BAHAN AJAR DIKLAT GURU MATEMATIKA

Transkripsi

1 BAHAN AJAR DIKLAT GURU MATEMATIKA DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH DIREKTORAT PENDIDIKAN MENENGAH KEJURUAN 005

2 DAFTAR ISI Kata Pegatar.. i Daftar Isi... ii Kompetesi... iii Apersepsi... iv Seario Pembelajara... v Bab I Pedahulua... A. Latar Belaag B. Tujua C. Ruag Ligup Bab II Notasi Sigma, Barisa da Deret 3 A. Notasi Sigma 3 B. Barisa da Deret Bilaga 8 C. Barisa da Deret Aritmetia 5 D. Barisa da Deret Geometri Bab III Kesimpula Peutup 8 Daftar Pustaa Lampira Kuci Jawaba 3 ii

3 Peta Kompetesi. Kompetesi: Megembaga etrampila siswa dalam merumusa model da meerapa otasi sigma, barisa da deret dalam pemecaha suatu masalah.. Idiator : - Petatar mampu mejelasa otasi sigma, memberia cotohya da megembagaya dalam ehidupa yata sehari-hari. - Petatar mampu mejelasa barisa da deret, memberia cotohya da megembagaya dalam ehidupa yata sehari-hari. - Petatar mampu mejelasa deret geometri, memberia cotohya da megembagaya dalam ehidupa yata sehari-hari 3. Materi : - Notasi Sigma - Barisa da Deret Aritmetia - Barisa da Deret Geometri iii

4 Apersepsi - Bilaga Asli - Bilaga Geap - Bilaga Gajil - Betu Pagat iv

5 Seario Pembelajara Salah satu seario pembelajara yag dapat dilaua: 0 meit 5 meit 3 45 meit Pedahulua Apersepsi Peyampaia Materi Tujua Ruag Ligup Bilaga Asli Bilaga Geap Bilaga Gajil Bab II 0 meit 45 meit Peutup Disusi Kesimpula Soal latiha v

6 BAGIAN I Pedahulua A. Latar Belaag Pegguaa otasi sigma sebagai peyederhaaa betu pejumlaha yag pajag sagat meghemat watu da teaga. Sebagai dasar utu peulisa deret maa pegguaa otasi sigma beserta sifat-sifatya mejadi sagat petig utu dipelajari. Barisa da deret yag disajia meliputi pegertia tetag barisa da deret, barisa da deret aritmetia serta barisa da deret geometri. Perhituga buga ba, peyusuta ilai barag, merupaa salah satu cotoh peerapa dari barisa da deret dalam bidag eoomi. Tida etiggala pula dibahas tetag osep awal otasi sigma, barisa da deret utu megigata embali bahwa matematia berembag dari hal-hal sederhaa yag emudia berlajut e hal-hal yag lebih omples. B. Tujua Baha ajar ii disusu dega tujua utu megigata embali guru tetag materi dasar dalam pembelajara Notasi Sigma, Barisa da Deret Bilaga. Baha ajar ii merupaa baha acua dalam dilat berjejag tigat dasar utu guru-guru SMK NON TEKNIK.

7 C. Ruag Ligup Ruag ligup materi yag dibahas dalam baha ajar ii adalah:. Notasi Sigma da sifat!sifatya. a. Kosep Notasi Sigma b. Sifat!sifat Notasi Sigma. Barisa da Deret a. Pegertia Barisa da Deret b. Barisa da Deret Aritmetia c. Barisa da Deret Geometri

8 BAGIAN II Notasi Sigma, Barisa da Deret A. Notasi Sigma. Kosep Notasi Sigma Perhatia jumlah 6 bilaga gajil pertama beriut, () Pada betu () disebut suu pertama, 3 disebut suu e-, 5 disebut suu e-3 da seterusya. Perhatia juga suu-suu betu () tersebut membetu pola. Suu e-. Suu e- 3. Suu e Suu e Suu e Suu e Secara umum suu e- pada () dapat diyataa dalam betu dega 0 {,, 3, 4, 5, 6 } Cara utu meulisa secara sigat betu jumlaha () adalah dega tada Σ (dibaca sigma ) yag disebut dega otasi sigma. Notasi sigma berasal dari huruf Yuai utu abjad S dari perataa sum yag berarti jumlah. Notasi ii dipereala pertama ali oleh 3

9 Leohard Euler pada tahu 755 dalam buu Istitutioes Calculi Differetialis. Dega otasi sigma betu jumlaha () dapat ditulis : suu 6 ( ) 6 Betu ( ) dibaca sigma sampai 6 dari atau jumlah utu sampai 6. Pada otasi sigma di atas da 6 masig-masig disebut batas bawah da batas atas, lambag diamaa ides (ada pula yag meyebut sebagai variable). Sebarag huruf ecil dapat diguaa sebagai ides. Secara umum a a a a a3... a Cotoh : ( ) ( ) ( ) ( 3 ) 4 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )... ( )

10 Latiha. Nyataa dega megguaa otasi sigma! a b c d e f g. ( 3) (3 4) (4 5) (5 6) (6 7) h. a a a3 a 4... a i. ab a b a 3 b 3 a 4 b 4 a b j. a a b a 3 b a 4 b 3 a 0 b 9. Nyataa otasi sigma beriut e dalam betu legap 5 a. ( ) 6 c. ( ) i ai i 5 r(r ) b. ( 3 ) d. r 3. Sebuah tumpua pipa disusu membetu segitiga sama sisi dega buah pipa pada tiap sisiya. Nyataa bayaya pipa dalam otasi sigma jia terdiri atas tumpua. 5

11 6. Sifat-sifat Notasi Sigma Beriut ii adalah beberapa sifat otasi sigma. a. i j i a j a b. c c, c ostata. c. a c.a c, c ostata. d. b a ) b a ( e. m m a a a dega < m < f. p p m i p i m i i x a Cotoh soal:. Butia dega megguaa sifat-sifat otasi sigma. c x b x a c) bx (ax x x x Jawab: x x x x c bx ax c) bx ax ( c x b x a x x

12 0. Nyataa 8 dalam otasi sigma dega sebagai batas bawah. Jawab: Dega megguaa sifat i m p a x diperoleh: i i m p i p ( ( 7)) ( 7) ( ( 7)) 8 3 Latiha. Butia sifat-sifat otasi sigma di atas!. Butia bahwa ( ) Betu ruas aa pada soal omor di atas disebut Jumlah Moomial 3. Nyataa otasi sigma beriut e dalam betu jumlah moomial j a. ( 4a 3b ) c. ( ) (j 0 j b. ( 3 4) d. ( ) 3 j) 4. Ubahlah otasi sigma beriut dega bilaga sebagai batas bawah. 5 a. 5 5 a b c. a b a 5 0 b. ( p ) p 0 30 d. (3 ) 8 7

13 B. Barisa da Deret Bilaga. Pegertia Barisa Perhatia gambar da uruta bilaga di bawah, Baya ligara pada pola di bawah., 3, 6, 0, 5,. () Uruta bilaga pada olom e-3 aleder.,, 9, 6, 3, 30. (3) Baya bujursagar satua pada uruta gambar beriut., 4, 9, 6, 5,.. (4) Uruta bilaga-bilaga pada (), (3) da (4) masig-masig mempuyai atura tertetu. Uruta bilaga yag mempuyai atura tertetu disebut barisa bilaga. Setiap bilaga pembetu barisa disebut suu barisa. Dalam barisa secara umum suu pertama diyataa dega U, suu e- diyataa dega U, suu e-3 diyataa dega U 3 da seterusya sehigga suu e- diyataa 8

14 dega U. Sebagai cotoh pada barisa (), U, U 3, U 3 6, U 4 0, da seterusya. Barisa biasaya didefiisia sebagai suatu fugsi yag mempuyai domai (daerah asal) bilaga asli. Pada barisa (), fugsi utu meyataa suu e- barisa tersebut adalah ( ) U dega {,, 3, 4, 5, }. Pedefiisia seperti ii diamaa dega defiisi esplisit. Cara lai utu medefiisia barisa bilaga adalah dega defiisi reursif. Cotoh: diberia barisa bilaga dega defiisi reursif sebagai beriut, U 3 U U -, > Suu-suu beriutya dapat dicari dega cara : U.U.3 7 U 3.U.7 5 U 4.U da seterusya. Sebuah defiisi reursif memuat dua bagia, pertama adalah odisi awal utu memulai barisa da yag edua adalah sebuah persamaa reursif (rumus reursif) utu meetua hubuga atara setiap suu barisa dega suu beriutya. Defiisi reursif ii baya dipaai dalam apliasi-apliasi omputer. 9

15 . Meetua Rumus Suu e- Suatu Barisa Jia suatu barisa diberia beberapa suu pertama, adag-adag bisa ditetua rumus utu suu e-. Cotoh : Tetua rumus suu e- barisa beriut a., 3, 5, 7, b. 3, 9, 7, 8, Jawab : a. U. b. U 3 3 U 3. U 9 3 U U U U U... U 3 Perlu diperhatia juga bahwa jawaba rumus suu e- tida selalu tuggal, sebagai cotoh barisa beriut., 4, 8, Terlihat seilas bahwa rumus suu e- barisa di atas adalah U. Aa tetapi teryata rumus U, juga sesuai utu barisa diatas. Tida semua barisa dapat ditetua rumus utu suu e-. Sebagai cotoh adalah barisa bilaga prima. Bilaga prima e 00 0

16 bisa dicari, tetapi tida ada rumus umum utu meghasila bilaga prima e-. Latiha 3. Carilah 4 suu pertama da suu e sepuluh dari barisa bilaga dega rumus umum beriut. a. U 3 d. U b. U ( ) e. ( ) U c. U ( )( )( 3). Utu setiap barisa bilaga beriut tetua rumus utu suu e. a., 4, 6, 8, 0, b.,, 3, 4, 5, c.,, 4, 7, 0, 3 4 x x x d. x,,,, e. 5, 5, 5, 5, f.,, 4, 8, 6, g. 4,,,,,... h., 4, 8, 6, i., 6,, 0,

17 3. Carilah lima suu pertama dari barisa dega defiisi reursif beriut. a. U U 3(U - ), utu > b. U 3 ( ) (U ), utu > U 4. Carilah defiisi reursif utu barisa bilaga beriut. a. 9, 3, 7,, b., 3, 7, 5, 3, c. 8, 7, 9, 3, d., 3, 6, 0, 5,, 3. Deret Bilaga Kosep tetag deret bilaga telah dieal seja abad e-5 sebelum Masehi yag dieal dega ama parados Zeo. Dalam parados tersebut diisaha Achilles berpacu dega ura-ura. Karea ecepata Achilles ali ecepata ura-ura maa watu start uraura diletaa di depa Achilles sejauh stadio (suatu uura jara pada masa itu, ira-ira 00 yard). Utu dapat melampaui ura-ura maa Achilles harus meempuh jara stadio terlebih dahulu (tempat ura-ura semula). Pada saat yag bersamaa ura-ura telah meraga maju sejauh stadio. Saat Achilles meempuh jara stadio, ura-ura telah bergera maju stadio. Beriutya

18 saat Achilles meempuh jara stadio, ura-ura telah bergera maju sejauh stadio. Begitu seterusya proses ii berulag-ulag 3 sampai ta higga sehigga disimpula bahwa Achilles tida mugi melampaui ura-ura. Kalau ditulisa maa jara yag ditempuh oleh Achilles adalah (5) 3 Tada titi-titi ii meujua bahwa pola tersebut berulag utu setiap betu selalu diiuti oleh betu. Betu pejumlaha pada (5) dalam matematia dieal sebagai deret bilaga atau dega ata lai deret bilaga adalah pejumlaha dari barisa bilaga. Jia S melambaga jumlah dari suu pertama suatu barisa bilaga maa S dapat diyataa dalam dua cara yaitu : - Defiisi esplisit utu S : S U U U 3 U - Defiisi reursif utu S S U S S - U utu > Dari sii diperoleh hubuga U S S utu > Cotoh:. Jumlah suu pertama suatu deret adalah S, tetua U, U, U 3, U 4 da U 5. 3

19 Jawab: U S U S S ( ) ( ) 3 U 3 S 3 S ( 3 ) ( ) U 4 S 4 S 3 ( 4 ) ( 3 ) U 5 S 5 S 4 ( 5 ) ( 4 ) Hitug jumlah 5 suu pertama dari setiap deret bilaga jia dietahui rumus suu e beriut. a. U 3 b. U c. U log 0 Jawab: a. S 5 (. 3) (. 3) (.3 3) (.4 3) (.5 3) b. S 5 ( ) ( ) (3 ) (4 ) (5 ) c. S 5 log 0 log 0 log 0 3 log 0 4 log Cara lai utu meetua jumlah suu pertama deret adalah dega mecari pola dari barisa S, S, S 3, S 4,, S. Sebagai cotoh pada cotoh a di atas, 4

20 S ( 4) S ( 4) S (3 4) S (4 4). S (4) Latiha 4. Tetua betu umum jumlah suu pertama dari setiap deret bilaga beriut. a b c d e Tulislah tiga suu pertama da suu e sepuluh dari setiap deret bilaga beriut. a. S b. S 3 C. Barisa da Deret Aritmetia. Barisa Aritmetia Misala U meyataa suu e- suatu barisa, maa barisa itu disebut barisa aritmetia jia U U selalu tetap utu setiap. 5

21 U U yag selalu tetap ii diamaa beda da dilambaga dega b. Jadi : b U U - Cotoh :, 6, 0, 4, beda , 3, -4, -, beda ( 4) 7. Suu e- Barisa Aritmetia Misala a adalah suu pertama barisa aritmetia, b adalah beda da U adalah suu e-, U U b U U b U U b a b U 3 U b (a b) b U 4 U 3 b (a b) b U 5 U 4 b (a 3b) b U 6 U 5 b (a 4b) b a b a b a 3b a 4b a 5b sehigga U a ( )b Nama barisa aritmetia diberia area setiap suu (ecuali suu pertama) dari barisa ii merupaa rata-rata aritmeti dari suu sebelum da sesudahya. Dega ata lai utu setiap U, dega berlau U U U. 6

22 3. Deret Aritmetia Rumus utu meetua jumlah suu pertama deret aritmetia dibuat berdasara metode yag dipaai oleh matematiawa Carl Friedrich Gauss ( ) etia ia masih ecil. Diisaha suatu etia salah satu guru Gauss meyuruh murid muridya utu meghitug jumlah 00 bilaga asli yag pertama, atau Murid murid yag lai di elas memulai dega mejumlah bilaga satu per satu, tetapi Gauss meemua metode yag sagat cepat. Ia meulisa jumlaha dua ali, salah satuya dega uruta yag dibali emudia dijumlaha secara vertial Dari jumlaha ii diperoleh 00 suu yag masig masig berilai 0, sehigga Jia a adalah suu pertama deret aritmetia, U suu e-, S jumlah suu pertama da b beda maa rumus utu jumlah suu pertama deret aritmetia bisa dicari dega cara sebagai beriut. S a (ab) (ab). (U -b) (U -b) U S U (U -b) (U -b).. (ab) (ab) a S (au ) (au ) (au ) (au ) (au ) suu 7

23 S (a U ) S (a U ) area U a ( )b Cotoh: maa [ ( -)b] a S. Tetua suu e 0 barisa bilaga beriut : a., 5, 8,, b. 9, 6, 3, 0, Jawab : a. b a U a ( )b U 0 (0 ) b. b a 9 U a ( )b U 0 9 (0 ) ( 3) Suu e 0 suatu barisa aritmetia adalah 4, sedaga suu pertamaya 6. Tetua : a. beda b. rumus suu e Jawab : 8

24 a. U 0 4, a 6 U a ( )b 4 6 (0 )b 4 6 9b 8 9b b b. U a ( )b U 6 ( ) U 4 3. Dietahui suatu barisa aritmetia dega U 6 da U 4 a. Carilah suu pertama da beda b. Tetua U 40 c. Hitug jumlah 40 suu pertama dari deret aritmetia yag bersesuaia Jawab: a. U 6 U 4 a b 6.. () a 0b 4.. () () da () a 0b 4 a b 6 9b 8 b a b 6 9

25 a 6 a 4 Suu pertama 4, beda b. Suu e-40 dicari dega rumus U a ( )b U 40 4 (40 ) c. S (a U ) 40(4 U40 ) 40(4 8) S 40 0(86) 70 Latiha 5. Tetua rumus umum setiap barisa aritmetia beriut da tetua suu e-5. a. 0, 5, 0, 5, b.,, 4, 7, c. 8, 4, 0,. Tetua (baya suu) dari barisa aritmetia beriut. a. 6, 3, 0,, 8 b. 0, 8, 6,, -98 c. 5, 0, 5, 0,, Tetua beda, suu pertama da rumus umum suu e- barisa aritmetia beriut ii jia dietahui: a. U 4 7 da U 7 9 b. U da U 9 3 0

26 c. U 3 U 5 60 da U 4 U Tetua bayaya bilaga asli yag merupaa elipata 5 atara da Hituglah deret aritmetia beriut ii: a (sampai suu) b (sampai 5 suu) c (sampai 6 suu) 6. Dietahui suatu barisa aritmetia dega suu e-3 adalah da suu e-6 adalah 7. Tetua jumlah 0 suu pertama. 7. Tetua jumlah 5 bilaga asli pertama yag habis dibagi Tetua jumlah semua bilaga asli urag dari 00 yag tida habis dibagi Tiga bilaga membetu deret aritmetia, jumlah etiga bilaga itu 30, hasil aliya 840. Tetua bilaga-bilaga itu. 0. Suatu perusahaa, pada bula pertama berdiri memprodusi sebaya 000 uit barag. Keaia produsi pada bula-bula beriutya adalah 5 ali produsi pada bula pertama. Tetua jumlah produsi selama satu tahu. D. Barisa da Deret Geometri. Barisa Geometri Misala U meyataa suu e- suatu barisa, maa barisa itu disebut barisa geometri jia U : U selalu tetap utu setiap. U : U yag selalu tetap ii diamaa rasio da dilambaga dega r.

27 Sehigga U U - r Cotoh :, 3, 9, 7, rasio 3 : 9 : 3 7 : 9 3 6, 8, 4,, rasio 8 : 6 4 : 8 : 4 /. Suu e- barisa geometri Misala a adalah suu pertama barisa geometri, r adalah rasio da U adalah suu e-, U r U U- r U - U U.r ar ar U 3 U.r (ar)r ar U 4 U 3.r (ar )r ar 3 U 5 U 4.r (ar 3 )r ar 4. Sehigga U ar - Barisa dega sifat ii disebut barisa geometri area utu setiap U dega merupaa rata-rata geometri dari suu sebelum da sesudahya. Dega ata lai utu berlau U U. U. 3. Deret geometri Jia S adalah jumlah suu pertama, r adalah rasio da a adalah suu pertama suatu deret geometri, maa :

28 S a ar ar ar ar rs ar ar ar ar ar (semua ruas diali r) S rs a ar ( r)s a ar S a( r r ) 4. Deret Geometri Ta Higga Cotoh deret geometri ta higga: a.... r 4 8 b r 3 3 Perhatia embali rumus jumlah suu pertama deret geometri S a( r ). Utu ilai - < r <, jia medeati ta higga ( r ) maa r medeati ol, sehigga S a( r lim r ). Pada parados Zeo, tetag Achilles da ura-ura yag dibicaraa di depa, tetua jawaba yag bear setelah meempuh jara berapa Achilles melampaui ura-ura? Jawab : Jara yag ditempuh Achilles... 3 stadio. a 3

29 r S : : : 3 a stadio. r. Ubah betu decimal berulag beriut e dalam pecaha a. 0,33333 b. 0, Jawab : a. 0, ,3 0,03 0,003 0,0003 a 0,3 r 0,03 : 0,3 0,003 : 0,03 0,0003 : 0,003 0, 0,33333 a r 0,3 0, 0,3 0,9 3 b. 0, ,35 0,0035 0, a 0,35 r 0,0035 : 0,35 0, : 0,0035 0,0 0, a r 0,35 0,0 0,35 0, Latiha 6. Tetua betu umum dari barisa beriut: a. 64, 6, 4, b. 3, 9, 7, 8, c., 3, 9, 7, 8, d. 6, 9, 3, 0 4,... 4

30 e. 000, 00, 0,,. Tetua lima suu pertama dari setiap barisa geometri beriut jia dietahui: a. a 4 da r b. U 3 7 da U 7 87 c. U 5 da U 8 8 d. U 6 4 da U 8 e. a 3 da U Tetua x jia, 8, 3x 5 membetu barisa geometri 4. Hituglah jumlah setiap deret geometri beriut: a. 4 8 (sampai suu) b.... (sampai 6 suu) c (sampai 8 suu) d Utu derat , butia bahwa S Rumus suu e suatu deret geometri adalah hituglah: U ( ).4, a. Suu pertama da rasio deret geometri tersebut. b. Rumus jumlah suu pertama. 7. Tiap taggal Jauari, mulai Jauari 000 Amir meabug uag di ba sebesar Rp ,00. Jia ba memberia buga 0% 5

31 per tahu, tetua besar uag Amir di ba pada taggal 3 Desember Suatu deret geometri ta higga mempuyai suu pertama da jumlah ta higgaya 8. Tetua rasioya. 9. Populasi pedudu sebuah ota pada tahu 960 adalah jiwa. Populasi ii meigat dua ali lipat tiap 0 tahu. Berapa periraa populasi ota tersebut pada tahu 00. 6

32 BAGIAN III KESIMPULAN. Notasi sigma (Σ) diguaa utu meyigat betu jumlaha yag suu-suuya mempuyai pola. Beberapa sifat dari otasi sigma diberia di halama 6.. Suatu barisa adalah fugsi yag mempuyai daerah asal himpua bilaga bulat positif. Sebuah barisa bisa didefiisia dega cara esplisit atau reursif. 3. Suatu barisa disebut barisa aritmeti jia selisih dari setiap dua suu yag beruruta berilai tetap, selisih ii diamaa beda (b). Suatu barisa disebut barisa geometri jia rasio (r) dari setiap dua suu yag beruruta berilai tetap. 4. Suu e- barisa aritmeti dirumusa sebagai: a ( ) b sedaga utu barisa geometri suu e- dirumusa sebagai U U ar 5. Deret merupaa jumlaha dari suu-suu suatu barisa. Rumus jumlah suu pertama deret aritmetia adalah S (a ( )b) atau S (a U ). Rumus jumlah suu pertama deret geometri adalah S a(r ) atau r S a( r ) utu r. r 7

33 6. Suu e- barisa aritmeti dirumusa sebagai: a ( ) b U Suu e- barisa aritmeti dirumusa sebagai: U a ( ) b Deret geometri ta higga mempuyai limit jumlah jia - < r <. Rumus jumlah sampai ta higga deret geometri adalah S a r. 8

34 DAFTAR PUSTAKA Brow, Richard G.. (994). Advaced Mathematics. Bosto: Houghto Miffli Compay. Gellert, W.. (977). The VNR Cocise Ecyclopedia of Mathematics. New Yor: Va Nostrad Reihold Compay. Haryadi, Muh.. (00). Baha Ajar Matematia SMK. Yogyaarta: PPPG Matematia. Keedy, Mervi Lavere. (983). Algebra ad Trigoometry. Califoria: Addiso-Wesley Publishig Compay. Miller, Charles David. (978). Mathematical Ideas. Gleview Illiois: Scott Foresma ad Compay. Prawiro, Justie Yudho. (000). Matematia IPA. Jaarta: Widya Utama. Raharjo, Marsudi. (00). Notasi Sigma da Idusi Matematia. Yogyaarta: PPPG Matematia. 9

35 Kuci Jawaba: Latiha 5. a. ( ) b. ( ) c. 6 5 p d. ( ) e. 3 f. p 4 6 j 00 j 5 g. ( )( ) h. a j j i. a p p b p 0 j. a b. a b.! ( c.!a a! a 3 a 4!a 5 a 6 d p p ) Latiha 3. a. 4 a 3b b j j c. ( ) j ( ) j 4 j 0 0 j j 3 d. 3 3 ( ) j a 6 b 4. a. ( 4) b. a 6 b a c. ( p ) d. ( 3( 7) p 3 ) 30

36 Latiha 3. a. 4, 7, 0, 3 ; U 0 3 b.,,, ; 3 4 U 0 0 c. 0, 0, 0, 6 ; U d. 4,, 3, U 0 e.,,, U a. U b. U c. U 3!5 x d. U e. U 0! 5 f. U! g. U 4 ( ) h. U!(!) i. U j. U! 3. a., 3, 6, 5, 4 b.!3,!4, 6, 4,!30 4. a. U 9, U U! 4 b. U, U U!! c. U 8, U U 3 d. U, U U! Latiha 4. a. S ( 3 ) b. S 4(! ) c. S (!4) d. S 3! e. S ( ). a. 3, 5, 7, U 0 b.!, 7, 9, U 0 7 Latiha 5. a. U 5 5 b. U 5! 3 c. U 6. a. 30 b. 60 c a. a 5, U 4 b. a 8, U 5 3 c. a 9, U

37 5. a. S 300 b. S 5 65 c. S , 0, Latiha a. U b. U 3 c. U 4 d. U ( 3 ) e. U ( 0) ( 3) 3. a. 4, 8, 6, 3, 64 b. 3, 9, 7, 8, 43 atau 3,!9, 7,!8, 43 c. 04, 5, 56, 8,!64 atau!04, 5,!56, 8,!64 d.!8,!8,!4,!4,! atau 8,!8, 4,!4, e. 3, 6, 6 3, 8, x a. S 4095 b. S 6 43 c. S 8!640 d., S a. a, r b. S (! ) 7. Rp r!/