PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL LANE-EMDEN MENGGUNAKAN METODE TRANSFORMASI DIFERENSIAL

Transkripsi

1 PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL LANE-EMDEN MENGGUNAKAN METODE TRANSFORMASI DIFERENSIAL Ahma Sya roi, M Natsir, Eag Lily Arolativa@yahoocom Mahasiswa Program S Matematia Dose Jurusa Matematia Faultas Matematia a Ilmu Pegetahua Alam Uiversitas Riau Kampus Bia Wiya Peabaru, 89, Ioesia ABSTRACT This paper escribe characteristics a use of ifferetial trasformatio metho Fiite Taylor series was use for solvig seco orer of oliear Lae-Eme equatio at sigular iitial value problems Keywors: Lae-Eme Equatio, Noliier Differetial Equatio, Differetial Trasform Metho, Taylor Series PENDAHULUAN Persamaa iferesial Lae-Eme aalah jeis persamaa iferesial liier maupu oliier berore ua yag baya itemua paa pemoela fisiamatematia a pertama ali ipelajari oleh ahli fisia berebagsaa jerma berama Robert Eme (97) ega betu u "( + u'( + f (, g(, <, () Dega ilai U ( ) A, U'() Bimaa ilai A a B aalah osta, f (, aalah fugsi real otiu a g( Œc[, ] sehigga persamaa Lae-Eme tersebut apat ibawa ealam masalah ilai awal sigular Utu megatasi permasalaha, Etur, VS [] megembaga metoe trasformasi iferesial ega turua e- ari fugsi sebagai beriut U ( ) È Í! Î () Dega ivers trasformasi iferesial ari U () aalah Selajutya ( )  u U ( )( - ) () itulis alam betu eret terbatas mejai ( U ( )( ) u  - (4)

2 ahma sya roi metoe trasformasi iferesial paa persamaa Lae-Eme Metoe trasformasi iferesial berasara eret terbatas iguaa utu meyelesaia masalah ilai awal sigular suatu persamaa iferesial Lae- Eme oliear ore ua TEOREMA TAYLOR Trasformasi iferesial iperoleh ari oefisie suu-suu ari eret Taylor yag mempuyai ilai berhigga Setiap suu trasformasi iferesial aalah betu trasformasi ari suu-suu asal persamaa eret Taylor Teorema Teorema Taylor [:h6] Misala Œ N, misala I [ a, b] a misala u : I Æ R seemiia higga u a u ', u'',, u ( +) u aa paa ( a, b) Jia Œ I maa utu sebarag ŒI c i atara a sehigga u u"( )! otiu paa I a terapat suatu titi ( ) ( ) + u'( )( - ) + ( - ) + + ( - ( + ) u ( c) + + ( - ) ( + )! Buti Buti ari teorema ii apat ilihat paa [] u ( )! Teorema Teorema Nilai Atara (TNA) [5:h6] Jia fugsi u otiu paa [a,b], a terleta i atara m mi a M ma maa terapat c i a b atara a a b sehigga Buti Buti Dari teorema ii apat ilihat paa [5] a b ) (5) Teorema Teorema Rolle [5:h5] Misala fugsi u otiu paa [ a, b], teriferesiala paa ( a, b), a a) b) Maa terapat suatu cœ( a, b) sehigga u' ( c) Buti Buti ari teorema ii apat ilihat paa [5] BENTUK PERSAMAAN DIFERENSIAL LANE-EMDEN Persamaa iferesial Lae-Eme merupaa betu husus ari persamaa iferesial oliier ore ua, yaitu [:hal 8]: u u + + f ( (6) ega syarat ilai awal ) A, u'() m Cotoh lai betu persamaa f ( iataraya f ( u, f ( ( u - C), u -u f ( e, f ( e, f ( ± coshu f ( ± si u, f ( ± cosu, f ( ± sihu atau

3 ahma sya roi metoe trasformasi iferesial paa persamaa Lae-Eme 4 SIFAT DAN PERLUASAN PERSAMAAN DIFERENSIAL LANE- EMDEN Berasara betuya, persamaa iferesial Lae-Eme paa persamaa (6) mempuyai peyelesaia utu iseitar Oleh area itu, maa iberia syarat u ( ) A a u '() A aalah ostata Persamaa (6) juga ibatas paa iterval [,] a ilai f ( apat ibetu mejai f (, Persamaa (6) apat juga ibetu ilai g( otiu paa <, sehigga persamaa iferesial Lae-Eme apat ibetu mejai ega syarat u " + u' + f (, g( < (7) u ( ) A a u '() B Selajutya secara legap, betu persamaa iferesial Lae-Eme apat iubah mejai u" + u' + f (, g(, (8) Paa persamaa (8) iperoleh paa ruas aa aalah fugsi terhaap, yaitu g( sehigga terlihat betu persamaa (8) aalah persamaa iferesial Lae- Eme ohomoge Paa uraia poo sripsi persamaa iferesial Lae-Eme yag iurai aalah persamaa iferesial Lae-Eme ohomoge Betuya apat iusula mejai ( u' ) + u' g( - f ( u, (9) Betu persamaa iferesial Lae-Eme oleh, utu Sehigga terbetulah perluasaya, yaitu u " + u' + f (, g( () utu syarat awalya u ( ) Aa u '() B Selajutya persamaa () apat ibetu mejai ( u') + ( -) u' + f (, g( ()

4 ahma sya roi metoe trasformasi iferesial paa persamaa Lae-Eme 4 5 SIFAT-SIFAT METODE TRANSFORMASI DIFERENSIAL Paa persamaa (5), jia oefisie suu-suu eret itulis U ( ) ), U ( ) ), U ( ) ),! U ( ) ),, U ( ) )!! Maa masig-masig oefisie suu-suu eret isebut trasformasi iferesial e-,,,,, ( È )! U Í () Î Selajutya ari persamaa () ivers trasformasi U () aalah ( ) Â u U ( )( - ) () Persamaa () aalah eret ta higga, seaga utu pemaaiaya ibatasi sebagai eret berhigga yag berarti utu u ( ÂU ( )( - ) (4) Â U ( )( - ) iabaia, area ilaiya cuup ecil + Dibawah ii iuraia sifat-sifat trasformasi iferesial fugsi Teorema 5 [:hal6] Jia u ( y( + z(, maa trasformasi iferesial e- aalah U ( ) Y( ) + Z( ) (5) Buti Buti teorema ii apat ilihat paa [] Teorema 5 [:hal6] jia ay(, iferetial e- fugsi U( ) ay( ) a ostata, maa trasformasi (6) Buti Buti teorema ii apat ilihat paa []

5 ahma sya roi metoe trasformasi iferesial paa persamaa Lae-Eme 5 Teorema 5 [:hal6] Jia m y( maa m ( m + )! U ( ) Y ( + m)! (7) Buti Buti teorema ii apat ilihat paa [] Teorema 54 [:hal6] Jia u ( y( z(, maa u ( ) Â Z ( r) Y ( - r) (8) r Buti Buti teorema ii apat ilihat paa [] Teorema 55 [:hal6] Jia, maa Ï, U( ) ( - ), ( - ) Ì Ó, π (9) Buti Buti teorema ii apat ilihat paa [] 6 CONTOH APLIKASI Cotoh Tetua peyelesaia persamaa iferesial Lae-Eme u ''( + u'( , < () ega syarat awal ), u'() Solusi Dega megalia paa ruas iri a aa ari persamaa () iperoleh apat ibetu mejai area u ''( + u'( + u'( u''( + u'( u'( () ( u'( ) u'( + u"(, 4,

6 ahma sya roi metoe trasformasi iferesial paa persamaa Lae-Eme 6 maa persamaa () apat ibetu mejai ( u'( + u'( ) u'( Dibetu trasformasi iferesial e-, maa iperoleh (i) Dari u( ( u'( iperoleh ( ( + )! ( + )! U ) U( + ) + U ( + )!! ( + ) U( + ) + ( + ) U ( + ) (ii) Dari u ( u'( iperoleh ( ( + )! U ) U ( + )! ( + ) U ( + ) (iii) 4 Dari u ( iperoleh U ( ( -) + ( - ) + ( - ) + ( - 4) (iv) Dari u ( u' ) iperoleh 4 U 4 ( ) Â ( l -) U ( - l) Dari i,ii,iii a iv iperoleh trasformasi paa persamaa () ( + ) U( + ) + ( + ) U( + ) + ( + ) U ( + ) ( -) + ( - ) + ( - ) + ( - 4) -Â ( l -) U ( - l) Sehigga iperoleh ( + )( + ) U ( + ) ( -) + ( - ) + ( - ) + ( - 4) -Â ( l -) U ( - l)

7 ahma sya roi metoe trasformasi iferesial paa persamaa Lae-Eme 7 U( + ) ( + )( + ) { 6 ( -) + ( - ) + ( - ) + ( - 4) - Â ( l -) U ( - l) } () Karea ) a u'(), e- masig-masig maa iperoleh trasformasi iferetial e- a U() a U () () Selajutya utu = maa iperoleh trasformasi e- U( ) - 6 ( ) Utu =, maa iperoleh trasformasi iferesial e - U( ) - Utu =,4,, iperoleh ( ) U() Dari U( ), U(), U(),, U( ) iperoleh ivers trasformasi iferesial U () + U () +

8 ahma sya roi metoe trasformasi iferesial paa persamaa Lae-Eme 8 DAFTAR PUSTAKA [] Bartle, RG & DR Sherbert 994 Itrouctio to Real Aalysis, Seco Eitio Joh Wiley a So, Sigapore [] Davis, HT 96 Itrouctio to Noliier Differetial A Itegral Equatios Dover, New Yor [] Ertur, VS 7 Differetial trasformatio metho for solvig ifferetial equatios of Lae-Eme, Math Apply Comput : 5-9 [4] Liao, S A ew aalytic algorithm of Lae-Eme type equatios, Math Apply Comput 4: -6 [5] Martoo, K 999 Kalulus Peerbit Erlagga Jaarta [6] Ross, SL 984 Differetial Equatios, Joh Wiley & So, New Yor