Ruang Vektor Eigen Suatu Matriks Atas Aljabar Max-Plus Interval. Eigenvector Space of a Matrix of Interval Max-Plus Algebra

Transkripsi

1 Jural Mateatia & Sais April 2014 Vol 19 Noor 1 Ruag Vetor Eige Suatu Matris Atas Alabar Max-Plus Iterval Abstra Siswato 1) Ari Suparwato 2) da M Ady Rudhito 3) 1) Jurusa Mateatia FMIPA UNS Suraarta 2) Jurusa Mateatia FMIPA Uiversitas Gadah Mada Yogyaarta 3) FKIP Uiversitas Saata Dhara Yogyaarta e-ail :sisipaus@yahoocoid ari_suparwato@yahooco arudhito@yahoocoid Diteria 22 Noveber 2013 disetuui utu dipubliasia 7 Maret 2014 Misala hipua bilaga real Alabar Max-Plus adalah hipua = {-} dilegapi dega operasi asiu da plus Dapat dibetu hipua atris beruura yag elee-eleeya erupaa aggota hipua ditulis Dibetu hipua I() yaitu hipua yag aggotaya erupaa iterval-iterval tertutup dala Hipua I() dilegapi dega operasi da disebut alabar Max-Plus iterval Selautya dapat pula dibetu hipua atris beruura yag eleeeleeya erupaa aggota hipua I() ditulis I( ) Misala A I( ) da [ AA ] I( ) b dega A [ AA ] atris iterval A diataa ta teredusi ia utu setiap atris A [ AA ] ta teredusi Jia tida dea atris iterval A diataa teredusi Dala peelitia aa dibahas tetag ruag vetor eige suatu atris atas alabar Max-Plus iterval Kata uci : Ruag vetor eige Alabar Max-Plus iterval Abstract Eigevector Space of a Matrix of Iterval Max-Plus Algebra Let be the set of real ubers Max-Plus Algebra is the set = {-} equipped with the iu operatio ad plus The set is a set of atrix with etries belogig to Set I() ie the set whose ebers are closed itervals i The set I() equipped with the iu operatio ad plus called iterval Max-Plus algebra Furtherore we ca also for the set of size atrices whose eleets are ebers of the set I() writte I( ) Suppose A I( ) ad [ AA ] I( ) b where A [ AA ] the iterval atrices A is irreducible if for ay atrix A [ AA ] irreducible Otherwise the iterval atrix A is said reducible I this research we will discuss eigevector space of iterval Max-Plus algebra atrix Keywords : Eigevector space Iterval Max-Plus algebra 1 Pedahulua Alabar Max-Plus adalah hipua {} dilegapi dega operasi asiu da plus Alabar Max-Plus telah diguaa utu eodela da egaalisis secara alabar asalah perecaaa ouiasi produsi siste atria dega apasitas berhigga oputasi parallel da lalu litas (Bacelli d 2001) Dari hipua dapat dibetu hipua atris beruura yag elee-eleeya erupaa elee diotasia dega disebut hipua atris atas alabar Max-Plus Hipua dilegapi dega operasi asiu da plus erupaa seirig idepote (Aia d 1994; Koigsberg 2009) Secara uu uga didefsia hipua yaitu hipua atris beruura Khusus utu = 1 diperoleh hipua vetor atas alabar Max-Plus ditulis (Farlow 2009) Schutter (1996) da Subioo (2000) telah ebahas tetag asalah ilai eige da vetor eige suatu atris A sedaga Butovic da Ta (2009) serta Ta (2010) telah ebahas tetag ruag vetor eige atris atas alabar Max-Plus Utu eyelesaia asalah ariga dega watu ativitas bilaga abur seperti peadwala abur da siste atria abur alabar Max-Plus telah digeeralisasi eadi alabar Max- Plus iterval da alabar Max-Plus bilaga abur Alabar Max-Plus iterval yaitu hipua I() dilegapi dega operasi asiu da sedaga alabar Max-Plus bilaga abur yaitu hipua F() dilegapi dega operasi da 8

2 Siswato d Ruag Vetor Eige Suatu Matris Atas Alabar Max-Plus Iterval 9 (Rudhito 2011) Telah dibahas uga oleh Rudhito (2011) tetag atris atas alabar Max-Plus iterval graf dala alabar Max-Plus iterval serta ilai eige da vetor eige atris atas alabar Max-Plus iterval husus utu atris ta teredusi Selai itu Siswato (2012) telah ebahas tetag ilai eige da vetor eige atris teredusi regular atas alabar Max-Plus iterval Dari uraia tersebut eari utu diteliti tetag ruag vetor eige atris atas alabar Max- Plus iterval Sebelu dibahas hasil peelitia terlebih dahulu aa ditiau beberapa osep dasar da hasil-hasil yag eduug pebahasa Kaia Pustaa Beriut adalah defsi tetag alabar Max- Plus atris atas alabar Max-Plus beserta operasiya da graf (Bacelli d 2001; Farlow 2009; Koigsberg 2009) Defsi 1 Misala hipua bilaga real defsia hipua = {} dega = - Hipua yag dilegapi dega operasi asiu da plus sehigga erupaa seifield idepote disebut alabar Max-Plus da diotasia dega ( ; ) Defsi 2 Hipua atris beruura dega elee-elee dala diotasia dega yaitu {[ Ai ] Ai } Hipua dilegapi dega operasi da ditulis ( ; ) sehigga erupaa seirig idepote dega elee etral da elee idetitas asig-asig adalah da E Defsi 3 Diberia hipua V da E V V diaa V erupaa hipua titi (ode) dega aggota berhigga da E terdiri atas hipua pasaga terurut titi yaitu busur (edge atau arc) Selautya D = (V E) disebut sebagai graf berarah (directed graph) Defsi 4 Grafi berarah D = (V E) yag dilegapi fugsi bobot w : E disebut graf berarah berbobot (weighted directed graph) Selautya disaia osep dari litasa (path) siel (cycle) da siel eleeter (eleetary cycle) dala suatu graf berarah Defsi 5 Misala D = (V E) adalah graf berarah Barisa (v 1 v p+1 ) disebut litasa ia vi V i 1 p 1 da ( vv 1 p 1 ) E i 1 p Litasa ( v1 vp 1) diataa epuyai paag p v 1 sebagai titi awal da v p+1 sebagai titi ahir dari Defsi 6 Misala D = (V E w) adalah graf berarah berbobot da (v 1 v p+1 ) litasa dari v 1 e v p+1 bobot litasa didefsia sebagai w(v 1 v 2 ) + w(v 2 v 3 ) + + w(v p v p+1 ) Defsi 7 Misala bahwa D = (V E) adalah graf berarah aa (v 1 v p+1 ) disebut siel ia adalah litasa da v 1 = v p+1 Defsi 8 Misala D = (V E) adalah graf berarah aa (v 1 v p+1 ) disebut siel eleeter ia adalah siel da v i v utu seua i = 1 p da i Defsi 9 Misala bahwa D = (V E) adalah graf berarah da uv V Maa v diataa dapat dicapai dari u ia ada litasa dari u e v Defsi 10 Graf berarah D = (V E) diataa terhubug uat (strogly coected) ia u dapat dicapai dari v utu seua uv V Defsi 11 Misala A[ A i ] graf berarah berbobot yag bersesuaia dega A adalah D A = (NE = {(i) A i > } w) diaa w(i) = A i utu setiap (i) E Defsi 12 Misala A da D A erupaa graf berarah berbobot yag bersesuaia dega A Matris A disebut ta teredusi ia D A terhubug uat Jia tida dea A disebut teredusi Defsi 13 Misala A 2 atris ( A) A A didefsia Defsi 14 Misala A da D A erupaa graf berarah berbobot yag bersesuaia dega A Misala adalah siel dala D A Defsia w( A) ( A) diaa w() erupaa bobot l( ) dari siel da l() erupaa paag dari siel Bilaga (A) disebut rata-rata bobot dari siel da (A) = (A) yaitu rata-rata bobot asiu dari A Teorea 1 Jia A da (A) > aa ( A) = (A) Defsi 15 Misala A atris A diataa deft ia (A) = 0

3 10 Jural Mateatia & Sais April 2014 Vol 19 Noor 1 Teorea 2 Jia A deft aa 2 ( A) A A A Berdasara Teorea 1 utu setiap atris ta teredusi A dapat dibetu A = (A) -1 A dega A deft Dega dea 2 ( A ) A A A Selautya disaia tetag osep-osep yag berhubuga dega ilai eige dala alabar Max-Plus Defsi 16 Diberia A da didefsia : V( A ) { x Ax x} a b A V A 1 c V( A) ( A) V( A ) ( ) { ( ) { }} d V ( A ) V( A ) e V( A) Proposisi 1 Diberia AB da xy aa a V( A) V( A) b ( A) ( A) c V( A ) V( B ) V( AB ) d V( A ) V( B ) V( AB ) Defsi 17 Misala A N {12 } Defsia EA ( ) { in ( 1 i2 i i1) dala DA ( A) ( A)} Aggota E(A) disebut sebagai titi-titi eige atau titi-titi ritis dari graf berarah berbobot yag bersesuaia dega A Siel disebut sebagai siel ritis ia (A) = (A) Gabuga hipuahipua busur dari siel ritis ebetu graf berarah C(A) da C(A) disebut sebagai graf berarah ritis dari A Lea 1 Diberia A Jia C(A) erupaa graf berarah ritis dari A aa seua siel di C(A) adalah siel ritis Dua titi i da dala C(A) euivale ia i da eduaya teruat dala siel ritis yag saa dari A Relasi diotasia dega i da erupaa relasi euivalesi dala E(A) Lea 2 Diberia A Jia (A) = aa (A) = {} erupaa ilai eige dari A yag bersesuaia dega vetor ( x 1 x 2 x ) T sehigga x = ia olo e- dari A tida saa dega vetor N Teorea 3 Misala A ( A ) ilai eige dari atris A Jia (A) > aa palig baya terdapat vetor eige yag bersesuaia dega (A) yag dapat diteua di atara g olo-olo dari (A ) Kolo-olo dari (A ) yag elee diagoalya 0 erupaa vetor eige dari A yag bersesuaia dega ilai eige (A) Basis dari V(A(A)) diperoleh dega egabil tepat satu g utu setiap elas euivalesi di dala (E(A) ~) Teorea 4 Jia A A da aa (A) > da A x = (A) x x V + (A) Teorea 5 Jia A A aa berlau : a ( A) da di dala DA N i E ( A ) sehigga i b Jia aa { E( A) g; } diaa g 1 g 2 g adalah oloolo dari (A ) Teorea 6 Jia A ( A) ( A ) ( g i ) da g 1 g 2 g adalah olo-olo dari (A ) aa a i E( A) g 0 b Jia i (A) aa g i = g utu suatu ia da haya ia i ~ Aibat 1 Misala A Jia ( A) g 1 g 2 g adalah olo-olo dari (A ) da aa V ( A) { ; } E g dega E * (A) adalah suatu hipua asial titititi ritis dari A yag tida euivale Teorea 7 Setiap atris ta teredusi A ( 1) epuyai ilai eige tuggal yaitu (A) da V( A) { } { ; E * ( A ) g } diaa g 1 g 2 g adalah olo-olo dari (A ) Matris A 11 = [] erupaa atris ta teredusi da V(A) = V + (A) = Utu atris ta teredusi A dega > 1 bobot terbesar dari seua litasa (i) tida saa dega Oleh area itu elee-elee (A ) berhigga da V( A) { } { ( A ) z z z E( A)} Selautya dibicaraa osep alabar Max- Plus iterval atris graf di dala alabar Max-Plus iterval

4 Siswato d Ruag Vetor Eige Suatu Matris Atas Alabar Max-Plus Iterval 11 Iterval tertutup x dala adalah suatu hipua bagia dari yag berbetu x [ xx ] { x x x x} Iterval x dala disebut iterval Max-Plus Suatu bilaga x dapat diyataa sebagai iterval [ x x ] Defsi 18 Defsia I( ) { x [ x x] x x xx} { } dega = [ ] Pada hipua I( ) didefsia operasi da dega x y [ x y x y] da x y [ x y x y] utu setiap xy I( ) Hipua I( ) dilegapi dega operasi da erupaa seirig idepote outatif dega elee etral = [ ] da elee satua 0 [00] Selautya disebut alabar Max-Plus iterval da diotasia I( ) ( I( ) ; ) dega Defsi 19 Hipua atris beruura dega elee-elee dala I( ) diotasia dega I ( ) yaitu I( ) { A[ Ai ] Ai I( ) i } Matris aggota I( ) disebut atris iterval Max-Plus Selautya atris iterval Max-Plus cuup disebut dega atris iterval Defsi 20 Utu A I( ) didefsia atris A[ A i ] da A [ A i ] asig-asig disebut atris batas bawah da atris batas atas dari atris iterval A Defsi 21 Diberia atris iterval A I( ) dega A da A asig-asig adalah atris batas bawah da atris batas atas dari atris A Didefsia iterval atris dari A yaitu [ A A] { A A A A} da I( ) {[ AA ] AI( ) } Seirig I( ) ( I( ) ; ) isoorf dega seirig I( ) b ( I( ) b; ) dega peetaa f : I( ) I( ) b ( ) [ ] ( ) f A A A AI sedaga seiodul I( ) atas I( ) isoorf dega seiodul I( ) b atas I( ) Iterval atris [ AA ] I( ) b disebut iterval atris yag bersesuaia dega iterval A I( ) da dilabaga dega A [ AA ] Aibat b isoorfisa di atas aa berlau A [ A A] A B [ AB A B] da A B [ AB A B] Defsi 22 Defsia T I( ) { x [ x x x ] x I( ) ; i 12 } 1 2 Hipua I( ) dapat dipadag sebagai 1 hipua I( ) Usur-usur dala I( ) disebut vetor iterval dala I( ) Vetor iterval x bersesuaia dega iterval vetor [ x x ] yaitu x [ xx ] Selautya disaia osep graf berarah berbobot iterval Misala D = (NE) adalah graf berarah dega N = {12} da E N N Graf berarah diataa berbobot iterval ia setiap busur (i) E diawaa dega suatu iterval tertutup bilaga real Ai ( I( ) {[ ]}) Iterval bilaga real A i disebut bobot iterval busur (i) diotasia dega w(i) Graf presede (graf ouiasi) dari atris A I( ) didefsia sebagai graf berarah berbobot iterval D A = (N E) dega N = {12} da E {( i) w( i ) Ai [ ]} Sebaliya utu setiap graf berarah berbobot iterval D A = (N E) selalu dapat didefsia suatu atris A I( ) yag disebut atris bobot iterval graf D dega w( i) ia( i ) E [ ] ia( i ) E 2 Hasil da Pebahasa Pada bagia disaia hasil utaa dari peelitia yaitu tetag ruag vetor eige da basis suatu atris atas alabar Max-Plus iterval Defsi 23 Diberia A I( ) dega A[ A A] I( ) b da [ ] I( ) didefsia : V( A ) { xi( ) Ax x} da a b V([ A A][ ]) { I( ) Ax x; Ax x} b ( A) { I( ) V( A ) { 1} 1 ( ) T } da ( A A) {[[ ][ ]] I( ) b V([ A A] [ ]) {[ ]}} V( A) V( A ) da c ( A) V ([ A A ] [ ] ([ AA ]) V ([ A A ][ ]) d V ( A ) V( A ) I( ) da V ([ A A][ ]) V([ A A][ ]) I( ) b

5 12 Jural Mateatia & Sais April 2014 Vol 19 Noor 1 e V ( A) V( A) I( ) da V ([ A A] V([ A A]) I( ) b Berdasara isoorfisa I( ) da I( ) diperoleh : i V( A ) V([ A A][ ]) ( A) ([ AA ]) i V( A) V([ A A]) iv V ( A ) V ([ A A][ ]) v V ([ A A]) Proposisi 2 Diberia AB I( ) [ ] I( )[ ] [ ] I( ) aa a V( A) V( A) b ( A) ( A) c V( A ) V( B ) V( AB ) d V( A ) V( B ) V( AB ) Buti : a Berdasara Defsi 23 V( A) V([ A A]) da V( A) V([ A A]) Meurut Proposisi 1 V( A) V( A) da V( A) V( A) berarti V([ A A]) V([ A A]) Oleh area itu V( A) V( A) b Meurut Defsi 23 ( A) ([ A A]) da ( A) [ ] ([ A A]) ([ ( A) ( A)] Meurut Proposisi 1 ( A) ( A) da ( A) ( A) Oleh area itu ( A) ( A) c Meurut Defsi 23 V( A ) V([ A A][ ]) da V( B ) V([ B B][ ]) sedaga V( AB ) V([ A A] [ B B][ ] [ ]) = V([ AB AB][ ]) Meurut Proposisi 1 V( A ) V( B ) V( AB ) da V( A ) V( B ) V( AB ) aa V([ A A][ ]) V([ B B][ ]) V([ AB AB][ ]) Oleh area itu V( A ) V( B ) V( AB ) d Meurut Defsi 23 bahwa V( A ) V([ A A][ ]) da V( B ) V([ B B][ ]) sedaga b V( AB ) V([ A A] [ B B][ ] [ ]) V([ A B AB][ ]) Meurut Proposisi 1 V( A ) V( B ) V( AB ) da V( A ) V( B ) V( AB ) aa V([ A A][ ]) V([ B B][ ] V([ AB AB][ ]) Oleh area itu V( A ) V( B ) V( AB ) Defsi 24 Misala A I( ) A[ A A] I( R ) da N = {12 } defsia EA ( ) { in ( i i i) dala i DA ( A) ( A)} E([ A A) { in ( i i i i i ) dala D A da D ( A) ( A) da ( A) ( A)} da EA ( ) E([ AA ]) Aggota E(A) disebut sebagai titi-titi eige atau titi-titi ritis dari graf berarah berbobot iterval yag bersesuaia dega A Siel disebut sebagai siel ritis ia (A) = (A) Dari titi-titi ritis da busur-busur seua siel ritis dapat dibuat graf berarah C(A) disebut graf berarah ritis dari A Lea 3 Misala A I( ) Jia C(A) adalah graf berarah ritis dari A aa seua siel dala C(A) erupaa siel ritis Buti : Karea C(A) adalah graf berarah ritis dari A sehigga C(A) erupaa gabuga hipua busur yag erupaa siel ritis Dega dea siruit dala C(A) erupaa siel ritis Dua titi i da dala C(A) diataa euivale ia i da eduaya teruat dala siel ritisyag saa dari A diotasia i ~ Dapat dibutia bahwa ~ erupaa relasi euivalesi di dala E(A) Lea 4 Diberia A AI( ) A[ A A] I( ) b Jia (A) = [] aa (A) ={[]} da vetor-vetor eige dari atris A T adalah vetor [ x1 x2 x ] I( ) sehigga x = [] bila olo e- dari atris A tida saa dega vetor N Buti : Dietahui (A) = [] Utu atris batas bawah A (A) = Meurut Lea 2 (A) = {} da vetorvetor eige dari atris A adalah vetor b

6 Siswato d Ruag Vetor Eige Suatu Matris Atas Alabar Max-Plus Iterval 13 [ x x x ] T sehigga x = bila olo 1 2 e- dari atris A tida saa dega vetor N Dea uga utu atris batas atas A Oleh area itu diperoleh ( A) ([ A A] {[ ] [ ]} da vetor-vetor eige dari atris A adalah vetor T T T [ x1 x2 x] [[ x1 x2 x ] [ x1 x2 x] ] sehigga x [[ ] [ ]] bila olo e- dari atris A tida saa dega vetor [ ] N Lea 4 eai peyelesaia utu (A) = [] Selautya aa dibahas utu [ ] [ ( A) ( A)] ( A) Misala AI( ) A[ A A] I( ) b da (A) erupaa ilai eige atris A yag eeuhi [ ] [ ( A) ( A)] ( A) Karea ( A) da ( A) asig-asig ilai eige atris A da A dega ( A) da ( A) aa dapat ditetua atris-atris ( A ) ( g ) da ( A ) ( g i ) Defsi 25 Misala g da g 12 asig-asig adalah olo-olo atris ( A ) da ( A ) Dibetu atris ( A ) dega beberapa cara salah satuya bahwa olo-olo atris ( A ) ditetua sebagai beriut : i Jia pasaga g da g eeuhi g g 12 aa diperoleh satu olo yaitu vetor iterval g [ g g] Jia pasaga g da g tida eeuhi g g 12 dapat dibetu g * g dega as (( g ) ( g ) ) i i i i i 1 2 sehigga diperoleh satu olo yaitu * vetor iterval g [ g g] Oleh area itu atris ( A ) [ g1 g2 g ] Teorea 8 Misala AI( ) A[ A A] I( ) b da (A) erupaa ilai eige atris A Jia [ ] ( A) aa olo-olo atris ( A ) dega batas bawah elee diagoalya 0 erupaa vetor-vetor eige yag bersesuaia dega (A) Selautya basis dari V(A) diperoleh dega egabil satu g utu setiap elas euivalesi di dala (E(A)~) Buti : Dietahui AI( ) A[ A A] I( ) b da ( A) [ ( A) ( A)] ilai eige atris A dega (A) da ( A) asig-asig ilai eige atris A da A Karea [ ] [ ( A) ( A)] ( A) aa (A) > da ( A) sehigga dapat ditetua atris ( A ) ( g ) da ( A ) ( g i ) Misala i g da g 12 asig-asig adalah olo-olo atris atris ( A ) da ( A ) Meurut Defsi 25 da Teorea 3 dapat diperoleh seulah vetor eige yag bersesuaia dega (A) dari olo-olo atris ( A ) dega batas bawah elee diagoal 0 Basis dari V(A) diperoleh dega egabil satu vetor iterval g utu setiap elas euivalesi di dala (E(A)~) Teorea 9 Misala AI( ) A[ A A] I( ) b da A bua atris yag setiap eleeya [] da V + (A) aa ( A) da Ax ( A) x x Buti : Perhatia atris batas bawah da atris batas atas A da A Karea A bua atris yag setiap eleeya [] da V + (A) berarti A da A bua atris yag setiap eleeya da Meurut Teorea 4 ( A) ( A) da A x ( A) x A x ( A) x ; x x Oleh area itu diperoleh [ ] [ ( A) ( A)] ( A) da Ax ( A) x x dega x [ xx ] x Selautya aa disaia salah satu hasil husus di dala alabar Max-Plus iterval Teorea 10 Misala AI( ) A[ A A] I( ) b da A bua atris yag setiap eleeya [] aa berlau : a ( A) da di dala DA N i E ( A ) sedea sehigga i b Jia aa { E( A) g; I( )} diaa g 1 g 2 g adalah oloolo dari (A ) Buti : Misala AI( )

7 14 Jural Mateatia & Sais April 2014 Vol 19 Noor 1 b A[ A A] I( ) da A bua atris yag setiap eleeya [] Oleh area itu atris batas bawah da batas atas atas A da A bua atris yag setiap eleeya Meurut Teorea 5 dipeuhi : (a) ( A) da di dala DA N i E ( A ) sedea sehigga i Dea uga ( A) da di dala DA N i E( A) sedea sehigga i (b) Jia aa { ( ) g ; E A I ( )} diaa g g g adalah 1 2 olo-olo dari (A ) Dea uga ia aa { E( A) g ; } diaa g 1 g 2 g adalah oloolo dari ( A ) Dari (a) diperoleh ( A) da di dala DA N i E( A) sedea sehigga i Dari (b) da berdasara Defsi 25 dapat dibetu atris (A ) sehigga ia V + (A) aa { E( A) g; I( )} diaa g 1 g 2 g adalah olo-olo dari (A ) Teorea 10 eberia syarat perlu da cuup adaya vetor eige berhigga da bagaiaa ebetu hipua vetor eige berhigga Teorea 11 Misala A I( ) A[ A A] I( ) b ( A) da g 1 g 2 g adalah olo-olo dari (A ) = (g i ) aa i ie( A) g 0 Jia i E( A) aa gi g utu suatu I() ia da haya ia i ~ Buti : Perhatia atris batas bawah da atris batas atas A da A berarti (A) > ( A) ( A ) ( g ) da i 1 2 g g g adalah oloolo dari ( A ) Dea uga ( A ) ( g i ) da g1 g2 g adalah olo-olo dari ( A ) Meurut Teorea 6 dipeuhi : a ie( A) g 0 da ie( A) g 0 Berdasara Defsi 25 diperoleh ie( A) g [ g g ] [00] atau * i g [ g g ] [0 ] Oleh area itu i ie( A) g 0 b Jia i E( A) aa g g utu suatu i I( ) ia da haya ia i ~ Dea uga ia i E( A) aa g i g atau * * i g g utu suatu I( ) ia da haya ia i ~ Oleh area itu ia i E( A) aa gi g utu suatu I( ) ia da haya ia i ~ Aibat 2 Misala A Jia ( A) g 1 g 2 g adalah olo-olo dari (A ) da V + (A) aa V ( A ) { ; ( )} E g I dega E * ( A ) adalah suatu hipua asial titi-titi ritis dari A yag tida euivale Buti : Misala A Dietahui ( A) g 1 g 2 g adalah olo-olo dari (A ) da V + (A) Perhatia atris batas bawah da atris batas atas yaitu A da A Oleh area itu (A) > g g g adalah olo-olo dari (A ) da 1 2 V + (A) Dea uga ( A) ; g1 g2 g adalah olo-olo dari ( A ) da Meurut Aibat 1 V ( A ) { ; * ( ) g E A } da V ( A ) { ; } E g Dega dea diperoleh V ( A ) { g ; I ( )} dega E a g [ g g ] Dari Teorea 10 da Teorea 11 diperoleh cara utu ebetu hipua vetor eige berhigga Dega egguaa hasil yag diperoleh dari Teorea 10 da Teorea 11 dapat ditari esipula tetag peyelesaia asalah eige utu atri ta teredusi yag disaia pada teorea beriut Teorea 12 Setiap atris ta teredusi A I( ) ( 1) epuyai ilai eige tuggal yag saa dega (A) da V ( A ) { } V ( A ) { ; ( )} E g I diaa g 1 g 2 g adalah olo-olo dari (A) Buti : Perhatia atris batas bawah da atris batas atas A da A erupaa atris ta teredusi Meurut Teorea 7 A da A epuyai ilai eige tuggal ( A) ( A) da V( A) { }

8 Siswato d Ruag Vetor Eige Suatu Matris Atas Alabar Max-Plus Iterval 15 E g { ; I ( )} diaa g g g 1 2 adalah olo-olo dari ( A ) da E * ( A ) adalah sebarag hipua asial titi ritis dari A yag tida euivale Dea uga V( A) { } { g ; } diaa g1 g2 g E adalah olo-olo dari ( A ) da E * ( A ) adalah sebarag hipua asial titi ritis dari A yag tida euivale Oleh area itu V( A) { } { ; ( )} E * ( A ) g I dega g [ g g ] atau * [ y g g g ] Matris A = [[]] erupaa atris ta teredusi da V(A) = V + (A) = I() Utu atris ta teredusi A utu > 1 eurut defsi dari atris ta teredusi bahwa i N i sehigga bobot asiu seua litasa (i) tida saa dega [] Oleh area itu isala (A ) i elee atris (A ) (A ) i []i da V(A) = V + (A) {} { ( A ) zz ; z [ ] EA ( )} Kesipula Dari hasil pebahasa dapat disipula: utu setiap AI ia ( A) g 1 g 2 g adalah olo-olo dari (A ) da V + (A) aa V ( A ) { ; ( )} E g I diaa E * (A) adalah suatu hipua asial titi-titi ritis dari A yag tida euivale Jia A I( ) atris ta teredusi g 1 g 2 g adalah oloolo dari (A ) aa V ( A ) { g ; I ( )} da E V( A) { } { ( A ) zz ; z [ ] EA ( )} Daftar Pustaa Aia M G Cohe S Gaubert JP Quadrat ad M Viot 1994 Max-Plus Algebra ad Applicatios to Syste Theory ad Optial Cotrol Proceedigs of the Iteratioal Cogress of Matheaticias Zurich Switzerlad Bacelli F G Cohe G J Olsder ad J P Quadrat 2001 Sychroizatio ad Liearity New Yor : Joh Wiley & Sos Butovic P ad K P Ta 2009 O Soe Properties of The Iage of a Max Liear Mappig Coteporary Matheatics Volue 495 Farlow K G 2009 Max-Plus Algebra Master's Thesis subitted to the Faculty of the Virga Polytechic Istitute ad State Uiversity i partial fulfillet of the requireets for the degree of Masters i Matheatics Koigsberg Z R 2009 A Geeralized Eigeode Algorith for Reducible Regular Matrices over the Max-Plus Algebra Iteratioal Matheatical Foru Rudhito A 2011 Alabar Max-Plus Bilaga Kabur da Peerapaya pada Masalah Peadwala da Jariga Atria Disertasi : Progra Studi S3 Mateatia FMIPA UGM Yogyaarta Schutter B D 1996 Max Algebraic Syste Theory for Discrete Evet SystesPhD Thesis Katholie Uiversiteit Leuve Departeet Eletrotechie Siswato 2012 Nilai Eige da Vetor Eige Matris Teredusi Reguler dala Alabar Max-Plus Iterval Prosidig Seiar Nasioal Mateatia da Pedidia Mateatia Jurusa Ped Mateatia FMIPA UNY MA 99 Subioo 2000 O Classes of Mi-Max-Plus Systes ad Their Applicatios Published by Delf Uiversity Press Ta K P 2010 Optiizig ad Approxiatig Eigevectors I Max-Algebra A thesis Subitted to the Uiversity of Birigha for The Degree of Doctor of Philosophy (PhD)