3. RUANG VEKTOR. dan jika k adalah sembarang skalar, maka perkalian skalar ku didefinisikan oleh

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "3. RUANG VEKTOR. dan jika k adalah sembarang skalar, maka perkalian skalar ku didefinisikan oleh"

Transkripsi

1 . RUANG VEKTOR. VEKTOR (GEOMETRIK) PENGANTAR Jika n adalah sebah bilangan blat positif maka tpel-terorde (ordered-n-tple) adalah sebah rtan n bilangan riil (a a... a n ). Himpnan sema tpel-terorde dinamakan rang-n dan dinyatakan dengan n R. Da ektor (... n ) dan (... n ) pada jmlah didefinisikan oleh n n ( ) n n n R dinamakan sama jika dan jika k adalah sembarang skalar maka perkalian skalar k didefinisikan oleh k ( k k k ) n Vektor-ektor dapat dinyatakan secara geometris sebagai segmen-segmen garis terarah ata panah-panah di rang- ata rang-; arah panah menentkan arah ektor dan panjang panah menyatakan besarnya. Ekor panah dinamakan titik aal (initial point) dari ektor dan jng panah dinamakan titik terminal (terminal point). Selanjtnya ektor akan dinyatakan dengan hrf kecil tebal misalnya a dan x. Bila membahas ektor maka bilangan akan dinyatakan sebagai skalar. Sema skalar merpakan bilangan riil dan akan dinyatakan oleh hrf kecil biasa misalnya k dan l. Jika seperti pada gambar. a titik aal ektor adalah A dan titik terminalnya adalah B maka kita tliskan AB

2 Gambar. (a). Vektor AB (b). Vektor-ektor ekialen Vektor-ektor yang mempnyai panjang dan arah yang sama alapn mngkin diletakkan pada keddkan yang berbeda-beda seperti ektor-ektor pada gambar.b dinamakan ekialen. Jika dan ekialen maka kita tliskan Definisi. Jika dan adalah sebarang da ektor maka penjmlahan didefinisikan oleh (gambar.) Gambar.

3 Jika adalah sebarang ektor yang tak nol maka ektor yang memenhi adalah negatif dari (gambar.) - Definisi. Jika dan adalah sebarang da ektor maka pengrangan didefinisikan oleh - (-) (gambar.) Gambar. Soal-soal yang melibatkan ektor seringkali dapat disederhanakan dengan memperkenalkan sebah sistem koordinat sik-sik. Misalkan adalah ektor dalam bidang (rang-) dan anggaplah seperti dalam gambar. baha telah diddkkan sehingga titik permlaannya berada di titik asal sebah sistem koordinasi sik-sik. Koordinat-koordinat ( ) dari titik terminal dinamakan komponen-komponen dari dan kita menliskannya sebagai ( ) Gambar.

4 Operasi penambahan ektor dan operasi perkalian oleh skalar sangat mdah ntk dilaksanakan di dalam komponen-komponen seperti yang dilkiskan dalam gambar.5 jika ( ) dan ( ) maka ( ) Gambar.5 Jika ( ) dan k adalah sebarang skalar maka dengan menggnakan argmental geometrik yang melibatkan segitiga-segitiga yang serpa dapat diperlihatkan baha k (k k ) (gambar.6) Gambar.6

5 . NORMA VEKTOR; ILMU HITUNG VEKTOR Teorema. Jika (... n ) (... n ) dan (... n ) adalah ektor n ektor pada R dan k serta l adalah skalar maka : (a) (b) ( ) ( ) (c) (d) (-) yakni (e) k(l) (kl) (f) k( ) k k (g) (k l) k l (h) l (Ingat: adalah skalar bernilai ) Panjang sebah ektor seringkali dinamakan norma dari dan dinyatakan dengan. Jelaslah dari teorema Phythagoras baha norma sebah ektor ( ) di dalam rang- adalah Jika adalah ektor dalam rang- maka (gambar.7) Gambar.7 Jika P (x y z ) dan P (x y z ) adalah da titik didalam rang- maka jarak diantara keda titik tersebt adalah norma ektor P P (gambar.8) P P z ( x x y y z ) 5

6 Maka jelaslah baha d ( x x ) ( y y ) ( z ) z Gambar.8 n Jika (... n ) dan (... n ) adalah sembarang ektor pada R maka hasil kali dalam Eclidis (Eclidis inner prodct). kita definisikan dengan. ( ) n n. RUANG -n EUCLIDIS Definisi. Jika V adalah sebah rang hasil kali dalam maka norma (ata panjang) ektor dinyatakan oleh dan didefinisikan oleh Definisi. Jika V adalah sebah rang hasil kali dalam maka jarak antara da titik (ektor) dan dinyatakan oleh d() dan didefinisikan oleh d() 6

7 Teorema. Jika dan adalah ektor pada n R dan k adalah sembarang skalar maka : a).. b) ( )... c) (k). k(. ) d). Selanjtnya. jika dan hanya jika. RUANG VEKTOR UMUM Misalkan V sebarang himpnan benda yang da operasinya kita definisikan yakni penambahan dan perkalian dengan skalar (bilangan riil). Penambahan tersebt kita pahami ntk mengasosiasikan sebah atran dengan setiap pasang benda dan dalam V yang mengandng elemen yang kita namakan jmlah dan ; dengan perkalian skalar kita artikan atran ntk mengasosiasikannya baik ntk setiap skalar k mapn setiap benda pada V yang mengandng elemen k yang dinamakan perkalian scalar (scalar mltiple) oleh k. Jika aksioma aksioma berikt dipenhi oleh sema benda pada V dan oleh sema skalar k dan l maka kita namakan V sebah rang ector (ector space) dan benda benda pada V kita namakan ector: a) Jika dan adalah benda benda pada V maka berada di V. b) c) ( ) ( ) d) ada sebah benda di V sehingga ntk sema di V. e) Untk setiap di V ada sebah benda di V yang kita namakan negatif sehingga (-) (-). f) Jika k adalah sebarang skalar dan adalah sebarang benda di V maka k berada di V. g) k( ) k k h) (k l) k l i) k(l) (kl)() j) l 7

8 Teorema. Misalkan V adalah sebah rang ektor sebah ektor pada V dan k sebah skalar; maka : (a) (b) k (c) (-) - (d) jika k maka k ata.5 SUBRUANG Sbhimpnan W dari sebah rang ektor V dinamakan sbrang (sbspace) V jika W it sendiri adalah rang ektor di baah penambahan dan perkalian skalar yang didefinisikan pada V. Teorema. Jika W adalah himpnan dari sat ata lebih ektor dari sebah rang ektor V maka W adalah sbrang dari V jika dan hanya jika kondisi-kondisi berikt berlak. (a) Jika dan adalah ektor-ektor pada W maka terletak di W. (b) Jika k adalah sebarang skalar dan adalah sebarang ektor pada W maka k berada di W. Sebah ektor dinamakan kombinasi linear dari ektor-ektor... r jika ektor tersebt dapat dingkapkan dalam bentk k k... k r r dimana k k... k r adalah skalar. Contoh Perlihatkan baha (9 7) merpakan kombinasi linier dari ( -) dan (6 ). Tnjkkan pla baha ( - 8) bkan merpakan kombinasi linier dar ektor dan tersebt Jaab Spaya merpakan kombinasi linier dari dan maka hars ada skalar k dan k sehingga k k ; yakni 8

9 (9 7) k ( -) k (6 ) Penyamaan komponen-komponen yang bersesaian memberikan k k k 6k k k Dengan memecahkan sistem ini akan menghasilkan k - k sehingga Demikian jga spaya merpakan kombinasi linier dari dan maka hars ada skalar k dan k sehingga k k ; yakni ( - 8) k ( -) k (6 ) Penyamaan komponen-komponen yang bersesaian memberikan 9 7 k k k 6k k k 8 Sistem-sistem persamaan ini tidak konsisten (bktikan) sehingga tidak ada skalar k dan k yang memenhi k k. Dengan demikian jelas bkanlah kombinasi linier dari dan. Definisi. Jika... r adalah ektor-ektor pada rang ektor V dan jika masingmasing ektor pada V dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear... r maka kita mengatakan baha ektor-ektor ini merentang V. Teorema 5. Jika... r adalah ektor-ektor pada rang ektor V maka : (a) Himpnan W dari sema kombinasi linear... r adalah sbrang V. (b) W adalah sbrang terkecil dari V yang mengandng... r dalam arti baha setiap sbrang lain dari V yang mengandng... r hars mengandng W. 9

10 .6 KEBEBASAN LINEAR Jika S {... r } adalah himpnan ektor maka persamaan ektor k k... k r r mempnyai paling sedikit sat pemecahan yakni k k... k r Jika ini adalah sat-satnya pemecahan maka S kita namakan himpnan bebas linear (linearly independent). Jika ada pemecahan lain maka S kita namakan himpnan tak bebas linear (linearly dependent). Contoh. Himpnan ektor-ektor S { } dengan ( 5 -) (7-5 8) adalah himpnan tak bebas linier karena Teorema 6. Himpnan S dengan da ektor ata lebih adalah (a) Tak bebas linear jika dan hanya jika paling tidak sat diantara anggota himpnan ektor S dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari anggota himpnan ektor S lainnya. (b) Bebas linear jika tidak ada anggota himpnan ektor S yang dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dalam anggota himpnan ektor S lainnya. Teorema 7. (a) Jika sebah himpnan mengandng ektor nol maka himpnan it takbebas linear. (b) Sebah himpnan yang mempnyai persis da ektor takbebas linear jika dan hanya jika salah sat dari ektor it adalah perkalian dari skalar lainnya. Teorema 8. Misalkan S {... r } adalah himpnan ektor-ektor pada R n. Jika r > n maka S takbebas linear.

11 .7 BASIS DAN DIMENSI Jika V adalah sebarang rang ektor dan S {... r } merpakan himpnan berhingga dari ektor-ektor pada V maka S kita namakan basis ntk V jika (a) S bebas linear ; (b) S merentang V Contoh Misalkan ( ) ( 9 ) dan ( ). Perlihatkanlah baha himpnan S { } adalah basis ntk R. Jaab. Untk memperlihatkan baha S merentang R maka hars ditnjkkan baha sembarang ektor b (b b b ) dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier b k k k dari ektor-ektor S. Dengan menyatakan persamaan ini dalam komponenkomponennya maka akan memberikan (b b b ) k ( ) k ( 9 ) k ( ) ata (b b b ) (k k k k 9k k k k ) ata k k k k 9k k k k b b b Jadi ntk memperlihatkan baha S merentang V maka kita hars perlihatkan baha sistem persamaan (.) mempnyai pemecahan ntk sema pilihan b (b b b ). Untk membktikan S bebas linier (BL) hars ditnjkkan baha sat-satnya pemecahan dari. k k k adalah k k k..

12 Seperti sebelmnya jika persamaan. dinyatakan dalam komponenkomponennya maka pembktian BL akan diredksi menjadi pembktian baha sistem tersebt homogen yait 9 k k k k k k k k yang hanya mempnyai pemecahan triial. Perhatikan baha persamaan (.) dan (.) mempnyai matriks koefisien yang sama. Selanjtnya tinja kembali bagian (a) (b) dan (d) dari teorema handot kliah pada bagian Hasil Selanjtnya mengenai Sistem Persamaan dan Keterbalikan (ata Hoard Anton teorema 5 pada bagian.7). Menrt bagian tersebt jelas secara serempak dapat dibktikan baha S bebas linier dan merentang R dengan memperlihatkan baha matriks koefisien 9 A pada persamaan (.) dan (.) dapat dibalik (mempnyai inerse). Hal ini sama dengan membktikan baha det (A) yait ( ) 9 det A Jelas karena det (A) maka menrt A dapat dibalik. Jadi S adalah sebah basis ntk R. Contoh Misalkan M M M dan M Himpnan S [M M M M ] adalah sebah basis ntk rang ektor M dari matriks-matriks x. Untk melihat baha S merentang M perhatikanlah baha sebah ektor khas (matriks)

13 d c b a dapat kita tlis sebagai dm cm bm am d c b a d c b a Untk melihat baha S bebas linier anggaplah baha dm cm bm am yakni d c b a maka d c b a Jadi a b c d sehingga S bebas linier Basis S dalam contoh ini disebt basis bak ntk M. Definisi. Sebah rang ektor taknol V dinamakan berdimensi berhingga (finite dimensional) jika rang ektor tersebt mengandng sebah himpnan berhingga dari ektor-ektor {... n } yang membentk sebah basis. Jika tidak ada himpnan seperti it maka V dinamakan berdimensi takberhingga (infinite dimensionel). Tambahan lagi kita akan menganggap rang ektor nol sebagai rang ektor berdimensi berhingga alapn rang ektor tersebt tidak mempnyai himpnan bebas linear sehingga basis pn tidak ada. Teorema 9. Jika S {... n } adalah basis ntk rang ektor V maka setiap himpnan dengan lebih dari n ektor adalah takbebas linear.

14 Teorema. Sebarang da basis ntk rang ektor berdimensi berhingga mempnyai jmlah ektor yang sama. Dimensi sebah rang ektor V yang berdimensi berhingga didefinisikan sebagai banyaknya ektor pada basis ntk V Tambahan lagi kita mendefinisikan rang ektor nol mempnyai dimensi nol. Teorema. (a) Jika S {... n } adalah sebah himpnan n ektor bebas linear pada sebah rang V yang berdimensi n maka S adalah sebah basis ntk V. (b) Jika S {... n } adalah sebah himpnan n ektor yang merentang rang V yang berdimensi n maka S adalah basis ntk V. (c) Jika S {... n } adalah sebah himpnan bebas linear pada rang V yang berdimensi n dan r < n maka S dapat diperbesar menjadi basis ntk V ; yakni ektor-ektor r... n sehingga {... r r... n } adalah sebah basis ntk V..8 RUANG BARIS DAN KOLOM MATRIKS; RANK; PENERAPAN TERHADAP PENCARIAN BASIS Tinjalah matriks m x n a a A am a a a m a a a n n mn Vektor-ektor

15 r r r m ( a a an ) ( a a a ) ( a a a ) m m n mn terbentk dari baris-baris A yang kita namakan ektor-ektor baris A dan ektorektor c a a a m c a a a m... c a a a m terbentk dari kolom-kolom A yang kita namakan ektor-ektor kolom A. Sbrang R n yang direntang oleh ektor-ektor baris yang kita namakan rang baris (ro space) A dan sbrang R m yang direntang oleh ektor-ektor kolom kita namakan rang kolom (colmn space) A. Contoh 5 Misalkan A Vektor-ektor baris A adalah r ( ) dan r ( - ) Vektor-ektor kolom A adalah c c dan c Teorema. Operasi baris elementer tidak mengbah rang baris sebah matriks. Teorema. Vektor-ektor baris taknol berbentk eselon baris dari matriks A membentk basis ntk rang baris A. 5

16 Contoh 6. Carilah sebah basis ntk rang yang direntang oleh ektor-ektor ( - ) ( ) ( 5 5 ) ( ) Jaab. Rang yang direntang oleh ktor-ektor ini adalah rang baris dari matriks Dengan meredksi matriks ini menjadi bentk eselon baris (bktikan sendiri!) didapatkan Vektor-ektor baris taknol pada matriks ini adalah ( - ) ( ) dan ( ) Vektor-ektor ini membentk basis bagi rang baris tersebt dan sebagai konsekensinya maka akan membentk basis ntk rang yang direntang oleh dan Teorema. Jika A adalah sebarang matriks maka rang baris dan rang kolom A mempnyai dimensi yang sama. Dimensi rang baris dan rang kolom matriks A dinamakan rank A dan dinyatakan dengan rank (A). 6

17 Teorema 5. Jika A adalah matriks n x n maka pernyataan-pernyataan berikt ekialen sat sama lain. (a) A dapat dibalik. (b) A x hanya mempnyai pemecahan triial. (c) A ekialen baris dengan I n. (d) A x b konsisten ntk tiap-tiap matriks b yang berkran n x. (e) det(a). (f) A mempnyai rank n. (g) Vektor-ektor baris A bebas linear. (h) Vektor-ektor kolom A bebas linear. Teorema 6. Sebah sistem persamaan linear Ax b adalah konsisten jika dan hanya jika b berada pada rang kolom A. Teorema 7. Sebah sistem persamaan linear Ax b akan konsisten jika dan hanya jika rank dari matriks koefisien A sama dengan rank dari matriks yang diperbesar [A b]. Teorema 8. Jika Ax b adalah sistem linear konsisten dari m persamaan n bilangan takdiketahi dan jika A mempnyai rank r maka pemecahan sistem tersebt mengandng n r parameter..9 RUANG HASIL KALI DALAM Sebah hasil kali dalam (inner prodct) pada rang ektor riil V adalah fngsi yang mengasosiasikan bilangan riil dengan masing-masing pasangan ektor dan pada V sedemikian rpa sehingga aksioma-aksioma 7

18 berikt dipenhi ntk sema ektor dan di V dan jga ntk sema skalar k. ) (aksioma simetri) ) (aksioma penambahan) ) k k (aksioma kehomogenan) ) ; dan (aksioma kepositifan) jika dan hanya jika Sebah rang ektor riil dengan sebah hasil kali dalam dinamakan rang hasil kali dalam riil (real prodct space). Teorema 9. Jika dan adalah ektor-ektor pada rang hasil kali dalam riil dan k sebarang skalar maka (a) (b) (c) k k. PANJANG DAN SUDUT DI RUANG HASIL KALI DALAM Di R panjang ektor ( ) diberikan oleh yang dapat kita tliskan dalam ras-ras hasil kali dalam titik sebagai ( ) Dengan cara yang sama jika ( ) adalah ektor di R maka ( ) Selanjtnya diperoleh definisi berikt Definisi. Jika V adalah sebah rang hasil kali dalam maka norma (ata panjang) ektor dinyatakan oleh dan didefinisikan oleh 8

19 Definisi. Jika V adalah sebah rang hasil kali dalam maka jarak antara da titik (ektor) dan dinyatakan oleh d() dan didefinisikan oleh d ( ) Contoh 7. Jika (... n ) dan (... n ) adalah ektor pada Rn dengan hasil kali dalam Eclidis maka n dan d ( ) ( ) ( ) ( ) n n Amatilah baha persamaan ini tak lain dari rms bak ntk norma Eclidis dan jarak yang dibahas pada sb bab Rang-n Eclidis. Teorema. (Ketaksamaan Cachy-Scharz). Jika dan adalah ektor pada sebah rang hasil kali dalam maka Berikt adalah tinjaan terhadap sifat-sifat yang paling penting dari panjang Eclidis dan jarak Eclidis dalam R dan R dalam bentk tabel Sifat-sifat dasar panjang (L) L. D. ( ) L. jika dan hanya jika L. k D. ( ) Sifat-sifat dasar jarak (D) d k D. d ( ) d( ) L. (ketaksamaan segitiga) d jika dan hanya jika D. d ( ) d( ) d( ) (ketaksamaan segitiga) 9

20 Teorema beriktnya akan mengaki definisi-definisi mengenai normal dan jarak pada rang hasil kali dalam Teorema. Jika V adalah rang hasil kali dalam maka norma dan jarak d() memenhi sema sifat yang didaftarkan pada tabel di atas. Definisi. Dalam rang hasil kali dalam da ektor dan dinamakan ortogonal jika. Selanjtnya jika ortogonal terhadap setiap ektor pada himpnan W maka kita katakan baha ortogonal terhadap W. Teorema. (Teorema Pythagoras yang digeneralisasi). Jika dan adalah ektorektor ortogonal pada rang hasil kali dalam maka. BASIS ORTONORMAL; PROSES GRAM-SCHMIDT Definisi. Sebah himpnan ektor pada rang hasil kali dalam dinamakan himpnan ortogonal jika sema pasangan ektor-ektor yang berada dalam himpnan tersebt ortogonal. Sebah himpnan ortogonal yang setiap ektornya mempnyai norma dinamakan ortonormal. Contoh 8 Misalkan ( ) dan Himpnan S {... n } ortonormal jika R mempnyai hasil kali dalam Eclidis karena dan

21 Jika adalah ektor taknol pada rang hasil kali dalam maka menrt sifat L dari teorema ektor mempnyai norma karena Proses pengalian ektor taknol ini dengan kebalikan panjangnya ntk mendapatkan ektor yang normanya dinamakan menormalisasikan. Himpnan ortogonal dari ektor taknol selal dapat dikonersikan terhadap ortonormal dengan menormalisasikan ektornya masing-masing Contoh 9 Himpnan S { } dimana ( ) ( ) dan ( -) adalah ortogonal karena. Karena dan dengan menormalisasikan masing-masing ektornya akan menghasilkan himpnan ortonormal pada contoh 8 Teorema. Jika S {... n } adalah basis ortonormal ntk rang hasil kali dalam V dan adalah sebarang ektor dalam V maka n n Teorema. Jika S {... n } adalah himpnan ortogonal ektor taknol dalam rang hasil kali dalam maka S bebas linear.

22 Teorema 5. Misalkan V adalah rang hasil kali dalam dan {... n } adalah himpnan ortonormal dari ektor-ektor V. Jika W menyatakan rang yang direntang oleh... n maka setiap ektor dalam V dapat dingkapkan dalam bentk dimana terletak di W dan ortogonal terhadap W dengan memisalkan n n. dan n n. (Lihat gambar.9 ntk melkiskannya pada R ) W Gambar.9 Menrt gambar.9 maka kita namakan sebagai proyeksi ortogonal pada W dan menyatakannya dengan proy. Vektor - proy kita namakan komponen yang ortogonal terhadap W. Dengan notasi ini rms (.) dan (.) dapat ditliskan sebagai proy (proyeksi ortogonal pada W) n n.5 proy (komponen ortogonal terhadap W) n n.6

23 Contoh. Misalkan R mempnyai hasil kali dalam Eclidis dan misalkan W adalah sbrang yang direntang oleh ektor-ektor ortonormal ( ) ( ) 5 5. Proyeksi ortogonal ( ) pada W adalah dan proy ()( ) ( )( ) ( ) Komponen yang ortogonal terhadap W adalah Perhatikanlah baha 8 ( ) ( ) ( ) proy 5 5 proy ortogonal baik terhadap mapn sehingga ektor ini ortogonal terhadap setiap ektor para rang W yang direntang oleh dan sebagai mana yang diharapkan. 5 5 Teorema 6. Setiap rang hasil kali dalam berdimensi berhingga taknol mempnyai sebah basis ortonormal. Misalkan V adalah sebarang rang hasil kali dalam berdimensi berhingga taknol dan misalkan S {... n } adalah sebarang basis ntk V. Urtan langkah-langkah berikt akan menghasilkan basis ortonormal {... n } ntk V Proses Gram-Schmidt Langkah. Misalkan. Vektor mempnyai norma. Langkah. Bat/bangn ektor yang normanya yang ortogonal terhadap. Caranya adalah hitng komponen yang ortogonal terhadap rang W yang direntang oleh dan kemdian normalisasikanlah komponen tersebt; yakni proy proy

24 - proy W proy Gambar. Langkah. Bat/bangn ektor yang normanya yang ortogonal terhadap mapn. Caranya adalah hitng komponen yang ortogonal terhadap rang W yang direntang oleh dan dan menormalisasikannya (gambar...); yakni proy proy - proy proy W Gambar. Langkah. Bat/bangn ektor yang normanya yang ortogonal terhadap dan. Caranya adalah hitng komponen yang ortogonal terhadap rang W yang direntang oleh dan dan menormalisasikannya. Jadi

25 5 proy proy Dengan menerskannya dalam cara ini kita akan mendapatkan himpnan ortonormal dari ektor-ektor {... n }. Karena V berdimensi n dan karena setiap himpnan ortonormal bebas linier maka himpnan {... n }akan merpakan basis ortonormal ntk V. Pembentkan langkah demi langkah diatas ntk mengbah sembarang basis ke basis ortonormal dinamakan proses Gram-Schmidt diperlihatkan baha pada masing-masing tahapan proses ini ektor-ektor... k membentk basis ortonormal ntk sbrang yang direntang oleh... k Contoh. Tinjalah rang ektor R dengan hasil kali dalam Eclidis. Terapkanlah proses Gram-Schmidt ntk mentransformasikan basis ( ) ( ) dan ( ) ke dalam basis ortonormal. Jaab Langkah. ( ) Langkah. ( ) proy Maka proy proy

26 6 Langkah. ( ) proy Maka proy proy Jadi membentk basis ortonormal ntk R.. EIGEN DAN VEKTOR EIGEN Jika A adalah matriks n x n sering kita jmpai tidak ada hbngan geometrik yang nyata diantara ektor x dan bayangannya Ax di baah perkalian oleh A (gambar. a). Akan tetapi ada beberapa ektor tak nol yang sering memetakan A ke dalam skalar dengan perkalian skalarnya sendiri (Gambar.b). Pada bagian ini akan ditnjkkan bagaimana mencari ektor-ektor ini. Gambar. Definisi. Jika A adalah matriks n x n maka ektor taknol x di dalam R n dinamakan ektor eigen (eigenector) dari A jika Ax adalah kelipatan skalar Ax Ax (a) (b)

27 dari x yakni Ax λx ntk sat skalar λ. Skalar λ dinamakan nilai eigen (eigenale) dari A dan x dikatakan ektor eigen yang bersesaian Contoh. Vektor x adalah ektor eigen dari A yang bersesaian 8 dengan nilai eigen λ karena Ax x 8 6 Untk mencari nilai eigen matriks A yang berkran n x n maka dapat ditliskan kembali Ax λx sebagai Ax λix ata secara ekialen ( λ I A) x Spaya menjadi nilai eigen maka hars ada pemecahan tak nol dari persamaan ini. Menrt teorema 5 bagian Rang Baris dan Kolom Matriks; Rank; Penerapan terhadap Pencarian Basis maka persamaan (.) akan mempnyai pemecahan tak nol jika dan hanya jika ( λ I A) det Ini dinamakan persamaan karakteristik A; skalar yang memenhi persamaan ini adalah nilai eigen dari A.. Contoh Carilah nilai-nilai eigen dari matriks Jaab. A λ Karena λi A λ maka polinom karakteristik dari A adalah λ 7

28 λ det( λi A) det λ λ λ dan persamaan karakteristik dari A adalah λ λ Pemecahan-pemecahan persamaan ini adalah λ dan λ ; inilah nilainilai eigen dari A. Contoh Carilah nilai-nilai eigen dari A 7 8 Jaab. Sebagaimana contoh-contoh terdahl maka det λ λ 8 ( λi A) det λ λ 8λ 7λ 7 Maka nilai-nilai eigen dari A hars memenhi persamaan pangkat tiga λ 8λ 7λ dengan memecahkan persamaan ini maka diperoleh pemecahan nilai-nilai eigen dari A adalah (Bktikan sendiri!) λ λ dan λ. Teorema. Jika A adalah matriks n x n maka pernyataan-pernyataan berikt ekialen sat sama lain (a) λ adalah nilai eigen dari A (b) Sistem persamaan (λi - A)x mempnyai pemecahan yang taktriial (c) Ada ektor taknol x di dalam R n sehingga Ax λx (d) λ adalah pemecahan riil dari persamaan karakteristik det (λi - A) 8

ALJABAR LINEAR (Vektor diruang 2 dan 3) Disusun Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Aljabar Linear Dosen Pembimbing: Abdul Aziz Saefudin, M.

ALJABAR LINEAR (Vektor diruang 2 dan 3) Disusun Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Aljabar Linear Dosen Pembimbing: Abdul Aziz Saefudin, M. ALJABAR LINEAR (Vektor dirang 2 dan 3) Dissn Untk Memenhi Tgas Mata Kliah Aljabar Linear Dosen Pembimbing: Abdl Aziz Saefdin, M.Pd Dissn Oleh : Kelompok 3/3A4 1. Nrl Istiqomah 14144100130 2. Ambar Retno

Lebih terperinci

CHAPTER 6. INNER PRODUCT SPACE

CHAPTER 6. INNER PRODUCT SPACE CHAPTER 6. INNER PRODUCT SPACE Inner Prodcts Angle and Orthogonality in Inner Prodct Spaces Orthonormal Bases; Gram-Schmidt Process; QR-Decomposition Best Approximation; Least Sqares Orthogonal Matrices;

Lebih terperinci

Bab 5 RUANG HASIL KALI DALAM

Bab 5 RUANG HASIL KALI DALAM Bab 5 RUANG HASIL KALI DALAM 5 Hasil Kali Dalam Untk memotiasi konsep hasil kali dalam diambil ektor di R dan R sebagai anak panah dengan titik awal di titik asal O = ( ) Panjang sat ektor x di R dan R

Lebih terperinci

Trihastuti Agustinah

Trihastuti Agustinah TE 9467 Teknik Nmerik Sistem Linear Trihastti Agstinah Bidang Stdi Teknik Sistem Pengatran Jrsan Teknik Elektro - FTI Institt Teknologi Seplh Nopember O U T L I N E OBJEKTIF TEORI CONTOH 4 SIMPULAN 5 LATIHAN

Lebih terperinci

Trihastuti Agustinah

Trihastuti Agustinah TE 9467 Teknik Nmerik Sistem Linear Trihastti Agstinah Bidang Stdi Teknik Sistem Pengatran Jrsan Teknik Elektro - FTI Institt Teknologi Seplh Nopember O U T L I N E. Objektif. Teori. Contoh 4. Simplan

Lebih terperinci

Bab 5 RUANG HASIL KALI DALAM

Bab 5 RUANG HASIL KALI DALAM Bab 5 RUANG HASIL KALI DALAM 5 Hasil Kali Dalam Untk memotiasi konsep hasil kali dalam diambil ektor di R dan R sebagai anak panah dengan titik awal di titik asal O ( ) Panjang sat ektor x di R dan R dinamakan

Lebih terperinci

PANJANG DAN JARAK VEKTOR PADA RUANG HASIL KALI DALAM. V, yang selanjutnya dinotasikan dengan v, didefinisikan:

PANJANG DAN JARAK VEKTOR PADA RUANG HASIL KALI DALAM. V, yang selanjutnya dinotasikan dengan v, didefinisikan: PANJANG DAN JARAK VEKTOR PADA RUANG HASIL KALI DALAM Perl diingat kembali definisi panjang dan jarak sat ektor pada rang hasil kali dalam Eclid, yait rnag ektor yang hasil kali dlamnya didefinisikan sebagai

Lebih terperinci

HASIL KALI TITIK DAN PROYEKSI ORTOGONAL SUATU VEKTOR (Aljabar Linear) Oleh: H. Karso FPMIPA UPI

HASIL KALI TITIK DAN PROYEKSI ORTOGONAL SUATU VEKTOR (Aljabar Linear) Oleh: H. Karso FPMIPA UPI HASIL KALI TITIK DAN PROYEKSI ORTOGONAL SUATU VEKTOR (Aljabar Linear) Oleh: H. Karso FPMIPA UPI A. Hasil Kali Titik (Hasil Kali Skalar) Da Vektor. Hasil Kali Skalar Da Vektor di R Perkalian diantara da

Lebih terperinci

Aljabar Linear Elementer

Aljabar Linear Elementer Aljabar Linear Elementer MA SKS Silabs : Bab I Matriks dan Operasinya Bab II Determinan Matriks Bab III Sistem Persamaan Linear Bab IV Vektor di Bidang dan di Rang Bab V Rang Vektor Bab VI Rang Hasil Kali

Lebih terperinci

Mata Kuliah: Aljabar Linier Dosen Pengampu: Darmadi, S. Si, M. Pd

Mata Kuliah: Aljabar Linier Dosen Pengampu: Darmadi, S. Si, M. Pd . RUANG BERDIMENSI n EUCLIDIS Mata Kliah: Aljabar Linier Dosen Pengamp: Darmadi S. Si M. Pd Dissn oleh: Kelompok Pendidikan Matematika VA. Abdl Fajar Sidiq (8.). Lilies Prwanti (8.76). Ristinawati (8.)

Lebih terperinci

PENYELESAIAN LUAS BANGUN DATAR DAN VOLUME BANGUN RUANG DENGAN KONSEP DETERMINAN

PENYELESAIAN LUAS BANGUN DATAR DAN VOLUME BANGUN RUANG DENGAN KONSEP DETERMINAN Bletin Ilmiah Math. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volme xx, No. x (tahn), hal xx xx. PENYELESAIAN LUAS BANGUN DATAR DAN VOLUME BANGUN RUANG DENGAN KONSEP DETERMINAN Doni Saptra, Helmi, Shantika Martha

Lebih terperinci

BAB III LIMIT DAN FUNGSI KONTINU

BAB III LIMIT DAN FUNGSI KONTINU BAB III LIMIT DAN FUNGSI KONTINU Konsep it mempnyai peranan yang sangat penting di dalam kalkls dan berbagai bidang matematika. Oleh karena it, konsep ini sangat perl ntk dipahami. Meskipn pada awalnya

Lebih terperinci

Trihastuti Agustinah. TE Teknik Numerik Sistem Linear

Trihastuti Agustinah. TE Teknik Numerik Sistem Linear E 09467 eknik Nmerik Sistem Linear rihastti Agstinah Bidang Stdi eknik Sistem Pengatran Jrsan eknik Elektro - FI Institt eknologi Seplh Nopember O U L I N E OBJEKIF EORI 3 CONOH 4 SIMPULAN 5 LAIHAN OBJEKIF

Lebih terperinci

MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan

MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gnawan Semester II, 2016/2017 3 Maret 2017 Kliah yang Lal 10.1-2 Parabola, Elips, dan Hiperbola 10.4 Persamaan Parametrik Kra di Bidang 10.5 Sistem Koordinat Polar 11.1 Sistem

Lebih terperinci

Aljabar Linear Elementer

Aljabar Linear Elementer Aljabar Linear Elementer MA SKS Silabs : Bab I Matris dan Operasinya Bab II Determinan Matris Bab III Sistem Persamaan Linear Bab IV Vetor di Bidang dan di Rang Bab V Rang Vetor Bab VI Rang Hasil Kali

Lebih terperinci

NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN disebut vektor eigen dari matriks A =

NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN disebut vektor eigen dari matriks A = NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN >> DEFINISI NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN Jika A adalah sebuah matriks n n, maka sebuah vektor taknol x pada R n disebut vektor eigen (vektor karakteristik) dari A jika Ax adalah

Lebih terperinci

Hasil Kali Titik. Dua Operasi Vektor. Sifat-sifat Hasil Kali Titik. oki neswan (fmipa-itb)

Hasil Kali Titik. Dua Operasi Vektor. Sifat-sifat Hasil Kali Titik. oki neswan (fmipa-itb) oki neswan (fmipa-itb) Da Operasi Vektor Hasil Kali Titik Misalkan OAB adalah sebah segitiga, O (0; 0) ; A (a 1 ; a ) ; dan B (b 1 ; b ) : Maka panjang sisi OA; OB; dan AB maing-masing adalah q joaj =

Lebih terperinci

Ruang Vektor. Kartika Firdausy UAD blog.uad.ac.id/kartikaf. Ruang Vektor. Syarat agar V disebut sebagai ruang vektor. Aljabar Linear dan Matriks 1

Ruang Vektor. Kartika Firdausy UAD blog.uad.ac.id/kartikaf. Ruang Vektor. Syarat agar V disebut sebagai ruang vektor. Aljabar Linear dan Matriks 1 Ruang Vektor Kartika Firdausy UAD blog.uad.ac.id/kartikaf Syarat agar V disebut sebagai ruang vektor 1. Jika vektor vektor u, v V, maka vektor u + v V 2. u + v = v + u 3. u + ( v + w ) = ( u + v ) + w

Lebih terperinci

Hendra Gunawan. 5 Maret 2014

Hendra Gunawan. 5 Maret 2014 MA101 MATEMATIKA A Hendra Gnawan Semester II, 013/014 5 Maret 014 Kliah yang Lal 10.1 Parabola, aboa, Elips, danhiperbola a 10.4 Persamaan Parametrik Kra di Bidang 10.5 Sistem Koordinat Polar 11.1 Sistem

Lebih terperinci

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS VETERAN BANGUN NUSANTARA SUKOHARJO

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS VETERAN BANGUN NUSANTARA SUKOHARJO PERANGKAT PEMBELAJARAN MATA KULIAH : ALJABAR LINIER 2 KODE : MKK414515 DOSEN PENGAMPU : Annisa Prima Exacta, M.Pd. PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS

Lebih terperinci

RUANG VEKTOR. Nurdinintya Athari (NDT)

RUANG VEKTOR. Nurdinintya Athari (NDT) 1 RUANG VEKTOR Nurdinintya Athari (NDT) RUANG VEKTOR Sub Pokok Bahasan Ruang Vektor Umum Subruang Basis dan Dimensi Basis Subruang Beberapa Aplikasi Ruang Vektor Beberapa metode optimasi Sistem kontrol

Lebih terperinci

BAB III RUANG VEKTOR R 2 DAN R 3. Bab ini membahas pengertian dan operasi vektor-vektor. Selain

BAB III RUANG VEKTOR R 2 DAN R 3. Bab ini membahas pengertian dan operasi vektor-vektor. Selain BAB III RUANG VEKTOR R DAN R 3 Bab ini membahas pengertian dan operasi ektor-ektor. Selain operasi aljabar dibahas pula operasi hasil kali titik dan hasil kali silang dari ektor-ektor. Tujuan Instruksional

Lebih terperinci

BEBERAPA SIFAT JARAK ROTASI PADA POHON BINER TERURUT DAN TERORIENTASI

BEBERAPA SIFAT JARAK ROTASI PADA POHON BINER TERURUT DAN TERORIENTASI JRISE, Vol.1, No.1, Febrari 2014, pp. 28~40 ISSN: 2355-3677 BEBERAPA SIFA JARAK ROASI PADA POHON BINER ERURU DAN ERORIENASI Oleh: Hasniati SMIK KHARISMA Makassar hasniati@kharisma.ac.id Abstrak Andaikan

Lebih terperinci

Pengantar Vektor. Besaran. Vektor (Mempunyai Arah) Skalar (Tidak mempunyai arah)

Pengantar Vektor. Besaran. Vektor (Mempunyai Arah) Skalar (Tidak mempunyai arah) Pengantar Vektor Besaran Skalar (Tidak mempunyai arah) Vektor (Mempunyai Arah) Vektor Geometris Skalar (Luas, Panjang, Massa, Waktu dan lain - lain), merupakan suatu besaran yang mempunyai nilai mutlak

Lebih terperinci

MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR TIM DOSEN 5 Ruang Vektor Ruang Vektor Sub Pokok Bahasan Ruang Vektor Umum Subruang Basis dan Dimensi Beberapa Aplikasi Ruang Vektor Beberapa metode optimasi Sistem Kontrol

Lebih terperinci

VEKTOR. Oleh : Musayyanah, S.ST, MT

VEKTOR. Oleh : Musayyanah, S.ST, MT VEKTOR Oleh : Msayyanah, S.ST, MT . ESRN SKLR DN VEKTOR Sifat besaran fisis : esaran Skalar Skalar Vektor esaran yang ckp dinyatakan oleh besarnya saja (besar dinyatakan oleh bilangan dan satan). Contoh

Lebih terperinci

Aljabar Linear Elementer

Aljabar Linear Elementer BAB I RUANG VEKTOR Pada kuliah Aljabar Matriks kita telah mendiskusikan struktur ruang R 2 dan R 3 beserta semua konsep yang terkait. Pada bab ini kita akan membicarakan struktur yang merupakan bentuk

Lebih terperinci

Operasi perkalian skalar merupakan suatu aturan yang mengasosiasikan setiap skalar k dan setiap objek u pada v dengan suatu objek ku, yang disebut

Operasi perkalian skalar merupakan suatu aturan yang mengasosiasikan setiap skalar k dan setiap objek u pada v dengan suatu objek ku, yang disebut RUANG VEKTOR REAL Aksioma ruang vektor, dinyatakan dlam definisi beikut, dimana aksiona merupakan aturan permainan dalam ruang vektor. Definisi : Jika V merupakan suatu himpunan tidak kosong dari objek

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

BAB II TINJAUAN PUSTAKA 5 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A Matriks 1 Pengertian Matriks Definisi 21 Matriks adalah kumpulan bilangan bilangan yang disusun secara khusus dalam bentuk baris kolom sehingga membentuk empat persegi panjang

Lebih terperinci

SUMMARY ALJABAR LINEAR

SUMMARY ALJABAR LINEAR SUMMARY ALJABAR LINEAR SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISIS UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2010 2 KATA PENGANTAR Bismillahirrahmanirrahim Segala puji bagi Allah Rabb semesta alam. Shalawat serta

Lebih terperinci

URUNAN PARSIAL. Definisi Jika f fungsi dua variable (x dan y) maka: atau f x (x,y), didefinisikan sebagai

URUNAN PARSIAL. Definisi Jika f fungsi dua variable (x dan y) maka: atau f x (x,y), didefinisikan sebagai 6 URUNAN PARSIAL Deinisi Jika ngsi da ariable maka: i Trnan parsial terhadap dinotasikan dengan ata dideinisikan sebagai ii Trnan parsial terhadap dinotasikan dengan ata dideinisikan sebagai Tentkan trnan

Lebih terperinci

7. NILAI-NILAI VEKTOR EIGEN. Nilai Eigen dan Vektor Eigen Diagonalisasi Diagonalisasi Ortogonal

7. NILAI-NILAI VEKTOR EIGEN. Nilai Eigen dan Vektor Eigen Diagonalisasi Diagonalisasi Ortogonal 7. NILAI-NILAI VEKTOR EIGEN Nilai Eigen dan Vektor Eigen Diagonalisasi Diagonalisasi Ortogonal Nilai Eigen, Vektor Eigen Diketahui A matriks nxn dan x adalah suatu vektor pada R n, maka biasanya tdk ada

Lebih terperinci

Eigen value & Eigen vektor

Eigen value & Eigen vektor Eigen value & Eigen vektor Hubungan antara vektor x (bukan nol) dengan vektor Ax yang berada di R n pada proses transformasi dapat terjadi dua kemungkinan : 1) 2) Tidak mudah untuk dibayangkan hubungan

Lebih terperinci

DIKTAT MATA KULIAH ALJABAR LINEAR ELEMENTER (BAGIAN II) DISUSUN OLEH ABDUL JABAR, M.Pd

DIKTAT MATA KULIAH ALJABAR LINEAR ELEMENTER (BAGIAN II) DISUSUN OLEH ABDUL JABAR, M.Pd DIKTAT MATA KULIAH ALJABAR LINEAR ELEMENTER (BAGIAN II) DISUSUN OLEH ABDUL JABAR, M.Pd JURUSAN/PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA STKIP PGRI BANJARMASIN MARET MUQADIMAH Alhamdulillah penyusun ucapkan

Lebih terperinci

BEBERAPA IDENTITAS PADA GENERALISASI BARISAN FIBONACCI ABSTRACT

BEBERAPA IDENTITAS PADA GENERALISASI BARISAN FIBONACCI ABSTRACT BEBERP IDENTITS PD GENERLISSI BRISN FIBONCCI Sri Melati 1, Mashadi, Msraini M 1 Mahasiswa Program Stdi S1 Matematika Dosen Jrsan Matematika Fakltas Matematika dan Ilm Pengetahan lam Universitas Ria Kamps

Lebih terperinci

BUKU AJAR METODE ELEMEN HINGGA

BUKU AJAR METODE ELEMEN HINGGA BUKU AJA ETODE EEEN HINGGA Diringkas oleh : JUUSAN TEKNIK ESIN FAKUTAS TEKNIK STUKTU TUSS.. Deinisi Umm Trss adalah strktr yang terdiri atas batang-batang lrs yang disambng pada titik perpotongan dengan

Lebih terperinci

Pengenalan Pola. Ekstraksi dan Seleksi Fitur

Pengenalan Pola. Ekstraksi dan Seleksi Fitur Pengenalan Pola Ekstraksi dan Seleksi Fitr PTIIK - 4 Corse Contents Collet Data Objet to Dataset 3 Ekstraksi Fitr 4 Seleksi Fitr Design Cyle Collet data Choose featres Choose model Train system Evalate

Lebih terperinci

BAB RELATIVITAS Semua Gerak adalah Relatif

BAB RELATIVITAS Semua Gerak adalah Relatif BAB RELATIVITAS. Sema Gerak adalah Relatif Sat benda dikatakan bergerak bila keddkan benda it berbah terhadap sat titik aan ata kerangka aan. Seorang penmpang kereta api yang sedang ddk di dalam kereta

Lebih terperinci

III PEMODELAN SISTEM PENDULUM

III PEMODELAN SISTEM PENDULUM 14 III PEMODELAN SISTEM PENDULUM Penelitian ini membahas keterkontrolan sistem pendlm, dengan menentkan model matematika dari beberapa sistem pendlm, dan dilakkan analisis dan menyederhanakan permasalahan

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI A. Matriks 1. Pengertian Matriks Definisi II.A.1 Matriks didefinisikan sebagai susunan persegi panjang dari bilangan-bilangan yang diatur dalam baris dan kolom. Contoh II.A.1: 9 5

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI BAB 2 LANDASAN TEORI Dalam bab ini akan diberikan beberapa materi yang akan diperlukan di dalam pembahasan, seperti: matriks secara umum; matriks yang dipartisi; matriks tereduksi dan taktereduksi; matriks

Lebih terperinci

Sebuah garis dalam bidang xy bisa disajikan secara aljabar dengan sebuah persamaan berbentuk :

Sebuah garis dalam bidang xy bisa disajikan secara aljabar dengan sebuah persamaan berbentuk : Persamaan Linear Sebuah garis dalam bidang xy bisa disajikan secara aljabar dengan sebuah persamaan berbentuk : a x + a y = b Persamaan jenis ini disebut sebuah persamaan linear dalam peubah x dan y. Definisi

Lebih terperinci

BAB IV TRANSFORMASI LINEAR. sebuah vektor yang unik di dalam W dengan sebuah vektor di dalam V, maka kita mengatakan F

BAB IV TRANSFORMASI LINEAR. sebuah vektor yang unik di dalam W dengan sebuah vektor di dalam V, maka kita mengatakan F BAB IV TRANSFORMASI LINEAR 4.. Transformasi Linear Jika V dan W adalah ruang vektor dan F adalah sebuah fungsi yang mengasosiasikan sebuah vektor yang unik di dalam W dengan sebuah vektor di dalam V, maka

Lebih terperinci

Aljabar Linier Elementer

Aljabar Linier Elementer Aljabar Linier Elementer Kuliah 15 dan 16 11/11/2014 1 Materi Kuliah Kebebasan Linier Basis dan Dimensi 11/11/2014 Yanita, Matematika Unand 2 5.3 Kebebasan Linier Definisi Jika S = v 1, v 2,, v r adalah

Lebih terperinci

BAB 5 RUANG VEKTOR A. PENDAHULUAN

BAB 5 RUANG VEKTOR A. PENDAHULUAN BAB 5 RUANG VEKTOR A. PENDAHULUAN 1. Definisi-1. Suatu ruang vektor adalah suatu himpunan objek yang dapat dijumlahkan satu sama lain dan dikalikan dengan suatu bilangan, yang masing-masing menghasilkan

Lebih terperinci

ALJABAR LINIER MAYDA WARUNI K, ST, MT ALJABAR LINIER (I)

ALJABAR LINIER MAYDA WARUNI K, ST, MT ALJABAR LINIER (I) ALJABAR LINIER MAYDA WARUNI K, ST, MT ALJABAR LINIER (I) 1 MATERI ALJABAR LINIER VEKTOR DALAM R1, R2 DAN R3 ALJABAR VEKTOR SISTEM PERSAMAAN LINIER MATRIKS, DETERMINAN DAN ALJABAR MATRIKS, INVERS MATRIKS

Lebih terperinci

81 Bab 6 Ruang Hasilkali Dalam

81 Bab 6 Ruang Hasilkali Dalam 8 Bab Rang Haslkal Dalam Bab RUANG HASIL KALI DALAM Rang hasl kal dalam merpakan rang ektor yang dlengkap dengan operas hasl kal dalam. Sepert halnya rang ektor rang haslkal dalam bermanfaat dalam beberapa

Lebih terperinci

METODE PANGKAT DAN METODE DEFLASI DALAM MENENTUKAN NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN DARI MATRIKS

METODE PANGKAT DAN METODE DEFLASI DALAM MENENTUKAN NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN DARI MATRIKS METODE PANGKAT DAN METODE DEFLASI DALAM MENENTUKAN NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN DARI MATRIKS Arif Prodi Matematika, FST- UINAM Wahyuni Prodi Matematika, FST-UINAM Try Azisah Prodi Matematika, FST-UINAM

Lebih terperinci

II. LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan dijelaskan mengenai teori-teori yang berhubungan dengan

II. LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan dijelaskan mengenai teori-teori yang berhubungan dengan II. LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dijelaskan mengenai teori-teori yang berhubungan dengan penelitian ini sehingga dapat dijadikan sebagai landasan berfikir dalam melakukan penelitian dan akan mempermudah

Lebih terperinci

ALJABAR LINEAR SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISIS

ALJABAR LINEAR SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISIS ALJABAR LINEAR SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISIS UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2010 2 KATA PENGANTAR Bismillahirrahmanirrahim Segala puji bagi Allah Rabb semesta alam Shalawat serta salam

Lebih terperinci

Penerapan Masalah Transportasi

Penerapan Masalah Transportasi KA4 RESEARCH OPERATIONAL Penerapan Masalah Transportasi DISUSUN OLEH : HERAWATI 008959 JAKA HUSEN 08055 HAPPY GEMELI QUANUARI 00890 INDRA MOCHAMMAD YUSUF 0800 BAB I PENDAHULUAN.. Pengertian Riset Operasi

Lebih terperinci

SOLUSI PENDEKATAN TERBAIK SISTEM PERSAMAAN LINEAR TAK KONSISTEN MENGGUNAKAN DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR

SOLUSI PENDEKATAN TERBAIK SISTEM PERSAMAAN LINEAR TAK KONSISTEN MENGGUNAKAN DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR Buletin Ilmiah Math. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 03, No. 1 (2014), hal 91 98. SOLUSI PENDEKATAN TERBAIK SISTEM PERSAMAAN LINEAR TAK KONSISTEN MENGGUNAKAN DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR Febrianti,

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

BAB II TINJAUAN PUSTAKA BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1. Logika Fzzy Pada awalnya sistem logika fzzy diperkenalkan oleh Profesor Lotfi A. Zadeh pada tahn 1965. Konsep fzzy bermla dari himpnan klasik (crisp) yang bersifat tegas ata

Lebih terperinci

uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasd fghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfg

uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasd fghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfg uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasd Qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty cvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq fghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfg

Lebih terperinci

BAB II DASAR DASAR TEORI

BAB II DASAR DASAR TEORI BAB II DASA DASA TEOI.. uang ruang Vektor.. uang Vektor Umum Defenisi dan sifat sifat sederhana Defenisi : Misalkan V adalah sebarang himpunan benda yang didefenisikan dua operasi, yakni penambahan perkalian

Lebih terperinci

Untuk pondasi tiang tipe floating, kekuatan ujung tiang diabaikan. Pp = kekuatan ujung tiang yang bekerja secara bersamaan dengan P

Untuk pondasi tiang tipe floating, kekuatan ujung tiang diabaikan. Pp = kekuatan ujung tiang yang bekerja secara bersamaan dengan P BAB 3 LANDASAN TEORI 3.1 Mekanisme Pondasi Tiang Konvensional Pondasi tiang merpakan strktr yang berfngsi ntk mentransfer beban di atas permkaan tanah ke lapisan bawah di dalam massa tanah. Bentk transfer

Lebih terperinci

Pertama, daftarkan kedua himpunan vektor: himpunan yang merentang diikuti dengan himpunan yang bergantung linear, perhatikan:

Pertama, daftarkan kedua himpunan vektor: himpunan yang merentang diikuti dengan himpunan yang bergantung linear, perhatikan: Dimensi dari Suatu Ruang Vektor Jika suatu ruang vektor V memiliki suatu himpunan S yang merentang V, maka ukuran dari sembarang himpunan di V yang bebas linier tidak akan melebihi ukuran dari S. Teorema

Lebih terperinci

Bab 4 RUANG VEKTOR. 4.1 Ruang Vektor

Bab 4 RUANG VEKTOR. 4.1 Ruang Vektor Bab RUANG VEKTOR. Ruang Vektor DEFINISI.. Suatu ruang vektor (V, +,, F) atas field (F, +), ditulis singkat V(F), adalah suatu himpunan tak kosong V dengan elemenelemennya disebut vektor, yang dilengkapi

Lebih terperinci

vektor ( MAT ) Disusun Oleh : Drs. Pundjul Prijono Nip

vektor ( MAT ) Disusun Oleh : Drs. Pundjul Prijono Nip MODUL MATEMATIKA SMA ektr ( MAT..4 ) Dissn Oleh : Drs. Pndjl Prijn Nip. 95807.980..00 PEMERINTAH KOTA MALANG DINAS PENDIDIKAN SMA NEGERI 6 Jalan Mayjen Sngkn N. 58 Telp. (04) 7506 Malang Mdl..4 VEKTOR

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI 5 BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Matriks Matriks (matrix) adalah jajaran empat persegi panjang dan bilanganbilangan. Bilangan-bilangan dalam jajaran tersebut disebut entri dari matriks. Berikut ini beberapa

Lebih terperinci

BAB III 3. METODOLOGI PENELITIAN

BAB III 3. METODOLOGI PENELITIAN BAB III 3. METODOLOGI PENELITIAN 3.1. PROSEDUR ANALISA Penelitian ini merpakan sebah penelitian simlasi yang menggnakan bantan program MATLAB. Adapn tahapan yang hars dilakkan pada saat menjalankan penlisan

Lebih terperinci

RUANG VEKTOR UMUM AKSIOMA RUANG VEKTOR

RUANG VEKTOR UMUM AKSIOMA RUANG VEKTOR 7//5 RUANG VEKTOR UMUM Yang dibahas.. Ruang vektor umum. Subruang. Hubungan dependensi linier 4. Basis dan dimensi 5. Ruang baris, ruang kolom, ruang nul, rank dan nulitas AKSIOMA RUANG VEKTOR V disebut

Lebih terperinci

8.1 Transformasi Linier Umum. Bukan lagi transformasi R n R m, tetapi transformasi linier dari

8.1 Transformasi Linier Umum. Bukan lagi transformasi R n R m, tetapi transformasi linier dari 8.1 Transformasi Linier Umum Bukan lagi transformasi R n R m, tetapi transformasi linier dari ruang vektor V vektor W. Definisi Jika T: V W adalah suatu fungsi dari suatu ruang vektor V ke ruang vektor

Lebih terperinci

DIKTAT PERKULIAHAN. EDISI 1 Aljabar Linear dan Matriks

DIKTAT PERKULIAHAN. EDISI 1 Aljabar Linear dan Matriks DIKTAT PERKULIAHAN EDISI 1 Aljabar Linear dan Matriks Penulis : Ednawati Rainarli, M.Si. Kania Evita Dewi, M.Si. JURUSAN TEKNIK INFORMATIKA UNIVERSITAS KOMPUTER INDONESIA BANDUNG 011 IF/011 1 DAFTAR ISI

Lebih terperinci

DIKTAT ALJABAR LINIER DAN MATRIKS VEKTOR. Penyusun Ir. S. Waniwatining Astuti, M.T.I.

DIKTAT ALJABAR LINIER DAN MATRIKS VEKTOR. Penyusun Ir. S. Waniwatining Astuti, M.T.I. DIKTAT ALJABAR LINIER DAN MATRIKS VEKTOR Penyusun Ir. S. Waniwatining Astuti, M.T.I. SEKOLAH TINGGI MANAJEMEN INFORMATIKA DAN KOMPUTER GLOBAL INFORMATIKA MDP 24 KATA PENGANTAR Pertama-tama penulis mengucapkan

Lebih terperinci

Kata Pengantar. Puji syukur kehadirat Yang Maha Kuasa yang telah memberikan pertolongan hingga modul ajar ini dapat terselesaikan.

Kata Pengantar. Puji syukur kehadirat Yang Maha Kuasa yang telah memberikan pertolongan hingga modul ajar ini dapat terselesaikan. i Kata Pengantar Puji syukur kehadirat Yang Maha Kuasa yang telah memberikan pertolongan hingga modul ajar ini dapat terselesaikan. Modul ajar ini dimaksudkan untuk membantu penyelenggaraan kuliah jarak

Lebih terperinci

KS KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Eigen Value Eigen Vector TIM KALIN

KS KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Eigen Value Eigen Vector TIM KALIN KS091206 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Eigen Value Eigen Vector TIM KALIN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Setelah menyelesaikan pertemuan ini mahasiswa diharapkan: Dapat menghitung eigen value dan eigen vector

Lebih terperinci

Latihan 5: Inner Product Space

Latihan 5: Inner Product Space Latihan 5: Inner Product Space Diketahui vektor u v w ϵ R di mana u = v = Hitunglah : a b c d e f Diketahui vektor u v ϵ R di mana u = dan v = Carilah

Lebih terperinci

BAB II TEORI KODING DAN TEORI INVARIAN

BAB II TEORI KODING DAN TEORI INVARIAN BAB II TEORI KODING DAN TEORI INVARIAN Pada bab 1 ini akan dibahas definisi kode, khususnya kode linier atas dan pencacah bobot Hammingnya. Di samping itu, akan dijelaskanan invarian, ring invarian dan

Lebih terperinci

KS KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Independensi Linear Basis & Dimensi TIM KALIN

KS KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Independensi Linear Basis & Dimensi TIM KALIN KS091206 Independensi Linear Basis & Dimensi TIM KALIN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Setelah menyelesaikan pertemuan ini mahasiswa diharapkan: Dapat mengetahui apakah suatu vektor bebas linier atau tak bebas

Lebih terperinci

SUBRUANG VEKTOR. Disusun Untuk Memenuhi Mata Kuliah Aljabar Linier. Dosen Pembimbing: Abdul Aziz Saefudin, M.Pd

SUBRUANG VEKTOR. Disusun Untuk Memenuhi Mata Kuliah Aljabar Linier. Dosen Pembimbing: Abdul Aziz Saefudin, M.Pd SUBRUANG VEKTOR Disusun Untuk Memenuhi Mata Kuliah Aljabar Linier Dosen Pembimbing: Abdul Aziz Saefudin, M.Pd Disusun Oleh : Kelompok 6/ III A4 1. Nina Octaviani Nugraheni 14144100115 2. Emi Suryani 14144100126

Lebih terperinci

PRAKTIKUM OPERASI TEKNIK KIMIA II MODUL 5 BILANGAN REYNOLD

PRAKTIKUM OPERASI TEKNIK KIMIA II MODUL 5 BILANGAN REYNOLD PRAKTIKUM OPERASI TEKNIK KIMIA II MODUL 5 BILANGAN REYNOLD LABORATORIUM RISET DAN OPERASI TEKNIK KIMIA PROGRAM STUDI TEKNIK KIMA FAKULTAS TEKNOLOGI INDUSTRI UPN VETERAN JAWA TIMUR SURABAYA BILANGAN REYNOLD

Lebih terperinci

BAB 7 TRANSFORMASI LINEAR PADA RUANG VEKTOR

BAB 7 TRANSFORMASI LINEAR PADA RUANG VEKTOR BAB 7 TRANSFORMASI LINEAR PADA RUANG VEKTOR A. DEFINISI DASAR 1. Definisi-1 Suatu pemetaan f dari ruang vektor V ke ruang vektor W adalah aturan perkawanan sedemikian sehingga setiap vektor v V dikawankan

Lebih terperinci

Matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari objek yang diatur berdasarkan baris (row) dan kolom (column). Objek-objek dalam susunan tersebut

Matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari objek yang diatur berdasarkan baris (row) dan kolom (column). Objek-objek dalam susunan tersebut Matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari objek yang diatur berdasarkan baris (row) dan kolom (column). Objek-objek dalam susunan tersebut dinamakan entri dalam matriks atau disebut juga elemen

Lebih terperinci

DIAGONALISASI MATRIKS KOMPLEKS

DIAGONALISASI MATRIKS KOMPLEKS Buletin Ilmiah Mat Stat dan Terapannya (Bimaster) Volume 04, No 3 (2015), hal 337-346 DIAGONALISASI MATRIKS KOMPLEKS Heronimus Hengki, Helmi, Mariatul Kiftiah INTISARI Matriks kompleks merupakan matriks

Lebih terperinci

BAB II SISTEM PERSAMAAN LINEAR. Sistem persamaan linear ditemukan hampir di semua cabang ilmu

BAB II SISTEM PERSAMAAN LINEAR. Sistem persamaan linear ditemukan hampir di semua cabang ilmu BAB II SISTEM PERSAMAAN LINEAR Sistem persamaan linear ditemukan hampir di semua cabang ilmu pengetahuan. Di bidang ilmu ukur, diperlukan untuk mencari titik potong dua garis dalam satu bidang. Di bidang

Lebih terperinci

lim 0 h Jadi f (x) = k maka f (x)= 0 lim lim lim TURUNAN/DIFERENSIAL Definisi : Laju perubahan nilai f terhadap variabelnya adalah :

lim 0 h Jadi f (x) = k maka f (x)= 0 lim lim lim TURUNAN/DIFERENSIAL Definisi : Laju perubahan nilai f terhadap variabelnya adalah : TURUNAN/DIFERENSIAL Deinisi : Laj perbaan nilai teradap ariabelnya adala : y dy d lim = lim = 0 0 d d merpakan ngsi bar disebt trnan ngsi ata perbandingan dierensial, proses mencarinya disebt menrnkan

Lebih terperinci

SOLUSI SISTEM PERSAMAAN LINEAR

SOLUSI SISTEM PERSAMAAN LINEAR SOLUSI SISTEM PERSAMAAN LINEAR Bentuk umum persamaan linear dengan n peubah diberikan sebagai berikut : a1 x1 + a2 x2 +... + an xn = b ; a 1, a 2,..., a n R merupakan koefisien dari persamaaan dan x 1,

Lebih terperinci

Analisis Fungsional. Oleh: Dr. Rizky Rosjanuardi, M.Si Jurusan Pendidikan Matematika UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA

Analisis Fungsional. Oleh: Dr. Rizky Rosjanuardi, M.Si Jurusan Pendidikan Matematika UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA Analisis Fungsional Oleh: Dr. Rizky Rosjanuardi, M.Si Jurusan Pendidikan Matematika UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA Lingkup Materi Ruang Metrik dan Ruang Topologi Kelengkapan Ruang Banach Ruang Hilbert

Lebih terperinci

(MS.3) SUBRUANG CONINVARIAN DARI MATRIKS KUADRAT KOMPLEKS

(MS.3) SUBRUANG CONINVARIAN DARI MATRIKS KUADRAT KOMPLEKS Seminar Nasional Statistika 2 November 20 Vol 2, November 20 (MS.3) SUBRUANG CONINVARIAN DARI MATRIKS KUADRAT KOMPLEKS Euis Hartini Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas

Lebih terperinci

Ruang Baris, Ruang Kolom, dan Ruang Null (Kernel)

Ruang Baris, Ruang Kolom, dan Ruang Null (Kernel) Ruang Baris, Ruang Kolom, dan Ruang Null (Kernel) Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U November 2015 MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom,

Lebih terperinci

NAMA : KELAS : theresiaveni.wordpress.com

NAMA : KELAS : theresiaveni.wordpress.com 1 NAMA : KELAS : teresiaeni.wordpress.com TURUNAN/DIFERENSIAL Deinisi : Laj perbaan nilai teradap ariabelnya adala : y dy d ' = = d d merpakan ngsi bar disebt trnan ngsi ata perbandingan dierensial, proses

Lebih terperinci

Yang dibahas : Ortogonal Basis ortogonal Ortonormal Matrik ortogonal Komplemen ortogonal Proyeksi ortogonal Faktorisasi QR

Yang dibahas : Ortogonal Basis ortogonal Ortonormal Matrik ortogonal Komplemen ortogonal Proyeksi ortogonal Faktorisasi QR Ortogonal Yang dibahas : Ortogonal Basis ortogonal Ortonormal Matrik ortogonal Komplemen ortogonal Proyeksi ortogonal Faktorisasi QR Ortogonal Himpunan vektor {v, v,.., v k } dalam R n disebut himpunan

Lebih terperinci

Chapter 5 GENERAL VECTOR SPACE Row Space, Column Space, Nullspace 5.6. Rank & Nullity

Chapter 5 GENERAL VECTOR SPACE Row Space, Column Space, Nullspace 5.6. Rank & Nullity Chapter 5 GENERAL VECTOR SPACE 5.5. Row Space, Column Space, Nullspace 5.6. Rank & Nullity 5.5. Row Space, Column Space, Nullspace Vektor-Vektor Baris & Kolom Vektor baris A (dalam R n ) Vektor kolom A

Lebih terperinci

BAB 6 RUANG HASIL KALI DALAM. Dr. Ir. Abdul Wahid Surhim, MT.

BAB 6 RUANG HASIL KALI DALAM. Dr. Ir. Abdul Wahid Surhim, MT. BAB 6 RUANG HASIL KALI DALAM Dr. Ir. Abdul Wahid Surhim, MT. KERANGKA PEMBAHASAN 1. Hasil Kali Dalam 2. Sudut dan Keortogonalan pada Ruang Hasil Kali Dalam 3.Basis Ortogonal, Proses Gram-Schmidt 4.Perubahan

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI. Analisis Komponen Utama (AKU, Principal Componen Analysis) bermula dari

BAB 2 LANDASAN TEORI. Analisis Komponen Utama (AKU, Principal Componen Analysis) bermula dari BAB 2 LANDASAN TEORI 21 Analisis Komponen Utama 211 Pengantar Analisis Komponen Utama (AKU, Principal Componen Analysis) bermula dari tulisan Karl Pearson pada tahun 1901 untuk peubah non-stokastik Analisis

Lebih terperinci

TRANSFORMASI LINIER (Kajian Fungsi antar Ruang Vektor)

TRANSFORMASI LINIER (Kajian Fungsi antar Ruang Vektor) Outline TRANSFORMASI LINIER (Kajian Fungsi antar Ruang Vektor) Drs. Antonius Cahya Prihandoko, M.App.Sc PS. Pendidikan Matematika PS. Sistem Informasi University of Jember Indonesia Jember, 2009 Outline

Lebih terperinci

UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA

UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA Ruang Norm Sumanang Muhtar Gozali UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA Definisi. Misalkan suatu ruang vektor atas. Norm pada didefinisikan sebagai fungsi. : yang memenuhi N1. 0 N2. 0 0 N3.,, N4.,, Kita dapat

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang

BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Pembahasan mendasar mengenai matriks terutama yang berkaitan dengan matriks yang dapat didiagonalisasi telah jelas disajikan dalam referensi yang biasanya digunakan

Lebih terperinci

Tujuan. Mhs dapat mendemonstrasikan operasi matriks: penjumlahan, perkalian, dsb. serta menentukan matriks inverse

Tujuan. Mhs dapat mendemonstrasikan operasi matriks: penjumlahan, perkalian, dsb. serta menentukan matriks inverse Matriks Tujuan Mhs dapat mendemonstrasikan operasi matriks: penjumlahan, perkalian, dsb. serta menentukan matriks inverse Pengertian Matriks Adalah kumpulan bilangan yang disajikan secara teratur dalam

Lebih terperinci

METODE FINITE DIFFERENCE INTERVAL UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN PANAS ABSTRACT 1. PENDAHULUAN

METODE FINITE DIFFERENCE INTERVAL UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN PANAS ABSTRACT 1. PENDAHULUAN METODE FINITE DIFFERENCE INTERVAL UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN PANAS Mardhika WA 1, Syamsdhha 2, Aziskhan 2 mardhikawirahadi@nriacid 1 Mahasiswa Program Stdi S1 Matematika 2 Laboratorim Komptasi Jrsan

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI. yang biasanya dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut: =

BAB II LANDASAN TEORI. yang biasanya dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut: = BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Matriks Definisi 2.1 (Lipschutz, 2006): Matriks adalah susunan segiempat dari skalarskalar yang biasanya dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut: Setiap skalar yang terdapat dalam

Lebih terperinci

Korelasi Pasar Modal dalam Ekonofisika

Korelasi Pasar Modal dalam Ekonofisika Korelasi Pasar Modal dalam Ekonofisika Yn Hariadi Dept. Dynamical System Bandng Fe Institte yh@dynsys.bandngfe.net Pendahlan Fenomena ekonomi sebagai kondisi makro yang merpakan hasil interaksi pada level

Lebih terperinci

Menentukan Nilai Eigen Tak Dominan Suatu Matriks Definit Negatif Menggunakan Metode Kuasa Invers dengan Shift

Menentukan Nilai Eigen Tak Dominan Suatu Matriks Definit Negatif Menggunakan Metode Kuasa Invers dengan Shift Jurnal Penelitian Sains Volume 14 Nomer 1(A) 14103 Menentukan Nilai Eigen Tak Dominan Suatu Matriks Definit Negatif Menggunakan Metode Kuasa Invers dengan Shift Yuli Andriani Jurusan Matematika FMIPA,

Lebih terperinci

METODE SIMPLEKS PRIMAL-DUAL PADA PROGRAM LINIER FUZZY PENUH DENGAN BILANGAN TRAPEZOIDAL

METODE SIMPLEKS PRIMAL-DUAL PADA PROGRAM LINIER FUZZY PENUH DENGAN BILANGAN TRAPEZOIDAL METODE SIMPLEKS PRIMAL-DUAL PADA PROGRAM LINIER FUZZY PENUH DENGAN BILANGAN TRAPEZOIDAL Bambang Irawanto 1,Djwandi 2, Sryoto 3, Rizky Handayani 41,2,3 Departemen Matematika Faktas Sains dan Matematika

Lebih terperinci

MATEMATIKA INFORMATIKA 2 TEKNIK INFORMATIKA UNIVERSITAS GUNADARMA FENI ANDRIANI

MATEMATIKA INFORMATIKA 2 TEKNIK INFORMATIKA UNIVERSITAS GUNADARMA FENI ANDRIANI MATEMATIKA INFORMATIKA 2 TEKNIK INFORMATIKA UNIVERSITAS GUNADARMA FENI ANDRIANI SAP (1) Buku : Suryadi H.S. 1991, Pengantar Aljabar dan Geometri analitik Vektor Definisi, Notasi, dan Operasi Vektor Susunan

Lebih terperinci

HASIL PRESENTASI ALJABAR LINIER ( SUB RUANG VEKTOR ) Disusun Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Aljabar Linier. Dosen Pengampu : Darmadi, S,Si, M.

HASIL PRESENTASI ALJABAR LINIER ( SUB RUANG VEKTOR ) Disusun Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Aljabar Linier. Dosen Pengampu : Darmadi, S,Si, M. HASIL PRESENTASI ALJABAR LINIER ( SUB RUANG VEKTOR ) Disusun Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Aljabar Linier Dosen Pengampu : Darmadi, S,Si, M.Pd Disusun oleh Matematika 5F Kelompok 5: ARLITA ROSYIDA 08411.081

Lebih terperinci

PENELUSURAN LINTASAN DENGAN JARINGAN SARAF TIRUAN

PENELUSURAN LINTASAN DENGAN JARINGAN SARAF TIRUAN Bab 4 PENELUSURAN LINTASAN DENGAN JARINGAN SARAF TIRUAN Tgas mendasar dari robot berjalan ialah dapat bergerak secara akrat pada sat lintasan (trajectory) yang diberikan Ata dengan kata lain galat antara

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI 8 BAB LANDASAN TEORI. Pasar.. Pengertian Pasar Pasar adalah sebah tempat mm yang melayani transaksi jal - beli. Di dalam Peratran Daerah Khss Ibkota Jakarta Nomor 6 Tahn 99 tentang pengrsan pasar di Daerah

Lebih terperinci

BAB II KAJIAN PUSTAKA. operasi matriks, determinan dan invers matriks), aljabar max-plus, matriks atas

BAB II KAJIAN PUSTAKA. operasi matriks, determinan dan invers matriks), aljabar max-plus, matriks atas BAB II KAJIAN PUSTAKA Pada bab ini akan diuraikan mengenai matriks (meliputi definisi matriks, operasi matriks, determinan dan invers matriks), aljabar max-plus, matriks atas aljabar max-plus, dan penyelesaian

Lebih terperinci