(a) (b) Gambar 1. garis singgung

Transkripsi

1 BAB. TURUNAN Sebelm membahas trnan, terlebih dahl ditinja tentang garis singgng pada sat krva. A. Garis singgng Garis singgng adalah garis yang menyinggng sat titik tertent pada sat krva. Pengertian garis singgng tersebt dapat dilihat pada Gambar a. Akan tetapi jika terdapat a bah titik pada sat krva maka berkemngkinan garis singgng yang menyinggng salah sat titik akan memotong krva pada titik lainnya. Untk lebih jelasnya dapat dilihat pada Gambar b. l A a A B l b Gambar. garis singgng Untk mendapatkan pengertian yang lebih jelas mengenai garis singgng kita perl mendeinisikan kemiringan garis singgng l pada titik A, yang terletak pada graik ngsi. Selanjtnya pada graik ngsi tersebt kita pilih sat titik B,. Jika kita hbngkan titik A dan B maka akan terbentk garis l yang mempnyai kemiringan :

2 6 m - - y l A l B Kemirngan garis l m 0 h Gambar. Kemiringan garis Jika kontin pada selang [A,B] maka kita dapat mendekatkan titik B ke titik A dengan jalan memperkecil jarak antara dan. Dalam bentk limit hal tersebt dapat ditlis dalam bentk : - lim m lim Persaman ini adalah kemiringan garis l jika mendekati. Jika kita perhatikan Gambar maka kita dapat melihat bahwa kemiringan garis l jika mendekati adalah mendekati kemiringan garis l. Dalam bentk limit dapat ditlis : Jadi : lim m lim - m lim - m

3 7 Karena h, maka h - m lim h 0 h - Jika dimisalkan h, maka m lim 0 Tiga persamaan adalah kemiringan garis l pada titik, Contoh : Diketahi 5. Tentkan kemiringan dan persamaan garis singgng yang melali titik a,a m lim lim 0 lim lim 0 6 Jadi m 6 * Persamaan garis singgng : y m n ** Karena garis singgng melali titik a,a maka : persamaan * menjadi :m 6a persamaan ** menjadi : a 6a n. Sehingga n -5a Persamaan garis singgng menjadi : y 6a 5a 5 5 B. Trnan Trnan adalah hasil dari proses dierensiasi sat ngsi. Dierensiasi dapat dimisalkan sebagai sat mesin yang memproses maskan menjadi trnan ata. Selanjtnya trnan dideinisikan sebagai kemiringan garis yang menyinggng krva di titik,. Berdasarkan persamaan. dan Gambar. maka deinisi trnan dapat ditlis dalam bentk :

4 8 lim ', jika nilai limitnya ada Jika persamaan di atas dapat dipenhi berarti dapat didierensiasikan dierensiable pada. Maka dikatakan mempnyai trnan pada. Contoh Jika 5 7, tentkan, c dan lim 5 lim lim ' Jadi : 5 ' 5 ' c c 7 5 ' Catatan: Selain notasi ', trnan ngsi y jga dapat ditliskan dengan notasi /. Pada raian terdahl telah dijelaskan bahwa sat ngsi dikatakan dierensiable jika memenhi persamaan.6, yait : Jika : lim 0 ada, maka lim ' lim. lim lim '. 0 0 Sehingga : lim lim 0 0 lim 0 terbkti

5 9 Jadi jika adalah ngsi yang dierensiabel pada maka dikatakan kontin pada. Sebaliknya jika adalah ngsi yang kontin pada, maka tidak secara otomatis dierensiable pada. C. Siat siat trnan. Trnan bilangan konstan Jika c sat bilangan konstan dan y dideinisikan sebagai : y c maka ' 0. Jika n adalah sembarang bilangan blat, k adalah sembarang bilangan ril dan jika y dideinisikan sebagai : y k n maka ' kn n Contoh Tentkan trnan pertama dari 5 7 ' Atran penjmlahan Jika dan g adalah a bah ngsi dan h adalah ngsi yang dideinisikan sebagai : y h g maka ' g' 6 Contoh : Diketahi y Tenrtkan 5 6 g -

6 0 0 5 g -6 - g Atran perkalian Jika dan g adalah a bah ngsi dan h adalah ngsi yang dideinisikan sebagai : y h.g maka ' g g' Contoh 5 : Diketahi y 5-7 Tentkan 5 - g g Atran pembagian Jika dan g adalah a bah ngsi dan h adalah ngsi yang dideinisikan sebagai : y h g maka ' g [ g ] g' Contoh 6 : Tentkan trnan dari h h' '. g. g' 8 [ g ] 6

7 Trnan ngsi komposisi Jika y dan g maka Contoh 7 : Persamaan ini disebt atran rantai Tentkan jika y 5 Misal 5 y Soal-soal Tentkan trnan dari ngsi-ngsi berikt!. t at bt gt at btc at 7 5. g 8. b aw g w w c. h 5 9. at bt t ct d 5. w 7 - t 0. g t t 5

8 D. Trnan ngsi-ngsi trigonometri. Jika y sin maka ' cos Bkti : sin sin ' lim lim 0 0 sin cos cos sin sin lim 0 sin cos cos sin lim 0 cos sin lim sin cos 0 sin cos lim cos 0 0 sin lim sin 0 cos cos terbkti. Jika y sin dan maka cos.. Jika y cos maka ' sin. Jika y cos dan maka Contoh 8 : Jika y sinπ-, tentkan sin Misal π - y sin cos cos cos π

9 Contoh 9 : Jika y cos tentkan Misal y cos / sin sin - sin Contoh 0 Jika y sin cos, tentkan Misal sin v cos dv cos sin dv. v cos cos sin sin cos.cos sin.sin Contoh sin Jika y, tentkan cos Misal sin v cos dv cos sin dv. v. v cos cos sin sin cos

10 cos.cos sin.sin cos 5. Jika y tan maka ' sec 6. Jika y tan maka sec Contoh Jika y 5 tan, tentkan Misal y 5 tan 5sec 5sec 5sec 5sec Contoh : Jika y 7. Jika y cot maka ' csc 8. Jika y cot maka cot Misal, tentkan y csc cot csc csc csc 6 csc 6

11 5 9. Jika y sec maka ' sec tan 0. Jika y sec maka sec tan. Jika y csc maka ' csc cot. Jika y csc maka csc cot Contoh 5 : Jika y csc π, tentkan Misal π- y csc csc cot csc cot csc cot cscπ cot π - Soal-soal Tentkan trnan pertma dari ngsi-ngsi berikt! π. sin 6. csc π π. cos 7. gt sin t cos π t. tan 8. hw. h cot 9. gt 5. h sec 5 π sin aw π cos π bw at sin t cos b t 0. gt sin t cost sin t

12 6 E. Trnan ngsi-ngsi trigonometri invers Berikt beberapa trnan ngsi invers trigonometri ngsi siklometri. Jika y arcsin maka Bkti : ' y arcsin sin y cos y Selanjtnya perhatikan segitiga berikt ini! cos y sin y cos y terbkti y. Jika y arcsin dan maka Contoh 6 : Jika y arcsin, tentkan 8 Misal 8 y arcsin 8 8. Jika y arccos maka 8 9 '

13 7. Jika y arccos dan maka Contoh 7 : Jika y arccos, tentkan Misal y arccos 6 5. Jika y arctan maka ' 6. Jika y arctan dan maka Contoh 8 : Jika y arctan 5, tentkan Misal y arctan Jika y arccot maka ' 8. Jika y arccot dan maka

14 8 Contoh 9 : Jika y arccot, tentkan Misal y arccot Jika y arcsec maka ' 0. Jika y arcsec dan maka Contoh 0 : π Jika y arcsec, tentkan π Misal y arcsec π π. Jika y arccsc maka. Jika y arcsec dan maka ' Contoh :

15 9 π Jika y arccsc, tentkan Misal π y arccsc π π Soal-soal Carilah trnan pertama dari soal-soal berikt!. y arcsinπ-. y cos arccos. y - arccos. y arctan sin F. Trnan ngsi eksponensial. Jika y e maka '. Jika y e dan maka e e Contoh : Jika y a b e, tentkan Misal : a b -b e ab b be ab

16 50 G. Trnan ngsi logaritma. Jika y ln maka '. Jika y ln dan maka Contoh : Jika y e ln tentkan Misal : e v ln e dv.v. dv e ln e. Jika y a log maka ' ln a e ln Contoh :. Jika y a log dan maka Jika y 7 log-5 tentkan ln a Misal : ln a ln7 5 Soal-soal Tentkan trnan pertama dari ngsi-ngsi berikt!. y e. y ln e 7. y e ln 0. y ln5 e e ln

17 5. y e ln e 5. y e ln. y ln 6. y 5 6 H. Trnan ngsi hiperbolik 5 log 8. y e 9. y ab e log. Jika y sinh maka ' cosh. Jika y sinh dan maka cosh Contoh 5 : Jika y sinh, tentkan 5 Misal : 5 y sinh cosh 5 cosh cosh 5 5. Jika y cosh maka ' sinh. Jika y cosh dan maka sinh Contoh 6 : Jika y cosh -, tentkan Misal : - y sinh cosh cosh - cosh

18 5 5. Jika y tanh maka ' sech 6. Jika y tanh dan maka sech Contoh 7 : Jika y tanh ab, tentkan Misal : ab y tanh b sec h sec h b b sec h a b 8. Jika y coth maka ' -csch 9. Jika y coth dan maka - csch Contoh 8 : Jika y coth abt, tentkan dt Misal : abt y coth b csc h dt dt dt csc h b b csc h 0. Jika y sech maka ' -csch a bt. Jika y sech dan maka - tanh sech. Contoh 9 : Jika y sech, tentkan 5

19 5 Misal : y sech 5 5 tanh sec h tanh sec h- tanh sec h Jika y csch maka ' -csch coth. Jika y csch dan maka - coth csch Contoh 0 : Jika y - csch, tentkan 5 Misal : y - csch 5 coth csc h coth csc h coth sec h 5 5 Soal-soal Tentkan trnan pertama dari ngsi-ngsi berikt!. y sinh- 6. y. y cosha b 7. y. y sinh5 8. y a b c coth e a sec h sec h ln 5. y e m cosh 9. y csch - 5

20 5 5. y ln- tanh 0. y e csc ha-b I. Trnan ngsi hiperbolik invers Contoh :. Jika y sinh - maka '. Jika y sinh - dan maka Jika y -sinh -, tentkan dt Misal : y - sinh - dt dt Contoh :. Jika y cosh - maka '. Jika y cosh - dan maka, >, > Jika y cosh -, tentkan Misal : y cosh - dt dt 9 6

21 55 5. Jika y tanh - maka ', < 6. Jika y tanh - dan maka, < Contoh : Jika y tanh - -, tentkan Misal : - y tanh - 7. Jika y coth - maka ', > Contoh : 8. Jika y coth - dan maka Jika y coth - -, tentkan, > Misal : - y tanh Jika y sech - maka ', 0 < < 0. Jika y sech - dan maka, 0 < <

22 56 Contoh 5 : Jika y - sech - -, tentkan Misal : - y sech -. Jika y csch - maka '. Jika y csch - dan maka Contoh 6 : Jika y csch - sin, tentkan Misal : sin y csch - cos cos cos sin sin Soal-soal Tentkan trnan pertama dari ngsi-ngsi :. y sinh - cos. y coth -. y cosh - sin 5. y sech - sin. y tanh - π 6. y e - csch - - J. Trnan tingkat tinggi

23 57 Jika terdapat sat ngsi yang dierensiable, maka kita dapat mencari trnan pertamanya yait. Jika trnan pertama tersebt jga dierensiable maka kita dapat menentkan trnan kea dari ngsi tersebt. Secara mm jika trnan ke n- dierensiable maka kita dapat menentkan trnan ke n dari ngsi tersebt. Biasanya trnan ke a dan setersnya dari sat ngsi disebt trnan tingkat tinggi. Trnan pertama, kea dan ketiga ditlis dengan lambang : d y d y, dan ata ', '', dan '''. Sedangkan ntk n d y trnan ke n, dimana n, maka kita gnakan lambang : ata n. n Contoh 7 : Tentkan trnan pertama sampai dengan trnan keempat dari - ' 6 d y '' d y ''' d y Soal-soal Tentkan trnan kea dari ngsi-ngsi :. e -. lna-b.. 5. sin a-b 6. cos mn K. Dierensial

24 58 Pada pembahasan mengenai masalah trnan kita telah menggnakan lambang / sebagai sat kesatan dan merpakan lambang dari trnan pertama sat ngsi. Pada pasal ini kita akan membahas pengertian dan secara terpisah. Misal terdapat sat persamaan y. Dari Gambar.5 y l l y 0 Gambar.5 didapat : y y Jika harga sangat kecil, maka y menjadi sangat kecil jga. Sehingga persamaan dapat ditlis menjadi : Pada persamaan diatas dan disebt dierensial dari dan y. Dierensial y ata adalah perbahan kecil pada pebah y akibat adanya perbahan kecil pada pebah ata. Contoh 8 : Jika y -, tentkan dierensial y -

25 59 Sehingga : - - Contoh 9 : Volme sebah silinder adalah V πr h. Jika jari-jari silinder tersebt membesar % dari jari-jari asal, tentkan perbahan volmenya. r πr h r πrh dv r dr πrh 0,0r 0,0 πr h Jadi perbahan volme silinder adalah sebesar 0,0 πr h Soal-soal Kerjakan kea soal berikt dengan metode dierensial!. Sebah bola mempnyai jari-jari 5 cm. Akibat meningkatnya temperatr maka jari-jari bola tersebt meningkat menjadi 5,0 cm. Berapakah perbahan volme bola tersebt?. Sebah kolam renang berisi penh dengan air.ukran kolam renang tsb adalah sebagai berikt : panjang 50 m, lebar 0 meter dan kedalaman meter. Akibat adanya pengapan kedalaman air berkrang menjadi,98 m. Berapakah volme air yang mengap? L. Trnan ngsi implisit Pada pasal-pasal sebelmnya kita telah mempelajari trnan ngsi-ngsi eksplisit, yait ngsi yang mempnyai bentk y. Akan tetapi tidak sema ngsi mempnyai bentk eksplisit. Sebagian mempnyai bentk implisit, yait ngsi yang mempnyai bentk F,y 0. Untk mencari trnan ngsi implisit kita gnakan atran sebagai berikt :. Jika pada F,y 0 menganng sk g, maka :

26 60 d g g'. Jika pada F,y 0 menganng sk hy, maka : d h y h' y. Jika pada F,y 0 menganng sk dan vy, maka : d '. v y. v' y [. v y ] Contoh 0 : Tentkan dari : y y y y y y 0 y y y y - y y Contoh : Tentkan dari : y y 6 pada titik, y y r y y - r 0 y y y 0 y -y y y y y y 8 5 Soal-soal. Tentkan dari : i y siny iii y cos y ii y e y iv y lny

27 6. Tentkan nilai pada titik,0 dari : i y e y e ii y y M. Trnan ngsi parameter Fngsi parameter adalah ngsi yang mempnyai bentk : t dan y gt, dengan t adalah parameter. Untk menentkan trnan pertama ata / dari ngsi parameter, terlebih dahl kita tentkan /dt dan /dt. Serlanjtnya / dicari dengan rms: / dt / dt Soal-soal Tentkan dari ngsi parameter berikt :. t y t. sint π y cos t e t. y ln5t 7. t t t y t