MENYELESAIKAN TURUNAN TINGKAT TINGGI DENGAN MENGGUNAKAN METODE SELISIH ORDE PUSAT BERBANTUAN PROGRAM MATLAB

Transkripsi

1 MENYELESAIKAN TURUNAN TINGKAT TINGGI DENGAN MENGGUNAKAN METDE SELISIH RDE PUSAT BERBANTUAN PRGRAM MATLAB Arwan Maasiswa Prodi Matematika, FST-UINAM Try Azisa Prodi Matematika, FST-UINAM Irwan Prodi Matematika, FST-UINAM Ino: Jurnal MSA Vol. No. 1 Edisi: Januari Juni 01 Artikel No.: 10 Halaman: ISSN: -08X Prodi Matematika UINAM ABSTRAK Numerical metods are tecniques suc ormulate matematical problems so tat it can be solved by a matematical operation. Te metod used is order central dierence metod is part o numerical metods in solving derivatives. Tis metod is more rigorous because selectable order error. Te order error used is. Function wic will be derived in tis study is trigonometric unction because tis unction is a continous unction means tat te unction o tese derivatives ell again. Tis tesis aims to determine ig completion rate derivatives using a central dierence o order witout te elp o te program and elp o te matlab program. Hig completion rate derivatives using a central dierence o order tat elp o te matlab program obtained te same result, owever less time spent tan ig completion rate derivatives using a central dierence o order witout te elp o te program. Kata Kunci: Numerical Metod, Derivative, rder Central Dierence metod, Taylor Row, Matlab 1. PENDAHULUAN Penggunaan matematika dalam memecakan suatu persoalan dalam keidupan seari-ari yaitu dengan menguba atau menyajikan masala yang ada dalam suatu model atau konsep yang tepat. Caranya dengan menerjemakan baasa keidupan nyata dan komponen-komponen yang ada pada suatu masala ke dalam baasa matematika yang dinyatakan dalam bentuk simbol-simbol. Hal tersebut merujuk pada ciri kas matematika yang bersiat abstrak dan menggunakan baasa simbol. Sala satu cabang yang lain dari matematika adala kalkulus. Kalkulus adala cabang ilmu matematika yang mencakup limit, turunan, integral, dan deret tak teringga. Di dalam kalkulus sering ditemui permasalaan turunan. Turunan dalam baasa sederana dapat diartikan sebagai perubaan satuan kuantitas per kuantitas lainnya, atau dengan kata lain perubaan yang menyebabkan terjadinya suatu perubaan teradap suatu objek. Misalnya percepatan yang merupakan laju perubaan kecepatan teradap laju perubaan waktu dan kecepatan yang merupakan laju perubaan jarak teradap laju perubaan waktu. Metode numerik adala teknik dimana masala matematika diormulasikan sedemikian rupa seingga dapat diselesaikan ole pengoperasian matematika. perasi itungan dalam metode numerik pada umumnya dilakukan dengan iterasi seingga jumla itungan yang dilakukan banyak dan berulang-ulang. le karena itu diperlukan bantuan komputer untuk melaksanakan operasi itungan tersebut. Turunan numerik dengan menggunakan program komputer memungkinkan penggun matematika 66

2 Jurnal MSA Vol. No. 1 Ed. Jan-Juni 01 mendapatkan asil penyelesaian yang lebi cepat, muda dan tepat dibandingkan dengan penyelesaian menggunakan metode analitik, atau kalkulator. Baasa pemrograman matlab cocok untuk analisis dan komputasi numerik. Matlab merupakan suatu program komputer yang bisa membantu memecakan berbagai masala matematis yang kerap kita temui dalam bidang teknis. Ada beberapa macam penyelesaian turunan dengan metode numerik yang terdiri dari beberapa kelompok berdasarkan proses penurunannya yakni rumus selisi maju dua titik, rumus selisi mundur dua titik, dan rumus selisi pusat dua titik. Dan ketiga rumus di atas dapat diturunkan dengan menggunakan metode deret Taylor atau polinomial interpolasi. Metode selisi orde pusat merupakan perbaikan dari kedua metode turunan lainnya seingga metode ini lebi teliti dan galatnya bisa dikontrol karena dapat dipili orde galat yang akan digunakan yaitu dan. Seacara umum kriteria dari turunan tingkat tinggi adala jika ungsi yang diturunkan tela melalui penurunan ' pertama atau biasa disimbolkan. Turunan dapat dikatakan tingkat tinggi apabila tela ' masuk ketaap turunan kedua. Jika dideerensialkan maka masi akan mengasilkan ungsi lain dan dinyatakan ole '' dan disebut turunan kedua dari dan dapat diturunkan lagi seingga mengasilkan ''' yang disebut turunan ketiga. Turunan akan berkelanjutan jika ungsi yang akan diturunkan untuk nilai turunan pertama memiliki nilai limit artinya apabila nilai dari limit kiri dan limit kanan sama. Fungsi trigonometri sangat bagus digunakan dalam penyelesaian turunan tingkat tinggi karena ungsi ini merupakan ungsi yang berkelanjutan artinya turunan dari ungsi ini dapat diturunkan lagi, seingga memberikan kemudaan untuk mencari turunan selanjutnya karena tidak mengasilkan nol seperti pada ungsi aljabar jika diturunkan yang dapat mengasilkan nol. Tujuan umum dalam penelitian ini terdiridari dua yaitu yang pertama untuk mengetaui penyelesaikan turunan tingkat tinggi dengan menggunakan metode selisi orde pusat dan yang kedua untuk mengetaui penyelesaian metode selisi orde pusat dengan bantuan program matlab. Untuk mencapai tujuan penelitian yang ingin dicapai, maka langka-langka yang ditempu adala sebagai berikut: Langka pertama yaitu pada tujuan penelitian yang pertama untuk mengetaui penyelesaikan metode selisi orde pusat 1 Menurunkan rumus turunan tingkat tinggi dengan menggunakan metode selisi orde pusat dengan cara : a Mengekspansikan dan, dan, atau dan b Menuliskan deret Taylor untuk masing-masing ungsi di atas sampai suku sisa yang diinginkan. c Melakukan eliminasi untuk mengilangkan suku yang tidak digunakan dan mencari nilai turunan keberapa yang diinginkan dengan cara melakukan penjumlaan atau pengurangan pada masingmasing ungsi. d Melakukan al yang sama untuk turunan berikutnya Menyelesaikan metode selisi orde pusat dengan cara : a Mendeinisikan ungsi yang akan diturunkan. b Mendeinisikan nilai. c Menentukan nilai. d Subtitusi nilai-nilai dari dan. Kemudian pada tujuan penelitian yang kedua untuk mengetaui penyelesaian turunan tingkat tinggi dengan metode selisi orde pusat dengan bantuan program matlab dilakukan dengan cara 1 Membuat algoritma penyelesaian turunan tingkat tinggi dengan menggunakan metode selisi orde pusat. Membuat diagram alur lowcart penyelesaian turunan tingkat tinggi dengan menggunakan metode selisi orde pusat. Menuliskan script-script program pada editor tentang bagaimana penyelesaian numerik turunan tingkat tinggi dengan metode selisi orde pusat dengan baasa MATLAB merujuk pada algoritma atau lowcart yang tela disusun sebelumnya. Menguji program yang tela dibuat untuk meliat asilnya. 67

3 Jurnal MSA Vol. No. 1 Ed. Jan-Juni HASIL DAN PEMBAHASAN Dari prosedur penelitian yang tela dikerjakan di atas maka asil yang didapatkan adala sebagai berikut: Rumus dari turunan pertama sampai turunanan kelima berturut-turut dibawa ini ', " ''' 6 '''' Sebagai conto soal diberikan ungsi sin maka diperole asil turunan secara numerik dengan menggunakan rumus yang tela diperole sebelumnya dari turunan pertama sampai turunan kelima untuk =0.8 dan = secara berturut-turut , , ,.08990,dan Turunan tingkat tinggi dengan menggunakan bantuan program matlab diperole asil yang sama dengan berdasar pada lowcart yang tela dibuat sebagai berikut. PEMBAHASAN Pada asil penelitian yang dilakukan penulis memberikan conto kasus menggunakan ungsi trigonometri yang akan diselesaikan dengan metode numerik dan menggunakan program matlab. Penyelesaian turunan tingkat tinggi diawali dengan menurunkan rumus turunan terlebi daulu. Ada ampiran yang digunakan diantaranya dengan menggunakan deret Taylor atau dengan interpolasi. Dalam al ini penulis menggunakan ampiran deret Taylor karena memungkinkan untuk memili atau mengontrol orde galat yang akan digunakan. rde galat yang digunakan adala. Penurunan rumus dengan ampiran deret Taylor dilakukan dengan cara mengkspansikan masing-masing ungsi start Input ungsi turunan Input nilai dan Hasil turunan END 6 " '

4 Jurnal MSA Vol. No. 1 Ed. Jan-Juni 01,,,, dan dengan cara menuliskan masing-masing ungsi di atas sampai suku sisa berdasarkan turunan yang akan dicari. Selanjutnya lakukan eliminasi untuk suku-suku yang tidak digunakan dalam peritungan baik dengan mengalikan ungsi dengan bilangan tertentu atau dengan melakukan pengurangan atau penjumlaan untuk mendapatkan nilai turunan yang dicari. Pada turunan pertama dan kedua ungsi yang diekspansikan yaitu dan, pada turunan ketiga dan keempat ungsi yang diekspansikan yaitu dan, dan, sedangkan pada turunan kelima ungsi yang diekspansikan yaitu,,,, dan. Pada peritungan numerik turunan tingkat tinggi, cara penyelesaiaannya dilakukan berdasarkan algoritma yang tela disusun sebelumnya. Pertama mendeinisikan ungsi yang akan diturunkan. Kedua mendeinisikan nilai sesuai yang diinginkan, dalam al ini untuk ungsi sin Ketiga menentukan nilai sesuai keinginan, dimana yang diambil menuju 0 dalam al ini penulis mengambil 0.8, 0.08, 0.008yang digunakan pada kedua ungsi yang ada. Pengambilan untuk kasus ini dalam artian sampai turunan kelima penulis membatasi anya sampai dikarenakan tidak memungkinkan untuk mengambil nilai yang lebi kecil lagi karena anya akan memunculkan nilai yang jau dari nilai sebenarnya. Hal ini disebabkan karena dalam peritungan dengan menggunakan komputer anya akan membaca jika menggunakan 10 angka atau lebi angka desimal signiikan. Seingga tidak memungkinkan mengoperasikan nilai yang sangat kecil. Keempat mensubstitusi nilai-nilai dan masingmasing nilai ke dalam rumus yang tela diturunkan sebelumnya untuk turunan pertama sampai turunan ke lima. Dan selanjutnya melakukan al yang sama untuk turunan ke dua sampai turunan ke lima. Peritungan numerik dengan cara manual dalam al ini masi membutukan waktu yang lama dan penyelesaian yang panjang. Akan tetapi dengan menggunakan bantuan program komputer yakni menggunakan pemrograman matlab memberikan asil yang sama dengan anya membutukan waktu yang tidak lama karena pada dasarnya analisis numerik diciptakan untuk membuat suatu program dengan bantuan komputer. Namun pada penggunaan program tidak memungkinkan untuk mencari nilai turuna sampai ke-n dikarenakan tidak ada rumus umum ke-n untuk masing-masing rumus turunan, yang memungkinkan mencari rumus turunan seara berulang-ulang dari turunan pertama sampai seterusnya dengan menggunakan deret Taylor, seingga penulis anya membatasi sampai turunan kelima saja. Penggunaan program juga terbatas anya untuk menampilkan nilai dari masing-masing turunan seingga perlu untuk menentukan nilai terlebi daulu.. KESIMPULAN DAN SARAN Berdasarkan asil dan pembaasan pada bab IV dapat diberikan suatu kesimpulan untuk menjawab rumusan masala yang tela disusun sebelumnya pada bab I yaitu: a Penyelesaian ungsi turunan tingkat tinggi dengan menggunakan metode selisi orde pusat diperole asil turunan pertama , 0,07988, dan 0,0770. Turunan kedua , , dan Turunan ketiga -1.1, , dan Turunan keempat.08990, , dan Turunan kelima yaitu , , dan untuk ungsi sin, untuk ungsi cos ln diperole asil turunan pertama 0.811, 0.880, dan Turunan kedua 1.18, 1., dan 1.. Turunan ketiga , , dan Turunan keempat -1.88, dan Turunan kelima 0.60, 0.80 dan b Penyelesaian ungsi turunan tingkat tinggi dengan menggunakan metode selisi orde 69

5 Jurnal MSA Vol. No. 1 Ed. Jan-Juni 01 pusat berbantuan program matlab diperole asil yang sama namun waktu yang digunakan lebi sedikit dibanding dengan menyelesaikan ungsi turunan tingkat tinggi dengan menggunakan metode selisi orde pusat tanpa berbantuan program.. DAFTAR PUSTAKA Alisa, Evawati. Prasetyo, Eko. Filsaat Dunia Matematika. Malang:Prestasi Pustaka. 007 Alwi,Waida. Analisis Real.Maksassar : jurusan matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Alauddin. 010 AN, Miceal, Dkk. Algoritma dan Teknik Pemrograman. Yogyakarta: Andi. 00 Arami, Muammad. Desiani, Anita. Pemrograman MATLAB. Yogyakarta: Andi.00 Capra, Steven. dkk. Metode Numerik untuk Teknik dengan Penerapan pada Komputer Pribadi. Jakarta:UI-press. 007 Departemen Agama RI, Al-Qur an dan Terjemanya Semarang:PT Karya Toa Putra. 00 Fatani, Abdul Halim. Mukjizat Angka Di Dalam al-qur an Melejitkan Iman, Menguatkan Ketakwaan. Jakarta: QultumMedia, 011 Gazali, Wikaria. Soedadyatmodjo. Kalkulus edisi.yogyakarta:graa Ilmu. 007 Idba. Pengertian Matematika. www. idba.wikispaces.com/ile/view/lr006.. pd.diakses tanggal 1 Januari 01 Munir,Rinaldi.MetodeNumerik. Bandung:Inormatika Bandung. 00 Pujiyanta, Ardi. Komputasi numerik dengan MATLAB Yogyakarta:Graa Ilmu. 007 Purcell, dkk. Kalkulus.Jilid1.Edisi Kedelapan.Jakarta:Erlangga. 00 Said.Pengantar Komputasi Numerik dengan MATLAB. Yogyakarta:Andi. 00 Sutarno,Heri. Racmatin, Dewi. Metode Numerik dengan Pendekatan Algoritmik Bandung:PT sinar baru algesindo.00 Triatmodjo, Bambang. Metode Numerik Dilengkapi dengan Program Komputer Yogyakarta:Beta oset.00 Varberg, dkk. Kalkulus.Jilid1.Edisi kesembilan.jakarta:erlangga. 007 Wayudin. Materi Pokok Metode Numerik.Jakarta:Karunia Jakarta Kosasi, Buyung. Komputasi Numerik Teori dan Aplikasinya. Yogyakarta: Andi. 006 Luknanto, Djoko.Metoda Numerik, Baan Kulia Metoda Numerik Jurusan Teknik Sipil FT UGM Yogyakarta:UGM. 001 Madiun Publik. Bilangan dalam al- Quran.ttp://madiunpublik.wordpress.com /01/ 09/0/bilangan-dalam-alquran/.Diakses tanggal ktober 01 70