IV. HASIL DAN PEMBAHASAN

Transkripsi

1 IV. HASIL DAN PEBAHASAN 4.. Algoritme utuk etode Kaczmarz etode Kaczmarz merupaka salah satu metode iteratif utuk meyelesaika SPL eretuk Ax = () dega matriks koefisie A erorde N, vektor peyelesaia x erorde N, da vektor kostata erorde. etode ii mecari suatu titik di dalam R N yag relatif dekat dega seluruh hiperidag. Titik semacam ii aka mejadi seuah peyelesaia hampira atas SPL. Proses iterasi pada algoritme utuk metode Kaczmarz meghasilka siklus proyeksiproyeksi ortogoal yag eruruta pada hiperidag yag dimulai dega searag titik awal di R N. Seelumya, diperkealka terleih dahulu otasi-otasi utuk iterasiiterasi yag eruruta ii. Dimisalka x k adalah titik yag terletak pada hiperidag ke- k yag dihasilka saat iterasi ke-. Lagkahlagkah atau algoritme dalam medapatka peyelesaia hampira dega metode Kaczmarz adalah seagai erikut: ) Pilihlah titik searag di R N da tadai dega x 0. 2) Utuk iterasi pertama, tetapka = da x 0 = x 0. 3) Utuk k =,2,,, hituglah x k = x k + k a T k x k a 2 a k. k 4) Tetapka x 0 + = x. 5) Naikka ayakya iterasi seayak satu da kemalilah ke Lagkah 3. Titik x k pada lagkah 3 merupaka proyeksi ortogoal dari titik x k pada hiperidag a T k x = k erdasarka Teorema Algoritme ii meetuka proyeksiproyeksi ortogoal yag eruruta dari satu hiperidag ke hiperidag erikutya, mulai dari hiperidag pertama sampai hiperidag terakhir (dalam satu iterasi). Proyeksi aka kemali pada hiperidag pertama setelah proyeksi pada hiperidag terakhir dilakuka (pada iterasi seelumya). Utuk iterasi ke-, titik yag aka diproyeksika pada hiperidag pertama adalah titik yag merupaka peyelesaia hampira awal, sedagka titik yag aka diproyeksika pada hiperidag ke-k (2 k ) adalah titik yag merupaka hasil proyeksi pada hiperidag ke- k pada iterasi yag sama. Utuk iterasi ke-2 da seterusya, titik yag aka diproyeksika pada hiperidag pertama adalah titik yag merupaka hasil proyeksi pada hiperidag terakhir atau hiperidag ke- pada iterasi seelumya, sedagka titik yag aka diproyeksika pada hiperidag ke-k (2 k ) adalah titik yag merupaka hasil proyeksi pada hiperidag ke- k pada iterasi yag sama. Peyelesaia hampira atas SPL diperoleh dari titik yag merupaka hasil proyeksi pada hiperidag terakhir pada iterasi yag diigika. Seagai ilustrasi, proses proyeksi dalam medapatka peyelesaia hampira atas SPL yag erukura 2 2 erikut x + x 2 = 2 5 x x 2 = dega metode Kaczmarz dapat dilihat pada Gamar 2. Peyelesaia hampira awal yag dipilih adalah x 0 x 2 0 = 2 5. Hiperidag di R 2 ii erupa garis lurus. Peyelesaia hampira yag diperoleh setelah dua iterasi terlihat semaki medekati peyelesaia eksakya. Dapat dilihat dega mudah pula ahwa utuk iterasi-iterasi selajutya pu, peyelesaia hampira yag diperoleh aka semaki medekati peyelesaia eksakya. x + x 2 = 2 x 0 5 x x 2 = Gamar 2 Ilustrasi proses proyeksi di R 2.

2 Aalisis Kekovergea SPL pada Persamaa () dapat juga ditulis seagai a i T x = i utuk i =, 2,, (2) dega a i adalah vektor kolom ke- i dari matriks A T, i adalah etri pada aris ke- i dari vektor kolom, da diasumsika ahwa utuk setiap i, a i > 0, dega kata lai vektor-vektor aris dari matriks A takol. Kemudia, dimisalka trasformasi f i dari R N ke R N didefiisika seagai f i x = x + i a i T x a i 2 a i (3) utuk i =, 2,, da trasformasi F dari R N ke R N didefiisika seagai F x; = f f 2 f x (4) = f f 2 f x. Taae (97) merigkas algoritme utuk metode Kaczmarz mejadi dua lagkah utama. Pertama, peyelesaia hampira awal dipilih searag da dimisalka seagai x 0. Kedua, arisa x ditetuka dari relasi rekuresi x + = F x ; (5) utuk = 0,,2, Algoritme ii leih sederhaa daripada algoritme seelumya, walaupu pada dasarya sama. Hal ii ditujuka agar leih mudah dalam memuktika kekovergea algoritme utuk metode Kaczmarz. Proyeksi ortogoal yag dilakuka pada algoritme ii ereda dega algoritme seelumya karea dimulai dari hiperidag ke- da erakhir di hiperidag pertama, sehigga arisa peyelesaia hampira yag diagu terletak pada hiperidag a T x = (hiperidag ke- ). Hal ii tidak aka meguah peyelesaia hampira atas SPL yag didapatka dega memalikka uruta hiperidag. Selajutya, aka diuktika ahwa arisa peyelesaia hampira yag diagu dega metode Kaczmarz ii koverge. Seelumya, etuk Persamaa (3) yag merupaka proyeksi ortogoal dari suatu titik ke suatu hiperidag diuah terleih dahulu. Selai itu, dietuk pula persamaapersamaa yag aka diguaka dalam memuktika kekovergea arisa peyelesaia hampira yag diagu dega metode Kaczmarz. Persamaa (3) dapat dietuk mejadi f i x = P i x + i a 2 a i (6) i utuk i =, 2,, dega P i = I a i 2 a ia i T. (7) Bukti Persamaa (6) dapat dilihat pada Lampira 2. Kemudia dimisalka Q i = P P 2 P i (i =, 2,, ), Q 0 = I, da R seagai suatu matriks erorde N dega vektor kolom ke-i dari R adalah maka R = Jadi, didapatka i= a i 2 Q i a i, i a 2 Q i a i. (8) i F x; = Qx + R, (9) dega matriks Q = Q yag erorde N N da matriks R yag erorde N haya ergatug pada matriks A. Bukti Persamaa (9) dapat dilihat pada Lampira 3. Notasi-otasi yag didefiisika pada persamaa-persamaa terseut aka diguaka pada proposisi, lema, akiat, da teorema erikutya. Pemuktia kekovergea arisa peyelesaia hampira yag diagu dega metode Kaczmarz diawali dega proposisi erikut. Proposisi 4.2. Q + RA = I. Persamaa Q + RA = I ekivale dega RA = I Q = I Q. Karea vektor kolom ke-i dari R da vektor aris ke-i dari A erturut-turut adalah a i 2 Q i a i da a i T, maka didapatka RA = a 2 Q 0a a T + a 2 2 Q a 2 a 2 T + + a 2 Q a a T = Q 0 a 2 a a T + Q a 2 2 a 2a 2 T + +Q a 2 a a T

3 9 (karea a 2 merupaka skalar utuk setiap i i =,2,, ). Karea Q 0 = I da erdasarka Persamaa (7), maka diperoleh RA = I P + Q I P 2 + +Q I P = I P + Q Q P Q Q P. Karea Q 0 = I da Q i P i = Q i (dari defiisi), maka RA = I Q + Q Q Q Q = I Q. Bukti legkap. Bedasarka Proposisi 4.2., diperoleh proposisi erikut. Proposisi Ker A = i= x R N P i x = x. Pertama, aka diuktika ahwa Ker A i= x R N P i x = x. Dimisalka x searag, maka Ax = 0 atau dapat diyataka dega a i T x = 0 utuk setiap i =, 2,,. Oleh karea itu, erdasarka Persamaa (7) diperoleh P i x = I a i 2 a ia i T x = x a i 2 a ia i T x = x 0 = x utuk setiap i =, 2,,. Jadi, terukti ahwa Ker A i= Kedua, aka diuktika ahwa i= Dimisalka x R N P i x = x x i= x R N P i x = x. Ker A. x R N P i x = x searag, maka P i x = x utuk setiap i =, 2,,, yaitu P x = x, P 2 x = x,, P x = x. Oleh karea itu, diperoleh x = P x = P P 2 x = = P P 2 P x x = Q x x Q x = 0 I Q x = 0. Karea I Q = RA (erdasarka Proposisi 4.2.), maka RAx = 0 Ax = 0, sehigga diperoleh x. Jadi, terukti ahwa i= Bukti legkap. x R N P i x = x Ker A. Berdasarka Lema da Proposisi 4.2.2, diperoleh lema erikut. Lema Qx = x jika da haya jika x. Pertama, aka diuktika ahwa jika Qx = x maka x. Hal ii sama dega memuktika kotrapositifya, yaki jika x Ker A, maka Qx x. Dimisalka x R N searag sedemikia sehigga x Ker A, maka erdasarka Proposisi 4.2.2, terdapat suatu ilaga i ( i ) sehigga P i x x. Dimisalka ilaga teresar dari semua ilaga terseut adalah i 0, maka P i x = x utuk setiap i > i 0 yaitu utuk i = i 0 +,,. Oleh karea itu, diperoleh P i0 P i0 + P x = P i0 x P i0 P i0 + P x = P i0 x. Berdasarka Persamaa (7), P i0 x = I a 2 a i 0 a i0 i0 = x a 2 a i 0 a T i0 x i0 T x = x a i 0 a 2 a i 0 i0 T x (karea a i0 T x adalah skalar). Karea P i0 x merupaka vektor x dikuragi proyeksi vektor x pada a i0 (erdasarka

4 0 Defiisi 2.4.5) da P i0 x x, maka P i0 x < x. Berdasarka Defiisi 2.4.3, maka utuk setiap i =, 2,,, P i = max P iy y y RN, y 0. Karea P i y y saat y Ker A da P i y = y saat y, maka P i = utuk setiap i =,2,, (artiya, setiap P i mempuyai orm satua). Oleh karea itu, utuk setiap i =,2,, Q i = P P 2 P i P P 2 P i = (erdasarka agia kedua dari Lema 2.4.4), sehigga diperoleh Q x = Q i0 P i0 P i0 + P x Q i0 P i0 P i0 + P x < x (erdasarka agia pertama dari Lema 2.4.4). Jadi, terukti ahwa Qx x. Kedua, aka diuktika ahwa jika x Ker A maka Qx = x. Dimisalka x searag, maka erdasarka Proposisi 4.2.2, P i x = x utuk setiap i =,2,,. Oleh karea itu, diperoleh Bukti legkap. Qx = P P 2 P x = x Qx = x. Berdasarka Lema 4.2.3, diperoleh kedua akiat erikut. Akiat Akiat Q. Jika x maka Qx = x. Agar mempermudah eerapa peulisa tertetu, Ker A da Im A T erturut-turut haya aka dituliska dega K da I. Berdasarka agia pertama dari Lema 2.4.4, Lema 2.4.8, Lema 2.4.0, Lema 2.4.2, Lema 4.2.3, Akiat 4.2.4, da Akiat 4.2.5, diperoleh teorema erikut. Teorema Q = P K + Q dega Q = QP I. 2. Q <. Berdasarka Defiisi 2.4.4, P K adalah proyeksi ortogoal pada Ker A, dega P K x = x, x da P K y = 0, y = Im A T (erdasarka Lema 2.4.0). Berdasarka Defiisi 2.4.4, P I adalah proyeksi ortogoal pada Im A T dega P I y = y, y da P I x = 0, x = Ker A (erdasarka Lema 2.4.0). Berdasarka Lema 2.4.0, Ker A = Im A T, sehigga erdasarka Lema 2.4.2, diperoleh Ker A Im A T = R N. Dimisalka z R N searag, maka z dapat dituliska secara uik seagai z = x + y dega x da y. Karea Q = QP I, maka P K + Q z = P K + QP I x + y = P K x + y + QP I x + y = P K x + P K y + QP I x + QP I y = x Q0 + Qy = Qx Qy = Q x + y = Qz (erdasarka Akiat 4.2.5). Karea P K + Q z = Qz, z R N, maka erdasarka Defiisi 2.3.2, Q = P K + Q. Bagia pertama terukti. Selajutya, erdasarka Defiisi 2.4.3, Q = max Qx x x RN, x 0. Dimisalka x R N, x 0 searag. Karea Q = QP I, maka Qx = QP I x. Berdasarka agia pertama dari Lema 2.4.4, diperoleh Qx = QP I x Q P I x. Karea P I x x, maka Qx Q P I x Q x Qx x Q x Q. x Jadi, Q Q. Berdasarka Akiat 4.2.4, diperoleh Q Q. Karea Ker A = Im A T (erdasarka Lema 2.4.0), maka Ker A Im A T. Oleh karea itu, erdasarka Lema 2.4.8,

5 Ker A Im A T = 0. Diketahui ahwa utuk setiap vektor x R N, x 0, erlaku P I x. Jika P I x Ker A, maka P I x = 0, sehigga Qx = QP I x = Q0 = 0 = 0 < x. Jika P I x Ker A, maka erdasarka Lema 4.2.3, Qx = QP I x < P I x x. Oleh karea itu, utuk setiap vektor x R N, x 0, erlaku Qx < x. Jika Q =, maka erdasarka defiisi dari Q, terdapat suatu vektor x 0 R N, x 0 0, sedemikia sehigga Qx 0 = x 0. Hal ii kotradiksi dega hasil seelumya yag meyataka ahwa utuk setiap vektor x R N, x 0, erlaku Qx < x. Jadi, dapat disimpulka ahwa Q <. Bagia kedua terukti. Bukti legkap. Berdasarka Lema 2.4.4, Lema 2.4.0, Lema 2.6.3, Proposisi 4.2.2, da Teorema 4.2.6, diperoleh teorema erikut. Teorema Utuk setiap matriks A yag erorde N dega aris-aris takol da vektor kolom = 0 yag erorde, algoritme (5) x + = F x ; 0 = Qx, = 0,,2, memagu suatu arisa x yag koverge ke P K x 0, yaitu lim x = lim Q x 0 = P K x 0 dega x 0 R N adalah vektor peyelesaia hampira awal searag. Berdasarka Persamaa (5) da (9), utuk = 0 diperoleh x = Qx 0 x 2 = Qx = QQx 0 = Q 2 x 0. Dega cara serupa, diperoleh x 3 = Q 3 x 0 x 4 = Q 4 x 0 da seterusya, sehigga diperoleh pola dega etuk x = Q x 0 (0) utuk setiap N (ukti dapat dilihat pada Lampira 4). Diketahui utuk setiap x R N, P K x Ker A da utuk setiap y R N, P I y Im A T. Kemudia, erdasarka Lema da Proposisi 4.2.2, utuk setiap x da setiap y erlaku x T Qy = Q T x T y = x T y = 0 sehigga Qy (erdasarka Lema juga). Karea P I Q x utuk setiap x R N da setiap N serta erdasarka agia pertama dari Teorema 4.2.6, maka Q x = QQ x = QP I Q x Im A T utuk setiap x R N. Berdasarka Persamaa (5) da (9) serta agia pertama dari Teorema 4.2.6, utuk = 0 diperoleh x = Qx 0 = P K + Q x 0 = P K x 0 x 2 = Qx + Qx 0 = P K + Q P K x 0 = P K P K x 0 +QP I P K x 0 = P K x 0 = P K x 0 + P K Qx 0 + Qx 0 + Q Qx Q0 + Q 2 x 0 + Q 2 x 0 Dega cara serupa, diperoleh x 3 = P K x 0 x 4 = P K x 0. + Q 3 x 0 + Q 4 x 0 da seterusya, sehigga diperoleh pola dega etuk x = P K x 0 + Q x 0 utuk setiap N (ukti dapat dilihat pada Lampira 5). Jadi, lim x = lim Q x 0 = lim P K x 0 + Q x 0. ()

6 2 Karea P K x 0 tidak ergatug pada, maka lim P Kx 0 = P K x 0. Selajutya, aka diuktika ahwa lim Q x 0 = 0. yaitu > 0, 0 N sehigga Q x 0 0 <, utuk 0. Dimisalka > 0 searag. Karea > 0 da x 0 0, maka = > 0 0 < x 0 + l x x 0 Karea Q < (erdasarka agia kedua dari Teorema 4.2.6), maka l Q < 0. Kemudia dipilih 0 N sedemikia sehigga l x 0 > 0 l Q + 0. Dimisalka N searag sedemikia sehigga 0, maka l x 0 > 0 l Q l Q < l l Q Q < < l + x 0 x 0 x Berdasarka agia kedua dari Lema 2.4.4, Q = QQ Q kali Q Q Q kali = Q < x 0 + Q x 0 + <. Berdasarka agia pertama dari Lema 2.4.4, Q x 0 Q x 0 < Q x 0 + < Q x 0 0 <. Oleh karea itu, terukti ahwa lim Q x 0 = 0. Jadi, erdasarka Lema 2.6.3, diperoleh Bukti legkap. lim x = lim Q x 0 = P K x = P K x 0. Berdasarka Lema 2.4.0, Lema 2.6.3, Teorema 2.6.5, Proposisi 4.2.2, agia pertama da kedua dari Teorema 4.2.6, da Teorema diperoleh teorema erikut yag meyataka kekovergea arisa peyelesaia hampira yag diagu dega metode Kaczmarz. Teorema Utuk setiap matriks A yag erorde N dega aris-aris takol da setiap vektor kolom yag erorde, algoritme (5) x + = F x ; = Qx + R, = 0,,2, memagu suatu arisa vektor x koverge ke P K x 0 + H, yaitu lim x = P K x 0 + H yag dega x 0 R N adalah vektor peyelesaia hampira awal searag da matriks H = I Q R (erorde N ). Berdasarka Persamaa (5) da (9) diperoleh x = Qx 0 + R x 2 = Qx + R = Q Qx 0 + R + R = Q 2 x 0 + QR + R = Q 2 x 0 + QR + R = Q 2 x 0 + Dega cara serupa, diperoleh x 3 = Q 3 x 0 + x 4 = Q 4 x da seterusya, sehigga diperoleh pola dega etuk.

7 3 x = Q x 0 + utuk setiap N (ukti dapat dilihat pada Lampira 6). Jadi, lim x = lim Q x 0 + (2). Berdasarka Teorema 4.2.7, Q x 0 koverge ke P K x 0, artiya lim Q x 0 = P K x 0, sehigga selajutya tiggal diuktika ahwa koverge ke H, yaitu lim = H. Karea Q i T = P i P i P 2 P utuk setiap i =,2,,, maka utuk setiap x, erlaku Q T i x = P i P i 2 P 2 P x = x utuk setiap i =,2,, (erdasarka Proposisi 4.2.2), sehigga x T Q i a i = Q T i x T a i = x T a i = 0 utuk setiap i =,2,,. Oleh karea itu, x T a i 2 Q i a i = a i 2 xt Q i a i = 0. Jadi, erdasarka Lema 2.4.0, vektor-vektor kolom a i 2 Q i a i dari matriks R merupaka aggota dari Im A T, sehigga P I R = R. Selajutya, erdasarka Lema da Proposisi 4.2.2, utuk setiap x da y erlaku x T Qy = Q T x T y = x T y = 0 sehigga Qy (erdasarka Lema juga). Karea vektor-vektor kolom dari matriks R merupaka aggota dari Im A T, maka vektor-vektor kolom dari matriks QR juga merupaka aggota dari Im A T, sehigga P I QR = QR. Jadi, diperoleh = Q 0 R + Q R + Q 2 R + + Q R = IR + QP I R + QP 2 I R + + QP I R = Q 0 R + Q R + Q 2 R + + Q R = (erdasarka agia pertama dari Teorema 4.2.6). Karea Q < (erdasarka agia kedua dari Teorema 4.2.6), maka erdasarka Teorema diperoleh sehigga lim = lim = Q k R = I Q R = H, = = H (erdasarka Defiisi 2.6.4). Oleh karea itu, koverge ke H. Jadi, erdasarka Lema 2.6.3, terukti ahwa x koverge ke yaitu Bukti legkap. P K x 0 + H, lim x = P K x 0 + H. Berdasarka Teorema 4.2.8, apaila SPL pada Persamaa () kosiste, maka utuk searag peyelesaia hampira awal x 0, P K x 0 + H adalah peyelesaia eksakya. Hal ii juga memerika hasil ahwa

8 4 himpua semua vektor peyelesaia kuadrat terkecil atas SPL pada Persamaa () adalah LSS A, = P K x 0 + H x 0 R N = Ker A + H. Jadi, arisa vektor x yag diagu koverge ke LSS A, Hasil Komputasi Algoritme utuk metode Kaczmarz diimplemetasika dega memuat program ATLAB yag hasilya terdapat pada Lampira 7. Iput dari program ii adalah matriks koefisie, vektor kostata, da searag vektor peyelesaia hampira awal. Selai itu, terdapat iput tamaha seagai kriteria pemerhetia, yaitu ayakya iterasi da atas tolerasi. Iput tamaha ii dapat ditetuka sediri (salah satu atau keduaya) atau disesuaika dega ilai default-ya. Nilai default dari ayakya iterasi da atas tolerasi erturut-turut adalah 00 da 0-6. Output dari program ii adalah vektor peyelesaia hampira atas SPL. Seagai tamaha, ditampilka pula orm sisaa dari peyelesaia hampira terseut. Pegujia da pegamata terhadap program ATLAB dari algoritme utuk metode Kaczmarz ii dilakuka dega megguaka sistem persamaa liear yag matriks koefisie da vektor kostataya diagkitka. Ada tiga jeis SPL yag diguaka. Ketigaya diagkitka dega cara yag ereda. Setiap jeis diwakili oleh satu SPL. Jadi, ada tiga SPL yag diguaka. Pemagkita sistem persamaa liear ii megguaka program ATLAB yag telah disediaka oleh Hase (994). SPL ke- diagkitka dari masalah pemurama gamar digital yag dimodelka dega fugsi pemacara titik Gauss erikut: h x, y = 2σ 2 exp x2 + y 2 2σ 2. Program pemagkit dega cara ii terdapat pada Lampira 8. atriks koefisie yag dihasilka adalah segi. Pemagkita ii mempuyai atasa, yaki orde dari matriks koefisie disaraka tidak terlalu kecil da direkomedasika leih esar dari atau sama dega SPL ke-2 diagkitka dari diskretisasi persamaa itegral Fredholm jeis pertama erikut: 6 6 κ τ, σ x σ dσ = τ, 6 τ 6. Diskretisasi dilakuka dega metode Galerki. Calvetti da Reichel (2002) memerika peyelesaia x, kerel κ, da ruas kaa seagai erikut: x σ = + cos π σ, 3 σ < 3 0, σ 3 κ τ, σ = x τ σ τ = 6 τ + 9 2π si π 3 τ. + 2 cos π 3 τ Program pemagkit dega cara ii terdapat pada Lampira 9. atriks koefisie yag dihasilka adalah segi. Pemagkita ii juga mempuyai atasa, yaki orde dari matriks koefisie kelipata dari empat, sehigga ukura SPL yag diagkitkaya pu kelipata dari empat. SPL ke-3 diagkitka dari masalah tomografi dua dimesi. Program pemagkit dega cara ii terdapat pada Lampira 0. atriks koefisie yag dihasilka adalah segi. Pemagkita ii mempuyai atasa yag sama dega pemagkita pertama. Tael Karakteristik SPL yag diguaka utuk pegujia da pegamata Karakteristik SPL ke- SPL ke-2 SPL ke-3 Ukura Kosiste Ya Ya Ya atriks koefisie sparse Ya Tidak Ya Nilai maksimum eleme matriks koefisie Nilai miimum eleme matriks koefisie Nilai maksimum eleme vektor kostata Nilai miimum eleme vektor kostata

9 5 Karakteristik dari ketiga SPL yag diguaka terseut disajika pada Tael. Ketiga SPL terseut mempuyai ukura yag sama, yaitu Ketiga SPL terseut ersifat kosiste, sehigga himpua LSS A, = Ker A + H utuk ketiga SPL mempuyai miimal satu aggota yag merupaka peyelesaia kuadrat terkecil atas SPL. Peyelesaia ii juga merupaka peyelesaia eksak dari SPL. atriks koefisie dari SPL ke- da ke-3 sparse, sedagka matriks koefisie dari SPL ke-2 tidak sparse. Hal ii juga dapat dilihat dari pola sparsity yag diperlihatka oleh Gamar 3, 4, da 5. Wara iru meujukka eleme takol, sedagka wara putih meujukka eleme ol. Bayakya eleme takol dari matriks koefisie dari SPL ke- ada atau 8.36% dari ayakya eleme. Semua eleme takolya adalah positif dega ilai maksimum Semua eleme dari vektor kostata dari SPL ke- adalah takegatif dega ilai miimum 0 da ilai maksimum Gamar 4 Pola sparsity dari matriks koefisie dari SPL ke-2. Bayakya eleme takol dari matriks koefisie dari SPL ke-3 ada atau 8.25% dari ayakya eleme. Semua eleme takolya adalah positif dega ilai maksimum.406. Semua eleme dari vektor kostata dari SPL ke-3 adalah takegatif dega ilai miimum 0 da ilai maksimum Karakteristik SPL ke-3 ii mirip dega SPL ke-. Peredaaya terlihat pada pola sparsity dari matriks koefisie keduaya. Gamar 3 Pola sparsity dari matriks koefisie dari SPL ke-. atriks koefisie dari SPL ke-2 mempuyai eleme takol pada diagoal utama serta pada 64 diagoal di awah da 64 diagoal di atas diagoal utama. atriks seperti ii diseut aded dega adwidth 29. Bayakya eleme takol ada atau 44.04% dari ayakya eleme. Semua eleme takol adalah positif dega ilai maksimum Semua eleme dari vektor kostata dari SPL ke-2 adalah positif dega ilai miimum da ilai maksimum Gamar 5 Pola sparsity dari matriks koefisie dari SPL ke-3. Peyelesaia hampira awal yag diguaka adalah vektor kolom ol. Peyelesaia hampira awal seperti ii meyeaka orm sisaa awal yag eredaeda utuk ketiga SPL (dapat dilihat pada Lampira ). Pegamata terhadap kekovergea dilakuka dega melihat orm sisaa dari peyelesaia hampira atas ketiga SPL pada iterasi ke-0 sampai iterasi ke-30. Hasilya diperlihatka oleh Gamar 6, 7, da 8. Selai itu, dapat juga dilihat pada Lampira.

10 6 Gamar 6 Hasil kekovergea utuk SPL ke-. Gamar 7 Hasil kekovergea utuk SPL ke-2. Gamar 8 Hasil kekovergea utuk SPL ke-3.

11 7 Pegamata terhadap kekovergea memperlihatka hasil yag sesuai dega aalisis pada sua seelumya. Hasil meujukka ahwa utuk ketiga SPL yag diguaka, algoritme utuk metode Kaczmarz memagu arisa peyelesaia hampira atas SPL yag koverge. Hasil ii dapat dilihat dari orm sisaa yag semaki megecil meuju ol. Norm sisaa yag semaki medekati ol ii mempuyai arti ahwa peyelesaia hampira yag dihasilka semaki medekati peyelesaia eksakya. Norm sisaa utuk ketiga SPL meuru dega laju yag cukup cepat seelum iterasi ke-0. Setelah itu, laju peuruaya melamat. Perlamata ii juga dapat diamati dari peigkata yag sagat tajam dari ayakya iterasi yag diperluka utuk memperoleh orm sisaa yag semaki kecil. Agar diperoleh orm sisaa yag leih kecil dari atau sama dega 0 - utuk SPL ke- sampai ke-3, diperluka erturut-turut 22, 0, da 249 iterasi. Kemudia, agar diperoleh orm sisaa yag leih kecil dari atau sama dega 0-2 utuk SPL ke- sampai ke-3, diperluka erturut-turut 22, 68, da iterasi.