MAKALAH KONTROL H 2 DAN KONTROL H SERTA APLIKASINYA DALAM SISTEM MASSA PEGAS KARTIKA YULIANTI ( ) RIRIN SISPIYATI ( )

Transkripsi

1 MKLH KONTOL H N KONTOL H SET PLKSN LM SSTEM MSS PEGS KTK ULNT 6 N SSPT 63 POGM STU MTEMTK NSTTUT TEKNOLOG NUNG 7

2 PENHULUN. Latar elaag Masalah Efisiesi da efetivitas suatu siste yag diais selalu ejadi hal yag terus dieaga dega eragai pedeata yag eugia utu eghasila produtivitas yag leih ai dari watu e watu. Tujua terseut diugia ila seuah siste erada dala odisi yag stail elalui peerapa siste otrol yag eadai. Teori Kotrol oust ejadi salah satu solusi yag eugia ita utu dapat eetapa seuah pegotrol yag efetif. Terdapat dua aa perasalaha utaa dala otrol roust, yaitu asalah aalisis da sitesis. ala asalah aalisis, pegotrol yag telah diperoleh, dilaua peerisaa terhadap siyal-siyal terotrolya traig error, siyal pegotrol, apaah eeuhi sifat-sifat yag diigia terhadap seua oise, gaggua da etapastia odel yag dipereaa. Seetara pada asalah sitesis, yag dilaua adalah edesai seuah pegotrol dari suatu siste diai sedeiia higga siyal-siyal terotrolya eeuhi sifat-sifat yag diigia terhadap seua oise, gaggua da etapastia odel yag dipereaa. Perasalaha sitesis dapat erupa otrol optial H da H. Kotrol optial H ertujua utu eraag suatu pegotrol K yag dapat estaila seuah siste dega eiiua or H dari atris

3 trasfer dari w e z T zw. Sedaga otrol optial H ertujua utu eraag suatu pegotrol K yag dapat estaila seuah siste dega ara euat or ifiite atris trasfer dari w e z T zw leih eil dari suatu ilaga. da dua ruusa asalah pada otrol H yaitu otrol optial da otrol suoptial. ala prateya pegotrol suoptial leih aya diguaa area pegotrol ii leih udah diperoleh da aha eilii sifat yag leih ai daripada pegotrol optialya. ala aalah ii aa dilaua peradiga atara otrol optial H da H sehigga jia diapliasia pada perasalaha ehidupa sehari-hari, aa didapata suatu pegotrol yag leih optial estaila siste.. Tujua Tujua dari peyusua aalah ii adalah:. Meetua pegotrol H da H. Meadiga otrol H da H 3. 3

4 LNSN TEO. Stailitas teral da Stailitas put/output Misala K pegotrol stail utu siste G diaa G s, K s dapat distaila da realisasiya terdetesi. Maa stailitas iteral ejai Tzw l G, K H. Lea. Misala realisasi-realisasi utu G da K dapat distaila da terdetesi. Maa huuga eeda T G, K zw l dari realisasi utu G da K adalah a terdetesi, jia epuyai ra olo peuh utu setiap e ; dapat distaila, jia epuyai ra olo peuh utu setiap e. Leih lajut, jia a da erlau eduaya, aa K adalah pegotrol stail iteral jia da haya jia Tzw l G, K H 4

5 uti Misala persaaa ruag eadaa utu loop tertutup adalah : L L L, l G K L L L L L L : diaa L :, L :. susia G, K tida terdetesi pada, y da ode e ; l Maa dega egguaa tes PH didapat. y dega peyederhaaa didapat. L L y da L y y y Keudia jia 5

6 epuyai ra olo peuh, aa da y. Hal ii egaiata Ĉy y. Karea terdetesi, aa y. Hal ii otradisi dega asusi seeluya. Jadi agia a telah teruti, da agia hasilya gada.. otrollaility da Oservaility Syste efiisi. Siste diai yag didefiisia pada persaaa. atau pasaga, diataa terotrol otrollale, jia utu setiap eadaa awal, t > da eadaa ahir, terdapat iput u sedeiia sehigga solusi persaaa. eeuhi t =. Jia tida, siste dari pasaga, diataa tida terotrol uotrollale. Teorea.3 Peryataa eriut adalah eivale: i ii, terotrol. Matris t t t W t : = ò e e d t adalah defiit postif utu suatu t >. iii Matris terotrol epuyai ra aris peuh =. = é ù ê ë ú û - K efiisi.4 Suatu siste diai tapa pasaa dapat diataa stail, jia utu setiap ilai-ilai eige dari atris erada di idag seelah iri 6

7 suu iajier, yaitu e. Suatu atris yag eeuhi sifat ii diseut stail. efiisi.5 Persaaa siste diai. atau pasaga,, dapat distaila jia terdapat state feeda u = sedeiia sehigga siste ejadi stail, diisala + adalah stail. Teorea.6 Peryataa eriut adalah eivale: i, dapat distaila. ii stail. Teorea.7 Peryataa eriut adalah eivale: i, stail. ii Matris epuyai ra aris peuh utu setiap e. efiisi.8 Siste diai yag didefiisia pada persaaa. da. atau oleh pasaga, diataa teraati oservale jia utu setiap t >, eadaa awal = dapat diselesaia dari iput ut awal da output yt da pada iterval [, t ]. Jia tida, aa siste, diataa ta teraati uoservale. Teorea.9 Peryataa eriut adalah eivale: i, teraati. 7

8 ii Matris t t t W t : = ò e e d t adalah defiit positif utu suatu t >. iii Matris teraati epuyai ra olo peuh =. efiisi. Siste atau pasaga, diataa terdetesi detetale jia L stail utu suatu L. Teorea. Peryataa eriut adalah eivale: i, terdetesi. ii L L stail. Teorea. Peryataa eriut adalah eivale: i, terdetesi. ii Matris epuyai ra olo peuh utu setiap e. 8

9 .3 Pole Plaeet da aoial ors ggap ahwa suatu siste diaia MMO Mulit-put Multi- Output didefiisia oleh u y u, da isala u adalah otrol state feeda dega u = + v Siste loop tertutup ii seperti yag ditujua pada Gaar 3. eriut, da persaaa siste loop tertutupya adalah v v y v v. diaa : = atris = atris : atris state : atris iput = atris r : atris output = atris r.4 Kotrol H Stadard H Prole z G w y u K 9

10 Siste diai pada gaar adalah w u z y ealisasi fugsi trasfer siste di atas adalah G w w Tapa eguragi euua, asusia, sehigga G proper etat. Selai itu, diasusia juga, hal terseut utu ejai ahwa asalah H properly posed. Sehigga fugsi trasfer ejadi G iuat eerapa asusi taaha, yaitu: u u i, terstaila da, terdetesi. ii da. iii jw epuyai ra olo peuh utu setiap w. iv jw epuyai ra aris peuh utu setiap w. susi pertaa diuat utu estaila output feeda dari G. ega adaya asusi etiga, eepat da asusi pertaa aa terjai ahwa dua atris Hailtoia yag erasosiasi dega asalah H di awah adalah aggota doi. Sedaga asusi edua utu ejai ahwa asalah otrol optial H adalah osigular. Masalah utaa otrol H adalah eari pegotrol K yag proper da real ratioal yag estaila G seara iteral da eiiua H or dari trasfer atris T zw dari w e z.

11 Karea diasusia i da iii, aa erdasara orollary.7, Hailtoia atris H aggota doi da terleih lagi i H. Selai itu, dega egasusia, terdetesi yag euivale dega, terstaila, serta asusi iv, aa Hailtoia atris J juga aggota doi da i J. efiisia, L da,, L L L L L, s G s G L L f Utu eutia teorea.4 diperlua Lea eriut: Lea.3 Misala V H U, didefiisia seagai / / / /, V U L L

12 Maa U adalah seuah ier da V adalah o-ier, H G U da H V G f. uti Peutia Lea terseut egguaa aipulasi iasa pada realisasi state spae. / / s s U s U T / / s U Maa UU / / / / / / UG ilaua trasforasi dega eisala P dega P pada siste-siste di atas. Sehigga P P P P UU / / / / Karea da erdasara Lea.8 / /

13 3 aa U U / / Trasforasi yag saa juga dilaua pada G U, sehigga diperoleh / / H UG. ega prisip duality, dapat diperoleh ahwa H V G f da V adalah o-ier. Teorea.4 Terdapat pegotrol optial yag ui L s K opt Terleih lagi i / trae trae G G T f zw. uti iperhatia paraeterisasi dari seua pegotrol yag dapat estaila, H Q Q M s K l,, dega L s M da diagra siste eriut

14 z G w y u M y u K Maa T N, Q zw l dega da T zw N L L / G U G f U / Q / V erdasara Lea.3, G da U ortogoal, sehigga Karea U adalah ier, aa T / / / zw G U G f U Q V T zw / / / G G f Q V iat eortogoala T ega egail Q G f da V, serta V adalah o-ier, aa / / / zw G G f Q aa eeria pegotrol optial yag ui, sehigga K M, l adalah otrol optial yag ui. 4

15 .5 Kotrol H orulasi Perasalaha Misala suatu siste didesripsia dega diagra lo z G w y K u Gaar. lo iagra diaa plat G da pegotrol K diasusia real rasioal da proper. Pada siste ii diasusia ahwa odel-odel ruag eadaa G da K dapat diguaa serta stail da terdetesi. Suatu pegotrol diataa dapat diteria adissile jia siste terseut stail iteral. efiisi.5 Kotrol H Optial: eari seua pegotrol Ks, sedeiia sehigga Tzw iial. efiisi.6 Kotrol H Suoptial: dieria, eari seua pegotrol Ks yag dapat diteria, sedeiia sehigga Tzw. Pada uuya, pegotrol optial H tida tuggal solusiya utu siste MMO, da sagat oples seara teoritis da ueri. Hal ii ereda 5

16 dega pegotrol H diaa pegotrol optialya adalah ui da dapat diperoleh seagai solusi dari dua persaaa iatti tapa iterasi. ala prateya, pegotrol optial tida terlalu diperlua. Pegotrol suoptial, yaitu pegotrol yag sagat deat dega or dega pegotrol optialya, leih udah diperoleh da aha eilii sifat yag leih ai daripada pegotrol optialya. Peahasa selajutya aa leih difousa pada pegotrol suoptial. Masalah Sederhaa otrol H Misala realisasi dari atris trasfer G eretu G s. eriut adalah eerapa asusi yag diguaa utu peyederhaaa asalah seagai eriut: i, terotrol da, teroservasi; ii, terstaila da, terdetesi; iii ; iv. ua asusi taaha yag iplisit dala realisasi Gs yaitu da. 6

17 Pegotrol-Pegotrol H Suoptial Pada agia ii, aa dijelasa syarat perlu da uup utu esistesi dari suatu pegotrol Ks yag sesuai sedeiia sehigga Tzw utu suatu yag dieria. Leih lajut, jia syarat perlu da uup telah dipeuhi, aa diaraterisasi seua pegotrol yag sesuai yag eeuhi odisi or. Misala opt : i Tzw : K s sesuai, seagai otoh, tigat optial. Maa, jelas, harus leih esar dari opt utu esistesi dari pegotrol-pegotrol H suoptial. Solusi H eeuhi dua atris Hailtoia eriut: H :, : J Teorea.7 Terdapat suatu pegotrol yag dapat diteria sedeiia sehigga Tzw jia da haya jia tiga odisi eriut terpeuhi: i. H do i da : i H. ii. J do i da : i J. iii.,. Jia etiga odisi ii dipeuhi, salah satu pegotrolya adalah K diaa su Z L s : : ZL 7

18 L Z :, :, :. Utu eutia teorea diatas diperlua eerapa lea eriut: Lea.8 Misala,, dega, da. Misala pula r adalah ilaga ulat positif. Maa terdapat atris r, rr sedeiia sehigga da jia da haya jia uti : da ra Sesuai dega asusi, terdapat suatu atris sehigga. efiisia r ega egguaa oplee Shur, r. r sedeiia :, aa teruti. iiversa egguaa Lea versi Matris, eeria Sehigga, da ra ra r Lea.9 Terdapat pegotrol erorde r yag adissile dega haya jia tiga odisi eriut dipeuhi : i. Terdapat ii. Terdapat sedeiia sehigga sedeiia sehigga T zw /.5 8

19 9 /.6 iii., r ra uti : o Misala terdapat pegotrol erorde r, s K sedeiia sehigga zw T. o Misala s K eilii realisasi ruag eadaa seagai eriut: s K : Maa, l zw K G T :, o Nyataa, da o erdasara Lea ouded eal, terdapat sehigga.7 o iatya, / apat juga ditulis, / o Misala da. Maa,.8

20 iperoleh, / apat juga ditulis, / o erdasara Lea.8, jia dieria da da sehigga atau : aa terdapat jia da haya jia, da ra r Teorea. Misala da, sehigga, terotrol. Terdapat Maa terdapat suatu solusi sedeiia sehigga Q : Q utu persaaa iatti, Q atistail. Teorea. Terdapat K sedeiia sehigga Tzw jia da haya jia: i. Terdapat suatu solusi pestail, utu persaaa / ii. Terdapat suatu solusi pestail utu persaaa /

21 iii. atau. uti : o ega eerapa Teorea. pada agia i dari Lea.9 aa terdapat sehigga, da atistail. Misala :. iperoleh,. da, stail. o ega eerapa Teorea. pada agia ii dari Lea.9 aa terdapat sehigga, da atistail. Misala :. iperoleh,. da stail. o Perhatia ahwa odisi iii dari Lea.9 seara otoatis eeuhi r, da Selajutya diutia. Karea,

22 da aa erdasara Lea shur opleet sehigga efiisia, jadi t. Jadi t t t t t t., epuyai ivers. uti Teorea.7 : o Utu eutiaya, uup dega eujua ahwa pegotrol Ksu egaiata T. zw o Perhatia ahwa fugsi trasfer loop tertutup dega K su dieria oleh o efiisia, T Z L Z L : zw P Z Z Z Maa P da P P P P. o Perhatia ahwa, P. Z tida eilii ilai arateristi pada suu iajier area stail da atistail. Sehigga eurut lea ouded eal, T. zw

23 Leih lajut, etia odisi-odisi ii ear, aa terdapat pegotrol diaa K su s : Z L : - ZL L Z :, :, :. Pegotrol H yag ditujua pada Teorea.7, serig diseut pegotrol pusat etral otroller atau pegotrol etropi iiu iiu etropy otroller. 3

24 PLKS P SSTEM MSS PEGS Perasalaha Suatu siste assa pegas dega redaa didesripsia seperti pada gaar eriut: Gaar 3. diaa:, adalah assa eda pertaa da edua, adalah ostata pegas eda pertaa da edua, adalah ostata redaa pertaa da edua ila u adalah iput utu otrol da w gaggua dari luar disturae diaa dapat egotrol geraa assa eda da eda yag diaiata oleh gaggua, aa da eyataa edudua eda pertaa da eda edua setelah edapat otrol. ari siste assa pegas dega redaa pada Gaar 3., dapat dietu suatu odel otrol dala etu lo diagra, seperti pada Gaar 3. eriut: 4

25 5 Gaar 3. ega eerapa huu edua Newto da huu Hooe pada Gaar 3. diperoleh siste persaaa: efiisia 3 da 4, sehigga Sehigga erdasara siste persaaa 3., didapata persaaa state spaeya yaitu:

26 6 iaa,. ila Gs adalah fugsi trafer dari, e,, aa,