Penggunaan Distribusi Poisson Untuk Menghitung Peluang Memenangkan Suatu Permainan

Transkripsi

1 T a a a Pegguaa Distribusi Poisso Utu Meghitug Peluag Meeaga Suatu Peraia Itisari Dala tulisa ii ai aa ebahas eeraa teorea araterisasi yag erat aitaya ega istribusi Poisso aa beberaa ata seabola a baseball. Peluag P( ) suatu ti ega sor rata-rata egalaha ti laiya Q ( µ ) yag eilii sor rata-rata μ ihitug etia sor asig-asig ti beristribusi Poisso. Teorea araterisasi eyataa jia ersaaa P[ P( ) Q] P[ P( ) Q] > berlau utu setia istribusi sor ari ti ega rata-rata μ aa sor ti ega rata-rata beristribusi Poisso. Abstract I this aer we iscuss the alicatio of the characterizatio theore, which has close relatio with Poisso istributio, to soe soccer a baseball ata. The robability P( ) that a tea with ea score beats a tea Q ( µ ) with ea score μ is calculate whe the score of each tea is Poisso istribute. The characterizatio theore states if P[ P( ) > Q] P[ P( ) Q] hols for ay score istributio of the tea with ea μ, the the score of the tea with ea ust be Poisso istribute. I Peahulua Aaia P a Q berai aa suatu eraia. Sor P a Q salig bebas. P eeroleh sor ega eluag. Q eeroleh sor ega eluag q. Jia lawa ega sor tertiggi eag a beristribusi Poisso, ega ratarata, aa e,,,, (.)! Aa itujua bahwa utu setia istribusi q, P[ P eag] P[ P a Q seri] (.) Persaaa (.) bear jia iberia oleh (.) sehigga (.) eberia suatu araterisasi baru ari istribusi Poisso. Jia Q juga beristribusi Poisso, ega rata-rata µ, aa eluag aa (.) aat ievaluasi secara eslisit a (.) aat ibutia secara lagsug. II Teorea Karaterisasi Teorea : Jia P() suatu eubah aca beristribusi Poisso ega rata-rata a Q eubah aca berilai bilaga bulat oegatif yag salig bebas ega P() aa berlau 3 I T E G R A L, vol. 6 o, Aril

2 P[ P( ) > Q] P[ P( ) Q] (.) Sebaliya, isala P() eubah aca berilai bilaga bulat oegatif yag eilii rata-rata ega () P[P() ] yag aat iturua terhaa, a Q aalah eubah aca berilai bilaga bulat oegatif yag salig bebas ega P(). Jia (.) ieuhi utu seua eubah aca Q aa P() beristribusi Poisso. Buti : Jia P() beristribusi Poisso ega () P[P() ] iberia oleh (.), a q P(Q ) aa ruas aa ari (.) ialah : e P[ P( ) Q] q (.)! a ruas iri ari (.) ialah : P[ P ( ) > Q ] q ( ) + e q ( ) +! q e ( ) +!! e q (.3)! Utu eeroleh betu terahir ari (.3), guaa eyataa bahwa ejulaha terhaa aa iverge. Karea ruas aa ari (.) a (.3) ieti, aa (.) terbuti. Utu ebutia sebaliya, ulaula ita ulai ega : P[P() > Q] - P[P() Q]. Dega eiia, (.) aat itulisa ala betu PP [ ( ) > Q ] {- PP [ ( ) Q]} [- q ( )] - ( ) q q Persaaa (.4) eberia ( ) (.4) q q ( ) ( ) q ( q ) + [ ( ) + ( )] q [ ( ) ( )... ( )]... q ( ) q ( )... q aa : ( )... q ( ) q ( ) q[ ( ) + ( )] q ( ) q [ ( ) ( )... ( )] q ( ) M M ieroleh : ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) M ( ) ( ) ( ) M I T E G R A L, vol. 6 o, Aril 3

3 Jai, ( ) ( ) (.5) Jia aa : ( ) ( ) (.6) Dega egguaa Prisi Iusi Mateatia (PIM) a berasara aa ersaaa (.5) a (.6), aa ibutia ( ) ( ) + ( ),,......(). Persaaa (.6) eberia : ( ) ( ) Dari ersaaa (.5) utu ieroleh : ( ) + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Substitusi a ( ) ( ) ieroleh : ( ) ( ) [ ( )] ( ) + ( ) Jai, eryataa () bear utu.. Misala eryataa () bear utu, + aa ( ) ( ) ( ). Aa ibutia utu + berlau : + ( ) + ( ) + ( ) Perhatia + : ( ) - ( ) -( ) Karea ( ) + ( ) ( ) - ( ) aa : ( ) [ ( ) + ( ) ( )] + ( ) - Keuia eua ruas itabaha + + ( ) ieroleh : ( ) + ( ) [ ( ) + ( ) ( )] + ( ) + ( ) - + ( ) + ( ) [ ( ) + ( ) ( ) + ( )] + ( ) Karea ( ) + ( ) ( ) + ( ) - ( ) aa : + + ( ) + ( ) - ( ) + ( ) ( ) - ( ) + [ ( )- ( )] + - Karea aa -( )- ( ) ( ) : ( ) ( ) + ( ) + + Jai, terbuti bahwa ( ) ( ) + ( ),,......(.7) 3 I T E G R A L, vol. 6 o, Aril

4 Persaaa (.6) a (.7) eruaa ersaaa iferesial biasa liear. Karea ialah rata-rata ari P() aa E( ) µ ( ), sehigga aa ieroleh : E ( ) () () + () + () + 3 () +... () 3 a () () + () + 3 () + () +... ( ) Solusi ari eua ersaaa ( ) a ( ) i atas aalah () a () () 3 ().... Jai, () ; (),, 3,......(.8) Dega syarat awal aa (.8), ersaaa (.6) a (.7) euyai solusi ui, a aat ibutia bahwa istribusi Poisso (.) aalah solusiya. Ii eyeuraa buti ari teorea araterisasi. Karea ersaaa (.) ieuhi, aa P() beristribusi Poisso. Keuia ruas iri a ruas aa ari (.) iitegrala terhaa ega batas bawah. P[ P( ) > Q] P[ P( ) Q].(.9) Hubuga ii bergua jia ilai itegral aat itetua ega uah. III Sor Beristribusi Poisso Jia iasusia Q(µ) juga beristribusi Poisso ega rata-rata µ aa P[ P( ) Q( µ )] µ e e µ!! µ ( µ ) e (!) µ e I ( µ )...(3.) Disii I ialah fugsi Bessel yag ioifiasi bererajat ol. Persaaa (.9) eberia P[ P( ) > Q( µ )] P[ P( ) Q( µ )] µ e I[ µ ] µ e e I[ µ ]... (3.) Persaaa (3.) juga aat iturua ari (.9) secara lagsug ega eerhatia ruas iri, yag aat iyataa sebagai ejulaha gaa. Jai, jia sor P a Q beristribusi Poisso ega P() a Q(µ), aa (3.) aalah eluag P eag a (3.) aalah eluag P a Q seri. Utu ertaiga yag seibag, ega µ, ersaaa (3.) ejai P Q e I P[ a seri] ( )...(3.3) Fugsi ii seerti itujua aa Gabar, ooto turu ari satu utu a euju e ol utu euju +. Utu besar, fugsi ii overge secara asitoti e. 4π I T E G R A L, vol. 6 o, Aril 33

5 P (P a Q seri),9,8,7,6,5,4,3,, Gabar Peluag seri jia sor eua lawa beristribusi Poisso ega rata-rata saa,, ihitug ari (3.3) Gabar eujua bahwa eluag seri lebih ugi terjai atara lawa ega sor reah ariaa atara lawa ega sor tiggi. Dari eyataa bahwa P[P() > Q()] P[Q() > P()] { - P[P() Q()]}, ieroleh - P[ P eag] [-e I( )]...(3.4) Utu besar, fugsi ii overge secara asitoti e. 4π IV Peeraa e Data Seabola Dala tabel itujua hasil-hasil eraia seabola yag iaia i Liga Seabola Iterasioal ari tahu 996 saai tahu (ata iabil ari Lebara Khusus Olahraga Piira Rayat, Gelora). Utu asig-asig asaga ti, tabel eujua julah eraia atara satu ti elawa ti laiya, julah eseluruha gol yag iceta, julah eraia yag ieaga asig-asig ti, a julah seri ari eseluruha eraia tersebut. Hasil bagi gol-gol tia eraia ialah rata-rata julah gol tia eraia yag iceta oleh asig-asig ti elawa ti laiya. Misala julah gol yag iceta oleh asig-asig ti beristribusi Poisso ega araeter yag bergatug eaa ti lawa. Sebagai cotoh, aa eraia atara Juvetus a AS Roa aa araeter utu Juvetus a araeter µ utu AS Roa. Utu easir araeter-araeter ii iguaa axiu lielihoo etho. Statisti easir ari a μ ialah : L( µ, ) i e µ e µ!! i i i i i i i µ i ( e )( e µ ) i i i S µ S e e µ i i! i!!! ( )( )...(4.) 34 I T E G R A L, vol. 6 o, Aril

6 Disii ialah julah eraia, S 5 ialah julah eseluruha gol yag iceta oleh Juvetus, a S ialah julah eseluruha gol yag iceta oleh AS Roa. Dari ersaaa (4.) l L(, µ) - + S l - µ + S l µ - l l...(4.) i i i i l L l L Dega eurua a µ saa ega ol, a ecari eyelesaia utu a µ, ieroleh tasira axiu lielihoo S S a µ...(4.3) Tasira-tasira ii itujua ala olo tabel berjuul Gol tia eraia. Jai, utu Juvetus elawa AS Roa, 5,364 a µ,99. Searag, ilai a µ iguaa aa ersaaa (3.) utu easir eluag seri a (3.) utu easir eluag suatu ti ega araeter egalaha ti ega araeter µ. Tasira eluag-eluag tersebut itujua ala olo tabel berjuul Peluag (berasara teorea Karaterisasi). Dega egguaa eragat lua Male V Release 5 aat ihitug eluag eag, eluag alah, a eluag seri asig-asig ti. Paa eraia atara Juvetus elawa AS Roa, eluagya aalah,4738 utu eeaga Juvetus;,5 utu eeaga AS Roa; a,76 bahwa eua ti ii seri. Megalia asig-asig eluag ega julah eraia eberia ilai itujua ala olo Meag a seri yag iharaa. Maa, julah eag yag iharaa utu Juvetus elawa AS Roa ialah (,4738) 5,; AS Roa eag atas Juvetus ialah (,5),8; a seri ialah (,76) 3,. Kolo beriutya eujua julah Meag a seri yag sebearya, a erbeaa Keuraga sebearya yag iharaa itujua ala olo eua ari belaag aa tabel. Jia ialah eluag seri aa eluag seri ala eraia iberia oleh istribusi bioial ( ). Julah seri yag iharaa ialah, a siaga bau ialah ( ), yag itujua aa olo terahir. Julah eag yag iharaa a siaga bau utu ti-ti laiya ihitug ega cara yag saa, egguaa eluag yag teat. Searag aa ibaiga ua olo terahir, yaitu eyiaga yag sebearya ega siaga bauya. Eat belas ari 8 asus, ilai utla eyiaga sebearya lebih ecil ariaa siaga bauya a ala eat asus ilai utla eyiaga sebearya lebih ecil ariaa ali siaga bauya. Hal ii eujua bahwa oel sesuai ega ata yag iberia. V Peeraa e Data Baseball Dala tahu 994, Sa Frasisco Giats ari Perhiua Baseball asioal berai eraia elawa Floria Marlis a elawa St. Louis Carials. Julah rus yag iceta oleh asigasig ti ala eraia tersebut itujua aa tabel, berasara ata yag iberia oleh Sa Frasisco Giats. Tabel juga eujua, tasira axiu lielihoo ari araeter iasusia beristribusi Poisso utu asig-asig ti. Tasira ialah ratarata julah rus tia eraia. Utu eguji ebeara istribusi Poisso, ita guaa uji statisti I T E G R A L, vol. 6 o, Aril 35

7 T r ( i )...(5.) i Disii r i eyataa julah rus yag iceta oleh satu ti, ataalah Giats, aa eraia e-i. Meurut Cox a Hiley yag egusula statisti ii, beristribusi asitoti utu sael besar ialah istribusi χ ega erajat ebebasa. ilai T utu asigasig ti ala tia set eraia itujua ala tabel. Dega erajat ebebasa, χ euyai ilai 9,68 utu P,5 a,6 utu P,. Maa ala tiga ari eat asus istribusi Poisso aat iteria aa tigat,5 seaga ala asus eeat istribusi Poisso aat iteria aa tigat,. Peraia ertaa atara Sa Frasisco Giats a Floria Marlis seri ega sor 3-3 aa ahir baba sebila, a Sa Frasisco Giats eag ega sor 4-3 aa baba e sebelas. Kita telah egguaa hasil aa ahir baba sebila utu ebuat seluruh eraia seibag a eerboleha eugia seri. Utu Sa Frasisco Giats elawa Floria Marlis, tasira 56 4, a µ 4,. Dega egguaa eragat lua Male V Release 5 aat ihitug eluag eag, eluag alah, a eluag seri asig-asig ti. Paa eraia atara Sa Frasisco Giats elawa Floria Marlis, eluagya aalah,5 utu eeaga Sa Frasisco Giats;,3445 utu eeaga Floria Marlis; a,343 bahwa eua ti ii seri. Kita telah eghitug eluag eag utu asig-asig ti, a eluag seri, ari ersaaa (3.) a (3.) egguaa ilai aa tabel. Hasilya, bersaa ega julah eag a seri yag iharaa a yag sebearya, itujua aa tabel 3. Sa Frasisco Giats juga berai elawa ti laiya aa tahu 994, a itujua hituga-hituga yag iri utu beberaa set ari eraia tersebut. ilai ari uji statisti T aalah terlalu besar bagi istribusi Poisso utu aat iteria, eujua eghabura. Bagaiaau juga, ala asus Sa Frasisco Giats elawa Floria Marlis, ita eghitug julah eag a seri yag iharaa, ega egasusia istribusi Poisso, a erea ala satu siaga bau ari ilai sebearya. VI Kesiula Aaia P() a Q berai aa suatu eraia. Jia P() suatu eubah aca beristribusi Poisso ega rata-rata e,,,,... (6.)! a Q eubah aca berilai bilaga bulat oegatif yag salig bebas ega P() aa berlau P[ P( ) > Q] P[ P( ) Q]...(6.) Persaaa (6.) bear jia iberia oleh (6.) sehigga (6.) eberia suatu araterisasi baru ari istribusi Poisso. Jia Q juga beristribusi Poisso, ega rata-rata µ, aa eluag aa (6.) aat ievaluasi secara eslisit a (6.) aat ibutia secara lagsug. Persaaa (6.) tia berlau jia eua eubah aca P a Q tia beristribusi Poisso. Sebaliya, isala P() eubah aca berilai bilaga bulat oegatif euyai rata-rata ega () P[P() ] yag aat iturua terhaa a Q eubah aca berilai bilaga bulat oegatif yag salig bebas ega P(). Jia (6.) ieuhi utu seua eubah aca Q aa P() beristribusi Poisso. Persaaa (6.) i atas isebut teorea araterisasi yag erat aitaya ega istribusi Poisso utu eghitug eluag eeaga suatu eraia. Distribusi Poisso terbuti sesuai ega beberaa ata baseball, a juga aat iteraa aa beberaa ata seabola. Selai itu, teorea araterisasi ii juga 36 I T E G R A L, vol. 6 o, Aril

8 aat iteraa aa ata bola baset a ata-ata laiya yag eeuhi teorea araterisasi. Pustaa. Abraowitz, M. a Stegu, I. A Haboo of Matheatical Fuctios. ew Yor : Dover. Keller, B. J. A Characterizatio of the Poisso Distributio a the Probability of Wiig a Gae. The Aerica Statisticia, Vol. 48, o. 4, oveber 994, Kreyszig, E Avace Egieerig Matheatics, 6th e. ew Yor : Joh Wiley & Sos. Peulis Taaa aalah ahasiswa Jurusa Mateatia, FMIPA, Uiversitas Katoli Parahyaga. I T E G R A L, vol. 6 o, Aril 37