MODUL BARISAN DAN DERET

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "MODUL BARISAN DAN DERET"

Transkripsi

1 MODUL BARISAN DAN DERET KELAS XII. IPS SEMESTER I Oleh : Drs. Pudjul Prijoo ( ) SMA NEGERI 6 Jala Mayje Sugoo 58 Malag Telp./Fax : (034)

2 BAB I. PENDAHULUAN A. Desripsi Dala odul ii, ada aa epelajari pola bilaga, barisa, da deret diidetifiasi berdasara ciri-ciriya. Notasi siga da pegguaaya dala eyederhaaa peulisa suatu deret. Barisa da deret aritatia diidetifiasia berdasara ciri-ciriya, ilai usur e suatu barisa aritatia ditetua dega egguaa ruus, julah suu pertaa suatu deret aritatia ditetua dega egguaa ruus. Barisa da deret geoetri diidetifiasia berdasara ciri-ciriya, ilai usur e suatu barisa geoetri ditetua dega egguaa ruus, julah suu pertaa suatu deret geoetri ditetua dega egguaa ruus, julah tahigga deret geoetri ditetua dega egguaa ruus. B. Prasyarat Agar dapat epelajari odul ii ada harus telah eahai operasi pada bilaga real. C. Petuju Pegguaa Modul. Perhatia lagah-lagah dala setiap cotoh sehigga eperudah dala eahai osep pola bilaga, barisa aupu deret.. Apabila ada soal latiha, erjaalah soal-soal tersebut sebagai latiha utu persiapa evaluasi. 3. Jawablah tes foratif dega jelas sesuai dega eapua Ada. Jia Ada asih ragu-ragu dega jawaba yag Ada peroleh, Ada bisa elihat uci jawaba foratif yag sesuai. 4. Kerjaa soal-soal yag ada pada evaluasi. D. Tujua Ahir Setelah epelajari odul ii diharapa Ada dapat:. eahai pola bilaga, barisa, da deret.. eahai otasi siga da pegguaaya dala eyederhaaa

3 peulisa suatu deret. 3. eahai barisa da deret aritatia. 4. eetua usur e suatu barisa aritatia dega egguaa ruus. 5. eetua julah suu pertaa suatu deret aritatia dega egguaa ruus. 6. eahai barisa da deret geoetri. 7. eetua usur e suatu barisa geoetri dega egguaa ruus. 8. eetua julah suu pertaa suatu deret geoetri dega egguaa ruus. 9. eetua julah tahigga deret geoetri dega egguaa ruus.

4 BAB II.PEMBELAJARAN Kopetesi : Meerapa osep baris da deret. Sub Kopetesi : - Megidetifiasi pola bilaga, barisa da deret. - Meerapa osep barisa da deret aritatia. - Meerapa osep barisa da deret geoetri. A. KEGIATAN BELAJAR. Kegiata Belajar Pola Bilaga, Barisa, Deret da Notasi Siga a. Tujua Kegiata Pebelajara Setelah epelajari egiata belajar ii, diharapa ada dapat: eetua pola suatu dereta bilaga, eetua usur e suatu barisa berdasara sifat/pola yag diilii, eetua usur pertaa suatu barisa jia ruus usur e barisa itu dietahui, eetua suu e suatu barisa berdasara sifat/pola yag diilii oleh barisa yag terait, eetua suu pertaa suatu deret jia ruus suu e deret itu dietahui, eyataa suatu pejulaha dega egguaa otasi siga, eetua ilai pejulaha yag diyataa dala otasi siga, eahai beberapa sifat pada otasi siga. b. Uraia Materi Perhatia dereta bilaga-bilaga beriut: a b c Dereta bilaga di atas epuyai pola tertetu. Dapatah ada eetua bilaga yag belu dietahui sesuai dega atura yag dipuyai?

5 Pada a, bilaga e 4 adalah 4, sebab dereta bilaga oor, epuyai atura: bilaga e = + =, bilaga e 3 = bilaga e + = + = 3. Jadi bilaga e 4 = bilaga e 3 + = 3 + = 4. Pada b, bilaga e 4 adalah 5, sebab dereta bilaga oor, epuyai atura: bilaga e = ( + ) = = 4, bilaga e = ( + ) = 3 = 9, bilaga e 3 = (3 + ) = 4 = 6. Jadi bilaga e 4 = (4 + ) = 5 = 5. Pada c, bilaga e 6 adalah 5, sebab dereta bilaga oor 3, epuyai atura: bilaga e 3 = bilaga pertaa - 0 = 3-0 =, bilaga e 4 = bilaga e - 0 = 40-0 = 30, bilaga e 5 = bilaga e 3-5 = - 5 = 6,. Jadi bilaga e 6 = bilaga e 4-5 = 30-5 = 5. Atura yag diilii oleh dereta bilaga di atas disebut pola bilaga pada dereta itu. Pola sebuah dereta bilaga tida tuggal. Sebagai cotoh, pada dereta bilaga oor, bilaga e = ( + ) dega =,, 3, 4. Selajutya ita aa ebicaraa dereta bilaga dega pola husus yag disebut barisa da deret. Defiisi Barisa bilaga real adalah suatu fugsi dega doai hipua seua bilaga asli ( ) da odoai hipua seua bilaga real ( ). Jia U erupaa fugsi dari e, aa barisaya serig ditulis dega U, U, U 3,..., U,... Pada barisa U, U, U 3,..., U,..., U disebut usur e atau elee e dari barisa itu. Cotoh..,, 3,... erupaa barisa dega usur e dari barisa itu adalah U =.., -,, -,... adalah barisa dega usur e dari barisa itu adalah U = (-). Defiisi Jia U, U, U 3,..., U,... erupaa barisa bilaga real, aa U + U + U 3,... + U +... disebut deret, da U disebut suu e barisa itu.

6 Cotoh. ) , aa suu e barisa itu adalah U =. ) + (-) + + (-) +..., aa suu e dari deret itu adalah U = (-). 3) , aa e 7 dari barisa itu adalah 3. Notasi Siga Perhatia julaha bilaga-bilaga beriut Julaha bilaga-bilaga dari dereta bilaga yag epuyai pola dapat ditulisa dega otasi (dibaca: siga), Sehigga julaha bilaga diatas dapat ditulis ebali : ) ( Beberapa sifat otasi siga Jia da adalah bilaga asli, dega da c R, aa berlau :. b a b a ) (. a c ca 3. c c ( ) 4. p a a p p 5. b b a a b a. ) (

7 c. Ragua. Atura yag diilii oleh dereta bilaga disebut pola bilaga pada dereta itu. Barisa bilaga real adalah suatu fugsi dega doai hipua seua bilaga asli (N) da odoai hipua seua bilaga real (R). Jia U erupaa fugsi dari N e R, aa barisaya serig ditulis dega U, U, U 3,..., U,... Pada barisa U, U, U 3,..., U,..., U disebut usur e atau elee e dari barisa itu. 3. Jia U, U, U 3,..., U,... erupaa barisa bilaga real, aa U + U + U 3,... + U +...disebut deret, da U disebut suu e barisa itu. Julaha bilaga-bilaga dari dereta bilaga yag epuyai pola dapat ditulisa dega otasi (dibaca: siga). d. Kegiata Agar epuyai wawasa tetag Pola Bilaga, Barisa, Deret da Notasi Siga dega bai, erjaa soal dibawah ii dega bai.. Tetua suu yag dicatua di ahir barisa da juga suu e- dari setiap barisa beriut: a. 3, 9, 5,..., U 3 b. 5,, 7, 3,..., U 0 c. -0, -8, -6, -4,..., U 00. Tetua betu otasi siga dari setiap deret beriut : a b c Hituglah deret-deret beriut : 5 a. ( ) 4 b. 6 c. 3.

8 Jia ada sudah eyelesaia egiata cocoa jawaba ada pada uci jawaba yag berada dibelaag odul ii. Setelah ada cocoa berilah ilai egiata ada didala egerjaa egiata odul Jia ilai peroleha < 75, artiya ada belu paha tetag Pola Bilaga, Barisa, Deret da Notasi Siga aa ada harus egulag ebali ebaca da eahai osep tetag Itegral sebagai ati turua. Jia ilai peroleha aa ada boleh eerusa pada egiata odul beriut ii.. Kegiata Belajar : Barisa Aritatia da Deret Aritatia a. Tujua Kegiata pebelajara Setelah epelajari egiata belajar, diharapa Ada dapat: eahai barisa aritatia, eetua usur e suatu barisa aritatia, eahai deret aritatia, eetua julah suu pertaa deret aritatia. b. Uraia Materi Kadag-adag, suatu barisa epuyai pola husus. Pada barisa,, 3, 4,, selisih atara usur yag beruruta, yaitu: e dega e, e dega e 3, e dega e +, da seterusya adalah tetap, yaitu saa dega. Barisa seaca ii disebut barisa aritatia. Secara ateati, pegertia barisa ariatia dapat ditulisa sebagai beriut. Defiisi Barisa U, U, U 3,..., U,... disebut barisa aritatia jia U - U - = osta, dega =, 3, 4,... Kostata pada barisa aritatia di atas disebut beda dari barisa itu da serig diotasia dega b, da U serig diotasia dega a. Cotoh..,, 3,... erupaa barisa aritatia dega beda, b =.., 3, 5, erupaa barisa aritatia dega beda, b =. 3., -,, -,... bua barisa aritatia sebab

9 U U = - = - = (-) = U 3 U Meurua Ruus Usur e Barisa Aritatia Jia U = a, U, U 3,..., U,... erupaa barisa aritatia, aa usur e dari barisa itu dapat diturua dega cara beriut. U = a U = a + b U 3 = U + b = (a + b) + b = a + b U 4 = U 3 + b = (a + b) + b = a + 3b U 5 = U b = (a + 3b) + b = a + 4b U = a + ( -)b Jadi ruus uu usur e suatu barisa aritatia dega usur pertaa a da beda b adalah: U = a + ( -)b Cotoh. Dietahui barisa aritatia dega usur e adalah 0 da beda =. Tetua usur e 7 barisa itu. Peyelesaia: Dietahui U = 0, b =. Dega egguaa ruus U = a + ( -)b, diperoleh U = a + (-)b U = a + b a = U - b = 0 - = 8 U 7 = a + (7-) b = a + 6 b = () = 8 + = 0. Jadi usur e 7 dari barisa adalah 0. Cotoh.3

10 Mulai tahu 000, Pa Ara epuyai ebu tebu. Peghasila ebu tebu Pa Ara pada ahir tahu 000 adalah Rp ,-. Mulai tahu 00, Pa Ara eupu ebu tebuya dega pupu adag. Pa Ara eperiraa bahwa setiap ahir tahu, peghasila ebu tebuya ai Rp ,-. Berapa periraa peghasila ebu tebu Pa Ara pada ahir tahu 005? Peyelesaia: Misala: a = peghasila ebu tebu Pa Ara pada ahir tahu 000. b = periraa eaia peghasila ebu tebu Pa Ara setiap ahir tahu. P 005 = periraa peghasila ebu Pa Ara pada ahir tahu 005. Jadi a = Rp ,-, b = Rp ,-, da P 005 aa dicari. Karea periraa eaia peghasila ebu tebu Pa Ara setiap ahir tahu adalah tetap, aa utu eetua peghasila ebu Pa Ara pada ahir tahu 005, ita dapat eerapa ruus usur e dari barisa aritatia dega U = a = a = Rp ,-, b = Rp P 005 = U 6 = a + 5b = ( ) = = Jadi periraa peghasila ebu tebu Pa Ara pada ahir tahu 005 adalah Rp ,- Dega adaya deret aritatia, ita dapat ebetu barisa yag terait dega deret tersebut. Barisa deiia disebut barisa aritatia. Defiisi Jia U, U, U 3,..., U,... erupaa barisa aritata, aa U + U + U U,... disebut deret aritatia. U disebut suu e dari deret itu. Jia S eyataa julah suu pertaa deret aritatia U + U + U U,..., aa S = U + U + U U dapat diturua dega cara sebagai beriut.

11 S = U + (U - b) + (U - b) a S = a + (a - b) + (a + b) U + S = (a + U ) + (a + U ) + (a + U ) (a + U ), sebaya suu. S =. (a + U ) S = ( a U ) Jadi S = ( a U ) atau S = (a ( ) b) c. Ragua Barisa U, U, U 3,..., U,... disebut barisa aritatia jia U - U - = osta. U disebut usur e barisa itu, da ostata tersebut disebut beda, yag diotasia dega b. Jia U, U, U 3,..., U,... erupaa barisa aritata dega beda b da usur pertaa U = a, aa ruus usur e dari barisa itu adalah U = a + ( - )b Jia U, U, U 3,..., U,... erupaa barisa aritata, aa U + U + U U,...disebut deret aritatia. U disebut suu e dari deret itu. Julah suu deret aritatia dega beda b da usur pertaa U = a adalah S = ( a U ) atau S = (a ( ) b) d. Kegiata Agar epuyai wawasa tetag Barisa Aritatia da Deret Aritatia dega bai, erjaa soal dibawah ii dega bai.. Tetua ruus suu e- dari barisa aritatia dibawah ii : a. 3, 6, 9,,... b., 6,, 6,... c. -5, -8, -, 6,.... Carilah suu yag diita dala setiap barisa aritatia beriut : a., 4, 7, 0,..., suu e-50 b. 5,, 7, 3,..., suu e-0 c. -0, -8, -, 6,..., suu e Tetua ilai dari: a b Tetua x jia: a x = 0.

12 b x = 835. Jia ada sudah eyelesaia egiata cocoa jawaba ada pada uci jawaba yag berada dibelaag odul ii. Setelah ada cocoa berilah ilai egiata ada didala egerjaa egiata odul Jia ilai peroleha < 75, artiya ada belu paha tetag Barisa Aritatia da Deret Aritatia aa ada harus egulag ebali ebaca da eahai osep tetag Barisa Aritatia da Deret Aritatia. Jia ilai peroleha aa ada boleh eerusa pada egiata odul beriut ii ada berha utu egiuti tes utu eguji opetesi yag telah ada pelajari. Apabila ada diyataa eeuhi syarat etutasa dari hasil evaluasi dala odul ii, aa ada berha utu elajuta e topi/odul beriutya. e. Tes Foratif Selidii, apaah barisa-barisa beriut erupaa barisa aritatia?. -, 3, -, 48,.... a, a + x, a + x, a + 3x,... Tetua usur e dari barisa beriut utu yag dietahui. 3., -, -3, -5,...; = , 8,,...; = 50. Hituglah: (-40) Suu e 5 suatu deret aritatia adalah, julah suu e 7 dega suu e adalah 39. Tetua julah 5 suu pertaaya. Tetua suu pertaa da beda dari barisa aritatia yag epuyai: 8. U 6 = 5; U = U 3 = 8; U 7 = U 7 = 4; U 0 = 0.

13 3. Kegiata Belajar 3 Barisa Geoetri da Deret Geoetri a. Tujua Kegiata Pebelajara Setelah epelajari egiata belajar 3, diharapa Ada dapat: eahai barisa geoetri, eetua usur e suatu barisa geoetri, eahai deret geoetri, eetua julah suu pertaa deret geoetri, eetua julah deret geoetri ta higga. b. Uraia Materi Ruus usur e barisa geoetri U, U, U 3, U 4,..., U,... dega U = a da rasio r dapat diturua dega cara beriut. U = a U = a r U 3 = U r = (a r)r = ar U 4 = U 3 r = (a r )r = ar 3... U = U - r = ar - Jadi ruus usur e barisa geoetri U, U, U 3, U 4,..., U,... dega U = a da rasio r adalah: Defiisi U = ar - Jia U, U, U 3,..., U,... erupaa barisa geoetri dega usur pertaa adalah a = U da rasio r, aa U + U + U U +... disebut deret geoetri dega U = ar - Ruus julah suu pertaa deret geoetri dega suu pertaa a da rasio r, dapat diturua dega cara sebagai beriut. Misala S = U + U + U U, aa S = a + ar + ar ar - r S = ar + ar 3 + ar ar - + ar

14 S - r S = a - ar ( - r) S = ( -r )a Jadi ruus julah suu pertaa deret geoetri dega suu pertaa a da rasio r adalah a( r ) a( r ) S utu r < atau S utu r > r r Deret geoetri ta higga adalah deret geoetri dega r < Julah deret geoatri ta higga adalah : a S li S r Ruus pada deret geoetri berlau juga utu ta terhigga. Adapu utu ta terhigga ada dua asus :. Jia - < r <, aa r a( 0) a euju 0 aibatya S r r Deret geoetri dega - < r < ii disebut deret geoetri overge (eusat). Jia r < - atau r >, aa utu ilai r ai besar aibatya a( ) S r Deret geoetri dega r < - atau r > disebut deret geoetri diverge (eecar) Cotoh 3. Dietahui barisa 7, 9, 3,,... Tetualah : a. Ruus suu e- b. Suu e-8 Jawab : a. Rasio pada barisa tersebut adalah tetap yaitu r = 3 sehigga barisa tersebut adalah barisa geoetri. Ruus suu e- barisa geoetri tersebut adalah U 7.( ) 3 = 3 3.(3 - ) - = = 3 4 b. Suu e-8 barisa geoetri tersebut adalah U 8 = = 3-4 = 8 Cotoh 3. Suatu deret geoetri epuyai suu e-5 saa dega 64 da suu e- saa dega 8. Tetualah julah 0 suu pertaa da julah suu pertaa deret geoetri tersebut. Jawab : Modul Mateatia SMA Negeri 6 Malag

15 U = 8, berarti ar = 8 U 3 = 64, berarti ar 4 = 64 ar.r 3 = 64 8r 3 = 64 r 3 = 8 didapat r = dega esubstitusia r = e persaaa ar = 8, aa didapata a. = 8 sehigga a= 4. Julah suu pertaa deret ii adalah S 4( ) = 4 4. = 4. 4 =. 4 = + 4 Julah 0 suu pertaa deret ii adalah S 0 = +0 4 = 4 = = 409 c. Ragua 3 U. Barisa U, U, U 3,..., U,...disebut barisa geoetri jia osta U dega =,, 3,... Kostata pada barisa geoetri di atas disebut rasio dari barisa itu da serig diotasia dega r.. Ruus usur e barisa geoetri U, U, U 3, U 4,..., U,... dega U = a da rasio r adalah: U = ar - 3. Jia U, U, U 3,..., U,... erupaa barisa geoetri dega usur pertaa adalah a = U da rasio r, aa U + U + U U +...disebut deret geoetri dega U = ar - 4. Ruus julah suu pertaa deret geoetri dega suu pertaa a da rasio r adalah: a( r ) a( r ) S utu r < atau S utu r > r r Jia euju ta higga S berhigga, aa deret yag bersaguta disebut deret overge, da jia tida deiia disebut deret diverge. 5. Julah ta higga suatu deret geoetri dega suu pertaa a da rasio r a adalah S = r

16 d. Kegiata 3 Agar epuyai wawasa tetag Barisa Geoetri da Deret Geoetri dega bai, erjaa soal dibawah ii dega bai.. Tetua suu yag diita dari barisa geoetri pada setiap soal beriut : a., 4, 8, 6,..., U b. 3, -9, 7, -8,..., U 0 c., 3,3,3 6,..., U 5. Tulislah ruus suu e- dari barisa beriut : a.,, 4,... b.,,, c.,,, Dietahui deret geoetri : Tetua : a. Rasio b. Suu e-0 c. Julah 0 suu pertaa 4. Dietahui deret geoetri suu e-3 adalah 6 da suu e-5 saa dega 64. Tetua : a. rasio b. ruus julah suu pertaa Jia ada sudah eyelesaia egiata 3 cocoa jawaba ada pada uci jawaba yag berada dibelaag odul ii. Setelah ada cocoa berilah ilai egiata ada didala egerjaa egiata odul 3 Jia ilai peroleha < 75, artiya ada belu paha tetag Barisa Geoetri da Deret Geoetri aa ada harus egulag ebali ebaca da eahai osep tetag Barisa Geoetri da Deret Geoetri. Jia ilai peroleha aa ada boleh eerusa pada egiata odul beriut ii ada berha utu egiuti tes utu eguji opetesi yag telah ada pelajari. Apabila ada diyataa eeuhi syarat etutasa dari hasil evaluasi dala odul ii, aa ada berha utu elajuta e topi/odul beriutya. Modul Mateatia SMA Negeri 6 Malag

17 e. Tes Foratif 3 Selidii, apaah barisa-barisa beriut erupaa barisa aritatia?.,3,9,7,....,,, Tetua usur e dari barisa beriut utu yag dietahui. 3., -4, 8,..., = ,3,3 3,... 0 Hituglah: sapai 0 suu sapai ta higga 7. Dari etiggia sebuah bola dijatuha e latai. Setiap ali eatul etiggia bola tersebut tiggal 3/5 dari tiggi sebeluya. Berapaah jara yag yag ditepuh bola selaa 0 ali patula 8. Dietahui julah suu pertaa deret geoetri adalah S =5( ) Tetua : a. Suu pertaa da rasio b. Ruus suu e-

18 BAB III. EVALUASI. Bayaya suu suatu deret aritatia adalah 5. Suu terahir adalah 47 da julah deret tersebut 85. Tetua suu pertaa deret tersebut.. Tetua julah seua bilaga asli atara sapai 50 yag tida habis dibagi Suu edua deret geoetri adalah, da suu e-8 adalah 96, da suu e- adalah 60. Jia suu-suu deret geoetri tersebut erupaa suu positif, tetua julah suu pertaa deret tersebut. 4. Pada barisa bilaga 4, x, y, z dietahui tiga suu pertaa ebetu barisa geoetri da tiga suu terahir ebetu barisa aritatia. Tetua ilai x + y. 5. Sebuah bola dijatuha dari etiggia eter. Setiap ali sesudah jatuh egeai latai, bola itu dipatula lagi da ecapai ¾ dari tiggi sebeluya. Tetua pajag seluruh jala yag dilalui bola itu sapai berheti. BAB IV. PENUTUP Setelah eyelesaia odul ii, ada berha utu egiuti tes ahir odul..3 utu eguji opetesi yag telah ada pelajari. Apabila ada diyataa eeuhi syarat etutasa dari hasil evaluasi dala odul ii, aa ada berha utu elajuta e topi/odul beriutya. Modul Mateatia SMA Negeri 6 Malag

MODUL BARISAN DAN DERET

MODUL BARISAN DAN DERET MODUL BARISAN DAN DERET SEMESTER 2 Muhammad Zaial Abidi Persoal Blog http://meetabied.wordpress.com BAB I. PENDAHULUAN A. Desripsi Dalam modul ii, ada aa mempelajari pola bilaga, barisa, da deret diidetifiasi

Lebih terperinci

BARISAN DAN DERET. U n = suku ke-n Contoh: Barisan bilangan asli, bilangan genap, bilangan ganjil, dan lain-lain.

BARISAN DAN DERET. U n = suku ke-n Contoh: Barisan bilangan asli, bilangan genap, bilangan ganjil, dan lain-lain. BARIAN DAN DERET A. Barisa Barisa adalah uruta bilaga yag memilii atura tertetu. etiap bilaga pada barisa disebut suu barisa yag dipisaha dega lambag, (oma). Betu umum barisa:,, 3, 4,, dega: = suu pertama

Lebih terperinci

BAB 6 NOTASI SIGMA, BARISAN DAN DERET

BAB 6 NOTASI SIGMA, BARISAN DAN DERET BAB 6 NOTASI SIGMA, BARISAN DAN DERET A RINGKASAN MATERI. Notasi Sigma Diberia suatu barisa bilaga, a, a,..., a. Lambag deret tersebut, yaitu: a = a + a +... + a a meyataa jumlah suu pertama barisa Sifat-sifat

Lebih terperinci

Deret Positif. Dengan demikian, S = 1: Kemudian untuk deret lain, misalkan L = : Maka

Deret Positif. Dengan demikian, S = 1: Kemudian untuk deret lain, misalkan L = : Maka oi eswa (fmipa-itb) Deret Positif Deret (ta berhigga) adalah ugapa berbetu a + a + a 3 + a 4 + dega a i disebut suu. Pejumlaha ii berbeda dega pejumlaha dua, tiga, atau berhigga bilaga. Maa, ita perlu

Lebih terperinci

Deret Positif. Dengan demikian, S = 1: Kemudian untuk deret lain, misalkan L = : Maka

Deret Positif. Dengan demikian, S = 1: Kemudian untuk deret lain, misalkan L = : Maka oi eswa (fmipa-itb) Deret Positif Deret (ta berhigga) adalah ugapa berbetu a + a + a 3 + a 4 + dega a i disebut suu. Pejumlaha ii berbeda dega pejumlaha dua, tiga, atau berhigga bilaga. Maa, ita perlu

Lebih terperinci

MACAM-MACAM TEKNIK MEMBILANG

MACAM-MACAM TEKNIK MEMBILANG 0 MACAM-MACAM TEKNIK MEMBILANG ATURAN PERKALIAN Beriut ii diberia sebuah dalil tetag peetua baya susua yag palig sederhaa dalam suatu permasalaha yag beraita dega peluag. Dalil 2.1: ATURAN PERKALIAN SECARA

Lebih terperinci

Gambar 3.1Single Channel Multiple Phase

Gambar 3.1Single Channel Multiple Phase BAB III MODEL ANTRIAN PADA PEMBUATAN SIM C. Sigle Chael Multiple Phase Sistem atria sigle chael multiple phase merupaa sistem atria dimaa pelagga yag tiba, dapat memasui sistem dega megatri di tempat yag

Lebih terperinci

BAHAN AJAR DIKLAT GURU MATEMATIKA

BAHAN AJAR DIKLAT GURU MATEMATIKA BAHAN AJAR DIKLAT GURU MATEMATIKA DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH DIREKTORAT PENDIDIKAN MENENGAH KEJURUAN 005 DAFTAR ISI Kata Pegatar.. i Daftar Isi...

Lebih terperinci

Representasi sinyal dalam impuls

Representasi sinyal dalam impuls Represetasi siyal dalam impuls Represetasi siyal dalam impuls adalah siyal yag diyataa sebagai fugsi dari impuls atau sebagai umpula dari impuls-impuls. Sembarag siyal disret dapat diyataa sebagai pejumlaha

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI. gamma, fungsi likelihood, dan uji rasio likelihood. Misalkan dilakukan percobaan acak dengan ruang sampel C.

BAB II LANDASAN TEORI. gamma, fungsi likelihood, dan uji rasio likelihood. Misalkan dilakukan percobaan acak dengan ruang sampel C. BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ii aa dibahas teori teori yag meduug metode upper level set sca statistics, atara lai peubah aca, distribusi gamma, fugsi gamma, fugsi lielihood, da uji rasio lielihood.

Lebih terperinci

Penulis: Penilai: Editor: Ilustrator: Dra. Puji Iryanti, M.Sc. Ed. Al. Krismanto, M.Sc. Sri Purnama Surya, S.Pd, M.Si. Fadjar N. Hidayat, S.Si.,M.Ed.

Penulis: Penilai: Editor: Ilustrator: Dra. Puji Iryanti, M.Sc. Ed. Al. Krismanto, M.Sc. Sri Purnama Surya, S.Pd, M.Si. Fadjar N. Hidayat, S.Si.,M.Ed. PAKET FASILITASI PEMBERDAYAAN KKG/MGMP MATEMATIKA Pembelajara Barisa, Deret Bilaga da Notasi Sigma di SMA Peulis: Dra. Puji Iryati, M.Sc. Ed. Peilai: Al. Krismato, M.Sc. Editor: Sri Purama Surya, S.Pd,

Lebih terperinci

PEMBAHASAN SOAL OSN MATEMATIKA SMP TINGKAT PROPINSI 2011 OLEH :SAIFUL ARIF, S.Pd (SMP NEGERI 2 MALANG)

PEMBAHASAN SOAL OSN MATEMATIKA SMP TINGKAT PROPINSI 2011 OLEH :SAIFUL ARIF, S.Pd (SMP NEGERI 2 MALANG) PEMBAHASAN SOAL OLIMPIADE SAINS NASIONAL SMP A. ISIAN SINGKAT SELEKSI TINGKAT PROPINSI TAHUN 011 BIDANG STUDI MATEMATIKA WAKTU : 150 MENIT 1. Jia x adalah jumlah 99 bilaga gajil terecil yag lebih besar

Lebih terperinci

BARISAN DAN DERET. Bentuk deret Aritmatika: a, ( a + b ), ( a + 2b ) ( a + ( n 1 ) b a = suku pertama b = beda n = banyaknya suku.

BARISAN DAN DERET. Bentuk deret Aritmatika: a, ( a + b ), ( a + 2b ) ( a + ( n 1 ) b a = suku pertama b = beda n = banyaknya suku. BARISAN DAN DERET Bab 9 Deret Aritmatika (Deret Hitug) o o o Betuk deret Aritmatika: a, ( a + b ), ( a + b ) +...+ ( a + ( ) b a = suku pertama b = beda = bayakya suku Suku ke- : U = a + (-)b Jumlah suku

Lebih terperinci

BAB 4: PELUANG DAN DISTRIBUSI NORMAL.

BAB 4: PELUANG DAN DISTRIBUSI NORMAL. BAB 4: PELUANG DAN DISTRIBUSI NORMAL. PELUANG Peluag atau yag biasa juga disebut dega istilah keugkia, probablilitas, atau kas eujukka suatu tigkat keugkia terjadiya suatu kejadia yag diyataka dala betuk

Lebih terperinci

Nilai Eigen dan Vektor Eigen Matriks atas Aljabar Max-Plus Interval

Nilai Eigen dan Vektor Eigen Matriks atas Aljabar Max-Plus Interval Nilai Eige da Vetor Eige Matris atas Aljabar Max-Plus Iterval 2 M. Ady Rudhito, Sri Wahyui, 3 Ari Suparwato, ad 4 F. Susilo Mahasiswa S3 Mateatia FMIPA UGM da Staff Pegajar FKIP Uiversitas Saata Dhara

Lebih terperinci

Aplikasi Sistem Orthonormal Di Ruang Hilbert Pada Deret Fourier

Aplikasi Sistem Orthonormal Di Ruang Hilbert Pada Deret Fourier Apliasi Sistem Orthoormal Di Ruag Hilbert Pada Deret Fourier A 7 Fitriaa Yuli S. FMIPA UNY Abstra Ruag hilbert aa dibahas pada papper ii. Apliasi system orthoormal aa diaji da aa diapliasia pada ruahg

Lebih terperinci

RUANG BARISAN MUSIELAK-ORLICZ. Oleh: Encum Sumiaty dan Yedi Kurniadi

RUANG BARISAN MUSIELAK-ORLICZ. Oleh: Encum Sumiaty dan Yedi Kurniadi RUANG BARISAN USIELAK-ORLICZ Oleh: Ecu Suiat da Yedi Kuriadi Disapaia pada Seiar Nasioal ateatia ada taggal 8 Deseber 2008, di Jurusa edidia ateatia FIA UI JURUSAN ENDIDIKAN ATEATIKA FAKULTAS ENDIDIKAN

Lebih terperinci

Bab 16 Integral di Ruang-n

Bab 16 Integral di Ruang-n Catata Kuliah MA3 Kalulus Elemeter II Oi Neswa,Ph.D., Departeme Matematia-ITB Bab 6 Itegral di uag- Itegral Gada atas persegi pajag Itegral Berulag Itegral Gada atas Daerah sebarag Itegral Gada Koordiat

Lebih terperinci

PROBLEM ELIMINASI CUT PADA LOGIKA LBB I nk

PROBLEM ELIMINASI CUT PADA LOGIKA LBB I nk Jural Mateatia, Vol. 10 No. 3, Deseber 007, ISSN 1410-8518 PROBLEM ELIMINASI CUT PADA LOGIKA LBB I Bayu Surarso Jurusa Mateetia FMIPA UNDIP Jl. Prof. H. Soedarto, SH Tebalag Searag 5075 Abstract. I the

Lebih terperinci

Kuliah 9 Filter Digital

Kuliah 9 Filter Digital TEKNIK PENGOLAHAN ISYARAT DIGITAL Kuliah 9 Filter Digital Idah Susilawati, S.T.,.Eg. Progra Studi Tei Eletro Progra Studi Tei Iforatia Faultas Tei da Ilu Koputer Uiversitas ercu Buaa Yogaarta 9 Kuliah

Lebih terperinci

BAB 12 BARISAN DAN DERET

BAB 12 BARISAN DAN DERET BAB 1 BARISAN DAN DERET TIPE 1: Jika dari barisa aritmetika diketahui suku ke-m adalah um u b. m Cotoh: Diketahui barisa aritmetika, suku ke-5 adalah 4 da suku ke-8 adalah 6. Tetuka beda barisa aritmetika

Lebih terperinci

BAB V RANDOM VARIATE GENERATOR (PEMBANGKIT RANDOM VARIATE)

BAB V RANDOM VARIATE GENERATOR (PEMBANGKIT RANDOM VARIATE) BAB V RANDOM VARIATE GENERATOR (PEMBANGKIT RANDOM VARIATE) 5.1. Pembagit Radom Variate Disrit Suatu Radom Variate diartia sebagai ilai suatu radom variate yag mempuyai distribusi tertetu. Utu megambil

Lebih terperinci

Jurnal Matematika Murni dan Terapan Vol. 4 No.2 Desember 2010: 1-13 TEOREMA TITIK TETAP BANACH PADA RUANG METRIK-D

Jurnal Matematika Murni dan Terapan Vol. 4 No.2 Desember 2010: 1-13 TEOREMA TITIK TETAP BANACH PADA RUANG METRIK-D Jural Mateatika Muri da Terapa Vol 4 No Deseber : - 3 TEOREMA TITIK TETAP BANACH PADA RUANG METRIK-D Muhaad Ahsar Kari, Dewi Sri Susati, da Nurul Huda Progra Studi Mateatika Uiversitas Labug Magkurat Jl

Lebih terperinci

theresiaveni.wordpress.com NAMA : KELAS :

theresiaveni.wordpress.com NAMA : KELAS : theresiaveiwordpresscom NAMA : KELAS : 1 theresiaveiwordpresscom BARISAN DAN DERET Barisa da deret dapat diguaka utuk memudahka peyelesaia perhituga, misalya buga bak, keaika produksi, da laba/rugi suatu

Lebih terperinci

Barisan Dan Deret Arimatika

Barisan Dan Deret Arimatika Barisa Da Deret Arimatika A. Barisa Aritmatika Niko etera memiliki sebuah peggaris ukura 0 cm. Ia megamati bilaga-bilaga pada peggarisya ii. Bilaga-bilaga tersebut beruruta 0, 1,, 3,, 0. etiap bilaga beruruta

Lebih terperinci

Modul 1. (Pertemuan 1 s/d 3) Deret Takhingga

Modul 1. (Pertemuan 1 s/d 3) Deret Takhingga Modul. (Pertemua s/d ) Deret Takhigga. Deret Tidak Terhigga. Pembicaraa kita sekarag deret pada umumya. Deret yag bayakya suku tak terbatas disebut deret tak higga, otasi : Masalah pokok pada deret tak

Lebih terperinci

III BAB BARISAN DAN DERET. Tujuan Pembelajaran. Pengantar

III BAB BARISAN DAN DERET. Tujuan Pembelajaran. Pengantar BAB III BARISAN DAN DERET Tujua Pembelajara Setelah mempelajari materi bab ii, Ada diharapka dapat:. meetuka suku ke- barisa da jumlah suku deret aritmetika da geometri,. meracag model matematika dari

Lebih terperinci

DISTRIBUSI BINOMIAL. (sukses sebanyak x kali, gagal sebanyak n x kali)

DISTRIBUSI BINOMIAL. (sukses sebanyak x kali, gagal sebanyak n x kali) DISTRIBUSI BINOMIAL Distribusi bioial berasal dari percobaa bioial yaitu suatu proses Beroulli yag diulag sebayak kali da salig bebas. Distribusi Bioial erupaka distribusi peubah acak diskrit. Secara lagsug,

Lebih terperinci

Mata Kuliah : Matematika Diskrit Program Studi : Teknik Informatika Minggu ke : 5

Mata Kuliah : Matematika Diskrit Program Studi : Teknik Informatika Minggu ke : 5 Mata Kuliah : Matematia Disrit Program Studi : Tei Iformatia Miggu e : 5 KOMBINATORIAL PENDAHULUAN Persoala ombiatori bua merupaa persoala baru dalam ehidupa yata. Baya persoala ombiatori sederhaa telah

Lebih terperinci

MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan

MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan MA1201 MATEMATIKA 2A Hedra Guawa Semester II, 2016/2017 3 Februari 2017 Bab Sebelumya 8. Betuk Tak Tetu da Itegral Tak Wajar 8.1 Betuk Tak Tetu 0/0 8.2 Betuk Tak Tetu Laiya 8.3 Itegral Tak Wajar dg Batas

Lebih terperinci

Ruang Vektor Eigen Suatu Matriks Atas Aljabar Max-Plus Interval. Eigenvector Space of a Matrix of Interval Max-Plus Algebra

Ruang Vektor Eigen Suatu Matriks Atas Aljabar Max-Plus Interval. Eigenvector Space of a Matrix of Interval Max-Plus Algebra Jural Mateatia & Sais April 2014 Vol 19 Noor 1 Ruag Vetor Eige Suatu Matris Atas Alabar Max-Plus Iterval Abstra Siswato 1) Ari Suparwato 2) da M Ady Rudhito 3) 1) Jurusa Mateatia FMIPA UNS Suraarta 2)

Lebih terperinci

MATEMATIKA BISNIS. OLEH: SRI NURMI LUBIS, S.Si GICI BUSSINESS SCHOOL BATAM

MATEMATIKA BISNIS. OLEH: SRI NURMI LUBIS, S.Si GICI BUSSINESS SCHOOL BATAM MATEMATIKA BISNIS OLEH: SRI NURMI LUBIS, S.Si GICI BUSSINESS SCHOOL BATAM BAB BARISAN DAN DERET A. BARISAN Barisa bilaga adalah susua bilaga yag diurutka meurut atura tertetu.betuk umum barisa bilaga a,

Lebih terperinci

PEMBUKTIAN SIFAT RUANG BANACH PADA D(K)

PEMBUKTIAN SIFAT RUANG BANACH PADA D(K) JMP : Volume 4 Nomor 1, Jui 2012, hal. 41-50 PEMBUKTIAN SIFAT RUANG BANACH PADA D(K) Malahayati Program Studi Matematia Faultas Sais da Teologi UIN Sua Kalijaga malahayati_01@yahoo.co.id ABSTRACT. I this

Lebih terperinci

TEOREMA KEKONVERGENAN FUNGSI TERINTEGRAL HENSTOCK- KURZWEIL SERENTAK DAN FUNGSI BERSIFAT LOCALLY SMALL RIEMANN SUMS (LSRS) DARI RUANG EUCLIDE

TEOREMA KEKONVERGENAN FUNGSI TERINTEGRAL HENSTOCK- KURZWEIL SERENTAK DAN FUNGSI BERSIFAT LOCALLY SMALL RIEMANN SUMS (LSRS) DARI RUANG EUCLIDE Teorema Keovergea Fugsi Teritegral Hestoc(Aiswita) TORMA KKONVRGNAN FUNGSI TRINTGRAL HNSTOCK- KURZWIL SRNTAK DAN FUNGSI BRSIFAT LOCALLY SMALL RIMANN SUMS (LSRS) DARI RUANG UCLID K RUANG BARISAN Aiswita,

Lebih terperinci

Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom. Barisan dan Deret

Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom. Barisan dan Deret Program Perkuliaha Dasar Umum Sekolah Tiggi Tekologi Telkom Barisa da Deret Barisa Defiisi Barisa bilaga didefiisika sebagai fugsi dega daerah asal merupaka bilaga asli. Notasi: f: N R f( ) a Fugsi tersebut

Lebih terperinci

Barisan. Barisan Tak Hingga Kekonvergenan barisan tak hingga Sifat sifat barisan Barisan Monoton. 19/02/2016 Matematika 2 1

Barisan. Barisan Tak Hingga Kekonvergenan barisan tak hingga Sifat sifat barisan Barisan Monoton. 19/02/2016 Matematika 2 1 Barisa Barisa Tak Higga Kekovergea barisa tak higga Sifat sifat barisa Barisa Mooto 9/0/06 Matematika Barisa Tak Higga Secara sederhaa, barisa merupaka susua dari bilaga bilaga yag urutaya berdasarka bilaga

Lebih terperinci

1) Leptokurtik Merupakan distribusi yang memiliki puncak relatif tinggi

1) Leptokurtik Merupakan distribusi yang memiliki puncak relatif tinggi Statisti Desriptif Keruciga atau Kurtosis Pegertia Kurtosis Peguura urtosis (peruciga) sebuah distribusi teoritis adaalaya diamaam peguura eses (excess) dari sebuah distribusi Sebearya urtosis bisa diaggap

Lebih terperinci

2 BARISAN BILANGAN REAL

2 BARISAN BILANGAN REAL 2 BARISAN BILANGAN REAL Di sekolah meegah barisa diperkealka sebagai kumpula bilaga yag disusu meurut "pola" tertetu, misalya barisa aritmatika da barisa geometri. Biasaya barisa da deret merupaka satu

Lebih terperinci

DERET TAK HINGGA (INFITITE SERIES)

DERET TAK HINGGA (INFITITE SERIES) MATEMATIKA II DERET TAK HINGGA (INFITITE SERIES) sugegpb.lecture.ub.ac.id aada.lecture.ub.ac.id BARISAN Barisa merupaka kumpula suatu bilaga (atau betuk aljabar) yag disusu sehigga membetuk suku-suku yag

Lebih terperinci

BARISAN DAN DERET. Materi ke 1

BARISAN DAN DERET. Materi ke 1 BARISAN DAN DERET Materi ke 1 Pola Bilaga adalah? Susua bilaga yag disusu meurut atura tertetu. Cotoh : 1. Pola Bilaga Gajil 1, 3, 5,... 2. Pola Bilaga Geap 2, 4, 6,... PERHATIKAN SSNAN BILANGAN DI BAWAH

Lebih terperinci

GRAFIKA

GRAFIKA 6 5 7 3 6 3 3 GRAFIKA 3 6 57 08 0 9 5 9 385 946 5 3 30 0 8 9 5 9 3 85 946 5 ANALISA REAL Utu uliah (pegatar) aalisa real yag dilegapi dega program MATLAB Dr. H.A. Parhusip G R A F I K A Peerbit Tisara

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. A. Latar Belakang. B. Tujuan dan Sasaran. C. Ruang Lingkup

BAB I PENDAHULUAN. A. Latar Belakang. B. Tujuan dan Sasaran. C. Ruang Lingkup BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belaag Kombiatoria mempuyai beberapa aspe, yaitu eumerasi, teori graf, da ofigurasi atau peyusua. Eumerasi membahas peghituga susua berbagai tipe. Sebagai cotoh: (i) meghitug

Lebih terperinci

BARISAN DAN DERET. 05/12/2016 Matematika Teknik 1 1

BARISAN DAN DERET. 05/12/2016 Matematika Teknik 1 1 BARISAN DAN DERET 05//06 Matematika Tekik BARISAN Barisa Tak Higga Kekovergea barisa tak higga Sifat sifat barisa Barisa Mooto 05//06 Matematika Tekik Barisa Tak Higga Secara sederhaa, barisa merupaka

Lebih terperinci

Model Antrian Multi Layanan

Model Antrian Multi Layanan Jural Gradie Vol. No. Juli : 8- Model Atria Multi Layaa Sisa Yosmar Jurusa Matematia, Faultas Matematia da Ilmu egetahua Alam, Uiversitas Begulu, Idoesia Diterima 9 April; Disetujui 8 Jui Abstra - Salah

Lebih terperinci

BARISAN DAN DERET. Nurdinintya Athari (NDT)

BARISAN DAN DERET. Nurdinintya Athari (NDT) BARISAN DAN DERET Nurdiitya Athari (NDT) BARISAN Defiisi Barisa bilaga didefiisika sebagai fugsi dega daerah asal merupaka bilaga asli. Notasi: f: N R f( ) = a Fugsi tersebut dikeal sebagai barisa bilaga

Lebih terperinci

Hendra Gunawan. 12 Februari 2014

Hendra Gunawan. 12 Februari 2014 MA1201 MATEMATIKA 2A Hedra Guawa Semester II, 2013/2014 12 Februari 2014 Bab Sebelumya 8. Betuk Tak Tetu da Itegral Tak Wajar 8.1 Betuk Tak Tetu 0/0 82 8.2 Betuk Tak Tetu Laiya 8.3 Itegral Tak Wajar dg

Lebih terperinci

JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No. 2, 77-85, Agustus 2003, ISSN : DISTRIBUSI WAKTU BERHENTI PADA PROSES PEMBAHARUAN

JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No. 2, 77-85, Agustus 2003, ISSN : DISTRIBUSI WAKTU BERHENTI PADA PROSES PEMBAHARUAN JURAL MATEMATKA DA KOMPUTER Vol. 6. o., 77-85, Agustus 003, SS : 40-858 DSTRBUS WAKTU BERHET PADA PROSES PEMBAHARUA Sudaro Jurusa Matematika FMPA UDP Abstrak Dalam proses stokhastik yag maa kejadia dapat

Lebih terperinci

-1- U n : suku ke-n barisan aritmetika a : suku pertama n : banyak suku b : beda/selisih

-1- U n : suku ke-n barisan aritmetika a : suku pertama n : banyak suku b : beda/selisih -- BARISAN DAN DERET PENGERTIAN BARISAN DAN DERET Bisa yaitu susua bilaga yag didapatka di pemetaa bilaga asli yag dihubugka dega tada,. Jika pada bisa tada, digati dega tada, maka disebut deret. Bisa

Lebih terperinci

Barisan Aritmetika dan deret aritmetika

Barisan Aritmetika dan deret aritmetika BARISAN DAN DERET BILANGAN Peyusu: Atmii Dhoruri, MS Kode: Jejag: SMP T/P: / A. Kompetesi yag diharapka. Meetuka suku ke- barisa aritmatika da barisa geometri. Meetuka jumlah suku pertama deret aritmatika

Lebih terperinci

Aproksimasi Terbaik dalam Ruang Metrik Konveks

Aproksimasi Terbaik dalam Ruang Metrik Konveks Aprosimasi Terbai dalam Ruag etri Koves Oleh : Suharsoo S Jurusa atematia FIPA Uiversitas Lampug Abstra asalah esistesi da etuggala aprosimasi terbai suatu titi dalam ruag berorm telah dipelajari oleh

Lebih terperinci

Perluasan Uji Kruskal Wallis untuk Data Multivariat

Perluasan Uji Kruskal Wallis untuk Data Multivariat Statistia, Vol. No., Mei Perluasa Uji Krusal Wallis utu Data Multivariat TETI SOFIA YANTI Program Studi Statistia, Uiversitas Islam Badug, Jl. Purawarma No. Badug. E-mail: buitet@yahoo.com ABSTAK Adaia

Lebih terperinci

PRINSIP MAKSIMUM DAN MINIMUM FUNGSI PANHARMONIK

PRINSIP MAKSIMUM DAN MINIMUM FUNGSI PANHARMONIK PRINSIP MAKSIMUM DAN MINIMUM FUNGSI PANHARMONIK Oleh, Edag Cahya M.A. Jrsa Pedidia Matematia FPMIPA UPI Badg Jl. Dr. Setiabdi 9 Badg E-mail ecma@ds.math.itb.ac.id Abstra Tlisa ii mejelasa prisip masimm

Lebih terperinci

MENENTUKAN NILAI LIMIT BARISAN KONTRAKTIF DENGAN MENGGUNAKAN RELASI REKURSIF SKRIPSI. Oleh : Muhamad Nur Huda NIM :

MENENTUKAN NILAI LIMIT BARISAN KONTRAKTIF DENGAN MENGGUNAKAN RELASI REKURSIF SKRIPSI. Oleh : Muhamad Nur Huda NIM : MENENTUKAN NILAI LIMIT BARISAN KONTRAKTIF DENGAN MENGGUNAKAN RELASI REKURSIF SKRIPSI Oleh : Muhaad Nu Huda NIM : 05000 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI (UIN) MALANG

Lebih terperinci

HALAMAN Dengan definisi limit barisan buktikan limit berikut ini : = 0. a. lim PENYELESAIAN : jadi terbukti bahwa lim = 0 = 5. b.

HALAMAN Dengan definisi limit barisan buktikan limit berikut ini : = 0. a. lim PENYELESAIAN : jadi terbukti bahwa lim = 0 = 5. b. Didowload dari ririez.blog.us.ac.id HALAMAN 36 37 5. Dega defiisi limit barisa buktika limit berikut ii : a. lim = 0 lim 1 2 + 3 = 0 > 0 h 1 = 2 + 3 0 = 1 2 + 3 1 2 1 2 1 2 < jadi terbukti bahwa lim =

Lebih terperinci

Gerak Brown Fraksional dan Sifat-sifatnya

Gerak Brown Fraksional dan Sifat-sifatnya SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 06 S - 3 Gera Brow Frasioal da Sifat-sifatya Chataria Ey Murwaigtyas, Sri Haryatmi, Guardi 3, Herry P Suryawa 4,,3 Uiversitas Gadjah Mada,4 Uiversitas

Lebih terperinci

BAB VI BARISAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA

BAB VI BARISAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA BAB VI BARIAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA Bajar/Barisa Tak Higga Barisa tak higga { },,,,, adalah suatu fugsi dari dimaa daerah domaiya adalah himpua bilaga bulat positif (bilaga asli). Cotoh: Bila,,,..,

Lebih terperinci

Peluang Suatu Kejadian, Kaidah Penjumlahan, Peluang Bersyarat, Kaidah Perkalian dan Kaidah Baiyes

Peluang Suatu Kejadian, Kaidah Penjumlahan, Peluang Bersyarat, Kaidah Perkalian dan Kaidah Baiyes eluag uatu Kejadia, Kaidah ejumlaha, eluag ersyarat, Kaidah eralia da Kaidah aiyes.eluag uatu Kejadia Defiisi : eluag suatu ejadia adalah jumlah peluag semua titi otoh dalam. Dega demiia : 0 (), ( ) =

Lebih terperinci

Definisi Integral Tentu

Definisi Integral Tentu Defiisi Itegral Tetu Bila kita megedarai kedaraa bermotor (sepeda motor atau mobil) selama 4 jam dega kecepata 50 km / jam, berapa jarak yag ditempuh? Tetu saja jawabya sagat mudah yaitu 50 x 4 = 200 km.

Lebih terperinci

I. PENDAHULUAN II. LANDASAN TEORI

I. PENDAHULUAN II. LANDASAN TEORI 5 I PENDAHULUAN Latar Belakag Persaaa diferesial adalah suatu persaaa ag egadug sebuah fugsi ag tak diketahui dega satu atau lebih turuaa [Stewart, 3] Persaaa diferesial dapat dibedaka eurut ordea, salah

Lebih terperinci

SOAL-SOAL. 1. UN A Jumlah n suku pertama deret aritmetika dinyatakan dengan S n n

SOAL-SOAL. 1. UN A Jumlah n suku pertama deret aritmetika dinyatakan dengan S n n Husei Tampomas, Barisa da Deret, 06 SOAL-SOAL. UN A 0 Jumlah suku pertama deret aritmetika diyataka dega S. Suku ke-0 A. B. C. 0 D. 8 E. 6. UN A, D7, da E8 0 Sebuah pabrik memproduksi barag jeis A pada

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. Secara umum apabila a bilangan bulat dan b bilangan bulat positif, maka ada tepat = +, 0 <

II. TINJAUAN PUSTAKA. Secara umum apabila a bilangan bulat dan b bilangan bulat positif, maka ada tepat = +, 0 < II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Keterbagia Secara umum apabila a bilaga bulat da b bilaga bulat positif, maka ada tepat satu bilaga bulat q da r sedemikia sehigga : = +, 0 < dalam hal ii b disebut hasil bagi

Lebih terperinci

BAB V. INTEGRAL. Lambang anti-turunan (integral tak-tentu) oleh Leibniz adalah... dx, sehingga

BAB V. INTEGRAL. Lambang anti-turunan (integral tak-tentu) oleh Leibniz adalah... dx, sehingga BAB V. INTEGRAL 5.. Ati Turua (Itegral Tak-tetu) Defiisi: F suatu ati-turua f pada selag I jika da haya jika D F() = f() pada I, yaki F () = f() utuk semua dalam I. (Jika suatu titik ujug I, F () haya

Lebih terperinci

RENCANA PROGRAM PEMBELAJARAN KE - 1. : 6 jam pelajaran

RENCANA PROGRAM PEMBELAJARAN KE - 1. : 6 jam pelajaran RENCANA PROGRAM PEMBELAJARAN KE - 1 Satua Pedidika Mata Pelajara Kelas/Semester Materi Pokok Waktu : SMA N 6 YOGYAKARTA : Matematika : XII IPS/ : Barisa da Deret : 6 jam pelajara 1. Stadar Kompetesi 4.

Lebih terperinci

[RUMUS CEPAT MATEMATIKA] http://meetabied.wordpress.com

[RUMUS CEPAT MATEMATIKA] http://meetabied.wordpress.com http://meetabied.wordpress.com SMAN Boe-Boe, Luwu Utara, Sul-Sel Setiap pria da waita sukses adalah pemimpipemimpi besar. Mereka berimajiasi tetag masa depa mereka, berbuat sebaik mugki dalam setiap hal,

Lebih terperinci

SEPUTAR IDEAL DARI GELANGGANG POLINOM MIRING AROUND IDEAL OF THE SKEW POLYNOMIAL RING

SEPUTAR IDEAL DARI GELANGGANG POLINOM MIRING AROUND IDEAL OF THE SKEW POLYNOMIAL RING SEPUTAR IDEAL DARI GELANGGANG POLINOM MIRING Afra, Ar Kaal Ar da Nur Erawaty Jurusa Mateata Faultas Mateata da Ilu Pegetahua Ala Uverstas Hasaudd (UNHAS) Jl. Perts Keerdeaa KM.0 Maassar 90245, Idoesa thalabu@gal.co

Lebih terperinci

MENGUJI KEMAKNAAN SAMPEL TUNGGAL

MENGUJI KEMAKNAAN SAMPEL TUNGGAL MENGUJI KEMAKNAAN SAMPEL TUNGGAL 1.1 Uji Biomial 1. Uji esesuaia Chi Kuadrat 1.3 Uji Kesesuaia K-S 1.4 Uji Ideedesi Chi Kuadrat 1.5 Uji Pasti Fisher UJI BINOMIAL Meruaa uji roorsi dalam suatu oulasi Poulasi

Lebih terperinci

TURUNAN FUNGSI. Definisi. 3.1 Pengertian Turunan Fungsi. Turunan fungsi f adalah fungsi f yang nilainya di c adalah. asalkan limit ini ada.

TURUNAN FUNGSI. Definisi. 3.1 Pengertian Turunan Fungsi. Turunan fungsi f adalah fungsi f yang nilainya di c adalah. asalkan limit ini ada. 3 TURUNAN FUNGSI 3. Pegertia Turua Fugsi Defiisi Turua fugsi f adala fugsi f yag ilaiya di c adala f c f c f c 0 asalka it ii ada. Coto Jika f 3 + +4, maka turua f di adala f f f 0 3 4 3.. 4 0 34 4 4 4

Lebih terperinci

SIFAT ALJABAR BANACH KOMUTATIF DAN ELEMEN IDENTITAS PADA

SIFAT ALJABAR BANACH KOMUTATIF DAN ELEMEN IDENTITAS PADA SIFAT ALJABAR BANACH KOMUTATIF DAN ELEMEN IDENTITAS PADA KELAS D(K) Malahayati Program Studi Matematia Faultas Sais da Teologi UIN Sua Kalijaga Yogyaarta e-mail: malahayati_01@yahoo.co.id ABSTRAK Himpua

Lebih terperinci

ARTIKEL. Menentukan rumus Jumlah Suatu Deret dengan Operator Beda. Markaban Maret 2015 KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN

ARTIKEL. Menentukan rumus Jumlah Suatu Deret dengan Operator Beda. Markaban Maret 2015 KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN ARTIKEL Meetuka rumus Jumlah Suatu Deret dega Operator Beda Markaba 191115198801005 Maret 015 KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN PUSAT PENGEMBANGAN DAN PEMBERDAYAAN PENDIDIK DAN TENAGA KEPENDIDIKAN

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. Matematika merupakan suatu ilmu yang mempunyai obyek kajian

BAB I PENDAHULUAN. Matematika merupakan suatu ilmu yang mempunyai obyek kajian BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakag Masalah Matematika merupaka suatu ilmu yag mempuyai obyek kajia abstrak, uiversal, medasari perkembaga tekologi moder, da mempuyai pera petig dalam berbagai disipli,

Lebih terperinci

Penggunaan Transformasi z

Penggunaan Transformasi z Pegguaa Trasformasi pada Aalisa Respo Freuesi Sistem FIR Oleh: Tri Budi Satoso E-mail:tribudi@eepis-its.eduits.edu Lab Siyal,, EEPIS-ITS ITS /3/6 osep pemiira domais of represetatio Domai- discrete time:

Lebih terperinci

Bab 6: Analisa Spektrum

Bab 6: Analisa Spektrum BAB Aalisa Spetrum Bab : Aalisa Spetrum Aalisa Spetrum Dega DFT Tujua Belajar Peserta dapat meghubuga DFT dega spetrum dari sial hasil samplig sial watu otiue. -poit DFT dari sial x adalah Xω ag diealuasi

Lebih terperinci

Penggunaan Distribusi Poisson Untuk Menghitung Peluang Memenangkan Suatu Permainan

Penggunaan Distribusi Poisson Untuk Menghitung Peluang Memenangkan Suatu Permainan T a a a Pegguaa Distribusi Poisso Utu Meghitug Peluag Meeaga Suatu Peraia Itisari Dala tulisa ii ai aa ebahas eeraa teorea araterisasi yag erat aitaya ega istribusi Poisso aa beberaa ata seabola a baseball.

Lebih terperinci

3. Integral (3) (Integral Tentu)

3. Integral (3) (Integral Tentu) Darublic www.darublic.com. Itegral () (Itegral Tetu).. Luas Sebagai Suatu Itegral. Itegral Tetu Itegral tetu meruaa itegral ag batas-batas itegrasia jelas. Kose dasar dari itegral tertetu adalah luas bidag

Lebih terperinci

Barisan dan Deret. Modul 1 PENDAHULUAN

Barisan dan Deret. Modul 1 PENDAHULUAN Modul Barisa da Deret Reto Wika Tyasig Ada P PENDAHULUAN okok bahasa dalam modul ii terdiri atas dua kegiata belajar. Yag pertama tetag barisa, yag kedua tetag deret da cotoh-cotoh pemakaia deret. Pembahasa

Lebih terperinci

,n N. Jelas barisan ini terbatas pada dengan batas M =: 1, dan. barisan ini kovergen ke 0.

,n N. Jelas barisan ini terbatas pada dengan batas M =: 1, dan. barisan ini kovergen ke 0. PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNMUH PONOROGO SOAL UJIAN TENGAH SEMESTER GENAP TA 03/04 Mata Ujia : Aalisis Real Tipe Soal : REGULER Dose : Dr. Jula HERNADI Waktu : 90 meit Hari, Taggal : Selasa,

Lebih terperinci

Volume 1, Nomor 2, Desember 2007

Volume 1, Nomor 2, Desember 2007 Volue, Noor, Deseber 7 Bareeg, Deseber 7 al4-7 Vol No DIAGONAISASI MATRIKS UNTUK MENYEESAIKAN MODE MANGSA-EMANGSA EVINUS R ERSUESSY Jurusa Mateatia FMIA UNATTI Abo ABSTRACT Diagoalizatio of a square atrix

Lebih terperinci

PEMBEKALAN OSN-2011 SMP STELA DUCE I YOGYAKARTA MATA PELAJARAN: MATEMATIKA Pemateri: Murdanu

PEMBEKALAN OSN-2011 SMP STELA DUCE I YOGYAKARTA MATA PELAJARAN: MATEMATIKA Pemateri: Murdanu Pemateri: Murdau 1 BAGIAN A 1. Carilah dua bilaga yag hasilkali da jumlahya berilai sama!. Carilah dua bilaga yag perbadiga da selisihya berilai sama! 3. Diketahui: ab = 84, bc = 76, ac = 161. Berapakah

Lebih terperinci

BAB 3 Interpolasi. 1. Beda Hingga

BAB 3 Interpolasi. 1. Beda Hingga BAB Iterpolas. Hgga. Iterpolas Lear da Kuadrat. Iterpolas -Maju da -Mudur Newto 4. Polo Iterpolas Terbag Newto 5. Polo Iterpolas Lagrage . Hgga Msala dbera suatu tabel la-la uers j j dar suatu ugs pada

Lebih terperinci

Bab 5 Sinyal dan Sistem Waktu Diskrit. Oleh: Tri Budi Santoso Laboratorium Sinyal, EEPIS-ITS

Bab 5 Sinyal dan Sistem Waktu Diskrit. Oleh: Tri Budi Santoso Laboratorium Sinyal, EEPIS-ITS Bab 5 Siyal da Sistem Watu Disrit Oleh: Tri Budi Satoso Laboratorium Siyal, EEPIS-ITS Materi: Represetasi matemati pada siyal watu disrit, domai watu da freuesi pada suatu siyal watu disrit, trasformasi

Lebih terperinci

MODUL MATEMATIKA. Barisan dan Deret UNIVERSITAS NEGERI MANADO

MODUL MATEMATIKA. Barisan dan Deret UNIVERSITAS NEGERI MANADO MODUL MATEMATIKA Barisa da Deret UNIVERSITAS NEGERI MANADO FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA 2007 KATA PENGANTAR Halo...!!! selamat jumpa dalam Modul Matematika SMA. Dalam

Lebih terperinci

BAB III ANUITAS DENGAN BEBERAPA KALI PEMBAYARAN SETAHUN TERHADAP TABUNGAN PENDIDIKAN

BAB III ANUITAS DENGAN BEBERAPA KALI PEMBAYARAN SETAHUN TERHADAP TABUNGAN PENDIDIKAN BAB III ANUITAS DNGAN BBRAPA KALI PMBAYARAN STAHUN TRHADAP TABUNGAN PNDIDIKAN. Tabuga Pedidika Aak Tabuga erupaka salah satu produk yag ditawarka oleh bak utuk eyipa uag. Utuk epersiapka daa pedidika aak,

Lebih terperinci

BAB 2 DASAR TEORI. 2.1 Probabilitas

BAB 2 DASAR TEORI. 2.1 Probabilitas BAB DASAR TEORI. Probabilitas Probabilitas epuyai bayak persaaa seperti keugkia, kesepata da kecederuga. Probabilitas eujukka keugkia terjadiya suatu peristiwa yag bersifat acak. Suatu peristiwa disebut

Lebih terperinci

KALKULUS 4. Dra. D. L. Crispina Pardede, DEA. SARMAG TEKNIK MESIN

KALKULUS 4. Dra. D. L. Crispina Pardede, DEA. SARMAG TEKNIK MESIN KALKULUS Dra. D. L. Crispia Pardede DEA. SARMAG TEKNIK MESIN KALKULUS - SILABUS. Deret Fourier.. Fugsi Periodik.2. Fugsi Geap da Gajil.3. Deret Trigoometri.. Betuk umum Deret Fourier.. Kodisi Dirichlet.6.

Lebih terperinci

Mengkaji Perbedaan Diagonalisasi Matriks Atas Field dan Matriks Atas Ring Komutatif

Mengkaji Perbedaan Diagonalisasi Matriks Atas Field dan Matriks Atas Ring Komutatif Megaji Perbedaa Diagoalisasi Matris Atas Field da Matris Atas Rig Komutatif Teorema : Jia A adalah matris x maa eryataa eryataa beriut eivale satu sama lai : a A daat didiagoalisasi b A memuyai vetor eige

Lebih terperinci

i adalah indeks penjumlahan, 1 adalah batas bawah, dan n adalah batas atas.

i adalah indeks penjumlahan, 1 adalah batas bawah, dan n adalah batas atas. 4 D E R E T Kosep deret merupaka kosep matematika yag cukup populer da aplikatif khusuya dalam kasus-kasus yag meyagkut perkembaga da pertumbuha suatu gejala tertetu. Apabila perkembaga atau pertumbuha

Lebih terperinci

Modul Kuliah statistika

Modul Kuliah statistika Modul Kuliah statistika Dose: Abdul Jamil, S.Kom., MM SEKOLAH TINGGI MANAJEMEN INFORMATIKA DAN KOMPUTER MUHAMMADIYAH JAKARTA Bab 2 Populasi da Sampel 2.1 Populasi Populasi merupaka keseluruha pegamata

Lebih terperinci

Deret Fourier. Modul 1 PENDAHULUAN

Deret Fourier. Modul 1 PENDAHULUAN Modul Deret Fourier Prof. Dr. Bambag Soedijoo P PENDAHULUAN ada modul ii dibahas masalah ekspasi deret Fourier Sius osius utuk suatu fugsi periodik ataupu yag diaggap periodik, da dibahas pula trasformasi

Lebih terperinci

Fungsi Kompleks. (Pertemuan XXVII - XXX) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya

Fungsi Kompleks. (Pertemuan XXVII - XXX) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya TKS 4007 Matematika III Fugsi Kompleks (Pertemua XXVII - XXX) Dr. AZ Jurusa Tekik Sipil Fakultas Tekik Uiversitas Brawijaya Pedahulua Persamaa x + 1 = 0 tidak memiliki akar dalam himpua bilaga real. Pertayaaya,

Lebih terperinci

BAB 4 LIMIT FUNGSI Standar Kompetensi Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah

BAB 4 LIMIT FUNGSI Standar Kompetensi Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah BAB LIMIT FUNGSI Stadar Kompetesi Megguaka kosep it ugsi da turua ugsi dalam pemecaha masalah Kompetesi Dasar. Meghitug it ugsi aljabar sederhaa di suatu titik. Megguaka siat it ugsi utuk meghitug betuk

Lebih terperinci

Sumber: Art & Gallery. 6. Menerapkan konsep barisan dan deret dalam pemecahan masalah

Sumber: Art & Gallery. 6. Menerapkan konsep barisan dan deret dalam pemecahan masalah Sumber: Art & Gallery Stadar Kompetesi 6. Meerapka kosep barisa da deret dalam pemecaha masalah Kompetesi Dasar 6. Megidetifikasi pola, barisa, da deret bilaga 6. Meerapka kosep barisa da deret aritmatika

Lebih terperinci

Definisi 2.3 : Jika max min E(X,Y) = min

Definisi 2.3 : Jika max min E(X,Y) = min Teori Peraia 22 Peelitia Operasioal II Defiisi 23 : Jika ax i E(X,Y) = z y i y ax E(X,Y) =E(x 0, y 0 ), aka (x 0, y 0 ) didefiisika z sebagai strategi uri dari peraia itu dega x 0 sebagai strategi optiu

Lebih terperinci

SOAL-SOAL SPMB 2006 MATEMATIKA DASAR (MAT DAS) 63 n, maka jumlah n suku. D n n 2. f n log3 log 4 log5... log n, maka f 2...

SOAL-SOAL SPMB 2006 MATEMATIKA DASAR (MAT DAS) 63 n, maka jumlah n suku. D n n 2. f n log3 log 4 log5... log n, maka f 2... SOAL-SOAL SPMB 006 MATEMATIKA DASAR (MAT DAS). SPMB, MAT DAS, Regioal I, 006 Tiga bilaga membetuk suatu deret geometri aik. Jika jumlahya 6 da hasikaliya 6, maka rasio deretya adalah A. B. C. D. 4 E. 5.

Lebih terperinci

1. Ubahlah bentuk kuadrat di bawah ini menjadi bentuk

1. Ubahlah bentuk kuadrat di bawah ini menjadi bentuk OPERASI ALJABAR. Ubahlah betuk kuadrat di bawah ii mejadi betuk ( a b) c 4 8 4 4 0 4. Uraika betuk di bawah ii ( 5)( ) [ ]( )( )( ) [ ]( ) ( ) ( ). Tetuka ilai a, b, da c, jika ( )( 4 )( ) = a b c 6 (

Lebih terperinci

Himpunan/Selang Kekonvergenan

Himpunan/Selang Kekonvergenan oki eswa (fmipa-itb) Deret Pagkat Kita aka mempelajari beberapa tehik utuk meyajika suatu fugsi f (x) dalam betuk deret pagkat (power series), yaitu meetuka derat pagkat c (x a) sehigga f (x) = c (x a)

Lebih terperinci

LEMMA HENSTOCK PADA INTEGRAL. Muslich Jurusan Matematika FMIPA UNS fine dan integral M

LEMMA HENSTOCK PADA INTEGRAL. Muslich Jurusan Matematika FMIPA UNS fine dan integral M JP : Volue 4 Noor Ju 0 hal. 4-5 LEA HENSTOCK PADA NTEGRAL uslch Jurusa ateata FPA UNS uslch_us@yahoo.co ABSTRACT. Based o the cshae e partto ad cshae tegral t ca be arraged the e partto ad tegral cocepts.

Lebih terperinci

BAB III HITUNG KEUANGAN

BAB III HITUNG KEUANGAN BAB III HITUNG KEUANGAN A. BUNGA TUNGGAL. ENGERTIAN BUNGA TUNGGAL Utu memahami pegertia buga, coba ita lihat cotoh beriut : Cotoh :. Tofa memijam modal pada sebuah Ba sebesar Rp.000.000,00. Setelah satu

Lebih terperinci

Kekeliruan dalam Perhitungan Numerik dan Selisih Terhingga Biasa

Kekeliruan dalam Perhitungan Numerik dan Selisih Terhingga Biasa Modul 1 Kekelirua dalam Perhituga Numerik da Selisih Terhigga Biasa D PENDAHULUAN Dr. Wahyudi, M.Pd. i dalam pemakaia praktis, peyelesaia akhir yag diigika dari solusi suatu permasalaha (soal) dalam matematika

Lebih terperinci

Deret Pangkat. Ayundyah Kesumawati. June 23, Prodi Statistika FMIPA-UII

Deret Pangkat. Ayundyah Kesumawati. June 23, Prodi Statistika FMIPA-UII Keonvergenan Kesumawati Prodi Statistia FMIPA-UII June 23, 2015 Keonvergenan Pendahuluan Kalau sebelumnya, suu suu pada deret ta berujung berupa bilangan real maa ali ini ita embangan suu suunya dalam

Lebih terperinci

MATEMATIKA EKONOMI 1 Deret. DOSEN Fitri Yulianti, SP, MSi.

MATEMATIKA EKONOMI 1 Deret. DOSEN Fitri Yulianti, SP, MSi. MATEMATIKA EKONOMI 1 Deret DOSEN Fitri Yuliati, SP, MSi. Deret Deret ialah ragkaia bilaga yag tersusu secara teratur da memeuhi kaidah-kaidah tertetu. Bilaga-bilaga yag merupaka usur da pembetuk sebuah

Lebih terperinci