Gambar... aka mengac pada persamaan, persamaan di tiap elemen adalah : a. elemen - :

14 b. elemen - :. roses penggabngan persamaan elemen menjadi persamaan strktr.. engac pada kondisi pembebanan dan jenis tmpan, didapatkan syarat batas sebagai berikt : el el el el aka ntk memdahkan perhitngan dilakkan transormasi matriks dengan rtan langkah sebagai berikt : a. Geser elemen baris, dan matriks {} ke posisi baris, dan sehingga rtan baris matriks {} berbah menjadi,,,,,. akkan hal yang sama ntk matriks {q}. b. Geser elemen baris, dan matriks [K] ke posisi baris, dan sehingga rtan baris matriks [K] berbah menjadi,,,,, c. Geser elemen kolom, dan matriks [K] hasil pergeseran b ke posisi baris, dan. atriks hasil transormasi adalah : 8

15 Garis merah adalah garis batas partisi matriks yang akan dignakan ntk melakkan penyederhanaan hitngan.. Untk menyelesaikan persamaan matriks di atas, mengac pada hkm perkalian matriks, didapat persamaan berikt : 8 Ata Sehingga diperoleh jga : 7 atihan Soal.. Gambar.. Diketahi strktr beam sebagaimana tampak pada gambar.. Tentkanlah gaya-gaya internal dan momen nodal pada titik-titik nodal!

16 .. Beam Dengan Beban erata ada sb bab sebelmnya, pembebanan terpsat pada titik-titik nodal. ada kondisi strktr yang sebenarnya, pembebanan tidak hanya merpakan beban-beban terpsat namn terdistribsi di selrh batang. Dalam hal ini beban yang terdistribsi ditransormasikan menjadi beban terpsat sehingga dapat diaplikasikan pada titik nodal. Salah sat metode yang dignakan ntk keperlan tersebt adalah etode Beban - Kerja Ekialen. ada metode ini kerja yang dihasilkan oleh beban nodal yang tidak diketahi dibat sama dengan kerja yang dihasilkan oleh beban terdistribsi. etode ini sangat mdah dilakkan khssnya jika beban terdistribsi dapat dimodelkan dalam bentk persamaan matematis. Umpamakan sat elemen beam, kerja yang dilakkan oleh beban nodal tapi tidak diketahi nilainya dinyatakan dalam bentk : [ ] W Di sisi lain, kerja yang dilakkan oleh beban terdistribsi dapat diperoleh dengan cara : d p W Dimana ngsi deleksi dinyatakan dalam persamaan 9 dengan bentk matriks : [ ] ersamaan disamakan dengan persamaan menjadi : d p d p d p d p ata secara mm : i i d p F ersamaan menyatakan bahwa beban ekialen kerja yang bersesaian dengan derajat kebebasannya diperoleh dengan mengintegrasikan perkalian ngsi beban

17 terdistribsi dengan ngsi bentknya. Deinisi ini dapat digeneralisasi ntk tipe-tipe elemen lainnya seperti elemen plate dan shell. Karena beban yang ditemkan diperoleh secara konsisten sesai ngsi bentk yang bersesaian maka beban-beban tersebt dinamakan Beban-beban Konsisten. Contoh Soal.. : Gambar.. p gaya panjang Gambar.. mennjkkan strktr beam dengan jng-jng yang ditmp secara sederhana dibawah penga-rh beban terdistribsi p. Diinginkan ntk mencari slope pada nodal dan deleksi pada titik tengah strktr. Jawab : Strktr di atas merpakan strktr yang simetri, karenanya dapat dimodelkan sebagai beam separh dan analisis dilakkan terhadap beam dengan panjang l/. Dengan kondisi batas beam diperoleh sehingga persamaan elemen menjadi : 8 l l l 9 l Beban ekialen kerja akibat beban terdistribsi p tanda karena p mengarah ke bawah dapat dicari dengan menggnakan persamaan : l / p l l d pl 8 l / p l l pl d Sehingga persamaan dapat diselesaikan menjadi : l l l pl l 8 pl pl Hasil yang didapat memiliki tingkat akrasi sesai dengan persamaan Castigliano. 7

18 STUKTU FAE.. Deinisi Umm Frame terjadi pada saat elemen beam dimiringkan dalam bidang datar. Dalam hal ini beban yang bekerja melipti gaya aksial, gaya geser dan momen bending. ada kondisi ini di setiap titik nodal terdapat derajat kebebasan yait, yang mengikti smb, y dan sdt rotasi. Gaya-gaya yang bekerja sesai masing-masing derajat kebebasan tersebt secara berrtan adalah, dan momen bending. Elemen berorientasi sembarang dengan sdt φ berarah bjj terhadap smb global horisontal. Konstanta elemen melipti modls elastisitas E, las penampang lintang A, momen inersia I dan panjang. Strktr rame dimaksd dapat dilihat pada gambar.., φ Gambar.., atriks stiness ntk rame diperoleh melali penggabngan matriks stiness elemen trss dan beam. Dalam hal ini matriks stiness trss dan beam diekspansikan menjadi, kemdian ditransormasikan ke global koordinat. Jadi matriks yang diperoleh adalah sebagai berikt : 8

19 9 Jika dirtkan sesai nodalnya, persamaan menjadi : 7 atriks transormasi koordinatnya adalah : dimana φ φ sin cos 8 aka matriks [K] hasil transormasinya adalah : [ ] K 9 Dalam hal ini A / I, yait perbandingan las area dan momen inersia.

20 Contoh Soal.. : Gambar.. Gambar.. mennjkkan strktr rame persegi yang dikenai gaya berpasangan. Jika diasmsikan bahwa batang-batang rame tidak bisa meregang dan sdt-sdt ptar kanan pada sambngan dijaga konstan, tentkan bentk deleksi, diagram gaya geser dan diagram momen bending! Jawab : Strktr rame yang diac merpakan strktr yang simetri baik dalam arah ertikal mapn horisontal. Jadi, hanya seperempat bagian strktr saja yang dijadikan model dengan elemen, yait elemen - dan -. Karena batang rame tidak dapat meregang maka deleksi aksial tidak terjadi, sehingga didapat kondisi batas : a. akibat simetrisitas : b. akibat siat tak teregang : Sebagai hasilnya, mengac pada persamaan 9 dengan mengeliminasi komponen matriks yang menghasilkan perkalian nol, didapat persamaan sebagai berikt : / Untk / / / / el. el. / / enyelesaiannya didapat : 7 / 88 / 8 a

21 Gaya geser internal diperoleh dengan mensbstitsikan nilai persamaan a pada persamaan 9. Jadi ntk elemen - akan diperoleh : / 8 / / 8 / 8 b Untk elemen - diperoleh : /8 /8 8 c erl diperhatikan bahwa gaya-gaya dan pada elemen - dari hasil perhitngan sama dengan nol, padahal seharsnya masing-masing bernilai / dan /. Hal ini disebabkan karena asmsi batang tidak teregang mengakibatkan. Kesimplannya, batang yang tidak teregang it tidak mngkin terjadi. Kra deleksi, diagram gaya geser dan momen bending dapat dilihat pada gambar.. dibawah ini.

22 Gambar.. atihan Soal.. : teregang! Kerjakan lang contoh soal di atas dengan menghilangkan asmsi batang tidak