BAGAN KENDALI G UNTUK PENGENDALIAN VARIABILITAS PROSES MULTIVARIAT (Studi Kasus pada data cuaca di kota Makassar pada tahun 2003 sampai tahun 2012)

Transkripsi

1 BAGAN KENDALI G UNTUK PENGENDALIAN VARIABILITAS PROSES MULTIVARIAT (Studi Kasus pada data cuaca di ota Maassar pada tahu 003 sampai tahu 0) PAISAL, H, HERDIANI, E.T. DAN SALEH, M 3 Jurusa Matematia, Faultas Matematia da Ilmu Pegetahua Alam, Uiversitas Hasauddi (UNHAS), Jl. Peritis Kemerdeaa Km. 0 Maassar 9045, Idoesia ABSTRAK Baga edali multivariat diguaa utu mematau peubah secara bersamasama pada suatu proses. Adapu yag diedalia adalah vetor mea da matris variasi ovariasi. Baga edali G merupaa salah satu baga edali multivariate yag diperoleh melalui statisti G dega megguaa dua tasira matris variasi ovariasi yaitu matris variasi ovariasi full data set da matris variasi ovariasi Mea Squared Successive Differeces (MSSD). Distribusi Statisti G diperoleh melalui uji riteria rasio lielihood pada matris variasi ovariasi. Hasilya dapat diapliasia utu membetu baga edali utu pegedalia proses variabilitas data multivariate, selajutya sebagai studi asus diterapa utu data cuaca di ota Maassar pada tahu 003 sampai tahu 0. Kata Kuci : Baga edali multivariat, baga edali G, distribusi Wishart, matris variasi ovariasi, riteria rasio lielihood.. PENDAHULUAN Keputusa osume utu memilih suatu produ adalah ualitas. Hal ii meyebaba berbagai idustri meomor satua ualitas sebagai fator uci eberhasila bisis. Utu mejaga ualitas produsi maa diperlua moitorig proses secara statisti yag telah baya dieal dega Statistical Proses Cotrol (SPC). Meurut Chia-Lig da Jyh-Je (00), Statistical Proses Cotrol (SPC) merupaa metodologi medasar yag terdiri dari beberapa tei yag telah terbuti bergua dalam ualitas da produtivitas perbaia produ da proses. Statistical Process Cotrol (SPC) yag baya dieal adalah baga edali yag memberia tampila berbetu grafi atau baga dari suatu proses produsi sehigga dapat dietahui apaah proses tersebut dalam eadaa terotrol atau tida. Saat ii telah diembaga beberapa peyajia baga yag meeliti tetag matris variasi ovariasi yaitu Baga edali G yag dipereala oleh Leviso et al. (00) yag memasua perbedaa uadrat rata-rata secara berturut-turut (Mea Squared successive difereces) serta upaya utu meigata epeaa dari baga edali T pada sesitivitas peguura dispersi (Sidelar, 007). Pada paper ii aa diteliti perbadiga atara baga edali T dega baga edali G. Hasilya dapat diterapa pada studi asus data cuaca di ota Maassar pada tahu 003 sampai tahu 0.

2 . Baga Kedali Hotellig T. Data Subelompo Misala dua arateristi ualitas x da x berdistribusi ormal bivariat. μ da μ diotasia sebagai mea da σ da σ sebagai stadar deviasi dari x da x. Kovariasi atara x da x diotasia dega σ. Diasumsia σ, σ da σ dietahui, jia x da x adalah rata-rata sampel dari edua arateristi ualitas dihitug dari sampel, maa statistiya adalah X 0 = σ σ σ [σ x μ + σ x μ σ x μ x μ ] berdistribusi chi-square dega derajat bebas, yag berarti persamaa ii dapat diguaa utu p =. Motgomery (009), diasumsia bahwa distribusi peluag bersama dari arateristi ualitas p adalah distribusi ormal p-variat. Prosedur diharusa meghitug mea sampel utu masig-masig arateristi ualitas p dari sampel yag beruura. Adapu himpua dari mea arateristi ualitas ditujua dega vetor p x beriut ii x = uji statisti utu baga edali T adalah T = x x S (x x) Yaitu dega meggati μ mejadi x da Σ mejadi S, dimaa mea da variasi dihitug dari masig-masig sampel megguaa x x x p x i = s i = x ij x ij x j T dimaa i =,,, p j =,,, =,,, q Motgomery(009), batas otrol utu baga edali T terbagi atas fase yaitu Pada fase, batas edali T adalah p q ( ) UCL = q q p + F α,p,q q p+ LCL = 0 Pada fase, etia baga diguaa utu moitorig produsi edepaya p q + ( ) UCL = q q p + F α,p,q q p+ LCL = 0

3 . Pegamata Idividual Statisti T Hotellig diberia pada persamaa beriut ii T = x x S (x x) pada fase, batas edali utu statisti tersebut adalah p q + ( ) UCL = q F qp α,p,q p LCL = 0 Persoala yag sigifia dalam eadaa pegamata idividual adalah megestimasi matris variasi ovariasi Σ. Satu dari estimator yag biasa diguaa diperoleh dari peyatua yag sederhaa dari semua pegamata q m S = x q i x x i x T i= Estimator edua megguaa diffrece betwee successive pairs pada pegamata: v i = x i x i utu i =, 3,, m vetor dari matris V adalah v v V = 3 v m sehigga S = V V m Kemudia badiga matris variasi ovariasi S da S. Selidii Outof-cotrol dari masig-masig matris variasi ovariasi dega megguaa X p yag maa merupaa distribusi asimtoti dari statisti T (Motgomery, 009). 3. Baga Kedali G Misala X, X, X 3,, X adalah vetor aca multivariat berdimesi p, sehigga vetor aca e-j adalah: X j X X j = j j =,,,. (3.) X pj dimaa p adalah jumlah arateristi ualitas da adalah jumlah sampel,sehigga tasira dari vetor mea adalah X X E μ = X = (3.) X p dimaa X i = X ij dega i =,,., p. Tasira dari matris ovariasi dihitug dari data set legap atau dari Mea Square Successive Differece (MSSD): 3

4 da E Σ = S = E Σ = S = ( ) (x j x j )(x j x j ) T (3.3) j = (x j x j )(x j x j ) T (3.4) dimaa S adalah Metode data set legap da S adalah Metode Mea Square Successive Differece (MSSD). Proses diataa stabil jia edua metode tersebut (S da S ) seharusya medeati sama (Leviso, 00). Teorema Misala X adalah sampel aca X, X,..., X yag berdistribusi ormal multivariat N p (μ, Σ), maa vetor mea sampel X ~ N p (μ, Σ ). Teorema Misala X adalah vetor mea dari sampel aca X, X,..., X dari populasi dega vetor mea μ da matris variasi ovariasi populasi Σ, maa utu berdistribusi (X μ) medeati N p (0, Σ) (Recher, 00). Teorema 3 Misala X, X,..., X adalah peubah aca yag salig bebas, ideti da berdistribusi N p (μ, Σ). Jia A = X j μ X j μ T ~ W, σ, utu p = maa W, σ = σ X (3.5) Teorema 4 Jia X, X,..., X salig bebas da berdistribusi N p (μ, Σ) da p da misala S adalah maris variasi ovariasi dari sampel aca, maa S = dega X da S salig bebas. 3. Rata-rata Matris Variasi Kovariasi S X j X X j X T ~W p, Σ (3.6) Misala sampel aca X j, X j,..., X pj ~N p (μ, Σ) dega p variabel da sampel, dihitug dega matris variasi ovariasi sampel Full Data Set (S ) da MSSD (S ). Berdasara Teorema.4, S berdistribusi Wishart sehigga S = S = X j X X j X T X j X X j X T ~W p (, Σ) atau S ~W p, Σ 4

5 dega X da S salig bebas. Dega megguaa metode mome ormal multivariat dapat dibutia bahwa Z = X i X j ~N p (0, Σ), utu i j. Oleh area itu matris variasi ovariasi MSSD dapat diataa berdistribusi wishart atau S = X j X X j X T ~W p (, Σ) S ~W p (, Σ) Karea ( )S adalah estimator ta bias dari ( )Σ da ( )S adalah estimator ta bias dari ( )Σ, maa dapat digabuga utu memperoleh estimator ta bias dari matris variasi ovariasi populasi Σ sebagai beriut: S = S + S (3..) + area E S = Σ memeuhi syarat estimator ta bias yaitu E θ = θ, maa S merupaa estimator ta bias dari Σ 3. Distribusi dari Statisti G Statisti G diguaa utu membadiga dua matris variasi ovariasi Full Data Set da MSSD. Masig-masig adalah S da S dega derajat bebas ( ) da ( ). Hipotesis yag diguaa adalah H 0 : Σ = Σ = = Σ H : Σ i Σ j ; i j Statisti yag diguaa utu meguji hipotesis tersebut didefiisia sebagai beriut: G = m (l M) (3..) dimaa da dega M adalah m = i= v i l M = i= v i i= v i p 3p 6 p + l S i= v i i= v i (3..) l S i (3..3) S M = S v S v S v (3..4) utu i = hipotesis yag aa diuji adalah H 0 : Σ = Σ = I H : Σ Σ I Sehigga statisti G mejadi G = m l M (3..5) G = ( ) + p 3p + 6 p + + l S ( ) l S + ( ) l S 5

6 Selajutya aa ditujua bahwa statisti G berdistribusi Chi-square. Buti: riteria rasio lielihood utu M pada persamaa (3..4) adalah M = L μ, μ, Σ, Σ L μ, μ, Σ, Σ (3..6) S M = S S selajutya M dapat juga diyataa dalam betu sebagai beriut: M = max μ L μ, I max μ,σ L μ, Σ dimaa = e A = p A e tr A X j X X j X T. (3..7) Utu megetahui distribusi dari M aa diguaa fugsi arateristi. Misala fugsi arateristi dari g = l M adalah φ t, maa φ t = Ε e itg (3..8) it( l M ) = Ε e l M it = Ε e mome e-h dari M adalah Ε M h = e sehigga utu h = it adalah i p t = Ε M ph Σ h Γ p Σ it Ε M it = e I itσ. it etia H 0 bear, maa Σ = I, da it + h + j I + hσ +h Γ p p Γ Γ + j it + j Ε M it = e i p t Γ + j it it p it. Γ + j fugsi arateristi ii adalah peralia dari variabel p. Misalya p = φ j t = e it it Γ + j it it Γ (3..9) + j sehigga g = l M didistribusia sebagai p-variate bebas, fugsi arateristi e-j yaitu pada persamaa (4.3). Dega megguaa Pedeata Stirlig utu fugsi gamma Γ = π e (3..0) sehigga p 6

7 φ j t ~ it j it(j ) + j it j j it + j it Karea pada bilaga euler lim e jia dialia maa hasilya sama dega, sehigga tersisa φ j t it j yag merupaa fugsi arateristi dari χ j (distribusi χ dega p derajat ebebasa j). Sehigga g = l M berdistribusi asimtoti area χ j, yag merupaa χ dega derajat ebebasa j = p p +. jadi g = l M ~χ p p +. jia terdapat ostata Y yag semai besar maa fugsi epadata peluag dari Chi-square aa tetap berdistribusi Chi-square amu ilaiya semai ecil. Oleh area itu, jia g = l M ~χ p p + da m merupaa ostata, maa statisti G mejadi G = m l M ~χ p p+. p p+ Jia ilai G melebihi aga ritis dari Chi-Square dega derajat bebas pada level sigifiasi yag telah dipilih, diasumsia berasal dari populasi dega matris ovariasi yag berbeda. Iilah statisti G yag selajutya aa diguaa utu meetua baga edaliya. p = e da lim = 4. Studi Kasus Pada Data cuaca di ota Maassar pada tahu 003 sampai tahu 0 Pada studi asus ii diguaa data Temperatur Udara (X ), Peyiara matahari (X ), Kelembaba udara (X 3 ) da Kecepata agi (X 4 ) Kota Maassar Pada Tahu 003 sampai dega 0, diperoleh masig-masig subelompo q, dimaa q meujua tahu yag didefiisia dega =,,, q. Dega arateristi ualitas p = 4 yaitu Temperatur udara (celcius), Peyiara matahari (perse), Kelembaba udara (perse) da Kecepata agi (ot) yag disimbola dega X, X, X 3 da X 4. Tabel Nilai G utu Data Cuaca Kota Maassar Tahu 003 Sampai dega Tahu 0 Tahu l S l S l S m l M G 003,369, ,854 0, ,777 5,97 004,369 7,5643 0,9844 0,8685 0, ,9 005,369 5, ,8906 0,8685 7,4007 3, ,369 7, ,9809 0,8685, ,95 007,369 6, ,938 0,8685,4665 9,5 008,369 9,40733, , , , ,369 7, ,9688 0,8685 3,8988 0,755 00,369 6, , , , ,39 0,369 7,5855 0,9347 0,8685 8,7359 5,870 0,369 4, ,8967 0, , ,49 7

8 Jadi, utu p = 4 da α = 0,05 batas otrol atas χ p p + bawah χ p p + ; α adalah UCL = χ 0;0,05 LCL = χ 0;0,975 = 0,48 = 3,5 ; α da batas otrol sehigga baga edaliya adalah sebagai beriut Gambar. Baga edali G utu data Temperatur Udara (X ), Peyiara matahari (X ), Kelembaba udara (X 3 ) da Kecepata agi (X 4 ) Kota Maassar Pada Tahu 003 sampai dega UCL = 0,48 CL = 9,34 LCL = 3,5 G 0 Berdasara baga edali di atas terdapat 5 data dari 0 data yag berada di luar batas edali. Hal ii dapat disebaba area ilai matris variasi ovariasi dari setiap tahu cuup besar, sehigga utu asus ii statistic G tida coco diguaa. Selajutya dega data yag sama aa diguaa statisti T Hotellig utu megedalia proses variabilitas data multivariate. Batas edali utu baga edali T utu =, p = 4, da q = 0 adalah UCL = p q ( ) q q p + F α,p,q q p+ LCL = 0 da statisti yag diguaa utu p > adalah T = x x S (x x) dimaa S = X j X j X j X T j sehigga ilai T dapat dilihat pada tabel dibawah ii 8

9 Tabel Nilai T utu Data Cuaca Kota Maassar Tahu 003 Sampai dega Tahu 0 Tahu X X X 3 X 4 X X X X X 3 X X 4 X T 003 7,558 69,47 85,47 5,000-0,43,567 5,333 -,45 335, ,475 75,333 8,667 5,667-0,7 8,483,583-0,758 3, ,808 7,667 77,750 3,667 0,07 5,87 -,333 -,758, ,775 73,667 78,667 4,97 0,073 6,87 -,47 -,508 4, ,708 64,500 78,47 5,97 0,007 -,350 -,667-0,508 34, ,550 46,583 8,583 4,333-0,5-0,67,500 -,09 3, ,883 70,583 77,67 6,97 0,8 3,733 -,97 0,49 6, ,867 57,97 8,97 7,833 0,65-8,933,833,408 3, ,67 67,833 80,083 30,333-0,085 0,983 0,000 3,908 6, ,775 70,000 78,67 9,667 0,073 3,50 -,97 3,4 70,9 X 7,70 66,850 80,083 6,45 Batas edali utu Baga edali Hotellig T adalah sebagai beriut UCL = p q ( ) q q p + F α,p,q q p+ UCL = 50,763 Sehigga baga edali Hotellig T utu data cuaca tahu 003 sampai dega tahu 0 adalah sebagai beriut : Gambar Baga edali T fase I utu data Temperatur Udara (X ), Peyiara matahari (X ), Kelembaba udara (X 3 ) da Kecepata agi (X 4 ) Kota Maassar Pada Tahu 003 sampai dega Tahu UCL CL LCL T 9

10 Dari baga edali di atas terdapat data 0 data yag berada di luar batas edali. Hal ii meujua 80% data berada dalam batas edali. Dega adaya perbedaa hasil dari data yag berada di luar batas edali, berarti terdapat perbedaa eefetifa di atara statistic G da T hotellig, 5. Kesimpula Statisti G berdistribusi Chi-square dega derajat bebas p(p+). Jia dibadiga dega baga edali Hotellig T dega data yag sama, pada baga edali G medetesi Out-of-cotrol sebaya 6 data, sedaga pada baga edali Hotellig T haya medetesi Out-of-cotrol sebaya data. Jadi terdapat perbedaa hasil pegolaha data. Utu megetahui ierja baga edali yag bai diguaa, sebaiya pada peulisa selajutya membadiga baga edali G da baga edali Hotellig T melalui Average Ru Leght (ARL). DAFTAR PUSTAKA [] Aderso, T.W A Itroductio Multivariate Statistical Aalysis. Third Editio. Page: 5 8. Stadford Uiversity. [] Bersimis, etc Multivariate Statistical Process Cotrol Chart: A Overview. Uiversity of Piraeus ad Athes Uiversity of Ecoomic ad Busiess. [3] Giri, Naraya C Multivariate Statistical Aalysis th Editio. Caada : Uiversity Of Motreal. [4] Husei, M. Ahmi. 03. Baga Kedali R utu Pegedalia Variabel Proses Multivariat. Maassar : Uiversitas Hasauddi. [5] Hogg, Robert V. ad Craig, Alle T Itroductio To Mathematical Statistics 5th Editio. Uiversity Of Lowa. [6] Leviso, William A. etc. 00. Variatio Charts For Multivariate. Joural Of Statistic. [7] Motgomery, Douglas C Itroductio To Statistical Quality Cotrol 6th Editio. Arizoa State Uiversity. [8] Muri, Nadai Baga Kedali Multivariat Dega Metode Deomposisi MYT Dalam Pegedalia Mutu Statisti Multivariat. Jaarta : Uiversitas Idoesia. [9] Nydic, Steve W. 0. The Wishart ad Iverse Wishart Distributio. Joural Of Statistic. [0] Rahmawati, Yuli. da Mashuri. 0. Perbadiga Kierja Diagram Kotrol Multivariat Utu Variabilitas Berdasara Matris Kovariasi da Matris Korelasi. Surabaya : Istitut Teologi Sepuluh November. [] Recher, Alvi C. 00. Methods Of Multivariate Aalysis th. Caada : Brigham Youg Uiversity. [] Seber, G.AF., 984. Multivariate Observatios. New Zelad : Uiversity of auclad. [3] Sidelar, Mar F Multivariate Statistical Proses Cotrol For Correlatio Matrices. Pittsburgh : Uiversity of Pittsburgh.Ye, Chia-Lig. Da Horg Shiau, Jyih-Je. 00. Multivariate Cotrol Chart For Detectig Icreases I Process Dispersio. Natural Chiao Tug Uiversity. 0