PERTEMUAN-2. Persamaan Diferensial Homogen. Persamaan diferensial yang unsur x dan y tidak dapat dipisah n. Contoh: 1.

Transkripsi

1 PERTEMUAN- Persamaan Diferensial Homogen Persamaan diferensial ang nsr dan tidak daat diisah n semana. F t, t) t. F, ) Contoh:. F, ) 7 F t, t) t F t, t) t t t 7t 7. F, ) Homogen derajat ). F, ) F t, t) t t t t t ) t F, ) Homogen derajat t. F, ) F t, t) t t t t ) Non Homogen Ciri Umm Homogen : Tia sk derajatna sama. Bentk PD Homogen: M, ) d N, ) d Dikatakan PD Homogen jika: Fngsi M dan N adalah homogen dengan derajat sama. Persamaan ini diselesaikan dengan sbstitsi: M, ) N, ) d d d m M, ) R ) m N, ) S ) Contoh Soal:. ) d d

2 M, ) M t, t) t t t ) t M, ) N) Homogen derajat N t) t t N) homogen derajat PD. Homogen d d d ) d d d) ) d d d [ ) )] d d [ ] d d d d ln ln ln ) ln ln ln ) ln ) ln ) ln ) Bisa jga emisalan ln ) ln. d d Jawab: d d M, ) ) d M t, t) t t t ) d M & N Homogen ) t d ) d Misalkan : d d d M, ) derajat )

3 d d) ) d d d ) d ) ) d d ) d d ) d d d d ) d d ln ln ) ln ) ln ln ) bentk ini dibah menjadi: ) Catatan: Pemilihan bentk ata Untk soal di atas sdah selaakna memakai dengan d tidak terlal banak. Contoh enggnaan ang teat:. d ) d Misalkan : d d d d ) ) d d d) d d ) d tergantng bentk ersamaanna. ) d, sebab erkalian M, )

4 ) d d d d d d d ) ) d ln ln ln ln ln ln ln ) ln ) ln ) ln ) ln ). - d e d d e -/ )d Cara lain melihat homogen adalah dengan melihat angkat dan ada: M, ) d e - homogen berderajat d e Misalkan : - ) d d d) e d d e - - d d d ) d ) d d e ) d d d e d e d ln e ln ln ln e e ln

5 e ln ln e ln ln ln ln ) ln ln ) ln ln ) ) d 5. d d d homogen berderajat ) Misalkan : d d d d d) ) d d ) d ) d d d d d d d ln ln Kita hitng d tg α d se α dα ln d se α seα tg α ln se α dα seα d d d d ln [Bentk Integral Trigonometri] seα dα ln ln

6 Persamaan Diferensial ang daat dibah menjadi Persamaan Diferensial Homogen Persamaan Diferensial dengan koefisien linear] Bentk Umm a b ) d r) d Kejadian ang mngkin terjadi:. Bila dan r Persamaan menjadi: a b) d ) d menjadi PD. Homogen Konstanta ang mengakibatkan tidak homogen. Bila ) k ak b); k konstanta Maka: a b ) d [k a b) r] d Misal: a b d a d b d b d d a d d a d d b d a d ) d k r) b k r k a r a ) d d d b b k a ra k r d d b b PD dengan ariabel ang daat diisahkan. a b. Bila ;, r a b d a d b d d d d kita akan ari d dan d Cara I. Kita ari d dl d a d b d di kali ) b d b d b d dikali b)

7 d b d a b) d d b d d a b) Kita ari d: d a d b d di kali ) a d a d a d dikali a) d a d b a) d d a d d b a) a d d a b) Cara II. d d d a b b d b d a b) d a a d d b a d d a b) Dimaskkan dalam PD: d d d b d a d d a b a b d b d) a d d) d b d a d d ) d a b) d PD. Homogen dan Contoh Soal:. ) d ) d Jawab : Perhatikan ) bentk II) ) d ) ) d

8 . Misal: d d d d d d ) d ) d d) ) d ) d ) d { } d ) d - d ) ) d d d d d ln ) ln ) - ln ) ln ) d. Tentkan Solsi mm PD! d ) d ) d d d d d d d d d d [lebih eat gnakan rms] d d d d d d d) d d) d d) d d) d d d d ) d ) d ) d ) d ) d - ) d - d d d ) d ) d ) d ) d d) ) d - ) d - ) d ) d d) d) ) d

9 ) d ) d d ln ln ) ln ) ) ) d ) ) ) ) 8. -) d - 7) d d Jawab: - d d d 7 d d d d d d d d d d d d 5 d d 5 d d d d 5 5 d d d d d d 5 5 d d d d ) d ) d PD. Homogen dalam dan d d d ) d d). ) d ) d d) ) d ) d) ) d ) d ) d ) d

10 ) d d d d ) ln ln ) ln -) -) --7) --7) Jika ters anda trnkan akan didaat: Cara II. ) d --7) d Misal: -) - d d d d ) d 7) d -) ) d ) -)-7) d ) d -) d Persamaan Homogen Misal: d d d ) d ) d d) ) d ) d - ) d

11 - ) d - ) d - ) d - ) d - ) d - ) d, kiri-kanan dibagi dengan - ) d - ) d - --) d - ) d, dikalikan dengan - --) d - - ) d ) d ) ) d ) d d ) ln ln ) ln ln ) ln ) ln ln ) ln ln ) ) ) ) ) 9 6 9) 6 )