MENENTUKAN MODEL PELUANG KEBANGKRUTAN PERUSAHAAN ASURANSI DENGAN PERSAMAAN INTEGRO- DIFERENSIAL

Transkripsi

1 MENENTUKN MODEL PELUNG KEBNGKRUTN PERUSHN SURNSI DENGN PERSMN INTEGRO- DIFERENSIL Inayatl Qdsiyah, Hery Tri Stanto, ffiati Oktaviarina 3 Jrsan Matematika, Fakltas Matematika dan Ilm Pengetahan lam, Universitas Negeri Srabaya, 63 Jrsan Matematika, Fakltas Matematika dan Ilm Pengetahan lam, Universitas Negeri Srabaya, 63 3 Jrsan Matematika, Fakltas Matematika dan Ilm Pengetahan lam, Universitas Negeri Srabaya, 63 naymikey@yahoo.o.id, herytristanto@gmail.o.id, affiatioktaviarina@yahoo.o.id 3 BSTRK Skrisi ini berisi tentang model resiko klasik dalam asransi dan membahas mengenai hasil elang kebangkrtan dalam wakt takterbatas. Untk menentkan model elang kebangkrtan enlis menggnakan ersamaan integrodiferensial. kmlasi klaim diasmsikan berdistribsi kombinasi linier dari da distribsi Eksonensial. Pada akhir skrisi, hasil erhitngan nmerik menggnakan sofware Male yang akan ditamilkan dalam bentk tabel dan grafik. Model elang kebangkrtan dengan ersamaan integro-diferensial dimana besar klaim distribsi kombinasi linier dari da distribsi Eksonensial adalah sebagai berikt : ( e e, Berdasarkan analisis model elang kebangkrtan dan erhitngan nmerik mennjkkan bahwa keilnya elang kebangkrtan ersahaan asransi disebabkan karena besarnya modal awal ( ata remim loading (θ dan besarnya elang kebangkrtan asransi disebabkan karena besarnya jmlah klaim yang dikelarkan (α ata β. Kata kni : roses srls, distribsikombinasi linier dari da distribsi eksonensial, ersamaan integro-diferensial, elang kebangkrtan. PENDHULUN Persahaan asransi memeroleh endaatan dari embayaran remi ara emegang olis. Di sisi lain, ersahaan hars mengelarkan biaya ntk embayaran klaim yang diajkan ara emegang olis. Dengan demikian, endaatan bersih yang dieroleh ersahaan asransi akan berbah dari wakt ke wakt, bergantng ada jmlah remi yang mask dan jmlah klaim yang akan dibayarkan. Jika sat ketika besar modal awal dan total remi yang mask lebih keil dari besar akmlasi klaim yang hars dibayarkan, maka ersahaan asransi akan mengalami kebangkrtan. Dalam ersahaan asransi, roses srls adalah roses akmlasi kekayaan yang dieroleh dari jmlah modal awal dan total remi yang mask, kemdian dikrangi dengan total akmlasi klaim yang hars dibayarkan. Jika besar roses srls bernilai negatif maka ersahaan asransi akan mengalami kebangkrtan. Kendala dalam menghitng elang kebangkrtan adalah menari model dari elang kebangkrtan tersebt. Dengan latar belakang tersebt, enlis akan membahas mengenai enentan model elang kebangkrtan ersahaan asransi dengan ersamaan integrodiferensial yang diengarhi oleh modal awal ersahaan, endaatan dari enerimaan remi serta engelaran atas klaim-klaim yang hars dibayarkan oleh ersahaan asransi, dimana besar klaim mengikti distribsi kontin yait distribsi kombinasi linier dari da distribsi Eksonensial,

2 kemdian menari erhitngan nmerik dari model elang kebangkrtan dengan rogram matematika Male sehingga daat dianalisis dan diketahi aa saja yang daat memengarhi besar keilnya elang kebangkrtan ersahaan asransi tersebt. KJIN TEORI. Proses Stokastik Proses stokastik X { X ( t, t T} adalah sat koleksi himnan dari ebah aak. Untk setia t dalam himnan indeks T, X(t merakan ebah aak. Jika t menyatakan wakt, maka X(t menyatakan kondisi roses saat t. Jika T himnan indeks terhitng maka, X disebt roses stokastik wakt diskrit dan jika T kontin, maka X disebt roses stokastik wakt kontin. (Ross, 996. Proses Srls Menrt Kaas R et al ( roses srls ata roses risiko klasik daat didefinisikan sebagai berikt: U( t t S( t, t Dimana : U(t adalah roses srls samai wakt t, = U( adalah modal awal ata srls awal, adalah remi dieroleh seara kontin dengan laj ertmbhan konstan ersatan wakt, S(t adalah akmlasi klaim yang telah dibayar mengikti fngsi S = X + X X N(t, dengan N(t adalah banyaknya klaim yang mnl samai wakt t, dan X i adalah besar klaim ke-i, asmsikan besar X i tidak negatif. (Yli ndriani, 8.3 Pelang Kebangkrtan (Rin Probabilities Definisi.3. Dalam wakt kontin, elang svival dalam wakt takterbatas diberikan sebagai berikt : ( Pr( U( t ntk setia t U( (Klgman et al, 998 Definisi.3. Dalam wakt kontin, elang srvival dalam wakt terbatas diberikan sebagai berikt : (, T Pr( U( t ntk setia t T U( (Klgman et al, 998 Definisi.3.3 Dalam wakt kontin, elang kebangkrtan dalam wakt takterbatas diberikan sebagai berikt : ( ( PEMBHSN (Klgman et al, Proses Srls Poisson Majemk Dalam ersahaan asransi, roses srls adalah roses akmlasi kekayaan yang dinotasikan dengan U(t yang didefinisikan oleh Bowers et al (997 sebagai berikt : U( t t S( t, t dan U( dengan S(t didefinisikan oleh Dikson (5 sebagai : N( t S( t X i, X i ntk i =,,3,...,N(t. i Jika N(t adalah banyaknya klaim yang terjadi dalam interval wakt [,t], maka N(t, N(t bernilai blat, N(t N(t ntk t < t dan ntk t < t, N(t N(t menyatakan banyaknya kejadian yang terjadi dalam interval wakt (t, t ]. Sehingga menrt definisi roses menghitng, N(t adalah onting rosess. Jika {N(t, t } diasmsikan sebagai roses Poisson dengan laj λ. X i dengan i =,,3,...,N(t diasmsikan sebagai ebah aak kontin sebanyak N(t yang saling bebas dan identik dan X i jga bebas terhada N(t, maka menrt Definisi roses Pisson Majemk, maka N( t { S( t X, t } i i adalah roses Poisson majemk. Karena { N( t, t } merakan kenaikan stationer dan kenaikan bebas, maka { S( t, t } jga merakan kenaikan stationer dan kenaikan bebas. Sehingga, E( S( t E( N( t E( X ( t( t i (Klgman et al, 998 smsikan remi memnyai tambahan remi, dimana t E( S( t, akibatnya. Maka daat dimisalkan bahwa ( (3. dimana yang disebt dengan remim loading. 3.7 Koefisien Penyesaian (djstment Coeffiient Definisi 4.7. Misal r = κ solsi ositif terkeil ntk ersamaan : ( r M X ( r (3. rx dengan M X ( r E( e adalah fngsi embangkit momen dari ebah aak X (besar klaim. Jika nilai κ ada maka it dinamakan koefisien enyesaian. (Klgman et al, 998

3 3.8 Batas tas Pelang Kebangkrtan (Lndberg s Ineqality Teorema 3.8. Pada roses srls, dimisalkan ( adalah elang kebangkrtan, dengan merakan modal awal, serta r merakan koefisien enyesaian, maka ntk r >, batas atas elang kebangkrtan dari roses srls adalah : r ( e, (3.3 Pertidaksamaan (4.3 dinamakan ertidaksamaan Lndberg. (Klgman et al, 998 Teorema 3.. Fngsi G(,y memenhi ersamaan berikt : y G(, y [ F( x] dx (3.6 (Klgman et al, 998 Teorema 3..3 Pelang bertahan dengan tidak ada modal awal adalah ( ( Premim Loading Premim loading (θ adalah resentase tambahan remi dari nilai haraan klaim. Nilai remim loading (θ ditentkan oleh ersahaan asransi it sendiri, seberaa besar nilai tambahan remi yang dierlkan (ntk mengrangi elang kebangkrtan. Untk menentkan nilai remim loading, daat diari dengan ara sebagai berikt : Misalkan ditentkan batas toleransi maksimal dari elang kebangkrtan adalah α, berarti (, Berdasarkan Persamaan (3.3 daat ditentkan besar nilai r sebagai berikt : ln r Nilai remim loading (θ daat ditentkan sebagai rx ( r E( e berikt : ln X Ee ( ln 3. Persamaan Integro-Diferensial Definisi 3.. G(,y adalah elang terjadinya kebangkrtan dengan modal awal dan setelah terjadi kebangkrtan akan terjadi defisit aling banyak y, dimana, y. Misalkan akan terjadi srls setelah terjadi bangkrt antara dan y, dengan elang, ditlis kebangkrtan ( ( lim G(, y,, y y (3.4 (Klgman et al, 998 Teorema 3.. Fngsi G(,y memenhi ersamaan : Eksonensial ada ersamaan integro-diferensial. G(, y G(, y G( x, y df( x [ F( y F( ] (3.5 dengan. (Klgman et al,998 dimana merakan remim loading. (Klgman et al, 998 Teorema 3..4 Pelang srvival ( ersamaan berikt : ' ( ( ( x df( x memenhi (3.8 (Klgman et al, Distribsi Kombinasi Linier dari Da Distribsi Eksonensial Jika ebah aak kontin X tersebar kombinasi linier dari da distribsi Eksonensial dengan arameter α dan β dengan roorsi b dan (- b, maka fngsi densitas elangnya menrt Garia (5 daat dinyatakan sebagai ( x x f x be ( b e dengan x, α >, β >, dan b. (mirddin, 8 Nilai haraan dari distribsi kombinasi linier dari da distribsi Eksonensial sebagai berikt : b ( b EX [ ] 3. Model Pelang Kebangkrtan dimana Besar Klaim Berdistribsi Kombinasi Linier dari Da Distribsi Eksonensial Sbstitsikan fngsi densitas elang distribsi kombinasi linier dari distribsi

4 '( ( ( x df( x ( ( x f ( x dx x x ( ( x be dx ( x( b e dx Misal : y = x sehingga, y y '( ( b e ( y e dy ( b e ( y e dy (3. y y b e ( y e dy ( ( b e ( y e dy '( Kalikan keda ras dengan α y y b e y e dy b e y e dy teorema berikt : ( ( ( ( '( Teorema 3.. Diberikan ersamaan : (3. Untk mengeliminasi bentk integral ada k ''( x bk '( x k( x (3.7 ersamaan (3. maka ersamaan (3. ditrnkan terhada. Jika fngsi k(x ada dan fngsi kadrat + b + Sehingga ersamaan (3. menjadi : y y ''( '( ( ( ( ( ( ( b b b e y e dy b e y e dy maka enyelesaian ersamaan (3.7 adalah : Sbstitsikan ersamaan (3. ke (3. k( x e e ''( '( b ( ( b ( ( '( y ( ( b e ( y e dy (3.3 Sbstitsikan ersamaan (3.4 ada (3.5 '''( ''( b b '( Berdasarkan Persamaan ( b b Maka, menjadi ( ( b b '''( ''( ( b b b b ( ( b b '( ( b b Sebelm menyelesaikan ersamaan (3.6 diberikan = memnyai akar real dan, dimana, x x dengan dan merakan konstanta. Persamaan (3.6 memnyai bentk miri dengan ersamaan (3.7, sehingga (3.6 (4.3 Kalikan keda ras dengan β ( ( b b b b ( ( b b ( ( b b ( b b y ( ( b e ( y e dy '( b ( ( b ( dieroleh nilai dan sebagai berikt : ( ( ( b b ( ( b b ( '( ''( ( ( ( ( b b 4( b b ( ( b b ( ( b b ( ( b b (3.4 Trnkan ersamaan (3.3 terhada ( ( ( b b ( ( b b '''( ''( b '( ( b '( '( ''( ( ( ( ( b b 4( b b ( ( b b ( ( b b ( ( b b y ( ( b ( ( ( b e ( y e dy (3.5 '( e e '( (3.8 Berdasarkan Persamaan

5 (3.7 dan Persamaan (3., dengan mensbstitsikan = dieroleh : '( ( b b b b Sehingga, ( ( ( ( ( ( b b ( ( b b Selanjtnya, ersamaan (3.8 dintegralkan dieroleh : ( e e 3 Karena ( = maka didaat 3 =. Untk =, ersamaan tersebt menjadi ( (3.9 ( ( ( b b Sehingga dieroleh nilai dan sebagai berikt : ( ( ( b b ( ( b b ( ( ( b b Maka dieroleh ( e e Jadi, model elang kebangkrtan dimana besar klaim berdistribsi kombinasi linier dari da distribsi Eksonensial sebagai berikt : ( ( ( e e, (3. dengan ( ( ( b b ( ( ( b b ( ( b b ( ( ( ( b b 4( b b ( ( b b ( ( b b ( ( b b dimana θ adalah resentase tambahan remi (remim loading dengan θ > dan arameter merakan nilai haraan dari besar klaim tie dengan, arameter merakan nilai haraan dari besar klaim tie, dengan, b merakan roorsi banyaknya klaim tie dan (-b merakan roorsi banyaknya klaim tie dengan b. 3.3 nalisis Model Pelang Kebangkrtan dimana Besar Klaim Berdistribsi Kombinasi Linier dari Da Distribsi Eksonensial Berdasarkan model elang kebangkrtan yang telah dieroleh ada ersamaan (4.3, daat dianalisis bahwa besar elang kebangkrtan daat diengarhi oleh besar remim loading (θ, nilai haraan klaim (α,β, serta modal awal ersahaan asransi (. Jika nilai haraan klaim (α ata β dierbesar, maka nilai ada akan bernilai negatif dan akan semakin besar, karena terlihat ada ersamaan bahwa α ata β lebih banyak terdaat ada embilang. Nilai akan bernilai negatif dan akan semakin keil, karena terlihat ada bentk ersamaan. Dimana <. Nilai dan tersebt berengarh ada besar nilai dan. Pada ersamaan dan, maka terlihat bahwa nilai dan akan bernilai ositif dan semakin besar. Dimana >. Sehingga, jika dan akan bernilai ositif dan semakin besar maka elang kebangkrtan ( akan semakin besar jga. Jadi, jika nilai haraan klaim (α ata β dierbesar maka besar elang kebangkrtan ( akan semakin besar. Jika nilai tambahan remi ata remim loading (θ dierbesar, maka nilai ada akan bernilai negatif dan akan semakin keil, karena terlihat ada ersamaan bahwa θ lebih banyak terdaat ada enyebt. Nilai akan bernilai negatif dan akan semakin keil, karena terlihat ada ( ( b b ( ( ( b bbentk ersamaan. Dimana <. Nilai dan tersebt berengarh ada besar nilai dan. Pada ersamaan ( ( ( b b dan terlihat bahwa θ lebih banyak terdaat ada enyebt, maka terlihat ( ( b b bahwa nilai dan akan bernilai ositif dan ( ( ( ( b b 4( b b ( ( b b semakin keil. Sehingga, jika dan akan ( ( b b ( ( b b bernilai ositif dan semakin keil maka elang kebangkrtan ( akan semakin keil jga. Jadi,

6 jika nilai tambahan remi ata remim loading (θ dierbesar, maka besar elang kebangkrtan ( akan semakin keil. Jika besar modal awal ( dierbesar, dimana dan bernilai negatif maka besar akan semakin keil. Sehingga elang kebangkrtan ( akan semakin keil jga. Jadi, jika besar modal awal ( dierbesar, maka besar elang kebangkrtan ( akan semakin keil. Jika besar modal awal ( bernilai nol, maka besar e, dimana, bernilai ositif dan, bernilai negatif. Sehingga, besar elang kebangkrtan ( tidak akan bernilai nol. Berdasarkan ketiga kejadian tersebt, maka daat disimlkan bahwa :. Jika nilai haraan klaim (α ata β dierbesar maka besar elang kebangkrtan ( akan semakin besar.. Jika nilai tambahan remi ata remim loading (θ dierbesar, maka besar elang kebangkrtan ( akan semakin keil. 3. Jika besar modal awal ( dierbesar, maka besar elang kebangkrtan ( akan semakin keil. 4. Persahaan asransi akan teta daat bertahan walan tidak terdaat modal awal. 3.4 Perhitngan Nmerik Perhitngan nmerik akan dilakkan dengan menggnakan software Male Parameter Untk menentkan nilai elang kebangkrtan, dimana besar klaim berdistribsi kombinasi linier dari da distribsi Eksonensial, ditententkan nilai dari beberaa arameter dan ebah yang dierlkan. Pebah dari elang kebangkrtan dimana klaim tersebar eksonensial amran adalah. Parameter dari elang kebangkrtan dimana besar klaim berdistribsi kombinasi linier dari da distribsi Eksonensial adalah α dan β, dengan roorsi b dan -b. Modal awal ( ditentkan sebesar,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, dan. Untk melihat engarh besar remim loading (θ, nilai θ diilih.,.,.3,.4,.5,arameter α =, b =.5 dan arameter β =.5. Serta masing-masing diberikan tabel dan grafiknya. Untk melihat engarh besar nilai haraan dari klaim (α, maka nilai α diilih 4, 8,, 6 dan, arameter b =.5, β =.5 dan nilai e θ =.. Serta masing-masing diberikan tabel dan grafiknya. 3.5 nalisis Hasil Perhitngan Nmerik Setelah memerhatikan hasil erhitngan nmerik, mennjkkan bahwa :. Jika modal awal semakin besar, maka elang kebangkrtan ersahaan asransi semakin keil.. Jika resentase tambahan remi (remim loading semakin besar, maka elang kebangkrtan ersahaan semakin keil. 3. Jika nilai haraan klaim semakin besar maka elang kebangkrtan ersahaan asransi tersebt semakin besar. 4. Pada saat modal awal ersahaan sebesar, elang kebangkrtan yang dieroleh tidak. Hal ini berarti tana modal awal, ersahaan asransi masih daat bertahan. SIMPULN. Model elang kebangkrtan ada roses srls yang mengikti roses Poisson majemk dengan ersamaan integro-diferensial dimana besar klaim distribsi kombinasi linier dari da distribsi Eksonensial adalah sebagai berikt : ( e e, dengan ( ( ( b b ( ( b b ( ( ( b b ( ( ( b b ( ( b b ( ( ( ( b b 4( b b ( ( b b ( ( b b ( ( b b ( ( ( b b ( ( b b ( ( ( ( b b 4( b b ( ( b b ( ( b b ( ( b b dimana θ adalah resentase tambahan remi dari nilai haraan klaim dan α,β,b adalah arameter distribsi kombinasi linier dari da distribsi Eksonensial.. Nilai haraan klaim sebanding dengan besar elang kebangkrtan. Jadi, semakin besar nilai

7 haraan klaim maka semakin besar jga elang kebangkrtan ersahaan tersebt. 3. Besar modal awal ( dan remim loading (θ berbanding terbalik dengan besar elang kebangkrtan. Jadi, semakin besar modal awal ( dan remim loading (θ maka semakin keil elang kebangkrtan kebangkrtan ersahaan tersebt. 4. Persahaan asransi masih daat bertahan walan tidak memnyai modal awal. SRN Berdasarkan kesimlan yang dieroleh, maka ntk memerkeil elang kebangkrtan sat ersahaan asransi daat menambah besar modal awal dan besar tambahan remi (remim loading. DFTR PUSTK [] mmirdin. 8. Penentan elang bertahan dalam model risiko klasik dengan menggnakan Transformasi Lalae. Tesis S Jrsan Matematika FMIP IPB. htt://reository.ib.a.id/handle/ /4454. Tanggal akses 8 ril 3. [] ndriani Yli. Metode Konvolsi dalam Menghitng Pelang Kebangkrtan sat Persahaan asransi. Tesis ITB. htt://isjd.dii.lii.go.id/admin/jrnal/ df. Tanggal akses Febrari 3. [3] l Hakim, Soleh.. Pelang Kebangkrtan sransi Dimana Klaim Menyebar Gamma (,β. Tesis S Jrsan Matematika FMIP IPB. htt://reository.ib.a.id/bitstream/handle/ /4737/sah.df?seqene=. Tanggal akses 6 Febrari 3. [4] Bowers, N.L., Gerber, H.U., Hikman, J.C, Jones, D.. and Nesbitt, C.J tarial Mathematis. Lthasa, III : Soiety of taries. [5] Cristina, Maria. 6. set of Rin Probability in Insrane. htt:// hiva/fll974.df. Tanggal akses 4 Janari 3. [6] Dikson, D.C.M. 5. Insrane Risk and Rin. Cambridge : University Press. [7] Efendy, Nraita. 5. Proses Poisson. Skrisi S Jrsan Matematika FMIP UNES. [8] Garia JM. 5. Exliit Soltions for Srvival Probabilities in The Classial Risk Model. stin Blletin 5, Vol. 35 No.I, 3-3. [9] Grimmet GR, Stirzaker DR.. Probability and Random Proesses. Ed.ke- 3. Oxford: Clarendon Press. [] Hendro Permadi, badyo. 4. Metoda Statistika Praktis (Edisi revisi. Universitas Negeri Malang. [] Hogg RV, MKean JW, Craig T. 5. Instrodtion to Mathematial Statistis. New Jersey: Prentie Hall, Engelwood Cliffs. [] Kass, R., Goovaerts, M., Dhaene, J., Denit, M.. Modern atarial Risk Theory. Netherland : Klwer ademi Pblishers. [3] Klgman S, Panjer HH, Willmot GE Loss Models- from Data to Deisions. New York:John Wiley. [4] Montgomery Doglas C, Rnger George C. 7. lied Statistis and Probability for Engineers, 4th Edition. [5] Ross SM Stohasti Proesses. New York: John Woley & Sons, In.