BAB II TINJAUAN PUSTAKA

Transkripsi

1 BAB II TINJAUAN PUSTAKA.1 Small Area Estimation Small Area Estimation (SAE) adalah sat teknik statistika ntk mendga parameter-parameter sb poplasi yang kran sampelnya kecil. Sedangkan, area kecil didefinisikan sebagai himpnan bagian dari poplasi (sb poplasi) yang kran contohnya kecil dengan sat pebah menjadi perhatian (Rao,003). Metode SAE menjadi berperan sangat penting dalam analisis data srvei karena adanya peningkatan permintaan agar menghasilkan dgaan parameter yang ckp akrat dengan kran sampel yang kecil. Permasalahan pokok yang timbl dalam SAE ada da. Pertama, bagaimana menghasilkan sat dgaan parameter yang ckp baik dengan kran sampel kecil pada area kecil. Keda, bagaimana mmenghasilkan model yang sesai dengan domain ata area kecil. Menrt (Pfefferman, 00) solsi ntk permasalahan tersebt adalah dengan meminjam informasi dari dalam area, lar area, mapn lar srvei. Terdapat da cara pendgaan parameter pada sat domain ata area kecil. Pertama dengan pendgaan secara langsng (direct estimation), keda dengan cara pendgaan tak langsng (indirect estimation). Pada pendgaan tak langsng SAE merpakan sat pendgaan dengan cara memanfaatkan informasi variabel lain yang berhbngan dengan parameter yang diamati. Pendgaan parameter dan inferensinya yang menggnakan informasi tambahan tersebt, dinamakan pendgaan tak langsng (indirect estimation). Metode dengan memanfaatkan

2 informasi tambahan tersebt secara statistik memiliki sifat meminjam kekatan (borrowing strength) informasi dari hbngan antara variabel respon dengan informasi yang ditambahkan. Dengan demikian, pendgaan tidak langsng ini mencakp data dari domain yang lain (Krnia, 009). Ada da konsep pokok yang dignakan ntk mengembangkan model pendgaan parameter small area, yait: 1. Model pengarh tetap (fixed effect model) dimana asmsi bahwa keragaman di dalam small area variabel respon dapat diterangkan selrhnya oleh hbngan keragaman yang bersesaian pada informasi tambahan.. Model pengarh acak (random effect) dimana asmsi keragaman spesifik small area tidak dapat diterangkan oleh informasi tambahan. Gabngan antara keda model tersebt membentk model campran (mixed model). Karena variabel respon diasmsikan berdistribsi normal maka pendgaan area kecil yang dikembangkan merpakan bentk khss dari General Linear Mixed Model (GLMM). bentk Model small area biasanya menggnakan model linier campran dalam y = X β + Z + e (.1) dimana X adalah matriks pebah penyerta, Z adalah vektor acak yang biasa dikenal sebagai pengarh area kecil, dan e adalah vektor dari galat sampel (Rao, 003). Menrt Rao (003) ada da model dasar pendgaan area kecil, yait basic area level model dan basic nit level model.

3 a. Basic area level model yait model yang didasarkan pada ketersediaan data pendkng yang hanya ada ntk level area tertent, misalkan xi = ( x1i,..., xpi) T dengan x i adalah sat vektor, i adalah banyaknya area dan p adalah banyaknya pebah pendkng, dan parameter yang akan didga θ i, diasmsikan mempnyai hbngan dengan x i. Data pendkng tersebt dignakan ntk membangn model sebagai berikt: θ T i = xi β + i, i =1,...,m (.) dengan β merpakan vektor koefisien regresi ntk data pendkng x i dan i berdistribsi independen N σ, sebagai pengarh acak yang (0, ) diasmsikan normal. estimator θ i, dapat diketahi dengan mengasmsikan bahwa model pendga langsng y i telah tersedia yait: y = θ + e, i =1,...,m (.3) i i i dengan i (0, ) dan e N σ ei σ ei diketahi. Pada akhirnya model (.) dan (.3) digabngkan dan menghasilkan model gabngan: ɵ T i xi β bii ei θ = + +, i =1,...,m (.4) Model persamaan (.4) merpakan bentk khss dari model linier campran (general linear mixed model). b. Basic nit level model yait sat model dimana data-data pendkng yang tersedia bersesaian secara individ dengan data respon, misal XIJ = ( x 1,..., ) T ij xijp, sehingga dapat dibangn sat model regresi tersarang y = x β + + e, i=1,...,m dan j=1,...,n i (.5) T ij ij i ij

4 dimana j adalah banyaknya rmah tangga pada area ke-i dengan i (0, ) dan N σ i (0, ). e N σ ei Penelitian ini menggnakan model basic area level model karena data pendkngnya hanya ada ntk level area tertent, yait pada level kecamatan. Untk model berbasis area dengan sat pebah penyerta, model (.1) bisa dinyatakan sebagai: y = θ + e (.6) i i i ɵ T i xi β bii ei θ = + + (.7) dengan β merpakan vektor koefisien regresi ntk data pendkng x i dan i berdistribsi independen N σ, sebagai pengarh acak yang (0, ) diasmsikan normal dan ei N (0, ψ i) (Fay dan Herriot, 1979).. SAE dengan Pendekatan Nonparametrik Mkhopadhyay dan Maiti (004) menjelaskan bahwa ntk mengrangi bias yang relatif besar dari statistik area kecil dengan pebah penjelasnya dan ntk mendapatkan pendga MSE yang lebih baik dapat dirmskan sebagai berikt: y = θ + e (.8) i i i θ i = m( xi) + i (.9) dimana i=1,,...,n mennjkkan jmlah area kecil. Fngsi m(.) adalah fngsi mls (smoothing fnction) yang mendefinisikan hbngan antara x dan y. θ i adalah rataan area kecil yang tidak teramati, y i adalah pendga langsng dari rataan area kecil, i galat pebah acak yang berdistribsi independen dan identik

5 dengan E( i) = 0 dan var( i) σ =, dan i e berdistribsi independen dan identik dengan E( e i) = 0 dan var( ei) = Di, dengan asmsi i D diketahi. Persamaan.9 dan.10 disbstitsikan maka akan menghasilkan persamaan berikt: y = m( xi) + + e (.10).3 Regresi Kernel Regresi merpakan metode analisa yang menggambarkan pola hbngan secara mm antara variabel prediktor ( x) dan variabel respon ( y ). Apabila terdapat n pengamatan yang independen yait ( xi, yi),( x, y ),...,( xn, y n), dan hbngan antara x i dan y i tersebt mengikti regresi nonparametrik, dalam hal ini x i adalah prediktor dan y i adalah respon, maka dapat dimodelkan sebagai berikt: yi = m( xi) + ε i, i =1,,3,..., m (.11) dimana m( x i) adalah fngsi/krva regresi yang bentknya tidak diketahi dan ε i N(0, σ ). Fngsi regresi m( x i) pada model regresi nonparametrik dapat diestimasi dengan pendekatan kernel yang didasarkan pada fngsi densitas kernel (Hardle, 1994). Estimasi densitas kernel didefinisikan dengan: n 1 x mˆ h( x) = K( ) (.1) h h i= 1 dimana K (.) disebt dengan fngsi kernel dan h adalah banwidth ata parameter pemls yang berfngsi mengatr kemlsan dari krva yang diestimasi.

6 Masalah terpenting dalam penggnaan estimasi densitas kernel adalah pemilihan bandwidth yang optimm yang bersesaian dengan fngsi kernel yang dignakan. Jika nilai bandwidth terlal kecil maka akan diperoleh penaksir krva yang krang hals, sebaliknya jika nilai bandwidth terlal besar maka akan diperoleh penaksir krva yang semakin hals, akibatnya kemampan ntk memetakan data tidak terlal baik. Dalam penelitian ini dipilih h n 1 5 (Indahwati, Sadik, Nrmasari, 008). Fngsi kernel yang dignakan pada penelitian ini adalah fngsi Kernel Epanechnikov. Persamaan matematis fngsi Kernel Epanechnikov adalah sebagai berikt: 3 K ( x) = ( 1 x ) I ( x 1) (.13) 4 dimana I ( x 1) merpakan fngsi indikator yang bernilai 1 jika x 1 dan bernilai 0 ntk yang lainnya..4 SAE Dengan Metode Kernel Mkhopadhyay dan Maiti (004) dalam mendga m( x i) menggnakan pendgaan kernel Nadaraya-Watson ( i) mˆ h x = i Kh( x xi) yi i Kh( x xi) (.14) dimana K h(.) adalah fngsi Kernel dengan bandwidth h Berdasarkan persamaan di atas dapat diperlihatkan bahwa pendga terbaik dari nilai area kecil θ i dengan σ tidak diketahi, adalah: ɵ θ ɵ (1 ɵ i = γ iyi + γ i) mˆ h( xi) (.15)

7 dengan ɵ ˆ σ γ i = ˆ σ + Di (.16) ˆ σ Pendga dari σ dirmskan dengan: 1 x = { W x yi mˆ xi D} (.17) n ( ) max 0, hi ( ){ ( )} n 1 i= 1 dengan W hi ( x) = Kh( x xi) 1 Kh( x xi) n i (.18).5 Pendgaan MSE dengan Pendekatan Bootsrap Metode Bootsrap pertama kali diperkenalkan oleh Bradley Efron pada tahn Metode Bootsrap merpakan sat metode teknik resampling yang bertjan ntk memperkirakan sat parameter θ i dari sat poplasi (Nadhia,006). Metode Bootsrap dapat dignakan pada data yang jmlah sampelnya terlal sedikit, sehingga dalam pengjian kenormalan data tidak akan sesai dengan keadaan yang sebenarnya. Metode Bootsrap dapat jga dignakan ntk mengestimasi distribsi sat statistik. Distribsi ini diperoleh dengan menggantikan distribsi poplasi yang tidak diketahi dengan distribsi empiris berdasarkan data sampel, kemdian melakkan pengambilan sampel (resampling) dengan mengelarkan sampel dari distribsi empiris yang selanjtnya dignakan ntk mencari penaksir Bootsrap. Dengan metode Bootsrap tidak perl melakkan asmsi distribsi dan asmsi-asmsi awal ntk mendga bentk distribsi dan pengjian-pengjian statistiknya ( Krnia, 006) Pendga MSE dengan bootsrap diberikan oleh: ( ) * ɵ 1 B *( j) ɵ *( j) MSE ( θ i) = i j 1 i J θ θ (.19) =

8 dimana nilai J merpakan banyaknya poplasi bootstrap, ɵ θ *( j) i merpakan pendgaan rataan area kecil ke- i dari poplasi bootstrap ke- j, dan θ *( j) i merpakan nilai sebenarnya rataan area kecil ke- i dari poplasi bootstrap ke- j. Efron dan Tibshirani (1993) menyatakan nilai B yang besar biasanya akan sangat baik ntk menrnkan mean sqare error. Penentan besarnya nilai B sangat bervariatif, karena basar kecilnya nilai B mamp memberikan hasil yang berbedabeda ntk setiap tahapan dalam analisis. Nilai B yang kecil, misalnya B =50 dapat menghasilkan replikasi bootstrap yang ckp baik. Sedangkan nilai B =100 jga terbilang baik karena dapat memberikan nilai yang baik dalam estimasi standar error. Jarang sekali peneliti memakai B lebih dari 00 (Darsyah, 013)..6 Jmlah Penddk Miskin Bappenas (004) mendefinisikan kemiskinan sebagai kondisi di mana seseorang ata sekelompok orang, laki-laki dan perempan, tidak mamp memenhi hak-hak dasarnya ntk mempertahankan dan mengembangkan kehidpan yang bermartabat. Hak-hak dasar masyarakat desa antara lain, terpenhinya kebthan pangan, kesehatan, pendidikan, pekerjaan, permahan, air bersih, pertanahan, smber daya alam dan lingkngan hidp, rasa aman dari perlakan ata ancaman tindak kekerasan dan hak ntk berpartisipasi dalam kegiatan sosial-politik, baik bagi perempan mapn bagi laki-laki. Kamalddin (005) menyatakan bahwa faktor-faktor yang mempengarhi kemiskinan di perkotaan antara lain Banyaknya masyarakat desa yang pindah ke kota (Urbanisasi), Tingkat pendidikan yang rendah, dan Penganggran. Sat angka kemiskinan pada sat daerah dapat dilihat melali besar kecilnya angka

9 jmlah penddk miskin. Kebthan mansia banyak dan beragam, karena it mereka bersaha ntk memenhi kebthannya. Hal yang biasa dilakkan adalah bekerja ntk mendapatkan penghasilan ata pendapatan. Cahyono (1998) menyatakan salah sat faktor yang mempengarhi pendapatan adalah faktor mr. Umr prodktif berkisar antara tahn yang merpakan mr ideal bagi para pekerja. Di masa prodktif, secara mm semakin bertambahnya mr maka pendapatan akan semakin meningkat, yang tergantng jga pada jenis pekerjaan yang dilakkan. Kektan fisik seseorang dalam melakkan sesat sangat erat kaitannya dengan mr karena bila mr seseorang telah melewati masa prodktif, maka semakin menrn kekatan fisiknya sehingga prodktivitasnya pn menrn dan pendapatan jga ikt menrn. Apabila mereka yang disia 65 tahn keatas bekerja ata bahkan menganggr, konsekensinya adalah mereka tidak dapat memenhi kebthannya dengan baik, kondisi ini membawa dampak bagi terciptanya dan membengkaknya jmlah penddk miskin yang ada. Dalam penelitian ini dipilih variabel penddk sia 65 tahn keatas, dimana bahwa semakin tinggi penddk sia tidak prodktif maka akan meningkatkan kemiskinan.