BAHAN AJAR DIKLAT GURU MATEMATIKA

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "BAHAN AJAR DIKLAT GURU MATEMATIKA"

Transkripsi

1 BAHAN AJAR DIKLAT GURU MATEMATIKA DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH DIREKTORAT PENDIDIKAN MENENGAH KEJURUAN 005

2 DAFTAR ISI Kata Pegatar.. i Daftar Isi... ii Kompetesi... iii Apersepsi... iv Seario Pembelajara... v Bab I Pedahulua... A. Latar Belaag B. Tujua C. Ruag Ligup Bab II Notasi Sigma, Barisa da Deret 3 A. Notasi Sigma 3 B. Barisa da Deret Bilaga 8 C. Barisa da Deret Aritmetia 5 D. Barisa da Deret Geometri Bab III Kesimpula Peutup 8 Daftar Pustaa Lampira Kuci Jawaba 3 ii

3 Peta Kompetesi. Kompetesi: Megembaga etrampila siswa dalam merumusa model da meerapa otasi sigma, barisa da deret dalam pemecaha suatu masalah.. Idiator : - Petatar mampu mejelasa otasi sigma, memberia cotohya da megembagaya dalam ehidupa yata sehari-hari. - Petatar mampu mejelasa barisa da deret, memberia cotohya da megembagaya dalam ehidupa yata sehari-hari. - Petatar mampu mejelasa deret geometri, memberia cotohya da megembagaya dalam ehidupa yata sehari-hari 3. Materi : - Notasi Sigma - Barisa da Deret Aritmetia - Barisa da Deret Geometri iii

4 Apersepsi - Bilaga Asli - Bilaga Geap - Bilaga Gajil - Betu Pagat iv

5 Seario Pembelajara Salah satu seario pembelajara yag dapat dilaua: 0 meit 5 meit 3 45 meit Pedahulua Apersepsi Peyampaia Materi Tujua Ruag Ligup Bilaga Asli Bilaga Geap Bilaga Gajil Bab II 0 meit 45 meit Peutup Disusi Kesimpula Soal latiha v

6 BAGIAN I Pedahulua A. Latar Belaag Pegguaa otasi sigma sebagai peyederhaaa betu pejumlaha yag pajag sagat meghemat watu da teaga. Sebagai dasar utu peulisa deret maa pegguaa otasi sigma beserta sifat-sifatya mejadi sagat petig utu dipelajari. Barisa da deret yag disajia meliputi pegertia tetag barisa da deret, barisa da deret aritmetia serta barisa da deret geometri. Perhituga buga ba, peyusuta ilai barag, merupaa salah satu cotoh peerapa dari barisa da deret dalam bidag eoomi. Tida etiggala pula dibahas tetag osep awal otasi sigma, barisa da deret utu megigata embali bahwa matematia berembag dari hal-hal sederhaa yag emudia berlajut e hal-hal yag lebih omples. B. Tujua Baha ajar ii disusu dega tujua utu megigata embali guru tetag materi dasar dalam pembelajara Notasi Sigma, Barisa da Deret Bilaga. Baha ajar ii merupaa baha acua dalam dilat berjejag tigat dasar utu guru-guru SMK NON TEKNIK.

7 C. Ruag Ligup Ruag ligup materi yag dibahas dalam baha ajar ii adalah:. Notasi Sigma da sifat!sifatya. a. Kosep Notasi Sigma b. Sifat!sifat Notasi Sigma. Barisa da Deret a. Pegertia Barisa da Deret b. Barisa da Deret Aritmetia c. Barisa da Deret Geometri

8 BAGIAN II Notasi Sigma, Barisa da Deret A. Notasi Sigma. Kosep Notasi Sigma Perhatia jumlah 6 bilaga gajil pertama beriut, () Pada betu () disebut suu pertama, 3 disebut suu e-, 5 disebut suu e-3 da seterusya. Perhatia juga suu-suu betu () tersebut membetu pola. Suu e-. Suu e- 3. Suu e Suu e Suu e Suu e Secara umum suu e- pada () dapat diyataa dalam betu dega 0 {,, 3, 4, 5, 6 } Cara utu meulisa secara sigat betu jumlaha () adalah dega tada Σ (dibaca sigma ) yag disebut dega otasi sigma. Notasi sigma berasal dari huruf Yuai utu abjad S dari perataa sum yag berarti jumlah. Notasi ii dipereala pertama ali oleh 3

9 Leohard Euler pada tahu 755 dalam buu Istitutioes Calculi Differetialis. Dega otasi sigma betu jumlaha () dapat ditulis : suu 6 ( ) 6 Betu ( ) dibaca sigma sampai 6 dari atau jumlah utu sampai 6. Pada otasi sigma di atas da 6 masig-masig disebut batas bawah da batas atas, lambag diamaa ides (ada pula yag meyebut sebagai variable). Sebarag huruf ecil dapat diguaa sebagai ides. Secara umum a a a a a3... a Cotoh : ( ) ( ) ( ) ( 3 ) 4 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )... ( )

10 Latiha. Nyataa dega megguaa otasi sigma! a b c d e f g. ( 3) (3 4) (4 5) (5 6) (6 7) h. a a a3 a 4... a i. ab a b a 3 b 3 a 4 b 4 a b j. a a b a 3 b a 4 b 3 a 0 b 9. Nyataa otasi sigma beriut e dalam betu legap 5 a. ( ) 6 c. ( ) i ai i 5 r(r ) b. ( 3 ) d. r 3. Sebuah tumpua pipa disusu membetu segitiga sama sisi dega buah pipa pada tiap sisiya. Nyataa bayaya pipa dalam otasi sigma jia terdiri atas tumpua. 5

11 6. Sifat-sifat Notasi Sigma Beriut ii adalah beberapa sifat otasi sigma. a. i j i a j a b. c c, c ostata. c. a c.a c, c ostata. d. b a ) b a ( e. m m a a a dega < m < f. p p m i p i m i i x a Cotoh soal:. Butia dega megguaa sifat-sifat otasi sigma. c x b x a c) bx (ax x x x Jawab: x x x x c bx ax c) bx ax ( c x b x a x x

12 0. Nyataa 8 dalam otasi sigma dega sebagai batas bawah. Jawab: Dega megguaa sifat i m p a x diperoleh: i i m p i p ( ( 7)) ( 7) ( ( 7)) 8 3 Latiha. Butia sifat-sifat otasi sigma di atas!. Butia bahwa ( ) Betu ruas aa pada soal omor di atas disebut Jumlah Moomial 3. Nyataa otasi sigma beriut e dalam betu jumlah moomial j a. ( 4a 3b ) c. ( ) (j 0 j b. ( 3 4) d. ( ) 3 j) 4. Ubahlah otasi sigma beriut dega bilaga sebagai batas bawah. 5 a. 5 5 a b c. a b a 5 0 b. ( p ) p 0 30 d. (3 ) 8 7

13 B. Barisa da Deret Bilaga. Pegertia Barisa Perhatia gambar da uruta bilaga di bawah, Baya ligara pada pola di bawah., 3, 6, 0, 5,. () Uruta bilaga pada olom e-3 aleder.,, 9, 6, 3, 30. (3) Baya bujursagar satua pada uruta gambar beriut., 4, 9, 6, 5,.. (4) Uruta bilaga-bilaga pada (), (3) da (4) masig-masig mempuyai atura tertetu. Uruta bilaga yag mempuyai atura tertetu disebut barisa bilaga. Setiap bilaga pembetu barisa disebut suu barisa. Dalam barisa secara umum suu pertama diyataa dega U, suu e- diyataa dega U, suu e-3 diyataa dega U 3 da seterusya sehigga suu e- diyataa 8

14 dega U. Sebagai cotoh pada barisa (), U, U 3, U 3 6, U 4 0, da seterusya. Barisa biasaya didefiisia sebagai suatu fugsi yag mempuyai domai (daerah asal) bilaga asli. Pada barisa (), fugsi utu meyataa suu e- barisa tersebut adalah ( ) U dega {,, 3, 4, 5, }. Pedefiisia seperti ii diamaa dega defiisi esplisit. Cara lai utu medefiisia barisa bilaga adalah dega defiisi reursif. Cotoh: diberia barisa bilaga dega defiisi reursif sebagai beriut, U 3 U U -, > Suu-suu beriutya dapat dicari dega cara : U.U.3 7 U 3.U.7 5 U 4.U da seterusya. Sebuah defiisi reursif memuat dua bagia, pertama adalah odisi awal utu memulai barisa da yag edua adalah sebuah persamaa reursif (rumus reursif) utu meetua hubuga atara setiap suu barisa dega suu beriutya. Defiisi reursif ii baya dipaai dalam apliasi-apliasi omputer. 9

15 . Meetua Rumus Suu e- Suatu Barisa Jia suatu barisa diberia beberapa suu pertama, adag-adag bisa ditetua rumus utu suu e-. Cotoh : Tetua rumus suu e- barisa beriut a., 3, 5, 7, b. 3, 9, 7, 8, Jawab : a. U. b. U 3 3 U 3. U 9 3 U U U U U... U 3 Perlu diperhatia juga bahwa jawaba rumus suu e- tida selalu tuggal, sebagai cotoh barisa beriut., 4, 8, Terlihat seilas bahwa rumus suu e- barisa di atas adalah U. Aa tetapi teryata rumus U, juga sesuai utu barisa diatas. Tida semua barisa dapat ditetua rumus utu suu e-. Sebagai cotoh adalah barisa bilaga prima. Bilaga prima e 00 0

16 bisa dicari, tetapi tida ada rumus umum utu meghasila bilaga prima e-. Latiha 3. Carilah 4 suu pertama da suu e sepuluh dari barisa bilaga dega rumus umum beriut. a. U 3 d. U b. U ( ) e. ( ) U c. U ( )( )( 3). Utu setiap barisa bilaga beriut tetua rumus utu suu e. a., 4, 6, 8, 0, b.,, 3, 4, 5, c.,, 4, 7, 0, 3 4 x x x d. x,,,, e. 5, 5, 5, 5, f.,, 4, 8, 6, g. 4,,,,,... h., 4, 8, 6, i., 6,, 0,

17 3. Carilah lima suu pertama dari barisa dega defiisi reursif beriut. a. U U 3(U - ), utu > b. U 3 ( ) (U ), utu > U 4. Carilah defiisi reursif utu barisa bilaga beriut. a. 9, 3, 7,, b., 3, 7, 5, 3, c. 8, 7, 9, 3, d., 3, 6, 0, 5,, 3. Deret Bilaga Kosep tetag deret bilaga telah dieal seja abad e-5 sebelum Masehi yag dieal dega ama parados Zeo. Dalam parados tersebut diisaha Achilles berpacu dega ura-ura. Karea ecepata Achilles ali ecepata ura-ura maa watu start uraura diletaa di depa Achilles sejauh stadio (suatu uura jara pada masa itu, ira-ira 00 yard). Utu dapat melampaui ura-ura maa Achilles harus meempuh jara stadio terlebih dahulu (tempat ura-ura semula). Pada saat yag bersamaa ura-ura telah meraga maju sejauh stadio. Saat Achilles meempuh jara stadio, ura-ura telah bergera maju stadio. Beriutya

18 saat Achilles meempuh jara stadio, ura-ura telah bergera maju sejauh stadio. Begitu seterusya proses ii berulag-ulag 3 sampai ta higga sehigga disimpula bahwa Achilles tida mugi melampaui ura-ura. Kalau ditulisa maa jara yag ditempuh oleh Achilles adalah (5) 3 Tada titi-titi ii meujua bahwa pola tersebut berulag utu setiap betu selalu diiuti oleh betu. Betu pejumlaha pada (5) dalam matematia dieal sebagai deret bilaga atau dega ata lai deret bilaga adalah pejumlaha dari barisa bilaga. Jia S melambaga jumlah dari suu pertama suatu barisa bilaga maa S dapat diyataa dalam dua cara yaitu : - Defiisi esplisit utu S : S U U U 3 U - Defiisi reursif utu S S U S S - U utu > Dari sii diperoleh hubuga U S S utu > Cotoh:. Jumlah suu pertama suatu deret adalah S, tetua U, U, U 3, U 4 da U 5. 3

19 Jawab: U S U S S ( ) ( ) 3 U 3 S 3 S ( 3 ) ( ) U 4 S 4 S 3 ( 4 ) ( 3 ) U 5 S 5 S 4 ( 5 ) ( 4 ) Hitug jumlah 5 suu pertama dari setiap deret bilaga jia dietahui rumus suu e beriut. a. U 3 b. U c. U log 0 Jawab: a. S 5 (. 3) (. 3) (.3 3) (.4 3) (.5 3) b. S 5 ( ) ( ) (3 ) (4 ) (5 ) c. S 5 log 0 log 0 log 0 3 log 0 4 log Cara lai utu meetua jumlah suu pertama deret adalah dega mecari pola dari barisa S, S, S 3, S 4,, S. Sebagai cotoh pada cotoh a di atas, 4

20 S ( 4) S ( 4) S (3 4) S (4 4). S (4) Latiha 4. Tetua betu umum jumlah suu pertama dari setiap deret bilaga beriut. a b c d e Tulislah tiga suu pertama da suu e sepuluh dari setiap deret bilaga beriut. a. S b. S 3 C. Barisa da Deret Aritmetia. Barisa Aritmetia Misala U meyataa suu e- suatu barisa, maa barisa itu disebut barisa aritmetia jia U U selalu tetap utu setiap. 5

21 U U yag selalu tetap ii diamaa beda da dilambaga dega b. Jadi : b U U - Cotoh :, 6, 0, 4, beda , 3, -4, -, beda ( 4) 7. Suu e- Barisa Aritmetia Misala a adalah suu pertama barisa aritmetia, b adalah beda da U adalah suu e-, U U b U U b U U b a b U 3 U b (a b) b U 4 U 3 b (a b) b U 5 U 4 b (a 3b) b U 6 U 5 b (a 4b) b a b a b a 3b a 4b a 5b sehigga U a ( )b Nama barisa aritmetia diberia area setiap suu (ecuali suu pertama) dari barisa ii merupaa rata-rata aritmeti dari suu sebelum da sesudahya. Dega ata lai utu setiap U, dega berlau U U U. 6

22 3. Deret Aritmetia Rumus utu meetua jumlah suu pertama deret aritmetia dibuat berdasara metode yag dipaai oleh matematiawa Carl Friedrich Gauss ( ) etia ia masih ecil. Diisaha suatu etia salah satu guru Gauss meyuruh murid muridya utu meghitug jumlah 00 bilaga asli yag pertama, atau Murid murid yag lai di elas memulai dega mejumlah bilaga satu per satu, tetapi Gauss meemua metode yag sagat cepat. Ia meulisa jumlaha dua ali, salah satuya dega uruta yag dibali emudia dijumlaha secara vertial Dari jumlaha ii diperoleh 00 suu yag masig masig berilai 0, sehigga Jia a adalah suu pertama deret aritmetia, U suu e-, S jumlah suu pertama da b beda maa rumus utu jumlah suu pertama deret aritmetia bisa dicari dega cara sebagai beriut. S a (ab) (ab). (U -b) (U -b) U S U (U -b) (U -b).. (ab) (ab) a S (au ) (au ) (au ) (au ) (au ) suu 7

23 S (a U ) S (a U ) area U a ( )b Cotoh: maa [ ( -)b] a S. Tetua suu e 0 barisa bilaga beriut : a., 5, 8,, b. 9, 6, 3, 0, Jawab : a. b a U a ( )b U 0 (0 ) b. b a 9 U a ( )b U 0 9 (0 ) ( 3) Suu e 0 suatu barisa aritmetia adalah 4, sedaga suu pertamaya 6. Tetua : a. beda b. rumus suu e Jawab : 8

24 a. U 0 4, a 6 U a ( )b 4 6 (0 )b 4 6 9b 8 9b b b. U a ( )b U 6 ( ) U 4 3. Dietahui suatu barisa aritmetia dega U 6 da U 4 a. Carilah suu pertama da beda b. Tetua U 40 c. Hitug jumlah 40 suu pertama dari deret aritmetia yag bersesuaia Jawab: a. U 6 U 4 a b 6.. () a 0b 4.. () () da () a 0b 4 a b 6 9b 8 b a b 6 9

25 a 6 a 4 Suu pertama 4, beda b. Suu e-40 dicari dega rumus U a ( )b U 40 4 (40 ) c. S (a U ) 40(4 U40 ) 40(4 8) S 40 0(86) 70 Latiha 5. Tetua rumus umum setiap barisa aritmetia beriut da tetua suu e-5. a. 0, 5, 0, 5, b.,, 4, 7, c. 8, 4, 0,. Tetua (baya suu) dari barisa aritmetia beriut. a. 6, 3, 0,, 8 b. 0, 8, 6,, -98 c. 5, 0, 5, 0,, Tetua beda, suu pertama da rumus umum suu e- barisa aritmetia beriut ii jia dietahui: a. U 4 7 da U 7 9 b. U da U 9 3 0

26 c. U 3 U 5 60 da U 4 U Tetua bayaya bilaga asli yag merupaa elipata 5 atara da Hituglah deret aritmetia beriut ii: a (sampai suu) b (sampai 5 suu) c (sampai 6 suu) 6. Dietahui suatu barisa aritmetia dega suu e-3 adalah da suu e-6 adalah 7. Tetua jumlah 0 suu pertama. 7. Tetua jumlah 5 bilaga asli pertama yag habis dibagi Tetua jumlah semua bilaga asli urag dari 00 yag tida habis dibagi Tiga bilaga membetu deret aritmetia, jumlah etiga bilaga itu 30, hasil aliya 840. Tetua bilaga-bilaga itu. 0. Suatu perusahaa, pada bula pertama berdiri memprodusi sebaya 000 uit barag. Keaia produsi pada bula-bula beriutya adalah 5 ali produsi pada bula pertama. Tetua jumlah produsi selama satu tahu. D. Barisa da Deret Geometri. Barisa Geometri Misala U meyataa suu e- suatu barisa, maa barisa itu disebut barisa geometri jia U : U selalu tetap utu setiap. U : U yag selalu tetap ii diamaa rasio da dilambaga dega r.

27 Sehigga U U - r Cotoh :, 3, 9, 7, rasio 3 : 9 : 3 7 : 9 3 6, 8, 4,, rasio 8 : 6 4 : 8 : 4 /. Suu e- barisa geometri Misala a adalah suu pertama barisa geometri, r adalah rasio da U adalah suu e-, U r U U- r U - U U.r ar ar U 3 U.r (ar)r ar U 4 U 3.r (ar )r ar 3 U 5 U 4.r (ar 3 )r ar 4. Sehigga U ar - Barisa dega sifat ii disebut barisa geometri area utu setiap U dega merupaa rata-rata geometri dari suu sebelum da sesudahya. Dega ata lai utu berlau U U. U. 3. Deret geometri Jia S adalah jumlah suu pertama, r adalah rasio da a adalah suu pertama suatu deret geometri, maa :

28 S a ar ar ar ar rs ar ar ar ar ar (semua ruas diali r) S rs a ar ( r)s a ar S a( r r ) 4. Deret Geometri Ta Higga Cotoh deret geometri ta higga: a.... r 4 8 b r 3 3 Perhatia embali rumus jumlah suu pertama deret geometri S a( r ). Utu ilai - < r <, jia medeati ta higga ( r ) maa r medeati ol, sehigga S a( r lim r ). Pada parados Zeo, tetag Achilles da ura-ura yag dibicaraa di depa, tetua jawaba yag bear setelah meempuh jara berapa Achilles melampaui ura-ura? Jawab : Jara yag ditempuh Achilles... 3 stadio. a 3

29 r S : : : 3 a stadio. r. Ubah betu decimal berulag beriut e dalam pecaha a. 0,33333 b. 0, Jawab : a. 0, ,3 0,03 0,003 0,0003 a 0,3 r 0,03 : 0,3 0,003 : 0,03 0,0003 : 0,003 0, 0,33333 a r 0,3 0, 0,3 0,9 3 b. 0, ,35 0,0035 0, a 0,35 r 0,0035 : 0,35 0, : 0,0035 0,0 0, a r 0,35 0,0 0,35 0, Latiha 6. Tetua betu umum dari barisa beriut: a. 64, 6, 4, b. 3, 9, 7, 8, c., 3, 9, 7, 8, d. 6, 9, 3, 0 4,... 4

30 e. 000, 00, 0,,. Tetua lima suu pertama dari setiap barisa geometri beriut jia dietahui: a. a 4 da r b. U 3 7 da U 7 87 c. U 5 da U 8 8 d. U 6 4 da U 8 e. a 3 da U Tetua x jia, 8, 3x 5 membetu barisa geometri 4. Hituglah jumlah setiap deret geometri beriut: a. 4 8 (sampai suu) b.... (sampai 6 suu) c (sampai 8 suu) d Utu derat , butia bahwa S Rumus suu e suatu deret geometri adalah hituglah: U ( ).4, a. Suu pertama da rasio deret geometri tersebut. b. Rumus jumlah suu pertama. 7. Tiap taggal Jauari, mulai Jauari 000 Amir meabug uag di ba sebesar Rp ,00. Jia ba memberia buga 0% 5

31 per tahu, tetua besar uag Amir di ba pada taggal 3 Desember Suatu deret geometri ta higga mempuyai suu pertama da jumlah ta higgaya 8. Tetua rasioya. 9. Populasi pedudu sebuah ota pada tahu 960 adalah jiwa. Populasi ii meigat dua ali lipat tiap 0 tahu. Berapa periraa populasi ota tersebut pada tahu 00. 6

32 BAGIAN III KESIMPULAN. Notasi sigma (Σ) diguaa utu meyigat betu jumlaha yag suu-suuya mempuyai pola. Beberapa sifat dari otasi sigma diberia di halama 6.. Suatu barisa adalah fugsi yag mempuyai daerah asal himpua bilaga bulat positif. Sebuah barisa bisa didefiisia dega cara esplisit atau reursif. 3. Suatu barisa disebut barisa aritmeti jia selisih dari setiap dua suu yag beruruta berilai tetap, selisih ii diamaa beda (b). Suatu barisa disebut barisa geometri jia rasio (r) dari setiap dua suu yag beruruta berilai tetap. 4. Suu e- barisa aritmeti dirumusa sebagai: a ( ) b sedaga utu barisa geometri suu e- dirumusa sebagai U U ar 5. Deret merupaa jumlaha dari suu-suu suatu barisa. Rumus jumlah suu pertama deret aritmetia adalah S (a ( )b) atau S (a U ). Rumus jumlah suu pertama deret geometri adalah S a(r ) atau r S a( r ) utu r. r 7

33 6. Suu e- barisa aritmeti dirumusa sebagai: a ( ) b U Suu e- barisa aritmeti dirumusa sebagai: U a ( ) b Deret geometri ta higga mempuyai limit jumlah jia - < r <. Rumus jumlah sampai ta higga deret geometri adalah S a r. 8

34 DAFTAR PUSTAKA Brow, Richard G.. (994). Advaced Mathematics. Bosto: Houghto Miffli Compay. Gellert, W.. (977). The VNR Cocise Ecyclopedia of Mathematics. New Yor: Va Nostrad Reihold Compay. Haryadi, Muh.. (00). Baha Ajar Matematia SMK. Yogyaarta: PPPG Matematia. Keedy, Mervi Lavere. (983). Algebra ad Trigoometry. Califoria: Addiso-Wesley Publishig Compay. Miller, Charles David. (978). Mathematical Ideas. Gleview Illiois: Scott Foresma ad Compay. Prawiro, Justie Yudho. (000). Matematia IPA. Jaarta: Widya Utama. Raharjo, Marsudi. (00). Notasi Sigma da Idusi Matematia. Yogyaarta: PPPG Matematia. 9

35 Kuci Jawaba: Latiha 5. a. ( ) b. ( ) c. 6 5 p d. ( ) e. 3 f. p 4 6 j 00 j 5 g. ( )( ) h. a j j i. a p p b p 0 j. a b. a b.! ( c.!a a! a 3 a 4!a 5 a 6 d p p ) Latiha 3. a. 4 a 3b b j j c. ( ) j ( ) j 4 j 0 0 j j 3 d. 3 3 ( ) j a 6 b 4. a. ( 4) b. a 6 b a c. ( p ) d. ( 3( 7) p 3 ) 30

36 Latiha 3. a. 4, 7, 0, 3 ; U 0 3 b.,,, ; 3 4 U 0 0 c. 0, 0, 0, 6 ; U d. 4,, 3, U 0 e.,,, U a. U b. U c. U 3!5 x d. U e. U 0! 5 f. U! g. U 4 ( ) h. U!(!) i. U j. U! 3. a., 3, 6, 5, 4 b.!3,!4, 6, 4,!30 4. a. U 9, U U! 4 b. U, U U!! c. U 8, U U 3 d. U, U U! Latiha 4. a. S ( 3 ) b. S 4(! ) c. S (!4) d. S 3! e. S ( ). a. 3, 5, 7, U 0 b.!, 7, 9, U 0 7 Latiha 5. a. U 5 5 b. U 5! 3 c. U 6. a. 30 b. 60 c a. a 5, U 4 b. a 8, U 5 3 c. a 9, U

37 5. a. S 300 b. S 5 65 c. S , 0, Latiha a. U b. U 3 c. U 4 d. U ( 3 ) e. U ( 0) ( 3) 3. a. 4, 8, 6, 3, 64 b. 3, 9, 7, 8, 43 atau 3,!9, 7,!8, 43 c. 04, 5, 56, 8,!64 atau!04, 5,!56, 8,!64 d.!8,!8,!4,!4,! atau 8,!8, 4,!4, e. 3, 6, 6 3, 8, x a. S 4095 b. S 6 43 c. S 8!640 d., S a. a, r b. S (! ) 7. Rp r!/

BARISAN DAN DERET. U n = suku ke-n Contoh: Barisan bilangan asli, bilangan genap, bilangan ganjil, dan lain-lain.

BARISAN DAN DERET. U n = suku ke-n Contoh: Barisan bilangan asli, bilangan genap, bilangan ganjil, dan lain-lain. BARIAN DAN DERET A. Barisa Barisa adalah uruta bilaga yag memilii atura tertetu. etiap bilaga pada barisa disebut suu barisa yag dipisaha dega lambag, (oma). Betu umum barisa:,, 3, 4,, dega: = suu pertama

Lebih terperinci

MODUL BARISAN DAN DERET

MODUL BARISAN DAN DERET MODUL BARISAN DAN DERET SEMESTER 2 Muhammad Zaial Abidi Persoal Blog http://meetabied.wordpress.com BAB I. PENDAHULUAN A. Desripsi Dalam modul ii, ada aa mempelajari pola bilaga, barisa, da deret diidetifiasi

Lebih terperinci

BAB 6 NOTASI SIGMA, BARISAN DAN DERET

BAB 6 NOTASI SIGMA, BARISAN DAN DERET BAB 6 NOTASI SIGMA, BARISAN DAN DERET A RINGKASAN MATERI. Notasi Sigma Diberia suatu barisa bilaga, a, a,..., a. Lambag deret tersebut, yaitu: a = a + a +... + a a meyataa jumlah suu pertama barisa Sifat-sifat

Lebih terperinci

MACAM-MACAM TEKNIK MEMBILANG

MACAM-MACAM TEKNIK MEMBILANG 0 MACAM-MACAM TEKNIK MEMBILANG ATURAN PERKALIAN Beriut ii diberia sebuah dalil tetag peetua baya susua yag palig sederhaa dalam suatu permasalaha yag beraita dega peluag. Dalil 2.1: ATURAN PERKALIAN SECARA

Lebih terperinci

Gambar 3.1Single Channel Multiple Phase

Gambar 3.1Single Channel Multiple Phase BAB III MODEL ANTRIAN PADA PEMBUATAN SIM C. Sigle Chael Multiple Phase Sistem atria sigle chael multiple phase merupaa sistem atria dimaa pelagga yag tiba, dapat memasui sistem dega megatri di tempat yag

Lebih terperinci

Penulis: Penilai: Editor: Ilustrator: Dra. Puji Iryanti, M.Sc. Ed. Al. Krismanto, M.Sc. Sri Purnama Surya, S.Pd, M.Si. Fadjar N. Hidayat, S.Si.,M.Ed.

Penulis: Penilai: Editor: Ilustrator: Dra. Puji Iryanti, M.Sc. Ed. Al. Krismanto, M.Sc. Sri Purnama Surya, S.Pd, M.Si. Fadjar N. Hidayat, S.Si.,M.Ed. PAKET FASILITASI PEMBERDAYAAN KKG/MGMP MATEMATIKA Pembelajara Barisa, Deret Bilaga da Notasi Sigma di SMA Peulis: Dra. Puji Iryati, M.Sc. Ed. Peilai: Al. Krismato, M.Sc. Editor: Sri Purama Surya, S.Pd,

Lebih terperinci

Deret Positif. Dengan demikian, S = 1: Kemudian untuk deret lain, misalkan L = : Maka

Deret Positif. Dengan demikian, S = 1: Kemudian untuk deret lain, misalkan L = : Maka oi eswa (fmipa-itb) Deret Positif Deret (ta berhigga) adalah ugapa berbetu a + a + a 3 + a 4 + dega a i disebut suu. Pejumlaha ii berbeda dega pejumlaha dua, tiga, atau berhigga bilaga. Maa, ita perlu

Lebih terperinci

PEMBAHASAN SOAL OSN MATEMATIKA SMP TINGKAT PROPINSI 2011 OLEH :SAIFUL ARIF, S.Pd (SMP NEGERI 2 MALANG)

PEMBAHASAN SOAL OSN MATEMATIKA SMP TINGKAT PROPINSI 2011 OLEH :SAIFUL ARIF, S.Pd (SMP NEGERI 2 MALANG) PEMBAHASAN SOAL OLIMPIADE SAINS NASIONAL SMP A. ISIAN SINGKAT SELEKSI TINGKAT PROPINSI TAHUN 011 BIDANG STUDI MATEMATIKA WAKTU : 150 MENIT 1. Jia x adalah jumlah 99 bilaga gajil terecil yag lebih besar

Lebih terperinci

Deret Positif. Dengan demikian, S = 1: Kemudian untuk deret lain, misalkan L = : Maka

Deret Positif. Dengan demikian, S = 1: Kemudian untuk deret lain, misalkan L = : Maka oi eswa (fmipa-itb) Deret Positif Deret (ta berhigga) adalah ugapa berbetu a + a + a 3 + a 4 + dega a i disebut suu. Pejumlaha ii berbeda dega pejumlaha dua, tiga, atau berhigga bilaga. Maa, ita perlu

Lebih terperinci

Bab 16 Integral di Ruang-n

Bab 16 Integral di Ruang-n Catata Kuliah MA3 Kalulus Elemeter II Oi Neswa,Ph.D., Departeme Matematia-ITB Bab 6 Itegral di uag- Itegral Gada atas persegi pajag Itegral Berulag Itegral Gada atas Daerah sebarag Itegral Gada Koordiat

Lebih terperinci

Aplikasi Sistem Orthonormal Di Ruang Hilbert Pada Deret Fourier

Aplikasi Sistem Orthonormal Di Ruang Hilbert Pada Deret Fourier Apliasi Sistem Orthoormal Di Ruag Hilbert Pada Deret Fourier A 7 Fitriaa Yuli S. FMIPA UNY Abstra Ruag hilbert aa dibahas pada papper ii. Apliasi system orthoormal aa diaji da aa diapliasia pada ruahg

Lebih terperinci

PEMBUKTIAN SIFAT RUANG BANACH PADA D(K)

PEMBUKTIAN SIFAT RUANG BANACH PADA D(K) JMP : Volume 4 Nomor 1, Jui 2012, hal. 41-50 PEMBUKTIAN SIFAT RUANG BANACH PADA D(K) Malahayati Program Studi Matematia Faultas Sais da Teologi UIN Sua Kalijaga malahayati_01@yahoo.co.id ABSTRACT. I this

Lebih terperinci

Mata Kuliah : Matematika Diskrit Program Studi : Teknik Informatika Minggu ke : 5

Mata Kuliah : Matematika Diskrit Program Studi : Teknik Informatika Minggu ke : 5 Mata Kuliah : Matematia Disrit Program Studi : Tei Iformatia Miggu e : 5 KOMBINATORIAL PENDAHULUAN Persoala ombiatori bua merupaa persoala baru dalam ehidupa yata. Baya persoala ombiatori sederhaa telah

Lebih terperinci

Sinyal dan Sistem Waktu Diskrit ET 3005 Pengolahan Sinyal Waktu Diskrit EL 5155 Pengolahan Sinyal Waktu Diskrit

Sinyal dan Sistem Waktu Diskrit ET 3005 Pengolahan Sinyal Waktu Diskrit EL 5155 Pengolahan Sinyal Waktu Diskrit Siyal da Sistem Watu Disrit ET 35 Pegolaha Siyal Watu Disrit EL 5155 Pegolaha Siyal Watu Disrit Effria Yati Hamid 1 2 Siyal da Sistem Watu Disrit 2.1 Siyal Watu Disrit 2.1.1 Pegertia Siyal Watu Disrit

Lebih terperinci

Representasi sinyal dalam impuls

Representasi sinyal dalam impuls Represetasi siyal dalam impuls Represetasi siyal dalam impuls adalah siyal yag diyataa sebagai fugsi dari impuls atau sebagai umpula dari impuls-impuls. Sembarag siyal disret dapat diyataa sebagai pejumlaha

Lebih terperinci

MODUL BARISAN DAN DERET

MODUL BARISAN DAN DERET MODUL BARISAN DAN DERET KELAS XII. IPS SEMESTER I Oleh : Drs. Pudjul Prijoo ( http://vidyagata.wordpress.co ) SMA NEGERI 6 Jala Mayje Sugoo 58 Malag Telp./Fax : (034) 75036 E-Mail : sa6_alag@yahoo.co.id

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI. gamma, fungsi likelihood, dan uji rasio likelihood. Misalkan dilakukan percobaan acak dengan ruang sampel C.

BAB II LANDASAN TEORI. gamma, fungsi likelihood, dan uji rasio likelihood. Misalkan dilakukan percobaan acak dengan ruang sampel C. BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ii aa dibahas teori teori yag meduug metode upper level set sca statistics, atara lai peubah aca, distribusi gamma, fugsi gamma, fugsi lielihood, da uji rasio lielihood.

Lebih terperinci

E-learning matematika, GRATIS 1

E-learning matematika, GRATIS 1 E-learig matematika, GRATIS Peyusu Editor : Teag Idriyai, S.P ; Taufiq Rahma, S.P : Drs. Keto Susato, M.Si. M.T. ; Istijab, S.H. M.Hum. Imam Idra Guawa, S.Si.. Pegertia Barisa da Deret Barisa bilaga adalah

Lebih terperinci

I. DERET TAKHINGGA, DERET PANGKAT

I. DERET TAKHINGGA, DERET PANGKAT I. DERET TAKHINGGA, DERET PANGKAT. Pedahulua Pembahasa tetag deret takhigga sebagai betuk pejumlaha suku-suku takhigga memegag peraa petig dalam fisika. Pada bab ii aka dibahas megeai pegertia deret da

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. A. Latar Belakang. B. Tujuan dan Sasaran. C. Ruang Lingkup

BAB I PENDAHULUAN. A. Latar Belakang. B. Tujuan dan Sasaran. C. Ruang Lingkup BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belaag Kombiatoria mempuyai beberapa aspe, yaitu eumerasi, teori graf, da ofigurasi atau peyusua. Eumerasi membahas peghituga susua berbagai tipe. Sebagai cotoh: (i) meghitug

Lebih terperinci

SIFAT ALJABAR BANACH KOMUTATIF DAN ELEMEN IDENTITAS PADA

SIFAT ALJABAR BANACH KOMUTATIF DAN ELEMEN IDENTITAS PADA SIFAT ALJABAR BANACH KOMUTATIF DAN ELEMEN IDENTITAS PADA KELAS D(K) Malahayati Program Studi Matematia Faultas Sais da Teologi UIN Sua Kalijaga Yogyaarta e-mail: malahayati_01@yahoo.co.id ABSTRAK Himpua

Lebih terperinci

GRAFIKA

GRAFIKA 6 5 7 3 6 3 3 GRAFIKA 3 6 57 08 0 9 5 9 385 946 5 3 30 0 8 9 5 9 3 85 946 5 ANALISA REAL Utu uliah (pegatar) aalisa real yag dilegapi dega program MATLAB Dr. H.A. Parhusip G R A F I K A Peerbit Tisara

Lebih terperinci

BARISAN DAN DERET. Materi ke 1

BARISAN DAN DERET. Materi ke 1 BARISAN DAN DERET Materi ke 1 Pola Bilaga adalah? Susua bilaga yag disusu meurut atura tertetu. Cotoh : 1. Pola Bilaga Gajil 1, 3, 5,... 2. Pola Bilaga Geap 2, 4, 6,... PERHATIKAN SSNAN BILANGAN DI BAWAH

Lebih terperinci

BAB V RANDOM VARIATE GENERATOR (PEMBANGKIT RANDOM VARIATE)

BAB V RANDOM VARIATE GENERATOR (PEMBANGKIT RANDOM VARIATE) BAB V RANDOM VARIATE GENERATOR (PEMBANGKIT RANDOM VARIATE) 5.1. Pembagit Radom Variate Disrit Suatu Radom Variate diartia sebagai ilai suatu radom variate yag mempuyai distribusi tertetu. Utu megambil

Lebih terperinci

3. Integral (3) (Integral Tentu)

3. Integral (3) (Integral Tentu) Darublic www.darublic.com. Itegral () (Itegral Tetu).. Luas Sebagai Suatu Itegral. Itegral Tetu Itegral tetu meruaa itegral ag batas-batas itegrasia jelas. Kose dasar dari itegral tertetu adalah luas bidag

Lebih terperinci

BAB III TAKSIRAN PROPORSI POPULASI JIKA TERJADI NONRESPON. Dalam bab ini akan dibahas penaksiran proporsi populasi jika terjadi

BAB III TAKSIRAN PROPORSI POPULASI JIKA TERJADI NONRESPON. Dalam bab ini akan dibahas penaksiran proporsi populasi jika terjadi BAB III TAKSIRA PROPORSI POPULASI JIKA TERJADI ORESPO Dalam bab ii aa dibaas peasira proporsi populasi jia terjadi orespo da dilaua allba sebaya t ali. Selai itu, juga aa dibaas peetua uura sampel yag

Lebih terperinci

Aproksimasi Terbaik dalam Ruang Metrik Konveks

Aproksimasi Terbaik dalam Ruang Metrik Konveks Aprosimasi Terbai dalam Ruag etri Koves Oleh : Suharsoo S Jurusa atematia FIPA Uiversitas Lampug Abstra asalah esistesi da etuggala aprosimasi terbai suatu titi dalam ruag berorm telah dipelajari oleh

Lebih terperinci

III BAB BARISAN DAN DERET. Tujuan Pembelajaran. Pengantar

III BAB BARISAN DAN DERET. Tujuan Pembelajaran. Pengantar BAB III BARISAN DAN DERET Tujua Pembelajara Setelah mempelajari materi bab ii, Ada diharapka dapat:. meetuka suku ke- barisa da jumlah suku deret aritmetika da geometri,. meracag model matematika dari

Lebih terperinci

Konvolusi pada Distribusi dengan Support Kompak

Konvolusi pada Distribusi dengan Support Kompak Prosidig SI MaNIs (Semiar Nasioal Itegrasi Matematia da Nilai Islami) Vol1, No1, Juli 2017, Hal 453-457 p-issn: 2580-4596; e-issn: 2580-460X Halama 453 Kovolusi pada Distribusi dega Support Kompa Cythia

Lebih terperinci

MODUL 1.03 DINAMIKA PROSES. Oleh : Ir. Tatang Kusmara, M.Eng

MODUL 1.03 DINAMIKA PROSES. Oleh : Ir. Tatang Kusmara, M.Eng MODUL 1.03 DINMIK PROSES Ole : Ir. Tatag Kusmara, M.Eg LBORTORIUM OPERSI TEKNIK KIMI JURUSN TEKNIK KIMI UNIVERSITS SULTN GENG TIRTYS CILEGON BNTEN 2008 2 Modul 1.03 DINMIK PROSES I. Pedaulua Dalam bidag

Lebih terperinci

Projek. Contoh Menemukan Konsep Barisan dan Deret Geometri a. Barisan Geometri. Perhatikan barisan bilangan 2, 4, 8, 16,

Projek. Contoh Menemukan Konsep Barisan dan Deret Geometri a. Barisan Geometri. Perhatikan barisan bilangan 2, 4, 8, 16, Projek Himpulah miimal tiga masalah peerapa barisa da deret aritmatika dalam bidag fisika, tekologi iformasi, da masalah yata di sekitarmu. Ujilah berbagai kosep da atura barisa da deret aritmatika di

Lebih terperinci

DERET TAK HINGGA (INFITITE SERIES)

DERET TAK HINGGA (INFITITE SERIES) MATEMATIKA II DERET TAK HINGGA (INFITITE SERIES) sugegpb.lecture.ub.ac.id aada.lecture.ub.ac.id BARISAN Barisa merupaka kumpula suatu bilaga (atau betuk aljabar) yag disusu sehigga membetuk suku-suku yag

Lebih terperinci

BAB III HITUNG KEUANGAN

BAB III HITUNG KEUANGAN BAB III HITUNG KEUANGAN A. BUNGA TUNGGAL. ENGERTIAN BUNGA TUNGGAL Utu memahami pegertia buga, coba ita lihat cotoh beriut : Cotoh :. Tofa memijam modal pada sebuah Ba sebesar Rp.000.000,00. Setelah satu

Lebih terperinci

Perluasan Uji Kruskal Wallis untuk Data Multivariat

Perluasan Uji Kruskal Wallis untuk Data Multivariat Statistia, Vol. No., Mei Perluasa Uji Krusal Wallis utu Data Multivariat TETI SOFIA YANTI Program Studi Statistia, Uiversitas Islam Badug, Jl. Purawarma No. Badug. E-mail: buitet@yahoo.com ABSTAK Adaia

Lebih terperinci

Barisan Aritmetika dan deret aritmetika

Barisan Aritmetika dan deret aritmetika BARISAN DAN DERET BILANGAN Peyusu: Atmii Dhoruri, MS Kode: Jejag: SMP T/P: / A. Kompetesi yag diharapka. Meetuka suku ke- barisa aritmatika da barisa geometri. Meetuka jumlah suku pertama deret aritmatika

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. Secara umum apabila a bilangan bulat dan b bilangan bulat positif, maka ada tepat = +, 0 <

II. TINJAUAN PUSTAKA. Secara umum apabila a bilangan bulat dan b bilangan bulat positif, maka ada tepat = +, 0 < II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Keterbagia Secara umum apabila a bilaga bulat da b bilaga bulat positif, maka ada tepat satu bilaga bulat q da r sedemikia sehigga : = +, 0 < dalam hal ii b disebut hasil bagi

Lebih terperinci

SOAL-SOAL. 1. UN A Jumlah n suku pertama deret aritmetika dinyatakan dengan S n n

SOAL-SOAL. 1. UN A Jumlah n suku pertama deret aritmetika dinyatakan dengan S n n Husei Tampomas, Barisa da Deret, 06 SOAL-SOAL. UN A 0 Jumlah suku pertama deret aritmetika diyataka dega S. Suku ke-0 A. B. C. 0 D. 8 E. 6. UN A, D7, da E8 0 Sebuah pabrik memproduksi barag jeis A pada

Lebih terperinci

-1- U n : suku ke-n barisan aritmetika a : suku pertama n : banyak suku b : beda/selisih

-1- U n : suku ke-n barisan aritmetika a : suku pertama n : banyak suku b : beda/selisih -- BARISAN DAN DERET PENGERTIAN BARISAN DAN DERET Bisa yaitu susua bilaga yag didapatka di pemetaa bilaga asli yag dihubugka dega tada,. Jika pada bisa tada, digati dega tada, maka disebut deret. Bisa

Lebih terperinci

SOAL-SOAL LATIHAN BARISAN DAN DERET ARITMETIKA DAN GEOMETRI UJIAN NASIONAL

SOAL-SOAL LATIHAN BARISAN DAN DERET ARITMETIKA DAN GEOMETRI UJIAN NASIONAL SOAL-SOAL LATIHAN BARISAN DAN DERET ARITMETIKA DAN GEOMETRI UJIAN NASIONAL Peserta didik memiliki kemampua memahami kosep pada topik barisa da deret aritmetika da geometri. Peserta didik memilki kemampua

Lebih terperinci

Gerak Brown Fraksional dan Sifat-sifatnya

Gerak Brown Fraksional dan Sifat-sifatnya SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 06 S - 3 Gera Brow Frasioal da Sifat-sifatya Chataria Ey Murwaigtyas, Sri Haryatmi, Guardi 3, Herry P Suryawa 4,,3 Uiversitas Gadjah Mada,4 Uiversitas

Lebih terperinci

BARISAN DAN DERET. Bentuk deret Aritmatika: a, ( a + b ), ( a + 2b ) ( a + ( n 1 ) b a = suku pertama b = beda n = banyaknya suku.

BARISAN DAN DERET. Bentuk deret Aritmatika: a, ( a + b ), ( a + 2b ) ( a + ( n 1 ) b a = suku pertama b = beda n = banyaknya suku. BARISAN DAN DERET Bab 9 Deret Aritmatika (Deret Hitug) o o o Betuk deret Aritmatika: a, ( a + b ), ( a + b ) +...+ ( a + ( ) b a = suku pertama b = beda = bayakya suku Suku ke- : U = a + (-)b Jumlah suku

Lebih terperinci

Peluang Suatu Kejadian, Kaidah Penjumlahan, Peluang Bersyarat, Kaidah Perkalian dan Kaidah Baiyes

Peluang Suatu Kejadian, Kaidah Penjumlahan, Peluang Bersyarat, Kaidah Perkalian dan Kaidah Baiyes eluag uatu Kejadia, Kaidah ejumlaha, eluag ersyarat, Kaidah eralia da Kaidah aiyes.eluag uatu Kejadia Defiisi : eluag suatu ejadia adalah jumlah peluag semua titi otoh dalam. Dega demiia : 0 (), ( ) =

Lebih terperinci

Kalkulus Rekayasa Hayati DERET

Kalkulus Rekayasa Hayati DERET Kalkulus Rekayasa Hayati DERET 1 Isi Bab Pedahulua Barisa tak-higga Deret tak-higga Deret Positif : Uji kekovergea Deret Gati Tada Deret Pagkat Deret Taylor da Maclauri 2 Kompetesi Dasar Setelah megikuti

Lebih terperinci

i adalah indeks penjumlahan, 1 adalah batas bawah, dan n adalah batas atas.

i adalah indeks penjumlahan, 1 adalah batas bawah, dan n adalah batas atas. 4 D E R E T Kosep deret merupaka kosep matematika yag cukup populer da aplikatif khusuya dalam kasus-kasus yag meyagkut perkembaga da pertumbuha suatu gejala tertetu. Apabila perkembaga atau pertumbuha

Lebih terperinci

Penggunaan Transformasi z

Penggunaan Transformasi z Pegguaa Trasformasi pada Aalisa Respo Freuesi Sistem FIR Oleh: Tri Budi Satoso E-mail:tribudi@eepis-its.eduits.edu Lab Siyal,, EEPIS-ITS ITS /3/6 osep pemiira domais of represetatio Domai- discrete time:

Lebih terperinci

MATEMATIKA BISNIS. OLEH: SRI NURMI LUBIS, S.Si GICI BUSSINESS SCHOOL BATAM

MATEMATIKA BISNIS. OLEH: SRI NURMI LUBIS, S.Si GICI BUSSINESS SCHOOL BATAM MATEMATIKA BISNIS OLEH: SRI NURMI LUBIS, S.Si GICI BUSSINESS SCHOOL BATAM BAB BARISAN DAN DERET A. BARISAN Barisa bilaga adalah susua bilaga yag diurutka meurut atura tertetu.betuk umum barisa bilaga a,

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI. lebar pita sinyal tersebut. Pada kebanyakan aplikasi, termasuk kamera digital video dan

BAB 2 LANDASAN TEORI. lebar pita sinyal tersebut. Pada kebanyakan aplikasi, termasuk kamera digital video dan BAB LADASA TEORI Teorema Shao-yquist meyataa agar tida ada iformasi yag hilag etia pecuplia siyal, maa ecepata pecuplia harus miimal dua ali dari lebar pita siyal tersebut. Pada ebayaa apliasi, termasu

Lebih terperinci

Barisan dan Deret. Modul 1 PENDAHULUAN

Barisan dan Deret. Modul 1 PENDAHULUAN Modul Barisa da Deret Reto Wika Tyasig Ada P PENDAHULUAN okok bahasa dalam modul ii terdiri atas dua kegiata belajar. Yag pertama tetag barisa, yag kedua tetag deret da cotoh-cotoh pemakaia deret. Pembahasa

Lebih terperinci

Barisan, Deret, dan Notasi Sigma

Barisan, Deret, dan Notasi Sigma Barisa, Deret, da Notasi Sigma B A B 5 A. Barisa da Deret Aritmetika B. Barisa da Deret Geometri C. Notasi Sigma da Iduksi Matematika D. Aplikasi Barisa da Deret Sumber: http://jsa007.tripod.com Saat megedarai

Lebih terperinci

2 BARISAN BILANGAN REAL

2 BARISAN BILANGAN REAL 2 BARISAN BILANGAN REAL Di sekolah meegah barisa diperkealka sebagai kumpula bilaga yag disusu meurut "pola" tertetu, misalya barisa aritmatika da barisa geometri. Biasaya barisa da deret merupaka satu

Lebih terperinci

Bab 5 Sinyal dan Sistem Waktu Diskrit. Oleh: Tri Budi Santoso Laboratorium Sinyal, EEPIS-ITS

Bab 5 Sinyal dan Sistem Waktu Diskrit. Oleh: Tri Budi Santoso Laboratorium Sinyal, EEPIS-ITS Bab 5 Siyal da Sistem Watu Disrit Oleh: Tri Budi Satoso Laboratorium Siyal, EEPIS-ITS Materi: Represetasi matemati pada siyal watu disrit, domai watu da freuesi pada suatu siyal watu disrit, trasformasi

Lebih terperinci

SOAL-SOAL SPMB 2006 MATEMATIKA DASAR (MAT DAS) 63 n, maka jumlah n suku. D n n 2. f n log3 log 4 log5... log n, maka f 2...

SOAL-SOAL SPMB 2006 MATEMATIKA DASAR (MAT DAS) 63 n, maka jumlah n suku. D n n 2. f n log3 log 4 log5... log n, maka f 2... SOAL-SOAL SPMB 006 MATEMATIKA DASAR (MAT DAS). SPMB, MAT DAS, Regioal I, 006 Tiga bilaga membetuk suatu deret geometri aik. Jika jumlahya 6 da hasikaliya 6, maka rasio deretya adalah A. B. C. D. 4 E. 5.

Lebih terperinci

Barisan. Barisan Tak Hingga Kekonvergenan barisan tak hingga Sifat sifat barisan Barisan Monoton. 19/02/2016 Matematika 2 1

Barisan. Barisan Tak Hingga Kekonvergenan barisan tak hingga Sifat sifat barisan Barisan Monoton. 19/02/2016 Matematika 2 1 Barisa Barisa Tak Higga Kekovergea barisa tak higga Sifat sifat barisa Barisa Mooto 9/0/06 Matematika Barisa Tak Higga Secara sederhaa, barisa merupaka susua dari bilaga bilaga yag urutaya berdasarka bilaga

Lebih terperinci

Mengkaji Perbedaan Diagonalisasi Matriks Atas Field dan Matriks Atas Ring Komutatif

Mengkaji Perbedaan Diagonalisasi Matriks Atas Field dan Matriks Atas Ring Komutatif Megaji Perbedaa Diagoalisasi Matris Atas Field da Matris Atas Rig Komutatif Teorema : Jia A adalah matris x maa eryataa eryataa beriut eivale satu sama lai : a A daat didiagoalisasi b A memuyai vetor eige

Lebih terperinci

Model Antrian Multi Layanan

Model Antrian Multi Layanan Jural Gradie Vol. No. Juli : 8- Model Atria Multi Layaa Sisa Yosmar Jurusa Matematia, Faultas Matematia da Ilmu egetahua Alam, Uiversitas Begulu, Idoesia Diterima 9 April; Disetujui 8 Jui Abstra - Salah

Lebih terperinci

Mata Kuliah : Matematika Diskrit Program Studi : Teknik Informatika Minggu ke : 4

Mata Kuliah : Matematika Diskrit Program Studi : Teknik Informatika Minggu ke : 4 Program Studi : Tekik Iformatika Miggu ke : 4 INDUKSI MATEMATIKA Hampir semua rumus da hukum yag berlaku tidak tercipta dega begitu saja sehigga diraguka kebearaya. Biasaya, rumus-rumus dapat dibuktika

Lebih terperinci

MODUL MATEMATIKA. Barisan dan Deret UNIVERSITAS NEGERI MANADO

MODUL MATEMATIKA. Barisan dan Deret UNIVERSITAS NEGERI MANADO MODUL MATEMATIKA Barisa da Deret UNIVERSITAS NEGERI MANADO FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA 2007 KATA PENGANTAR Halo...!!! selamat jumpa dalam Modul Matematika SMA. Dalam

Lebih terperinci

TEOREMA KEKONVERGENAN FUNGSI TERINTEGRAL HENSTOCK- KURZWEIL SERENTAK DAN FUNGSI BERSIFAT LOCALLY SMALL RIEMANN SUMS (LSRS) DARI RUANG EUCLIDE

TEOREMA KEKONVERGENAN FUNGSI TERINTEGRAL HENSTOCK- KURZWEIL SERENTAK DAN FUNGSI BERSIFAT LOCALLY SMALL RIEMANN SUMS (LSRS) DARI RUANG EUCLIDE Teorema Keovergea Fugsi Teritegral Hestoc(Aiswita) TORMA KKONVRGNAN FUNGSI TRINTGRAL HNSTOCK- KURZWIL SRNTAK DAN FUNGSI BRSIFAT LOCALLY SMALL RIMANN SUMS (LSRS) DARI RUANG UCLID K RUANG BARISAN Aiswita,

Lebih terperinci

UNIVERSITAS INDONESIA DISTRIBUSI BANYAK SINGGAH DARI SUATU RANDOM WALK DAN UJI KERANDOMAN SKRIPSI RANTI NUGRAHENI

UNIVERSITAS INDONESIA DISTRIBUSI BANYAK SINGGAH DARI SUATU RANDOM WALK DAN UJI KERANDOMAN SKRIPSI RANTI NUGRAHENI UNIVERSITAS INDONESIA DISTRIBUSI BANYAK SINGGAH DARI SUATU RANDOM WALK DAN UJI KERANDOMAN SKRIPSI RANTI NUGRAHENI 35475 FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM PROGRAM STUDI SARJANA MATEMATIKA DEPOK

Lebih terperinci

RENCANA PROGRAM PEMBELAJARAN KE - 1. : 6 jam pelajaran

RENCANA PROGRAM PEMBELAJARAN KE - 1. : 6 jam pelajaran RENCANA PROGRAM PEMBELAJARAN KE - 1 Satua Pedidika Mata Pelajara Kelas/Semester Materi Pokok Waktu : SMA N 6 YOGYAKARTA : Matematika : XII IPS/ : Barisa da Deret : 6 jam pelajara 1. Stadar Kompetesi 4.

Lebih terperinci

PENJADWALAN JOBS PADA SINGLE MACHINE DENGAN MEMINIMUMKAN VARIANS WAKTU PENYELESAIAN JOBS (Studi Kasus di P.T. XYZ )

PENJADWALAN JOBS PADA SINGLE MACHINE DENGAN MEMINIMUMKAN VARIANS WAKTU PENYELESAIAN JOBS (Studi Kasus di P.T. XYZ ) (Fey Nilawati Kusuma et al.) PENJADWALAN JOBS PADA SINGLE MACHINE DENGAN MEMINIMUMKAN VARIANS WAKTU PENYELESAIAN JOBS (Studi Kasus di P.T. XYZ ) I Gede Agus Widyadaa I Nyoma Sutapa Dose Faultas Teologi

Lebih terperinci

theresiaveni.wordpress.com NAMA : KELAS :

theresiaveni.wordpress.com NAMA : KELAS : theresiaveiwordpresscom NAMA : KELAS : 1 theresiaveiwordpresscom BARISAN DAN DERET Barisa da deret dapat diguaka utuk memudahka peyelesaia perhituga, misalya buga bak, keaika produksi, da laba/rugi suatu

Lebih terperinci

BAB VIII KONSEP DASAR PROBABILITAS

BAB VIII KONSEP DASAR PROBABILITAS BAB VIII KONSEP DASAR PROBABILITAS 1.1. Pedahulua Dalam pertemua ii Ada aka mempelajari beberapa padaga tetag permutasi da kombiasi, fugsi da metode perhituga probabilitas, da meghitug probabilitas. Pada

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. Integral adalah salah satu konsep penting dalam Matematika yang

BAB I PENDAHULUAN. Integral adalah salah satu konsep penting dalam Matematika yang BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakag Masalah Itegral adalah salah satu kosep petig dalam Matematika yag dikemukaka pertama kali oleh Isac Newto da Gottfried Wilhelm Leibiz pada akhir abad ke-17. Selajutya

Lebih terperinci

1) Leptokurtik Merupakan distribusi yang memiliki puncak relatif tinggi

1) Leptokurtik Merupakan distribusi yang memiliki puncak relatif tinggi Statisti Desriptif Keruciga atau Kurtosis Pegertia Kurtosis Peguura urtosis (peruciga) sebuah distribusi teoritis adaalaya diamaam peguura eses (excess) dari sebuah distribusi Sebearya urtosis bisa diaggap

Lebih terperinci

BAB 4 LIMIT FUNGSI Standar Kompetensi Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah

BAB 4 LIMIT FUNGSI Standar Kompetensi Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah BAB LIMIT FUNGSI Stadar Kompetesi Megguaka kosep it ugsi da turua ugsi dalam pemecaha masalah Kompetesi Dasar. Meghitug it ugsi aljabar sederhaa di suatu titik. Megguaka siat it ugsi utuk meghitug betuk

Lebih terperinci

Sumber: Art & Gallery. 6. Menerapkan konsep barisan dan deret dalam pemecahan masalah

Sumber: Art & Gallery. 6. Menerapkan konsep barisan dan deret dalam pemecahan masalah Sumber: Art & Gallery Stadar Kompetesi 6. Meerapka kosep barisa da deret dalam pemecaha masalah Kompetesi Dasar 6. Megidetifikasi pola, barisa, da deret bilaga 6. Meerapka kosep barisa da deret aritmatika

Lebih terperinci

1 4 A. 1 D. 4 B. 2 E. -5 C. 3 A.

1 4 A. 1 D. 4 B. 2 E. -5 C. 3 A. . Seorag pedagag membeli barag utuk dijual seharga Rp. 0.000,00. Bila pedagag tersebut meghedaki utug 0 %, maka barag tersebut harus dijual dega harga A. Rp. 00.000,00 D. Rp. 600.000,00 B. Rp. 00.000,00

Lebih terperinci

LIMIT. = δ. A R, jika dan hanya jika ada barisan. , sedemikian hingga Lim( a n

LIMIT. = δ. A R, jika dan hanya jika ada barisan. , sedemikian hingga Lim( a n LIMIT 4.. FUNGSI LIMIT Defiisi 4.. A R Titik c R adalah titik limit dari A, jika utuk setiap δ > 0 ada palig sedikit satu titik di A, c sedemikia sehigga c < δ. Defiisi diatas dapat disimpulka dega cara

Lebih terperinci

I PENDAHULUAN II LANDASAN TEORI. mandiri jika tidak mengandung t secara eksplisit di dalamnya. (Kreyszig, 1983)

I PENDAHULUAN II LANDASAN TEORI. mandiri jika tidak mengandung t secara eksplisit di dalamnya. (Kreyszig, 1983) I PENDAHULUAN Latar Belaag Permasalaha ebiaa pemaea ia yag memberia eutuga masimum da berelauta (tida teradi epuaha dari populasi ia yag dipae) adalah hal yag sagat petig bagi idustri periaa Para ilmuwa

Lebih terperinci

Barisan Dan Deret Arimatika

Barisan Dan Deret Arimatika Barisa Da Deret Arimatika A. Barisa Aritmatika Niko etera memiliki sebuah peggaris ukura 0 cm. Ia megamati bilaga-bilaga pada peggarisya ii. Bilaga-bilaga tersebut beruruta 0, 1,, 3,, 0. etiap bilaga beruruta

Lebih terperinci

PROSIDING ISSN:

PROSIDING ISSN: PROSIDING ISSN: 5-656 OPTIMISASI BERKENDALA MENGGUNAKAN METODE GRADIEN TERPROYEKSI Nida Sri Uami Uiversias Muhammadiyah Suraara idaruwiyai@gmailcom ABSTRAK Dalam ulisa ii dibahas eag meode gradie erproyesi

Lebih terperinci

PERTEMUAN 13. VEKTOR dalam R 3

PERTEMUAN 13. VEKTOR dalam R 3 PERTEMUAN VEKTOR dalam R Pegertia Ruag Vektor Defiisi R Jika adalah sebuah bilaga bulat positif, maka tupel - - terorde (ordered--tuple) adalah sebuah uruta bilaga riil ( a ),a,..., a. Semua tupel - -terorde

Lebih terperinci

MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan

MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan MA1201 MATEMATIKA 2A Hedra Guawa Semester II, 2016/2017 3 Februari 2017 Bab Sebelumya 8. Betuk Tak Tetu da Itegral Tak Wajar 8.1 Betuk Tak Tetu 0/0 8.2 Betuk Tak Tetu Laiya 8.3 Itegral Tak Wajar dg Batas

Lebih terperinci

Bab 6: Analisa Spektrum

Bab 6: Analisa Spektrum BAB Aalisa Spetrum Bab : Aalisa Spetrum Aalisa Spetrum Dega DFT Tujua Belajar Peserta dapat meghubuga DFT dega spetrum dari sial hasil samplig sial watu otiue. -poit DFT dari sial x adalah Xω ag diealuasi

Lebih terperinci

Fungsi Kompleks. (Pertemuan XXVII - XXX) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya

Fungsi Kompleks. (Pertemuan XXVII - XXX) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya TKS 4007 Matematika III Fugsi Kompleks (Pertemua XXVII - XXX) Dr. AZ Jurusa Tekik Sipil Fakultas Tekik Uiversitas Brawijaya Pedahulua Persamaa x + 1 = 0 tidak memiliki akar dalam himpua bilaga real. Pertayaaya,

Lebih terperinci

BARISAN DAN DERET. 05/12/2016 Matematika Teknik 1 1

BARISAN DAN DERET. 05/12/2016 Matematika Teknik 1 1 BARISAN DAN DERET 05//06 Matematika Tekik BARISAN Barisa Tak Higga Kekovergea barisa tak higga Sifat sifat barisa Barisa Mooto 05//06 Matematika Tekik Barisa Tak Higga Secara sederhaa, barisa merupaka

Lebih terperinci

InfinityJurnal Ilmiah Program Studi Matematika STKIP Siliwangi Bandung, Vol 1, No.2, September 2012

InfinityJurnal Ilmiah Program Studi Matematika STKIP Siliwangi Bandung, Vol 1, No.2, September 2012 IfiityJual Ilmiah Pogam Studi Matematia STKIP Siliwagi Badug, Vol, No., Septembe HIMPUNAN KOMPAK PADA RUANG METRIK Oleh : Cee Kustiawa Juusa Pedidia Matematia FPMIPA Uivesitas Pedidia Idoesia eeustiawa@yahoo.om

Lebih terperinci

1. Integral (1) Pembahasan yang akan kita lakukan hanya mengenai bentuk persamaan diferensial seperti contoh yang pertama.

1. Integral (1) Pembahasan yang akan kita lakukan hanya mengenai bentuk persamaan diferensial seperti contoh yang pertama. Darublic www.darublic.com 1. Itegral (1) (Macam Itegral, Pedeata Numeri) Sudarato Sudirham Dalam bab sebeluma, ita memelajari salah satu bagia utama alulus, aitu alulus diferesial. Beriut ii ita aa membahas

Lebih terperinci

Definisi Integral Tentu

Definisi Integral Tentu Defiisi Itegral Tetu Bila kita megedarai kedaraa bermotor (sepeda motor atau mobil) selama 4 jam dega kecepata 50 km / jam, berapa jarak yag ditempuh? Tetu saja jawabya sagat mudah yaitu 50 x 4 = 200 km.

Lebih terperinci

Hendra Gunawan. 12 Februari 2014

Hendra Gunawan. 12 Februari 2014 MA1201 MATEMATIKA 2A Hedra Guawa Semester II, 2013/2014 12 Februari 2014 Bab Sebelumya 8. Betuk Tak Tetu da Itegral Tak Wajar 8.1 Betuk Tak Tetu 0/0 82 8.2 Betuk Tak Tetu Laiya 8.3 Itegral Tak Wajar dg

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. Matematika merupakan suatu ilmu yang mempunyai obyek kajian

BAB I PENDAHULUAN. Matematika merupakan suatu ilmu yang mempunyai obyek kajian BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakag Masalah Matematika merupaka suatu ilmu yag mempuyai obyek kajia abstrak, uiversal, medasari perkembaga tekologi moder, da mempuyai pera petig dalam berbagai disipli,

Lebih terperinci

PERBANDINGAN PENDEKATAN SEPARABLE PROGRAMMING DENGAN THE KUHN-TUCKER CONDITIONS DALAM PEMECAHAN MASALAH NONLINEAR

PERBANDINGAN PENDEKATAN SEPARABLE PROGRAMMING DENGAN THE KUHN-TUCKER CONDITIONS DALAM PEMECAHAN MASALAH NONLINEAR Jural Tei da Ilmu Komputer PERBANDINGAN PENDEKATAN SEPARABLE PROGRAMMING DENGAN THE KUHN-TUCKER CONDITIONS DALAM PEMECAHAN MASALAH NONLINEAR Budi Marpaug Faultas Tei da Ilmu Komputer Jurusa Tei Idustri

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA. membahas distribusi normal dan distribusi normal baku, penaksir takbias μ dan σ,

BAB II TINJAUAN PUSTAKA. membahas distribusi normal dan distribusi normal baku, penaksir takbias μ dan σ, BAB II TINJAUAN PUSTAKA.1 Pedahulua Dalam peulisa materi poo dari sripsi ii diperlua beberapa teori-teori yag meduug, yag mejadi uraia poo pada bab ii. Uraia dimulai dega membahas distribusi ormal da distribusi

Lebih terperinci

MAKALAH ALJABAR LINEAR SUB RUANG VEKTOR. Dosen Pengampu : Darmadi, S.Si, M.Pd

MAKALAH ALJABAR LINEAR SUB RUANG VEKTOR. Dosen Pengampu : Darmadi, S.Si, M.Pd MAKALAH ALJABAR LINEAR SUB RUANG VEKTOR Dose Pegampu : Darmadi, S.Si, M.Pd Disusu : Kelas 5A / Kelompok 5 : Dia Dwi Rahayu (084. 06) Hefetamala (084. 4) Khoiril Haafi (084. 70) Liaatul Nihayah (084. 74)

Lebih terperinci

,n N. Jelas barisan ini terbatas pada dengan batas M =: 1, dan. barisan ini kovergen ke 0.

,n N. Jelas barisan ini terbatas pada dengan batas M =: 1, dan. barisan ini kovergen ke 0. PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNMUH PONOROGO SOAL UJIAN TENGAH SEMESTER GENAP TA 03/04 Mata Ujia : Aalisis Real Tipe Soal : REGULER Dose : Dr. Jula HERNADI Waktu : 90 meit Hari, Taggal : Selasa,

Lebih terperinci

ARTIKEL. Menentukan rumus Jumlah Suatu Deret dengan Operator Beda. Markaban Maret 2015 KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN

ARTIKEL. Menentukan rumus Jumlah Suatu Deret dengan Operator Beda. Markaban Maret 2015 KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN ARTIKEL Meetuka rumus Jumlah Suatu Deret dega Operator Beda Markaba 191115198801005 Maret 015 KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN PUSAT PENGEMBANGAN DAN PEMBERDAYAAN PENDIDIK DAN TENAGA KEPENDIDIKAN

Lebih terperinci

SIFAT-SIFAT SEMIGRUP SIMETRIS INTERVAL

SIFAT-SIFAT SEMIGRUP SIMETRIS INTERVAL SIFAT-SIFAT SEMIGRUP SIMETRIS INTERVAL Riza Febri Yusma Sri Gemawati Asli Sirait *riza_febri@yahoo.com Mahasiswa Program S Matematika Dose Jurusa Matematika Fakultas Matematika da Ilmu Pegetahua Alam Uiveritas

Lebih terperinci

PRINSIP MAKSIMUM DAN MINIMUM FUNGSI PANHARMONIK

PRINSIP MAKSIMUM DAN MINIMUM FUNGSI PANHARMONIK PRINSIP MAKSIMUM DAN MINIMUM FUNGSI PANHARMONIK Oleh, Edag Cahya M.A. Jrsa Pedidia Matematia FPMIPA UPI Badg Jl. Dr. Setiabdi 9 Badg E-mail ecma@ds.math.itb.ac.id Abstra Tlisa ii mejelasa prisip masimm

Lebih terperinci

BARISAN DAN DERET TAK BERHINGGA

BARISAN DAN DERET TAK BERHINGGA MATERI KULIAH a 1 Kalkulus Lajut BARISAN DAN DERET TAK BERHINGGA Sahid, MSc. FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA 010 BARISAN DAN DERET DI SMA: BARISAN & DERET ARITMETIKA

Lebih terperinci

Modul Kuliah statistika

Modul Kuliah statistika Modul Kuliah statistika Dose: Abdul Jamil, S.Kom., MM SEKOLAH TINGGI MANAJEMEN INFORMATIKA DAN KOMPUTER MUHAMMADIYAH JAKARTA Bab 2 Populasi da Sampel 2.1 Populasi Populasi merupaka keseluruha pegamata

Lebih terperinci

PEMBEKALAN OSN-2011 SMP STELA DUCE I YOGYAKARTA MATA PELAJARAN: MATEMATIKA Pemateri: Murdanu

PEMBEKALAN OSN-2011 SMP STELA DUCE I YOGYAKARTA MATA PELAJARAN: MATEMATIKA Pemateri: Murdanu Pemateri: Murdau 1 BAGIAN A 1. Carilah dua bilaga yag hasilkali da jumlahya berilai sama!. Carilah dua bilaga yag perbadiga da selisihya berilai sama! 3. Diketahui: ab = 84, bc = 76, ac = 161. Berapakah

Lebih terperinci

BARISAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA

BARISAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA BARIAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA Bajar/Barisa Tak Higga Barisa tak higga { } adalah suatu fugsi dari dimaa daerah domaiya adalah himpua bilaga bulat positif (bilaga asli). Cotoh: Bila.. maka fugsi

Lebih terperinci

BAB V. INTEGRAL. Lambang anti-turunan (integral tak-tentu) oleh Leibniz adalah... dx, sehingga

BAB V. INTEGRAL. Lambang anti-turunan (integral tak-tentu) oleh Leibniz adalah... dx, sehingga BAB V. INTEGRAL 5.. Ati Turua (Itegral Tak-tetu) Defiisi: F suatu ati-turua f pada selag I jika da haya jika D F() = f() pada I, yaki F () = f() utuk semua dalam I. (Jika suatu titik ujug I, F () haya

Lebih terperinci

FUNCTIONALLY SMALL RIEMANN SUMS (FSRS) DAN ESSENTIALLY SMALL RIEMANN SUMS (ESRS) FUNGSI TERINTEGRAL HENSTOCKn. p )

FUNCTIONALLY SMALL RIEMANN SUMS (FSRS) DAN ESSENTIALLY SMALL RIEMANN SUMS (ESRS) FUNGSI TERINTEGRAL HENSTOCKn. p ) βeta -ISSN: 85-5893 e-issn: 54-458 Vol. 3 No. (Noember), Hal. 79-89 βeta DOI: htt://dx.doi.org/.44/betajtm.v9i.7 FUNCTIONALLY SMALL RIMANN SUMS (FSRS) DAN SSNTIALLY SMALL RIMANN SUMS (SRS) FUNGSI TRINTGRAL

Lebih terperinci

SMA NEGERI 5 BEKASI UJIAN SEKOLAH

SMA NEGERI 5 BEKASI UJIAN SEKOLAH PEMERINTAH KOTA BEKASI DINAS PENDIDIKAN SMA NEGERI BEKASI Jl. Gamprit Jatiwarigi Asri Podok Gede -88 UJIAN SEKOLAH TAHUN PELAJARAN / L E M B A R S O A L Mata Pelajara : Matematika Kelas/Program : IPA Hari/Taggal

Lebih terperinci

RUANG BARISAN MUSIELAK-ORLICZ. Oleh: Encum Sumiaty dan Yedi Kurniadi

RUANG BARISAN MUSIELAK-ORLICZ. Oleh: Encum Sumiaty dan Yedi Kurniadi RUANG BARISAN USIELAK-ORLICZ Oleh: Ecu Suiat da Yedi Kuriadi Disapaia pada Seiar Nasioal ateatia ada taggal 8 Deseber 2008, di Jurusa edidia ateatia FIA UI JURUSAN ENDIDIKAN ATEATIKA FAKULTAS ENDIDIKAN

Lebih terperinci

PELUANG. Drs. Marsudi Raharjo, M.Sc.Ed JENJANG LANJUT

PELUANG. Drs. Marsudi Raharjo, M.Sc.Ed JENJANG LANJUT DIKLAT INSTRUKTUR PENGEMBANG MATEMATIKA SMA JENJANG LANJUT PELUANG JENJANG LANJUT Drs Marsudi Raharjo, MScEd DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT JENDERAL PENINGKATAN MUTU PENDIDIK DAN TENAGA KEPENDIDIKAN

Lebih terperinci

Notasi Sigma, Barisan, dan Deret

Notasi Sigma, Barisan, dan Deret I TU URI HANDAY AN TW DIKLAT GURU PENGEMBANG MATEMATIKA SMK JENJANG DASAR TAHUN 009 Notasi Sigma, Barisa, da Deret Matriks GY A Y O M AT E M A T AK A R Puji Iryati, M.Sc.Ed. DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL

Lebih terperinci

6. Pencacahan Lanjut. Relasi Rekurensi. Pemodelan dengan Relasi Rekurensi

6. Pencacahan Lanjut. Relasi Rekurensi. Pemodelan dengan Relasi Rekurensi 6. Pecacaha Lajut Relasi Rekuresi Relasi rekuresi utuk dereta {a } adalah persamaa yag meyataka a kedalam satu atau lebih suku sebelumya, yaitu a 0, a,, a -, utuk seluruh bilaga bulat, dega 0, dimaa 0

Lebih terperinci