SOLUSI NUMERIK MODEL REAKSI-DIFUSI (TURING) DENGAN METODE BEDA HINGGA IMPLISIT SKRIPSI. Oleh: JUNIK RAHAYU NIM

Transkripsi

1 SOLUSI NUMERIK MODEL REAKSI-DIFUSI (TURING) DENGAN METODE BEDA HINGGA IMPLISIT SKRIPSI Oleh: JUNIK RAHAYU NIM JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM MALANG 3

2 SOLUSI NUMERIK MODEL REAKSI-DIFUSI (TURING) DENGAN METODE BEDA HINGGA IMPLISIT SKRIPSI Diajkan Kepada: Fakltas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Malana Malik Ibrahim Malang ntk Memenhi Salah Sat Persyaratan dalam Memperoleh Gelar Sarjana Sains (S.Si) Oleh: JUNIK RAHAYU NIM JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM MALANG 3

3 SOLUSI NUMERIK MODEL REAKSI-DIFUSI (TURING) DENGAN METODE BEDA HINGGA IMPLISIT SKRIPSI Oleh: JUNIK RAHAYU NIM Telah Disetji ntk Diji: Tanggal: 6 Maret 3 Pembimbing I, Pembimbing II, Dr. Usman Pagalay, M.Si Ari Ksmastti, S.Si., M.Pd NIP NIP Mengetahi, Keta Jrsan Matematika Abdssakir, M.Pd NIP

4 SOLUSI NUMERIK MODEL REAKSI-DIFUSI (TURING) DENGAN METODE BEDA HINGGA IMPLISIT SKRIPSI Oleh: JUNIK RAHAYU NIM Telah Dipertahankan di Depan Dewan Pengji Skripsi dan Dinyatakan Diterima sebagai Salah Sat Persyaratan ntk Memperoleh Gelar Sarjana Sains (S.Si) Tanggal: April 3 Pengji Utama Keta Pengji Sekretaris Pengji Anggota Pengji : Dr. Ags Sryanto, M.Sc NIP : Abdssakir, M.Pd NIP : Dr. Usman Pagalay, M.Si NIP : Ari Ksmastti, S.Si, M.Pd NIP Mengesahkan, Keta Jrsan Matematika Abdssakir, M.Pd NIP

5 PERNYATAAN KEASLIAN TULISAN Saya yang bertanda tangan di bawah ini: Nama : Jnik Rahay NIM : 9695 Jrsan Fakltas Jdl : Matematika : Sains dan Teknologi : Solsi Nmerik Model Reaksi-Difsi (Tring) dengan Metode Beda Hingga Implisit menyatakan dengan sebenarnya bahwa skripsi yang saya tlis ini benar-benar merpakan hasil karya sendiri, bkan merpakan pengambilalihan data, tlisan ata pikiran orang lain yang saya aki sebagai hasil tlisan ata pikiran saya sendiri, kecali dengan mencantmkan smber cplikan pada daftar pstaka. Apabila di kemdian hari terbkti ata dapat dibktikan skripsi ini hasil jiplakan, maka saya bersedia menerima sanksi atas perbatan tersebt. Malang, 6 Maret 3 Yang membat pernyataan, Jnik Rahay NIM. 9695

6 MOTTO Semanya berawal dari niat, perbaikilah niatm sebelm melakkan sesat!

7 PERSEMBAHAN Karya ini penlis persembahkan kepada: Bapak Sparmin dan Ib Siti Marf ah Zaindin

8

9 KATA PENGANTAR Assalam alaikm Wr. Wb. Alhamdlillah, pji sykr hanya milik Allah SWT yang telah memberikan segala kemdahan dan ridha-nya sehingga penlis mamp menyelesaikan stdi di Jrsan Matematika Fakltas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Malana malik ibrahim Malang sekaligs menyelesaikan penlisan skripsi dengan jdl Solsi Nmerik Model Reaksi- Difsi (Tring) dengan baik. Sholawat serta salam semoga tetap tercrahkan kepada Nabi Mhammad SAW, kelarga, dan para sahabat belia. Dengan rasa sykr penlis mengcapkan terima kasih kepada:. Prof. Dr. H. Imam Sprayogo, selak Rektor Universitas Islam Negeri Malana Malik Ibrahim Malang.. Prof. Drs. Stiman Bambang Smitro, SU., D.Sc, selak Dekan Fakltas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Malana Malik Ibrahim Malang. 3. Abdssakir, M.Pd, selak Keta Jrsan Matematika Fakltas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Malana Malik Ibrahim Malang. 4. Dr. Usman Pagalay, M.Si dan Ari Ksmastti, S.Si, M.Pd, selak dosen pembimbing skripsi, yang telah memberikan bimbingan dengan baik sehingga penlis dapat menyelesaikan skripsi ini. 5. Selrh dosen Jrsan Matematika yang telah banyak memberikan ilm kepada penlis. viii

10 6. Keda orang ta penlis Bapak Sparmin dan Ib Siti Marf ah, yang mengajarkan kerja keras, sabar, mengalah dan tawakkal dalam mencapai kesksesan. Berkat do a, kebaikan dan ridho mereka pla Allah memberi berbagai kemdahan pada penlis. 7. Kakak penlis, Zaindin yang memotivasi ntk selal istiqomah. 8. Moh. Sbadar yang selal menemani penlis dalam penlisan skripsi ini. 9. Teman-teman Jrsan Matematika angkatan 9, khssnya Ibn Atho ilah, Imro atl Mkaromah, Moch. Chayrl Fad, Dian Alphy Pratiwi, Ainn Rosyida, Fithrotl Maf la, Ltfi Wicaksono dan F. Krnia Nirmala S. yang menjadi kelarga kecil penlis di Jrsan Matematika.. Teman-teman kos, Riadhlots Sholekhah, Alfa Rizqy Sndy, Nrl Imamah Aini, Nr Jazilah, Roro Ksma Ifa, Iswahyni Prwanti, Fitri Prworini, Siti Miftaql Jannah, Ariani Pji Winarni, Zakiya dan Hasniyah yang senantiasa membimbing penlis ntk menjadi dewasa.. Sema pihak yang tidak mngkin penlis sebt sat persat, atas keikhlasan bantan moral dan spiritil, penlis capkan jazakmllah khoiron katsiron. Semoga skripsi ini memberikan manfaat kepada para pembaca khssnya bagi penlis secara pribadi, amin. Wassalam alaikm Wr. Wb. Malang, Maret 3 Penlis ix

11 DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL HALAMAN PENGAJUAN HALAMAN PERSETUJUAN HALAMAN PENGESAHAN HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN TULISAN HALAMAN MOTTO HALAMAN PERSEMBAHAN KATA PENGANTAR... viii DAFTAR ISI... x DAFTAR GAMBAR... xii DAFTAR LAMPIRAN... xiii ABSTRAK xiv ABSTRACT... xv... xvi ملخص BAB I PENDAHULUAN. Latar Belakang.... Rmsan Masalah Tjan Penelitian Batasan Masalah Manfaat Penelitian Metode Penelitian Sistematika Penlisan... 6 BAB II KAJIAN TEORI. Analisis Persamaan Diferensial Parsial Model Reaksi-Difsi (Tring) Analisis Model Reaksi-Difsi (Tring) Metode Beda Hingga Skema Implisit ntk Model Reaksi-Difsi (Tring)....4 Manfaat Shalat Tahajd... 5 BAB III PEMBAHASAN 3. Analisis Skema Beda Hingga Implisit Model Reaksi-Difsi (Tring) Penyelesaian Nmerik pada Model Reaksi-Difsi (Tring) Interpretasi Hasil Penyelesaian Nmerik Implisit pada Model Reaksi-Difsi (Tring) Perhitngan Wakt Pelaksanaan Shalat Tahajd... 5 BAB IV PENUTUP 4. Kesimplan Saran x

12 DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN xi

13 DAFTAR GAMBAR Gambar.3. Gambar Penyelesaian Persamaan Diferensial Parsial dengan Metode Beda Hingga... Gambar.3. Jaringan Titik Hitn (grid) pada Bidang x t... Gambar.3.3 Skema Implisit... 5 Gambar 3.. Stensil ntk Persamaan (3..5)... 9 Gambar 3.. Stensil ntk Persamaan (3..9) Gambar 3..3 Jaringan Titik Hitng Skema Beda Hingga Imsplisit ntk Model Reaksi-Difsi (Tring)... 3 Gambar 3.. Jaringan Titik Hitng Skema Beda Hingga Imsplisit ntk Model Reaksi-Difsi (Tring) dengan Parameter x dan t... 4 Gambar 3.. Solsi Nmerik ntk ( x, t ) dengan Gambar 3..3 Solsi Nmerik ntk v( x, t ) dengan Gambar 3..4 Solsi Nmerik ntk ( x, t ) dengan.5 Gambar 3..5 Solsi Nmerik ntk v( x, t ) dengan.5 Gambar 3..6 Solsi Nmerik ntk ( x, t ) dengan. Gambar 3..7 Solsi Nmerik ntk v( x, t ) dengan xii

14 DAFTAR LAMPIRAN Lampiran Program Matlab Penyelesaian Nmerik Model Reaksi-Difsi (Tring) dengan Lampiran Program Matlab Penyelesaian Nmerik Model Reaksi-Difsi (Tring) dengan Lampiran 3 Program Matlab Penyelesaian Nmerik Model Reaksi-Difsi (Tring) dengan xiii

15 ABSTRAK Rahay, Jnik. 3. Solsi Nmerik Model Reaksi-Difsi (Tring) Dengan Metode Beda Hingga Implisit. Skripsi. Jrsan Matematika Fakltas Sains dan Teknologi. Universitas Islam Negeri Malana Malik Ibrahim Malang. Pembimbing: (I) Dr. Usman Pagalay, Drs. M.Si (II) Ari Ksmastti, S.Si., M.Pd. Kata Knci: Model Reaksi-Difsi (Tring), Metode Beda Hingga, Skema Implisit. Alan Tring (95) mengemkakan bahwa sistem interaksi bahan kimia dipengarhi oleh difsi yang tidak stabil yang kemdian berkembang menjadi pola spasial. Hasil dari penelitian ini disebt dengan model reaksi-difsi (Tring). Barras dkk. (6) mengganti mekanisme Mrray (3) dalam menganalisis model ini, sehingga terbentklah model dengan rasio pertmbhan domain yang tmbh secara eksponensial sebagai difsifitasnya. Metode nmerik dalam pencarian solsi dari sat sistem jarang dignakan akhir-akhir ini. Paper ini membahas penyelesaian nmerik pada contoh model. Dipelajari solsi nmerik pada model reaksi-difsi (Tring) dengan metode beda hingga. Metode beda hingga merpakan metode nmerik yang dapat dignakan ntk menyelesaikan persamaan diferensial parsial. Dignakan metode beda hingga skema implisit beda mndr ntk trnan pertama terhadap wakt dan beda simetrik ntk trnan keda terhadap rang dalam menyelesaikan seperti model reaksi-difsi (Tring). Dari penyelesaian nmerik diperoleh bahwa domain pertmbhan ( ) mempengarhi konsentrasi dalam model dan penyelesaian nmerik. Peneliti lain di harapkan dapat mengembangkan penelitian ini dalam kass da dimensi atapn dengan menrnkan model reaksi-difsi (Tring) yang berpa persamaan diferensial parsial menjadi persamaan diferensial biasa sehingga dapat dibandingkan hasilnya dengan penelitian ini. xiv

16 ABSTRACT Rahay, Jnik. 3. Nmerical Soltion of Reaction-Diffsion (Tring s) Model with Finite Difference Method Implisit Scheme. Thesis. Departement of Mathemathics. Faclty of Science and Technology. The State of Islamic University Malana Malik Ibrahim Malang. Promotor: (I) Dr. Usman Pagalay, Drs. M.Si (II) Ari Ksmastti, S.Si., M.Pd. Keywords: Reaction-Diffsion (Tring s) Model, Finite difference methods, Implicit Scheme. In 95, Alan Tring sggested that the chemical interaction of the system is affected by an nstable diffsion which later evolved into spatial pattern. The reslts of this stdy are called reaction-diffsion (Tring s) model. Barras et al. (6) to replace the mechanisms Mrray (3) in analyzing this model, ths forming a domain model with a growth rate that is growing exponentially as coefficient diffsion. Nmerical methods in the search for soltions of a system is rarely sed these days. This paper discsses the nmerical soltion to the model example. Stdied nmerical soltions in reaction-diffsion (Tring) model with a finite difference method. Finite difference method is a nmerical method that can be sed to solve partial differential eqations. Used finite difference method implicit difference schemes for the first derivative of the backward time and symmetric difference for the second derivative of the space in the finish as the reactiondiffsion (Tring s) model. Of the nmerical soltion is obtained that domain affects the concentration of growth in the model and the nmerical soltion. Another researcher is expected to develop this stdy in the case of two dimensions or by lowering the reaction-diffsion (Tring s) model in the form of partial differential eqations into ordinary differential eqations that can be compared with the reslts of this stdy. xv

17 ملخص راها ى جى ك. 3. حل األرقام األسلوب التفاعل من أعلى إلى سفلى )تورينج( ومخطط ضمني تحليل االستقرار. انثحث انجايع. لظى انز اض اخ. كه ح انعهىو انتك ىنىج ا. جايعح اإلطالي ح انحكىي ح يىال ا يانك إتزاه ى ياال ج. ان شزف:. انذكتىر عظ ا فاجان. أر كىطىيظتىت ان اجظت ز. كلمات البحث : أطهىب انتفاعم ي أعه إن طفه )تىر ج( طزلح انفزوق ان حذودج ويخطط ض تحه م االطتمزار. آن تىر ج ( 95( مىل أ طاو ان حاول انك ائ أثز عه د فىط انذ غ ز اطتذايح و شأ عه انزيىس ان تغ زج. تائج هذا انثحث ظ تأطهىب تىر ج. تاراص وآخزو ( 6( ثذنى تم ح ن يىر ( 3( ف تحه م هذا األطهىب و شكم أطهىب تان اء انت شأ ت ثه ك عايم انتفاعم ي أعه إن طفه. طز مح األرلاو ف تحث تحه م ي اح ح ظاو ياسال ادر. هذا انثحث ثحث ع تحه م األرلاو ن اط األطهىب. ذرص ع تحه م األرلاو عه أطهىب انتفاعم ي أعه إن طفه )تىر ج(. تطز مح انفزوق ان حذودج. طز مح انفزوق ان حذودج ويخطط ض ه طز مح األرلاو انت ظتخ ذها نحم ان ظاوج انتفز ك انجشئ ح تأطهىب انتفاعم ي أعه إن طفه )تىر ج( انذ طصف ته ع ه ح انتفاعم ي أعه إن طفه تجا ة ان اء انت شأ ت ثه. اطتخذاو طز مح انفزوق ان حذودج ويخطط ض ن ظخح عه أولاخ أي ا انفزوق ان زكشي ن ظخح عه غزف نحم أطهىب انتفاعم ي أعه إن طفه )تىر ج(. تأطض عه تحه م األرلاو عزف أ كث ز أو صغز انم ح ان اء ( ( ف ع ه ح انتفاعم ال أثز عه تائج األرلاو انتفاعم ي أعه إن طفه )تىر ج(. ونثحث ا خزو زج عه ت ح هذا انثحث ف ان شكهح االتعاد انثا ح أو أخثط األطهىب انتفاعم ي أعه إن طفه )تىر ج( ان ظاوج انتفز ك انجشئ ح تج عه ان ظاوج انتفز ك انعادي حت تفزق تائجها تهذا انثحث. xvi

18 BAB I PENDAHULUAN. Latar Belakang Al-Qr an merpakan smber inspirasi mat Islam dan smber dari segala smber ilm pengetahan. Cerita orang-orang terdahl dan masa datang terkandng di dalamnya, dalam QS. Fshshilat ayat 53 Allah berfirman: Artinya: Kami akan memperlihatkan kepada mereka tanda-tanda (kekasaan) kami di segala wilayah bmi dan pada diri mereka sendiri, hingga jelas bagi mereka bahwa Al-Qr an it adalah benar. Tiadakah ckp bahwa Sesngghnya Thanm menjadi saksi atas segala sesat?. Dalam ayat ini dijelaskan adanya tanda-tanda kekasaan-nya pada diri mansia yang terngkap melali penelitian dan pengamatan ilmwan, dan yang kesemanya membktikan keesaan dan kekasaan-nya sekaligs mennjkkan kebenaran informasi Al-Qr an (Shihab, 3:44). Penelitian Alan Tring (95) merpakan salah sat penelitian yang dapat mengngkap keesaan dan kekasaan Allah dalam diri mansia, yait adanya difsi. Dalam penelitiannya Alan Tring mengemkakan bahwa sistem interaksi bahan kimia dipengarhi oleh difsi yang tidak stabil yang kemdian berkembang menjadi pola spasial. Dalam era integrasi biologi, model hasil penelitian Alan Tring merpakan salah sat contoh pertama bagaimana mengintegrasikan proses sederhana yang dapat memberikan hasil yang kompleks, dalam hal ini, kombinasi dari proses

19 penyetabilan yang menghasilkan sistem yang tidak stabil. Pada model tersebt, diasmsikan bahwa sel tidak bergerak tetapi hanya menanggapi pembedaan isyarat kimia. Hasil dari penelitian ini disebt dengan model reaksi-difsi (Tring). Salah sat stdi yang dapat diterapkan pada model tersebt adalah dilakkannya pencarian solsi dengan menggnakan metode nmerik. Salah sat metode nmerik ntk penyelesaian model reaksi-difsi (Tring) adalah metode beda hingga implisit yang stabil tanpa syarat. Penelitian terdahl, Mtholiah (8) membandingkan penggnaan metode beda hingga skema crank-nicholson dengan metode beda hingga skema implisit ntk menyelesaikan persamaan massa reaktor. Penelitian ini bertjan membandingkan keda skema tersebt. Hasilnya keda skema mempnyai galat yang hampir sama. Menindaklanjti saran penelitian tersebt ntk mengembangkan penelitian pada model lain, maka penlis memilih model reaksidifsi (Tring). Model reaksi-difsi (Tring) telah diteliti sebelmnya oleh Barras dkk. (6) dalam jrnal yang berjdl Mode Transitions in a Model Reaction- Diffsion System Driven by Domain Growth and Noise. Dalam jrnal ini Barras dkk. (6) mengngkap bahwa proses transisi dalam sebah model reaksi-difsi (Tring) mencapai pncak didorong oleh pertmbhan domain sehingga menghasilkan rtan pola. Urtan pola inilah yang mempercepat pertmbhan domain pada sebah fenomena mode dobling. Urtan pola tersebt mamp mengandalkan seleksi tertent hingga pola akhir, sehingga dapat mengatasi masalah yang melekat pada mekanisme model reaksi-difsi (Tring). Pada tingkat

20 3 pertmbhan ini, domain lebih lambat dalam penggandaan mode dapat rsak dengan adanya dinamika ganggan kecil. Selanjtnya dari sinilah diperiksa rtan penggandaan mode dan mempertimbangkan implikasi dari perilak ini dalam meningkatkan berbagai pola akhir, sehingga diketahi bahwa kegagalan pola dipengarhi oleh domain pertmbhan. Menrt Barras dkk. (6) model reaksi-difsi (Tring) adalah persamaan diferensial parsial dan persamaan diferensial biasa, sehingga membentk sistem. Persamaan pertama adalah perbahan konsentrasi ( x, t ) terhadap wakt sebanding dengan sat per kadrat dari panjang domain pertmbhan sebanyak kadrat trnan keda konsentrasi ( x, t) terhadap rang yang dipengarhi oleh adanya energi kinetik dan dihambat oleh konsentrasi awal sebanyak kadrat dari konsentrasi v serta adanya efek dilsi. Persamaan keda adalah perbahan konsentrasi v( x, t ) terhadap wakt sebanding dengan rasio koefisien difsi per kadrat dari panjang domain pertmbhan sebanyak kadrat trnan keda konsentrasi v( x, t) terhadap rang yang dipengarhi oleh adanya energi kinetik dan dihambat oleh konsentrasi awal sebanyak kadrat dari konsentrasi v, konsentrasi awal v serta adanya efek dilsi. Persamaan ketiga adalah perbahan jmlah panjang domain pertmbhan terhadap wakt sebanding dengan rasio domain pertmbhan sebanyak panjang domain pertmbhan. Diasmsikan proses difsi terjadi dalam kass pertmbhan domain yang tmbh secara eksponensial. Nilai parameter dalam skripsi ini mengac pada keterangan Barras dkk. (6), dengan merpakan rasio pertmbhan domain, dan v adalah efek dilsi, energi kinetik pada a.9 dan b. dan

21 4 koefisien difsi d.6. Beberapa nilai yang sesai dengan keterangan Barras dkk. (6) yait.,.5 dan.. Menrt Keller dan Segel (97) model reaksi-difsi (Tring) dapat diterapkan pada aplikasi ilstratif dalam ekologi. Hal ini dibktikan dengan adanya pembentkan pola dalam sel-sel amoeboid dari cetakan lendir yang timbl sebagai hasil dari ketidakstabilan chemotactic. Hasil penelitian ini kemdian menjadi inspirasi ntk berbagai model kedokteran (khssnya model ntk penyembhan lka dan kanker). Penelitian ini bertjan ntk mencari solsi nmerik dari model reaksidifsi (Tring) serta analisis dari setiap perbadingan perilak pada nilai parameter ρ. Oleh karena it penlis merancang penelitian yang terdiri dari proses pendiskritisasian sehingga terbentk pola iterasi ntk solsi nmerik dan analisis perbandingan perilak terhadap nilai ρ. Penelitian ini penting ntk dilakkan dalam rangka menyiapkan prosedr di lapangan yang lebih representatif jika dilakkan dengan metode nmerik. Metode nmerik dalam pencarian solsi dari sat sistem jga jarang dignakan akhir-akhir ini. Oleh karena it penlis tertarik melakkan penelitian ini dengan mengangkat jdl Solsi Nmerik Model Reaksi-Difsi (Tring) dengan Metode Beda Hingga Implisit.. Rmsan Masalah Rmsan masalah dalam penelitian ini adalah bagaimanakah penyelesaian nmerik model reaksi-difsi (Tring) dengan metode beda hingga implisit?

22 5.3 Tjan Penelitian Tjan penelitian ini adalah menyelesaikan model reaksi-difsi (Tring) dengan metode beda hingga implisit..4 Batasan Masalah Dalam penelitian ini, diberikan batasan masalah sesai Barras dkk. (6):. Parameter model reaksi-difsi (Tring) yang dignakan adalah a.9; b.; d.6 dan L().. Kondisi awal diberikan ( x, t).9; ( R, t).9; v( x, t) dan v( R, t). 3. Syarat batas diberikan (, t) v(, t) e t..5 Manfaat Penelitian Penelitian ini diharapkan dapat memberikan beberapa manfaat antara lain:. Memahami konsep metode beda hingga implisit sebagai salah sat metode ntk menyelesaikan persamaan diferensial parsial.. Mendapatkan analisis penyelesaian model reaksi-difsi (Tring). 3. Mendapatkan interpretasi terhadap penyelesaian nmerik model reaksi-difsi (Tring)..6 Metode Penelitian Pada pembahasan mengenai solsi nmerik model reaksi-difsi (Tring) dengan metode beda hingga implisit, penlis menerapkan beberapa langkah berikt:

23 6. Implementasi skema implisit yang telah dibentk dengan deret Taylor pada model reaksi-difsi (Tring).. Penyelesaian nmerik model reaksi-difsi (Tring) dengan kondisi awal, kondisi batas, serta parameter-parameter yang ditentkan. 3. Interpretasi hasil penyelesaian nmerik model reaksi-difsi (Tring)..7 Sistematika Penlisan Penlisan skripsi ini menggnakan sistematika penlisan yang terdiri dari empat bab. Masing-masing bab terdiri dari sb bab berikt: Bab I Pendahlan Dalam bab ini melipti latar belakang masalah, rmsan masalah, tjan penelitian, batasan masalah, metode penelitian dan sistematika penlisan. Bab II Kajian Teori Dalam bab ini terdiri atas teori-teori yang mendkng pembahasan. Teori tersebt melipti persamaan diferensial parsial model reaksi-difsi (Tring), analisis model reaksi-difsi (Tring), metode beda hingga implisit model reaksi-difsi (Tring) dan manfaat shalat tahajd. Bab III Pembahasan Dalam bab ini akan dibahas solsi nmerik dan interpretasi model reaksi-difsi (Tring). Bab IV Pentp Bab ini berisi kesimplan dari pembahasan dan disertai dengan saran-saran ntk penelitian selanjtnya.

24 BAB II KAJIAN TEORI. Analisis Persamaan Diferensial Parsial pada Model Reaksi-Difsi (Tring) Sat persamaan yang di dalamnya terdapat trnan parsial dan terdapat da ata lebih variabel bebas maka persamaan tersebt disebt persamaan diferensial parsial (partial differential eqation/pde) (Ayres, 99:). Misalkan f sat fngsi da variabel x dan y. Trnan parsial f terhadap x adalah sat fngsi yang dinyatakan oleh: f ( x x, y) f ( x, y) lim x x (..) apabila limit ini ada. Dengan cara yang sama, trnan parsial f terdapat terhadap y adalah sat fngsi yang dinyatakan oleh: f ( x, y y) f ( x, y) lim y y (..) (Prcell dan Varberg, 987:5) Tingkat (orde) dari persamaan diferensial adalah tingkat tertinggi dari trnan yang mncl pada persamaan tersebt (Ayres, 99:). bebas adalah: Bentk mm persamaan diferensial parsial linear orde dalam variabel Af xx Bf xy Cf yy Df x Ef y Ff G (..3) dimana A, B, C, D, E dan F adalah fngsi dari x dan y. Didefinisikan trnan parsialnya sebagai berikt: 7

25 8 f f f f f x y xx xy yy f, f, f, f, f. x y x xy y (..4) (Djojodihardjo, :34) Menrt Sasongko (:43) persamaan (..3) dapat dinyatakan sebagai kondisi-kondisi berikt:. Apabila koefisien A, B, C, D, E, F, G adalah konstanta ata fngsi yang terdiri dari variabel bebas saja, maka persamaan tersebt disebt linier.. Apabila koefisien A, B, C, D, E, F, G adalah fngsi dari variabel tak bebas ( Ff ) dan ata merpakan trnan dengan orde yang lebih rendah daripada persamaan diferensialnya,, x t maka persamaan tersebt disebt kasilinier. 3. Apabila koefisien A, B, C, D, E, F, G merpakan fngsi dengan orde trnan yang sama dengan orde persamaan diferensialnya,,, x t xt maka persamaan tersebt disebt persamaan non-linier. Sebagai contoh persamaan difsi berikt: v. t L x (..5) Misalkan L yang merpakan konstanta, maka persamaan berbentk: t v, x (..5a)

26 9 sehingga persamaaan (..5a) merpakan persamaan diferensial parsial linier. Jika L e t yang merpakan fngsi dari variabel tak bebas (bergantng pada wakt), maka persamaan (.4) berbentk: v, t t e x (..5b) sehingga persamaan (..5b) merpakan persamaan diferensial parsial kasilinier. Jika v L t yang merpakan trnan dengan pangkat sama dengan orde persamaan diferensialnya, maka persamaan (.4) berbentk: t v x v, x (..5c) sehingga persamaan (..5c) merpakan persamaan diferensial parsial nonlinier. Menrt Sasongko (:44) tipe dari persamaan diferensial orde da ditentkan oleh determinan D, jika: a. D B AC 4, maka bertipe Eliptik. b. c. D B AC 4, maka bertipe Parabolik. D B AC 4, maka bertipe Hiperbolik. berbentk: Berdasar definisi di atas, maka model reaksi-difsi (Tring) yang t L x v d v t L x dl L dt a v b v v v (..6)

27 dengan mengbah persamaan dl L menjadi persamaan biasa, dengan cara dt melakkan perkalian silang, sehingga diperoleh persamaan sebagai berikt, dl dt L sehingga dapat ditrnkan menjadi: ln L t ln C, dengan memindah ln C ke ras kiri, maka di atas dapat ditlis dalam bentk berikt: L ln, C t dapat disederhanakan menjadi: L C e t. Dilakkan perkalian silang maka diperoleh bentk sebagai berikt: L Ce t. Karena L adalah sat fngsi yang bergantng wakt maka diperoleh, L() t Ce t. C merpakan konstanta, sehingga nilainya dapat diabaikan. Maka persamaan di atas dapat ditlis menjadi: Lt e t. (..7) Setelah persamaan dl L dirbah, maka model reaksi-difsi (Tring) dt (..6) dapat ditlis menjadi:

28 t xx a v d (..8) Lt ( ) vt v xx b v v v L( t) e t t merpakan trnan parsial terhadap t, sedangkan xx merpakan trnan parsial keda terhadap x. Sedangkan v t merpakan trnan parsial terhadap t, sedangkan v xx merpakan trnan parsial keda terhadap x. Oleh karena it model reaksi-difsi (Tring) merpakan persamaan diferensial parsial dari da variabel bebas yait x dan t. Orde tertinggi dari trnan parsial dalam model reaksi-difsi (Tring) terletak pada xx dan v xx yang berorde da, sehingga model reaksi-difsi (Tring) merpakan persamaan diferensial parsial orde da. Meninja model reaksi-difsi (Tring) (..8) di mana L() t e t yang merpakan fngsi dari variabel tak bebas (bergantng pada wakt), sehingga model reaksi-difsi (Tring) merpakan persamaan diferensial parsial kasilinier orde da. Berdasar persamaan (..8), ntk persamaan t xx a v diperoleh koefisien A, B, C sehingga dapat diklasifikasikan sebagai persamaan diferensial parsial Parabolik karena diskriminannya memenhi: B 4AC 4.

29 Selanjtnya ntk persamaan d diperoleh vt v xx b v v v d koefisien A, B, C sehingga dapat diklasifikasikan sebagai persamaan diferensial parsial Parabolik karena diskriminannya memenhi: B d 4AC 4. Karena nilai dari determinan persamaan dan t xx a v d adalah nol, vt v xx b v v v maka model reaksi-difsi (Tring) merpakan persamaan diferensial kasilinier orde da tipe Parabolik. Solsi model reaksi-difsi (Tring) adalah fngsi ( x, t ) dan v( x, t ) yang memenhi persamaan (..8). Solsi tersebt merpakan solsi mm, sehingga diperlkan sbtitsi kondisi batas dan kondisi awal agar didapatkan solsi khss. Kondisi batas yang dignakan pada model reaksi-difsi (Tring) adalah Dirichlet Bondary Conditions. Untk interval t. dan x. Nilai batas (, t).9 ; (,.).9 ; v(, t) dan v(,.) ntk sema t. Sedangkan kondisi awal yang dignakan ntk model reaksi-difsi (Tring) adalah yang dirmskan sebagai berikt: ( x,) v( x,) L( t) e t. (..9) Persamaan (..9) tersebt akan dignakan ntk membat iterasi nmerik pada bab 3.

30 3. Analisis Model Reaksi-Difsi (Tring) Pemodelan Matematika mengenai model reaksi-difsi dikemkakan oleh Alan Tring (95) yang mengidentifikasi perkembangan embrio menjadi dewasa. Dalam penelitiannya Alan Tring mengasmsikan bahwa sistem interaksi bahan kimia dipengarhi oleh difsi yang tidak stabil yang kemdian berkembang menjadi pola spasial. Barras dkk. (6) mengganti mekanisme model Mrray (3) dalam menganalisis model reaksi-difsi (Tring) dengan domain pertmbhan menggnakan kinetika Schnakenberg, yang timbl dari sat penerapan hkm aksi massa ntk skema trimoleclar. Model reaksi-difsi (Tring) disimbolkan sebagai berikt: t xx a v d vt v xx b v v v L() t t e (..) dengan ( x, t ) konsentrasi dari Y dan v( x, t ) konsentrasi dari X. Konsentrasi X pada bidang sat dimensi dengan panjang yang tmbh secara eksponensial, akan tetapi kontiny pada interval x[,]. Selanjtnya mengenai random walks dan brownian motion ntk model reaksi-difsi (Tring). Untk persamaan dapat t xx a v ditliskan sebagai,. (..) t xx a v

31 4 Menrt Zaderer (998:-5), ntk menyelesaikan persamaan (..) dignakan asmsi-asmsi sebagai berikt:. Ekspektasi dari variabel acak x ata disebt jga sebagai lokasi perpindahan partikel dalam gelombang yang didefinisikan: E x x p q, dengan C adalah kecepatan difsi, dan dalam masalah ini kecepatan difsi dianggap sama dengan nol.. Varian dari sat variabel acak x ata disebt jga dengan besarnya perpindahan yang terjadi dari sat proses difsi, didefinisikan sebagai berikt: p V x 4, dengan D adalah konstanta ata koefisien difsi yang dalam hal ini diasmsikan besarnya sama dengan L( t) 3. Asmsi dasar difsi yang dignakan adalah x, t yang merpakan distribsi pelang. Dimana distribsi pelang dari sat partikel pada langkah x dan pada wakt yang ke t. sama dengan pelang ketika berada pada titik x pada wakt t dikalikan dengan pelang perpindahan partikel ke arah kanan p pada sat langkah ditambah dengan pelang partikel pada saat berada di titik x pada wakt t dikalikan dengan probabilitas perpindahan ke arah kiri dapat ditliskan dalam bentk berikt: q pada sat langkah, dimana pq, yang

32 5 x, t p x, t q x, t, (..3) dimana merpakan partisi wakt. 4. p adalah pelang perpindahan partikel ke arah kanan, sedangkan q adalah pelang perpindahan partikel ke arah kiri, dimana p, q R. Untk menyelesaikan brownian motion persamaan (..3) dignakan deret Taylor sebagai berikt: a. Untk x t x t x t,,,. b. Untk x t x t x t x t t,, x, xx,. x, t x, t x( x, t) xx( x, t). c. Untk Selanjtnya disbtitsikan deret Taylor pada point ab, dan c di atas pada persamaan (..3) sehingga diperoleh, x t x t p x t x t x x t q x t x t x x t (..4) (, ) t (, ) (, ) x(, ) x (, ) (, ) x(, ) x (, ). Persamaan (..4) dapat disederhanakan menjadi: x, t t x, t p q x, t p qx x, t p q xx( x, t). Diasmsikan pq, sehingga persamaan (..4) dapat ditlis dalam bentk berikt, x, t t x, t x, t p qx x, t p q xx( x, t). (..5) Persamaan (..5) dapat ditlis dalam bentk,

33 6 t x, t x, t q px x, t xx x, t x, t, kemdian persamaan di atas dibagi dengan τ, sehingga menjadi: t x t x t q p x x t xx x t x t,,,,, t x, t q p x x, t xx ( x, t). (..6) Jika diasmsikan bahwa, limq p C dan lim D, 4 pq. Sehingga persamaan (..6) dapat ditlis dalam bentk berikt: t x, t Cx x, t Dxx ( x, t). (..7) Diasmsikan C dan D, sehingga persamaan (..7) dapat ditlis menjadi: t x, t (, ). xx x t (..8) L() t Proses reaksi-difsi yang pertama dirmskan Barras dkk (6) dipengarhi oleh adanya energi kinetik dan dihambat oleh konsentrasi awal sebanyak kadrat dari v serta adanya efek dilsi, sehingga model reaksi-difsi (Tring) pada reaksi pertama berbentk:. (..9) t xx a v

34 7 Selanjtnya ntk persamaan d dapat ditlis vt v xx b v v v sebagai: d vt v. xx b v v v (..) Menrt Zaderer (998:-5), ntk menyelesaikan persamaan (..) dignakan asmsi-asmsi sebagai berikt:. Ekspektasi dari variabel acak x ata disebt jga sebagai lokasi perpindahan partikel dalam gelombang yang didefinisikan: E x x p q, dengan C adalah kecepatan difsi, dan dalam masalah ini kecepatan difsi dianggap sama dengan nol.. Varian dari sat variabel acak x ata disebt jga dengan besarnya perpindahan yang terjadi dari sat proses difsi, didefinisikan sebagai berikt: p V x 4, dengan D adalah konstanta ata koefisien difsi yang dalam hal ini d diasmsikan besarnya sama dengan L() t. 3. Asmsi dasar difsi yang dignakan adalah vx, t yang merpakan distribsi pelang. Dimana distribsi pelang dari sat partikel pada langkah x dan pada wakt yang ke t sama dengan pelang ketika berada pada titik x pada wakt t dikalikan dengan pelang perpindahan partikel ke

35 8 arah kanan p pada sat langkah ditambah dengan pelang partikel pada saat berada di titik x pada wakt t dikalikan dengan probabilitas perpindahan ke arah kiri dapat ditliskan dalam bentk berikt: q pada sat langkah, dimana pq, yang v x, t pv x, t qv x, t, (..) dimana merpakan partisi wakt. 4. p adalah pelang perpindahan partikel ke arah kanan, sedangkan q adalah pelang perpindahan partikel ke arah kiri, dimana p, q R. Untk menyelesaikan brownian motion persamaan (..), dignakan deret Taylor sebagai berikt: a. Untk vx t vx t v x t,,,. b. Untk vx t vx t x t v x t t,, x, xx,. v x, t x, t vx( x, t) vxx( x, t). c. Untk Selanjtnya disbtitsikan deret Taylor pada point ab, dan c diatas pada persamaan (..) sehingga diperoleh, v x t v x t pv x t v x t v x x t qv x t v x t v x x t (..) (, ) t (, ) (, ) x(, ) x (, ) (, ) x(, ) x (, ). Persamaan (..) dapat disederhanakan menjadi: vx, t vt x, t p qvx, t p qvx x, t p q vxx( x, t),

36 9 diasmsikan pq, sehingga persamaan (..) dapat ditlis dalam bentk berikt, vx, t vt x, t vx, t p qvx x, t p q vxx( x, t). (..3) Persamaan (..3) dapat ditlis dalam bentk, vt x, t vx, t q pvx x, t vxx x, t vx, t. Kemdian persamaan di atas dibagi dengan τ, sehingga menjadi: vt x t v x t q p vx x t vxx x t v x t,,,,, vt x, t q p vx x, t vxx ( x, t). (..4) Jika diasmsikan bahwa, limq p C dan lim D, 4 pq. Sehingga persamaan (..4) dapat ditlis dalam bentk berikt: vt x, t Cvx x, t Dvxx ( x, t). (..5) d Diasmsikan C dan D, sehingga persamaan (..5) dapat ditlis Lt () menjadi: d vt x, t v (, ). xx x t (..6) L() t Proses reaksi-difsi yang keda dirmskan Barras dkk. (6) dipengarhi oleh adanya oleh adanya energi kinetik dan dihambat oleh konsentrasi awal sebanyak kadrat dari konsentrasi v, konsentrasi awal v serta

37 adanya efek dilsi, sehingga model reaksi-difsi (Tring) pada reaksi keda berbentk: d vt v. xx b v v v (..7) Selanjtnya proses reaksi-difsi yang ketiga dirmskan Barras dkk. (6) yait proses reaksi-difsi yang terjadi pada domain pertmbhan yang tmbh secara eksponensial, sehingga terbentk persamaan: L( t) e t. (..8) Model reaksi-difsi (Tring) bertjan menggambarkan model gelombang yang berjalan dengan proses transisi, persamaan difsi yang dipengarhi dan dihambat oleh beberapa faktor sehingga terbentklah model reaksi-difsi (Tring). Difsi adalah peristiwa berpindahnya sat zat dari bagian berkonsentrasi tinggi ke bagian yang berkonsentrasi rendah. Hkm pertama Fick tentang difsi dapat ditlis sebagai berikt: D t x (..9) dengan D adalah difsivitas (Atkins, 999:88). Ummnya persamaan difsi, difsivitasnya merpakan konstanta, akan tetapi pada model reaksi-difsi (Tring) difsivitasnya yait pertmbhan domain yang tmbh secara eksponensial. Model reaksi-difsi (Tring) diklasifikasikan menjadi persamaan reaksi difsi dan disebt persamaan difsi model Tring, namn pada mmnya tetap dignakan sebtan model reaksi-difsi (Tring). Pada persamaan (..) diasmsikan proses difsi dalam kass pertmbhan domain yang tmbh secara eksponensial. Nilai parameter, kondisi

38 awal dan kondisi batas mengac pada keterangan Barras dkk. (6) dengan merpakan rasio domain pertmbhan, dan v adalah efek dilsi, energi kinetik a.9 dan b. dan koefisien difsi d.6. Beberapa nilai yang sesai dengan keterangan Barras dkk. (6) yait.,.5 dan...3 Metode Beda Hingga Skema Implisit ntk Model Reaksi-Difsi (Tring) Metode beda hingga dapat dignakan menyelesaikan persamaan diferensial parsial dengan kondisi awal dan batas. Untk it dibat jaringan titik hitngan pada daerah tinjaan. Sebagai contoh penyelesaian persamaan parabola pada daerah S yang dibatasi oleh krva C seperti tampak pada Gambar.3. daerah tinjaan S dibagi menjadi sejmlah pias (titik hitngan P ) dengan jarak antara pias adalah x dan y. Kondisi di mana variabel terikat hars memenhi di sekeliling krva C disebt dengan kondisi batas. Penyelesaian persamaan diferensial merpakan perkiraan nilai pada titik-titik hitngan P, P,..., P,... (Triatmodjo, :)... ij. Gambar.3.. Gambar Penyelesaian Persamaan Diferensial Parsial

39 dengan Metode Beda Hingga Meninja model reaksi-difsi (Tring) yang memat variabel bebas x dan t, skema beda hingga dibentk dengan membat jaringan titik hitngan pada bidang x t (Gambar.3.) yang dibagi dalam sejmlah pias dengan interval rang ( x) dan wakt ( t). Gambar.3.. Gambar Jaringan Titik Hitng (grid) pada Bidang x t Trnan parsial dalam persamaan diferensial parsial pada setiap titik grid didekati dari nilai-nilai tetangga dengan menggnakan deret Taylor. Dibentk skema beda hingga ntk trnan parsial fngsi dan v yang terdiri dari da variabel bebas x dan t. Berikt merpakan deret Taylor: n x x ( x x, t) ( x, t) xx( x, t)... ( x, t) O x,!! n n n (.3.) n dengan O x pertama diperoleh: merpakan galat. Memotong persamaan (.3.) sampai trnan x x t x t x x t O x (.3.) ( i, n) ( i, n) x( i, n), sehingga skema beda hingga dalam trnan parsial sebagai berikt: x, t x i n,, Ox x x t x t x i n i n x

40 3,, xi x tn xi tn x xi, tn Ox. x (.3.3) Karena x konstan sehingga x x x, persamaan (.3.3) menjadi: i i x,,, i tn xi tn x xi tn Ox. x (.3.4) Apabila notasi, n x t ditliskan sebagai, maka berikt merpakan skema i n beda hingga ntk trnan parsial fngsi pada x : i n n i,. x i x t x i n (.3.5) Persamaan (.3.5) disebt beda maj ntk x. Skema beda hingga ntk trnan parsial fngsi pada t dilakkan cara yang sama dengan mengganti persamaan (.3.) dengan ( x, t t), sehingga didapatkan persamaan berikt yang merpakan skema beda maj ntk t : t n i x, t i n t n i (.3.6) Selanjtnya akan dibentk skema beda hingga ntk trnan keda fngsi terhadap x dengan menggnakan deret Taylor orde 4 berikt: 3 x x 4 ( x x, t) ( x, t) xx ( x, t) xx( x, t) xx( x, t) O x. (.3.7)! 3! 3 x x 4 ( x x, t) ( x, t) x x( x, t) xx( x, t) xx( x, t) O x. (.3.8)! 3! Menjmlahkan persamaan (.3.7) dan (.3.8) maka diperoleh: ( x x, t) ( x x, t) ( x, t) x ( x, t) O x 4 xx x ( x, t ) O x n n n 4 i i i xx i n

41 4 x n n n xx i n i i i x, t Ox n n n,. (.3.9) x i i i x t xx i n Persamaan (.3.9) merpakan beda simetrik ntk x. Skema beda hingga ntk trnan parsial keda fngsi pada t, dilakkan cara yang sama dengan mengganti persamaan (.3.7) dan (.3.8) dengan ( x x, t) dan ( x x, t). Sehingga didapatkan persamaan berikt yang merpakan skema beda simetrik ntk t : n n n (.3.) t i i i x, t tt i n Berdasar definisi di atas,, x t dapat dinyatakan sebagai i n n i dan n v x, t dapat dinyatakan sebagai v. Transformasi beda mndr ntk trnan i n i terhadap wakt dan beda simetrik ntk trnan keda terhadap rang dapat dinyatakan sebagai berikt: Untk nilai trnan, x t dihitng t i n n n i i x, t. t t i n (. 3.) Untk, v x t dihitng t i n v n n vi vi x, t. t t i n (. 3.) Untk, x t dihitng xx i n,. x n n n i i i xx xi tn (.3.3)

42 5 Untk, v x t dihitng xx i n v v v v,. x n n n i i i xx xi tn (.3.4) (Cason dan Mingham, :9-3) Penyelesaian persamaan tipe Parabolik dengan menggnakan metode beda hingga dapat dibedakan menjadi da metode (skema) dasar, yait skema eksplisit dan skema implisit. Dalam skema implisit, ntk menghitng variabel di sat titik perl dibat sat sistem persamaan yang mengandng variabel di titik tersebt dan titik-titik sekitarnya pada wakt yang sama (Triatmodjo, :6). Berikt merpakan langkah iterasi pada skema implisit: Gambar.3.3 Gambar Iterasi pada Skema Implisit.4 Manfaat Shalat Tahajd Salah sat shalat snah yang tidak pernah ditinggalkan oleh Raslllah sepanjang hayatnya adalah shalat tahajd. Dalam srat Al-Isra ayat 79, Allah berfirman :

43 6 Artinya: Dan pada sebahagian malam hari bersembahyang tahajdlah kam sebagai sat ibadah tambahan bagim, mdah-mdahan Than-m mengangkat kam ke tempat yang terpji. Sasana hening malam ketika menjalankan shalat tahajd menghantarkan kepada kemantapan, kekhsy an, kejernihan pikiran serta menscikan Allah (menjahkan diri dari perbatan brk). Menscikan Allah dapat diartikan mengendalikan emosi negatif (Shihab, :5-5). Di dalam tbh, emosi berkaitan erat dengan hipotalams. Hipotalams berperan mengatr fngsi emosional. Di dalam hipotalams terdapat hormon kortisol. Hormon kortisol berfngsi ntk mempertahankan integritas tbh, sifat responsif pemblh darah dan volme cairan tbh (Gyton, dalam Sholeh, 6:3). Sekresi kortisol dipengarhi oleh rangsangan otak sebagai respons terhadap stres (Sholeh, 6:). Kortisol mempengarhi tingkah lak dan emosi. Kelebihan kortisol dalam jangka panjang dapat menyebabkan berbagai ganggan psikologis, seperti emosi yang labil, mdah tersinggng dan depresi. Sehingga kortisol perl disekresi dari hipotalams. Kortisol yang terbentk tersebt akan berdifsi dalam sirklasi darah. Dalam penelitian Barras dkk. (6) hal ini dianalogikan dengan kortisol sebagai konsentrasi ( x, t ) di dalam darah ata v( x, t). Di mana kadar kortisol ( x, t) dalam darah v( x, t) harslah seimbang agar tidak tejadi stres. Dari penelitian Barras dkk. (6) ini terngkaplah smber ilm pengetahan dalam Al-Qr an, yait adanya proses difsi. Selain it dapat dingkap pla bahwa difsi terjadi secara maksimal ketika seseorang menjalankan shalat tahajd.

44 7 Adapn manfaat shalat tahajd ntk kesehatan, sesai sabda Raslllah Saw. dalam sebah hadis: shalat tahajd dapat menghaps dosa, mendatangkan ketenangan dan menghindarkan dari penyakit (H.R Tirmidzi). Sabda Nabi ini dapat dihbngkan dengan fakta dalam sebah penelitian yang membktikan bahwa ketenangan dapat meningkatkan ketahanan tbh, mengrangi terkena penyakit jantng dan meningkatkan sia harapan (Lieben, dalam Sholeh, 6:). Sebaliknya stres dapat menimblkan mnclnya penyakit pada diri mansia, sehingga tahajd dapat dignakan sebagai obat ntk menyembhkan berbagai penyakit.

45 BAB III PEMBAHASAN 3. Analisis Skema Beda Hingga Implisit pada Model Reaksi-Difsi (Tring) Berikt merpakan model reaksi-difsi (Tring) persamaan (..): t xx a v d (3..) vt v xx b v v v L() t e t Sbtitsikan persamaan (.3.) dan (.3.3) pada persamaan, maka dapat dinyatakan bentk diskritnya sebagai t xx a v berikt: n n n n n i i i i i a v t L() t x n n n i i i n n n n i n n n i i i a i vi i. (3..) L( t) x t L( t) x L( t) x t Jika dikalikan dengan t, persamaan (3..) dapat disederhanakan menjadi: t n t n t n n n n n i i i i t a i vi i. L( t) x L( t) x L( t) x (3..3) Jika didefinisikan bilangan Corant: t L() t x, 8

46 9 maka persamaan (3..3) dapat dinyatakan sebagai berikt: t( a v ). (3..4) n n n n n n n i i i i i i i Jika iterasi n dimlai dari n, maka persamaan (3..4) dapat ditlis menjadi: t a v. (3..5) n n n n n n n i i i i i i i Stensil skema beda hingga implisit ntk persamaan (3..5) dapat digambarkan sebagai berikt: Gambar 3.. Stensil ntk Persamaan (3..5) Selanjtnya sbtitsikan persamaan (.3.) dan (.3.4) pada persamaan d vt v, xx b v v v maka dapat dinyatakan bentk diskritnya sebagai berikt: n n n n n v i vi d vi vi v i n n n n b. i vi vi vi t L() t x n d n d n d n vi n n n n v i vi v i b i vi vi vi. L( t) x t L( t) x L( t) x t (3..6) Jika dikalikan dengan t, maka persamaan (3..6) dapat disederhanakan menjadi:

47 3 dt n dt n dt n n n n n n v i vi v i vi t b i vi vi vi. L( t) x L( t) x L( t) x (3..7) Jika didefinisikan bilangan Corant: d t L() t x d, maka persamaan (3..7) dapat dinyatakan sebagai berikt: n n n n n n n n i i i i i i i i v v v v t( b v v v ). (3..8) Jika iterasi n dimlai dari n, maka persamaan (3..8) dapat ditlis menjadi: n n n n n n n n i i i i i i i i v v v v t( b v v v ). (3..9) Stensil skema beda hingga implisit ntk persamaan (3..9) dapat digambarkan sebagai berikt: Gambar 3.. Stensil ntk Persamaan (3..9) Selanjtnya jaringan titik hitng beda hingga implisit ntk model reaksidifsi (Tring) pada daerah x x R dan t t T adalah sebagai berikt:

48 3 Gambar 3..3 Jaringan Titik Hitng Beda Hingga Implisit ntk Model Reaksi-Difsi (Tring) Didefinisikan R r sehingga banyak titik grid ntk x adalah r dan x T k sehingga banyak titik grid ntk k adalah k. Langkah selanjtnya t yait dilakkan iterasi dengan kondisi awal, dan dignakan kondisi awal sebagai berikt: x,,9 bilangan random v x, bilangan random Setelah didapatkan nilai awal dan nilai batas, iterasi dilakkan dengan persamaan (3..5) dan (3..9) sesai jaringan titik hitng pada Gambar Deskripsi iterasi dalam sat titik grid ntk sembarang wakt dapat dinyatakan sebagai berikt:

49 3 a. Untk persamaan (3..5) ntk n = t a v 3 t a v t a 3 v t a 4 v4 4 r r r r t a r vr r r r r r t a r vr r r r r t a r vr r r ntk n = t a v 3 t a v t a 3 v t a 4 v4 4 r4 r3 r r3 t a r3 vr 3 r3 r3 r r r t a r vr r r r r t a r vr r r

50 33 ntk n = t a v t a v t a 3 v t a 4 v r4 r3 r r3 t a r3 vr 3 r r3 r r r t a r vr r r r r t a r vr r r ntk i = dan n = k k k k k k k k t a v k k k k k k k 3 t a v k k k k k k k t a 3 v 3 3 k k k k k k k t a 4 v 4 4 k k k k k k k r 4 r 3 r r 3 t a r 3 v r 3 r3 k k k k k k k r 3 r r r t a r v r r k k k k k k k r r r t a r vr r r

51 34 b. Untk persamaan (3..9) ntk i = dan n = v v v v t b v v v v v v3 t b v v v v v3 v4 v3 t b 3 v3 v3 v 3 v 3 v4 v5 v4 t b 4 v4 v4 v 4 v v v v t b v v v v r vr vr vr t b r vr vr vr v r vr vr t b r vr vr v r vr r4 r3 r r3 r3 r3 r3 r3 3 ntk i = dan n = v v v v t b v v v v v v3 v t b v v v v v3 v4 v3 t b 3 v3 v3 v 3 v 3 v4 v5 v4 t b 4 v4 v4 v 4 v v v v t b v v v v r vr vr vr t b r vr vr vr v r vr vr t b r vr vr v r vr r4 r3 r r3 r3 r3 r3 r3 3

52 35 ntk n = 3 v v v v t b v v v v v v3 v t b v v v v v3 v4 v3 t b 3 v3 v3 v 3 v v4 v5 v4 t b 4 v4 v4 v 4 v v v v t b v v v v r vr vr vr t b r vr vr vr v r vr vr t b r vr vr v r vr r4 r3 r r3 r3 r3 r3 r3 3 ntk i = dan n = k v v v v t b v v v v v v t b v v v v v v v t b v v v v v v v t b v v v k k k k k k k k k k k k k k k k 3 k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k vr 4 vr 3 vr v r 3 t b r 3 v r 3 v r 3 v r3 k k k k k k k k vr 3 vr vr v r t b r v r v r v r k k k k k k k k vr vr vr t b r vr vr v r vr

53 36 Skema beda hingga implisit dapat ditliskan dalam bentk matriks r xk yang secara sederhana ditliskan sebagai berikt: a. Untk persamaan (3..5) Untk n = t a v t a v 3 t a 3 v t a 4 v4 4 r3 r 3 t a r 3 vr 3 r 3 r r r t a r vr r r t a r vr r r Untk n = t a v t a v 3 t a 3 v t a 4 v4 4 r3 r 3 t a r 3 vr 3 r3 r r r t a r vr r r t a r vr r r

54 37 Untk n =3 3 t a v 3 t a v 3 3 t a 3 3 v t a 4 v4 4 3 r3 3 r 3 t a r 3 vr 3 r3 r 3 r r t a r vr r 3 r t a r vr r r Untk n = k k k k t k k a v k k k k k t a v k k k k k 3 t a 3 k v3 3 3 k 4 k k k k 4 t a 4 v4 4 k r3 k k k k k r t a r vr r r k r k k k k r t a r vr r k k k k k r t a r vr r r

55 38 b. Untk Persamaan (3.9) Untk n = v v t b v v v t b v v v v v3 t b 3 v v3 v3 3 3 v4 v4 t b 4 v4 v4 4 v r3 v vr 3 t b r vr vr r r vr vr t b r vr vr r vr t b r vr vr r v r Untk n = v v t b v v v t b v v v v v3 t b 3 v v3 v3 3 3 v4 v4 t b 4 v4 v4 4 v r3 v vr 3 t b r 3 vr 3 vr 3 r3 r vr vr t b r vr vr r vr t b r vr vr r v r

56 39 Untk n = 3 3 v v t b v v v 3 t b v v v 3 v v3 t b 3 3 v v3 v v4 v4 t b 4 v4 v4 4 3 v r3 3 v vr 3 t b r 3 vr 3 vr 3 r3 r 3 vr vr t b r vr vr r vr t b r vr 3 vr r v r Untk n = k k k k k v v t k k b v v k k k k k v k t b v v v k v k k k k k v3 t b 3 k v v3 v3 3 3 k v4 k k k k k v4 t b 4 v4 v4 4 k v r3 k k k k k k v vr3 t b r3 vr3 vr3 r3 r k vr k k k k k vr t b r vr vr r k k k k k k vr t b r vr vr r v r 3. Penyelesaian Nmerik Model Reaksi-Difsi (Tring) Dalam sb bab ini akan dibahas penyelesaian nmerik model reaksi-difsi (Tring). Diselesaikan contoh reaksi-difsi (Tring) pada daerah batas x dan t.. Rasio pertmbhan domain., energi kinetik a.9

57 4 dan a. serta rasio koefisien difsi d.6 sehingga persamaan (..) dapat ditliskan sebagai berikt: t.9. xx v.6 (3..) vt v.. xx v v v L() t e t Dipilih nilai t. dan x. Sehingga nilai bilangan Corant pada persamaan adalah: t.9. xx v t L() t x. ().., dan nilai bilangan Corant pada persamaan.6 vt v.. xx v v v adalah: dt L() t x.6 (.) () (.).

58 4 Sbtitsi nilai pada skema beda hingga ntk persamaan sesai dengan persamaan (3..5) adalah t.9. xx v sebagai berikt: n vi (3..). n.4 n. n n..9 n. n. i i i i i i Selanjtnya sbtitsi nilai pada skema beda hingga ntk persamaan.6 sesai dengan persamaan (3..9) adalah vt v.. xx v v v sebagai berikt: n vi (3..3). n.4 n. n n.. n n. n v. i i i i i i i Banyaknya titik grid yang dignakan pada smb x adalah r dengan nilai r sebagai berikt: R x r. x. Secara analog banyaknya titik grid yang dignakan pada smb t adalah k dengan nilai k sebagai berikt: T t. k, t. stensil ntk kondisi tersebt adalah sebagai berikt:

59 4 Gambar 3.. Jaringan Titik Hitng Skema Beda Hingga Implisit ntk Model Reaksi-Difsi (Tring) dengan Parameter x dan t Selanjtnya dilakkan iterasi kondisi batas ntk persamaan (3..) adalah,,.9 dan R t t x t t,,.9. Sedangkan iterasi kondisi batas ntk persamaan (3..3) adalah v x t v t dan vr t v t,,,,. n Sehingga diperoleh nilai.9, n,,, 3,...,, i,,,3,..., dan i v, n,,,3,...,, i,,,3,..., yang dapat dijabarkan sebagai n i berikt: dan v v v v v v v v.

60 43 Langkah beriktnya yait dilakkan iterasi kondisi awal sebagai berikt: n f ( t ),9 bilangan random, n, i,,...,99 i i n v g( t ) bilangan random, n, i,,...,99 i i Setelah didapatkan nilai awal dan nilai batas, iterasi dilakkan dengan persamaan (3..) dan (3..3) sesai jaringan titik hitng pada Gambar 3... Hasil perhitngan selengkapnya dapat dilihat dengan menjalankan program pada Lampiran. Gambar 3.. Solsi Nmerik x, t terhadap dengan. Gambar 3..3 Solsi Nmerik ntk vx, t dengan.

61 44 Diselesaikan contoh keda model reaksi-difsi (Tring) pada daerah batas x dan t.. Rasio pertmbhan domain.5, energi kinetik a.9 dan a. serta rasio koefisien difsi d.6 sehingga persamaan (..) dapat ditliskan sebagai berikt: t.9.5 xx v.6 (3..4) vt v..5 xx v v v L() t e t Dipilih nilai t. dan x. Sehingga nilai bilangan Corant pada persamaan adalah t.9.5 xx v t L() t x. ().., dan nilai bilangan Corant pada persamaan.6 vt v..5 xx v v v adalah dt L() t x.6 (.) () (.).

62 45 Sbtitsi nilai pada skema beda hingga ntk persamaan sesai dengan persamaan (3..5) adalah sebagai t.9.5 xx v berikt: n vi (3..5). n.4 n. n n..9 n.5 n. i i i i i i Selanjtnya sbtitsi nilai pada skema beda hingga ntk persamaan.6 sesai dengan persamaan (3..9) adalah vt v..5 xx v v v sebagai berikt: n vi (3..6). n.4 n. n n.. n n.5 n v. i i i i i i i Banyaknya titik grid yang dignakan pada smb x adalah r dengan nilai r sebagai berikt: R x r. x. Secara analog banyaknya titik grid yang dignakan pada smb t adalah k dengan nilai k sebagai berikt: T t. k. t. Selanjtnya dilakkan iterasi kondisi batas ntk persamaan (3..5) adalah,,.9 dan R t t x t t,,.9. Sedangkan iterasi kondisi batas ntk persamaan (3..6) adalah v x t v t dan vr t v t,,,,. n Sehingga diperoleh nilai.9, n,,, 3,...,, i,,,3,..., dan i

63 46 v, n,,,3,...,, i,,,3,..., yang dapat dijabarkan sebagai n i berikt: dan v v v v v v v v. Langkah beriktnya yait dilakkan iterasi kondisi awal sebagai berikt: n f ( t ),9 bilangan random, n, i,,...,99 i i n v g( t ) bilangan random, n, i,,...,99 i i Setelah didapatkan nilai awal dan nilai batas, iterasi dilakkan dengan persamaan (3..5) dan (3..6) sesai jaringan titik hitng pada Gambar 3... Hasil perhitngan selengkapnya dapat dilihat dengan menjalankan program pada Lampiran 3. Gambar 3..4 Solsi Nmerik x, t terhadap dengan.5

64 47 Gambar 3..5 Solsi Nmerik ntk vx, t dengan.5 Diselesaikan contoh ketiga model reaksi-difsi (Tring) pada daerah batas x dan t.. Rasio pertmbhan domain., energi kinetik a.9 dan a. serta rasio koefisien difsi d.6 sehingga persamaan (..) dapat ditliskan sebagai berikt: t.9. xx v.6 (3..7) vt v.. xx v v v L() t e t Dipilih nilai t. dan x. Sehingga nilai bilangan Corant pada persamaan adalah t.9. xx v t L x. ().

65 48., dan nilai bilangan Corant pada persamaan.6 vt v.. xx v v v adalah dt L x.6 (.) () (.). Sbtitsi nilai pada skema beda hingga ntk persamaan sesai dengan persamaan (3..5) adalah sebagai t.9. xx v berikt: n vi (3..8). n.4 n. n n..9 n. n. i i i i i i Selanjtnya sbtitsi nilai pada skema beda hingga ntk persamaan.6 sesai dengan persamaan (3..9) adalah vt v.. xx v v v sebagai berikt: n vi (3..9). n.4 n. n n.. n n. n v. i i i i i i i Banyaknya titik grid yang dignakan pada smb x adalah r dengan nilai r sebagai berikt: R x r. x.

66 49 Secara analog banyaknya titik grid yang dignakan pada smb t adalah k dengan nilai k sebagai berikt: T t. k. t. Selanjtnya dilakkan iterasi kondisi batas ntk persamaan (3..8) adalah,,.9 dan R t t x t t,,.9. Sedangkan iterasi kondisi batas ntk persamaan (3..9) adalah v x t v t dan vr t v t,,,,. n Sehingga diperoleh nilai.9, n,,, 3,...,, i,,,3,..., dan i v, n,,,3,...,, i,,,3,..., yang dapat dijabarkan sebagai n i berikt: dan v v v v v v v v. Langkah beriktnya yait dilakkan iterasi kondisi awal sebagai berikt: n f ( t ),9 bilangan random, n, i,,...,99 i i n v g( t ) bilangan random, n, i,,...,99 i i Setelah didapatkan nilai awal dan nilai batas, iterasi dilakkan dengan persamaan (3..8) dan (3..9) sesai jaringan titik hitng pada Gambar 3... Hasil

67 5 perhitngan selengkapnya dapat dilihat dengan menjalankan program pada Lampiran 3. Gambar 3..6 Solsi Nmerik x, t terhadap dengan. Gambar 3..7 Solsi Nmerik ntk vx, t dengan. 3.3 Interpretasi Hasil Penyelesaian Nmerik Model Reaksi-Difsi (Tring) Kondisi batas yang dignakan dalam pembahasan ini adalah x, t R, t, t.9, v x t v t dan vr t v t, t.9,,,,,. Hal tersebt diinterpretasi bahwa x dan R merpakan batas domain yang diselesaikan sehingga efek dilsi sebelm x dan R diabaikan. Nilai batas.9

68 5 dapat dimaknai bahwa energi kinetik non-dimensional pada titik x sebesar.9 dan nilai batas dapat dimaknai bahwa energi kinetik non-dimensional pada titik x n = R sebesar pada masing-masing konsentrasi ntk sema wakt t. Dengan adanya kondisi batas yang diberikan, maka dapat memberikan batasan daerah yang akan diselesaikan. Parameter-parameter yang dignakan di dalam model reaksi-difsi (Tring) yait merpakan rasio pertmbhan domain, dan v adalah diltion effect, energi kinetik pada a.9 dan b. dan koefisien difsi d.6. Kondisi awal yang dignakan dalam pembahasan contoh model reaksidifsi (Tring) adalah sebagai berikt: n f ( t ),9 bilangan random, n, i,,...,99 i i n v g( t ) bilangan random, n, i,,...,99 i i Kondisi tersebt dapat dimaknai bahwa energi kinetik non-dimensional pada titik x pada wakt t i ntk masing-masing konsentrasi dipengarhi oleh adanya penambahan bilangan random di belakang sat konstanta. 3.4 Perhitngan Wakt Pelaksanaan Shalat Tahajd Shalat tahajd adalah sholat snah yang dikerjakan pada wakt malam, dimlai selepas wakt shalat isya sampai menjelang sbh. Pelaksanaan shalat tahajd dalam srat Al-Mzzammil ayat -4 Allah SWT berfirman:

69 5 Artinya: Hai yang berselimt. Bangnlah (ntk sembahyang) di malam hari, kecali sedikit (daripadanya), (yait) seperdanya ata krangilah dari seperda it sedikit. Ata lebih dari seperda it. dan bacalah Al-Qr an it dengan perlahan-lahan. Sembahyang di sini diartikan perintah ntk melaksanakan shalat al-lail (tahajd). Wakt ntk melaksanakannya yait selama seperda malam ata sepertiga malam. Ada berbagai pandangan lama dalam menafsirkan wakt pelaksanaan shalat tahajd ini. Berikt cara menentkan wakt seperda malam:. Ditentkan wakt tenggelamnya matahari dan wakt terbit fajar.. Dihitng jarak wakt antara kedanya. 3. Hasilnya perhitngan dibagi da. 4. Hasil pembagian tersebt dijmlah dengan wakt tenggelamnya matahari (hasil penjmlahan tersebt adalah wakt pertengahan malam). Secara matematis digambarkan berikt ini: C B AB dengan A Wakt tengah malam. B Wakt tenggelam matahari C Wakt terbit fajar Misalnya, jika wakt tenggelamnya matahari adalah pkl 8. dan wakt terbit fajar hari beriktnya adalah pkl 5., maka jarak wakt antara kedanya

70 53 setelah dihitng adalah jam. Wakt jam ini kemdian dibagi menjadi da, maka hasilnya adalah 5 jam 3 menit. Kemdian hasil pembagian tersebt ditambahk dengan wakt matahari tenggelam, maka = 3.3, maka jadilah wakt pertengahan malam adalah 3.3 (pkl setengah malam). Sedangkan ntk menentkan wakt sepertiga malam yang akhir:. Dicari selisih perbedaan wakt antara wakt matahari tenggelam dengan wakt fajar terbit sebagaimana di atas.. Hasilnya dibagi tiga. Sepertiga malam, yait: =8. jam Jadi pkl.. 3. Hasil pembagian tersebt kemdian dipakai ntk mengrangi wakt terbit fajar keesokan hari (dalam contoh ini wakt terbit pkl 5.). Sepertiga malam, yait: 5. jam Jadi, pkl.. Maka permlaan sepertiga malam yang akhir adalah pada pkl. pagi (dini hari). Wakt ini tidaklah tetap, akan tetapi akan berbah-bah dari sat msim ke msim yang lain (Zhdi, 8).

71 BAB IV PENUTUP 4. Kesimplan Berdasarkan pembahasan, dapat diperoleh bahwa ntk menyelesaikan model reaksi-difsi (Tring) yang berbentk: t xx a v d vt v xx b v v v L() t t e yait ditransformasikan persamaan dan t xx a v d dalam bentk skema beda hingga implisit vt v xx b v v v menggnakan beda maj ntk trnan pertama terhadap wakt dan beda simetrik ntk trrnan keda terhadap rang, sehingga diperoleh bentk diskrit model reaksi-difsi (Tring) sebagai berikt: t( a v ) n n n n n n n i i i i i i i n n n n n n n n i i i i i i i i v v v v t( b v v v ). Selanjtnya dilakkan iterasi dengan parameter, kondisi batas dan kondisi awal pada daerah batas yang telah ditentkan pada hasil diskritisasi di atas. Untk menghitng solsi nmerik dignakan program yang tertera pada Lampiran. Berdasar hasil perhitngan diperoleh solsi nmerik ntk model reaksi-difsi (Tring) berpa matriks kran x. Berdasar solsi nmerik, diketahi 54

72 55 bahwa besar kecilnya rasio domain pertmbhan ( ) pada proses difsi mempengarhi penyelesaian nmerik model reaksi-difsi (Tring). 4. Saran Peneliti lain di harapkan dapat mengembangkan penelitian ini dalam kass da dimensi atapn dengan menrnkan model reaksi-difsi (Tring) yang berpa persamaan diferensial parsial menjadi persamaan diferensial biasa sehingga dapat dibandingkan hasilnya dengan penelitian ini.

73 DAFTAR PUSTAKA Atkins, P.W Kimia Fisika Jilid II Edisi Keempat. Jakarta: Erlangga. Ayres, F Persamaan Diferensial. Jakarta: Erlangga. Aziz, A.. 7. Bmi Shalat Secara Matematis. Malang: UIN-Maliki Press. Cason, D.M dan Mingham, C.G... Introdctory Finite Difference Methods for PDEs. Manchester Metropolitan University: Vents Pblishing ApS. Djojodihardjo, H... Metode Nmerik. Jakarta: PT. Gramedia Utama. Barras, I., Crampin E. J., dan Maini P. K.. 6. Mode Transitions in a Model Reaction-Diffsion System Driven by Domain Growth and Noise. Blletin of Mathematical Biology 68: Keller, E.F. dan Segel L The Initiation of Slime Mold Aggregation Viewed as an Instability. Jrnal of Theory Biology 6: Mtholiah, E.. 8. Analisis Perbandingan Metode Beda Hingga Skema Implisit dan Crank-Nicholson pada Penyelesaian Persamaan Diferensial Parsial. Skripsi Tidak diterbitkan. Malang: Universitas Islam Negeri Malana Malik Ibrahim Malang. Prcell, E. J. dan Varberg D Kalkls dan Geometri Analitis Jilid. Penj. Nyoman Ssila. Jakarta: Erlangga. Sasongko, S. B... Metode Nmerik dengan Scilab. Yogyakarta: C.V Andi Offset. Shihab, M. Q.. 3. Tafsir Al-Mishbah Pesan Kesan dan Keserasian Al-Qr an. Jakarta: Lentera Hati. Sholeh, M.. 6. Terapi Salat Tahajd Menyembhkan Berbagai Penyakit. Jakarta: PT Mizan Pblika. Triatmodjo, B... Metode Nmerik. Yogyakarta: Beta Offset. Zaderer, E Partial Differential Eqations of Applied Mathematics, Second Edition. New York: Wiley Interscience pblication. Zhdi. 8. Menghitng Tengah Malam dan Sepertiga Malam yang Akhir. diakses pada 6 April 3 pkl. WIB.

74 KEMENTERIAN AGAMA RI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM MALANG FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI Jl. Gajayana No. 5 Dinoyo Malang Telp./Fax.(34) BUKTI KONSULTASI SKRIPSI Nama : Jnik Rahay Nim : 9695 Fakltas/Jrsan : Sains dan Teknologi/Matematika Jdl Skripsi : Solsi Nmerik Model Reaksi-Difsi (Tring) dengan Metode Beda Hingga Implisit Pembimbing I : Dr. Usman Pagalay, M.Si Pembimbing II : Ari Ksmastti, S.Si, M.Pd Tanggal Hal Tanda Tangan. September Bab I.. 3 Desember Revisi Jdl Skripsi Desember Kajian Agama Bab I, Bab II Janari 3 Revisi Bab II Janari 3 Bab III Janari 3 Bab III Pebrari 3 Revisi Kajian Agama Bab I Pebrari 3 Revisi Kajian Agama Bab II Maret 3 Kajian Agama Bab III Maret 3 Revisi Bab III.. 3 Maret 3 ACC Kajian Agama.. 3 Maret 3 ACC Keselrhan. Malang,6 Maret 3 Mengetahi, Keta Jrsan Matematika Abdssakir, M.Pd NIP