Penulis: Penilai: Editor: Ilustrator: Dra. Puji Iryanti, M.Sc. Ed. Al. Krismanto, M.Sc. Sri Purnama Surya, S.Pd, M.Si. Fadjar N. Hidayat, S.Si.,M.Ed.

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "Penulis: Penilai: Editor: Ilustrator: Dra. Puji Iryanti, M.Sc. Ed. Al. Krismanto, M.Sc. Sri Purnama Surya, S.Pd, M.Si. Fadjar N. Hidayat, S.Si.,M.Ed."

Transkripsi

1 PAKET FASILITASI PEMBERDAYAAN KKG/MGMP MATEMATIKA Pembelajara Barisa, Deret Bilaga da Notasi Sigma di SMA Peulis: Dra. Puji Iryati, M.Sc. Ed. Peilai: Al. Krismato, M.Sc. Editor: Sri Purama Surya, S.Pd, M.Si. Ilustrator: Fadjar N. Hidayat, S.Si.,M.Ed. Diceta oleh Pusat Pegembaga da Pemberdayaa Pedidi da Teaga Kepedidia Matematia Tahu 008 DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT JENDERAL PENINGKATAN MUTU PENDIDIK DAN TENAGA KEPENDIDIKAN PUSAT PENGEMBANGAN DAN PEMBERDAYAAN PENDIDIK DAN TENAGA KEPENDIDIKAN MATEMATIKA YOGYAKARTA

2 Paet Fasilitasi Pemberdayaa KKG/MGMP Matematia PPPPTK Matematia

3 KATA PENGANTAR Pusat Pegembaga da Pemberdayaa Pedidi da Teaga Kepedidia (PPPPTK) Matematia dalam melasaaa tugas da fugsiya megacu pada tiga pilar ebijaa poo Depdias, yaitu: ) Pemerataa da perluasa ases pedidia; ) Peigata mutu, relevasi da daya saig; 3) Peguata tata elola, autabilitas, da citra publi meuju isa Idoesia cerdas da ompetitif. Dalam raga mewujuda pemerataa, perluasa ases da peigata mutu pedidia, salah satu strategi yag dilaua PPPPTK Matematia adalah meigata pera Kelompo Kerja Guru (KKG) da Musyawarah Guru Mata Pelajara (MGMP) serta pemberdayaa guru iti/ guru pemadu/guru pegembag yag ada pada setiap ecamata, abupate da ota. Sebagai upaya peigata mutu dimasud maa lembaga ii diharapa mampu memfasilitasi egiata-egiata yag terait dega implemetasi pegembaga pembelajara matematia di lapaga. Gua membatu memfasilitasi forum ii, PPPPTK Matematia meyiapa paet berisi umpula materi/baha yag dapat diguaa sebagai referesi, pegayaa, da padua di KKG/MGMP hususya pembelajara matematia, dega topi-topi/baha atas masua da idetifiasi permasalaha pembelajara matematia di lapaga. Berat rahmat Tuha Yag Maha Esa, atas bimbiga-nya peyusua Paet Fasilitasi Pemberdayaa KKG/MGMP Matematia dapat diselesaia dega bai. Utu itu tiada ata yag patut diucapa ecuali puji da syuur ehadirat-nya. Dega segala elebiha da euraga yag ada, paet fasilitasi ii diharapa bermafaat dalam meduug peigata mutu pedidi da teaga epedidia melalui forum KKG/MGMP Matematia yag dapat berimpliasi positif terhadap peigata mutu pedidia. Sebagaimaa pepatah megataa, tiada gadig yag ta reta, demiia pula dega paet fasilitasi ii walaupu telah melalui tahap idetifiasi, peyusua, peilaia, da editig masih ada yag perlu Dra. Puji Iryati, M.Sc.Ed. Pembelajara Barisa, Deret Bilaga Da Notasi Sigma Di SMA i

4 disempuraa. Oleh area itu sara, riti, da masua yag bersifat membagu demi peigata ebermaaa paet ii, diterima dega seag hati teririg ucapa terima asih. Ucapa terima asih da peghargaa setiggi-tiggiya ami sampaia pula epada semua piha yag membatu mewujuda paet fasilitasi ii, mudah-mudaha bermafaat utu pedidia di masa depa. Yogyaarta, Kepala, KASMAN SULYONO NIP ii Paet Fasilitasi Pemberdayaa KKG/MGMP Matematia PPPPTK Matematia

5 DAFTAR ISI Kata Pegatar... i Daftar Isi... iii BAB I PENDAHULUAN... A. Latar Belaag... B. Tujua Peulisa... C. Ruag Ligup Peulisa... D. Cara Pemafaata Paet... BAB II BARISAN BILANGAN... 5 A. Tujua Pembelajara... 5 B. Permasalaha... 5 C. Kotes Barisa Aritmetia da Geometri... 5 D. Soal-soal yag Berhubuga dega Kosep Barisa Aritmetia da Barisa Geometri... 8 E. Barisa Selai Barisa Aritmetia da Geometri... 4 F. Kegiata dalam Materi Barisa sebagai Fugsi... 9 BAB III DERET BILANGAN... 3 A. Tujua Pembelajara... 3 B. Permasalaha... 3 C. Alteratif Peyelesaia Soal-soal yag Berhubuga dega Kosep Deret Aritmetia da Deret Geometri... 3 D. Soal-soal yag Berhubuga dega Deret Geometri Ta Higga... 8 BAB IV NOTASI SIGMA A. Tujua Pembelajara B. Permasalaha C. Meyataa Suatu Deret Dalam Betu Notasi Sigma D. Sifat-sifat Notasi Sigma da Pegguaaya dalam Meyelesaia Soal-soal yag Terait dega Notasi Sigma BAB V PENUTUP... 4 Dra. Puji Iryati, M.Sc.Ed. Pembelajara Barisa, Deret Bilaga Da Notasi Sigma Di SMA iii

6 A. Raguma... 4 B. Tes... 4 Daftar Pustaa Lampira : I. Kuci Jawaba Soal Latiha da Tes iv Paet Fasilitasi Pemberdayaa KKG/MGMP Matematia PPPPTK Matematia

7 PENDAHULUAN BAB I A. Latar Belaag Meurut lampira Stadar Isi (Permedias o. tahu 006) yag termuat dalam Stadar Kompetesi (SK) 4, siswa dapat megguaa osep barisa da deret dalam pemecaha masalah. Termasu e dalam materi barisa da deret adalah Barisa da Deret Aritmetia da Barisa da Deret Geometri. Materi ii dibahas di elas XII bai di program Ilmu Pegetahua Alam (IPA), program Ilmu Pegetahua Sosial (IPS), da program Ilmu Bahasa. Sebearya materi ii sudah diperoleh siswa di elas IX Seolah Meegah Pertama (SMP) sehigga bagi siswa Seolah Meegah Atas (SMA) materi ii bua hal baru. Haya area jara tiga tahu dari SMP e SMA yag meyebaba siswa serig lupa dega osep-osep barisa da deret bai aritmetia maupu geometri. Umumya, para guru matematia SMA tida mempuyai baya esulita dega pembelajara da materi barisa da deret aritmetia maupu geometri. Walaupu demiia, masih ada bagia dari materi ii yag serig ditayaa oleh para guru matematia SMA hususya dalam pedidia da pelatiha (dilat) guru matematia SMA yag diadaa di Pusat Pegembaga da Pemberdayaa Pedidi da Teaga Kepedidia (PPPPTK) Matematia, Yogyaarta. Bagia materi yag serig ditayaa adalah pegembaga dari osep-osep barisa da deret bai aritmetia maupu geometri yag diguaa utu meyelesaia masalah barisa da deret. Sedaga utu materi otasi sigma, masalah yag serig ditayaa adalah megubah betu pejumlaha e betu otasi sigma da peyelesaia soal-soal otasi sigma dega megguaa sifat-sifat otasi sigma. Supaya para guru matematia SMA medapata baha bacaa da baha disusi yag dapat mejadi alteratif batua utu meyelesaia masalah yag ditayaa di atas, perlu ditulis suatu paet yag meyajia alteratif peyelesaia masalah-masalah itu sealigus juga memuat soal-soal sejeis utu latiha. Dra. Puji Iryati, M.Sc.Ed. Pembelajara Barisa, Deret Bilaga Da Notasi Sigma Di SMA

8 B. Tujua Peulisa Paet ii ditulis dega tujua:. utu mejadi baha disusi dalam pertemua Musyawarah Guru Mata Pelajara (MGMP) Matematia megeai bagia materi Barisa, Deret Bilaga da Notasi Sigma yag serig mejadi pertayaa para guru matematia SMA,. utu membatu para guru matematia SMA medapata tambaha alteratif wawasa pembelajara Barisa, Deret Bilaga da Notasi Sigma yag dibahas dega sudut padag yag berbeda. C. Ruag Ligup Peulisa Paet ii tida membahas bagaimaa medapata osep-osep awal barisa da deret aritmetia maupu geometri, area osep-osep tersebut diaggap sudah diuasai da sebagai prasyarat utu meyelesaia masalah yag dibahas. Fous paet ii pada masalahmasalah yag dihadapi para guru matematia SMA dalam materi Barisa, Deret Bilaga da Notasi Sigma, hususya tetag:. otes barisa aritmetia da geometri,. soal-soal yag berhubuga dega osep barisa aritmetia da barisa geometri, 3. barisa selai barisa aritmetia da geometri, 4. soal-soal yag berhubuga dega osep deret aritmetia da deret geometri, 5. soal-soal yag berhubuga dega osep deret geometri ta higga, 6. meyataa suatu deret dalam otasi sigma, 7. sifat-sifat otasi sigma da pegguaaya dalam meyelesaia soal-soal yag terait dega otasi sigma. D. Cara Pemafaata Paet. Bacalah bai-bai tujua pembelajara da permasalaha yag disajia dalam Bab II, III, da IV. Paet Fasilitasi Pemberdayaa KKG/MGMP Matematia PPPPTK Matematia

9 . Cobalah utu meyelesaia terlebih dulu soal-soal yag serig mejadi permasalaha, setelah itu badigalah jawaba Ada dega alteratif peyelesaia yag ditawara. 3. Selesaia latiha/tugas yag terdapat dalam setiap bab. Ada dapat membadiga jawaba yag Ada peroleh dega jawaba latiha/tugas yag terdapat pada lampira. 4. Selesaia tes yag terdapat pada Bab V sebagai tolo uur pecapaia Ada dalam mempelajari paet ii. Badiga jawaba Ada dega jawaba tes yag terdapat pada lampira. Ada diyataa berhasil bila dapat mejawab dega bear miimal 75%. 5. Jia Ada medapat esulita dalam megiuti pembahasa yag disajia, Ada dapat medisusiaya dega tema sejawat, atau Ada dapat meghubugi peulis dega alamat ator: alamat pribadi: alamat surat: Puji Iryati, PPPPTK Matematia, Jl. Kaliurag Km.6 Sambisari, Codogcatur, Depo, Slema 5583, DIY; telepo: (074) Dra. Puji Iryati, M.Sc.Ed. Pembelajara Barisa, Deret Bilaga Da Notasi Sigma Di SMA 3

10 . 4 Paet Fasilitasi Pemberdayaa KKG/MGMP Matematia PPPPTK Matematia

11 BARISAN BILANGAN BAB II A. Tujua Pembelajara Setelah mempelajari paet ii, diharapa pembaca dapat:. meyebuta cotoh otes barisa aritmetia da geometri,. meyelesaia soal-soal yag megguaa osep barisa aritmetia da geometri, 3. meetua rumus suu e- barisa bilaga yag tida termasu barisa aritmetia atau geometri megguaa osep fugsi. B. Permasalaha Apa saja dalam ehidupa sehari-hari yag dapat mejadi otes barisa aritmetia da geometri? Bagaimaa meyelesaia soal-soal yag megguaa osep barisa aritmetia da geometri? Bagaimaa meetua rumus suu e- barisa bilaga yag tida termasu barisa aritmetia atau geometri megguaa osep fugsi? Tiga pertayaa itu merupaa pertayaa yag serig ditayaa dalam pedidia da pelatiha (dilat) guru matematia SMA yag diadaa di PPPPTK Matematia. Utu membatu mejawab pertayaa-pertayaa tersebut, pada bab ii aa disajia cotoh da alteratif jawabaya. C. Kotes Barisa Aritmetia da Geometri Barisa aritmetia da geometri, demiia juga deret masig-masig sudah dipelajari oleh siswa SMP di elas IX. Di elas XII SMA semester, siswa mempelajari embali materi ii. Terbetag jara 3 tahu yag dapat membuat siswa lupa tetag osep-osep barisa da deret. Walaupu demiia, guru tida harus megajar lagi mulai dari a sampai z materi barisa da deret aritmetia da geometri. Bagaimaa caraya supaya guru dapat megelola pembelajara barisa da deret Dra. Puji Iryati, M.Sc.Ed. Pembelajara Barisa, Deret Bilaga Da Notasi Sigma Di SMA 5

12 ii seefisie mugi? Salah satu alteratif jawabaya adalah sebelum masu e pelajara ii, guru meugasa siswa utu membaca embali da mejawab pertayaa yag sudah disiapa guru tetag osep-osep yag terdapat pada barisa aritmetia maupu geometri. Jadi, sewatu guru membicaraa barisa-barisa ii, siswa sudah yambug apa yag dibicaraa guru. Watu yag dialoasia utu materi ii dapat lebih difousa utu meyelesaia masalahmasalah yag beraita dega barisa aritmetia atau geometri. Strategi pelasaaa sudah jelas, tetapi supaya siswa tertari utu mempelajari materi ii maa harus diawali dega memotivasi siswa megapa merea harus mempelajari materi ii. Guru dapat megataa bahwa materi ii mejadi prasyarat bagi materi matematia yag lai, misalya dalam membicaraa pembutia dega idusi matematia, hitug euaga utu siswa jurusa Ilmu Pegetahua Sosial da dalam ehidupa sehari-hari. Pertayaaya: otes apa dalam ehidupa sehari-hari yag dapat diguaa utu barisa aritmetia atau geometri? Bagi Ada yag perah ai tasi yag megguaa argometer, perahah Ada memperhatia perubaha bilaga yag tercatum pada argometer? Apaah bilaga-bilaga itu bergati secara periodi da apaah pergatiaya meuruti atura tertetu? Jia Ada memperhatia mulai dari awal bilaga yag tercatum pada argometer da setiap perubaha yag terjadi, apa yag dapat Ada simpula dari barisa bilaga-bilaga tersebut? Perhatia bahwa perubaha bilaga-bilaga pada argometer tasi meuruti atura tertetu. Setiap dua bilaga yag beruruta mempuyai selisih yag tetap. Barisa bilaga yag seperti itu disebut barisa aritmetia. Iwa mecari rumah temaya di Jala Gambir o. 55. Setelah sampai di Jala Gambir ia memperhatia bahwa rumah-rumah yag terleta di sebelah aa jala adalah rumah-rumah dega omor urut geap, 4, 6, 8, da seterusya. Dega memperhatia eadaa itu, earah maaah Iwa mecari rumah temaya? Barisa omor-omor rumah di atas bai di sebelah iri maupu aa merupaa barisa bilaga aritmetia. 6 Paet Fasilitasi Pemberdayaa KKG/MGMP Matematia PPPPTK Matematia

13 Bagi Ada yag serig mejadi pelagga warug teleomuiasi, tetu juga melihat apa yag terjadi pada display ogos percaapa etia Ada telah tersambug. Aga yag tertera, merupaa tarif awal percaapa. Selajutya aga itu berubah meurut atura tertetu, yaitu tarif pulsa per periode watu. Ii juga cotoh dari ehadira barisa aritmetia. Amuba berembag bia dega cara membelah diri. Misala pertama ada satu amuba. Setelah watu tertetu, amuba emudia membelah diri sehigga mejadi dua. Selajutya pada watu tertetu lagi amubaamuba itu membelah diri lagi, sehigga semuaya mejadi empat da seterusya. Jia baya amuba itu diyataa dega bilaga, diperoleh,, 4, 8,... Karea perbadiga atara dua suu berturuta adalah tetap, yaitu, maa barisa bayaya amuba itu adalah barisa geometri. Diasumsia bahwa harga taah megiuti pola selalu bertambah % dari tahu sebelumya. Misala utu mempermudah perhituga berilai 5% da harga taah di suatu desa searag Rp ,- per meter persegi. Ii berarti setahu lagi harga taah mejadi Rp 0.000,- per meter persegi. Tahu-tahu beriutya berturut-turut harga taah per meter persegi dalam rupiah mejadi 0.500, 3.55, da seterusya. Teryata ii juga adalah cotoh barisa geometri. Tugas Carilah miimal masig-masig satu otes barisa aritmetia da barisa geometri. Dra. Puji Iryati, M.Sc.Ed. Pembelajara Barisa, Deret Bilaga Da Notasi Sigma Di SMA 7

14 D. Soal-soal yag Berhubuga dega Kosep Barisa Aritmetia da Barisa Geometri Seedar megigata Ada, beriut ii adalah rumus-rumus yag dipaai dalam barisa aritmetia da geometri. Pada barisa aritmetia: b = u u - u = a + ( )b Sifat yag berlau,, atau u = t u + t p ut+ p dega u = suu e-, a = suu pertama da b = beda ut p+ ut+ p ut =, t > p, t da p bilaga asli. Cotoh peerapa sifat itu adalah u u + u3 u+ u0 =, u6 =. Pada barisa geometri: u r = u u = ar dega u = suu e-, a = suu pertama da r = rasio Sifat yag berlau: ut = ut p ut+ p, t> tetapi tida berarti selalu p, t da p bilaga asli u = t u t p ut+ p Cotoh peerapa sifat itu adalah u 3 = u u5. Cobalah Ada selesaia dulu soal-soal beriut ii. Kemudia badigalah peyelesaia yag Ada erjaa dega peyelesaia yag diberia setelah soal-soal ii.. Seorag ibu membagia perme epada 5 orag aaya meurut atura barisa aritmetia. Semai muda usia aa semai baya perme yag diperoleh. Baya perme yag diterima aa edua buah da aa eempat 9 buah. Berapaah baya perme yag diterima oleh aa terecil? 8 Paet Fasilitasi Pemberdayaa KKG/MGMP Matematia PPPPTK Matematia

15 . Tetagga Bei mempuyai tiga aa yag umurya membetu barisa aritmetia. Lima tahu yag lalu, umur aa tertua sama dega empat ali umur aa termuda. Umur Bei searag adalah jumlah umur etiga aa itu. Separuh umur Bei searag sama dega jumlah umur etiga aa lima tahu yag lalu. Berapa umur Bei da etiga aa itu? 3. Dietahui barisa bilaga asli urag dari 5. Tetua baya bilaga yag: a. habis dibagi. b. habis dibagi 5. c. habis dibagi tetapi tida habis dibagi Tetua 8 suu pertama dari suatu barisa aritmetia yag suu e- adalah 4 da suu e-6 adalah 7 5. Tiga bilaga membetu barisa aritmetia. Jia suu tegah diuragi 5 maa terbetu barisa geometri dega rasio. Tetua bilaga-bilaga tersebut. 6. Tiga bilaga membetu barisa geometri. Jumlah tiga bilaga itu adalah 47 da hasil aliya adalah 95. Tetua barisa geometri itu! Searag cobalah Ada badiga peyelesaia soal-soal di atas dega peyelesaia yag Ada erjaa.. Seorag ibu membagia perme epada 5 orag aaya meurut atura barisa aritmetia. Semai muda usia aa semai baya perme yag diperoleh. Baya perme yag diterima aa edua buah da aa eempat 9 buah. Berapa baya perme yag diterima oleh aa terecil? Peyelesaia: Misal perme yag diterima 5 aa tersebut mulai dari aa tertua adalah a, a + b, a + b, a + 3b, a + 4b a + b =...) a + 3b = 9...) Persamaa ) diuraga dega ) diperoleh b = 4, selajutya a = 7. Dra. Puji Iryati, M.Sc.Ed. Pembelajara Barisa, Deret Bilaga Da Notasi Sigma Di SMA 9

16 a + 4b = 7 + 4(4) = 3 Jadi, baya perme yag diterima aa terecil adalah 3 buah.. Tetagga Bei mempuyai tiga aa yag umurya membetu barisa aritmetia. Lima tahu yag lalu, umur aa tertua sama dega empat ali umur aa termuda. Umur Bei searag adalah jumlah umur etiga aa itu. Separuh umur Bei searag sama dega jumlah umur etiga aa lima tahu yag lalu. Berapa umur Bei da etiga aa itu? Peyelesaia: Misal umur Bei adalah x da umur tiga aa mulai dari aa tertua p+b, p, p b. (diambil pemisala suu-suu barisa aritmetia seperti ii supaya etia dijumlaha aa diperoleh persamaa dalam satu peubah). Keadaa searag berlau x = (p+b) + (p) + (p b) = 3p...) Juga berlau x = 3p 5...) Lima tahu yag lalu berlau p+b 5 = 4(p b 5) 3p 5b = 5...3) Dari peyelesaia ) da ) diperoleh p = 0. Substitusi ilai p e 3) diperoleh b = 3. Umur etiga aa itu mulai dari yag tertua dalam tahu adalah 3, 0, 7. Umur Bei searag adalah 30 tahu. 3. Dietahui barisa bilaga asli urag dari 5. Tetua baya bilaga yag a. habis dibagi. b. habis dibagi 5. c. habis dibagi tetapi tida habis dibagi 5. 0 Paet Fasilitasi Pemberdayaa KKG/MGMP Matematia PPPPTK Matematia

17 Peyelesaia: Barisa bilaga itu adalah,, 3, 4,..., 4. a. Barisa bilaga yag habis dibagi adalah, 4, 6, 8,..., 4. b. Barisa bilaga yag habis dibagi 5 adalah 5, 0, 5, 0,..., 0. c. Barisa bilaga yag habis dibagi tetapi tida habis dibagi 5 adalah aggota peyelesaia pertayaa bagia a diuragi aggota peyelesaia pertayaa b. Jadi, barisa bilaga yag habis dibagi, tetapi tida habis dibagi 5 adalah, 4, 6, 8,, 4, 6, 8,, 4, 6, 8, 3,...,8,, Tetua 8 suu pertama dari suatu barisa aritmetia yag suu e- adalah 4 da suu e-6 adalah 7. Peyelesaia: Salah satu alteratif peyelesaia adalah megguaa sifat barisa aritmetia: u 3 = u + u 4 ; u 4 = u + u 6 ; u 5 = u 4+ u 6. Dari iformasi yag ada, suu e-4 barisa ii diperoleh lebih dulu, 4+7 yaitu u 4 = = 57. Kemudia diperoleh u 3 = 4+57 = 49,5 da u 5 = 57+7 = 64,5. Dari sii diperoleh beda b = 7,5 da suu pertama a = 34,5. Jadi 8 suu pertama barisa itu adalah 34,5; 4; 49,5; 57; 64,5; 7; 79,5; Tiga bilaga membetu barisa aritmetia. Jia suu tegah diuragi 5 maa terbetu barisa geometri dega rasio. Tetua bilaga-bilaga tersebut. Peyelesaia: Misala barisa aritmetia adalah: p b, p, p + b da barisa geometri adalah: p b, p 5, p + b dega r = Dra. Puji Iryati, M.Sc.Ed. Pembelajara Barisa, Deret Bilaga Da Notasi Sigma Di SMA

18 p 5 p+ b Oleh area = =, dari sii diperoleh: p b p 5 p 5 = p b p b = 5...) p 0 = p + b p b = 0...) Persamaa ) diuraga dega ) meghasila b = 5. Selajutya diperoleh p = 5. Jadi barisa aritmetia itu adalah 0, 0, Tiga bilaga membetu barisa geometri. Jumlah tiga bilaga itu adalah 47 da hasil aliya adalah 95. Tetua barisa geometri tersebut! Peyelesaia: p Misala tiga bilaga itu adalah, p, pr. r (diambil pemisala seperti ii supaya etia etigaya dialia diperoleh persamaam dalam satu peubah) Hasil ali etiga bilaga itu adalah p 3 = 95 p = 8 8 dega demiia r= 47 r 8 + 8r +8r = 47r 8r 9r + 8 = 0 4r 7r + 4 = 0 (4r ) (r 4) = 0 r = 4 atau r = 4 Utu r = 4, barisa bilaga adalah, 8, 7. Utu r = 4, barisa bilaga adalah 7, 8,. Latiha Tetua peyelesaia soal-soal beriut ii!. Seorag ayah memberia uag sau haria yag berbeda-beda epada lima aaya. Uag sau seorag adi Rp 000,00 urag dari uag sau yag diterima aa tepat di atasya. Jia setiap hari ayah Paet Fasilitasi Pemberdayaa KKG/MGMP Matematia PPPPTK Matematia

19 itu megeluara Rp 7.500,00 utu uag sau semua aaya, berapaah uag sau haria aa e-4?. Suatu barisa aritmetia, suu e- adalah 5 da suu e- adalah 79. Berapa baya suu barisa ii yag urag dari 00? 3. Empat buah bilaga positif membetu barisa aritmetia. Hasil ali bilaga pertama da eempat adalah 46, da hasil ali bilaga edua da etiga adalah 44. Tetua jumlah eempat bilaga tersebut! 4. Di atara bilaga-bilaga 8 da 73 disisipa 3 buah bilaga sehigga terjadi barisa aritmetia. Tetua a. beda barisa itu b. rumus suu e- (cobalah dulu pertayaa a da b utu soal yag lebih sederhaa, misala di atara da 8 disisipa bilaga, diatara da disisipa 3 bilaga, da seterusya sehigga diperoleh esimpula cara meetua beda barisa) 5. Dietahui barisa bilaga asli urag dari 50. Tetua baya bilaga yag: a. habis dibagi 4 b. habis dibagi 6 c. habis dibagi 4 tetapi tida habis dibagi 6 6. Tiga bilaga membetu barisa aritmetia. Jumlah etiga bilaga itu sama dega. Jia bilaga e-3 ditambah dega maa terbetu suatu barisa geometri. Tetua bilaga-bilaga tersebut! 7. Keayaa seorag pedagag setiap 4 tahu mejadi lipat dua dari jumlah sebelumya. Keayaa pedagag itu pada tahu 997 adalah Rp ,00 Berapaah eayaaya pada tahu 0? (diaggap eadaa ii berlau sampai tahu itu da pedagag itu masih hidup) 8. Sebidag taah berharga Rp ,00. Setiap tahu harga taah itu ai 5% dari harga taah tahu sebelumya. Berapaah harga taah itu pada tahu e-8? 9. Tiga bilaga membetu barisa geometri yag hasil aliya 000. Jia jumlah tiga bilaga itu 35, tetua bilaga-bilaga tersebut. Dra. Puji Iryati, M.Sc.Ed. Pembelajara Barisa, Deret Bilaga Da Notasi Sigma Di SMA 3

20 0. Dari suatu barisa geometri dietahui jumlah suu pertama da e-6 adalah 44 da hasil ali suu e-3 da e-4 adalah 43. Tetua rasio da suu e-. E. Barisa Selai Barisa Aritmetia da Geometri Ada baya barisa bilaga yag dapat dipelajari, tetapi di SMA siswa miimal harus dapat meyelesaia masalah yag berhubuga dega barisa aritmetia da geometri. Jia dibutuha materi pegayaa tetag barisa bilaga selai barisa aritmetia da geometri, maa materi beriut ii dapat mejadi alteratif tambaha. Utu meetua suu-suu suatu barisa ita melihat eteratura pola dari suu-suu sebelumya. Barisa seperti, 4, 7,,... memilii eteratura area beda suu e- dega pertama adalah, beda dari suu e-3 dega e- adalah 3, beda suu e-4 dega e-3 adalah 4. Perhatia juga barisa,, 5,, 7, 58,... Beda suu e- dega pertama, beda suu e-3 dega e- adalah 3, beda suu e-4 da e-3 adalah 7, beda suu e-5 da e-4 adalah 5. Jia masig-masig beda ii dibuat mejadi barisa baru da dicari lagi selisih masigmasig suu, maa aa terlihat eteratura barisa ii. Bagaimaa meetua rumus suu e- barisa-barisa seperti ii? Salah satu cara utu meetua rumus umum suu e- barisa adalah megguaa osep fugsi.. Barisa Bertigat dega Ladasa Barisa Aritmetia Utu meetua rumus umum suu e- barisa seperti ii caraya adalah dega memperhatia selisih atara dua suu yag beruruta. Bila pada satu tigat peguraga belum diperoleh selisih tetap, maa peguraga dilaua pada tigat beriutya sampai diperoleh selisih tetap. Suatu barisa disebut berderajat satu (liear) bila selisih tetap diperoleh dalam satu tigat peguraga, disebut berderajat dua bila selisih tetap diperoleh dalam dua tigat peguraga da seterusya. Betu umum dari barisa-barisa itu merupaa fugsi dalam sebagai beriut: Selisih tetap tigat f() = a + b atau u = a + b 4 Paet Fasilitasi Pemberdayaa KKG/MGMP Matematia PPPPTK Matematia

21 Selisih tetap tigat Selisih tetap 3 tigat f() = a + b + c atau u = a + b + c f() = a 3 + b + c + d atau u = a 3 + b + c + d Perlu diperhatia bahwa a da b pada fugsi ii tida sama dega a = suu pertama da b = beda pada suu-suu barisa aritmetia yag dibicaraa sebelumya. Utu memahami pegertia barisa berderajat satu, berderajat dua, da seterusya perhatia cotoh beriut: Barisa, 5, 8,, disebut barisa berderajat satu area selisih tetap diperoleh pada satu tigat peguraga. 5 8, selisih tetap = 3 Barisa 5, 8, 3, 0, 9, disebut barisa berderajat dua area selisih tetap diperoleh pada dua tigat peguraga selisih tetap = Barisa, 5, 8, 45, 90, disebut barisa berderajat tiga area selisih tetap diperoleh pada tiga tigat peguraga selisih tetap = 4 Utu meetua rumus suu e- masig-masig barisa itu dilaua dega cara sebagai beriut: Dra. Puji Iryati, M.Sc.Ed. Pembelajara Barisa, Deret Bilaga Da Notasi Sigma Di SMA 5

22 a. Barisa Liear ( Berderajat Satu) Betu umum u = a + b, jadi u = a + b, u = a + b, u 3 = 3a + b, u 4 = 4a + b, da seterusya. (i) a + b a + b 3a + b 4a + b, (ii) a a a Rumus umum suu e- barisa, 5, 8,, dapat ditetua dega cara: (i) 5 8, (ii) (ii) a = 3 (i) a + b = b. Barisa Berderajat Dua 3 + b = b =, sehigga diperoleh u = 3 Betu umum u = a + b + c. Dega demiia u = a + b + c, u = 4a + b + c, u 3 = 9a + 3b + c, u 4 = 6a + 4b + c, da seterusya. Idetifiasi selisih tetapya adalah sebagai beriut: (i) a + b + c, 4a + b + c, 9a + 3b + c, 6a + 4b + c, (ii) 3a + b 5a + b 7a + b (iii) a a Rumus umum suu e- barisa 5, 8, 3, 0, 9, dapat ditetua dega cara: (i) (ii) (iii) 6 Paet Fasilitasi Pemberdayaa KKG/MGMP Matematia PPPPTK Matematia

23 (iii) a = a = (ii) 3a+ b = 3 c. Barisa Berderajat Tiga b = 0 (i) a + b + c = 5 c = 4, sehigga u = + 4 Betu umum barisa berderajat tiga u = a 3 + b + c + d. Dega demiia u = a + b + c + d, u = 8a + 4b + c + d, u 3 = 7a + 9b + 3c + d, u 4 = 64a + 6b + 4c + d, da seterusya. Idetifiasi selisih tetapya adalah: (i) a+ b + c+ d, 8a + 4b + c + d, 7a + 9b + 3c+ d, 64a + 6b + 4c + d (ii) 7a +3b + c 9a + 5b + c 37a +7b + c (iii) a + b 8a + b (iv) 6a Rumus umum suu e- barisa, 5, 8, 45, 90, dapat ditetua dega cara: (i) (ii) (iii) (iv) Dega meyelesaia persamaa (iv), (iii), (ii) da (i) diperoleh a =, b =, c = 4 da d = 5 sehigga rumus suu e- 3 3 u = = ( ) Dra. Puji Iryati, M.Sc.Ed. Pembelajara Barisa, Deret Bilaga Da Notasi Sigma Di SMA 7

24 . Barisa Bertigat dega Ladasa Barisa Geometri Ada barisa yag setelah dicari beda atara dua suu beruruta tida juga diperoleh selisih yag tetap sampai beberapa ali tigat peguraga, tetapi beda pada tigat tertetu itu membetu suatu barisa geometri. Cotoh :,, 5,, 7, 58,, Barisa di atas dapat dilihat eteraturaya setelah terjadi peguraga pada tigat dua. Tampa bahwa pada barisa itu terdapat usur ditambah bilaga tertetu. Barisa seperti itu dirumusa sebagai u = +. Utu = = + = Jadi, rumus suu e- barisa itu adalah u =. Cotoh : 5, 0, 7, 8, 47, 8, 49, Seperti pada cotoh di atas, barisa seperti ii dirumusa sebagai u = +. Utu = 5 = + = 3. Jadi, rumus suu e- barisa itu adalah u = + 3. Tugas Selidii apa yag mejadi ciri-ciri barisa yag mempuyai rumus umum u = a + b + c, dega a, b, c adalah ostata da a 0. 8 Paet Fasilitasi Pemberdayaa KKG/MGMP Matematia PPPPTK Matematia

25 Latiha. Tetua rumus suu e- utu tiap-tiap barisa beriut ii: a. 5, 9, 3, 7, d., 7, 6, 9, b. 6,, 6,, e., 0, 30, 68, c., 6, 3,,. Tetua rumus suu e- a. barisa bilaga persegi pajag, 6,, 0, b. barisa, 5, 4, 30, Tetua rumus suu e- dari: a. 5, 3, 33, 69,... b. 3,, 3,,... c. 4, 7,,,... F. Kegiata dalam Materi Barisa sebagai Fugsi Kegiata yag bersifat esplorasi dapat mejadi suatu piliha utu mempelajari barisa megguaa osep fugsi. Beriut ii beberapa cotoh egiata esplorasi yag disajia dalam betu lembar erja. Lembar Kerja Materi Tujua Pembelajara Watu Petuju : Barisa sebagai Fugsi : Meyataa rumus suu e- suatu barisa megguaa fugsi : 0 meit : Bacalah da pahami terlebih dahulu soal di bawah ii, emudia erjaa apa yag dimita. Lagah-lagah:. Perhatia semua persegi pajag di bawah ii, emudia legapi tabel di bawahya. Dra. Puji Iryati, M.Sc.Ed. Pembelajara Barisa, Deret Bilaga Da Notasi Sigma Di SMA 9

26 Baya persegi pajag ecil Baya seluruh persegi pajag. Perhatia pola bilaga yag Ada dapat. Jia ada persegi pajag ecil berapa jumlah seluruh persegi pajag? Jia ada 0 persegi pajag ecil berapa jumlah seluruh persegi pajag? Lembar Kerja Materi Tujua Pembelajara Watu Petuju : Barisa sebagai Fugsi : Meyataa rumus suu e- suatu barisa megguaa fugsi : 0 meit : Bacalah da pahami terlebih dahulu soal di bawah ii, emudia erjaa apa yag dimita. Lagah-lagah:. Perhatia semua persegi di bawah ii, emudia legapi tabel beriut. 0 Paet Fasilitasi Pemberdayaa KKG/MGMP Matematia PPPPTK Matematia

27 Pajag sisi persegi satua satua 3 satua 4 satua 5 satua Baya seluruh persegi. Perhatia barisa bilaga yag Ada peroleh. Jia ada persegi bersisi satua berapa jumlah seluruh persegi yag ada? Lembar Kerja 3 Materi Tujua Pembelajara Watu Petuju : Barisa sebagai Fugsi : Meyataa rumus suu e- suatu barisa megguaa fugsi : 0 meit : Bacalah da pahami terlebih dahulu soal di bawah ii, emudia erjaa apa yag dimita. Lagah-lagah:. Perhatia semua gambar di bawah ii, emudia legapi tabel beriut. Batag-batag ore api disusu sehigga membetu eraga, seperti yag ditujua pada Gambar, Gambar da Gambar 3. Dra. Puji Iryati, M.Sc.Ed. Pembelajara Barisa, Deret Bilaga Da Notasi Sigma Di SMA

28 Gambar Gambar Gambar 3 Legapi tabel beriut ii. Keraga Baya ore api. Diperlua berapa batag ore api utu membetu eraga e-? Berapa batag ore api utu membetu eraga e-0? Tugas 3 Carilah betu-betu egiata yag bersifat esplorasi utu egiata pembelajara barisa sebagai fugsi. Paet Fasilitasi Pemberdayaa KKG/MGMP Matematia PPPPTK Matematia

29 DERET BILANGAN BAB III A. Tujua Pembelajara Setelah mempelajari bab ii, diharapa pembaca dapat:. meyelesaia soal-soal yag berhubuga dega deret aritmetia,. meyelesaia soal-soal yag berhubuga dega deret geometri, 3. meyelesaia soal-soal yag berhubuga dega deret geometri ta higga. B. Permasalaha Deret bilaga adalah jumlah suu-suu suatu barisa. Pertayaa yag serig diajua para guru matematia SMA adalah bagaimaa tei peyelesaia deret yag bua deret aritmetia atau geometri, tetapi sepitas tampa mirip dega deret aritmetia atau geometri. Beberapa deret seperti ii alteratif tei peyelesaiaya ada yag megguaa osep deret aritmetia atau geometri. Beriut ii aa dibahas alteratif tei peyelesaia deret seperti itu. Masalah deret yag serig diajua oleh para guru seperti yag disebuta di atas dapat diemas mejadi pertayaa sebagai beriut.. Bagaimaa tei peyelesaia deret yag tampa fisiya mirip dega deret aritmetia?. Bagaimaa tei peyelesaia deret yag tampa fisiya mirip dega deret geometri? 3. Bagaimaa tei peyelesaia deret yag tampa fisiya mirip dega deret geometri ta higga? C. Alteratif Peyelesaia Soal-soal yag Berhubuga dega Kosep Deret Aritmetia da Deret Geometri Utu megigata Ada, beriut ii adalah rumus-rumus yag dipaai dalam deret aritmetia da deret geometri. Beberapa soal yag dibahas beriut, bila diberia epada siswa, lebih tepat sebagai soal-soal pegayaa. Dra. Puji Iryati, M.Sc.Ed. Pembelajara Barisa, Deret Bilaga Da Notasi Sigma Di SMA 3

30 Dalam deret aritmetia berlau: S = (a + u) = [(a + ( )b], da U = S S - dega S = jumlah suu pertama, S -= jumlah - suu pertama, a = suu pertama, u = suu e-, b = beda Dalam deret geometri berlau: S = a( r ) ( r) atau S = a( r ), ( r ) U = S S - dega r ; r adalah rasio, S = jumlah suu pertama, a = suu pertama Perhatia beberapa soal di bawah ii. Apaah ii mejadi masalah bagi Ada? Cobalah utu meyelesaia terlebih dahulu, emudia Ada dapat membadiga dega alteratif peyelesaia yag disajia.. Deret Tetua jumlah 00 suu pertama! Tetua jia = Rumus jumlah suu pertama bilaga uadrat adalah ( + )(+ ). Guaa iformasi itu utu meetua jumlah 6 deret Dietahui A= Hituglah ilai A. 5. Ada diterima beerja di suatu perusahaa yag meawara gaji dega macam piliha. Yag pertama, gaji dibayar setiap hari dega atura hari erja dalam sebula dihitug 6 hari. Hari erja pertama dibayar Rp 00,00. Pembayara hari erja e- dua ali gaji hari pertama. Pembayara hari erja e-3 dua ali gaji hari e-, da 4 Paet Fasilitasi Pemberdayaa KKG/MGMP Matematia PPPPTK Matematia

31 seterusya. Yag edua, tiap-tiap ahir bula Ada medapat gaji Rp ,00. Sistem pembayara maa yag Ada pilih? Jelasa alasa Ada atas piliha itu! 6. Dietahui P = Tetua ilai P. 004 aga Searag Ada dapat membadiga jawaba Ada dega alteratif peyelesaia soal-soal di atas.. Deret Tetua jumlah 00 suu pertama. Peyelesaia: Utu 00 suu pertama deret dapat dielompoa mejadi 3, yaitu: atau dapat ditulis sebagai Jumlahya adalah S = (34)( + 34) + (33)(3 + 35) + (33)(5 + 37) = = Tetua jia = Peyelesaia: Deret di atas dapat diyataa sebagai ( + ) = 08 + = 6 5 = 0 ( 5) = 0 = 0 atau = 5 Dra. Puji Iryati, M.Sc.Ed. Pembelajara Barisa, Deret Bilaga Da Notasi Sigma Di SMA 5

32 Karea = 0 tida memeuhi, maa peyelesaia haya berlau utu = Rumus jumlah suu pertama bilaga uadrat adalah ( + )(+ ). Guaa iformasi itu utu meetua jumlah 6 deret Peyelesaia: Perhatia bahwa: jumlah suu e- da e- adalah 8() jumlah suu e-3 da e-4 adalah 8(4) jumlah suu e-5 da e-6 adalah 8(9), da seterusya. Misala jumlah deret itu adalah S, maa S = 8( ) = 8 (50)(5)(0) 6 = Dietahui A = Hituglah ilai A. Peyelesaia: Perlu diigat bahwa: a. Rumus jumlah suu pertama deret aritmetia adalah S = (a + u). b. Idetitas =. ( + ) + A dimaipulasi megguaa rumus jumlah deret aritmetia (a) da idetitas (b) mejadi beriut ii. A = = ()(+ ) ()(+ ) (3)(+ 3) (4)(+ 4) (004)(+ 004) = Paet Fasilitasi Pemberdayaa KKG/MGMP Matematia PPPPTK Matematia

33 = ( ) = {( ) + ( ) + ( ) + ( ) ( )} = ( ) = Ada diterima beerja di suatu perusahaa yag meawara gaji dega macam piliha. Yag pertama, gaji dibayar dega atura hari erja dalam sebula diaggap 6 hari, walaupu masu dalam semiggu 5 hari dari Sei sampai Jumat. Hari erja pertama dibayar Rp 00,00. Pembayara hari erja e- dua ali gaji hari pertama. Pembayara hari erja e-3 dua ali gaji hari e-, da seterusya. Yag edua, tiap-tiap ahir bula Ada medapat gaji Rp ,00. Sistem pembayara maa yag Ada pilih? Jelasa alasa Ada atas piliha itu! Peyelesaia: Sistem pertama adalah deret geometri dega suu pertama a = 00, rasio r =, da = 6. Rumus yag diguaa adalah a( r ) S = ( r ) Misala A adalah gaji sebula dalam rupiah, 6 A = 00( ) = 00 ( ) = Jia dilihat dari segi uatitas dipilih pembayara gaji sistem pertama area jumlahya lebih besar daripada sistem edua. 6. Dietahui P = Tetua ilai P. 004 aga Peyelesaia: Secara sepitas deret ii mirip dega betu deret geometri, sehigga dicari pedeata megguaa jumlah deret tersebut. P = aga Dra. Puji Iryati, M.Sc.Ed. Pembelajara Barisa, Deret Bilaga Da Notasi Sigma Di SMA 7

34 = 3( ) = 3{+ (+ 0)+ ( )+ ( )+...+( )} (0 ) (0 ) (0 ) (0 ) = 3{ } = { } (0 ) 9(004) = { } = Latiha Selesaia soal-soal beriut ii.. Jia = aaa, tetua ilai da aaa. ( adalah bilaga da a adalah aga dari sampai dega 9). Jia 004 diyataa sebagai pejumlaha beberapa bilaga asli beruruta, tetua bayaya cara pejumlaha bilaga asli tersebut. 3. Tetua ilai Hituglah + ( + ) + ( ) 4 + ( ) ( ) Dietahui a = da b = Tetua bilaga bulat terdeat dari a b. D. Soal-soal yag Berhubuga dega Deret Geometri Ta Higga Pembahasa deret geometri ta higga di elas disaraa utu dimulai dega peragaa beda yata. Salah satu alteratifya seperti cotoh beriut ii. 8 Paet Fasilitasi Pemberdayaa KKG/MGMP Matematia PPPPTK Matematia

35 Sebagai pembua guru bertaya berapaah jumlah deret Tetu siswa belum dapat mejawab pertayaa ii Selajutya guru megiformasia lagah-lagah egiata yag aa megaraha para siswa utu dapat mejawab pertayaa tadi. Alat yag diguaa adalah ertas yag berbetu persegi atau bisa juga persegi pajag yag emudia dibagi mejadi dua bagia. Salah satu bagia ertas itu dibagi lagi mejadi dua bagia. Selajutya bagia terecil dari ertas itu dibagi lagi mejadi dua bagia da seterusya seperti digambara di bawah ii: Kertas semula Pembagia pertama Pembagia edua Pembagia etiga Pembagia eempat Secara teoritis proses pembagia ii dapat diulagi terus meerus sampai ta berhigga ali. Pada pembagia yag pertama diperoleh bagia, yag e- diperoleh bagia, yag e-3 diperoleh bagia 4 8 da seterusya sampai ta berhigga ali. Karea siswa sudah megetahui bahwa luas ertas mula-mula adalah bagia, tampa jelas bahwa jumlah dari seluruh hasil pembagia sampai ta berhigga ali adalah: = Proses tadi mejelasa pegertia jumlah deret geometri ta higga yag bisa diperagaa secara sederhaa. Utu pejelasa secara teoritis perhatia jumlah suu pertama deret geometri a( r ) S =. Jia suu-suu deret itu bertambah terus maa deret aa ( r) mejadi deret geometri ta higga. Dega demiia limit jumlah deret geometri mejadi Dra. Puji Iryati, M.Sc.Ed. Pembelajara Barisa, Deret Bilaga Da Notasi Sigma Di SMA 9

36 lims = a( r ) ( r) a = lim ( r) a a = ( r) ( r) lim lim a r ( r) lim r Terlihat jelas bahwa ilai S sagat dipegaruhi oleh ilailimr. Jia. < r <, lim r aa mejadi ol sehigga deret ta higga itu a mempuyai jumlah S = ( r) Deret geometri ta higga yag mempuyai jumlah disebut overge atau mempuyai limit jumlah.. r < atau r >, limr = ± sehigga deret ta higga itu tida mempuyai limit jumlah. Deret yag seperti ii disebut diverge. Apaah soal-soal beriut mejadi masalah bagi Ada? Silaa Ada coba utu megerjaa dahulu sebelum melihat alteratif jawaba yag disediaa.. Jumlah suatu deret geometri ta higga adalah (4 + ) sedaga rasioya adalah. Tetua suu pertama deret tersebut!. Jumlah suu-suu omor gajil dari suatu deret geometri ta higga adalah 8. Deret itu sediri mempuyai jumlah 4. Tetua rasio da suu pertama deret geometri itu! 3. Jumlah deret geometri ta higga 8 x x + x 3... sama dega 5 5. Carilah ilai x Suu pertama suatu deret geometri ta higga adalah a, sedaga rasioya adalah r = log( x 3). Carilah batas-batas ilai x sehigga deret geometri itu overge! Searag Ada dapat membadiga peyelesaia Ada dega alteratif peyelesaia beriut ii. 30 Paet Fasilitasi Pemberdayaa KKG/MGMP Matematia PPPPTK Matematia

37 . Jumlah suatu deret geometri ta higga adalah (4 + ) sedaga rasioya adalah. Tetua suu pertama deret tersebut! Peyelesaia: a S = a = S ( r) ( r) = (4 + ) ( ) = 4 + = Jadi, suu pertama deret tersebut adalah.. Jumlah suu-suu omor gajil dari suatu deret geometri ta higga adalah 8. Deret itu sediri mempuyai jumlah 4. Tetua rasio da suu pertama deret geometri itu! Peyelesaia: Misal S = jumlah deret legap da S = jumlah suu-suu omor gajil. S = a+ a+ a3+ a S = = a ( r) = 4 a = 4 ( r) ) S = a + a3 + a5+ a = 8 S a = = 8 ( r ) a = 8 ( r ) ) Persamaa ) = ), sehigga diperoleh 4( r) = 8( r ) 4 r = 8 r 4 ( r)(+ r) = 3 r 4 =+ r r = ; a = Jadi, rasio deret tersebut 3 da suu pertamaya Jumlah deret geometri ta higga 8 x x + x 3... sama dega 5 5. Carilah ilai x. 3 Dra. Puji Iryati, M.Sc.Ed. Pembelajara Barisa, Deret Bilaga Da Notasi Sigma Di SMA 3

38 Peyelesaia: a = x, S = S =, r = 4 x 3 5 a x = = ( r) 4 3 (+ x) 5 4 x= + x x x= x = x = Suu pertama suatu deret geometri ta higga adalah a, sedaga rasioya adalah r = log( x 3). Carilah batas-batas ilai x sehigga deret geometri itu overge! Peyelesaia: Syarat supaya suatu deret geometri overge adalah < r <, sehigga < log( x 3) < ; syarat x 3 > 0 x > 3 log( x 3) < da log( x 3) > - x 3 < da x 3 > x < 5 da x > 3 Dega memperhatia syarat, maa batas-batas x adalah 3 < x < 5. Latiha Selesaialah soal-soal beriut ii.. Hituglah jumlah ta higga deret Sebuah bola teis dijatuha e latai dari suatu tempat yag tiggiya m. Setiap ali setelah bola itu mematul aa mecapai dari tiggi yag dicapai sebelumya. Hituglah pajag litasa 3 bola sampai bola itu berheti! 3 Paet Fasilitasi Pemberdayaa KKG/MGMP Matematia PPPPTK Matematia

39 Dietahui siα + si α+ si α+ si α+... adalah deret 4 8 geometri overge yag jumlahya. Hituglah ilai si α. 3 (guaa rumus-rumus trigoometri) 4. a. jumlah elilig semua segitiga! b. jumlah luas semua segitiga! Suatu segitiga sama sisi mempuyai sisi-sisi yag pajagya 0 cm. Titi tegah sisi-sisi segitiga itu dihubuga sehigga membetu segitiga sama sisi lai yag lebih ecil. Jia prosedur ii dilaua berulag sampai ta higga ali, tetua: 5. Jari-jari ligara yag palig besar pada gambar di sampig ii adalah R. Hituglah luas: a. semua ligara yag terjadi! b. semua persegi yag terjadi! Dra. Puji Iryati, M.Sc.Ed. Pembelajara Barisa, Deret Bilaga Da Notasi Sigma Di SMA 33

40 34 Paet Fasilitasi Pemberdayaa KKG/MGMP Matematia PPPPTK Matematia

41 NOTASI SIGMA BAB IV A. Tujua Pembelajara Setelah mempelajari bab ii, diharapa pembaca dapat:. meyataa suatu deret dalam betu otasi sigma,. megguaa sifat-sifat otasi sigma dalam meyelesaia soal-soal yag terait dega otasi sigma. B. Permasalaha. Kedala siswa dalam meyataa suatu deret dalam betu otasi sigma adalah meetua betu umum suu e- pada deret itu.. Meyelesaia soal-soal otasi sigma yag megguaa sifat-sifat otasi sigma. C. Meyataa Suatu Deret Dalam Betu Notasi Sigma Notasi sigma (Σ) pertama ali dipereala oleh Leohard Euler pada 6 tahu 755. Maa dari (3+ ) adalah , = yag didapat dari mesubtitusia ilai = sampai = 6. Jadi, jelas bahwa otasi ii dapat diguaa utu meyataa suatu deret bilaga. Utu megespasia betu otasi sigma bua suatu masalah bagi siswa, area haya dega mesubtitusia ilai peubah, selesai sudah peerjaa itu. Tetapi alau soalya diubah dari betu pejumlaha mejadi betu otasi sigma, ii yag mejadi masalah bagi siswa. Megapa siswa megalami esulita dalam meyataa suatu deret e dalam betu otasi sigma? Umumya ii terait dega esulita dalam meetua betu umum suu e-. Utu megatasi hal ii guru harus memulai dega pemaasa, yaitu memita siswa utu meyataa pejumlaha bilaga yag betu umum suu-suuya Dra. Puji Iryati, M.Sc.Ed. Pembelajara Barisa, Deret Bilaga Da Notasi Sigma Di SMA 35

42 sederhaa. Misalya guru mulai dega memita siswa utu megerjaa soal beriut. Tetua dalam betu otasi sigma. Guru memita siswa utu megamati pola suu-suu pada deret tersebut. Diharapa siswa dapat melihat pola suu e-, suu e-, suu e-3, suu e-4, da seterusya seperti beriut ii. suu e- = 3 = () + suu e- = 5 = () + suu e-3 = 7 = (3) +, da seterusya sehigga suu e-6 = 3 = (6) + Dega melihat pola suu-suu tersebut dapat disimpula bahwa suu-suu dalam pejumlaha itu mempuyai pola +. Dega demiia = ( + ) Selajutya guru meatag siswa utu meyataa dalam otasi sigma betu yag sediit berbeda dega yag pertama. Tetua dalam betu otasi sigma. Guru memberia watu dua sampai lima meit epada siswa utu meyelesaia soal tersebut. Mugi baya siswa yag belum dapat meyelesaia soal ii. Kalau terjadi demiia maa guru memberia sediit batua dega memita siswa utu memperhatia apa yag terjadi alau dipagata bilaga gajil da apa yag terjadi alau dipagata bilaga geap?. Dega memberia batua itu saja diharapa siswa dapat meerusa lagah-lagah beriutya, yaitu sampai pada esimpula bahwa: = ( ) Salah satu alteratif yag dapat diguaa sebagai awal berpiir utu meyataa pejumlaha dalam betu otasi sigma adalah tei meetua rumus barisa megguaa osep fugsi pada Bab II. Selajutya siswa diberia soal-soal yag diuruta mulai dari yag palig mudah. Salah satu alteratif model soalya seperti cotoh beriut ii. 0 = 6 = 36 Paet Fasilitasi Pemberdayaa KKG/MGMP Matematia PPPPTK Matematia

43 Tulislah pejumlaha beriut dalam betu otasi sigma ( ) + ( 3) + (3 4) + (4 5) + (5 6) 8. ( ) + ( 3 4) + (5 6) + (7 8) + (9 0) 9. a + a b + a 3 b + a 4 b 3 + a 5 b 4 + a 6 b 5 0. ab 6 + a b 5 + a 3 b 4 + a 4 b 3 + a 5 b + a 6 b Latiha Tulisa pejumlaha beriut ii dalam otasi sigma. Setelah Ada mecobaya, tetua batua apa yag diperlua siswa dalam meyelesaia soal-soal ii ( ) D. Sifat-sifat Notasi Sigma da Pegguaaya dalam Meyelesaia Soal-soal yag Terait dega Notasi Sigma Dalam meyelesaia soal-soal berbetu otasi sigma, serig diguaa sifat-sifat sebagai beriut. Utu setiap bilaga bulat a, b da berlau:. = = Dra. Puji Iryati, M.Sc.Ed. Pembelajara Barisa, Deret Bilaga Da Notasi Sigma Di SMA 37

44 38 Paet Fasilitasi Pemberdayaa KKG/MGMP Matematia PPPPTK Matematia Butialah sifat-sifat otasi sigma di atas!. = b a cf ) ( = c = b a f ) ( 3. = + b a g f )) ( ) ( ( = = = + b a b a g f ) ( ) ( 4. = = = = + m m f f f ) ( ) ( ) ( = = = p p m m p f f ) ( ) ( Selajutya yag perlu dietahui adalah beberapa jumlah deret husus.. = + = ) (, jumlah suu pertama deret bilaga asli.. = + + = 6 ) )( (, jumlah suu pertama deret bilaga uadrat. 3. = + = 3 ) (, jumlah suu pertama deret bilaga ubi. Masalah yag serig dijumpai adalah etia membutia atau meghitug ilai suatu betu otasi sigma, yaitu etia harus megguaa sifat-sifat otasi sigma, misalya betu soal otasi sigma seperti soal-soal beriut ii.. Butia bahwa = = ) ) ( ( Buti: Ruas iri: )) ( ( ) ) ( ( + = = = = = = = =, megguaa sifat o. & = + ) ( = + = = ruas aa, terbuti Tugas

45 . Tetua ilai ( = + ) Peyelesaia: Beriut ii diberia dua alteratif peyelesaia, yaitu: a. = ( ) = ( + ) = + = ( ) + ( ) + ( ) + ( ) = + + = = + + b. ( = + ) = = ( + ) ( + ) 0 Misala S adalah jumlah suu pertama, S adalah jumlah suu pertama, S 3 adalah jumlah 3 suu pertama, da seterusya. Dega demiia, S =, 4 S = + = =, S = + + =, S = = = 4 = S = + Jadi, ( = + ) = + 4 5,, Dra. Puji Iryati, M.Sc.Ed. Pembelajara Barisa, Deret Bilaga Da Notasi Sigma Di SMA 39

46 Latiha. Guaa sifat-sifat otasi sigma utu meyelesaia soal beriut ii Jia dietahui i = 385 da i = 0, tetua ilai ( i + ).. Butia ( = 0 i= 3 ( ) 3. Hituglah ( ) = 0 3 ) = 4. Hituglah ( + )( + ) = 5. Hituglah ( + ) = Hituglah ilai ( ) = + 3 i= i= 4 40 Paet Fasilitasi Pemberdayaa KKG/MGMP Matematia PPPPTK Matematia

47 PENUTUP BAB V A. Raguma Masalah sehari-hari atau soal-soal yag beraita dega barisa aritmetia atau geometri harus dipahami dulu masudya, emudia diselesaia dega megguaa rumus da sifat-sifat yag berlau pada barisa yag sesuai. Utu meetua rumus suu e- suatu barisa yag tida berbetu barisa aritmetia ataupu geometri, tetapi mempuyai eteratura beda atara dua suu beruruta dapat diguaa osep fugsi. Jia beda yag tetap diperoleh dalam satu tigat peguraga maa barisa itu berderajat satu atau barisa liear dega rumus suu e- adalah u = a + b. Apabila beda yag tetap diperoleh dalam dua tigat peguraga maa barisa itu berderajat dua atau barisa uadrat dega rumus suu e- adalah u = a + b + c, da seterusya. Tetapi, apabila beda yag diperoleh dari peguraga suusuu pada tigat edua da seterusya membetu barisa geometri maa alteratif rumus suu e- barisa tersebut adalah u = a + b Dari pembahasa bagaimaa meyelesaia soal-soal deret yag tampa fisiya mirip atau medeati betu deret aritmetia da geometri, disaraa utu:. megamati deret itu dega teliti terlebih dahulu,. mecoba utu memaipulasi deret tersebut apaah dapat diubah e dalam betu deret aritmetia ataupu geometri, 3. megguaa rumus jumlah suu deret aritmetia atau geometri. Dari pembahasa bagaimaa megubah betu pejumlaha e dalam betu otasi sigma, disaraa utu:. meetua apaah deret itu berbetu deret aritmetia atau geometri, atau apaah deret itu berbetu deret bilaga berpagat, atau deret fugsi uadrat, atau pagat tiga, Dra. Puji Iryati, M.Sc.Ed. Pembelajara Barisa, Deret Bilaga Da Notasi Sigma Di SMA 4

48 . meetua batasa betu otasi sigma dega teliti, supaya diperoleh batas bawah da batas atas yag tepat. B. Tes Tetua peyelesaia dari soal-soal beriut ii. Ada diyataa berhasil bila dapat mejawab semua soal miimal 75% bear.. Suatu deret aritmetia dega suu e- dilambaga dega u. Dietahui u + u 3 + u 5 + u 7 + u 9 + u = 7. Tetua ilai u + u 6 + u. (guaa sifat-sifat pada barisa aritmetia). Berapaah bayaya bilaga atara sampai dega 000 yag tida habis dibagi 5 da 6? 3. Tiga bilaga merupaa barisa aritmetia turu. Jia yag terbesar ditambah 4, terjadi barisa geometri dega hasil ali etiga suuya 5. Dibetu deret geometri ta higga dega tiga suu pertama yag diperoleh di atas. Tetua limit jumlah deret tersebut. 4. Dietahui barisa segitiga, 3, 6, 0,...dega suu e- adalah u = ( + ) da barisa aritmetia 00, 5, 50, 75,... Tetua mulai dari suu eberapa dari barisa pertama yag lebih besar dari suu yag bersesuaia dega barisa edua. 5. Hituglah ilai dari S = ( )( )( )( )...( ) Dietahui A = Hituglah ilai A. 7. Hituglah ilai S bila 000 aga S = Hituglah jumlah ta higga deret Hituglah ilai P= Paet Fasilitasi Pemberdayaa KKG/MGMP Matematia PPPPTK Matematia

49 0. Tetua rumus jumlah suu pertama deret ( ). (salah satu alteratif megguaa sifat-sifat otasi sigma) Hituglah hasil pejumlaha deret Hituglah luas semua daerah yag diarsir jia pola arsira dilaua sampai ta higga ali. Pajag sisi persegi yag palig besar adalah satua = = = 3. Butia = Nyataa betu pejumlaha dalam betu otasi sigma dega batas bawah. Dra. Puji Iryati, M.Sc.Ed. Pembelajara Barisa, Deret Bilaga Da Notasi Sigma Di SMA 43

50 44 Paet Fasilitasi Pemberdayaa KKG/MGMP Matematia PPPPTK Matematia

51 DAFTAR PUSTAKA Bambag Susiato Olimpiade Matematia dega Proses Berpiir Aljabar da Bilaga. Jaarta: PT Gramedia Widiasaraa Idoesia Posametier, Alfred Teachig Secodary School Mathematics. New Jersey: Pretice-Hall, Icl Puji Iryati Notasi Sigma, Barisa da Deret Bilaga I. Yogyaarta: PPPG Matematia Sait Mary s College. 97. Mathematics Cotest Problems. Moraga: Sait Mary s College Setiawa, d Matematia Kelas XII SMA da MA Program Studi Ilmu Alam. Yogyaarta: PT Aji Citra Parama Sigma Notatio, diases taggal 5 April 008 Geometric Series, diases taggal 4 April 008 Dra. Puji Iryati, M.Sc.Ed. Pembelajara Barisa, Deret Bilaga Da Notasi Sigma Di SMA 45

52 46 Paet Fasilitasi Pemberdayaa KKG/MGMP Matematia PPPPTK Matematia

53 LAMPIRAN I. KUNCI JAWABAN SOAL LATIHAN DAN TES Bab II Barisa Bilaga Tugas halama 7 Kotes yag diberia sebagai cotoh barisa aritmetia da geometri sagat tergatug epada liguga terjadiya pembelajara, yaitu apa yag sudah dieal oleh siswa. Sebagai salah satu alteratif cotoh barisa aritmetia adalah tiggi tumpua gelas aqua plasti. Salah satu emugiayag terjadi, jia gelas haya, tiggiya a cm, etia tiggi tumpua gelas sejeis diuur, tiggiya mejadi a + b cm. Selajutya tiggi tumpua 3 gelas sejeis diuur mejadi a + b cm, da seterusya, b adalah tiggi gelas edua, etiga da seterusya yag terlihat setelah ditumpu. Salah satu alteratif cotoh barisa geometri adalah tabuga di ba yag meerapa buga majemu. Misala ba memberia buga 0% setahu. Pada awal tahu A meabug Rp 0.000,00 maa pada ahir tahu diperoleh uag , (0.000) = ( + 0,). Pada ahir tahu beriutya diperoleh uag = ( + 0,) + 0,{ ( + 0,)} = ( + 0,) ( +0,) = ( + 0,), da seterusya. Latiha halama. Rp.500. a = 9, b = 6 9, 5, 3, 37,..., 99 Baya suu barisa yag urag dari 00 adalah Barisa bilaga itu adalah, 9, 6, 3 atau 3, 6, 9,. Jumlah eempat bilaga a. beda = = 5 3+ b. u = Dra. Puji Iryati, M.Sc.Ed. Pembelajara Barisa, Deret Bilaga Da Notasi Sigma Di SMA 47

MODUL BARISAN DAN DERET

MODUL BARISAN DAN DERET MODUL BARISAN DAN DERET SEMESTER 2 Muhammad Zaial Abidi Persoal Blog http://meetabied.wordpress.com BAB I. PENDAHULUAN A. Desripsi Dalam modul ii, ada aa mempelajari pola bilaga, barisa, da deret diidetifiasi

Lebih terperinci

BARISAN DAN DERET. U n = suku ke-n Contoh: Barisan bilangan asli, bilangan genap, bilangan ganjil, dan lain-lain.

BARISAN DAN DERET. U n = suku ke-n Contoh: Barisan bilangan asli, bilangan genap, bilangan ganjil, dan lain-lain. BARIAN DAN DERET A. Barisa Barisa adalah uruta bilaga yag memilii atura tertetu. etiap bilaga pada barisa disebut suu barisa yag dipisaha dega lambag, (oma). Betu umum barisa:,, 3, 4,, dega: = suu pertama

Lebih terperinci

BAB 6 NOTASI SIGMA, BARISAN DAN DERET

BAB 6 NOTASI SIGMA, BARISAN DAN DERET BAB 6 NOTASI SIGMA, BARISAN DAN DERET A RINGKASAN MATERI. Notasi Sigma Diberia suatu barisa bilaga, a, a,..., a. Lambag deret tersebut, yaitu: a = a + a +... + a a meyataa jumlah suu pertama barisa Sifat-sifat

Lebih terperinci

BAHAN AJAR DIKLAT GURU MATEMATIKA

BAHAN AJAR DIKLAT GURU MATEMATIKA BAHAN AJAR DIKLAT GURU MATEMATIKA DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH DIREKTORAT PENDIDIKAN MENENGAH KEJURUAN 005 DAFTAR ISI Kata Pegatar.. i Daftar Isi...

Lebih terperinci

Deret Positif. Dengan demikian, S = 1: Kemudian untuk deret lain, misalkan L = : Maka

Deret Positif. Dengan demikian, S = 1: Kemudian untuk deret lain, misalkan L = : Maka oi eswa (fmipa-itb) Deret Positif Deret (ta berhigga) adalah ugapa berbetu a + a + a 3 + a 4 + dega a i disebut suu. Pejumlaha ii berbeda dega pejumlaha dua, tiga, atau berhigga bilaga. Maa, ita perlu

Lebih terperinci

Deret Positif. Dengan demikian, S = 1: Kemudian untuk deret lain, misalkan L = : Maka

Deret Positif. Dengan demikian, S = 1: Kemudian untuk deret lain, misalkan L = : Maka oi eswa (fmipa-itb) Deret Positif Deret (ta berhigga) adalah ugapa berbetu a + a + a 3 + a 4 + dega a i disebut suu. Pejumlaha ii berbeda dega pejumlaha dua, tiga, atau berhigga bilaga. Maa, ita perlu

Lebih terperinci

PEMBAHASAN SOAL OSN MATEMATIKA SMP TINGKAT PROPINSI 2011 OLEH :SAIFUL ARIF, S.Pd (SMP NEGERI 2 MALANG)

PEMBAHASAN SOAL OSN MATEMATIKA SMP TINGKAT PROPINSI 2011 OLEH :SAIFUL ARIF, S.Pd (SMP NEGERI 2 MALANG) PEMBAHASAN SOAL OLIMPIADE SAINS NASIONAL SMP A. ISIAN SINGKAT SELEKSI TINGKAT PROPINSI TAHUN 011 BIDANG STUDI MATEMATIKA WAKTU : 150 MENIT 1. Jia x adalah jumlah 99 bilaga gajil terecil yag lebih besar

Lebih terperinci

Gambar 3.1Single Channel Multiple Phase

Gambar 3.1Single Channel Multiple Phase BAB III MODEL ANTRIAN PADA PEMBUATAN SIM C. Sigle Chael Multiple Phase Sistem atria sigle chael multiple phase merupaa sistem atria dimaa pelagga yag tiba, dapat memasui sistem dega megatri di tempat yag

Lebih terperinci

MACAM-MACAM TEKNIK MEMBILANG

MACAM-MACAM TEKNIK MEMBILANG 0 MACAM-MACAM TEKNIK MEMBILANG ATURAN PERKALIAN Beriut ii diberia sebuah dalil tetag peetua baya susua yag palig sederhaa dalam suatu permasalaha yag beraita dega peluag. Dalil 2.1: ATURAN PERKALIAN SECARA

Lebih terperinci

Representasi sinyal dalam impuls

Representasi sinyal dalam impuls Represetasi siyal dalam impuls Represetasi siyal dalam impuls adalah siyal yag diyataa sebagai fugsi dari impuls atau sebagai umpula dari impuls-impuls. Sembarag siyal disret dapat diyataa sebagai pejumlaha

Lebih terperinci

Mata Kuliah : Matematika Diskrit Program Studi : Teknik Informatika Minggu ke : 5

Mata Kuliah : Matematika Diskrit Program Studi : Teknik Informatika Minggu ke : 5 Mata Kuliah : Matematia Disrit Program Studi : Tei Iformatia Miggu e : 5 KOMBINATORIAL PENDAHULUAN Persoala ombiatori bua merupaa persoala baru dalam ehidupa yata. Baya persoala ombiatori sederhaa telah

Lebih terperinci

MODUL BARISAN DAN DERET

MODUL BARISAN DAN DERET MODUL BARISAN DAN DERET KELAS XII. IPS SEMESTER I Oleh : Drs. Pudjul Prijoo ( http://vidyagata.wordpress.co ) SMA NEGERI 6 Jala Mayje Sugoo 58 Malag Telp./Fax : (034) 75036 E-Mail : sa6_alag@yahoo.co.id

Lebih terperinci

PEMBUKTIAN SIFAT RUANG BANACH PADA D(K)

PEMBUKTIAN SIFAT RUANG BANACH PADA D(K) JMP : Volume 4 Nomor 1, Jui 2012, hal. 41-50 PEMBUKTIAN SIFAT RUANG BANACH PADA D(K) Malahayati Program Studi Matematia Faultas Sais da Teologi UIN Sua Kalijaga malahayati_01@yahoo.co.id ABSTRACT. I this

Lebih terperinci

Aplikasi Sistem Orthonormal Di Ruang Hilbert Pada Deret Fourier

Aplikasi Sistem Orthonormal Di Ruang Hilbert Pada Deret Fourier Apliasi Sistem Orthoormal Di Ruag Hilbert Pada Deret Fourier A 7 Fitriaa Yuli S. FMIPA UNY Abstra Ruag hilbert aa dibahas pada papper ii. Apliasi system orthoormal aa diaji da aa diapliasia pada ruahg

Lebih terperinci

RENCANA PROGRAM PEMBELAJARAN KE - 1. : 6 jam pelajaran

RENCANA PROGRAM PEMBELAJARAN KE - 1. : 6 jam pelajaran RENCANA PROGRAM PEMBELAJARAN KE - 1 Satua Pedidika Mata Pelajara Kelas/Semester Materi Pokok Waktu : SMA N 6 YOGYAKARTA : Matematika : XII IPS/ : Barisa da Deret : 6 jam pelajara 1. Stadar Kompetesi 4.

Lebih terperinci

Bab 16 Integral di Ruang-n

Bab 16 Integral di Ruang-n Catata Kuliah MA3 Kalulus Elemeter II Oi Neswa,Ph.D., Departeme Matematia-ITB Bab 6 Itegral di uag- Itegral Gada atas persegi pajag Itegral Berulag Itegral Gada atas Daerah sebarag Itegral Gada Koordiat

Lebih terperinci

Aproksimasi Terbaik dalam Ruang Metrik Konveks

Aproksimasi Terbaik dalam Ruang Metrik Konveks Aprosimasi Terbai dalam Ruag etri Koves Oleh : Suharsoo S Jurusa atematia FIPA Uiversitas Lampug Abstra asalah esistesi da etuggala aprosimasi terbai suatu titi dalam ruag berorm telah dipelajari oleh

Lebih terperinci

SOAL-SOAL. 1. UN A Jumlah n suku pertama deret aritmetika dinyatakan dengan S n n

SOAL-SOAL. 1. UN A Jumlah n suku pertama deret aritmetika dinyatakan dengan S n n Husei Tampomas, Barisa da Deret, 06 SOAL-SOAL. UN A 0 Jumlah suku pertama deret aritmetika diyataka dega S. Suku ke-0 A. B. C. 0 D. 8 E. 6. UN A, D7, da E8 0 Sebuah pabrik memproduksi barag jeis A pada

Lebih terperinci

BARISAN DAN DERET. Materi ke 1

BARISAN DAN DERET. Materi ke 1 BARISAN DAN DERET Materi ke 1 Pola Bilaga adalah? Susua bilaga yag disusu meurut atura tertetu. Cotoh : 1. Pola Bilaga Gajil 1, 3, 5,... 2. Pola Bilaga Geap 2, 4, 6,... PERHATIKAN SSNAN BILANGAN DI BAWAH

Lebih terperinci

Barisan Aritmetika dan deret aritmetika

Barisan Aritmetika dan deret aritmetika BARISAN DAN DERET BILANGAN Peyusu: Atmii Dhoruri, MS Kode: Jejag: SMP T/P: / A. Kompetesi yag diharapka. Meetuka suku ke- barisa aritmatika da barisa geometri. Meetuka jumlah suku pertama deret aritmatika

Lebih terperinci

BARISAN DAN DERET. Bentuk deret Aritmatika: a, ( a + b ), ( a + 2b ) ( a + ( n 1 ) b a = suku pertama b = beda n = banyaknya suku.

BARISAN DAN DERET. Bentuk deret Aritmatika: a, ( a + b ), ( a + 2b ) ( a + ( n 1 ) b a = suku pertama b = beda n = banyaknya suku. BARISAN DAN DERET Bab 9 Deret Aritmatika (Deret Hitug) o o o Betuk deret Aritmatika: a, ( a + b ), ( a + b ) +...+ ( a + ( ) b a = suku pertama b = beda = bayakya suku Suku ke- : U = a + (-)b Jumlah suku

Lebih terperinci

3. Integral (3) (Integral Tentu)

3. Integral (3) (Integral Tentu) Darublic www.darublic.com. Itegral () (Itegral Tetu).. Luas Sebagai Suatu Itegral. Itegral Tetu Itegral tetu meruaa itegral ag batas-batas itegrasia jelas. Kose dasar dari itegral tertetu adalah luas bidag

Lebih terperinci

ARTIKEL. Menentukan rumus Jumlah Suatu Deret dengan Operator Beda. Markaban Maret 2015 KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN

ARTIKEL. Menentukan rumus Jumlah Suatu Deret dengan Operator Beda. Markaban Maret 2015 KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN ARTIKEL Meetuka rumus Jumlah Suatu Deret dega Operator Beda Markaba 191115198801005 Maret 015 KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN PUSAT PENGEMBANGAN DAN PEMBERDAYAAN PENDIDIK DAN TENAGA KEPENDIDIKAN

Lebih terperinci

III BAB BARISAN DAN DERET. Tujuan Pembelajaran. Pengantar

III BAB BARISAN DAN DERET. Tujuan Pembelajaran. Pengantar BAB III BARISAN DAN DERET Tujua Pembelajara Setelah mempelajari materi bab ii, Ada diharapka dapat:. meetuka suku ke- barisa da jumlah suku deret aritmetika da geometri,. meracag model matematika dari

Lebih terperinci

i adalah indeks penjumlahan, 1 adalah batas bawah, dan n adalah batas atas.

i adalah indeks penjumlahan, 1 adalah batas bawah, dan n adalah batas atas. 4 D E R E T Kosep deret merupaka kosep matematika yag cukup populer da aplikatif khusuya dalam kasus-kasus yag meyagkut perkembaga da pertumbuha suatu gejala tertetu. Apabila perkembaga atau pertumbuha

Lebih terperinci

theresiaveni.wordpress.com NAMA : KELAS :

theresiaveni.wordpress.com NAMA : KELAS : theresiaveiwordpresscom NAMA : KELAS : 1 theresiaveiwordpresscom BARISAN DAN DERET Barisa da deret dapat diguaka utuk memudahka peyelesaia perhituga, misalya buga bak, keaika produksi, da laba/rugi suatu

Lebih terperinci

Perluasan Uji Kruskal Wallis untuk Data Multivariat

Perluasan Uji Kruskal Wallis untuk Data Multivariat Statistia, Vol. No., Mei Perluasa Uji Krusal Wallis utu Data Multivariat TETI SOFIA YANTI Program Studi Statistia, Uiversitas Islam Badug, Jl. Purawarma No. Badug. E-mail: buitet@yahoo.com ABSTAK Adaia

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. A. Latar Belakang. B. Tujuan dan Sasaran. C. Ruang Lingkup

BAB I PENDAHULUAN. A. Latar Belakang. B. Tujuan dan Sasaran. C. Ruang Lingkup BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belaag Kombiatoria mempuyai beberapa aspe, yaitu eumerasi, teori graf, da ofigurasi atau peyusua. Eumerasi membahas peghituga susua berbagai tipe. Sebagai cotoh: (i) meghitug

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI. gamma, fungsi likelihood, dan uji rasio likelihood. Misalkan dilakukan percobaan acak dengan ruang sampel C.

BAB II LANDASAN TEORI. gamma, fungsi likelihood, dan uji rasio likelihood. Misalkan dilakukan percobaan acak dengan ruang sampel C. BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ii aa dibahas teori teori yag meduug metode upper level set sca statistics, atara lai peubah aca, distribusi gamma, fugsi gamma, fugsi lielihood, da uji rasio lielihood.

Lebih terperinci

GRAFIKA

GRAFIKA 6 5 7 3 6 3 3 GRAFIKA 3 6 57 08 0 9 5 9 385 946 5 3 30 0 8 9 5 9 3 85 946 5 ANALISA REAL Utu uliah (pegatar) aalisa real yag dilegapi dega program MATLAB Dr. H.A. Parhusip G R A F I K A Peerbit Tisara

Lebih terperinci

Barisan. Barisan Tak Hingga Kekonvergenan barisan tak hingga Sifat sifat barisan Barisan Monoton. 19/02/2016 Matematika 2 1

Barisan. Barisan Tak Hingga Kekonvergenan barisan tak hingga Sifat sifat barisan Barisan Monoton. 19/02/2016 Matematika 2 1 Barisa Barisa Tak Higga Kekovergea barisa tak higga Sifat sifat barisa Barisa Mooto 9/0/06 Matematika Barisa Tak Higga Secara sederhaa, barisa merupaka susua dari bilaga bilaga yag urutaya berdasarka bilaga

Lebih terperinci

Jurusan Pendidikan Matematika, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Bung Hatta

Jurusan Pendidikan Matematika, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Bung Hatta PENERAPAN MODEL COOPERATIVE LEARNING TIPE THINK PAIR SQUARE UNTUK MENINGKATKAN KEMAMPUAN PEMECAHAN MASALAH MATEMATIKA SISWA KELAS VIII SMP PERTIWI 1 PADANG Cherly Mardelfi 1, Lutfia Almash 2, Yusri Wahyui

Lebih terperinci

BAB V RANDOM VARIATE GENERATOR (PEMBANGKIT RANDOM VARIATE)

BAB V RANDOM VARIATE GENERATOR (PEMBANGKIT RANDOM VARIATE) BAB V RANDOM VARIATE GENERATOR (PEMBANGKIT RANDOM VARIATE) 5.1. Pembagit Radom Variate Disrit Suatu Radom Variate diartia sebagai ilai suatu radom variate yag mempuyai distribusi tertetu. Utu megambil

Lebih terperinci

Peluang Suatu Kejadian, Kaidah Penjumlahan, Peluang Bersyarat, Kaidah Perkalian dan Kaidah Baiyes

Peluang Suatu Kejadian, Kaidah Penjumlahan, Peluang Bersyarat, Kaidah Perkalian dan Kaidah Baiyes eluag uatu Kejadia, Kaidah ejumlaha, eluag ersyarat, Kaidah eralia da Kaidah aiyes.eluag uatu Kejadia Defiisi : eluag suatu ejadia adalah jumlah peluag semua titi otoh dalam. Dega demiia : 0 (), ( ) =

Lebih terperinci

Definisi Integral Tentu

Definisi Integral Tentu Defiisi Itegral Tetu Bila kita megedarai kedaraa bermotor (sepeda motor atau mobil) selama 4 jam dega kecepata 50 km / jam, berapa jarak yag ditempuh? Tetu saja jawabya sagat mudah yaitu 50 x 4 = 200 km.

Lebih terperinci

2 BARISAN BILANGAN REAL

2 BARISAN BILANGAN REAL 2 BARISAN BILANGAN REAL Di sekolah meegah barisa diperkealka sebagai kumpula bilaga yag disusu meurut "pola" tertetu, misalya barisa aritmatika da barisa geometri. Biasaya barisa da deret merupaka satu

Lebih terperinci

Notasi Sigma, Barisan, dan Deret

Notasi Sigma, Barisan, dan Deret I TU URI HANDAY AN TW DIKLAT GURU PENGEMBANG MATEMATIKA SMK JENJANG DASAR TAHUN 009 Notasi Sigma, Barisa, da Deret Matriks GY A Y O M AT E M A T AK A R Puji Iryati, M.Sc.Ed. DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL

Lebih terperinci

DERET TAK HINGGA (INFITITE SERIES)

DERET TAK HINGGA (INFITITE SERIES) MATEMATIKA II DERET TAK HINGGA (INFITITE SERIES) sugegpb.lecture.ub.ac.id aada.lecture.ub.ac.id BARISAN Barisa merupaka kumpula suatu bilaga (atau betuk aljabar) yag disusu sehigga membetuk suku-suku yag

Lebih terperinci

MATEMATIKA BISNIS. OLEH: SRI NURMI LUBIS, S.Si GICI BUSSINESS SCHOOL BATAM

MATEMATIKA BISNIS. OLEH: SRI NURMI LUBIS, S.Si GICI BUSSINESS SCHOOL BATAM MATEMATIKA BISNIS OLEH: SRI NURMI LUBIS, S.Si GICI BUSSINESS SCHOOL BATAM BAB BARISAN DAN DERET A. BARISAN Barisa bilaga adalah susua bilaga yag diurutka meurut atura tertetu.betuk umum barisa bilaga a,

Lebih terperinci

SIFAT ALJABAR BANACH KOMUTATIF DAN ELEMEN IDENTITAS PADA

SIFAT ALJABAR BANACH KOMUTATIF DAN ELEMEN IDENTITAS PADA SIFAT ALJABAR BANACH KOMUTATIF DAN ELEMEN IDENTITAS PADA KELAS D(K) Malahayati Program Studi Matematia Faultas Sais da Teologi UIN Sua Kalijaga Yogyaarta e-mail: malahayati_01@yahoo.co.id ABSTRAK Himpua

Lebih terperinci

BARISAN DAN DERET. 05/12/2016 Matematika Teknik 1 1

BARISAN DAN DERET. 05/12/2016 Matematika Teknik 1 1 BARISAN DAN DERET 05//06 Matematika Tekik BARISAN Barisa Tak Higga Kekovergea barisa tak higga Sifat sifat barisa Barisa Mooto 05//06 Matematika Tekik Barisa Tak Higga Secara sederhaa, barisa merupaka

Lebih terperinci

SOAL-SOAL SPMB 2006 MATEMATIKA DASAR (MAT DAS) 63 n, maka jumlah n suku. D n n 2. f n log3 log 4 log5... log n, maka f 2...

SOAL-SOAL SPMB 2006 MATEMATIKA DASAR (MAT DAS) 63 n, maka jumlah n suku. D n n 2. f n log3 log 4 log5... log n, maka f 2... SOAL-SOAL SPMB 006 MATEMATIKA DASAR (MAT DAS). SPMB, MAT DAS, Regioal I, 006 Tiga bilaga membetuk suatu deret geometri aik. Jika jumlahya 6 da hasikaliya 6, maka rasio deretya adalah A. B. C. D. 4 E. 5.

Lebih terperinci

-1- U n : suku ke-n barisan aritmetika a : suku pertama n : banyak suku b : beda/selisih

-1- U n : suku ke-n barisan aritmetika a : suku pertama n : banyak suku b : beda/selisih -- BARISAN DAN DERET PENGERTIAN BARISAN DAN DERET Bisa yaitu susua bilaga yag didapatka di pemetaa bilaga asli yag dihubugka dega tada,. Jika pada bisa tada, digati dega tada, maka disebut deret. Bisa

Lebih terperinci

MATEMATIKA EKONOMI 1 Deret. DOSEN Fitri Yulianti, SP, MSi.

MATEMATIKA EKONOMI 1 Deret. DOSEN Fitri Yulianti, SP, MSi. MATEMATIKA EKONOMI 1 Deret DOSEN Fitri Yuliati, SP, MSi. Deret Deret ialah ragkaia bilaga yag tersusu secara teratur da memeuhi kaidah-kaidah tertetu. Bilaga-bilaga yag merupaka usur da pembetuk sebuah

Lebih terperinci

[RUMUS CEPAT MATEMATIKA] http://meetabied.wordpress.com

[RUMUS CEPAT MATEMATIKA] http://meetabied.wordpress.com http://meetabied.wordpress.com SMAN Boe-Boe, Luwu Utara, Sul-Sel Setiap pria da waita sukses adalah pemimpipemimpi besar. Mereka berimajiasi tetag masa depa mereka, berbuat sebaik mugki dalam setiap hal,

Lebih terperinci

Bab 5 Sinyal dan Sistem Waktu Diskrit. Oleh: Tri Budi Santoso Laboratorium Sinyal, EEPIS-ITS

Bab 5 Sinyal dan Sistem Waktu Diskrit. Oleh: Tri Budi Santoso Laboratorium Sinyal, EEPIS-ITS Bab 5 Siyal da Sistem Watu Disrit Oleh: Tri Budi Satoso Laboratorium Siyal, EEPIS-ITS Materi: Represetasi matemati pada siyal watu disrit, domai watu da freuesi pada suatu siyal watu disrit, trasformasi

Lebih terperinci

PERBANDINGAN PENDEKATAN SEPARABLE PROGRAMMING DENGAN THE KUHN-TUCKER CONDITIONS DALAM PEMECAHAN MASALAH NONLINEAR

PERBANDINGAN PENDEKATAN SEPARABLE PROGRAMMING DENGAN THE KUHN-TUCKER CONDITIONS DALAM PEMECAHAN MASALAH NONLINEAR Jural Tei da Ilmu Komputer PERBANDINGAN PENDEKATAN SEPARABLE PROGRAMMING DENGAN THE KUHN-TUCKER CONDITIONS DALAM PEMECAHAN MASALAH NONLINEAR Budi Marpaug Faultas Tei da Ilmu Komputer Jurusa Tei Idustri

Lebih terperinci

BAB III HITUNG KEUANGAN

BAB III HITUNG KEUANGAN BAB III HITUNG KEUANGAN A. BUNGA TUNGGAL. ENGERTIAN BUNGA TUNGGAL Utu memahami pegertia buga, coba ita lihat cotoh beriut : Cotoh :. Tofa memijam modal pada sebuah Ba sebesar Rp.000.000,00. Setelah satu

Lebih terperinci

Kompetisi Statistika Tingkat SMA

Kompetisi Statistika Tingkat SMA . Arya da Bombom melakuka tos koikoi yag seimbag yag mempuyai sisi, agka da gambar Arya melakuka tos terhadap 6 koi, sedagka Bombom melakuka tos terhadap koi, maka peluag Arya medapatka hasil tos muka

Lebih terperinci

BAB III METODE PENELITIAN. Jenis penelitian ini adalah penelitian pengembangan (research and

BAB III METODE PENELITIAN. Jenis penelitian ini adalah penelitian pengembangan (research and BAB III METODE PENELITIAN A. Jeis Peelitia Jeis peelitia ii adalah peelitia pegembaga (research ad developmet), yaitu suatu proses peelitia utuk megembagka suatu produk. Produk yag dikembagka dalam peelitia

Lebih terperinci

PEMBEKALAN OSN-2011 SMP STELA DUCE I YOGYAKARTA MATA PELAJARAN: MATEMATIKA Pemateri: Murdanu

PEMBEKALAN OSN-2011 SMP STELA DUCE I YOGYAKARTA MATA PELAJARAN: MATEMATIKA Pemateri: Murdanu Pemateri: Murdau 1 BAGIAN A 1. Carilah dua bilaga yag hasilkali da jumlahya berilai sama!. Carilah dua bilaga yag perbadiga da selisihya berilai sama! 3. Diketahui: ab = 84, bc = 76, ac = 161. Berapakah

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. Secara umum apabila a bilangan bulat dan b bilangan bulat positif, maka ada tepat = +, 0 <

II. TINJAUAN PUSTAKA. Secara umum apabila a bilangan bulat dan b bilangan bulat positif, maka ada tepat = +, 0 < II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Keterbagia Secara umum apabila a bilaga bulat da b bilaga bulat positif, maka ada tepat satu bilaga bulat q da r sedemikia sehigga : = +, 0 < dalam hal ii b disebut hasil bagi

Lebih terperinci

MODUL MATEMATIKA. Barisan dan Deret UNIVERSITAS NEGERI MANADO

MODUL MATEMATIKA. Barisan dan Deret UNIVERSITAS NEGERI MANADO MODUL MATEMATIKA Barisa da Deret UNIVERSITAS NEGERI MANADO FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA 2007 KATA PENGANTAR Halo...!!! selamat jumpa dalam Modul Matematika SMA. Dalam

Lebih terperinci

PERTEMUAN 13. VEKTOR dalam R 3

PERTEMUAN 13. VEKTOR dalam R 3 PERTEMUAN VEKTOR dalam R Pegertia Ruag Vektor Defiisi R Jika adalah sebuah bilaga bulat positif, maka tupel - - terorde (ordered--tuple) adalah sebuah uruta bilaga riil ( a ),a,..., a. Semua tupel - -terorde

Lebih terperinci

BAB 12 BARISAN DAN DERET

BAB 12 BARISAN DAN DERET BAB 1 BARISAN DAN DERET TIPE 1: Jika dari barisa aritmetika diketahui suku ke-m adalah um u b. m Cotoh: Diketahui barisa aritmetika, suku ke-5 adalah 4 da suku ke-8 adalah 6. Tetuka beda barisa aritmetika

Lebih terperinci

PENJADWALAN JOBS PADA SINGLE MACHINE DENGAN MEMINIMUMKAN VARIANS WAKTU PENYELESAIAN JOBS (Studi Kasus di P.T. XYZ )

PENJADWALAN JOBS PADA SINGLE MACHINE DENGAN MEMINIMUMKAN VARIANS WAKTU PENYELESAIAN JOBS (Studi Kasus di P.T. XYZ ) (Fey Nilawati Kusuma et al.) PENJADWALAN JOBS PADA SINGLE MACHINE DENGAN MEMINIMUMKAN VARIANS WAKTU PENYELESAIAN JOBS (Studi Kasus di P.T. XYZ ) I Gede Agus Widyadaa I Nyoma Sutapa Dose Faultas Teologi

Lebih terperinci

Sumber: Art & Gallery. 6. Menerapkan konsep barisan dan deret dalam pemecahan masalah

Sumber: Art & Gallery. 6. Menerapkan konsep barisan dan deret dalam pemecahan masalah Sumber: Art & Gallery Stadar Kompetesi 6. Meerapka kosep barisa da deret dalam pemecaha masalah Kompetesi Dasar 6. Megidetifikasi pola, barisa, da deret bilaga 6. Meerapka kosep barisa da deret aritmatika

Lebih terperinci

METODE PENELITIAN. Ajaran dengan jumlah siswa 40 orang yang terdiri dari 19 siswa lakilaki

METODE PENELITIAN. Ajaran dengan jumlah siswa 40 orang yang terdiri dari 19 siswa lakilaki 18 III. METODE PENELITIAN A. Subyek da Tempat Peelitia Subjek peelitia adalah siswa kelas X2 SMA Budaya Badar Lampug Tahu Ajara 2010-2011 dega jumlah siswa 40 orag yag terdiri dari 19 siswa lakilaki da

Lebih terperinci

Model Antrian Multi Layanan

Model Antrian Multi Layanan Jural Gradie Vol. No. Juli : 8- Model Atria Multi Layaa Sisa Yosmar Jurusa Matematia, Faultas Matematia da Ilmu egetahua Alam, Uiversitas Begulu, Idoesia Diterima 9 April; Disetujui 8 Jui Abstra - Salah

Lebih terperinci

1) Leptokurtik Merupakan distribusi yang memiliki puncak relatif tinggi

1) Leptokurtik Merupakan distribusi yang memiliki puncak relatif tinggi Statisti Desriptif Keruciga atau Kurtosis Pegertia Kurtosis Peguura urtosis (peruciga) sebuah distribusi teoritis adaalaya diamaam peguura eses (excess) dari sebuah distribusi Sebearya urtosis bisa diaggap

Lebih terperinci

Modul Kuliah statistika

Modul Kuliah statistika Modul Kuliah statistika Dose: Abdul Jamil, S.Kom., MM SEKOLAH TINGGI MANAJEMEN INFORMATIKA DAN KOMPUTER MUHAMMADIYAH JAKARTA Bab 2 Populasi da Sampel 2.1 Populasi Populasi merupaka keseluruha pegamata

Lebih terperinci

BARISAN FIBONACCI DAN BILANGAN PHI

BARISAN FIBONACCI DAN BILANGAN PHI BARISAN FIBONACCI DAN BILANGAN PHI Fiboacci Matematikawa terbesar pada abad pertegaha adalah Leoardo dari Pisa, Italia (80 0). Ia lebih dikeal dega ama Fibo-acci. Artiya, aak Boaccio. Meara Pisa yag terkeal

Lebih terperinci

TEOREMA KEKONVERGENAN FUNGSI TERINTEGRAL HENSTOCK- KURZWEIL SERENTAK DAN FUNGSI BERSIFAT LOCALLY SMALL RIEMANN SUMS (LSRS) DARI RUANG EUCLIDE

TEOREMA KEKONVERGENAN FUNGSI TERINTEGRAL HENSTOCK- KURZWEIL SERENTAK DAN FUNGSI BERSIFAT LOCALLY SMALL RIEMANN SUMS (LSRS) DARI RUANG EUCLIDE Teorema Keovergea Fugsi Teritegral Hestoc(Aiswita) TORMA KKONVRGNAN FUNGSI TRINTGRAL HNSTOCK- KURZWIL SRNTAK DAN FUNGSI BRSIFAT LOCALLY SMALL RIMANN SUMS (LSRS) DARI RUANG UCLID K RUANG BARISAN Aiswita,

Lebih terperinci

Deret Fourier. Modul 1 PENDAHULUAN

Deret Fourier. Modul 1 PENDAHULUAN Modul Deret Fourier Prof. Dr. Bambag Soedijoo P PENDAHULUAN ada modul ii dibahas masalah ekspasi deret Fourier Sius osius utuk suatu fugsi periodik ataupu yag diaggap periodik, da dibahas pula trasformasi

Lebih terperinci

JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No. 2, 77-85, Agustus 2003, ISSN : DISTRIBUSI WAKTU BERHENTI PADA PROSES PEMBAHARUAN

JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No. 2, 77-85, Agustus 2003, ISSN : DISTRIBUSI WAKTU BERHENTI PADA PROSES PEMBAHARUAN JURAL MATEMATKA DA KOMPUTER Vol. 6. o., 77-85, Agustus 003, SS : 40-858 DSTRBUS WAKTU BERHET PADA PROSES PEMBAHARUA Sudaro Jurusa Matematika FMPA UDP Abstrak Dalam proses stokhastik yag maa kejadia dapat

Lebih terperinci

Barisan, Deret, dan Notasi Sigma

Barisan, Deret, dan Notasi Sigma Barisa, Deret, da Notasi Sigma B A B 5 A. Barisa da Deret Aritmetika B. Barisa da Deret Geometri C. Notasi Sigma da Iduksi Matematika D. Aplikasi Barisa da Deret Sumber: http://jsa007.tripod.com Saat megedarai

Lebih terperinci

BAB 4 LIMIT FUNGSI Standar Kompetensi Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah

BAB 4 LIMIT FUNGSI Standar Kompetensi Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah BAB LIMIT FUNGSI Stadar Kompetesi Megguaka kosep it ugsi da turua ugsi dalam pemecaha masalah Kompetesi Dasar. Meghitug it ugsi aljabar sederhaa di suatu titik. Megguaka siat it ugsi utuk meghitug betuk

Lebih terperinci

Soal dan Pembahasan. Ujian Nasional Matematika Teknik SMK matematikamenyenangkan.com

Soal dan Pembahasan. Ujian Nasional Matematika Teknik SMK matematikamenyenangkan.com Soal da Pembahasa jia Nasioal 06 Matematika Tekik SMK matematikameyeagka.com . pqr Betuk sederhaa dari p q r A. p 8 q r adalah... B. p q 0 r 0 D. p q 0 r 0 C. p 8 q r 0 E. p 6 q r Igat rumus berikut m

Lebih terperinci

: XII (Dua Belas) Semua Program Studi. : Gisoesilo Abudi, S.Pd

: XII (Dua Belas) Semua Program Studi. : Gisoesilo Abudi, S.Pd R e f r e s h Program Diklat K e l a s M a t e r i Pegajar : M A T E M A T I K A : XII (Dua Belas) Semua Program Studi : S t a t i s t i k a : Gisoesilo Abudi, S.Pd Kajia Materi Peyampaia Data Diagram

Lebih terperinci

PRINSIP MAKSIMUM DAN MINIMUM FUNGSI PANHARMONIK

PRINSIP MAKSIMUM DAN MINIMUM FUNGSI PANHARMONIK PRINSIP MAKSIMUM DAN MINIMUM FUNGSI PANHARMONIK Oleh, Edag Cahya M.A. Jrsa Pedidia Matematia FPMIPA UPI Badg Jl. Dr. Setiabdi 9 Badg E-mail ecma@ds.math.itb.ac.id Abstra Tlisa ii mejelasa prisip masimm

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. Matematika merupakan suatu ilmu yang mempunyai obyek kajian

BAB I PENDAHULUAN. Matematika merupakan suatu ilmu yang mempunyai obyek kajian BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakag Masalah Matematika merupaka suatu ilmu yag mempuyai obyek kajia abstrak, uiversal, medasari perkembaga tekologi moder, da mempuyai pera petig dalam berbagai disipli,

Lebih terperinci

B a b 1 I s y a r a t

B a b 1 I s y a r a t 34 TKE 315 ISYARAT DAN SISTEM B a b 1 I s y a r a t (bagia 3) Idah Susilawati, S.T., M.Eg. Program Studi Tekik Elektro Fakultas Tekik da Ilmu Komputer Uiversitas Mercu Buaa Yogyakarta 29 35 1.5.2. Isyarat

Lebih terperinci

Bab 3 Metode Interpolasi

Bab 3 Metode Interpolasi Baha Kuliah 03 Bab 3 Metode Iterpolasi Pedahulua Iterpolasi serig diartika sebagai mecari ilai variabel tergatug tertetu, misalya y, pada ilai variabel bebas, misalya, diatara dua atau lebih ilai yag diketahui

Lebih terperinci

PELUANG. Drs. Marsudi Raharjo, M.Sc.Ed JENJANG LANJUT

PELUANG. Drs. Marsudi Raharjo, M.Sc.Ed JENJANG LANJUT DIKLAT INSTRUKTUR PENGEMBANG MATEMATIKA SMA JENJANG LANJUT PELUANG JENJANG LANJUT Drs Marsudi Raharjo, MScEd DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT JENDERAL PENINGKATAN MUTU PENDIDIK DAN TENAGA KEPENDIDIKAN

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI. lebar pita sinyal tersebut. Pada kebanyakan aplikasi, termasuk kamera digital video dan

BAB 2 LANDASAN TEORI. lebar pita sinyal tersebut. Pada kebanyakan aplikasi, termasuk kamera digital video dan BAB LADASA TEORI Teorema Shao-yquist meyataa agar tida ada iformasi yag hilag etia pecuplia siyal, maa ecepata pecuplia harus miimal dua ali dari lebar pita siyal tersebut. Pada ebayaa apliasi, termasu

Lebih terperinci

b. Penyajian data kelompok Contoh: Berat badan 30 orang siswa tercatat sebagai berikut:

b. Penyajian data kelompok Contoh: Berat badan 30 orang siswa tercatat sebagai berikut: Statistik da Peluag A. Statistik Statistik adalah metode ilmiah yag mempelajari cara pegumpula, peyusua, pegolaha, da aalisis data, serta cara pegambila kesimpula berdasarka data-data tersebut. Data ialah

Lebih terperinci

PREDIKSI SOAL ULANGAN AKHIR SEMESTER GENAP KELAS IX SMP NEGERI 196 JAKARTA. Jawab : Nilai dari. Jawab :.3.3 = 27

PREDIKSI SOAL ULANGAN AKHIR SEMESTER GENAP KELAS IX SMP NEGERI 196 JAKARTA. Jawab : Nilai dari. Jawab :.3.3 = 27 PREDIKSI SOAL ULANGAN AKHIR SEMESTER GENAP KELAS IX SMP NEGERI 9 JAKARTA No. Idikator Soal Prediksi Soal Peserta didik dapat meyataka betuk pecaha aljabar yag pembilag da peyebutya berpagkat egatif mejadi

Lebih terperinci

Metode Perhitungan Grafik Dalam Geolistrik Tahanan Jenis Bumi Dengan Derajat Pendekatan Satu

Metode Perhitungan Grafik Dalam Geolistrik Tahanan Jenis Bumi Dengan Derajat Pendekatan Satu Metode Perhituga Grafi.. P. Maurug Metode Perhituga Grafi Dalam Geolistri Tahaa Jeis Bumi Dega Derajat Pedeata Satu Posma Maurug Jurusa Fisia, FMIPA Uiversitas Lampug Jl. S. Brojoegoro No. Badar Lampug

Lebih terperinci

IV. METODE PENELITIAN

IV. METODE PENELITIAN IV. METODE PENELITIAN 4.1 Lokasi da Waktu peelitia Peelitia dilakuka pada budidaya jamur tiram putih yag dimiliki oleh usaha Yayasa Paguyuba Ikhlas yag berada di Jl. Thamri No 1 Desa Cibeig, Kecamata Pamijaha,

Lebih terperinci

Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom. Barisan dan Deret

Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom. Barisan dan Deret Program Perkuliaha Dasar Umum Sekolah Tiggi Tekologi Telkom Barisa da Deret Barisa Defiisi Barisa bilaga didefiisika sebagai fugsi dega daerah asal merupaka bilaga asli. Notasi: f: N R f( ) a Fugsi tersebut

Lebih terperinci

Hendra Gunawan. 12 Februari 2014

Hendra Gunawan. 12 Februari 2014 MA1201 MATEMATIKA 2A Hedra Guawa Semester II, 2013/2014 12 Februari 2014 Bab Sebelumya 8. Betuk Tak Tetu da Itegral Tak Wajar 8.1 Betuk Tak Tetu 0/0 82 8.2 Betuk Tak Tetu Laiya 8.3 Itegral Tak Wajar dg

Lebih terperinci

BAB III METODE PENELITIAN. Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui ada tidaknya peningkatan

BAB III METODE PENELITIAN. Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui ada tidaknya peningkatan BAB III METODE PENELITIAN A. Desai Peelitia Peelitia ii bertujua utu megetahui ada tidaya peigata emampua siswa dalam pealara setelah megguaa model pembelajara berbasis masalah terstrutur dalam pembelajara

Lebih terperinci

Pendugaan Selang: Metode Pivotal Langkah-langkahnya 1. Andaikan X1, X

Pendugaan Selang: Metode Pivotal Langkah-langkahnya 1. Andaikan X1, X Pedugaa Selag: Metode Pivotal Lagkah-lagkahya 1. Adaika X1, X,..., X adalah cotoh acak dari populasi dega fugsi kepekata f( x; ), da parameter yag tidak diketahui ilaiya. Adaika T adalah peduga titik bagi..

Lebih terperinci

Galat dan Perambatannya

Galat dan Perambatannya Modul 1 Galat da Perambataya Prof. Dr. Bambag Soedijoo P PENDHULUN ada Modul 1 ii dibahas masalah galat atau derajat kesalaha da perambataya, dega demikia para peggua modul ii diharapka telah memahami

Lebih terperinci

Bab 6: Analisa Spektrum

Bab 6: Analisa Spektrum BAB Aalisa Spetrum Bab : Aalisa Spetrum Aalisa Spetrum Dega DFT Tujua Belajar Peserta dapat meghubuga DFT dega spetrum dari sial hasil samplig sial watu otiue. -poit DFT dari sial x adalah Xω ag diealuasi

Lebih terperinci

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN 47 49 RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN Nama Sekolah Program keahlia Mata Pelajara : SMK PGRI Salatiga : Akutasi : Matematika Kelas/ Semester : XI/ 3 Materi Pokok Alokasi Waktu : Barisa da Deret : 4 x 4

Lebih terperinci

ARITMATIKA MODUL PEMBINAAN OLEH TIM PEMBINA OLIMPIADE KOMPUTER ILMU KOMPUTER UDAYANA (DISAJIKAN UNTUK PESERTA PEMBINAAN BIDANG KOMPUTER OSN 2009)

ARITMATIKA MODUL PEMBINAAN OLEH TIM PEMBINA OLIMPIADE KOMPUTER ILMU KOMPUTER UDAYANA (DISAJIKAN UNTUK PESERTA PEMBINAAN BIDANG KOMPUTER OSN 2009) ARITATIKA ODUL PEBINAAN OLEH TI PEBINA OLIPIADE KOPUTER ILU KOPUTER UDAYANA (DISAJIKAN UNTUK PESERTA PEBINAAN BIDANG KOPUTER OSN 009) PEERINTAH DAERAH PROPINSI BALI DINAS PENDIDIKAN PEUDA DAN OLAHRAGA

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA. membahas distribusi normal dan distribusi normal baku, penaksir takbias μ dan σ,

BAB II TINJAUAN PUSTAKA. membahas distribusi normal dan distribusi normal baku, penaksir takbias μ dan σ, BAB II TINJAUAN PUSTAKA.1 Pedahulua Dalam peulisa materi poo dari sripsi ii diperlua beberapa teori-teori yag meduug, yag mejadi uraia poo pada bab ii. Uraia dimulai dega membahas distribusi ormal da distribusi

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI BAB LANDASAN TEORI.1 Risio Operasioal.1.1 Defiisi Dewasa ii risio operasioal semai diaui sebagai salah satu fator uci yag perlu dielola da dicermati oleh para pelau usaha, hususya di bidag jasa euaga.

Lebih terperinci

BAB V ANALISA PEMECAHAN MASALAH

BAB V ANALISA PEMECAHAN MASALAH 89 BAB V ANALISA PEMECAHAN MASALAH Dalam upaya mearik kesimpula da megambil keputusa, diperluka asumsi-asumsi da perkiraa-perkiraa. Secara umum hipotesis statistik merupaka peryataa megeai distribusi probabilitas

Lebih terperinci

BAB III METODE PENELITIAN. penelitian yaitu PT. Sinar Gorontalo Berlian Motor, Jl. H. B Yassin no 28

BAB III METODE PENELITIAN. penelitian yaitu PT. Sinar Gorontalo Berlian Motor, Jl. H. B Yassin no 28 5 BAB III METODE PENELITIAN 3.1 Lokasi Peelitia da Waktu Peelitia Sehubuga dega peelitia ii, lokasi yag dijadika tempat peelitia yaitu PT. Siar Gorotalo Berlia Motor, Jl. H. B Yassi o 8 Kota Gorotalo.

Lebih terperinci

Fungsi Kompleks. (Pertemuan XXVII - XXX) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya

Fungsi Kompleks. (Pertemuan XXVII - XXX) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya TKS 4007 Matematika III Fugsi Kompleks (Pertemua XXVII - XXX) Dr. AZ Jurusa Tekik Sipil Fakultas Tekik Uiversitas Brawijaya Pedahulua Persamaa x + 1 = 0 tidak memiliki akar dalam himpua bilaga real. Pertayaaya,

Lebih terperinci

BAB V. INTEGRAL. Lambang anti-turunan (integral tak-tentu) oleh Leibniz adalah... dx, sehingga

BAB V. INTEGRAL. Lambang anti-turunan (integral tak-tentu) oleh Leibniz adalah... dx, sehingga BAB V. INTEGRAL 5.. Ati Turua (Itegral Tak-tetu) Defiisi: F suatu ati-turua f pada selag I jika da haya jika D F() = f() pada I, yaki F () = f() utuk semua dalam I. (Jika suatu titik ujug I, F () haya

Lebih terperinci

Penerapan Algoritma Dijkstra dalam Pemilihan Trayek Bus Transjakarta

Penerapan Algoritma Dijkstra dalam Pemilihan Trayek Bus Transjakarta Peerapa Algoritma Dijstra dalam Pemiliha Traye Bus Trasjaarta Muhammad Yafi 504 Program Studi Tei Iformatia Seolah Tei Eletro da Iformatia Istitut Teologi Badug, Jl. Gaesha 0 Badug 40, Idoesia 504@std.stei.itb.ac.id

Lebih terperinci

Bab. Pola Bilangan, Barisan, dan Deret. A. Pola Bilangan B. Barisan Bilangan C. Deret Bilangan

Bab. Pola Bilangan, Barisan, dan Deret. A. Pola Bilangan B. Barisan Bilangan C. Deret Bilangan Bab Sumber: www.medeciepharmacie.uiv-fcomte.fr Pola Bilaga, Barisa, da Deret Pola bilaga, barisa, da deret merupaka materi baru yag aka kamu pelajari pada bab ii. Terdapat beberapa masalah yag peyelesaiaya

Lebih terperinci

BAB II CICILAN DAN BUNGA MAJEMUK

BAB II CICILAN DAN BUNGA MAJEMUK BAB II CICILAN DAN BUNGA MAJEMUK 2.1. Buga Majemuk Ada sedikit perbedaa atara suku buga tuggal da suku buga majemuk. Pada suku buga tuggal, besarya buga B = Mp tidak perah digabugka dega modal M. Sebalikya

Lebih terperinci

SMA NEGERI 5 BEKASI UJIAN SEKOLAH

SMA NEGERI 5 BEKASI UJIAN SEKOLAH PEMERINTAH KOTA BEKASI DINAS PENDIDIKAN SMA NEGERI BEKASI Jl. Gamprit Jatiwarigi Asri Podok Gede -88 UJIAN SEKOLAH TAHUN PELAJARAN / L E M B A R S O A L Mata Pelajara : Matematika Kelas/Program : IPA Hari/Taggal

Lebih terperinci

Gerak Brown Fraksional dan Sifat-sifatnya

Gerak Brown Fraksional dan Sifat-sifatnya SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 06 S - 3 Gera Brow Frasioal da Sifat-sifatya Chataria Ey Murwaigtyas, Sri Haryatmi, Guardi 3, Herry P Suryawa 4,,3 Uiversitas Gadjah Mada,4 Uiversitas

Lebih terperinci

x = 16 Jadi, banyak pekerja yang harus ditambahkan = = 4 orang.

x = 16 Jadi, banyak pekerja yang harus ditambahkan = = 4 orang. SOAL N MATEMATIKA SMK KELOMPOK PARIWISATA, SENI DAN KERAJINAN, TEKNOLOGI KERMAHTANGGAAN, PEKERJAAN SOSIAL, DAN ADMINISTRASI PERKANTORAN PAKET KC-F TAHN PELAJARAN /. Ekstrakurikuler pramuka suatu SMK aka

Lebih terperinci

LIMIT. = δ. A R, jika dan hanya jika ada barisan. , sedemikian hingga Lim( a n

LIMIT. = δ. A R, jika dan hanya jika ada barisan. , sedemikian hingga Lim( a n LIMIT 4.. FUNGSI LIMIT Defiisi 4.. A R Titik c R adalah titik limit dari A, jika utuk setiap δ > 0 ada palig sedikit satu titik di A, c sedemikia sehigga c < δ. Defiisi diatas dapat disimpulka dega cara

Lebih terperinci