Pemodelan Dinamika Gelombang dengan Mengerjakan Persamaan Kekekalan Energi. Syawaluddin H 1)

Transkripsi

1 tahaean Vol. 4 No. Janari 007 rnal TKNIK SIPIL Pemodelan Dinamika Gelombang dengan Mengerjakan Persamaan Kekekalan nergi Syaalddin ) Abstrak Paper ini menyajikan pengerjaan hkm kekekalan energi pada pemodelan hidrodinamika gelombang pendek. Pengerjaan hkm kekekalan energi dilakkan dengan mensperposisikan persamaan kontinitas yang dihasilkan dari kekekalan masa dengan persamaan kekekalan energi dan menghasilkan persamaan kontinitas bar yang sesai dengan hkm kekekalan masa dan kekekalan energi. Penelitian secara nmeris mennjkkan baha persamaan dapat dignakan ntk memodelkan gelombang dengan tinggi gelombang terbesar pada periodanya. Persamaan jga dapat memodelkan refraksi, difraksi dan shoaling dengan baik. Kata-kata Knci: Persamaan kontinitas, hkm kekekalan masa dan hkm kekekalan energi. Abstract This paper presents application of energy conservation la for short ave modelling. The application is done by sperimposing continity eqation that reslted from mass conservation and the eqation of energy conservation. The sperimposing gives a ne form of continity eqation that agree ith the mass and energy conservation la. The ne eqation can model ave ith the height as high as the real ave in natre. The model also can simlate other ave dynamic sch as refraction-diffraction and shoaling by bathymetry and diffraction in breakater gap. Keyords: Continity eqation, mass conservation and energy conservation la.. Latar Belakang Persamaan gelombang Airy, alapn dikenal sebagai persamaan gelombang panjang dapat dignakan jga ntk memodelkan gelombang pendek, alapn dengan tinggi gelombang yang sangat kecil (Syaalddin,., dkk., 005).. Permsan Persamaan. Bentk mm zδz/ Persamaan kontinitas pada persamaan gelombang panjang Airy diperoleh dari pengerjaan hkm kekekalan masa. Walapn persamaan tersebt ditrnkan dari hkm kekekalan masa, tetapi terdapat peristia transportasi energi pada persamaan ini, yait terjadinya perbahan energi kinetik menjadi energi potensial. Perbahan dari energi potensial dinyatakan pada perbahan elevasi mka air. Jadi persamaan kontinitas selain meakili hkm kekekalan masa, jga hars meakili hkm kekekalan energi. Dengan persamaan kontinitas yang bersifat seperti ini maka diharapkan dapat dignakan ntk memodelkan gelombang ntk tinggi gelombang yang besar, sesai dengan keadaan di alam. δz v yδy/ x-δx/ v y-δy/ xδx/ δx z-δz/ δy Gambar.. Persamaan kekekalan energi. Staf Pengajar KK Kelatan, Fakltas Teknik Sipil dan Lingkngan-ITB. Catatan : Uslan makalah dikirimkan pada 5 Desember 006 dan dinilai oleh peer revieer pada tanggal Pebrari Maret 007. Revisi penlisan dilakkan antara tanggal 6 Maret 007 hingga 6 Maret 007. Vol. 4 No. Janari

2 Pemodelan Dinamika Gelombang dengan Mengerjakan Persamaan Kekekalan nergi nergi kinetik pada sat satan masa air pada aliran ρ, v, air adalah ρ ρ g g g dimana ρ adalah rapat masa air,, v dan adalah kecepatan ars pada arah x, y dan z. Pada rang tinjaan pada Gambar., terdapat inpt-otpt energi kinetik pada selang akt, yait: IO ρ δy δz ( x-δ x/ x- δx/ x δx/ x δx/ ) ρ δx δz ( v y- δ y/ y- δy/ v y δy/ y δy/ ) ρ δz δz ( z-δ z/ z- δz/ z δz/ z δz/ ) Perbahan energi kinetik pada sistim adalah ρ δx δy δz ( δ δ δ ) Berdasarkan hkm kekekalan, maka IO Dengan membagi ras kiri dan kanan persamaan kekekalan dengan ρ δx δy δz dan serta dengan mengambil δx δy δz dan mendekati nol, maka diperoleh persamaan kekekalan energi adalah x Persamaan () adalah persamaan kekekalan energi dalam bentk mm.. Bentk terintegrasi terhadap kedalaman Analisis hidrodinamik akan lebih mdah bila dilakkan dengan analisis terintegrasi terhadap kedalaman, tertama ntk analisis pada perairan dangkal. Pada metoda ini dignakan kecepatan ratarata kedalaman dimana kecepatan vertikal () tereliminir sehingga hanya ada da kecepatan yait kecepatan horizontal ara x dan y yait ū dan v. Sebagai contoh dari persamaan yang terintegrasi terhadap kedalaman adalah persamaan gelombang panjang dari Airy (Dean, Robert G., and Dalrymple). Agar persamaan kekekalan energi dapat diaplikasikan pada analisis hidrodinamika yang terintegrasi terhadap kedalaman, maka diperlkan bentk persamaan kekekalan energi yang jga terintegrasi terhadap kedalaman yang akan dirmskan pada bagian berikt. Persamaan () diintegrasikan terhadap kedalaman, flktasi mka air terhadap mka air diam v y z 0 () v 0 t t t x y z Atran Leibniz (Dean, Robert G., and Dalrymple), β α h Mka air diam Gambar.. Sket mka air akibat gelombang f x x β α f - β x α x Berdasarkan persamaan ler, persamaan pada permkaan adalah t x Syarat batas dinamik adalah baha tekanan pada permkaan adalah sama pada sema permkaan yait bekerja tekanan atmosfir. Flktasi mka air memberikan perbedaan tekanan atmosfir yang sangat kecil, sehingga pada selrh permkaan mempnyai tekanan atmosfir yang sama yait p p atm, sehingga p n /x 0. Dengan demikian persamaan ler pada permkaan menjadi x Perhitngan dengan persamaan ini akan menghasilkan kecepatan permkaan yang sangat kecil, hampir mendekati nol. Oleh karena it energi kinetik pada permkaan ( ) dikalikan dengan /t., pada Persamaan () adalah bilangan yang sangat kecil yang dapat diabaikan. Selanjtnya, pada analisis ini kedalaman adalah sat harga yang konstan terhadap akt, sehingga () 0. Dengan demikian Persamaan () menjadi - h Sesai dengan formlasi persamaan gelombang panjang dari Airy (Dean, Robert G., and Dalrymple), f - β v y z v y z f z z α () p - ρ x 0 t g t () () 60 Jrnal Teknik Sipil

3 tahaean didefinisikan dimana ū adalah kecepatan rata-rata kedalaman pada arah x, sedangkan α adalah sat koefisien yang berharga 0.5, dalam hal ini dignakan α. t g t dimana adalah energi kinetik pada kecepatan ratarata kedalaman. Dengan cara yang sama akan diperoleh Syarat batas kinematik α ( h) ( h) ( h) ( h) ( h) Selanjtnya, akan diselesaikan v x t t Dengan menggnakan anggapan dan v adalah bilangan yang sangat kecil (seperti telah dibahas pada bagian terdahl), maka dan v adalah x y bilangan yang sangat kecil yang dapat diabaikan, sehingga syarat batas kinematik permkaan menjadi (5) dengan (5) n g, maka - y n (4a) (4b) dimana seperti pada persamaan Selanjtnya didefinisikan dimana ntk perairan dangkal pendekatan ini masih ckp baik. Selanjtnya pada bagian berikt diselesaikan Dengan bilangan yang sangat kecil, maka Dengan cara yang sama akan diperoleh g h - g ( h) g ( h ) ( ) ( h) g t h h - ( ) h v dan x y x x Didefinisikan x ( h) β x v y Selanjtnya 0 g x β x β y z - g x t x, dimana β adalah sat konstanta. ( h) ( h) v v h x (7a) h y (7b) Vol. 4 No. Janari 007 6

4 Pemodelan Dinamika Gelombang dengan Mengerjakan Persamaan Kekekalan nergi 6 Dari Persamaan-persamaan (4a), (4b), (6), (7a), (7b) dan (7c), maka menjadi - g g - (7c) g g t t Didefinisikan kedalaman total h dan persamaan dibagi dengan, serta ū, v, dan ditlis sebagai, v, dan, persamaan menjadi Penelitian mennjkkan baha persamaan akan menjadi lebih baik bila sema sk dibagi dengan β dan diambil harga β /. Jrnal Teknik Sipil x v y h h β h β x y h ( h) ( h) ( ) ( ) ( ) z - g v - h h - v h y g g β x β v y - 0 h h h h h - v h x y g t t 0 0 h x t x v y h h - h v 0 x y g (8) Persamaan (8) adalah persamaan kekekalan energi yang terintegrasi terhadap kedalaman. dengan t g maka t g Syarat batas kinematik dasar perairan - h x v h y Pada perairan dangkal, dapat dilakkan pendekatan dan v v. Pada perairan yang datar ata landai dimana h x, h y 0 maka 0, sehingga sk yang mengandng atapn h x ata h y. Penggnaan Persamaan Kekekalan nergi Dengan anggapan dan,, v serta, adalah bilangan yang sangat kecil, maka Persamaan (8) menjadi Dengan mengerjakan diferensial parsial pada x dan ( ) Persamaan (9) akan dignakan ntk analisis hidrodinamika gelombang pendek, dengan mensperposisikan dengan persamaan gelombang panjang dari Airy. dapat diabaikan. v y, maka g ( ) x v y x v y 0 v 0 (9) x y

5 tahaean Persamaan gelombang panjang dari Airy adalah (Dean, Robert G., and Dalrymple), () (v) 0 (0a) x y v v g 0 x y x v v v g 0 x y y Keterbatasan persamaan ini adalah baha ntk gelombang pendek persamaan hanya dapat dignakan pada amplitdo gelombang yang sangat kecil, A < 0. m (Syaalddin,., dkk., 005). Persamaan kontinitas, Persamaan (0a), ditrnkan berdasarkan hkm kekekalan masa saja. Sementara it flktasi mka air adalah merpakan perbahan energi potensial. Oleh karena it pada saat mka air naik ( / τ > 0 ) diperlkan splai energi, sedangkan pada saat air trn terjadi pelepasan energi. Pada Persamaan (0a), tidak terlihat adanya splai energi mapn tempat pelepasan energi. Η / x dan Η / y hanyalah smber masa air saja. Oleh karena it dengan mensperposisikan Persamaan (9) dengan Persamaan (0a), akan diperoleh persamaan yang dapat mensplai masa dan energi. Persamaan (9) dijmlahkan dengan Persamaan (0a) diperoleh v y Dengan menggnakan persamaan kontinitas yang bar Persamaan (), sedangkan persamaan momentm tetap seperti Persamaan (0b) dan (0c) dikembangkan model nmeris. 4. Metoda Nmeris x (0b) (0c) v 0 () x y Metoda nmeris yang dignakan ntk diskritisasi rang adalah metoda selisih hingga berbasis pada polinomial Lagrange (Syaalddin,., 006). Sedangkan diferensial akt diselesaikan dengan metoda integrasi ata dapat disebt jga dengan metoda prediktor-korektor (Syaalddin,., dkk., 005). Persamaan kontinitas, Persamaan () dapat ditlis dalam bentk P k Q v g x y x v v R v g x y y Selanjtnya Persamaan (a), (b) dan (c) diintegrasikan terhadap akt, diperoleh dapat diselesaikan secara nmerik dengan mendekati P (t), Q (t) dan R (t) dengan polinomial Lagrange [Syaalddin,., dkk., 005]. Untk integrasi dari t t - sampai t t, dimana terdapat titik integrasi yait t -, t dan t, maka dimana c /, c 4/ dan c /. Begit jga k () P t c x v x y k Q v R t t v t t t t v t t t t t P Q t t R t t t (a) v y (b) (c) t t t t dt ( ) ( ) dt dt P dt, Q dt dan R t t t t P Q k t t dt t- t t dt ( c P c P c ) dt dan k P t t R dt Vol. 4 No. Janari 007 6

6 Pemodelan Dinamika Gelombang dengan Mengerjakan Persamaan Kekekalan nergi Pada saat t t, dimana t, t dan v t tidak diketahi, maka P t, Q t dan R t jga belm diketahi. Oleh karena it pada tahap aal dilakkan prediksi P t P t Q t Q t R t R t P t Q R Dengan hargaarga hasil prediksi tersebt dapat dihitng harga t, t dan v t prediksi. Karena it tahap ini dapat disebt dengan tahap prediksi. Dengan harga (,, v) t yang bar tersebt dihitng lagi harga (P, Q, R) t yang bar dan dengan menyelesaikan integrasi diperoleh (,, v) t yang lebih bar lagi dan dilakkan pemeriksaan konvergensi yait t old - t ne Dalam hal syarat konvergensi terpenhi t t ne ne, dan ne adalah hasil yang dicari, bila belm konvergen, maka t dengan harga (,, v) yang bar dilakkan perhitngan (,, v) t yang lebih bar lagi, karena it tahap ini disebt dengan tahap korektor. 5. asil Model 5. Panjang gelombang ε begit jga pada dan v. t t v δ Pada Gambar (4.) disajikan perbandingan antara panjang gelombang dari teori gelombang linier, panjang gelombang model dan panjang gelombang dari persamaan gelombang Airy. al ini dikarenakan penggnaan tekanan hidrodinamis gelombang panjang g dan g x y yang dianggap merata pada selrh kedalaman. Apabila tekanan tersebt dikalikan dengan sat bilangan yang lebih kecil dari sat, maka akan diperoleh panjang gelombang yang lebih pendek, semakin kecil bilangan pengali tersebt, maka akan semakin kecil panjang gelombangnya. (Syaalddin,., 006). mka air (m) x (m) Gambar 4.. Perbandingan panjang gelombang 5. Tinggi gelombang Salah sat tjan dari pengembangan model adalah agar diperoleh persamaan yang dapat mensimlasikan gelombang pendek dengan tinggi gelombang yang besar. Tinggi gelombang terbesar ntk sat periode gelombang pada perairan dalam diberikan oleh persamaan Pierson-Moskoitz (Sarpkaya T. and Iseacson, Micheal, 98), yait T / A 9.66, dimana A tinggi gelombang. Jadi ntk periode gelombang 6 detik, tinggi gelombang terbesarnya (A) max 0.8 m. Pada Gambar (4.) ditnjkkan baha model dapat mensimlasikan gelombang tersebt dengan baik. 5. Shoaling Pengjian shoaling dilakkan pada perairan dengan kemiringan dasar perairan 0.0, dengan kedalaman mla-mla 0 m. Gelombang yang dignakan adalah gelombang dengan perioda 6 detik, dengan tinggi gelombang mla-mla 0. m. Pada Gambar (4.) disajikan perbandingan antara hasil model dengan hasil shoaling dari teori gelombang linier, terlihat baha hasil model lebih tinggi dari hasil teori gelombang linier. al ini dikarenakan penggnaan tekanan gelombang g dan g x y panjang yang bekerja sama besar pada selrh kedalaman, sehingga energi gelombang pada persamaan yang dignakan menjadi terlal besar. Oleh karena it ketika gelombang (dari model) memaski perairan yang lebih dangkal terjadi pemampatan energi yang besar baik akibat berkrangnya kedalaman mapn akibat pemendekan gelombang sehingga dihasilkan pembesaran tinggi gelombang yang lebih besar dari yang seharsnya. 64 Jrnal Teknik Sipil

7 tahaean mka air (m) Mka air (m) x (m) Gambar 4.. Performance model pada tinggi gelombang 0.85 m, periode 6 detik, kedalaman perairan 0 m x (m) Gambar 4.. Perbandingan shoaling antara teori gelombang linier dan model Tekanan pada persamaan momentm diperoleh dengan mengintegrasikan persamaan ler arah z yait p ρ x y v Analisis nmerik penyelesaian persamaan ler (Syaalddin,., 006), memberikan hasil baha distribsi kecepatan horizontal terhadap kedalaman adalah seragam. al ini dikarenakan tekanan hidrodinamis yang disebabkan oleh hasil bekerja sama besar pada selrh kedalaman. Tekanan hidrodinamis dari teori gelombang linier (Dean, Robert G., and Dalrymple) adalah p hyd g cosh k (h z) / cosh kh. Terlihat baha tekanan hidrodinamik g adalah berbah terhadap kedalaman. Oleh karena it pada model yang dikembangkan hanya menggnakan tekanan hidrodinamik g yang dianggap bekerja pada selrh kedalaman. Karena it g g panjang gelombang dari model menjadi terlal panjang dan shoaling yang dihasilkan menjadi terlal besar karena kelebihan energi. 5.4 Refraksi-difraksi Untk mengamati kemampan model dalam mensimlasikan fenomena refraksi-difraksi, model dikerjakan pada sat kaasan perairan dengan batimetri berpola seperti tanjng (Gambar 4.4). Gelombang yang dignakan adalah gelombang dengan perioda 6 detik dengan tinggi gelombang mla-mla. m. Telah diketahi baha pada batimetri seperti ini gelombang akan terefraksi ke arah psat tanjng, sehingga akibat refraksi yang konvergen ini disertai dengan shoaling, pada psat tanjng akan terjadi pembesaran gelombang. Kondisi gelombang pada detik ke 4, terlihat baha tinggi gelombang pada psat tanjng jah lebih besar dari yang lainnya. Pada Gambar (4.6) diperlihatkan kontr tinggi gelombang terbesar pada daerah yang telah dileati gelombang. Gambar-gambar tersebt mennjkkan terjadinya refraksi konvergen ata pemsatan energi gelombang pada psat tanjng. 6. Kesimplan dan Saran Berdasarkan hasil model nmeris yang dikembangkan, maka dapat disimplkan baha pada pengembangan persamaan hidrodinamika sebaiknya dikerjakan jga persamaan kekekalan energi. al ini terbkti baha pengerjaan hkm kekekalan energi pada persamaan gelombang panjang dari Airy menjadikan persamaan dapat memodelkan gelombang pendek dengan baik. Contoh lain dari penggnaan hkm kekekalan energi pada pengembangan model hidrodinamika adalah teori gelombang linier, dimana pada formlasinya dikerjakan persamaan kekekalan energi dari Bernolli (Dean, Robert G., and Dalrymple). Panjang gelombang yang dihasilkan oleh gelombang lebih panjang dari panjang gelombang dari teori gelombang linier, terlebih lagi terhadap panjang gelombang teori gelombang Stoke. Shoaling yang dihasilkan lebih besar dari pada shoaling dari teori gelombang linier. Keda hal tersebt dikarenakan penggnaan tekanan gelombang panjang yang bekerja pada selrh kedelaman. Oleh karena it ntk mengembangkan model yang lebih baik lagi perl dignakan tekanan hidrodinamis yang lebih tepat, dimana yang berpotensi dignakan adalah tekanan yang dirmskan dari persamaan ler secara lengkap ata dari persamaan Bernolli. Vol. 4 No. Janari

8 Pemodelan Dinamika Gelombang dengan Mengerjakan Persamaan Kekekalan nergi (m) (m) Gambar 4.4. Batimetri tanjng Gambar 4.5. Kondisi gelombang pada detik ke 4 66 Jrnal Teknik Sipil

9 tahaean (m) (m) Gambar 4.6. Kontr tinggi gelombang terbesar setelah detik ke 4 Daftar Pstaka Dean, Robert G., and Dalrymple, Water Wave Mechanics for ngineers and Scientists. Prentice-all, ngleood Cliffs, Ne Jersey. Syaalddin,., 006, Koefisien pada Persamaan ler pada Analisis Gelombang Pendek, Jrnal Teknik Sipil, Vol., No. 4, Departemen Teknik Sipil, ITB. Sarpkaya T. and Iseacson, Micheal, 98, Mechanics of Wave Forces on Offshore Strctres, Van Nostrand Reinhold Company. Shen, S. F., 977, Finite lement Method in Flid Mechanics, Ann. Rev. Flid Mech., Vol. 9. Syaalddin,., dkk., 005, Model Difraksi dengan Persamaan Gelombang Airy yang Disemprnakan, Thesis S, Departemen Teknik Sipil, ITB. Syaalddin,., dkk., 005, Integrasi Nmeris dengan Manggnakan Polinomial Lagrange, Jrnal Teknik Sipil, Vol., No., Departemen Teknik Sipil, ITB. Syaalddin,., 006, Penyelesaian Persamaan Differensial dengan Menggnakan Polinomial Lagrange Seri I ( Dimensi), Jrnal Teknik Sipil, Vol., No., Departemen Teknik Sipil, ITB. Vol. 4 No. Janari

10 Pemodelan Dinamika Gelombang dengan Mengerjakan Persamaan Kekekalan nergi 68 Jrnal Teknik Sipil