MODUL PERKULIAHAN. Kalkulus. Fakultas Program Studi Tatap Muka Kode MK Disusun Oleh

Transkripsi

1 MODUL PERKULIAHAN Modl Standar ntk dignakan dalam Perkliahan di Universitas Merc Bana Fakltas Program Stdi Tatap Mka Kode MK Dissn Oleh Ilm Kompter Teknik Informatika 9 Abstract Matakliah Menjadi Dasar dari Pemikiran seorang ang akan Mempelajari Algoritma. Menjadi sangat Penting dalam Membangn sebah Aplikasi Program Mata Kliah ini merpakan praarat bagi Mata kliah Algoritma dan Stktr Data Kompetensi Mahasiswa dapat Memahami operasi dasar himpnan dan penajian himpan

2

3 KATA PENGANTAR KATA PENGANTAR Para mahasiswa/i pada saat ini tidak asing lagi dengan teknologi karena sdah merpakan bagian dari kehidpan mereka sehari-hari. Mlai mereka menginjakkan kaki di sekolah dasar mereka sdah terbiasa melihat kompter seperti melihat peralatan elektronik biasa baik dirmah mapn di lingkngan mereka. Modl ini dibat ntk dapat cocok dengan apa ang telah mereka ketahi tentang kompter dan apa ang kami percaai hars diketahi oleh mereka mengenai kompter dan peralatan lainna. Isi dari modl ini sedemikian rpa kami ssn sehingga kami harapkan tidak ada pengetahan ang terpisah sema menjadi kesatan pengetahan ang menat dan berkesinambngan. Pada modl ini jga dibahas mengenai komnikasi dengan dan tanpa kabel pada peralatan kompter. Komptasi enterprise ata persahaan besar jga menjadi bagian pengetahan dari modl ini ntk memperlas wawasan para mahasiswa/i ntk dapat siap menghadapi dnia kerja ang terbentang di masa depan mereka. Untk mendkng pengetahan mereka mata kliah jga akan dilengkapi dengan modl-modl laboratorim ang akan mengembangkan kemampan mahasiswa/i dalam memakai aplikasi kompter khssna site software: Microsoft Office XP 5 kemampan dan keahlian ini dikenal jga dengan istilah soft-skill. Kami harapkan modl ini dapat menjadi pegangan ntk memahami dan jga aplikasi dari teknologi kompter ata lebih lasna lebih dikenal dengan istilah bar ait: Telematika. Akhir kata kami tim pensn dengan rendah hati mohon maaf apabila ada kekrangan di sana sini dan dengan hati terbka kami dengan senang hati akan menerima sema jenis maskan tertama kritik-kritik ang membangn ntk menjadikan modl ini menjadi lebih baik di masa mendatang. Penlis modl

4 DAFTAR ISI Derivatif fngsi... Rangkman... Soal-penelesaian Soal-soal latihan 4

5 DERIVATIF FUNGSI. Definisi : Trnan dari sat fngsi pada titik tertent menjelaskan sifat sifat fngsi ang mendekati nilai inpt. Untk fngsi ang bernilai real dengan variabel real tnggal trnan pada sebah titik sama dengan kemiringan dari garis singgng grafik fngsi pada titik tersebt. Secara mm trnan sat fngsi pada sebah titik menentkan pendekatan linear terbaik fngsi pada titik tersebt. Grafik dari sebah fngsi garis hitam dan sebah garis singgng terhadap fngsi garis merah. Kemiringan garis singgng sama dengan trnan dari fngsi pada titik singgng Garis singgng pada f. Trnan f' dari sebah krva pada sebah titik adalah kemiringan dari garis singgng ang meninggng krva pada titik tersebt. 5

6 Konsep trnan secara fndamental lebih maj dan rmit daripada konsep ang ditemkan di aljabar. Dalam aljabar seorang mrid mempelajari sebah fngsi dengan inpt sebat angka dan otpt sebah angka. Tetapi inpt dari trnan adalah sebah fngsi dan otptna jga adalah sebah fngsi. Untk memahami trnan seorang mrid hars mempelajari notasi matematika. Dalam notasi matematika salah sat simbol ang mmna dipakai ntk menatakan trnan dari sebah fngsi adalah apostrofi. Maka trnan dari f adalah f' dibaca f aksen.. Jika inpt dari sebah fngsi adalah wakt maka trnan dari fngsi it adalah laj perbahan di mana fngsi tersebt berbah. Jika fngsi tersebt adalah fngsi linear maka fngsi tersebt dapat ditlis dengan =m+b di mana:. Ini memberikan nilai dari kemiringan sat garis lrs. Jika sebah fngsi bkanlah garis lrs maka perbahan dibagi terhadap perbahan bervariasi dan kita dapat menggnakan kalkls ntk menentkan nilai pada titik tertent. Kemiringan dari sat fngsi dapat diekspresikan: di mana koordinat dari titik pertama adalah f dan h adalah jarak horiontal antara da titik. Untk menentkan kemiringan dari sebat krva kita menggnakan limit : 6

7 Garis singgng sebagai limit dari garis sekan. Trnan dari krva f di sat titik adalah kemiringan dari garis singgng terhadap krva di titik tersebt. Kemiringan ini ditentkan dengan memakai nilai limit dari kemiringan garis sekan. Sebagai contoh ntk menemkan gradien dari fngsi f = pada titik 9:. Rms Dasar Trnan : a. = X n trnanna = nx n Contoh : = + 8 = + 6 = / = = = / = = / = ½ / = / b. = c dengan c adalah konstanta trnanna = Contoh : = 5 = c. sebagai fngsi trigonometri : 7

8 = sin = cos = tg = ctg = sec trnanna = cos trnanna = sin trnanna = sec trnanna = cosec trnanna = sec tg = cosec trnanna = cosec ctg Contoh : = tg = sec = ctg = cosec = sec = sec tg = cosec = cosec ctg = cos = sin d. sebagai fngsi logaritma : = ln trnanna = / = g log trnanna = /lng Contoh : = log / ln = ln / e. sebagai fngsi eksponen : = a trnanna = a ln a = e trnanna = e Contoh : = = ln = e = e 8

9 = e = e SOAL LATIHAN. Tentkanlah f fngsi fngsi berikt ini. a. f = + b. f = cos c. f = 5 d. f = cos sin. Bktikan jika f = maka f = 5/. Perteman TURUNAN FUNGSI LANJUTAN. Atran Rantai Untk Fngsi Terssn Untk fngsi fngsi ang bentkna rmit di mana adalah fngsi dari ata v dan v merpakan fngsi dari maka trnanna dicari dengan mengembalikanna ke rms dasar. Cara pengembalianna adalah sebagai berikt :. = U = U Contoh : a = => = b = + 4/ = / / 9

10 => =./ / / / = 4 _ 4 + 7_ c = = + / => = / + / =. = U V = U V Contoh : = sin + cos = cos sin Contoh : = tg ctg = sec + 6cosec. ctg dimana : Ctg = ctg. ctg U = ctg U = cose V = ctg V = cose = U V + UV = cose. ctg + ctg. cose = 6cose. ctg. = U.V = U V + UV Contoh : = + 4 U = X + U = V = 4 V = 9 4 = U V + UV

11 = = = Contoh : =. U = X U = V = V = ln = U V + UV =. +. ln Contoh : =.e.tg U = U = 6 V = e V = e W= tg W = sec Y = U VW + UV W + UVW = 6.e.tg +.e.tg +.e.sec Contoh : = + +4 U = + U = V = +4 V = 9+4 = U V + UV = = = Contoh : = sin.cosh U = sin U = cos

12 V = cosh V = sinh = U V + UV = cos.cosh sin.sinh Contoh : = sin.tgh U = sin U = sin.cos V = tgh V = sech = U V + UV = cos sin. tgh + sin sech Dimana : sin = sin. sin U = sin U = cos V = sin V = cos = U V + UV = cos.sin + sin.cos = cos.sin Contoh : = cosh. cos U = cosh U = sinh V = cos V = sin = U V + UV = sinh.cos cosh.sin = {sinh.cos + cosh.sin } Contoh : = + sec U = + U = 6

13 V = sec V = sec tg = U V + UV = 6.sec + +.sec tg = sec { + +.tg } Dimana : sec = sec.sec U = sec U = sectg V = sec V = sectg = U V + UV = sectg.sec + sec.sectg = sec tg + sec tg = sec tg 4. = U/V = U V UV V Contoh : = _ +_ +4 U = + U = V = +4 / V = ½+4 / = U V UV = +4 / { +./+4 / } V + 4 =

14 Contoh : = + + ln U = + U = V = + ln V = + / =.+ln +.+/ + ln = +ln +++/ +ln+ln Contoh : = tg = sin cos U = sin U = cos V = cos V = sin = cos.cos sin. sin cos = cos + sin = = sec Cos cos Dimana : cos + sin = /cos = sec 5. Atran Rantai Jika = f merpakan sat fng si terssn ait = g dan = h maka ntk trnanna dicari dengan cara : d = d. d d d d 4

15 Contoh : = dan = 4 + d d d Maka : d d d. Trnan dari Fngsi Invers Teorema : misal = f maka = f disebt Fngsi Invers. Trnan dari Fngsi Invers d adalah = ata f ' d d d Teorema : Trnan fngsi f = r r rasional adalah : f = r => f = r r contoh : Diberikan sat fngsi f = = / maka f = 4 = {} g = cos tan cos tan g = - sin tan. tan sec = sin tan.sec tan - k k blat SOAL LATIHAN DAN JAWABAN 5

16 6 Tentkan Trnan dari :. f =. f = sin. f = sin Jawab : f = = f =. =. =. =. f = sin sin f = cos sin sin cos.sin sin s

17 f = sin sin f = sin sin 6.cos.cos d cari dari + + = d di d f d d d d d di. d d d d d 5 5 d d jika diminta ntk mencari maka d d d 5 = 5 maka =. d d 7

20 DAFTAR ISI Differensial fngsi... Rangkman... Soal-penelesaian Soal-soal latihan

21 DIFERENSIAL FUNGSI Setelah kita membahas limit pada bab sebelmna kita akan membahas tentang trnan ang konsepna dikembangkan dari konsep limit. Pembahasan trnan dibagi menjadi da bagian bagian pertama membahas pengertian sifat dan penghitngan trnan sat fngsi bagian keda membahas penggnaan trnan. Bagian pertama akan kita bahas pada bab ini sedangkan bagian keda akan dibahas pada bab selanjtna. TIK : Setelah mengikti pokok bahasan ini mahasiswa diharapkan mamp menentkan trnan fngsi ang diberikan. 4. Pengertian dan Sifat Trnan Perhatikan gambar berikt. L f+h = f L + h f Gambar 4.. Pada gambar di atas garis L meninggng krva f di titik f sedangkan garis L melali titik f dan titik +hf+h. Jika h mendekati nol maka garis L akan mendekati garis L 4

22 sehingga gradien garis L akan mendekati gradien garis L. Hal ini dapat dinatakan dalam bentk limit sebagai berikt: ml lim ml h lim h f h h f. Bentk lim h f h h f dikenal sebagi trnan fngsi = f ang dinotasikan dengan d df ata f. d d Dengan demikian secara geometri trnan fngsi merpakan gradien dari garis singgng krva fngsi tersebt. Karena trnan dedifinisikan dengan menggnakan limit sedangkan limit fngsi bisa tidak ada maka fngsi mngkin tidak mempnai trnan di beberapa titik tertent. Sebagai contoh perhatikan fngsi nilai mtlak f ang grafikna diberikan dalam gambar di bawah ini. Gambar 4.. Jika kita memperhatikan gambar dengan cermat maka kita akan dapatkan bahwa grafik fngsi nilai mtlak di atas berpa garis lrs ang sebelah kanan smb adalah berpa garis = 5

23 sedangkan ang sebelah kiri smb berpa garis =. Garis di kanan dan kiri smb mempnai gradien ang berbeda sehingga patt dicrigai bahwa fngsi f tidak mempnai trnan di perpotongan krva dengan smb ait titik. Pembktian bahwa fngsi f tidak mempnai trnan di titik diberikan di bawah ini. Karena lim h f h h f lim h h h lim h h h lim h dan lim h f h h f lim h h h lim h h h lim h maka lim h f h h f lim h f h h f sehingga f h f f ' lim tidak ada. h h Contoh: a. Tentkan garis singgng krva b. Tentkan apakah di = fngsi di titik 4 mempnai trnan? Penelesaian: a. Gradien garis singgng krva di titik 4 adalah f h f h m = f ' lim lim lim 4 h 4. h h h h h 6

24 Oleh karena it persamaan garis singgngna adalah m f h f h b. Karena f ' lim lim lim h maka h h h h h mempnai trnan di =. Jika kita menentkan trnan secara langsng dengan menggnakan definisi trnan maka kita akan mendapatkan banak keslitan dan memakan wakt lama. Untk it diperlkan cara lain di samping dengan menggnakan definisi secara langsng ait dengan menggnakan sifat dan rms trnan. Berikt diberikan beberapa sifat penting dalam pencarian trnan sat fngsi.. Atran perkalian dengan konstanta. Jika c konstanta dan f fngsi ang dapat ditrnkan maka d d d d cf c f. Atran jmlah. Jika f dan g kedana dapat ditrnkan maka d d d d d d f g f g. Atran selisih. Jika f dan g kedana dapat ditrnkan maka d d d d d d f g f g 4. Atran hasil kali. 7

25 8 Jika f dan g kedana dapat ditrnkan maka f d d g g d d f g f d d 5. Atran hasil bagi. Jika f dan g kedana dapat ditrnkan maka g g d d f f d d g g f d d Bkti:. Atran perkalian dengan konstanta. Jika c konstanta dan f fngsi ang dapat ditrnkan maka lim lim lim f d d c h f h f c h f h f c h cf h cf cf d d h h h. Atran jmlah. Jika f dan g kedana dapat ditrnkan maka ] [ lim ] [ lim ] [ lim ] [ lim g d d f d d h g h g h f h f h g h g f h f h g f h g h f g f d d h h h h. Atran selisih. Untk latihan

26 9 4. Atran hasil kali. Jika f dan g kedana dapat ditrnkan maka ] [ lim ] [ lim lim ] [ lim ] [ lim ] [ ] [ lim lim f d d g g d d f h f h f g h g h g h f h f h f g h g h g h f h f h f g g h g h f h g f h g h f g f d d h h h h h h h 5. Atran hasil bagi. Untk latihan. Selanjtna di bawah ini diberikan beberapa rms dasar trnan. Nomor Fngsi Trnan fngsi = k k konstanta = = n = n n = ln = Bkti:. lim lim ' h k k h f h f k h h. h h h f h f n n h h n lim lim '

27 n n n n n n n h h... h lim h h n n n n n h[ n h... h ] lim h h n n n n n lim [ n h... h ] h n n n s. ln ' lim h f h h f ln h ln lim h h h ln lim h h h ln[ ] h lim lim ln h h h h ln lim [ h ln e h ] h Contoh:. Jika h = g dan g = 5 dan g = carilah h.. Carilah trnan fngsi: a b. = 6 Penelesaian: atran perkalian. h g h'.g g'. h' g g'

28 d d d d d d a. ' = d d d d d d b. atran pembagian ' 6 ' v v' ' v 6 6 v. v 6 ' Atran Rantai. fngsi. Di bawah ini diberikan atran rantai ang banak dignakan ntk menentkan trnan Jika f dan g kedana mempnai trnan dan h = f o g adalah fngsi komposisi ang didefinisikan oleh h = fg maka h mempnai trnan ait h ang dinatakan oleh h = f g. g maka Dalam notasi Leibni jika = f dan = g kedana fngsi ang mempnai trnan d d d. d d d Bkti:

29 ' ' lim. lim lim. lim. lim lim lim ' g g f t g t g p g f p g f t g t g g t g g f t g f t g t g g t g g f t g f t g f t g f t t h t h h t p t t t t t Dengan menggnakan atran rantai dan dengan menggnakan rms sebelmna kita akan dapatkan rms rms di bawah ini. Nomor Fngsi Trnan fngsi = e = e = a a = a ln a = a log a > a = ln a Bkti:. e e ' '. ln atran rantai. Untk latihan. Untk latihan 4.. Trnan Fngsi Implisit dan Fngsi Parametrik

30 Dalam pembahasan sebelmna kita telah membahas trnan fngsi eksplisit. kali ini kita akanm membahas trnan fngsi implisit dan fngsi parametrik. Metode ang dignakan serpa dengan trnan fngsi eksplisit. Contoh : d a. Jika + = 5 carilah d b. Jika = t + = t + t tentkan d. d Penelesaian: a. Jika kita trnkan keda ras persamaan + = 5 terhadap maka akan kita peroleh: d d d d d 5 d d d Mengingat adalah fngsi dari dan dengan menggnakan atran rantai diperoleh d d d d d d d d d Oleh karena it + = sehingga d d d b. Jika variabel dan kita trnkan terhadap parameter t maka akan kita peroleh d dt d sedangkan t. dt

31 d Karena ang akan kita cari adalah maka d d d d d dt. dt = dt d d dt t. Definisi trnan : Fngsi f : ata = f mempnai trnan ang dinotasikan = f ata d = df dan di definisikan : d d = f = lim f + h f ata d = lim f + f h h d h h Notasi keda ini disebt notasi Leibni. Contoh : Tentkan trnan dari f = 4 Jawab f = 4 f + h = 4 + h = 4 + 4h Sehingga: f = lim h f h f h = = = 4 4h 4 lim h h 4 4h 4 lim h h 4h lim h h = 4 lim h 4

32 = 4 Contoh ; Tentkan trnan dari f = Jawab : f = f + h = + h = + h + h = + 6h + h Sehingga : f = lim h f h h f = = lim h 6h h lim h h 6h h h = lim6 h h = 6+. = 6 Latihan Dengan definisi di atas tentkan nilai trnan berikt:. f = 6. f = 5 +. f 4. f 5. f = RUMUS RUMUS TURUNAN d. Trnan f = a n adalah f = an n ata = an n d. Untk dan v sat fngsic bilangan Real dan n bilangan Rasional berlak a. = ± v = v ± b. = c. = c. c. =.v = v +.v 5

33 ' ' v v' d. v v e. = n = n. n. Contoh: Soal ke Jika f = + 4 maka nilai f ang mngkin adalah. Pembahasan f = + 4 f =. = 6 Soal ke Nilai trnan pertama dari: f = adalah Pembahasan f = f = = Soal ke Trnan ke dari f = 4+ adalah Pembahasan f = 4+ f = + 8 f = 5 f = 4 5 Soal ke 4 Jika f = maka nilai f adalah 6

34 Pembahasan f = f = f = 6 f = 6 f = f = Soal ke 5 Trnan pertama dari f = 5 adalah Pembahasan f = 5 f = 5 f = 5 f = Soal ke 6 Trnan pertama dari f = 6 + adalah Pembahasan f = 6 + Cara : Misal : U = 6 U = 6 6 V = + V = Sehingga: f = U V + U V 7

35 f f = = f = 9 Cara : f = 6 + f = +6 6 f = 9 + f = 9 Latihan soal. Tentkan trnan dari:. f =. f = 5. f = 4 4. f = 4 5. f = + 6. f = 4 7. f = 8. f = 5 8

38 DAFTAR ISI Differensial fngsi trigonometri... Rangkman... Soal-penelesaian Soal-soal latihan

39 DIFERENSIAL FUNGSI Trnan Fngsi Trigonometri dan Siklometri Rms dasar dari trnan trigonometri adalah trnan fngsi sins dan cosins sedangkan trnan fngsi trigonometri ang lainna dan trnan fngsi siklometri dapat ditentkan dengan rms trnan sins dan cosins sifat trnan dan atran rantai. Trnan rms sins dan cosins diberikan di bawah ini. Nomor Fngsi Trnan fngsi = sin = cos = cos = sin Bkti:. sin ' lim h f h h f sin h sin lim h h h h cos sin lim h h h sin h lim cos lim h h h cos. cos... cos ' lim h f h h f cos h cos lim h h 4

40 h h sin sin lim h h h sin h lim sin lim h h h sin. sin.. Contoh:. Carilah trnan fngsi: a. tan b. cot c. sec d. csc e. arcsin f. arctan g. arcsec. Carilah trnan fngsi: a. sin 4 e ln b. e sin Penelesaian:. a. sin atran pembagian cos cos sin. sin tan ' sec cos cos b. cos atran pembagian sin sin cos.cos cot ' csc sin sin 5

41 6 c. tan sec cos sin..cos ' cos sec atran pembagian d. cot csc sin.cos.sin ' sin csc atran pembagian e. atran rantai cos ' 'cos sin arcsin f. atran rantai cos ' 'sec tan arctan g. arc tan 'sec sec sec atran rantai cot cos '. a. e v v e e ln sin ln sin ln sin 4 rantai atran 4 ln sin ln cos 4 ln cos 4. ' ln cos 'cos sin 4 e e e e e d d d d e e v v d dv v dv d d d e d dv b.

42 e de ' d e e e sin sin sin sin sin e e e e atran rantai dan perkalian d sin d.sin.sin sin.cos cos Trnan Tingkat Tinggi Jika f fngsi ang dapat ditrnkan maka trnanna f jga berpa fngsi. Jika f mempnai trnan maka trnan f kita notasikan dengan f. Notasi lain ntk trnan keda dari = f adalah d d d d d d D f. Ummna trnan ke n dari = f dinatakan dengan n n. d n D f n d Contoh:. Carilah d d dari : a. + = 5 b. = ln t = e t c. = t e t = ln e t +. Carilah trnan ke n dari fngsi di bawah ini: a. k e b. ln 7

43 Penelesaian : d. Dari contoh sb bab sebelmna telah diperoleh dari + = 5 ait d d d. Karena d d d d d d d d Dan mengingat adalah fngsi dari dengan atran pembagian dan atran rantai diperoleh d d. d. d d d... Jadi d d..a. = ln t = e t d d d d dt. dt = dt d d dt t t e = t te d d d d d d d. d d dt dt d d d d dt d dt = Oleh karena d dt t t d d e te t d dt t dan te t t t e t e d t maka dt e d d t t t e t. t t e t e b. = t t e = ln e t + d d dt = d d dt t e e t e t t t = t t t e e 8

44 d d d d d d d d d dt d dt = e t e t t e e t t t t e tt e t e t = t e t t e t t e t e t tt e t t e. a. e k ' ke k '' k e k ''' k e k... n k n e k n b. ln ' '' '''... n.! n! n Latihan 4.. Tentkan persamaan garis singgng pada krva berikt pada titik ang diberikan. a. b. di titik 7 di titik. Tentkan apakah fngsi di bawah ini mempnai trnan pada titik ang diberikan. a. di = b. 4 di = c. f di = 9

45 d. f di = 8 9. Masing masing bentk limit di bawah ini menatakan trnan sat fngsi f di titik a. Tentkan bentk fngsi trnan fngsi dan nilai a pada setiap kass. lim a. h h h 9 b. lim 4. Tentkan trnan fngsi fngsi berikt: a. Gs = s + s + s + b. G = + 7 a b c. h c d d. a b c 5. Carilah persamaan garis singgng pada krva di titik ang diberikan. a. di titik b. di titik c. di titik 4 ; 4 d. di titik 6. Carilah titik pada krva = + ang garis singgngna mendatar. 7. a Gnakan atrah hasil kali sebanak da kali ntk membktikan bahwa jika f g dan h fngsi fngsi ang mempnai trnan maka berlak

46 fgh = f gh + fg h + fgh b Gnakan bagian a ntk menentkan trnan fngsi = 4 8. Tentkan nilai lim 9. Tlislah fngsi komposisi dalam bentk fg. Tentkan fngsi sebelah dalam = g dan fngsi d sebelah lar = f. Kemdian carilah d a. 4 6 b. c. 7. Carilah trnan fngsi-fngsi berikt a. 5 b. s s 4. Carilah trnan pertama dari fngsi di bawah ini : a. + ln = b. ln + + e = c. cos + e = d. sin + ln + = e e. e + ln = sin. Carilah nilai trnan pertama dari fngsi di bawah ini pada titik ang diberikan a. ln = ;

47 b. + + = ; c. + = ; d. + 4 = ;. Carilah trnan pertama fngsi ang diberikan a. = ln t = e t b. = t e t = ln e t + c. = e t + = e -t + 5 d. = e t + ln t = e t + e. = te t + t = e t + t f. = t + t = t Carilah trnan keda ntk fngsi-fngsi di bawah ini a = b. + = c. 4 = d. e. ln 5. Carilah nilai dari fngsi di bawah ini pada titik ang diberikan a. + = ; b. 4 = 4; c. + = 5; 4 6. Carilah trnan ke n dari fngsi di bawah ini: a. sin b. cos c. sin a b

48 d. cos p q 7. Carilah trnan dari fngsi di bawah ini: e. arctan 5 e f. arccos e 5 g. e arcsin a b h. pq sin arcsec a e

49 MODUL PERKULIAHAN Modl Standar ntk dignakan dalam Perkliahan di Universitas Merc Bana Fakltas Program Stdi Tatap Mka Kode MK Dissn Oleh Ilm Kompter Teknik Informatika 4 9 Abstract Matakliah Menjadi Dasar dari Pemikiran seorang ang akan Mempelajari Algoritma. Menjadi sangat Penting dalam Membangn sebah Aplikasi Program Mata Kliah ini merpakan praarat bagi Mata kliah Algoritma dan Stktr Data Kompetensi Mahasiswa dapat Memahami operasi dasar himpnan dan penajian himpan

51 DAFTAR ISI Differensial fngsi lebih dari variabel... Rangkman... Soal-penelesaian Soal-soal latihan

52 DIFERENSIAL FUNGSI LEBIH DARI VARIABEL Fngsi da variabel ata lebih dapat ditlis dalam bentk eksplisit ata implisit. Jika fngsi da pebah dinatakan dalam bentk eksplisit maka penlisanna secara mm dinatakan dengan F. Sebalikna jika fngsi da pebah dinatakan dalam bentk implisit maka penlisanna dinatakan dengan F Contoh:. F. ln 4 F ln. sin sin e sin 6. ln arctan 7. arctan Berdasarkan contoh di atas fngsi ang ditlis dalam bentk eksplisit adalah dan. Sedangkan contoh dan 7 adalah fngsi ang ditlis dalam bentk implisit. Sema fngsi dalam bentk eksplisit dengan mdah dapat dinatakan dalam bentk implisit. Akan tetapi tidak sema fngsi dalam bentk implisit dapat dinatakan dalam bentk eksplisit. Untk menggambar krva fngsi da pebah dapat dengan membat smbsmb koordinat ait smb smb dan smb sehingga pada smb tersebt membentk rang dan masing-masing rang disebt oktan. Oktan I adalah rang dengan > > dan > Oktan II adalah rang dengan > < dan > Oktan III adalah rang dengan< < dan > Oktan IV adalah rang dengan < > dan > 4

53 Oktan V adalah rang dengan > > dan < Oktan VI adalah rang dengan > < dan < Oktan VII adalah rang dengan< < dan < Oktan VIII adalah rang dengan < > dan < Berdasarkan oktan-oktan tersebt dapat digambarkan sebarang titik P ata krva rang dengan persamaan F Perhatikan gambar berikt. Z P X Y Pada gambar di atas P adalah sebarang titik pada oktan I dengan menggnakan kaidah dan teorema Pthagoras dapat ditentkan panjang OP sebagai 5

54 OP Dengan cara ang sama jika P dan Q maka panjang PQ dinatakan dengan PQ Selanjtna misal F maka dapat ditentkan gambar krva rang. Contoh Dalam rang dimensi tiga R gambarlah krva rang 4 Untk menggambar krva rang dengan persamaan F langkah ang ditemph adalah menentkan titik potong krva dengan masing-masing smb. Jika = dan = maka = hal ini berarti krva rang memotong smb di titik. Jika = = maka = 4 hal ini berarti krva rang memotong smb dititik 4. Jika = = maka = hal ini berarti krva rang memotong smb dititik. Sehingga diperoleh: P Q4 R 6

55 Gambar di atas adalah krva rang di oktan I. Krva rang di oktan ang lain dibaangkan sebagai rang maa. Sebagai latihan bagi pembaca gambarlah krva rang dengan persamaan: Trnan Parsial Fngsi Da ata lebih Misal F adalah fngsi dengan variabel bebas dan. Karena dan variable bebas maka terdapat beberapa kemngkinan ait:. dianggap tetap sedangkan berbah-bah.. dianggap tetap sedangkan berbah-bah. dan berbah bersama-sama sekaligs. Pada kass dan diatas mengakibatkan fngsina menjadi fngsi sat pebah sehingga fngsi tersebt dapat ditrnkan dengan menggnakan definisi trnan pertama ang telah dipelajari pada kalkls diferensial. Definisi Misal F adalah fngsi da pebah ang terdefinisi pada interval tertent trnan parsial pertama terhadap dan dinotasikan dengan didefinisikan oleh dan dan F F lim asalkan limitna ada 7

56 8 dan F F lim asalkan limitna ada Contoh : Tentkan dan dari Jawab F F lim lim. lim. lim

57 9 lim lim lim F F lim lim. lim. lim

58 lim lim lim Tentkan dan dari sin Jawab F F lim sin sin lim sin cos lim sin cos lim

59 sin lim lim cos sin lim lim cos cos cos F F lim sin sin lim sin cos lim sin cos lim sin lim lim cos sin lim lim cos

60 cos cos Untk memdahkan dalam menentkan trnan parcial dapat dilakkan dengan menggnakan metode sederhana sebagai berikt. Andaikan F maka ntk menentkan sama artina dengan menrnkan variabel dan variabel dianggap konstan dan selanjtna ditrnkan. Demikian pla ntk menentkan sama artina dengan menrkan variable dan variable dianggap konstant lal ditrnkan. Dengan cara ang sama andaikan W F adalah fngsi tiga pebah ang terdefinisi dalam selang tertent maka trnan parsial pertama dinatakan dengan W W dan W ang secara bertrt didefinisikan oleh: W W W F F lim F F lim F F lim Asalkan limitna ada. Selain menggnakan definisi di atas maka trnan parsial fngsi da pebah jga dapat dilakkan dengan metode sederhana.

61 Misal F berarti adalah variable dan konstanta sedangkan berarti W variabel dan konstanta. Demikian pla misal W F berarti adalah W variabel dan adalah konstanta. berarti variabel dan adalah konstanta. berarti variabel dan adalah kosntanta. W Contoh:. Ditentkan F tan Carilah trnan parsial pertamana. Dengan metode sederhana didapat F a. F b.

62 F c. Sebagai latihan bagi pembaca tentkan trnan persial pertama fngsi-fngsi di bawah ini:. ln.. 6 sin arctan 6. F F F sin e 9. F arcsin Berdasarkan trnan parsial pertama fngsi da pebah ata lebih dapat ditentkan trnan parsial ke n ntk n. Trnan parsial tersebt dinamakan trnan parsial tingkat tinggi. Dengan menggnakan analogi fngsi sat pebah dapat ditentkan trnan parsial tingkat dan setersna. Jadi andaikan F maka: Trnan parsial tingkat da adalah dan Demikian pla jika W F Trnan parsial tingkat da adalah W W W W W W W W W 4

63 5 Demikian setersna. Banakna trnan tingkat ditentkan oleh rms m n dimana m banakna variabel dan n mennjkkan trnan ke-n Contoh Tentkan dan dari fngsi Jawab diperoleh Sehingga 4 4 Dan

64 6 4 4 Tentkan dan dari fngsi Jawab Daridiperoleh Sehingga 4 6 dan 4 6

65 Dengan cara ang sama dapat dicari dan Soal-soal Tentkan dan fngsi-fngsi berikt: sin cos 4 ln 4 6 sin 5 6 arctan 7 sin e 8 arcsin 9 cos sin. Differensial Total Misal F adalah sat fngsi ang dapat ditrnkan terhadap variable dan. Secara bertrt-trt dapat diperoleh trnan parisal terhadap dan trnan parsial terhadap. Kedana dinatakan oleh: 7

66 F F dan Dari dan diperoleh: F d d dan F d d Jmlah diferensialna diperoleh: F F d d Bentk di atas disebt diferensial total. Dengan demikian jika F maka diferensial totalna adalah: F F d d d Analog jika W F maka diferensial totalna adalah: dw F F F d d d Contoh. Tentkan diferensial total fngsi Jawab 4 sehingga diferensial total fngsi adalah 8

67 9 d d 4 Tentkan trnan parsial fngsi Jawab sehingga diferensial total fngsi adalah d d d

68 d d Dengan menggnakan diferensial total hitnglah Jawab Langkah pertama ang hars ditetapkan fngsina dalam hal W Pilih = = dan = sehingga W = = Karena akan dihitng maka: = sehingga = 99 sehingga = 97 sehingga dengan menggnakan definisi diferensial total W = F maka dw F F F d d d = - Akhirna diperoleh = + - = 99 4 Sat segitiga sik-sik panjang sisi-sisi penikna 5 cm dan cm. Bila sisi panjang dipendekkan 5 cm 6 dan kaki pendek dipanjangkan 5 cm. Dengan 8

69 menggnakan differensial tentkan perbahan panjang sisi miringna. Jawab Misal : sisi pendek : sisi panjang dan r : sisi miring maka berlak r. Berdasarkan definisi diferensial total diperoleh r r dr d d dimana dr r d d didapat r r r cm Hal ini berarti sisi miring dipanjangkan cm. 8 Soal-soal Dengan menggnakan diferensial total hitnglah a

70 b Sat tempat berbentk kotak dengan dimensi m 97 m dan 99 m. Dengan menggnakan differensial tentkan panjang diagonal rang kotak tersebt. c Sat kotak alasna persegi dengan panjang sisi 85 dm dan tinggina 9996 dm. Hitng volme dan las permkaanna. Dekatilah las persegi panjang ang berdimensi 5 cm 497 cm. E Daa ang dibthkan oleh resistor listrik dinatakan dengan P= watt. Jika E = R volt dan R = 8 Ohm. Dengan berapa besar daa berbah jika E menst 5 volt dan R menst dengan Ohm..4 Trnan Total Misal F dan F dapat ditrnkan differentiable. Selanjtna dimisalkan t dan t dan adalah fngsi sat pebah ait pebah t ang dapat ditrnkan. Maka F adalah fngsi sat pebah sehingga: d F d F d karena =t dan =t dapat ditrnkan maka dapat ditentkan d d dan d dt sehingga d dt F d dt F d dt Bentk di atas dinamakan trnan total F dengan t dan t Catatan Pengertian ganda dan pada d dt F d dt F d dt

71 Pada dt d berarti t t F Sedangkan dan berarti f. Pada dt d F. Andaikan F adalah fngsi ang dapat ditrnkan dan misalkan s r dan s r adalah fngsi da pebah dan dapat ditrnkan maka diferensial totalna adalah d F d F d Karena s r dan s r dan dapat ditrnkan maka dapat ditentkan s r dan s r Sehingga trnan total s r dan s r f adalah r F r F r s F s F s Dengan cara ang sama diperoleh. Jika t dan t t F W maka trnan totalna adalah: dt d F dt d F dt d F dt dw. Jika s r dan s r s r F W maka trnan parsialna adalah: t F r F r F r W dan

72 4 s F s F s F s W Contoh Tentkan trnan total fngsi-fngs berkt. t dan t t F Jawab Trnan total fngsi di atas adalah: dt d F dt d F dt d F dt dw t t t 4 s r dan s r F Jawab Trnan total fngsi di atas adalah r F r F r

73 5 s F s F s s s Sat tempat berbentk silinder tabng dengan jari-jari alasna 5 cm dan tinggina cm. Karena pemaian tinggi slinder bertambah 5 cm/det dan jarijarina berkrang cm/det. Hitnglah perbahan ang terjadi terhadap volme dan las permkaan silinder. Jawab. Misal jari-jari tabng r tinggi h dan volme I maka h r I h r

74 I I r h Diketahi r = 5 cm h = cm r t 5cm det h t cm det Dengan definisi trnan total I I r h dengan r dan h bergantng pada wakt t maka diperoleh di dt I r dr dt I h dh dt dr rh r dt dh dt 5 cm det cm det 5 cm cm 5 cm cm cm 5 det det cm 75 det Soal-soal. Tentkan trnan total fngsi berikt: a. = Ln t jika = e dan = e t b. = jika = sin p cost = sin psin t dan cos p.5 Trnan Parsial Fngsi Implisit 6

75 Trnan parsial fngsi jga dapat dilakkan ntk fngsi-fngsi ang ditlis dalam bentk implisit. Misal f adalah fngsi implisit maka ntk menentkan trnan parsialna dapat dilakkan dengan menggnakan kaidah diferensial totalf Karena f maka df d Sehingga f f d d = Dengan membagi masing-masing bagian dengan d diperoleh: f f f d d d d f d d f f Contoh Tentkan d d dan d d bila diketahi f e sin d akan dicari menrt definisi trnan total d d d f f e e sin cos 7

76 d d f f e cos e sin d d Tentkan dan dari d d f ln arctan d d f f d d f f Sebagaimana telah dibahas sebelmna bahwa fngsi da pebah secara implisit dinatakan dengan f. Contoh. 8

77 9. sin e. 5 a. Trnan Fngsi Implisit Pebah Fngsi Implisit pebah secara mm dinatakan dalam bentk f Dengan menggnakan diferensial total Andaikan f W maka d df d F d F d F Jika masing masing bagian dibagi d akan diperoleh d d F d d F F Karena akan dicari trnan fngsi terhadap maka d d. Dan karena fngsi lebih dari sat variabel maka trnan terhadap dinatakan dengan sehingga: F F F F F F Dengan menrnkan terhadap dan menentkan diperoleh

78 F F F F F F Dengan menrnkan terhadap dan menentkan diperoleh F F F F F F Sehingga trnan pertama fngsi implisit f adalah dan Contoh. Tentkan dari Jawab Karena f Maka f dan f sehingga menrt definisi trnan fngsi implisit pebah

79 F F. Tentkan dari sin e Jawab Karena sin e f Maka e f cos dan e f sin sehingga menrt definisi trnan fngsi implisit pebah F F e e sin cos. Tentkan dari 5 Jawab Karena 5 f

80 Maka f dan f sehingga menrt definisi trnan fngsi implisit pebah F F b. Trnan parsial fngsi implisit 4 pebah Bentk mm fngsi impilisit 4 pebah dinatakan dengan v G v F Ata v dan G v F Dimana variable sejenis dengan berpasangan dan variable sejenis dengan v dan v serta G v F tidak dapat berdiri sendiri. Karena dan v sejenis maka tidak dapat ditentkan v ata v dan tidak dapat pla ditentkan ata Untk lebih jelasna perhatikan contoh berikt ini. Contoh. v v ata

81 v dan v. v v ata v dan v. v v ata dan v v Trnan Parsial fngsi implisit 4 variabel dilakkan dengan menggnakan metode eliminasi. Bentk mm v dan G v F v variabel sejenis variabel sejenis sehingga tidak dapat ditentkan v dan v. Sehingga trnan parsial fngsi implisit ang dapat ditentkan adalah v dan v v v Untk menentkan trnan parsial 4 pebah langkah ditemph adalah menrnkan fngsi terhadap pebah ang dimaksd lal dari persamaan ang diperoleh gnakan metode eliminasi.. Contoh:

82 4. Tentkan dan dari Jawab Karena akan ditentkan maka v v tidak boleh dilakkan v dan v dengan menrnkan fngsi terhadap variabel didapat v v v v ata v v dan - v v ata v v Selanjtna dari dan dengan mengeliminasi v didapat v v v v v didapat v v v v v v

83 5 ata v v = v v Karena akan ditentkan maka v v tidak boleh dilakkan v dan v dengan menrnkan fngsi terhadap variabel didapat v v v ata v dan ata Berdasarkan persamaan dan dengan metode eliminasi diperoleh v Didapat

84 6 v v Diperoleh v v v v Berdasarkan jawaban di atas jelaslah bahwa ntk fngsi implisit 4 pebah tidak berlak hbngan ata. Tentkan v dan dari fngsi v dan v Karena akan ditentkan maka v v tidak boleh dilakkan Selanjtna dengan menrnkan fngsi v dan v terhadap variabel didapat v

85 7 v ata v dan v v ata v Selanjtna dari dan dengan mengeliminasi v didapat v v didapat v 4 v 5 ata 5 Karena akan ditentkan v maka v v tidak boleh dilakkan Selanjtna dengan menrnkan fngsi v dan v terhadap variabel didapat

86 8 v v ata v dan v v ata v Selanjtna dari dan dengan mengeliminasi didapat v v didapat v v 4 4 v 4 5 ata v 4 5 Soal-soal

87 9. Ditentkan fngsi dan v v Tentkan: a. v dan v b. dan v v. Ditentkan v dan v Tentkan: a. v dan b. v dan. Jika v dan v Tentkan a. v dan b. v dan c. Trnan Parsial Fngsi Implisit 6 pebah. Fngsi implisit 6 pebah secara mm dinatakan dalam bentk: w v H w v G w v F

88 4 vdan w variable sejenis sehingga tidak dapat ditentkan hasilna v w w w v v w v dan variable sejenis sehingga tidak dapat ditentkan hasilna Contoh fngsi 6 pebah: w v Ata w v Perhatikan beberapa contoh di bawah ini.. Tentkan dari w v Jawab Persamaan ditrnkan terhadap dan diperoleh

89 4 Karena akan ditentkan maka eliminasikan dan dari persamaan dan Dari dan dengan mengeliminasi diperoleh:...4 Dari dan dengan mengeliminasi diperoleh:.5 Selanjtna eliminasi dari persamaan 4 dan 5 diperoleh: ata 6 6

90 Sehingga: Tentkan w dari w v Jawab Persamaan di atas ditrnkan terhadap variable w dan diperoleh w w w... w w... w w w... Karena akan ditentkan w maka eliminasikan w dan w dari persamaan dan Dari dan dengan mengeliminasi w diperoleh:

91 4 w w w w w w w w... w w w w...4 Selanjtna dari dan dengan mengeliminasi w diperoleh: w w w... w w w w w w... w w w w w...5 Selanjtna eliminasi w dari persamaan 4 dan 5 diperoleh: w w... w w... ata w w w w w

92 44 Sehingga: } { w Soal-soal.. Tentkan w v w v dari fngsi w v. Tentkan w w w v v v w v

93 Fngsi dengan da variabel ata lebih variabel bebas ini sering kita jmpai dalam penerapan bidang ekonomi dan bisnis. Karena dalam kenataanna bila ditelsri lebih mendalam biasana sat variabel terikat dependent variable akan dipengarhi oleh beberapa variabel bebas independent variables. Namn perl diingat bahwa di antara variabel-variabel bebas ini ada ang saling mempengarhi interdependenc dan ada pla ang tidak saling mempengarhi independent sat sama lainna. Hal inilah ang perl diperhatikan bilamana akan membat sat model ekonomi ata bisnis agar dalam analisisna nanti akan diperoleh hasil ang sesai dan akrat.. Diferensiasi parsial Misalkan kita mempnai sat fngsi dengan n variabel bebas Y = f X X...X n di mana variabel bebas X X dan setersna sampai X n adalah tidak saling mempengarhi independent sat sama lainna. Jika variabel terikat Y berbah ang diakibatkan oleh perbahan dari salah sat varibel bebas ang sangat kecil katakannlah X sedangkan variabel bebas lainna katakanlah X X... X n tidak berbah ata konstan maka hal ini dapat disebt sebagai derivatif parsial dari Y terhadap X. Selanjtna hal ang serpa bila variabel bebas X ang berbahbah dan variabel bebas lainna konstan maka kita sebt derivatif parsial dari Y terhadap X. Dengan demikian derivatif parsial dapat didefinisikan sebagai tingkat perbahan seketika dari variabel terikat Y ang diakibatkan oleh perbahan dari salah sat variabel bebas X dimana variabel bebas X lainna dianggap konstan. Simbol dari derivatif parsial adalah hrf kecil delta ait ata dengan hrf kecil d. Jadi derivatif parsial Y terhadap X dapat ditlis menjadi Y ata d ata F dan F ata F dan F X d 45

94 Penlisan lain derivatif parsial dari sat fngsi Y = f X X...X n adalah f f... f n Penlisan ini hampir sama dengan penlisan f X pada fngsi dengan sat variabel bebas. Namn bilamana fngsi tidak ditlis dalam bentk seperti di atas melainkan fngsi ditlis dalam bentk seperti Y = f UVW maka derivatif parsialna adalah f fv fw ata Y/ U ata Y/ V dan Y/ W. Jadi penlisan derivatif parsial secara mm dari fngsi Y = f X X...X n adalah f i ata Y X di mana: i =...n 46

95 Proses ntk mencari derivatif parsial disebt diferensial parsial. Teknik diferensiasi parsial ini berbeda dengan atran diferensiasi fngsi dengan sat variabel bebas. Sebah fngsi ang hana mengandng sat variabel bebas hana akan memiliki sat macam trnan ait : jika = f maka = d/d. Sedangkan jika sebah fngsi mengandng lebih dari sat variabel bebas maka trnanna akan lebih dari sat macam pla ata jika sat fngsi memiliki n variabel bebas maka akan memiliki sebanak n trnan. Jika = f maka akan ada ait = d/d dan = d/d. Untk membedakan trnan terhadap dan maka biasana akan diberi notasi F ntk trnan terhadap dan F ntk trnan terhadap. Contoh : Y = ² ² maka F = d/d = 6 8 dan F = d/d = -8. Derivatif dari derivatif parsial Seperti halna dengan fngsi dengan sat variabel bebas maka fngsi ang memiliki lebih dari sat variabel bebas pn dapat ditrnkan lebih dari sat kali. Dengan kata lain masing-masing parsialna masih mngkin ditrnkan lagi namn berapa banak trnan dari trnan parsial dapat dibentk tergantng dari bentk trnan parsial tersebt. Contoh : Y = X³ + 5 Z² - 4 X² Z 6 XZ² + 8Z 7 Trnan Trnan F = d/d = X² - 8 XZ 6 Z² F = d/d = Z - 4 X² XZ Trnan Trnan F = d²/d² = 6 X 8 Z F = d²/dd = -8 X Z F = d²/dd = -8 X Z F = d²/d² = X Trnan Trnan 47

96 F = d³/d³ = 6 F = d³/dd² = -8 F = d²/d²d = -8 F = d³/d²d = - F = d³/ d²d = -8 F = d³/ d²d = - F = d³/ dd² = - F = d³/ d³ = Sekarang trnan-trnan parsial ketiga ini tidak dapat ditrnkan lagi karena masing-masing hana mengandng konstanta. Latihan:. N = 5 KL + K²L 7 K + 5L NK = NL =. L = F⅝ K⅜ + F⅛ K⅜ LF = LK =. A = 6 K⅔ L⅓ - K¼ L⅔ AK = AL = 4. F = Xˉ² Y² + XY + 6 XY² - 4 Xˉ² Y Y + X FX = FY =. Nilai ekstrim: maksimm dan minimm 48

97 Nilai ekstrim dari optimm dari sebah fngsi ang mengandng lebih dari sat variabel bebas dapat dicari dengan pengjian sampai derivatif kedana : Untk = f maka akan mencapai titik ekstrimna jika : F = d/d = danf = d/d= Sarat di atas adalah sarat ang diperlkan agar fngsina mencapai titik ekstrim. Untk mengetahi apakah titik ekstrim tersebt titik maksimm ata minimm dignakan sarat ang hars dipenhi ait: Maksimm bila F = d²/d² < dan F=d²/d² < Minimm bila F = d²/d² >danf = d²/d² > Contoh : Selidikilah apakah titik ekstrim dari fngsi berikt ini adalah titik maksimm ata titik minimm? : = -² + -² + 45 Jawab : F = - + = = -6² ² = = F = - < dan F < maka titik - = maka = 6 ekstrimna adalah titik maksimm F = - + = dengan maks = = = maka = 5 49

98 Contoh : Selidikilah apakah titik ekstrim dari fngsi berikt ini adalah titik maksimm ata titik minimm? : p = q² 8q + r ² 8r + 5 Jawab: Fq = 6q 8 Fr = r 8 6q 8 = q = r 8 = r = 4 p = p = p = 7 Fq = 6 > Fr = > Karena Fq dan Fr > titik ekstrimna adalah titik minimm dengan P min = 7 Latihan : Selidikilah titik maksimm atakah titik minimm dan berapa nilai titik maks ata min tersebt dari persamaan berikt:. = ² ² p = 4 q² - 6 q²r + qr² + r² + 5. = ² - + ²

99 4. Optimasi bersarat : Pengganda Lagrange Dalam kenataan kita sering sekali hars mengoptimalkan sat fngsi akni mencari nilai maksimm ata nilai minimmna tetapi terkekang oleh sat fngsi lain ang hars dipenhi ata dengan kata lain hendak mengoptimmkan tetapi menghadapi kendala. Dalam kass ekonomi hal ini banak sekali terjadi misalna hendak mengoptimalkan kepasan tetapi terbentr oleh pendapatan ang terbatas ata ingin memaksimmkan laba tapi terbentr oleh terbatasna jmlah prodk ang dapat dihasilkan. Pengganda Lagrange Adalah sat metode ang dapat dignakan ntk memecahkan masalah diatas ait ingin mengoptimalkan sat fngsi tetapi terbentr oleh adana batasan kendala. Carana: F = Fngsi ang hendak dioptimmkan + λ fngsi kendala Kemdian cari nilai ekstrimna dengan cara diferensiasi parsial: F = F = Kemdian maskkan nilai ekstrim tersebt ke dalam fngsi kendala sehingga diperoleh nilai variabel dan variabel. Barlah dimaskkan ke dalam fngsi ang hendak dioptimmkan. Contoh : Tentkan nilai ekstrim dari fngsi = + dengan kendala ² + ² = 8 Jelas pla nilai ekstrimna. Jawab : Fngsi Lagrange = F = + + λ²+ ² - 8 = + + ² λ + ² λ 8 λ Agar ekstrim F = F = + λ = diperoleh λ = -/ = -/ F = + λ = diperoleh λ = -/ = -/ 5

100 Berdasarkan dan : -/ = -/ ata = Menrt fngsi kendala ² + ² = 8 jika = maka ² + ² = 8 ² = 8 ² = 4 = berarti = karena = = maka = ² + ² = 8 penidikan nilai ekstrim : ntk = =. maka = -/ = -/ =-/ F = =. / = - < F = =. / = - < karena F dan F < maka nilai ekstrimna adalah maksimm Untk = = - maka = -/ = -/ = ½ F = =. / = > F = =. / = > karena F dan F > maka nilai ekstrimna adalah minimm Contoh : Kepasan seorang konsmen ntk mengkonsmsi barang X dan Y dicerminkan dengan fngsi tilitas U = ²³. Jmlah pendapatan konsmen Rp.. harga X dan Y masing-masing per nit adalah Rp. 5 dan Rp. 5. Hitnglah kombinasi konsmsi dan ang memberikan kepasan optimm serta besarna nilai kepasan optimal tersebt. Jawab: Maksimalkan U = ²³ dengan kendala 5X + 5Y = F = ²³ + λ 5X + 5Y F = + 5 λ 5

101 F = ² + 5 λ + 5 λ = 5 λ = λ = 5 ² + 5 λ = 5 λ = ² λ = ² 5 = ² 5 5 = 75 ² = ¾ ² = ¾ ² = ¾ = 4/ Maskkan ke dalam fngsi kendala: 5X + 5Y = 5X + 5 ¾ = 5X + 5/4 = /4 + 5/4 = 5/4X = X = 6 Y = ¾ 5

102 Y = ¾. 6 Y = Kemdian maskkan ke dalam fngsi tilitas: U = ²³ U = 6. U = U = Kerjakan di rmah:. N = FK/5 + 7 F/7 K/7 NF = NK =. K = 8 XY² - X³Y + 4 XY 5 X + 5 Y + KX = KY =. A = F⅜ L⅛ - 4 F² L½ AF = AL = 4. Maksimmkan Z = XY dengan sarat X + Y = 6 5. Maksimmkan Z = 8 K + L dengan sarat K² L = Maksimmkan Z = 6 K⅔ L⅓ dengan sarat 4 K + L = 44 54

103 DAFTAR PUSTAKA Chiang Alpha C. Fndamental Metods of Matematical Economics Mc Graw Hill New York 967. Dmair Matematika terapan ntk Bisnis dan Ekonomi edisi keda BPFE Yogakarta

106 DAFTAR ISI Differensial fngsi Minimm Maksimm... Rangkman... Soal-penelesaian Soal-soal latihan

107 DIFERENSIAL FUNGSI MINIMUM MAKSIMUM Selain ntk menentkan slope dan laj aplikasi lain dari derivatif penranan adalah penentan titik maksimm dan minimm dari = f dengan setting d/d =. Dalam problem terapan seringkali kita hars menentkan maksimm dan minimm fngsi ang variabelna lebih dari sat. Marilah kita baangkan = f ang menatakan sebah permkaan. Jika seandaina ada titik maksimm pada permkaan it seperti pncak sebah bkit maka krva ntk = konstan dan = konstan ang melali titik maksimm jga mempnai nilai maksima pada titik it. Di titik maksimm it berlak / d dan / hargana nol. Perl diingat lagi bahwa d/d adalah kondisi ang dibthkan ntk titik maksimm dari = f tetapi it tidak ckp; bisa jadi titik it bkan titik maksimm tetapi titik minimm ata titik belok dari krva f. Sesat ang sama jga terjadi pada fngsi = f. Titik dimana / = dan / = dapat berpa titik maksimm ata minimm ata bisa jadi kedana. [ Contoh menarik dari sebah titik ang dapat berpa maksimim dan sekaligs minim adalah titik saddle pelana kda. Jika pelana dilihat dari mka ke belakang ia mempnai titik minimm tetapi jika dilihat dari samping ang sat ke samping ang lain ia mempnai titik maksimm]. Marilah sekarang kita bahas contoh soal maksimm dan minimm. Kita telah tah bahwa ntk fngsi ang variabelna cma sat ait = f maka mempnai d d harga ekstrim di = a jika = di = a; ekstrimna maksimm jika < dan minimm jika d d d > di = a. d Selanjtna jika fngsina da variabel misal = f berlak: mempnai harga ekstrim di = ab ata ab adalah titik ekstrim jika dititik it: = dan =. * Ekstrimna maksimm jika di titik it: dan kedana negatif * Ekstrimna minimm jika di titik it: 4

108 dan kedana positif * Ekstrimna minimm dan jga maksimm jika di titik it: dan berlawanan tanda Contoh : Tentkan titik maksimm/minimm dari fngsi Jawab: jadi: = = + = = = + = = / = jadi > = jadi > Jadi mempnai titik minimm di / Contoh : Sebah tenda kemah pramka dengan volme V gambar 7. diletakkan di atas F permkaan tanah. Tenda it dibat tanpa lantai dengan bahan ang sesedikit mngkin. Tentkan lebar w dan tinggi tenda w tg dinatakan dalam. Jawab: Kita hars membat agar jmlah las A C w D E bidang-bidang pada tenda it minimal tetapi 5

109 menghasilkan volme V. V = Las ABED tinggi tenda = w.. w tg A = las ABC + las BEFC = w tg + w Gambar 7. cos Tampak bahwa masih ada variabel bebas penent A ait w dan. Kita B paakan agar variabelna tinggal da ntk it dieliminir dengan memsbstitsikan dari V ke A sehingga: A = w V tg + csc w Sejarang kita mempnai A sebagai fngsi w dan Ingat V = konstan. Untk meminimalkan A dikondisikan : A V csc = 4w tg = w w A = w sec V csc cot = w Solsi ntk w adalah: w V csc dan w V csc cot = tan sec Kombinasi kedana menghasilkan: Jadi: cos = sin cos cos sin cos ata = 45 tg = sehingga:v = w Dari A / w = diperoleh lebar w = Tinggi tenda = w tg = w = Soal 7: Tentkan titik maksimm dan ata minimm fngsi berikt: ½ 4 Diketahi =. Bktikan bahwa mempnai maksimm mapn minimm di 6

110 5 Dari reaksi A + B C diketahi bahwa kecepatan reaksina sebanding dengan kadrat jmlah konsentrasi reaktanna. Tentkan konsentasi reaktan ang menghasilkan kecepatan ekstrim. 6 Akan dibat akarim dengan volme 5 liter. Tentkan proporsi kran ang paling ekonomis. 8. Problem Maksimm dan Minimm dengan Pembatas ; Mltiplier Lagrange Marilah kita perhatikan kass berikt: Contoh : Sebah kawat dilengkngkan sehingga membentk krva =. Setas benang direntangkan dari titik origin ke titik ang terletak pada krva. Tentkan ntk meminimalkan panjang benang. Tentkan pla jarak minimalna. Gambar 8. 7

111 Pada kass ini kita hendak meminimalkan jarak d = dari titik origin sampai ke titik ; ini adalah ekivalen dengan meminimalkan f = d = +. Tetapi dan tidak saling bebas ; mereka dihbngkan oleh persamaan krva. Adana hbngan tambahan di antara sesama variabel inilah ang dimaksd dengan pembatas. Ada beberapa cara ntk menelesaikan kass di atas. Kita akan membahas tiga macam cara ntk menelesaikanna ait : a eliminasi b differensiasi implisit c mltiplier Lagrange. a Metode Eliminasi Dalam metode ini kita eliminir dari f dan diganti dengan sehingga f ang akan diminimalkan adalah: f = + = 4 + Sekarang ang kita hadapi adalah kalkls ordiner. Fngsi f akan minimm jika: df d 4 = = ata = Jadi ada tiga harga ang memenhi dengan demikian kita dapat menghitng harga ang bersangktan sehingga kita memperoleh titik ekstrim ait ; ½ dan ½. Tetapi dari tiga titik it masih belm jelas mana ang titik maksimm mana ang minimm. Untk it kita trnan keda: d f d = = 4 4 ntk ntk / ntk / maksimm minimm minimm Jadi minimm terjadi di titik = + dan = ½ ata ½ dan ½ Jarak minimmna adalah = = / / = / 4. b Metode Differensiasi Implisit Jika seandaina solsi dengan cara di atas tidak dapat dilakkan kita masih dapat menelesaikan dengan cara berikt. Dari f = + kita peroleh: df = d + d df d = + d d 8 Dari = kita peroleh: 8

112 d = d d/d = Sbstitsi d/d ke dalam 8 diperoleh: df d = 4 Agar f minimal maka df/d = jadi: 4 = Selanjtna persamaan it diselesaikan secara simltan dengan =. Dan hasilna adalah: = ata = + /. Tes minimm dan maksimmna dilakkan dengan menrnkan lagi 8 : d f d = + d d + d d Untk = diperoleh = d/d = = dan d /d = Jadi: d f d = = 4 = 4 =. Jadi di = dan = fngsi f maksimm. Untk = + / diperoleh = ½ d/d = = d /d = Jadi: d f d = = + 4 = 4 Jadi di titik ½ dan ½ fngsi f minimm. Jarak minimmna adalah = = / / = / 4. Kita dapat menelesaikan soal dengan variabel ang lebih banak dengan cara seperti ang kita gnakan ntk menelesaikan contoh. Marilah kita bahas contoh berikt. Contoh : Tentkan jarak terpendek dari titik origin ke bidang =. Jawab: 9

113 Kita ingin meminimalkan d = dari titik origin ke titik pada bidang. Ini sama dengan meminimalkan f = d dari titik origin ke titik pada bidang =. Untk ini salah sat variabel misal dieliminir sehingga: f = Ini adalah fngsi dengan variabel ait dan jadi f ekstrim jika: f / dan f /. f = = = f = = = Dari solsi da persamaan di atas diperoleh = = /. Selanjtna dari persamaan bidang = /. Jadi: f ekstrim = / + / + / = d ekstrim = = Kita masih hars mengji benarkah harga ekstrimna minimal. Untk it kita lihat : f = f = 8 Karena f dan f kedana positif maka harga ekstrimna minimm jadi: d min =. c Mltiplier Lagrange Metode a dan b dapat melibatkan sejmlah besar langkah langkah aljabar jika fngsina rmit. Sekarang akan gnakan cara ang singkat ait dengan menggnakan metode mltiplier Lagrange. Secara mm metode ini dignakan apabila kita ingin menentkan maksimm ata minimm fngsi f sedang dan dihbngkan oleh persamaan = konstan sehingga sesngghna f adalah fngsi variabel tnggal katakan. Pada contoh = + = pada contoh = = Untk menentkan titik maksimm ata minimm kita hars menelesaikan df/d = ata df = sebagaimana dalam 8. Karena = konstan tent saja d =.

114 f f df d d d d d 8 Dalam metode b kita menelesaikan dd dalam hal ini d/d kemdian mensbstitsikanna ke dalam df; hal ini sering melibatkan aljabar ang rmit. Sebagai gantina kita akan mengalikan persamaan d dengan inilah ang disebt mltiplier Lagrange dan menambahkanna ke dalam persamaan df sehingga kita mempnai: f f d d 8 Sekarang kita tentkan bahwa: f = 8 4 Sehingga dari 8 dan 8 4 diperoleh: f = 8 5 Sekarang persamaan dan dapat diselesaikan ntk menentkan dan ang belm diketahi. Sebenarna kita tidak membthkan nilai tetapi nilai diperlkan ntk memperoleh dan ang kita inginkan. Perl diketahi bahwa persamaan 8 4 dan 8 5 adalah persamaan ang secara tepat akan kita tlis jika kita mempnai fngsi da variabel dan ait: F = f dan kita ingin mencari nilai maksimm dan minimmna. Kenataanna sdah tent bahwa dan tidaklah saling bebas ; mereka dihbngkan oleh persamaan. Namn 8 8 memberi kita jalan ang mdah ntk mendapatkan 8 4 dan 8 5. Jadi kita dapat menatakan metode mltiplier Lagrange dengan pernataan berikt: Untk mendapatkan nilai maksimm ata minimm f manakala dan dihbngkan oleh persamaan = konstan batlah fngsi F sebagaimana dalam 8 6 dan batlah agar da bah differensial parsial dari F sama dengan nol [ persamaan 8 4 dan 8 6. Kemdian selesaikan keda persamaan dan persamaan = konstan tersebt ntk menentkan dan. 8 7

115 Sebagai ilstrasi kita akan menggnakan metode mltiplier Lagrange ini ntk menelesaikan contoh. f = + = + = dan kita tliskan persamaan ntk meminimalkan: ait: F = f + = F F. 8 8 Kita selesaikan 8 8 secara simltan dengan = +. Maka akan kita peroleh : Dari 8 8 ang pertama diperoleh = ata =. Dengan = maka menghasilkan =. Dan dari = ini 8 8 ang keda menghasilkan =. Jika kita gnakan = persamaan 8 8 ang keda akan menghasilkan = ½. Jika = ½ ini kita maskkan ke dalam maka kita akan peroleh = + /. Hasil ini persis sama dengan ang sdah kita peroleh sebelmna. Mltiplier Lagrang akan sangat bermanfaat apabila kita hars menelesaikan problem maksim minimm ang slit seperti contoh berikt: Contoh : Sebah balok dengan volme 8. Tentkan volme maksimalna engan ketentan a b c Jawab: Dalam kass ini f = 8 dan = sehingga dengan metode a b c mltiplier Lagrange kita tlis: F = f + = 8 + a b c Selanjtna kita tentkan tiga bah differesial parsialna ang masing masing hars = nol ait:

116 F 8. a F 8. b F 8. c Selanjtna ketiga persamaan di atas bersama dengan persamaan kita selesaikan secara simltan ntk menentkan dan. Meskipn kita tidak hars menghitng tetapi akan lebih mdah jika hitng lebih dl. Kalikan persamaan pertama dengan keda dengan dan ketiga dengan kemdian dijmlahkan sehingga diperoleh:. 8 + a b c = Karena a b c = = maka : 4 + = ata = Sbstitsi ke dalam F / menghasilkan: 8. a = 8 a = = a Analog dengan cara di atas diperoleh: = b Jadi volme balok: V = 8 = dan = c 8abc Contoh di atas mennjkkan bahwa metode mltiplier Lagrange dapat dignakan ntk menentkan maksimm minimm fngsi ang variabelna banak. Untk langkah langkahna adalah: Untk menentkan maksimm minimm fngsi f ang dibatasi oleh = konstan kita bat fngsi F = f + dan kita tlis ketiga differensial parsialna ang masing masing hars =. Ketiga persamaan ini kita selesaikan secara simltan bersama = konstan ntk memperoleh 8 9

117 dan. Untk problem ang variabelna lebih dari akan dihasilkan persamaan ang lebih banak lagi tetapi metodena tetap sama. Kita jga dapat menggnakan metode mltiplier Lagrange ntk menentkan maksimm minimm fngsi f ang dibatasi oleh da bah persamaan. Jika ada da pembatas ait = konstan dan = konstan maka langkah langkahna adalah: Untk menentkan maksimm minimm fngsi f ang dibatasi oleh = konstan dan = konstan kita bat fngsi: 8 F = f + + dan kita tlis ketiga differensial parsialna ang masingmasing hars =. Ketiga persamaan ini kita selesaikan secara simltan bersama dan ntk memperoleh dan. Contoh 4: Tentkan jarak minimal dari origin sampai ke perpotongan antara = dengan = 6. Jawab: Kita akan meminimalkan f = + + ang dibatasi oleh bah kondisi ait = dan = = 6. Kita tlis dl: F = f + + = Ketiga differensial parsialna adalah: Differensial parsial terhadap = Differensial parsial terhadap + = Differensial parsial terhadap + 4 = Persamaan persamaan di atas dapat diselesaikan bersama dengan = = dan = = 6 sehingga menghasilkan : = + /5 = + 5/ = 7/ Jadi jarak minimm : d = = 5 = 54 4

118 Soal 8: Tentkan las maksimm ang ditnjkkan oleh gambar berikt jika kelilinglarna = cm s s Tentkan titik pada + + = ang membat f = menjadi minimm. Tentkan jarak terpendek dari titik origin ke perpotongan garis + = dan + = 4 Hbngan antara laj reaksi dengan konsentrasi reaktan adalah v = k dengan k tetapan laj reaksi pada temperatr tertent sedang dan adalah konsentrasi reaktan. Jika + + = M tentkan laj reaksi maksimm. 5

121 DAFTAR ISI Persamaan Differensial Parsial... Rangkman... Soal-penelesaian Soal-soal latihan

122 DIFERENSIAL FUNGSI MINIMUM MAKSIMUM Persamaan diferensial parsial PDP adalah persamaan ang di dalamna terdapat sk-sk diferensial parsial ang dalam matematika diartikan sebagai sat hbngan ang mengaitkan sat fngsi ang tidak diketahi ang merpakan fngsi dari beberapa variabel bebas dengan trnan-trnanna melali variabel-variabel ang dimaksd. PDP dignakan ntk melakkan formlasi dan menelesaikan permasalahan ang melibatkan fngsi-fngsi ang tidak diketahi ang merpakan dibentk oleh beberapa variabel seperti penjalaran sara dan panas elektrostatika elektrodinamika aliran flida elastisitas ata lebih mm segala macam proses ang terdistribsi dalam rang ata terdistribsi dalam rang dan wakt. Kadang beberapa permasalahan fisis ang amat berbeda memiliki formlasi matematika ang mirip sat sama Bentk paling sederhana dari persamaan diferensial adalah di mana sat fngsi tak diketahi dari dan. Hbngan ini mengisaratkan bahwa nilainilai adalah tidak bergantng dari. Oleh karena it solsi mm dari persamaan ini adalah di mana f adalah sat fngsi sembarang dari variabel. Analogi dari persamaan diferensial biasa ntk persamaan ini adalah ang memiliki solsi di mana c bernilai konstan tidak bergantng dari nilai. Keda contoh di atas menggambarkan bahwa solsi mm dari persamaan diferensial biasa melibatkan sat kostanta sembarang akan tetapi solsi dari persamaan diferensial parsial melibatkan sat fngsi sembarang. Sebah solsi dari persamaan diferensial parsial secara mm tidak nik; kondisi tambahan hars disertakan lebih lanjt pada sarat batas dari daerah di mana solsi didefinisikan. Sebagai gambaran dalam contoh sederhana di atas fngsi ditentkan jika dispesifikasikan pada sebah garis. dapat 4

123 Persamaan diferensial biasa Dari Wikipedia bahasa Indonesia ensiklopedia bebas Lintasan pelr ang ditembakkan dari meriam mengikti krva ang ditentkan lewat persamaan diferensial parsial ang ditrnkan dari hkm keda Newton Persamaan diferensial biasa adalah persamaan diferensial di mana fngsi ang tidak diketahi variabel terikat adalah fngsi dari variabel bebas tnggal. Dalam bentk paling sederhana fngsi ang tidak diketahi ini adalah fngsi riil ata fngsi kompleks namn secara mm bisa jga berpa fngsi vektor mapn matriks. Lebih jah lagi persamaan diferensial biasa digolongkan berdasarkan orde tertinggi dari trnan terhadap variabel terikat ang mncl dalam persamaan tersebt. Contoh sederhana adalah hkm gerak keda Newton ang menghasilkan persamaan diferensial ntk gerakan partikel dengan massa konstan m. Pada mmna gaa F tergantng kepada posisi partikel t pada wakt t dan demikian fngsi ang tidak diketahi t mncl pada keda ras persamaan diferensial seperti ang diindikasikan dalam notasi Ft. Persamaan diferensial biasa dibedakan dengan persamaan diferensial parsial ang melibatkan trnan parsial dari beberapa variabel. Persamaan diferensial biasa mncl dalam berbagai keadaan termask geometri mekanika astronomi dan pemodelan poplasi. Banak matematikawan ternama telah mempelajari persamaan diferensial dan memberi smbangan terhadap bidang stdi ini termask Isaac Newton Gottfried Leibni kelarga Bernolli Riccati Clairat d'alembert dan Eler. Dalam kass persamaan tersebt linier persamaan diferensial biasa dapat dipecahkan dengan metode analitik. Malangna kebanakan persamaan diferensial nonlinier dan kecali sebagian kecil tidak dapat dipecahkan secara eksak. Pemecahan hampiran dapat dicapai menggnakan kompter. 5

124 diferensial adalah salah sat cabang kalkls dalam matematika ang mempelajari bagaimana nilai sat fngsi berbah menrt perbahan inpt nilaina. Topik tama dalam pembelajaran kalkls diferensial adalah trnan. Trnan dari sat fngsi pada titik tertent menjelaskan sifat-sifat fngsi ang mendekati nilai inpt. Untk fngsi ang bernilai real dengan variabel real tnggal trnan pada sebah titik sama dengan kemiringan dari garis singgng grafik fngsi pada titik tersebt. Secara mm trnan sat fngsi pada sebah titik menentkan pendekatan linear terbaik fngsi pada titik tersebt. Grafik dari sebah fngsi garis hitam dan sebah garis singgng terhadap fngsi garis merah. Kemiringan garis singgng sama dengan trnan dari fngsi pada titik singgng Proses pencarian trnan disebt pendiferensialan differentiation. Teorema dasar kalkls menatakan bahwa pendiferensialan adalah proses keterbalikan dari pengintegralan. Trnan mempnai aplikasi dalam sema bidang kantitatif. Di fisika trnan dari perpindahan benda terhadap wakt adalah kecepatan benda dan trnan dari kecepatan terhadap wakt adalah percepatan. Hkm gerak keda Newton menatakan bahwa trnan dari momentm sat benda sama dengan gaa ang diberikan kepada benda. Laj reaksi dari reaksi kimia jga merpakan trnan. Dalam riset operasi trnan menentkan cara paling efisien dalam memindahkan bahan dan mendesain pabrik. Dengan menerapkan teori permainan trnan dapat memberikan strategi ang paling baik ntk persahaan ang sedang bersaing. Trnan sering dignakan ntk mencari titik ekstremm dari sebah fngsi. Persamaan-persamaan ang melibatkan trnan disebt persamaan diferensial dan sangat penting dalam mendeskripsikan fenomena alam. Trnan dan perampatanna generaliation sering mncl dalam berbagai bidang matematika seperti analisis kompleks analisis fngsional geometri diferensial dan bahkan aljabar abstrak. 6

125 . Trnan Misalkan dan adalah bilangan real di mana adalah fngsi dari ait = f. Salah sat dari jenis fngsi ang paling sederhana adalah fngsi linear. Ini adalah grafik fngsi dari garis lrs. Dalam kass ini = f = m + c di mana m dan c adalah bilangan real ang tergantng pada garis mana grafik tersebt ditentkan. m disebt sebagai kemiringan dengan rms: di mana simbol Δ delta memiliki arti "perbahan nilai". Rms ini benar adana karena + Δ = f + Δ = m + Δ + c = m + c + m Δ = + mδ. Diikti pla Δ = m Δ. Namn hal-hal di atas hana berlak kepada fngsi linear. Fngsi nonlinear tidak memiliki nilai kemiringan ang pasti. Trnan dari f pada titik adalah pendekatan ang paling baik terhadap gagasan kemiringan f pada titik biasana ditandai dengan f' ata d/d. Bersama dengan nilai f di trnan dari f menentkan pendekatan linear paling dekat ata disebt linearisasi dari f di dekat titik. Sifat-sifat ini biasana diambil sebagai definisi dari trnan. Sebah istilah ang saling berhbngan dekat dengan trnan adalah diferensial fngsi. 7

126 Garis singgng pada f Bilamana dan adalah variabel real trnan dari f pada adalah kemiringan dari garis singgng grafik f' di titik. Karena smber dan target dari f berdimensi sat trnan dari f adalah bilangan real. Jika dan adalah vektor maka pendekatan linear ang paling mendekati grafik f tergantng pada bagaimana f berbah di beberapa arah secara bersamaan. Dengan mengambil pendekatan linear ang paling dekat di sat arah menentkan sebah trnan parsial biasana ditandai dengan /. Linearisasi dari f ke sema arah secara bersamaan disebt sebagai trnan total. Trnan total ini adalah transformasi linear dan ia menentkan hiperbidang ang paling mendekati grafik dari f. Hiperbidang ini disebt sebagai hiperbidang osklasi; ini secara konsep sama dengan mengambil garis singgng ke sema arah secara bersamaan.. Penerapan trnan.. Optimalisasi Jika f adalah fngsi ang dapat ditrnkan pada R ata interval terbka dan adalah maksimm lokal atapn minimm lokal dari f maka trnan dari f di titik adalah nol; titiktitik di mana f ' = disebt titik kritis ata titik pegn dan nilai dari f di disebt nilai kritis. Definisi dari titik kritis kadang kala diperlas sampai melipti titik-titik di mana trnan sat fngsi tidak eksis. Sebalikna titik kritis dari f dapat dianalisa dengan menggnakan trnan ke-da dari f di : jika trnan ke da bernilai positif adalah minimm lokal; jika trnan ke da bernilai negatif adalah maksimm lokal; jika trnan ke da bernilai nol mngkin maksimm lokal minimm lokal atapn tidak keda dana. Sebagai contohna f=³ memiliki titik kritis di = namn titik it bkanlah titik maksimm atapn titik minimm; sebalikna f = ± 4 mempnai titik kritis di = dan titik it adalah titik minimm mapn maksimm. 8

127 Ini dinamakan sebagai ji trnan ke da. Sebah pendekatan alternatif lainna ji trnan pertama melibatkan nilai f ' di keda sisi titik kritis. Menrnkan fngsi dan mencari titik-titik kritis biasana merpakan salah sat cara ang sederhana ntk mencari minima lokal dan maksima lokal ang dapat dignakan ntk optimalisasi. Sesai dengan teorema nilai ekstremm sat fngsi ang kontin pada interval terttp harslah memiliki nilai-nilai minimm dan maksimm paling sedikit sat kali. Jika fngsi tersebt dapat ditrnkan minima dan maksima hana dapat terjadi pada titik kritis ata titik akhir. Hal ini jga mempnai aplikasi tersendiri dalam proses sketsa grafik: jika kita mengetahi minima dan maksima lokal dari fngsi ang dapat ditrnkan tersebt sebah grafik perkiraan dapat kita dapatkan dari pengamatan bahwa ia akan meningkat dan menrn di antara titik-titik kritis. Di dimensi ang lebih tinggi titik kritis dari nilai skalar fngsi adalah titik di mana gradien fngsi tersebt adalah nol. Uji trnan keda masih dapat dignakan ntk menganalisa titik-titik kritis dengan menggnakan eigennilai matriks Hessian dari trnan parsial ke-da fngsi di titik kritis. Jika sema eigennilai tersebt adalah positif maka titik tersebt adalah minimm lokal; jika semana negatif maka titik it adalah maksimm lokal. Jika ada beberapa ang positif dan beberapa ang negatif maka titik kritis tersebt adalah titik pelana dan jika tidak ada satpn dari keadaan di atas ang terpenhi misalna ada beberapa eigennilai ang nol maka ji tersebt inkonklsif.... variasi Salah sat contoh masalah optimalisai adalah mencari krva terpendek anatar da titik di atas sebah permkaan dengan asmsi krva tersebt hars berada di permkaan tersebt. Jika permkaan tersebt adalah bidang rata maka krva ang paling pendek berpa garis lrs. Namn jika permkaanna tidak bidang maka kita tidak bisa mengetahi secara pasti krva ang paling pendek. Krva ini disebt sebagai geodesik dan salah sat masalah paling sederhana di kalkls variasi adalah mencari geodesik.contoh lainna adalah mencari las permkaan paling kecil ang dibatasi oleh krva terttp di rang tiga dimensi. Permkaan ini disebt sebagai permkaan minimm dan ini dapat dicari dengan menggnakan kalkls variasi... Fisika sangatlah penting dalam fisika. Banak proses fisika ang dapat dideskripsikan dengan trnan disebt sebagai persamaan diferensial. Fisika secara spesifik mempelajari perbahan kantitas terhadap wakt dan konsep "trnan wakt" laj perbahan terhadap perbahan wakt sangatlah penting sebagai definisi ang tepat pada beberapa konsep penting. Sebagai contohna trnan wakt terhadap posisi benda sangat penting dalam fisika Newtonan: kecepatan adalah trnan posisi benda terhadap wakt. percepatan adalah trnan dari kecepatan benda terhadap wakt atapn trnan keda posisi benda terhadap wakt. Sebagai contoh jika posisi sebah benda dalam sebah garis adalah: 9

128 maka kecepatan benda tersebt adalah: dan percepatan benda it adalah:.. Persamaan diferensial Persamaan diferensial adalah hbngan antara sekelompok fngsi dengan trnantrnanna. Persamaan diferensial biasa adalah sebah persamaan diferensial ang menghbngkan fngsi dengan sebah variabel ke trnanna terhadap variabel it sendiri. Persamaan diferensial parsial adalah persamaan diferensial ang menghbngkan fngsi ang memiliki lebih dari sat variable ke trnan parsialna. Persamaan diferensial mncl secara alami dalam sains fisik model matematika dan dalam matematika it sendiri. Sebagai contoh Hkm keda Newton ang menggambarkan hbngan antara percepatan dengan posisi dapat dimlai dengan persamaan diferensial biasa: Persamaan kalor di variable sat rang ang menggambarkan bagaimana kalor dapat berdifsi melali sat tongkat ang lrs adalah persamaan diferensial parsial Di sini t adalah temperatr tongkat pada posisi dan wakt t dan α adalah sebah tetapan ang bergantng pada seberapa cepat kalor tersebt berdifsi.. 4. Teorema nilai prata Teorema nilai prata memberikan hbngan antara nilai dari trnan dengan nilai dari fngsi asal. Jika f adalah fngsi ang bernilai real dan a dan b adalah bilangan dengan a < b maka teorema nilai prata mengatakan bahwa kemiringan antara da titik a fa dan b fb adalah sama dengan kemiringan garis singgng f di titik c di antara a and b. Dengan kata lain:

129 Dalam praktekna teorema nilai prata ini mengontrol sebah fngsi terhadap trnanna. Sebagai contoh misalkan f memiliki trnan ang sama dengan nol di setiap titik maka fngsi tersebt harslah horiontal. Teorema nilai prata membktikan bahwa hal ini harslah benar bahwa kemiringan antara da titik di grafik f harslah sama dengan kemiringan salah sat garis singgng di f. Sema kemiringan tersebt adalah nol jadi garis sembarang antara titik ang sat dengan titik ang lainna di fngsi tersebt memiliki kemiringan ang bernilai nol. Namn hal ini jga mengatakan bahwa fngsi tersebt tidak naik mapn trn.. 5. Polinomial Talor dan deret Talor Trnan memberikan pendekatan linear ang paling baik namn pendekatan ini bisa sangat berbeda dengan fngsi asalna. Salah sat cara ntk memperbaiki pendekatan ini adalah dengan menggnakan pendekatan kadratik. Linearisasi dari fngsi bernilai real f pada sat titik adalah linearisasi polinomial a + b - dan sangat mngkin ntk mendapatkan pendekatan ang lebih baik dengan menggnakan polinomial kadratik a + b - + c - ². Masih lebih baik lagi apabila menggnakan polinomial kbik a + b - + c - ² + d - ³ dan gagasan ini dapat diperlas sampai polinomial berderajat tinggi. Untk setiap polinomial ini harslah terdapat pilihan nilai koefisien ang paling tepat ntk a b c dan d ang membat pendekatan ini sedekat mngkin. Untk a pilihan nilai ang terbaik selal bernilai f dan ntk b selal bernilai f'. Untk c d dan koefisien berderajat tinggi lainna koefisien-koefisien ini ditentkan dengan trnan berderajat tinggi dari f. c harslah f''/ dan d harslah f'''/!. Dengan menggnakan koefisen ini kita mendapatkan polinomial Talor dari f. Polinomial talor berderajat d adalah polinomial dengan derajat d ang memberikan pendekatan ang paling baik terhadap f dan koefisienna dapat ditentkan dengan perampatan dari rms di atas. Teorema Talor memberikan batasan-batasan ang detail akan seberapa baik pendekatan tersebt. Jika f adalah polinomial dengan derajat ang lebih kecil ata sama dengan d maka polinomial Talor dengan derajat d sama dengan f. Batasan dari polinomial Talor adalah deret tidak terbatas ang disebt sebagai deret Talor. Deret Talor biasana merpakan pendekatan ang ckp dekat dengan fngsi asalna. Fngsi-fngsi ang sama dengan deret Talor disebt sebagai fngsi analitik. Adalah tidak mngkin ntk fngsi ang tidak kontin ata memiliki sdt ang tajam ntk menjadi fngsi analitik. Namn terdapat pla fngsi mls ang bkan analitik.. 6. Teorema fngsi implisit Beberapa bentk geometri alami seperti lingkaran tidak dapat digambar sebagai grafik fngsi. Jika F = ² + ² maka lingkaran adalah himpnan pasangan di mana F =. Himpnan ini disebt sebagai himpnan nol ero set bkan himpnan kosong dari F. Ini tidaklah sama dengan grafik F ang berpa kerct. Teorema fngsi implisit mengbah relasi seperti F = menjadi fngsi. Teorema ini menatakan bahwa jika F adalah secara kontin terdiferensialkan maka di sekitar kebanakan titik-titik himpnan nol dari F tampak seperti grafik fngsi ang digabngkan bersama. Titik di mana hal ini tidak benar ditentkan pada kondisi trnan F. Lingkaran dapat digabngkan bersama dengan grafik dari da fngsi. Di setiap titik lingkngan dari lingkaran kecali -

130 dan sat dari da fngsi ini mempnai grafik ang mirip dengan lingkaran. Da fngsi ini jga bertem di - dan namn hal ini tidak dipastikan oleh teorema fngsi implisit. Teorema fngsi implisit berhbngan dekat dengan teorema fngsi invers ang menentkan kapan sebah fngsi tampak mirip dengan grafik fngsi terbalikkan ang digabngkan bersama. Misalkan:. Selanjtna akan lebih mdah menggnakan gambar: Seharsna dari keterangan di atas sdah jelas bahwa trnan dan diferensial it berbeda. Trnan adalah hasil pembagian antara bah diferensial. Sebagai contoh Jika kita mengatakan bahwa "trnan dari adalah " maka pernataan it adalah BENAR karena. Tapi akan SALAH jika trnan disamakan dengan diferensial. Jika kita mengatakan bahwa "diferensial dari adalah " maka pernataan it adalah SALAH. Kala ingin betlna hars seperti ini: "diferensial dari konsep... adalah dikalikan dengan diferensial " ata dapat ditlis begini:.. Memang.. Sepertina hal sepele namn krsial sebagai Ingat ingat kembali rms trnan: Ypp.. Diferensial adalah selisih variabel Ingat "difference" dalam bahasa inggris artina "beda" bkan?.. Sekadar mengingatkan di rms di atas maka adalah variabel bebas sedangkan adalah variabel terikat.. Sebenarna bisa saja rmsna begini: Di atas maka adalah variabel bebas sedangkan nilai terikat terhadap variabel. Jika maka Ingat fngsi invers..

131 Di sini akan diberikan beberapa pernataan persamaan silakan dijawab apakah pernataan tersebt betl ata salah

134 DAFTAR ISI Integral tertent... Rangkman... Soal-penelesaian Soal-soal latihan

135 INTEGRAL TERTENTU Pengertian Integral dibagi da Integral tak tent Integral tertent Integral tak Tent adalah kebalikan dari differensial ait proses peneman fngsi asal jika fngsi trnanna diketahi. Integral Tertent adalah proses pencarian las sat area dimana batas-batas dari area tersebt sdah ditentkan. Integral tak Tent Bentk mm integral tak tent ait : f d f k = tanda integral d f = diferensial dari f f k = fngsi asal k = konstanta ang nilaina tak tent Proses pengintegralan disebt Integrasi Contoh : f 5 f I d k Kaidah-kaidah Integrasi tak Tent. Formla pangkat 4

136 5 k n d n n n Contoh : k k k d. Formla Logaritmik k d ln Contoh : k d ln. Formla eksponensial k e d e k e d e Contoh : k e d e d e k e d e d e 4. Formla penjmlahan d g d f d g f k g f Contoh : k d k k 5

137 e d e ln k 5. Formla sbstitsi d d f d f d f g d = sbstistsi bagi d Latihan : 4 4. d k d 5 d ln 5. 4d 4 k 4 k k 4 k d 5 d k 5 k.. Penerapan Ekonomi Integral Tak Tent Integral tak tent dapat diterapkan ntk mancari persamaan fngsi total dari sat variable ekonomi jika fngsi marginalna diketahi. Fngsi marginal merpakan trnan dari fngsi total maka proses sebalikna merpakan proses integrasi integral. 6

138 A. FUNGSI BIAYA Biaa total TC f Q Biaa Marginal I MC TC biaa total adalah integral dari biaa marginal TC Contoh : MCdQ TC I dq Biaa Marginal sat persahaan adalah MC Q 6Q 4 Hitng persamaan biaa total dan biaa rata-ratana? Jawab : Biaa total TC MCdQ TC Q 6Q 4 dq Q Q 4Q k Biaa Rata-rata AC TC Q Q Q 4Q k Q AC Q Q 4 k Q Dimana k = besarna biaa tetap fi cost B. FUNGSI PENERIMAAN 7

139 Penerimaan Total TR f Q Penerimaan Marginal I MR TR Maka Penerimaan total TR MRdQ TR I dq Contoh : Carilah persamaan total dan penerimaan rata-rata dari sat persahaan jika penerimaan marginalna MR 6 4Q Jawab : penerimaan total TR MRdQ TR 6 4Q dq 6Q Q Penerimaan rata-rata AR TR Q 6Q Q Q AR 6 Q Dalam persamaan penerimaan k sebab penerimaan tidak ada jika tidak ada barang ang dihasilkan / dijal... Integral Tertent Integral tertent adalah integral sat fngsi ang nilai-nilai variable bebasna memiliki batas-batas tertent. Integral tertent dignakan ntk menghitng las area sat fngsi. Dalam integral tak tent f d f k Maka dalam integral tertent ntk a dan b ; a < b 8

140 b a f d { f b k} { f a k} f b f a Dimana a = batas bawah integrasi b = batas atas integrasi Kaidah-Kaidah Integrasi Tertent b. d f a a b a f f b f a. d a b f. d a b f f d 4. d k a b kf f d 5. g a b b a d f d a b b f g d 6. d f d c f f d a b a c a b a Latihan : 4 ; 6 ; 7 ;.. Penerapan Ekonomi Integral Tertent A. SURPLUS KONSUMEN 9

141 Srpls konsmen adalah kentngan lebih ang dinikmati oleh konsmen tertent pada tingkat harga pasar sat barang. P D P Srpls Konsmen Cs Pe E Qe; Pe Qe P FQ f Q Q Srpls konsmen CS Pe. D. E Besarna srpls konsmen f Q dq Qe CS Qe. Pe O Jika fngsi perminataan Q f p dp ; maka : Besarna srpls konsmen Contoh : CS P Pe f p dp Fngsi permintaan Q 48 P berapakah srpls konsmen jika harga pasar P

142 Jawab: P ˆ 4 P E Pe Qe Q ˆ 48 Q Q 48 P jikap Q jikaq O 48 P P P 6 P 4 Jika Pe Qe 48 Maka srpls konsmen : Cs Cs p Pe 4 f p dp 48 P dp 48P P 4

143 Cs B. SURPLUS PRODUSEN Adalah kentngan lebih ang dinikmati prodsen tertent pada tingkat harga pasar dari barang ang ditawarkan. P P f Q Fngsi Pe E Qe; Pe D O Pˆ Srpls Qe Q Srpls prodsen Ps adalah Pe. D. E Besarna srpls prodsen Qe Ps Pe. Qe f Q dq o Jika fngsi penawaran P f Q Jika fngsi penawaran berbentk Q f P Maka srpls prodsen Ps Qe P f P dp Contoh :

144 Fngsi penawaran P 5Q. Berapakah srpls prodsen jika tingkat harga keseimbangan pasar P? Jawab : P 5Q Jika P Q 6 Q P P P Pe Qe 4 Pe P 5Q f Q ˆ P Srpls Qe 4 Q Qe Ps Qe. Pe f Q dq O 4 4 5Q dq 5Q 4 4 Q Ps 49

145 Latihan : Diketahi fngsi penawaran dan permintaan Q 5P dan Q 6 4P. Hitng srpls konsmen dan prodsen? 4

148 DAFTAR ISI Integral trigonometri... Rangkman... Soal-penelesaian Soal-soal latihan

149 INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI Kita telah mempelajari trnan fngsi trigonometri ang secara ringkas dapat digambarkan sebagai berikt : sin cos sin cos sin tan sec cot cosec artina trnan. Karena integral adalah invers dari trnan maka : Contoh : Tentkan : a. b. 5sin cos d cos 4sin d Penelesaian : a. b. 5sin cos d 5cos sin c cos 4sin d sin 4 cos c 4

150 LATIHAN SOAL. Tentkan integral fngsi berikt! a. 5sin d b. c. d. e. sin cos 8cos sin sin 6sin d d d d. INTEGRAL DENGAN SUBSTITUSI Cara menentkan integral dengan menggnakan cara sbstitsi- ait dengan mengbah bentk integral tersebt ke bentk lain dengan notasi lain ang lebih sederhana sehingga mdah menelesaikanna. Cara ini dignakan jika bagian ang sat ada kaitan trnan dari bagian ang lain. Contoh : Tentkan integral dari : a. b. 4 sin 5 d cos d Penelesaian : a. Misal : 4 Maka: d 8 d d d 8 5

151 Sehingga : d d.. d c 4 44 c b. Misal = sin Sehingga : d d d cos d cos d cos sin cos d.cos d c sin 6 c LATIHAN SOAL Tentkan integral dari fngsi fngsi berikt dengan menggnakan metode sbstitsi! 6

152 cos sin5 d cos d d d 5 6 d d 4 d.sin d d sin d. INTEGRAL PARSIAL Bagaimana jika da bagian pada sat integral tidak ada kaitan trnan antara bagian ang sat dengan bagian lainna? Untk it perl ada cara lain ntk menelesaikanna ait dengan integral parsial. Seperti telah kita ketahi pada trnan jika = v maka = v + v. Jika kita integralkan keda ra maka akan didapat : ' d ' v d v' d v' d ' v d v Rms di atas sering disingkat dengan : ' v d dv v v d Contoh : Tentkan : a. b. 5 sin d 6 d 7

153 Penelesaian : a. Misal = maka d = d 5 d v Misal dv = 5 6 d d c c 5 7 b. Misal = maka d = d Misal dv = sin d maka v = -cos sin d. cos cos d cos sin c LATIHAN SOAL Tentkan integral berikt dengan metode parsial! d d sin d sin d cos d 5 sin d d d cos d 6 5 d 8

154 . INTEGRAL TENTU Perhatikan gambar di bawah ini : Y Y = f P Q R S f f+h T h U X a +h b Las daerah dari = a hingga = b adalah Lb La.. Las RSUT Las RQUT Las PQUT h.f L+h L h.f+h L h L f f h h Untk h maka : Lim Lim f h h L h L h Lim h f+h f L' f L' f L f d F c 9

155 Dari maka : a F b F c a F c b F a L b L d f L b a Jadi : b a b a a F b F F d f Contoh : Hitnglah d Penelesaian:.. 4 d LATIHAN SOAL. Tentkan nilai integral di bawah ini :

156 d e d d d c d b d a. Tentkan nilai a jika diketahi :. 8. a a d b d a. Tentkan a jika 6 d a 4. Tnjkkan dengan arsiran las daerah ang dinatakan dengan integral berikt : d d d c d b d a 5. Tentkan nilai integral dari :

157 d d d c d b d a Tentkan nilai integral berikt ini : 4cos. cos sin. sin. cos. cos. d e d d d c d b d a

160 DAFTAR ISI Integral parsial... Rangkman... Soal-penelesaian Soal-soal latihan

161 INTEGRAL PARSIAL. INTEGRAL PARSIAL Bagaimana jika da bagian pada sat integral tidak ada kaitan trnan antara bagian ang sat dengan bagian lainna? Untk it perl ada cara lain ntk menelesaikanna ait dengan integral parsial. Seperti telah kita ketahi pada trnan jika = v maka = v + v. Jika kita integralkan keda ra maka akan didapat : ' d ' v d v' d v' d ' v d v Rms di atas sering disingkat dengan : ' v d dv v v d Contoh : Tentkan : a. b. 5 sin d 6 d Penelesaian : a. Misal = maka d = d 5 d v Misal dv = 5 6 d d c c 5 7 b. Misal = maka d = d Misal dv = sin d maka v = -cos 4

162 sin d. cos cos d cos sin c LATIHAN SOAL Tentkan integral berikt dengan metode parsial! d d sin d sin d cos d 5 sin d d d cos d 6 5 d. INTEGRAL TENTU Perhatikan gambar di bawah ini : Y Y = f P Q 5

163 R S f f+h T h U X a +h b Las daerah dari = a hingga = b adalah Lb La.. Las RSUT Las RQUT Las PQUT h.f L+h L h.f+h L h L f f h h Untk h maka : Lim Lim f h h L h L h Lim h f+h f L' f L' f L f d F c Dari maka : b L f d L b L a F b c F a c F b F a a b Jadi : d F a b a f F b F a Contoh : Hitnglah d Penelesaian: 6

164 7.. 4 d LATIHAN SOAL. Tentkan nilai integral di bawah ini : d e d d d c d b d a. Tentkan nilai a jika diketahi :. 8. a a d b d a

165 8. Tentkan a jika 6 d a 4. Tnjkkan dengan arsiran las daerah ang dinatakan dengan integral berikt : d d d c d b d a 5. Tentkan nilai integral dari : d d d c d b d a Tentkan nilai integral berikt ini :

166 9 4cos. cos sin. sin. cos. cos. d e d d d c d b d a

167 B. LUAS DAN VOLUME BENDA PUTAR. DAERAH ANTARA BEBERAPA KURVA Daerah antara da krva ait daerah ang dibatasi oleh da krva tersebt dengan selang batas tertent. Selang batas tersebt bisa batas ang ditentkan ata titik potong keda krva tersebt. Contoh : Lkislah daerah antara garis = dan krva! Penelesaian : Y = = X

168 LATIHAN SOAL Lkislah daerah antara beberapa krva di bawah ini :

169 dan dan dan dan 4 dan dan 4 4 dan smb X 8 4 dan 5 sin sin cos. LUAS DAERAH ANTARA KURVA DAN SUMBU KOORDINAT Las daerah antara krva = f dengan smb koordinat X pada selang dimana a b daerahna ada di atas ata di bawah smb X adalah : b L f d a Begitpn ntk daerah dengan batas smb koordinat Y ait : b L f d a Contoh : Tentkan las daerah antara krva = smb X = - dan =!

170 Penelesaian : Y - X 4 4 L d d satan las LATIHAN SOAL. Tentkan las daerah ang diarsir pada gambar di bawah ini : a. Y b. Y = + = X X

171 - Y = c. X Tentkan las daerah antara krva berikt dan smb koordinat ata garis ang ditentkan : a. smb X = - dan = b. smb X = dan = c. dan smb X d. 8 smb X dan = 4 e. smb X = - dan = f. smb X = dan = 4. Tentkan las daerah ang dibatasi oleh krva smb X = - dan =. LUAS ANTARA DUA KURVA 4

172 Untk menentkan las daerah antara da krva kita berdasarkan las antara krva dan smb koordinat. Perhatikan gambar di bawah ini : Y = f = g a b X Las daerah ang diarsir adalah : b f d g d f L g d a b b b a a Jadi : L f g a Contoh : Tentkan las daerah antara krva dan = +! Penelesaian : Titik potong keda krva ait : ata Y 5

173 - X L d d 4 satan las. LATIHAN SOAL. Hitnglah las daerah ang diarsir pada gambar di bawah ini : a. b. Y = = Y Y = X X = 6

174 7. Hitnglah las daerah ang dibatasi oleh da krva berikt : dan g dan f smb Y dan e dan d dan c dan b dan a 4. VOLUME BENDA PUTAR 4. VOLUME BENDA PUTAR ANTARA KURVA DAN SUMBU KOORDINAT Y = f X a b

175 Volme benda ptar ang dibatasi oleh krva = f = a = b dan smb X ang diptar sejah 6 mengelilingi smb X adalah : V b a d Begit jga pada krva = f ang diptar mengelilingi smb Y sejah 6 dan dibatasi oleh = a = b smb Y dan krva it sendiri maka volmena : V b a d Contoh : Tentkan volme benda ptar ang terjadi jika daerah ang dibatasi oleh krva smb X dan garis = diptar mengelilingi smb X sejah 6! Jawab : Y X d d V satan volme LATIHAN SOAL 8

176 . Pada gambar di bawah hitnglah volme benda ptarna jika diptar mengelilingi smb X sejah 6! a. Y b. Y = + Y= X X -. Hitnglah volme benda ptar ang terjadi jika daerah ang dibatasi oleh krva-krva ang diketahi diptar mengelilingi smb X sejah 6! a. = = dan = b. = smb X smb Y dan = 6 c. = smb X smb Y dan = 9 d. = = dan = e. = smb X = - dan =. Hitnglah volme benda ptar ang terjadi jika daerah ang dibatasi oleh krva-krva ang diketahi diptar mengelilingi smb Y sejah 6! a. = dan = 6 b. = dan = c. = = dan = Qiss : r. Tentkan rms volme kerct V r t dari persamaan garis = t mengelilingi smb X sejah 6 ang diptar 9

177 . Tentkan rms volme bola 4 V r r ang diptar mengelilingi smb X sejah dari persamaan seperempat lingkaran 6 4. VOLUME BENDA PUTAR ANTARA DUA KURVA = f = g a b X Volme benda ptar ang diptar mengelilingi smb X sejah krva = f = g = a dan = b adalah : 6 ang dibatasi oleh b V d dimana f g dan a

178 Begitpn ntk benda ptar ang diptar mengelilingi smb Y. Contoh : Hitnglah isi benda ptar ang terjadi jika daerah ang dibatasi oleh krva dan = diptar mengelilingi smb X sejah 6! 4 Jawab : V d d 5 5 LATIHAN SOAL. Hitnglah volme benda ptar ang terjadi jika daerah ang dibatasi oleh da krva diptar sejah 6 mengelilingi smb koordinat ang disebtkan! a. = dan = mengelilingi smb X b. = dan mengelilingi smb Y c. = = mengelilingi smb Y 4 d. = dan = mengelilingi smb X e. = dan = 6 mengelilingi smb X f. = dan = 9 mengelilingi smb X PROGRAM LINIER

179 Program linier adalah sat metode ntk mencari nilai maksimm ata minimm dari bentk linier pada daerah ang dibatasi oleh grafik-grafik fngsi linier.. SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINIER

180

181 4

182 Contoh Soal : LATIHAN SOAL. Lkislah garis berikt : a. + = 6 c = - b = d Arsirlah daerah penelesaian dari sistem pertidaksamaan linier : a 6 b 4 c 5 5

183 6 d e 4 f 6 g 6 5 h i j 8. MENYELESAIKAN MASALAH PROGRAM LINIER Dalam kehidpan sehari-hari sering kita dihadapkan dengan permasalahan ang berhbngan dengan nilai optimal maksimm/minimm. Program linier mempnai tjan ntk dapat memanfaatkan bahan-bahan materi ang tersedia secara efisien dengan hasil ang optimm. Karena it program linier banak dignakan dalam bidang ekonomi indstri persahaan dan bidang saha lain. a. Model Matemátika dari Permasalahan Program Linier

184 Sebagai ilstrasi perhatikan contoh berikt : PT. Samba Lababan memprodksi ban motor dan ban sepeda. Proses pembatan ban motor melali tiga mesin ait menit pada mesin I 8 menit pada mesin II dan menit pada mesin III. Adapn ban sepeda diprosesna melali da mesin ait 5 menit pada mesin I dan 4 menit pada mesin II. Tiap mesin ini dapat dioperasikan 8 menit per hari. Untk memperoleh kentngan maksimm rencanana persahaan ini akan mengambil kentngan Rp4. dari setiap penjalan ban motor dan Rp. dari setiap penjalan ban sepeda. Berdasarkan kentngan ang ingin dicapai ini maka pihak persahaan merencanakan banak ban motor dan banak ban sepeda ang akan diprodksina dengan mermskan berbagai kendala sebagai berikt. Persahaan tersebt memisalkan banak ban motor ang diprodksi sebagai dan banak ban sepeda ang diprodksi sebagai dengan dan bilangan asli. Dengan menggnakan variabel dan tersebt presan it membat rmsan kendala-kendala sebagai berikt. Pada mesin I : Persamaan Pada mesin II : Persamaan Pada mesin III : 8. Persamaan bilangan asli :. Persamaan 4 Fngsi tjan objektif ang dignakan ntk memaksimmkan kentngan adalah f = Dalam mermskan masalah tersebt PT. Samba Lababan telah membat model matematika dari sat masalah program linear. b. Nilai Optimm Fngsi Obektif Untk menentkan nilai optimm fngsi objektif ini ada da metode ait metode ji titik pojok dan metode garis selidik. b.. Metode Uji Titik Pojok Untk menentkan nilai optimm fngsi objektif dengan menggnakan metode ji titik pojok lakkanlah langkah-langkah berikt. 7

185 . Ubah masalah tersebt ke dalam model matematika ait dengan membat tabel fngsi pembatas dan fngsi tjan.tabel di sini ntk mempermdah membaca data. Fngsi pembatas/kendala ait beberapa pertidaksamaan linier ang berhbngan dengan permasalahan tersebt. Fngsi tjan/objektif ait sat fngsi ang berhbngan dengan tjan ang akan dicapai. Biasana fngsi tjan dinatakan dengan f = a + b ata = a + b. Lkislah daerah penelesaian dari fngsi pembatasna. Tentkan koordinat-koordinat titik jng daerah penelesaian 4. Ujilah masing-masing titik jng daerah penelesaian 5. Tentkan nilai terbesar/terkecilna sesai dengan tjan ang akan dicapai Sebagai contoh dalam dari masalah prodksi ban PT. Samba Lababan di atas diperoleh model matemátika sebagai berikt : I : Persamaan II : Persamaan III : 8. Persamaan IV :. Persamaan 4 Fngís Obektif : f = Gambar grafik daerah penelesaian dari model matemática tersebt hádala sebagai berikt : 8

186 9

187

188 LATIHAN SOAL. Sat pesawat dara mempnai tempat ddk tidak lebih dari 48 penmpang. Setiap penmpang kelas tama boleh membawa bagasi 6 kg sedangkan kelas ekonomi dibatasi kg. Pesawat it hana dapat membawa bagasi 44 kg. Jika tiket setiap penmpang kelas tama Rp.. dan kelas ekonomi Rp.5. maka tentkan kentngan maksimm ang dapat diperolehna?. Las daerah parkir 6 m. Las rata-rata ntk parkir sebah mobil sedan 6 m dan ntk sebah bs 4 m. Daerah parkir tidak dapat memat lebih dari kendaraan. Jika biaa parkir ntk sebah mobil sedan Rp.5 dan sebah bs Rp.75 maka tentkan banakna tiap-tiap jenis kendaraan agar diperoleh pendapatan maksimm?. Seorang pengsaha kendaraan roda da akan memprodksi sepeda balap dan sepeda biasa. Banak sepeda balap ang akan diprodksi sedikitna nit dan paling banak 6 nit perblanna. Sedangkan ntk sepeda biasa paling banak diprodksi nit

189 seblanna. Total prodksi perblanna adalah 6 nit. Harga jal sepeda balap Rp.7./nit dan sepeda biasa Rp../nit. Tentkan banakna masing-masing jenis sepeda ang membat kentngan maksimal! 4. Sebah btik memiliki 4 m kain satin dan 5 m kain prada. Dari bahan tersebt akan dibat baj pesta. Baj pesta I memerlkan m kain satin dan m kain prada. Sedangkan baj pesta II memerlkan m kain satin dan m kain prada. Harga jal baj pesta I sebesar Rp.5. dan baj pesta II Rp.4.. Berapa jenis baj pesta ang akan dibat agar diperoleh harga jal ang setinggi-tinggina? 5. Seorang petani membthkan ppk N P dan K bertrt-trt dan nit ntk menbrkan tanamanna. Kebthan it dapat dipenhina dari ppk berpa cairan ang mengandng 5 nit N nit P dan nit K tiap botol dan dari ppk berbentk tepng ang mengandng nit N nit P dan 4 nit K tiap kantong. Berapa banakna tiap jenis ppk dapat dibeli agar biaa pembelian ppk seminimal mngkin? b. Metode Garis Selidik

190 LATIHAN SOAL

191 . Tentkan nilai maksimm dan minimm 4 + dengan menggnakan garis selidik dari daerah sistem pertidaksamaan linier dan 8. Dengan menggnakan garis selidik tentkan nilai maksimm 4 + pada daerah himpnan penelesaian dan 8. Dengan menggnakan garis selidik tentkan nilai maksimm dan minimm pada pertidaksamaan dan 4 4. Dengan menggnakan garis selidik tentkan nilai maksimm dan minimm q = 6 + pada himpnan penelesaian sistem pertidaksamaan 6 dan 5. Dengan menggnakan garis selidik tentkan nilai maksim dan minimm q = dari daerah penelesaian dan 7 4

194 DAFTAR ISI Integral rasional... Rangkman... Soal-penelesaian Soal-soal latihan

195 INTEGRAL FUNGSI RASIONAL TEKNIK PENGINTEGRALAN. Metode Sbstitsi. Metode Integral Parsial. Integral Fngsi Pecah Rasional 4. Integral fngsi Irasional 5. Integral Fngsi Trigonometri. METODE SUBSTITUSI adalah memaskkan sbstitsi variabel bar ang tepat sehingga diperoleh bentk fngsi bar sedemikian hingga lebih mdah diselesaikan. Diberikan fngsi f terdefinisi pada [ab] dan fngsi g :[ ] [ a b] mempnai invers g. Jika g dan g mempnai derivatif dan kontin masing masing pada interval [ ] dan [ab] serta f kontin pada [ab] maka : d f g t g f t dt [ ] g [ab] f R f t gt f f g t 4

196 f g t Bkti Ckp dibktikan bahwa trnan keda ras terhadap adalah fngsi ang sama. Misalkan f d F c maka : d d d f d F c f... i d Sedangkan d d f g t g t dt d dt f g t g t dt f g t g t d dt f g t g t d dt f g t g t g t f g t f d dt... ii Dari i dan ii terbkti bahwa d f g t g Contoh sin cos d... f t dt 5

197 Diambil sbstitsi : cos d sin d Sehingga diperoleh : sin cos d d c cos c TUGAS. d.... sec d.... METODE INTEGRAL PARSIAL Misalkan f dan v g maka : d v d d f g d f g g f ata d v f g g f d Jadi 6

198 d v ata v f g g f d f g d g f d g f d v f g d... * Karena f v g d f d dv g d Sehingga persamaan * menjadi : dv v vd Contoh. cos d... Misalkan : d d dv cos d v cos d v sin Jadi 7

199 cos d dsin sin sin d sin cos c. ln d... Misalkan : ln d d dv d v v d Jadi ln d ln d ln d ln d ln c 9 PR. ed.... cos4d.... INTEGRAL FUNGSI PECAH RASIONAL n n Diberikan persamaan P a a... a a n n 8

200 dengan n Z dan a. n Selanjtna P disebt Polinomial berderajat n. Diberikan polinomial polinomial P dan Q dengan derajat masing masing adalah m dan n maka Pecah Rasional. P Q disebt i. Jika m < n maka P Q disebt Pecah Rasional Sejati ii. Jika m n maka P Q disebt Pecah Rasional Tak Sejati dan dapat dibah menjadi : P Q R S dengan R dan S masing masing Q polinomial dan derajat R lebih kecil dari n. Contoh

201 Diberikan pecah rasional P. Q Berdasarkan akar akar Q= akan dibahas integral fngsi pecah rasional dalam 4 kass. I. KASUS Q mempnai akar akar real dan berbeda. Q... n dengan... P maka dapat dinatakan sebagai berikt : Q n real dan berbeda. P Q A A An... dengan A A An R... konstanta konstanta ang akan dicari. n Contoh d 4... Q 4 Jadi Q mempnai da akar real ang berbeda. P Q 4 A A A A 4 Sehingga diperoleh :

202 A A A A A A A A A / 4 dan A / 4 Jadi A A / d 4 / 4 / 4 d 4 / 4 / 4 d d ln ln c 4 TUGAS 5. d d... 8 II. KASUS Q mempnai akar akar real dan ada ang sama. p q Q... t dengan... t r real. maka P Q dapat dinatakan sebagai berikt :

203 r t r t t q q p p C C C B B B A A A Q P dengan R C B A k j i konstanta konstanta ang akan dicari.... ;... ;... r k q j p i Contoh d 4 4 Q Jadi Q mempnai tiga akar real dan ada ang sama. 5 7 B B A B B A Q P Maskkan pembat nol & sehingga diperoleh :

204 * * * A B 5 B B Jadi 7 5 d 4 4 d d d ln ln ln ln c d d TUGAS 6 5. d... III. KASUS Q mempnai akar akar imajiner dan berbeda. Contoh : Q D b 4ac Akar akar dari Q adalah : 4 Q mempnai akar - akar imajiner

205 4 4 i i Q i a D b Secara mm... c b a c b a Q n maka Q P dapat dinatakan sebagai berikt :... c b a D C c b a B A Q P Contoh... 6 d 6 D Q Jadi Q mempnai akar imajiner.

206 C B A C B A Q P sehingga diperoleh : / 6 * 5/ * / 6 6 * B B A C C A A A Jadi c d d d d d arctan 6 ln ln 5 6 ln ln 6 6 ln 6 6 TUGAS 7

207 . d... 4 IV. KASUS 4 Q mempnai akar akar imajiner dan ada ang sama. Q... a b c n maka P Q dapat dinatakan sebagai berikt : P Q... a A B b c A a B b c A... a n B n b c n Pada kass ini akan mncl bentk integral : a A B b c n d Secara mm a d n n n a n a n n a d Contoh 6

208 7... d 8 D Q Jadi Q mempnai akar imajiner dan sama. B A B A B A B A Q P sehingga diperoleh : * * * * B B B A A A B A Jadi

209 8 c d d d d d d arctan arctan TUGAS d

210 4. INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI Di dalam Trigonometri terdapar rms rms sebagai berikt :. cos a b cosacosb sin asinb cos a b cosacosb sin asinb i cos a b cos a b cosacosb cosacosb ii cos a b cos a b sin asinb sin asinb cos a b cos a b cos a b cos a b. sin a b sin acosb cosasinb sin a b sin acosb cosasinb i sin a b sin a b sin acosb sin acosb sin a b sin a b sin a b sin a b ii sin a b sin a b cosasin b cosasin b. tan sec 4. cotan cosec 9

211 5. cos cos cos cos cos sin sin cos 6. cos a cosa a 7. sin a sin a A. BENTUK : sin nsin m d ; cos ncos m d ; sin ncos m d Contoh. sin 4 sind cos4 cos4 cos cos7 sin cos7 c 7 d d. cos 6 d cos6cos 6 d Ata cos cos cos sin c d d

212 cos 6d cos sin c d. sincos6d sin6 sin 4 d cos6 cos c B. BENTUK : f sin cos d ; rasional. f cos sin d dengan f fngsi pecah Integrand dibawa dalam bentk pecah rasional biasa dengan sbstitsi : i. sin ntk bentk f sin ii. cos ntk bentk f cos Contoh cos sin. d Ambil sbstitsi : sin cos d

213 sin d cos d cos sin d d ln sin c 4 sin cos sin 4cos sin cos cos. d sin d 4 Ambil sbstitsi : sin d cos d sin d 4sin cos sin d 4 d ln cos c C. BENTUK : sin n cotan d ; n d ; cos n sec d ; n d ; tan n d ; cosec n d ; sin n cos m d. n * Rms Redksi ntk cos d cos n n n d cos cos d cos dsin Dengan Integrasi Parsial diperoleh :

214 . cos sin cos cos cos cos sin cos cos cos sin cos cos sin sin cos cos n d n d d n d n d n d n d n n n n n n n n n n n n n * Rms Redksi ntk d n tan tan tan tan tan tan tan sec tan sec tan tan tan tan n d d d d d d d d n n n n n n n n n n Dengan cara ang sama diperoleh rms rms Redksi sebagai berikt :

215 4 cosec cosec 7. sec sec 6. cotan cotan 5. tan tan 4. cos sin cos sin. cos cos. sin sin. cotan cosec tan sec cotan tan cos sin sin cos cos sin n d d n d d n d d n d d m n d d n d d n d d n n n n n n n n n n n n n n n n m n m n m m n m n n n n n n n n n n n n n n n m n n n Contoh tan 6... d c d d d d d d d d d tan tan tan sec tan tan sec tan tan tan tan tan tan tan sec tan sec tan tan tan tan Ata dengan rms redksi : c d d d tan tan tan tan tan tan tan tan tan

216 TUGAS 9 sec 6 d... D. SUBSTITUSI : tan Jika integrand merpakan fngsi pecah rasional dalam fngsi trigonometri maka integrand dapat dibawa ke bentk pecah rasional biasa dengan sbstitsi sesai bentk integrandna: tan ata cotan ata tan ata cotan Untk tan arctan arctan i. d d ii. sin sin cos iii. cos cos sin cos iv. tan 5

217 Contoh d sin =.. d sin d d 4 d arctan c TUGAS sin d sin 5cos =.. SUBSTITUSI FUNGSI TRIGONOMETRI i. Bentk : a Sbstitsi : asin ata acos ii. Bentk : a Sbstitsi : a tan ata acotan iii. Bentk : a Sbstitsi : asec ata acosec 6

218 Contoh d 4... Sbstitsi : tan d sec d d 4 sec 4 tan.sec d sec 4 tan d cos 4sin 4sin d dsin 4sin c 4 4 c TUGAS 9 d d d

219 d INTEGRAL FUNGSI IRASIONAL A. Sat satna bentk irasional adalah : a b c i Jika a maka ambil sbstitsi a b c a ii Jika c maka ambil sbstitsi a b c c Contoh d... Sbstitsi : 8

220 9 ras kadratkan keda * d d Jadi d d * * * d d d.. mempnai akar imaginer ang sama. 4 Q D Q

221 D B C A B A D C B A D C B A D C B A Q P sehingga diperoleh : D D B C C A B A Jadi

222 c c c c c c d d d d d d arctan arctan arctan

223 B. Sat satna bentk irasional adalah : b a diambil sbstitsi : b a Contoh d... d d d Sbstitsi : d d d d Jadi d d d Q Jadi Q mempnai akar real dan ada ang sama.

224 P Q A B A C B D A B i ntk 4B B / 4 C D C D ii ntk 4D D / 4 iii ntk A / 4 C / 4 A C / iv ntk 4 9A 9/ 4 C / 4 9A C / dari iii dan iv diperoleh : C A / 4 / 4 Jadi 4 d ln 4 d 4 ln ln / 4 4 / 4 4 ln / 4 4 / d c c C. Integrand hana memat bentk irasional sat sk : n diambil sbstitsi : n

225 4 dengan n adalah Kelipatan Persektan Terkecil KPK dari pangkat pangkat akar. Contoh... 6 d Sbstitsi : d d Jadi d d d dv d d d D Q Jadi Q mempnai akar real dan imajiner.

226 P Q Sehingga diperoleh : i A B ii A C B 6 iii A C 6 A A A A B dari ii dan iii diperoleh : iv 4A B dari i dan iv diperoleh : A 6 B 4 C 7 BC BC B C A C B A C Jadi 5

227 6 c d d d d d 48arctan ln 6ln 5 48arctan ln 6ln 5 6ln TUGAS.... d.... sin cos cos d.... d d

228 5. d... 7

231 DAFTAR ISI Integral tertent... Rangkman... Soal-penelesaian Soal-soal latihan

232 INTEGRAL TERTENTU INTEGRAL TERTENTU. Definisi Integral Tertent. Eksistensi Integral Tertent. Teorema Fndamental 4. Sifat Sifat Integral Tertent 5. Mengbah Variabel 6. Improper Integral. DEFINISI INTEGRAL TERTENTU Diketahi f :[ a b] R fngsi bernilai real. Himpnan bagian P... n pada interval terttp [ab] dengan sifat : pada [ab]. Contoh a... n b disebt PARTISI Diberikan interval []= R /. 4

233 P P P P P 4 5 [] [] [] [] [] 4 P dan P 5 merpakan partisi dari interval terttp [] Diberikan partisi P... n. * Diambil sebarang i ntk setiap i... n. i i Selanjtna dibentk Jmlahan Riemann dengan. i i i S P f f * i. i n i Norm P dinotasikan dengan P didefinisikan sebagai : P ma{ i ; i... n}. Jika ntk P n lim S P f ada maka f dikatakan P TERINTEGRAL pada [ab] dan dinotasikan sebagai berikt : b a f d lim P S P f lim n n i f * i. i 5

234 Secara mm Diambil : i b n a i. i a i * i i ntk setiap i... n INGAT n. a na i dengan a sebarang konstanta n n. i n i. n n nn i 6 i n n n 4. i i Contoh 6

235 Hitng d dengan definisi integral tertent Diambil partisi P... } pada [] n { n... dengan : i b n a n n * i i i. i a n i n i ntk setiap i... n Sehingga diperoleh : S n n n * P f f i. i n i. 4 i 4 n i i n i n n n n n n Jadi d = lim S P f lim P n n Latihan Hitng dengan definisi integral tertent 7

236 . d =.... d... e. d.... EKSISTENSI INTEGRAL TERTENTU Definisi Fngsi f dikatakan terintegral pada [ab] jika dan hana jika : Terdapat bilangan L sehingga lim S P P f L i.e. sehingga ntk setiap partisi P... } pada [ab] dengan P berlak : S P f L. { n Teorema Jika lim S P f ada maka limitna bernilai Tnggal. P 8

237 Dengan kata lain Jika fngsi f terintegral pada [ab] maka integralna bernilai Tnggal. Contoh Diberikan fngsi f f rasional irasional Dengan []. Apakah f terintegral pada []? Diambil sebarang partisi P... } pada [] { n n... dengan : b a i n n n dan * i [ ] ntk setiap i... n i i Terdapat da kemngkinan ait : i. Jika * i rasional ntk setiap i... n misalkan diberi notasi t maka S P f n i f t. i n i. n ii. * i irasional ntk setiap i... n misalkan diberi notasi 9

238 maka S P f n i f. i n i. n Karena ntk sebarang partisi P berlak : lim S P f P dan lim S P f P maka lim S P f P tidak ada. Dengan kata lain f tidak terintegral pada [].. TEOREMA FUNDAMENTAL KALKULUS Jika fngsi dan f :[ a b] R terintegral tertent/riemaan pada [ab] F :[ a b] R sat anti derivatif fngsi f pada [ab] maka : b f a d F b F a Contoh

239 d... d F F dengan F c c F F d F F c 4. SIFAT SIFAT INTEGRAL TERTENTU Teorema i Jika fngsi f terintegral pada [ab] dan a cb maka f terintegral pada [ac] dan pada [cb]. b a c f d f d f d a b c a ii f d a iii Jika f terintegral pada [ab] maka :

240 a b f d f d b a Contoh 4 Hitnglah nilai integral dari f d jika diketahi : f MENGUBAH VARIABEL Bertjan ntk menederhanakan integrand agar anti derivatifna mdah ditentkan. Teorema Jika fngsi g: [ ] [ a b] naik monoton dan mempnai derivatif dan fngsi f :[ a b] R terintegral maka :

241 b f g g d f d a Teorema Jika fngsi g: [ ] [ a b] trn monoton dan mempnai derivatif dan fngsi f :[ a b] R terintegral maka : a b f g g d f d f d b a Contoh e sin cos d... Misalkan sin d cos d Sehingga diperoleh : e cos d e d e e sin Latihan halaman 57 Improper Integral Integral Tak Sejati/ Integral Tak Wajar

242 b Diberikan a f d dan f terintegral pada [ab]. dengan a dan b adalah bilangan bilangan real b Jika keda sarat di atas tidak dipenhi maka a Integral Tak Wajar. Definisi. Integral Tak Wajar Tipe I f d disebt i Jika f terintegral pada [ab] ntk setiap b a maka integral tak wajar a f d didefinisikan sebagai : a b f d = lim b a f d ii Jika f terintegral pada [ab] ntk setiap a b maka b integral tak wajar f d didefinisikan sebagai : b b f d = lim a a f d 4

243 b * Jika b a a lim f d dan b f d dan b ** Jika b a maka : a f lim f d dan b f d dan b lim f d nilaina ada maka : a a d dikatakan KONVERGEN. f b lim f d nilaina tidak ada a a d dikatakan DIVERGEN. iii Integral tak wajar f d didefinisikan sebagai : c f d = f d + c f d c = a a b lim f d + lim b c f d 5

244 *** f d KONVERGEN j.h.j. b c lim f d dan a a lim f d kedana KONVERGEN ntk setiap c a b. b c. Integral Tak Wajar Tipe II i Jika f kontin pada ab] tetapi tidak terdefinisi di a maka b integral tak wajar f d didefinisikan sebagai a b a b f d= lim ta t f d Asalkan limit tersebt ada. ii Jika f kontin pada [ab tetapi tidak terdefinisi di b maka b integral tak wajar f d didefinisikan sebagai a b a f d= lim t tb a f d Asalkan limit tersebt ada. 6

245 iii Jika f kontin pada ab tetapi tidak terdefinisi di a dan b b maka integral tak wajar f d didefinisikan sebagai : a b a c f d= f d f d a c t = d lim sa s tb c b c lim f f d Asalkan keda limit tersebt ada dengan a c b.. Integral Tak Wajar Bentk Campran i f d dengan f tak terdefinisi di sat titik a b a sebagai : a integral tak wajar a b c f d didefinisikan f d = f d f d f d a s c t = lim d lim f d lim sb a pb p t s b f f d c 7

246 ii b f d dengan f tak terdefinisi di sat titik a b integral tak wajar sebagai : b f d didefinisikan b c f d = f d f d f d c t b = lim d lim f d lim s s ta c pa p a c f f d b a Contoh d b d b. lim lim b b d lim b lim b b b 4 8

247 9. ln lim ln lim ln a a a a d d d 4 ln lim ln lim a a a a a a. d d d d d lim lim lim lim s s r r q q p p d d d d / & / B A B A B A B A B A B A Jadi ln lim ln lim ln lim ln lim lim lim lim lim s s r r q q p p s d s r d r q d q p d p Tetapi karena ln lim ln lim r r r r r

248 d maka divergen. Latihan. dw w. d. d 4

251 DAFTAR ISI Volme Benda Ptar... Rangkman... Soal-penelesaian Soal-soal latihan

252 VOLUME BENDA PUTAR INTEGRAL I. Pendahlan Pokok bahasan Volme Benda Ptar Panjang Krva Pada Bidang Las Permkaan Ptar Tjan Mengetahi penggnaan integral. Menghitng volme benda ptar dengan menggnakan integral. Menggnakan integral tent ntk menghitng las daerah bidang rata. Menentkan las permkaan ptar pada krva. Menentkan nilai bentk integral dan menggambar krva ntk volme benda ptar dengan menggnakan Program Maple. Menentkan nilai bentk integral dan menggambar krva ntk las bidang rata dengan menggnakan Program Maple. Menentkan nilai bentk integral dan menggambar krva ntk las permkaan ptar dengan menggnakan Program Maple. II. Landasan Teori A. Pengertian Integral dan Lambangna.. a. Pengintegralan merpakan operasi invers dari pendiferensialan. ' b. Sat fngsi F sedemikian sehingga F f ntk sema dalam wilaahna rangena dinamakan fngsi antitrnan f. c. Ditlis: Dalam hal ini C dinamakan konstanta pengintegralan ' f dinamakan integrand dan F f dinamakan integral tak tent. Ada banak hasildinamakan integral tak tent. pengintegralan it nilai C dapat dipilih dari setiap bilangan pengintegralan it. 4

253 nnn. Jika f n B. Integral Tertent Las dan Volm. Misalkan fngsi f terdefinisi dalam interval terttp [ab] ata. Integral tertent f dari a ke b dilambangkan Integral tertent f dari a ke b.. Las daerah di bawah krva Dengan integral tertent: a. = Fb Fa b. = Fa Fb 4..Las daerah diantara da krva 6.Volme Benda Ptar 5

254 a. Pemtaran mengelilingi smb X b. Pemtaran mengelilingi smb Y. V d d c d. V d c 6

255 Benda ptar ang sederhana dapat kita ambil contoh adalah tabng dengan besar volme adalah hasilkali las alas las lingkaran dan tinggi tabng. Volme dari benda ptar secara mm dapat dihitng dari hasilkali antara las alas dan tinggi. Bila las alas dinatakan dengan A dan tinggi benda ptar adalah panjang selang [ ab ] maka volme benda ptar dapat dihitng menggnakan integral tent sebagai berikt : V b A d a Untk mendapatkan volme benda ptar ang terjadi karena sat daerah diptar terhadap sat smb dilakkan dengan menggnakan da bah metode ait metode cakram dan klit tabng. Metode Cakram 7

Menunjukkan lagi