Turunan Fungsi. Penggunaan Konsep dan Aturan Turunan ; Penggunaan Turunan untuk Menentukan Karakteristik Suatu Fungsi

Transkripsi

1 8 Penggunaan Konsep dan Aturan Turunan ; Penggunaan Turunan untuk Menentukan Karakteristik Suatu Fungsi ; Model Matematika dari Masala yang Berkaitan dengan ; Ekstrim Fungsi Model Matematika dari Masala yang Berkaitan dengan Ekstrim Fungsi dan Penafsirannya ; Dengan bertambanya jumla penduduk, maka kebutuan akan adanya perumaan juga bertamba. Peristiwa ini dikatakan bawa laju jumla penduduk sejalan dengan bertambanya perumaan. Dalam keidupan seari-ari, kamu dapat menjumpai istila-istila laju penyebaran penyakit, laju kecepatan kendaraan, dan sebagainya. Kejadian-kejadian seperti ini dapat diselesaikan dengan turunan fungsi yang merupakan taapan awal dari kalkulus diferensial. Dalam bab ini kamu akan mempelajari mengenai konsep turunan fungsi dalam pemecaan masala. Dengan mempelajarinya, kamu akan dapat menggunakan konsep dan aturan turunan fungsi untuk mengitung dan menentukan karakteristik turunan fungsi, merancang model matematika dari masala yang berkaitan dengan ekstrim fungsi, sekaligus menyelesaikan dan memberikan penafsirannya.

2 Menggunakan konsep dan aturan turunan dalam peritungan turunan fungsi Merancang model matematika dari masala yang berkaitan dengan ekstrim fungsi Menyelesaikan model matematika dari masala yang berkaitan dengan ekstrim fungsi dan penafsirannya Turunan fungsi aljabar Limit fungsi yang mengara ke konsep turunan Turunan fungsi trigonometri Mengitung fungsi sederana Nilai maksimum dan minimum suatu fungsi dalam interval tertutup Menggunakan turunan untuk menentukan karakteristik suatu fungsi dan pemecaan masala Penggunaan nilai maksimum dan minimum Turunan kedua suatu fungsi Menentukan nilai kecepatan dan percepatan Teorema L'Hopital Persamaan garis singgung pada kurva Fungsi naik dan fungsi turun Menggambar grafik fungsi aljabar diferensial turunan fungsi aljabar turunan fungsi trigonometri turunan pertama ( dy d ) d f( ) turunan kedua d gradien garis singgung fungsi naik fungsi turun nilai stasioner nilai maksimum nilai minimum titik balik minimum titik balik maksimum Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA

3 A. Penggunaan Konsep dan Aturan Turunan. Aljabar a. Mengitung Limit Fungsi yang Mengara ke Konsep Turunan Dari grafik di bawa ini, diketaui fungsi y f() pada interval k < < k +, seingga nilai fungsi beruba dari f(k) sampai dengan f(k + ). Y y f( ) fk ( + ) fk () fk ( + ) fk ( ) k k + X Perubaan rata-rata nilai fungsi f teradap dalam interval k < < k + adala f( k + ) f( k) f( k + ) f( k). Jika nilai k makin kecil maka nilai ( k + ) k f( k + ) f( k) disebut laju perubaan nilai fungsi f pada k. Limit ini 0 disebut turunan atau derivatif fungsi f pada k. f( + ) f( ) disebut turunan fungsi f di yang ditulis dengan notasi f (), 0 seingga kita perole rumus sebagai berikut: f () f + f 0 ( ) ( ) Jika nilai itnya ada, fungsi f dikatakan diferensiabel di dan f disebut fungsi turunan dari f. Turunan dari y f() seringkali ditulis dengan y' f (). Notasi dari y' f () juga dapat ditulis: dy d dan df( ). d Untuk lebi memaami tentang turunan, peratikan conto soal berikut. Conto soal Tentukan turunan pertama dari: a. f() 8 c. f() + 5 b. f() d. f()

4 a. f() 8 f( + ) f( ) f () Jadi, turunan fungsi konstan adala nol. b. f() f( + ) + f( + ) f( ) f () 0 + ( ) c. f() + 5 f( + ) ( + ) f () d. f() f () f( + ) f( ) ( + 5) ( + + ) ( ) f + f 0 ( ) ( ) 4 Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA

5 + 0 ( + ) ( + ) 0 0 ( + ) 0 0 ( + ) ( + ) ( + 0) f( + ) f( ) Dengan menggunakan rumus f (), lengkapila tabel berikut. 0 f() 4 5 n f () 0 n n Dari tabel dapat diliat bawa jika f() n, maka f () n n, atau: jika f() a n, maka f () an n Conto soal Carila f () jika diketaui fungsi berikut. a. f() c. f() 4 5 b. f() d. f() a. f() f () 5 b. f() 5 f () 5 ( ) 0 0 c. f() 4 d. f() f () 4 f () 5

6 8. Kerjakan soal-soal di bawa ini dengan benar.. Kerjakan soal-soal di bawa ini dengan menggunakan rumus f () f( + ) f( ). 0 a. f() d. f() 5 b. f() 5 e. f() c. f(). Kerjakan soal-soal di bawa ini dengan menggunakan rumus f() n mempunyai turunan f () n n. a. f() 5 6 d. f() 9 b. f() c. f() 5 e. f(). Kerjakan soal-soal di bawa ini dengan benar. a. Jika f() 4, tentukan f ( ) c. Jika f(), tentukan f ( ) b. Jika f() 5 5, tentukan f () d. Jika f(), tentukan f (4) 4. Carila f () kemudian nilai fungsi turunan untuk nilai yang diberikan. a. f() 5, untuk dan b. f(), untuk dan c. f() 6, untuk dan d. f(), untuk 4 dan 9 b. Mengitung yang Sederana dengan Menggunakan Definisi Turunan ) Turunan fungsi yang berbentuk y u ± v Bila y f() u() + v() di mana turunan dari u() adala u'() dan turunan dari v() adala v'(), maka turunan dari f() adala f () u'() + v'(). 6 Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA

7 Bukti: f() u() + v() f () f( + ) f( ) 0 u ( + ) + v ( + ) { u ( ) + v ( )} 0 u ( + ) u ( ) + v ( + ) v ( ) 0 u ( + ) u ( ) v ( + ) v ( ) f () u'() + v'() Dengan cara yang sama, bisa dibuktikan bawa bila f() u() v(), maka f () u'() + v'(). Jadi jika y u ±v, maka y' u' ± v'. Agar lebi jelasnya, pelajarila conto soal berikut. Conto soal Carila f () jika: a. f() + 7 c. f() b. f() 8 d. f() 6 + a. f() + 7 Misal: u u' 6 6 v 7 v' Jadi jika f() u + v, maka f () u' + v' b. f() 8 Misal: u u' v 8 v' Jadi jika f() u v, maka f () u' v' 6 c. f() Misal: u 4 u' 4 v 5 v' w - w' ( ) 6 7

8 Jadi jika f() u v + w, maka f () u' v' + w' 5 + ( 6 ) 5 6 e. f() 6 + Misal: u 6 u' v w w' 0 v' Jadi jika f() u v + w, maka f () u' v' + w' ) Turunan fungsi yang berbentuk y u v Jika y f() u() v(), di mana turunan dari u() adala u'() dan turunan dari v() adala v'(), maka turunan dari f() adala f () u'() v() + u() v'(). Bukti: f() u() v() f () f + f 0 ( ) ( ) u+ v+ u v 0 ( ) ( ) ( ) ( ) u ( + ) v ( + ) u ( ) v ( ) + u ( + ) v ( ) u ( + ) v ( ) 0 u+ v+ u+ v+ u+ v u v 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u+ v+ v + v u+ u 0 ( ) { ( ) ( )} ( ) { ( ) ( )} v ( + ) v ( ) u ( + ) u ( ) u( + ) + v( ) f () u'() v'() + v() u'() Jadi jika y u v, maka y' u' v + u v'. 8 Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA

9 Agar lebi jelas, pelajarila conto soal berikut. Conto soal Carila dy d jika: a. y (5 + ) c. y ( + )( 5) b. y ( + ) d. y ( 7)( ) a. y (5 + ) Cara : y (5 + ) y 5 + ; maka y' 5 + y' y' 0 + dy y' 0 + atau d 0 + Cara : y (5 + ) misal: u u' v 5 + v' Jadi jika y u v, maka y' u' v + u v' y' (5 + ) + (5) y' y' 0 + atau dy d 0 + b. y ( + ) Cara : y ( + ) y 6 +, maka y' 6 + Cara : y ( + ) ( + ) misal: u + u' v v' 6 Jadi jika y u v, maka y' u' v + u v' y' + ( + ) 6 y' y' c. y ( + ) ( 5) misal: u + u' v 5 v' Jadi jika y u v, maka y' u' v + u v' ( 5) + ( + )

10 d. y ( 7)( ) u + 7 u' v v' Jadi jika y u v, maka y' u' v + u v' ( ) + ( + 7) Dengan cara yang sama didapat rumus: Untuk u dan v masing-masing fungsi, u' turunan dari u dan v' turunan dari v dan k bilangan konstan maka berlaku sebagai berikut. y u ± v, maka y' u' ± v' y k u, maka y' k u' y u v, maka y' u'v + uv' y u v, maka y' uv uv v y u n, maka y' n u n u' Untuk lebi jelasnya peratikan conto soal berikut ini. Conto soal. Carila turunan pertama dari: a. y + b. y Carila turunan pertama dari: a. y ( ) b. y ( + 5 ) 5. a. y misal: u u' v v' 5 Jika y u v, maka y' uv uv (5+ 6) ( )5 v (5 + 6) (5 + 6) 8 (5 + 6) 0 Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA

11 b. + y misal: u + u' + v v' Jika y u v, maka y' uv uv (+ )( ) ( + ) v ( ) 6+ 6 ( ) 6 6 ( ). a. y ( ) misal: u u' Jika y u n, maka y' n u n u' ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 5 + 9) b. y ( + 5 ) 5 misal : u + 5 u' 0 Jika y u n, maka y' n u n u' 5( + 5 ) ( + 5 ) 4 Coba kamu diskusikan dan buktikan teorema berikut dengan kelompokmu. Jika y u v maka y' uv ' uv' v Aturan Rantai untuk Mencari Untuk mencari turunan dari y ( 5), lebi daulu arus menjabarkan ( 5) menjadi kemudian menurunkannya satu persatu. Tetapi kamu belum bisa mencari turunan fungsi yang berbentuk y +. Untuk itu perlu dikembangkan teknik yang erat ubungannya dengan fungsi-fungsi majemuk yang tela kita pelajari. Untuk lebi jelasnya, pelajarila uraian berikut.

12 Jika y f g sedemikian ingga y f(g()) di mana f dan g adala fungsi-fungsi yang mempunyai turunan, maka y juga mempunyai turunan seingga: y' f (g()) g'() Dalam bentuk lain dapat diuraikan sebagai berikut. Misalnya z g(), maka g'() d dz dan f. g()) f (z) dy dz seingga y' f (g()) g'() Jadi: dy d dy dz d dz dy d dy dz d dz Untuk lebi jelasnya peratikan conto soal berikut ini. Conto soal 0 Tentukan turunan pertama dari y ( + 4 ). Misal: z + 4 dz d y z 0 dy dz 0z9 dy dz y' 0z dz d 9 (4 + 4) 0( + 4 ) 9 (4 + 4) 8. Kerjakan soal-soal di bawa ini dengan benar.. Carila turunan pertama dari: a. y b. y c. y +. Carila turunan pertama dari: a. y ( + ) ( 7) b. y ( + 4) (5 ) c. y (5 + ) ( ) Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA

13 . Carila turunan pertama dari: a. 5 y 4 + b. y 5 + c. y + 4. Carila turunan pertama dari: a. y ( + ) c. y + 5 b. y ( ) 5 5. Carila turunan fungsi-fungsi di bawa ini, kemudian carila nilai fungsi turunan itu untuk nilai yang diberikan. a. y , untuk c. y + 6, untuk b. y ( + 5) ( ), untuk d. y ( + ), untuk 6. Dengan aturan rantai carila turunan pertama dari: a. y ( ) 9 c. y + 4 b. y 5. Trigonometri Untuk menentukan turunan fungsi trigonometri dapat dicari sebagai berikut. f () f + f 0 ( ) ( ) Peratikan conto soal berikut. Conto soal. Tentukan turunan dari f() sin. f() sin f( + ) sin ( + ), maka f () f( + ) f( ) 0 sin( + ) sin 0 cos ( + + )sin ( + ) 0 Ingat!! sin A sin B cos (A + B) sin (A B) cos A cos B sin (A + B) sin (A B)

14 cos( + )sin 0 sin cos ( + ) 0 0 cos cos. Tentukan turunan dari f() cos. f() cos f( + ) cos ( + ), maka: f () f + f 0 ( ) ( ) cos( + ) cos sin sin 0 + sin sin 0 ( ) sin + sin 0 cos A Ingat!! sec A sin A + cos A sin sin ( ) sin ( + 0) sin Buatla kelasmu menjadi beberapa kelompok, buktikan:. Jika y tan, maka y' sec. Jika y cot, maka y' cosec. Jika y sin u, maka y' u' cos u Setela itu cocokkan dengan kelompok lain, adakan diskusi per kelompok. 4 Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA

15 Dengan cara yang sama didapat rumus sebagai berikut.. Jika y sin, maka y' cos. Jika y cos, maka y' sin. Jika y tan, maka y' sec 4. Jika y cot, maka y' cosec 5. Jika y sin U, maka y' U' cos U 6. Jika y sin n U, maka y' n sin n U cos U' 7. Jika y sec, maka y' sec tan 8. Jika y cosec, maka y' cosec cot Conto soal. Tentukan turunan pertama fungsi berikut. a. f() sin b. f() 5 sin ( 5 + 6) a. f() sin f () cos b. f() 5 sin ( 5 + 6) f () 5 5 cos ( 5 + 6) cos ( 5 + 6). Jika y 7 tan, tentukan dy d. y 7 tan 7sin cos misal: u 7 sin u' 7 cos v cos v' sin y' uv uv v 7cos cos 7sin ( sin ) cos 7cos + 7sin cos 7(cos + sin ) cos 7 cos 7 sec cos A + sin A cos A Ingat!! sec A 5

16 . Carila f () dan nilai f ( π ) jika diketaui f() sec. f() sec f () sec + sec tan f ( π) π sec π + ( π) sec π tan π π + 9 π 4 π + 9 π 8. Kerjakan soal-soal di bawa ini dengan benar.. Carila f () dari fungsi-fungsi di bawa ini. a. f() sin c. f() 6 sin + cos b. f() cos d. f() cot. Carila f () dan nilai dari fungsi f () dari: a. f() 4 sin, untuk 6 π b. f() cos, untuk π c. f() 4 tan +, untuk 6 π. Carila turunan pertama dari: a. y sin c. y sin ( + ) b. y cos 4 d. y cos ( ) 4. Carila dy d dari: a. y sin c. y b. y cos d. y 5 sin cos 5. Carila dy d dari: a. y cos ( ) c. y sin b. y sin ( ) d. y cos 6 Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA

17 B Penggunaan Turunan untuk Menentukan Karakteristik Suatu Fungsi. Persamaan Garis Singgung pada Kurva Peratikan gambar berikut. Y y f() f( + ) Q (( + ), f( + )) f() P(, f()) S R O + X Titik P(, y) adala sembarang titik pada kurva y f(), seingga koordinat titik P dapat dituliskan sebagai (, f()). Absis titik Q adala ( + ) seingga koordinat titik Q adala {( + ), (f( + )}. Jika 0, maka S akan menjadi garis singgung pada kurva di titik P yaitu PS. Dengan demikian gradien garis singgung pada kurva di titik P adala sebagai berikut. m tan QPR 0 f( + ) f( ) 0 f () Untuk lebi jelasnya, peratikan conto soal berikut ini. Conto soal. Tentukan gradien garis singgung dari fungsi f() di titik (, 0). f() f () 6 f ( ) + 4 Jadi, gradien garis singgung f() di titik (, 0) adala m 4.. Jika diketaui f() 5, tentukan gradien garis singgung kurva tersebut di titik yang ordinatnya. 7

18 f() f() 5 5 f () m f (4) 4 4 Jadi, gradien garis singgung kurva f() 5 di titik (4, ) adala m 4. Persamaan garis singgung pada kurva di titik (, y ) dengan gradien m di mana m f () adala: y y m( ) Untuk lebi jelasnya, peratikan conto soal berikut ini. Conto soal Diketaui kurva f(). Tentukan persamaan garis singgung dari kurva tersebut yang mempunyai gradien 9. f() f () 6 m f () ( ) 0 y f() Jadi, koordinat titik singgung (, 8). 8 Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA

19 Maka persamaan garis singgungnya adala: y y m( ) y + 8 9( ) y y y 9( ) 8.4 Kerjakan soal-soal di bawa ini dengan benar.. Tentukan gradien dan kemudian persamaan garis singgung setiap kurva berikut ini pada titik yang diketaui. a. y di titik (, 6) b. y 7 di titik (, 7) c. y di titik (, 9) d. y 4 di titik (, 6) e. y + 4 di titik (0, 4). Tentukan persamaan garis singgung pada kurva berikut ini. a. y 4 pada d. y 5 pada b. y 5 pada e. y 5 pada 4 c. y pada. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva berikut ini. a. y 4 pada y 8 d. y pada y 7 b. y pada y e. y pada y 4 c. y pada y 4. a. Tentukanla koordinat titik pada kurva y 5, seingga garis singgung kurva di titik itu mempunyai gradien 4. b. Tentukan pula persamaan garis singgung di titik itu. 5. Carila persamaan garis singgung pada kurva y +, yang: a. tegak lurus y + 6, b. sejajar 5 + y. 9

20 . Fungsi Naik dan Fungsi Turun a. Pengertian Fungsi Naik dan Fungsi Turun Peratikan gambar di samping. f() 9 f () ) Bila < 0 maka f () > 0 (gradien di setiap titik positif). Terliat grafiknya naik, maka dikatakan fungsi naik. ) Bila > 0 maka f () < 0 (gradien di setiap titik negatif). Terliat grafiknya menurun, maka dikatakan fungsi turun. - fungsi naik 0 Y fungsi turun f() 9 X b. Menentukan Interval Suatu Fungsi Naik atau Fungsi Turun Untuk menentukan interval fungsi f() naik adala dengan menyelesaikan pertidaksamaan f () > 0. Demikian juga untuk menentukan interval fungsi f() turun adala dengan menyelesaikan pertidaksamaan f () < 0. Untuk lebi memaami, peratikan conto soal berikut. Conto soal. Tentukan interval-interval dari fungsi f() 4 agar fungsi: a. naik, b. turun. f() 4 f () 4 a. Syarat supaya fungsi naik adala: f () > 0 4 > 0 > 4 b. Syarat supaya fungsi turun adala: f () < 0 4 < 0 < 4 <. Ditentukan f() Tentukan interval agar: a. kurva y f() naik, b. kurva y f() turun. a. f() f () Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA

21 Syarat fungsi naik: f () > > 0 ( + )( 5) > atau 5 0 atau 5 Interval agar kurva naik adala < atau > 5. 5 b. Syarat fungsi turun f () < < 0 ( + )( 5) < atau 5 0 atau 5 Interval agar kurva turun adala < < 5. 5 c. Nilai Stasioner dan Jenisnya Peratikan grafik berikut ini. Y B f ( ) a b f ( ) O c d X a. Nilai stasioner pada A adala f(b), jenisnya nilai balik minimum. Jenis nilai stasioner sebagai berikut. b b b + f () 0 + Jenis min A f ( ) b. Nilai stasioner pada O adala f(0) jenisnya nilai belok. Jenis nilai stasioner sebagai berikut f () Jenis belok 4

22 c. Nilai stasioner pada B adala f(c) jenisnya nilai balik maksimum Jenis nilai stasioner sebagai berikut. Catatan: b, 0 dan c artinya kurang sedikit dari b, 0, c pada f (). b +, 0 + dan c + artinya lebi sedikit dari b, 0, c pada f (). Untuk lebi jelasnya, pelajarila conto soal berikut. Conto soal. Tentukan nilai stasioner dan jenisnya dari fungsi berikut. a. f() b. f() a. f() c c c + f () + 0 Jenis maks f () Syarat mencapai nilai stasioner: f () ( )( ) 0 0 atau 0 atau y f() y f() 4 4 Untuk nilai stasioner adala 4 jenisnya maksimum titik stasioner maksimum (, 4 ). Untuk nilai stasioner adala 4 jenis minimum titik stasioner minimum (, 4 ). 4 Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA

23 Untuk mengetaui jenisnya kita selidiki nilai fungsi di sekitar arga nol f () Bentuk grafik b. f() f () Syarat mencapai stasioner: f () ( ) 0 ( + 4)( + ) 0 4 atau y f() 4 y f() Untuk nilai stasioner adala jenisnya belok titik belok (, ). Untuk 4 nilai stasioner adala jenisnya maksimum titik stasioner maksimum ( 4, ). Untuk mengetaui jenisnya kita selidiki nilai fungsi di sekitar arga nol f () Bentuk gambar. Diketaui fungsi y a + b dengan a dan b konstan, memiliki titik stasioner pada titik (, ). Tentukan nilai a dan b. y a + b Syarat stasioner y' 0 y a + b y' a + b 0 a + b titik stasioner (, ) berarti, y 4

24 a + b 0 a + b 0 a + b 0 () y a + b a + b a + b () Dari persamaan () dan () diperole: a + b 0 a + b a + b 0 a + b _ a + 0 a a disubstitusikan ke persamaan () a + b + b b 8.5 Kerjakan soal-soal di bawa ini dengan benar.. Tentukan interval agar fungsi berikut ini naik. a. y b. y c. y d. y + +. Tentukan interval agar fungsi berikut ini turun. a. y 8 + b. y + 9 c. y d. y Tunjukkan bawa fungsi berikut selalu naik. a. f() b. f() Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA

25 4. Tentukan nilai-nilai stasioner dan tentukan pula jenisnya fungsi-fungsi berikut ini. a. f() b. f() Menggambar Grafik Fungsi Aljabar Langka-langka dalam menggambar grafik suatu fungsi aljabar atau suatu kurva sebagai berikut. a. Menentukan titik potong dengan sumbu-sumbu koordinat (sumbu X dan sumbu Y). b. Menentukan titik-titik stasioner dan jenisnya (titik balik minimum, titik balik maksimum, dan titik belok). c. Menentukan nilai y untuk besar positif dan untuk besar negatif. Untuk lebi memaami cara menggambar grafik fungsi aljabar, peratikan conto soal berikut. Conto soal. Gambarla grafik kurva y. a. Titik potong kurva dengan sumbu X, dipenui bila y 0, maka diperole: 0 ( ) 0 0 atau 0 Jadi, titik potong dengan sumbu X adala (0, 0) dan (, 0). Titik potong kurva dengan sumbu Y, dipenui bila 0, maka diperole: y Jadi, titik potong dengan sumbu Y adala (0, 0). b. Mencari titik-titik stasioner, syarat f () 0 y y' ( ) 0 0 atau Ingat!! f () a + b + c a > 0 dan D < 0 maka f () definit positif atau f () > 0 45

26 Untuk 0 y 0 dan untuk y y Bentuk grafik Jadi, titik (0, 0) merupakan titik balik minimum dan (, 4) merupakan titik balik maksimum. c. Untuk besar positif, maka y besar negatif. Untuk besar negatif, maka y besar positif. Seingga grafiknya terliat seperti gambar berikut. Y 4 (, 4) (0, 0) (, 0) X. Gambarla grafik kurva y 4 4. a. Titik potong kurva dengan sumbu X, dipenui bila y 0, maka diperole: ( 4) 0 0 atau 4 Jadi, titik potong dengan sumbu X adala (0, 0) dan (4, 0). Titik potong kurva dengan sumbu Y, dipenui bila 0, maka diperole: y 4 4 y Jadi, titik potong dengan sumbu Y adala (0, 0). b. Titik stasioner, syarat f () 0 f 4 4 f () ( ) 0 46 Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA

27 Untuk 0 dipenui: y (0, 0) Untuk dipenui: y 4 4 ( 4) 7 (, 7) y Bentuk grafik Titik (0, 0) merupakan titik belok orizontal dan titik (, 7) adala merupakan titik balik maksimum. c. Untuk besar positif, maka y besar positif. Y Untuk besar negatif, maka y besar positif. Maka grafiknya seperti tampak pada gambar di samping. (4, 0) O (0, 0) 4 X Kerjakan soal-soal di bawa ini dengan benar. Gambarla grafik kurva-kurva berikut ini.. y 6. y y 4 7. y ( ) ( + ). y 8. y y 9. y ( + ) 5. y 0. y

28 C Merancang Model Matematika dari Masala yang Berkaitan dengan Ekstrim Fungsi. Nilai Maksimum dan Minimum Suatu Fungsi dalam Interval Tertutup Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum fungsi dalam interval tertutup dilakukan dengan langka-langka sebagai berikut. a. Menentukan nilai fungsi pada batas interval. b. Menentukan nilai stasioner apabila stationer dicapai pada di dalam interval. c. Menentukan nilai minimum dan maksimum berdasarkan asil dari (a) dan (b). Untuk lebi memaami, peratikan conto berikut. Conto soal. Tentukan nilai maksimum dan minimum untuk fungsi f() 6 pada interval < <. Fungsi f() 6 pada interval < <. Nilai fungsi pada batas interval: f( ) 6 ( ) ( ) f() 6 () () Nilai stasioner fungsi: f () 0 (4 ) 0 0 atau 4 0 di dalam interval (dicari nilai fungsinya) 4 di luar interval (tidak dicari nilai fungsinya) f(0) 6 (0) (0) 0 Diperole f( ) 7, f() 6, f() 7. Jadi, nilai maksimum adala 7 dan nilai minimum adala 0.. Tentukan nilai maksimum dan minimum untuk fungsi f() pada interval { < < }. Nilai fungsi pada batas interval. f( ) ( ) ( ) f() () () Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA

29 Nilai stasioner apabila f () 0 f () 0 Untuk f() Jadi, nilai maksimum fungsi adala dan nilai minimum fungsi adala.. Penggunaan Nilai Maksimum dan Minimum Soal-soal cerita atau persoalan yang sering dijumpai dalam keidupan seari-ari dapat diselesaikan dengan menggunakan stasioner yaitu nilai maksimum dan minimum. Peratikan conto soal berikut ini. Conto soal. Sebua bola dilempar vertikal ke atas. Dalam waktu t detik ketinggian yang dicapai ole bola dengan persamaan (t) 6t 9t. a. Tentukan waktu (t) yang diperlukan seingga tinggi bola maksimum. b. Tentukan tinggi maksimum yang dicapai bola itu. a. (t) 7t 9t '(t) 7 8t Agar mencapai maksimum maka '(t) 0 '(t) 7 8t 0 7 8t 8t 7 t detik b. Tinggi maksimum yang dicapai bola itu adala: (t) 7t 9t meter. Kita akan membuat kotak tanpa tutup dari seelai karton yang berbentuk bujur sangkar (persegi) dengan rusuk 0 cm, dengan jalan memotong bujur sangkar kecil pada keempat sudutnya, tentukan ukuran kotak supaya isinya sebanyakbanyaknya. Masala di atas dapat dituangkan dalam gambar. Misalkan potongan persegi pada sudutnya adala cm. Maka ukuran kotak yang akan dibuat adala: 49

30 8.7 panjang (0 ) lebar (0 ) tinggi cm Seingga volum kotak: Volume (0 )(0 ) cm cm Terdapat suatu fungsi dari volume kotak: v() Supaya kotak tersebut mempunyai volume yang maksimum, maka: v'() ( 0) ( 0) atau Untuk 0, maka v (0) 0, mendapatkan titik (0, 0) merupakan titik balik minimum. Seingga titik ini tidak memenui, karena yang diminta adala volume maksimum. Untuk 0 maka v ( 0 ) mendapatkan titik ( 0, 6. ) menunjukkan titik balik maksimum, seingga supaya volume kotak yang dibuat maksimum dicapai bila 0. Atau dengan kata lain: karton tersebut dipotong pada keempat sudutnya dengan bentuk bujur sangkar dengan sisi 0 cm. Jadi ukuran kotaknya adala: panjang (0 0 ) cm 40 cm lebar panjang tinggi kotak 0 cm Kerjakan soal-soal dibawa ini dengan benar.. Tentukan nilai maksimum dan minimum dari fungsi f() pada interval { < < }.. Tentukan nilai maksimum dan minimum dari f() 8 pada interval < < Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA

31 . Tentukan nilai maksimum dan minimum pada interval tertutup [, 5] untuk fungsi f() Suatu kolam ikan dipagari kawat berduri, pagar kawat yang tersedia panjangnya 400 m dan kolam berbentuk persegi panjang. Tentukan ukuran kolam agar terdapat luas yang maksimum dan berapa luas maksimum itu. 5. Jumla dua bilangan adala 0, asil kalinya p. Tentukan asil kali yang terbesar. D Model Matematika Masala yang Berkaitan dengan Ekstrim Fungsi dan Penafsirannya. Turunan Kedua Suatu Fungsi Turunan pertama fungsi y f() adala f () d f( ) ditulis f () d Peratikan conto soal berikut ini. Conto soal d f df( ) d dan turunan ketiga ditulis f (). Tentukan d dari fungsi f() f() df d d f ( ) d Tentukan turunan kedua dari y y dy d dy d , sedangkan turunan kedua d f ( ) dan seterusnya. d 5

32 . Menentukan Nilai Kecepatan dan Percepatan Apabila diketaui fungsi y f(), maka turunan pertama dapat ditulis y' f (), f () sering juga ditulis df ( ) d dan y' sering ditulis dy d. Apabila diketaui s f(t), maka turunan pertama dari s ditulis ds dt f (t) f( t+ ) f( t). ds merupakan besar kecepatan sesaat untuk setiap saat, atau 0 dt ditulis v ds dt atau a dv ds dt, di mana dv dt dt merupakan besarnya percepatan setiap saat. Untuk memaami lebi jau tentang nilai kecepatan dan percepatan, peratikan conto berikut. Conto soal. Jika suatu benda yang bergerak ditunjukkan ole rumus s 0t + 5t, dengan f( t+ ) f( t) menggunakan, tentukan: 0 a. kecepatan pada setiap saat, b. percepatan pada setiap saat. a. s 0t + 5t, v ds dt f t+ f t 0 ( ) ( ) {0( t+ ) + 5( t+ ) } (0t+ 5 t ) 0 (0t+ 0+ 5t + 0t+ 5 ) (0t+ 5 t ) 0 0t+ 0+ 5t + 0t+ 5 0t 5t t+ 5 0 (0 + 0t+ 5 ) t t t Jadi, kecepatan pada setiap saat 0 + 0t. 5 Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA

33 b. v 0 + 0t a dv f( t+ ) f( t) dt 0 {0+ 0 ( t+ )} (0+ 0 t) t t Jadi, percepatan pada setiap saat 0.. Ditentukan jarak s meter yang ditempu dalam waktu t detik ole benda yang jatu dinyatakan ole rumus s 4t. a. Hitungla kecepatan jatunya benda pada saat t 5 detik. b. Tentukan pula percepatannya. a. s 4t v ds dt 8t Kecepatan pada t 5 detik adala: v 8t m/det b. a dv dt 8 Jadi, percepatan pada t 5 detik adala 8 m/detik.. Jarak s meter yang ditempu dalam waktu t detik yang dinyatakan dengan rumus s t 6t + 5. a. Hitungla kecepatan pada saat t. b. Tentukan percepatannya pada waktu yang sama. a. s t 6t + 5 v ds dt 6t 6 Kecepatan pada t detik adala: v 6 t m/det b. a dv dt 6 Jadi, percepatan pada t detik adala a 6 m/detik. 5

34 E. Teorema L'Hopital Penggunaan turunan untuk mengitung bentuk-bentuk tak tentu it fungsi dikenal sebagai Teorema L'Hopital. Misal f() dan g() adala fungsi-fungsi yang diferensiabel. f Jika g 0 untuk setiap a dan jika ( ) a g ( ) a maka: mempunyai bentuk 0 0 atau pada f( ) f ( ) f, dengan catatan ( ) a g ( ) a g ( ) a g ( ) ada f Apabila ( ) masi mempunyai bentuk tak tentu. Diteruskan dengan menggunakan a g ( ) f turunan kedua ( ) f ()... dan seterusnya. Seingga diperole nilai itnya. a g ( ) a g () Conto soal Hitungla it berikut menggunakan teorema L'Hopital. a. b. sin a. sin 5 0 5cos5 0 cos cos b Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA

35 8.8 Kerjakan soal-soal di bawa ini dengan benar.. Jarak suatu benda yang bergerak dinyatakan dengan s t, s dalam meter dan t dalam detik. a. Carila kecepatannya pada t 5 detik. b. Carila percepatannya pada t 5 detik. Sebua benda bergerak menurut lintasan sepanjang s meter pada waktu t detik dan dirumuskan dengan s t 6t. a. Carila besarnya kecepatan dan percepatan benda sebagai fungsi t. b. Hitungla besarnya kecepatan dan percepatan benda pada saat t detik.. Sebua benda bergerak sepanjang garis lurus dirumuskan s 6 t + t dimana s dalam meter dan t dalam detik. Tentukan nilai berikut: a. panjang lintasan pada t dan t 4, b. rumus kecepatan dan percepatan, c. kecepatan pada t dan percepatan pada t, d. kecepatan pada waktu percepatannya Sebua benda diluncurkan ke bawa pada suatu permukaan yang miring dengan persamaan gerak s t 6t + t +. Tentukan waktu yang dibutukan agar percepatan benda 48 m/det. 5. Dengan teorema L'Hopital itungla it-it fungsi berikut. a. + cos b Jika diketaui fungsi f(), maka turunan pertamanya didefinisikan: f( + ) f( ) f () 0. Turunan dari f() n, adala f () n n, n R. f() a n, adala f () a n n, a konstan, n R. Jika kurva y f(), maka gradien garis singgung kurva tersebut di a adala: f( a+ ) f( a) f (a) 0 Persamaan garis singgung dari kurva y f() melalui (, y ) adala: (y y ) m( ) atau (y y ) f ( ) ( ) 55

36 4. Rumus-rumus turunan fungsi aljabar: a. Jika y u + v, maka y' u' + v' b. Jika y u v, maka y' u' v' c. Jika y u v, maka y' u'v + uv d. Jika y u v, maka y' uv uv v e. Jika y u n, maka y' n u n u', di mana u f() 5. Turunan fungsi trigonometri a. Jika y sin, maka y' cos b. Jika y cos, maka y' sin 6. Fungsi f() dikatakan naik jika f () > 0, dan fungsi f() dikatakan turun jika f () < Fungsi f() dikatakan stasioner jika f () 0 Jenis titik stasioner ada yaitu: a. titik balik maksimum, b. titik balik minimum, dan c. titik belok orizontal. 8. Untuk menggambar grafik y f() dapat dilakukan dengan cara sebagai berikut. a. Menentukan titik-titik potong grafik fungsi dengan sumbu-sumbu koordinat. b. Menentukan titik-titik stasioner dan jenisnya. c. Menentukan titik-titik bantu (menentukan nilai y untuk besar positif dan untuk besar negatif). 9. Turunan kedua dari suatu fungsi y f() adala turunan dari turunan pertama dan diberi lambang: y'' f () d y d d f d 0. Dari suatu lintasan s f(t), maka berlaku: kecepatan v ds dt ds percepatan a dv dt dt 56 Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA

37 I. Pili sala satu jawaban yang paling tepat.. Jika diketaui f() 5 + 8, nilai dari f () adala. a. d. b. e. 49 c.. Turunan dari f() a. b. c. 4 adala f (). d. e. 6. Diketaui fungsi () +, maka (i + t) (t) adala. a. i + d. t + t b. t + 4 e. t + 5t c. 5t 4. Rumus untuk f () jika f() adala. a. d. b. e. c. 5. Fungsi f() turun untuk. a. < < 6 d. 0 < < b. < < 4 e. < < e. < < 6. Grafik dari f() + 0 naik untuk interval. a. < < d. < atau > b. < < e. < atau > c. < atau > 7. Grafik fungsi f() (6 ) akan naik dalam interval. a. < 0 atau > 6 d. > 6 b. 0 < < 6 e. < 6 e. < atau > 6 57

38 8. Fungsi f yang dirumuskan dengan f() turun pada interval. a. < < d. < < 0 b. < < e. < < 4 e. < < 9. Titik-titik stasioner dari kurva y adala. a. (, 5) dan (, 7) d. (, ) dan (, 7) b. (, 5) dan (, 7) e. (, 7) dan (, 8) c. (, ) dan (, 7) 0. Persamaan garis singgung kurva y 4 di titik yang absisnya adala. a. y 0 d. + y + 0 b. + y + 0 e. y + 0 c. + y + 0. Persamaan garis singgung kurva y 4 yang tegak lurus garis y adala. a. + y d. + y + 0 b. + y e. y 5 0 c. y 5 0. Turunan dari f() sin 5 adala f (). a. cos 5 d. 5 cos 5 b. 0 cos 5 e. cos 5 c. 0 cos 5. Jika f() sin, maka nilai yang memenui f () adala. a. π d. π b. π c. 4 π 6 π e. 4. Jika f() sin + cos, maka f ( π ). a. d. b. e. 0 c. 5. Jika y cos dy, maka d. a. sin d. sin b. sin e. sin c. sin 58 Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA

39 6. Fungsi f() yang ditentukan ole f() ( ) dalam interval < < mempunyai nilai minimum dan maksimum berturut-turut adala. a. 4 dan 0 d. 0 dan b. dan e. 0 dan 4 c. dan 4 7. Fungsi f() yang ditentukan ole f() + a mempunyai nilai stasioner untuk. Nilai a adala. a. 6 d. b. 4 e. 4 c. 8. Nilai maksimum dari y +, pada interval < < adala. a. 6 d. b. 5 e. c Jumla dua bilangan dan y adala 96. Jika y maksimum maka nilai adala. a. 0 d. 0 b. 5 e. 5 c Diketaui keliling suatu persegi panjang ( + 0) cm dan lebarnya (8 ) cm. Agar luas persegi panjang maksimum maka panjangnya adala. a. cm c. 4 cm b. cm d. 9 cm c. 0 cm II. Kerjakan soal-soal berikut ini dengan benar.. Tentukan turunan fungsi di bawa ini pada titik yang diberikan. a. f() + 4 pada titik 0 dan b. + f() pada 4 dan. Tentukan turunan pertama dari fungsi berikut a. y b. y ( + ) 59

40 c. y ( + 4) d. y +. Tentukan turunan pertama dari fungsi berikut. a. y (4 + 5) ( 6 + ) b. 4 y 4 ( + 7) c. f() ( + 8) d. f() + 4. Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi trigonometri berikut. a. f() cos ( + ) b. f() 6 cosec c. cos f() + sin d. f() sec 5. Suatu fungsi didefinisikan ole f() p 5. Jika fungsi itu memiliki nilai stasioner untuk 5, tentukan: a. nilai p; b. nilai stasioner untuk fungsi f(); c. titik stasionernya. 6. Tentukan titik stasioner dan jenisnya dari fungsi f() Gambarla kurva y ( ) ( + ). 8. Carila persamaan garis singgung pada kurva y yang tegak lurus garis + y Tentukan bilangan caca yang jumlanya 6 agar asil kali sala satu dengan kuadrat bilangan lainnya menjadi maksimum. 0. Suatu persegi panjang diketaui keliling ( + 4) cm dan lebar (8 ) cm. Agar luasnya maksimum, itungla panjang, lebar, dan luas persegi panjang. 60 Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA