METODE BEDA HINGGA PADA KESTABILAN PERSAMA- AN DIFUSI KOMPLEKS DIMENSI SATU

Transkripsi

1 PROSIDING ISSN: METODE BEDA HINGGA PADA KESTABILAN PERSAMA- AN DIFUSI KOMPLEKS DIMENSI SATU Danar Ardian Pramana, M.Sc 1) 1) DIV TeknikInformatikaPoliteknikHarapanBersama Abstrak Pada naska makala ini dibaas pendekatan beda ingga pada persamaan difusi. Persamaan differensial parsial dan masala syarat awal dan syarat batas merupakan pokok baasan terapan matematika yang sala satunya diterapkan dalam bidang fisika, sebagai conto yaitu persamaan difusi dengan diikuti ole syarat awal dan syarat batas. Persamaan difusi ini menggunakan bilangan kompleks pada konstantanya yang biasa disebut dengan persamaan difusi kompleks. Persamaan difusi dimensi satu berbentuk u t (x, t) = D u(x,t) x, dengan koefisien D = D R + id I, dengan D R dan D I adala real. Kondisi stabilitas pada persamaan difusi kompleks dimensi satu akan diberikan. Stabilitas dari metode numeric adala menjaga agar selisi antara asil yang diperole dari pendekatan beda ingga dengan solusi eksaknya tidak membesar dengan bertambanya waktu. Permasalaannya adala mencari kondisi yang dapat menekan selisi antara solusi yang diperole dari pendekatan beda ingga dengan solusi analitik agar tetap beringga pada saat waktu menuju tak ingga. Kondisi ini dapat ditentukan dengan memili selang waktu t secara tepat. Metode penelitian yang digunakan dalam makala ini adala studi literatur. Untuk ilustrasi asilnya, diberikan conto numeric berdasarkan metode eksplisit pada persamaan difusi kompleks dimensi satu. Kata Kunci: beda ingga kestabilan; persamaan difusi. 1. PENDAHULUAN Proses difusi umum digunakan dalam bidang ilmu terapan. Metode beda ingga merupakan suatu metode yang digunakan untuk menentukan nilai turunan dari suatu fungsi pada titik tertentu, selanjutnya dapat diperole solusi menggunakan metode ini. Sala satunya adala untuk mendapatkan solusi dari persamaan difusi diperole dari Humidan Miller (199). Kestabilan persamaan difusi dengan konstanta kompleks diperole dengan memili selang waktu t secara tepat agar selisi antara asil yang diperole dari pendekatan beda ingga dengan solusi eksaknya tidak membesar dengan bertambanya waktu yang diperole dari Crank(1975) dan Granvile (005). Makala ini akan membaas penerapan metode beda ingga pada persamaan difusi kompleks dimensi satu. Permasalaan yang akan dibaas pada makala ini adala membentuk pendekatan beda ingga untuk persamaan difusi kompleks mencari kondisi stabilitas padapendekatan beda ingga untuk persamaan difusi kompleks seperti pada Aderito Ara ujo, Sivia Barbeiro, Pedro Serrano (01). Tujuan dari pene-litian ini adala mengetaui Konferensi Nasional Penelitian Matematika dan Pembelajarannya (KNPMP I) 759 Universitas Muammadiya Surakarta, 1 Maret 016

2 PROSIDING ISSN: pendekatan beda ingga untuk persamaan difusi kompleks dan mengetaui kondisi stabilitas pada pendekatan beda ingga untuk persamaan difusi kompleks. Sedangkan manfaat yang dapat diperole dari penelitian ini adala memberikan pengetauan tentang penggunaan pendekatan beda ingga untuk persamaan difusi kompleks dan memberikan kondisi stabilitas pada pendekatan beda ingga untuk persamaan difusi kompleks.. METODE PENELITIAN Metode penelitian yang digunakan dalam makala ini adala studi literatur. Penulis mempelajari konsep dasar persamaan difusi. Selain itu penulis memperlajari konsep dasar kestabilan. Penulis juga aktif dengan penulis paper yang menjadi acuan dalam penyelesaian makala ini. Penulis mempelajari konsep dasar skema beda ingga dengan menggunakan Deret Taylor. Dalam makala ini anya digunakan syarat batas Neumann. Penelitian selanjutnya adala menentukan kondisi stabilitas pada persamaan tersebut. Kemudian dibuat program untuk lebi menjelaskan asil dari kondisi stabilitas persamaan difusi kompleks. 3. HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN a. Metode Beda HinggaPersamaanDifusiKompleksDimensiSatu Berikut akan diberikan konstruksi metode beda ingga teradap waktu dan teradap variabel x. Diberikan interval terbuka Ω R, dengan syarat batas Γ = δω, Ω = (a, b) dengan a, b R. Diberikan Q = Ωx(O, T], dengan T > 0, dan u: Q = Ω x[o, T]. Digunakan proses difusi nonlinear dengan koefisien D = D R + id I Dengan D R dan D I adala fungsi real. Asumsikan juga bawa D R (x, t, u) 0, (x, t) Q. (1) Didefinisikan syarat awal dan syarat batas dari fungsi u u t = D u x, x (O, L), t (O, T], u(x, 0) = u 0 (x), x Ω, αu(x, t) + β u (x, t) = 0, x Γ, t [O, T], () x Dengan u dinotasikan sebagai turunan normal x ke Γ n yang diperole dari x Suli (000). Konstruksi grid point padaq = Ω x[o, T], yang merupakan interval tertutup berupa 0 = t 0 < t 1 < < t M 1 < t M = T, Konferensi Nasional Penelitian Matematika dan Pembelajarannya (KNPMP I) 760 Universitas Muammadiya Surakarta, 1 Maret 016

3 PROSIDING ISSN: Dengan M 1 dan t m+1 t m = t m, m = 0,1,, M 1. didefinisikan sebagai space grid dengan N, t = max t m. Diberikan titik-titik grid x j = (a + j), j = 0,, N dengan = (b a). Titik-titik grid ini merupakan Konferensi Nasional Penelitian Matematika dan Pembelajarannya (KNPMP I) 761 Universitas Muammadiya Surakarta, 1 Maret 016 N konstruksi dari mes yang berupa Ω = {x j j = 0,, N}. Definisikan mes pada Q = Ω x[o, T] dinotasikan sebagai Q t yang merupakan konstruksi dari space grid Ω dan grid dengan domain waktu. Diambil Ω t = Q t Q dan Γ t = Q t Γx[0, T]. Dinotasikan V m j nilai dari fungsi mes V, didefinisikan pada Q t di titik (x j, t m ). Didefinisikan pendekatan beda ingga maju dan mundur, teradap waktu berturut-turut δ + V m j = V j+1 m m V j, diperole m δ V m j = V j m V j 1, U t = U j m+1 m U j t m, U j m+1 U j m t m = Dδ x + ( δ x U j m+θ ) x (O, L), t (O, T], U j 0 = u 0 (x j ), αu j m + β (δ x + U j m + δ x U j m ) = 0, x Γ, t [O, T], (3) Dengan U m j merupakan pendekatan dari u(x j, t m ). Untuk memudakan, didefinisikan U m+θ j = θu m+1 j + (1 θ)u m j, θε[0,1]. Jikaθ = 0, maka metode bedaingga Persamaan (3) merupakan Metode Eksplisit, jika θ = 1, maka Metode beda ingga Persamaan (3) merupakan metode Implisit, jika θ = 1, maka metode beda ingga Persamaan (3) merupakan Metode Crank-Nicolson yang terdapat pada Suli(000). b. Kestabilan Persamaan Difusi Kompleks Dimensi Satu Teorema. Jika θ [ 1, 1] maka kondisi pada Persamaan (3) stabil tanpa syarat. Jika θ [0, 1 [, maka kondisi pada Persamaan (3) stabil, dengan t m (1 θ) max D D R m = 1,, M 1 ( ) Danter dapat ξ yang berlaku

4 PROSIDING ISSN: < ξ D R j, m. ( ) Bukti. Persamaan dipisa berdasarkan bagian real dan bagian imajinernya (U R, U i ), dengan U = (U 0,, U N ). Akan dibuktikan kestabilan dengan pendekatan bedaingga, U m j u(x j, t m m ), j = 0,, N, m = 0,, M. Kemudian U Rj merupakan bagian real dari U m m j dan U Ij merupakan bagian imajiner dari U m j. Demikian pula D R merupakan bagian real dari D dan D I merupakan bagian imajiner dari D. Diperole U m m j U j t m = Dδ + x (δ x U m j ), Dapat dibentuk menjadi m+1 + IU m+1 Ij (U m Rj + IU m Ij ) t m = (D R + ID I )δ + x (δ x (U m+θ Rj + IU m+θ Ij )). Pemisaan berdasarkan bagian real dan bagian imajinernya: U m+1 m Rj j = D R δ + x (δ x U m+θ Rj ) δd + I x (δ x U m+θ Ij ), U Rj t m U m+1 m Ij j t m Didefinisikan inner product dan N (U, V) = U j V j j=1 = ID I δ + x (δ x U m+θ Rj ) + D R δ + x (δ x IU m+θ Ij ), (4) U 0 Rj = u 0 Rj (x j ), U 0 Ij = u 0 Ij (x j ), δ + x U m R0 + δ x U m R0 = 0, δ + x U m RN + δ x U m RN = 0, δ + x U m I0 + δ x U m I0 = 0, δ + x U m RN + δ x U m RN = 0. (U, V) = U 0V 0 + U j V j Dengan didefinisikan norm 1 U = (U, U) dan 1 Konferensi Nasional Penelitian Matematika dan Pembelajarannya (KNPMP I) 76 Universitas Muammadiya Surakarta, 1 Maret 016 N 1 j=1 + U NV (6) U = (U, U). (8) Kalikan kedua persamaan (4) m+θ m+θ dengan U R dan U I berturut-turut, menggunakan sifat asil kali dalam (.,. ) yang diperole dari Anton(1995), dan menjumlakan tiap bagian seingga diperole U m+1 m R t m δ + x (D R δ x U m+θ R ) = δ + x (D I δ x U m+θ I ). Kalikan dengan U m+θ R, seingga diperole ( U R m+1 m t m, U m+θ R ) + (D R ) 1 δ x U m+θ R = (DI δ x U m+θ I, δ x U m+θ R ). (9) (7) (5)

5 PROSIDING ISSN: Selanjutnya pada bagian imajinernya kalikan dengan U m+θ I, seingga diperole ( U I m+1 m t m, U m+θ I ) + (D R ) 1 δ x U m+θ I = (DI δ x U m+θ R, δ x U m+θ I ). (10) Dari penjumlaan persamaan (9) dan (10) diperole ( U R m+1 m t m, U m+θ R ) + ( U I m+1 m t m, U m+θ I ) + (D R ) 1 δ x U m+θ = 0. (11) Dibentuk persamaan U m+θ = t m (θ 1 ) Um+1 U m t m + Um+1 + U m. (1) Dari persamaan (11) dan (1) diperole ( U R m+1 m t m, t m (θ 1 ) U R m+1 m t m + U R m+1 m + U R ) + ( U I m+1 m t m, t m (θ 1 ) U I m+1 m t m + U I m+1 m + U I ) + (D R ) 1 δ x U m+θ = 0. Selanjutnya penjabaran pada ruas kiri, ( Um+1 U m t m, t m (θ 1 ) Um+1 U m t m diperole dan + Um+1 + U m ) + = t m (θ 1 ) U m Um+1 t m + Um+1 U m t m. Dari persamaan (11) diperole t m (θ 1 ) U R m+1 m t m + U R m+1 UR m t m + t m (θ 1 ) U I m+1 m t m + (D R ) 1 δ x U m+θ = 0. Untuk kasus θ [ 1, 1],θ 1 0, + U I m+1 UI m t m U m+1 R UR m t m 0 U m+1 R UR m. m = 0,, M 1. U I m+1 UI m t m 0 (13) Konferensi Nasional Penelitian Matematika dan Pembelajarannya (KNPMP I) 763 Universitas Muammadiya Surakarta, 1 Maret 016

6 PROSIDING ISSN: U m+1 I UI m. m = 0,, M 1. (14) Selanjutnya, Um+1 U m t m = U R m+1 t m U m R t m + U I m+1 m t m. (15) Dari Persamaan (4) diuba dalam bentuk Metode Eksplisit dan dengan menggunakan definisi norm, menggunakan syarat batas dan sifat (a b) a + b, diperole U R m+1 m t m Dari Persamaan (4) diperole N j=1 U I m+1 m t m 8 D Rδ m+θ x U Rj+1 D I δ x U m+θ Ij. = 4 ( D Rδ x U m+θ R + DI δ x U m+θ I ) N 8 D Rδ m+θ x U Rj+1 D I δ x U m+θ Ij. j=1 4 ( D Iδ x U m+θ R + DR δ x U m+θ I ) + Dari Persamaan (14), (16) dan (17) diperole Um+1 U m 4 D t m max (D D R ) 1 δ x U m+θ R. (18) Selanjutnya U m+1 R UR m t m + U I m+1 UI m t m + (D R ) 1 δ x U m+θ = t m ( 1 θ) U m Um+1 t m, Dengan asumsi ( ), diperole persamaan dan U R m+1 UR m t m 0 U R m+1 UR m, m = 0,, M 1 U m+1 I UI m t m 0 U m+1 I UI m. m = 0,, M 1. Diperole pada kasus θ [0, 1 [, Persamaan (4) stabil dengan syarat ( ). (16) (17) Konferensi Nasional Penelitian Matematika dan Pembelajarannya (KNPMP I) 764 Universitas Muammadiya Surakarta, 1 Maret 016

7 PROSIDING ISSN: c. Ilustrasi Hasil Metode Beda Hingga Persamaan Difusi Kompleks Dimensi Satu Diberikan bentuk metode beda ingga pada persamaan difusi komplek sdimensi satu: U j m+1 U j m t m = Dδ x + ( δ x U j m+θ ), x (O, L), t (O, T], U j 0 = u 0 (x j ), αu j m + β (δ x + U j m + δ x U j m ) = 0, x Γ, t [O, T]. Selanjutnya pada conto persamaan difusi kompleks dimensi satu ini yang terdapat pada Aderito Ara ujo, Sivia Barbeiro, Pedro Serrano (01), diberikan = 1, dan syarat awal U(x, 0) = 55, 10 x 15 U(x, 0) = 155, 15 < x 0 dan 30 x 45 55(30 x) U(x, 0) = + 15 (x 0), 0 x Proses numeric menggunakan bantuan program Matlab. Pertama menggunakan variasi t, yaitu t = 0.1, t = 0.15, t = 0.5, T =, dan koefisien difusi d = 1 + i, didapat-kan output seperti pada Gambar 1. Pada Gambar 1, ilustrasi meng-gunakan 3 step dengan permukaan grafik yang kasar. Berdasarkan Teorema 3.1, metode beda ingga stabil dengan syarat t 0.5. Selanjutnya pada t = 0.1, t = 0.15, t = 0.5 metode stabil. Gambar 1. t = 0.1, t = 0.15, t = 0.5, T = Kedua menggunakan t = 0.1, t = 0.15, t = 0.5, T = 10, dan koefisien difusi d = 1 + i didapatkan output seperti pada Gambar. Pada Gambar, ilustrasi menggunakan 3 step. Berdasarkan Teorema 3.1, metode beda ingga stabil dengan syarat t 0.5. Selanjutnya pada t = 0.1, t = 0.15, t = 0.5, metode stabil dan permukaan lebi alus. Konferensi Nasional Penelitian Matematika dan Pembelajarannya (KNPMP I) 765 Universitas Muammadiya Surakarta, 1 Maret 016

8 PROSIDING ISSN: Gambar. t = 0.1, t = 0.15, t = 0.5, T = 10 Ketiga menggunakan t = 0.1, t = 0.15, t = 0.5, T = 50 dan koefisien difusi d = 1 + i didapatkan output seperti pada Gambar 3. Pada Gambar 3, ilustrasi menggunakan 3 step. Berdasarkan Teorema 3.1, metode beda ingga stabil dengan syarat t 0.1. Teliat pada grafik menjadi lebi alus dari ketika T = 50. Gambar 3. t = 0.1, t = 0.15, t = 0.5, T = 50 Selanjutnya T = 1500 seperti pada Gambar 4 teliat pada grafik menjadi garis lurus, yang sesuai dengan syarat Neumann. Gambar 4. t = 0.1, t = 0.15, t = 0.5, T = 1500 Selanjutnya menggunakan t = 0.15, t = 0.5, t = 0.5, T =, dan koefisien difusi d = 1 + i di-dapatkan output seperti pada Gambar 5. Pada Konferensi Nasional Penelitian Matematika dan Pembelajarannya (KNPMP I) 766 Universitas Muammadiya Surakarta, 1 Maret 016

9 PROSIDING ISSN: Gambar5, ilustrasi menggunakan 3 step. Berdasarkan Teorema 3.1, metode beda ingga stabil dengan syarat t 0.5. Selanjutnya pada t = 0.5 > 0.5, metode tidak stabil terliat dari permukaan yang kasar. Gambar 5. t = 0.15, t = 0.5, t = 0.5, T = 4. SIMPULAN a. Diberikan interval terbukaω R dengan syarat batas Γ = δω, Ω = (a, b) dengana, b R. Diberikan Q = Ωx(O, T], dengan T > 0, dan u: Q = Ω x[o, T]. Digunakan proses difusi nonlinear dengan koefisien D = D R + id I, dengan D R dan D I adala fungsi real. Asumsikan juga bawa D R 0. Diberikan MSAB darifungsiu u t (x, t) = D u(x, t) x, (x, t) Q, D R u(x, 0) = u 0 (x), x Ω, { αu(x, t) + β u (x, t) = 0, x Γ, t [O, T], x Dengan u dinotasikan sebagai turunan normal x ke Γ. x Bentuk metode beda ingga dari MSAB di atas adala U m+1 m j U j t m = Dδ + x (δ x U m+θ j ) U 0 j = u 0 (x j ) αu j m + β (δ x + U j m + δ x U j m )v = 0 Dengan U j m merupakan pendekatan dari u(x j, t m ). b. Diberikan kondisi stabilitas pada MSAB diatas yaitu sebagai berikut: Jika θ [ 1, 1] maka kondisi pada metode beda ingga di atas stabil tanpa syarat. Jika θ [0, 1 [,maka kondisi pada metode beda ingga di atas stabil dengan Konferensi Nasional Penelitian Matematika dan Pembelajarannya (KNPMP I) 767 Universitas Muammadiya Surakarta, 1 Maret 016

10 PROSIDING ISSN: t m, m = 1,, M 1 (1 θ) max D D R Dan terdapat ξ yang berlaku 0 < ξ D R j, m. 5. DAFTAR PUSTAKA Anton, Howard.(1995), Aljabar Linear Elementer. Erlangga: Jakarta. Crank.(1975). matematics of difusion. Oxford University Press: London. Granvile.(005).Te Numerical Solution of Ordinary and Partial Differential Equations.AJOHN WILEY &SONS, INC., PUBLICATION: Texas. Humi, M., and Miller, W.B.(199).Boundary Value Problems and Partial Differen-tial Equations. United Stated of America: PWS KENT Publising Company,. Suli.(000). Finite Element Metods for Partial Differential Equations, Lecture notes.universityof Oxford, Oxford, UK. Aderito Ara ujo, SiviaBarbeiro, Pedro Serrano. (01). Stability of Finite Diffrence Scemes for Complex Diffusion Processes.Siam J. Numer.Anal.Vol. 50, No. 3, pp Konferensi Nasional Penelitian Matematika dan Pembelajarannya (KNPMP I) 768 Universitas Muammadiya Surakarta, 1 Maret 016