PRINSIP MAKSIMUM DAN MINIMUM FUNGSI PANHARMONIK

Transkripsi

1 PRINSIP MAKSIMUM DAN MINIMUM FUNGSI PANHARMONIK Oleh, Edag Cahya M.A. Jrsa Pedidia Matematia FPMIPA UPI Badg Jl. Dr. Setiabdi 9 Badg ecma@ds.math.itb.ac.id Abstra Tlisa ii mejelasa prisip masimm da miimm fgsi paharmoi bai yag berilai real map yag berilai omples. Metoda pembtia yag digaa adalah perhitga alls biasa t fgsi da pebah. Sedaga t fgsi paharmoi berilai omples digaa prisip rotasi. 1. Pedahla Sebah fgsi = (x,y)di C ( memehi persamaa Yawa x x t sat ostata real da himpa ba di ) disebt fgsi paharmoi jia (1). Fgsi paharmoi disebt paharmoi pada himpa ttp jia paharmoi pada iteriorya da oti pada batasya. Maalah ii memberia bti bar terhadap beberapa hasil srvey yag ada pada literatr da jga memberia beberapa hasil yag bar. Pedeata yag digaa disii serpa dega pedeata yag diembaga ata digaa t fgsi harmoi. Hal ii dilaa haya area ada emiripa bet atara persamaa Laplace da persamaa Yawa. Kajia pertama diawali dega fata perhitga ilai masimm da miimm fgsi paharmoi pada sat caram, yag selajtya aa digaa sebagai lagah awal dgaa mm megeai prisip masimm da miimm fgsi paharmoi. Beritya jga dibahas megeai ilai masimm modls fgsi paharmoi berilai omples. 1

2 . Prisip Masimm da Miimm Fgsi Paharmoi Ut megaji masalah ilai masimm da miimm fgsi paharmoi, marilah ita lihat gagasa yag mcl dari fata berit. Berit ii teorema dari Dffi, t bti lihat [], hal 115. Teorema 1 Jia (r, ) fgsi paharmoi pada caram x + y a, maa t r a, ) i ( r, ) ci ( r e () dimaa c 1 I ( a) ( a, ) e i d. Di sii I merpaa fgsi Bessel termodifiasi jeis pertama, dega da 1 x I, (3)! x x 1... (4) 1.( 1) 1.( 1)( ) 4 Dapat ditja bahwa t masig-masig, I ) i ( r e merpaa solsi persamaa (1) da secara hss, ( r ) merpaa solsi positif dari persamaa (1). Dari teorema diatas, mari ita tija jia ilai batas osta, sebt saja (a, ) =, t sat ostata real. Maa masig-masig oefisie c aa mejadi c, ( a), da ( r, ) I ( r). (5) ( a) Melali persamaa (5) ii, ita tija da ass. Pertama, jia >, maa (r, ) >. Ut setiap da r, dega r a. Nilai masimm aa dicapai jia r = a, yait (r, ) = da ilai miimm aa dicapai jia r =. Ii megataa

3 bahwa ilai miimm terjadi tida di batas caram da ilai masimm terjadi di batas caram. Kass eda, jia < maa (r, ) < t setiap da r, dega r a. Nilai miimm aa dicapai di batas caram yait r = a da ilai masimm dicapai di psat caram. Ii megataa bahwa ilai miimm terjadi di batas caram da ilai masimm tida tejadi di batas. Dari eda ass ii, dgaa megeai tempat terjadiya ilai masimm da ilai miimm t fgsi paharmoi berbeda dega tempat terjadiya ilai masimm da ilai miimm t fgsi harmoi..1. Prisip Masimm Hasil pertama yag diperoleh dari gambara di atas diformlasia dalam teorema berit. Teorema Misala himpa ba terhbg sederhaa, da fgsi paharmoi pada. Jia ilai masimm positif maa ilai masimm tersebt aa dicapai di batas. Bti Adaia ada x di dalam sehigga, xx yy xy, da xx. Maa xx yy xy, tetapi xx (x) aibatya harslah yy (x). Karea it, (x). Ii bertetaga dega yag dietahi. Dega demiia dapat disimpla, tida ada x dalam yag memberia ilai masimm, area it harslah x ada di batas. Teorema di atas memberia aibat t fgsi paharmoi positif. Aibat 1 Misala fgsi paharmoi positif pada dicapai di batas., maa ilai masimm Bti Karea paharmoi positif maa ilai masimm jga positif. Berdasara Teorema maa ilai masimm terjadi di batas. Aibat Misala fgsi paharmoi ta egatif pada sat himpa ba terhbg sederhaa. Jia mecapai ilai masimm di dalam, maa harslah fgsi osta. (dalam hal ii harslah fgsi ol). Bti Lihat [1] da [3]. 3

4 Selajtya, aa dilihat fgsi paharmoi ta egatif pada sat himpa ba terhbg sederhaa da terbatas di batasya., da mgi fgsi tersebt tida oti pada Aibat 3 Misala himpa ba terhbg sederhaa da terbatas di Misala fgsi paharmoi ta egatif pada, da misala ada ostta M > sehigga lim sp( b ) M t setiap barisa (b ) di yag overge e sat titi di batas. Maa < M pada. Bti Misala M = sp{(x):x }, da pilih barisa (b ) di sehigga (b ) overge e M. Dari sii, ada da ass yag perl diperhatia. Pertama, jia (b ) memilii sbbarisa yag overge e sat titi b di dalam, maa (b) = M. Dega prisip masimm fgsi paharmoi ta egatif, maa = M pada. Ut ass eda, jia tida ada sbbarisa dari (b ) yag overge esat titi di dalam maa (b ) memilii sbbarisa (a ) yag overge e sat titi pada batas, sebt saja titi tersebt a, maa (a) = M. Ii megaibata M. Dega demiia, dari eda ass ii, ita peroleh < M pada... Prisip Miimm Prisip masimm di atas, cederg lebih tepat bila digaa pada fgsi paharmoi positif, aa tetapi prisip iip aa berimpliasi jga t fgsi paharmoi egatif. Teorema 3 Misala himpa ba terhbg sederhaa, da fgsi paharmoi pada. Jia ilai miimm egatif maa ilai miimm tersebt aa dicapai di batas. Bti Adaia ada x di dalam sehigga, xx yy xy, da xx. Maa xx yy xy, tetapi xx (x) aibatya harslah yy (x). Karea it, (x). Ii bertetaga dega yag dietahi. Dega demiia dapat disimpla, tida ada x dalam yag memberia ilai miimm egatif, area it harslah x ada di batas. Aibat 4 Misala fgsi paharmoi egatif pada dicapai di batas., maa ilai masimm Bti Karea paharmoi egatif maa ilai miimm jga egatif. Berdasara Teorema 3 maa ilai miimm terjadi di batas. 4

5 Aibat 5 Misala fgsi paharmoi ta positif pada sat himpa ba terhbg sederhaa. Jia mecapai ilai miimm di dalam, maa harslah fgsi osta. (dalam hal ii harslah fgsi ol). Bti Lihat [1] da [3]. Selajtya, aa dilihat fgsi paharmoi ta positif pada sat himpa ba terhbg sederhaa da terbatas di, da mgi fgsi tersebt tida oti pada batasya. Aibat 3 Misala himpa ba terhbg sederhaa da terbatas di Misala fgsi paharmoi ta positif pada, da misala ada ostta M < sehigga lim if ( b ) M t setiap barisa (b ) di yag overge e sat titi di batas. Maa > M pada. Bti Misala M = if {(x):x }, da pilih barisa (b ) di sehigga (b ) overge e M. Dari sii, ada da ass yag perl diperhatia. Pertama, jia (b ) memilii sbbarisa yag overge e sat titi b di dalam, maa (b) = M. Dega prisip miimm fgsi paharmoi ta positif, maa = M pada. Ut ass eda, jia tida ada sbbarisa dari (b ) yag overge esat titi di dalam maa (b ) memilii sbbarisa (a ) yag overge e sat titi pada batas, sebt saja titi tersebt a, maa (a) = M. Ii megaibata M. Dega demiia, dari eda ass ii, ita peroleh > M pada. Selajtya aa ita lihat ilai fgsi paharmoi di sat titi dalam, pada sat daerah ompa melali peyajia itegral fgsi paharmoi pada sat caram. Hasil ii diperoleh sebagai impliasi dari prisip masimm da miimm fgsi paharmoidi atas. Ut it terlebih dl perhatia peyajia itegral berit, da t bti dapat dilihat pada [] hal Teorema 4 Misala fgsi paharmoi pada caram (x-x ) +(y-y ). a, maa 1 ( x, y ) ( x a cos, y asi ) d. (6) ( a) 5

6 Berit ii salah sat hasil yag telah diemaa Dffi dalam [], da pada tlisa ii aa dibtia embali dega meggaa prisip masimm fgsi paharmoi positif yag telah diemaa di atas. Aibat 7 Misala fgsi paharmoi ta egatif pada daerah ompa. Jia M pada batas t sat ostata M >, da x sat titi iterior, maa M, ( ) a dimaa a adalah jara terdeat dari x terhadap batas. Bti Misala x =(x,y ) sembarag titi iterior. Kemdia bat caram (x-x ) +(y-y ) a, dimaa a adalah jara terdeat dari x terhadap batas. Maa ita pya (6). Karea M pada batas, maa ii jga berla pada caram caram (x-x ) +(y-y ) a di dalam, area it (6) aa mejadi M. ( ) a Selajtya sebagai impliasi dari prisip miimm fgsi paharmoi, ita tra sifat fgsi paharmoi seperti pada Aibat 7 t fgsi paharmoi ta positif. Aibat 8 Misala fgsi paharmoi ta positif pada daerah ompa. Jia M pada batas t sat ostata M <, da x sat titi iterior, maa M, ( ) a dimaa a adalah jara terdeat dari x terhadap batas. Bti Misala x =(x,y ) sembarag titi iterior. Kemdia bat caram (xx ) +(y-y ) a, dimaa a adalah jara terdeat dari x terhadap batas. Maa dari sii ita pya (6). Karea M pada batas, maa ii jga berla pada caram (x-x ) +(y-y ) a di dalam, area it (6) aa mejadi M. ( a) Ut lebih memperjelas prisip masimm da miimm di atas, dapat dilihat cotoh berit. Cotoh 1 Misala (x,y)=cosh x pada caram D(,R). Jelas paharmoi. Nilai masimm aa dicapai dibatas caram yait di titi (-R,) da (R,). Sedaga ilai miimm dicapai di sepajag garis x= pada caram D(,R). 6

7 Cotoh Misala (x,y)=sih x pada caram D(,R). Jelas fgsi paharmoi, dega ilai masimm da miimm dicapai dibatas caram D(,R) yait di titi (R,) da (-R,)..3 Fgsi Paharmoi Berilai Komples Fgsi paharmoi yag telah dibahas di atas adalah fgsi paharmoi berilai real. Berit ii aa dibahas megeai fgsi paharmoi berilai omples. Seperti defiisi pada fgsi paharmoi berilai real, maa t fgsi paharmoi berilai omples f didefiisia sebagai fgsi oti yag memehi persamaa (1). Teorema 5 Misala f(z)=(x,y)+iv(x,y) fgsi berilai omples di C ( paharmoi jia da haya jia da v paharmoi. ). Fgsi f Bti Misala f(z)=(x,y)+iv(x,y) paharmoi pada, maa f xx + f yy = xx + iv xx + yy + iv yy =( xx + yy )+iv xx + iv yy = (+iv)= f. Jadi xx + yy = da v xx + v yy = v. Aibat 9 Misala f fgsi paharmoi berilai omples da c sat ostata omples. Maa cf jga fgsi paharmoi. Teorema 6 Jia fgsi paharmoi berilai omples pada maa mecapai ilai masimm di pada batasya., da oti pada Bti Adaia mecapai ilai masimm di sat titi a di dalam, sebt saja ( a) M. Selajtya pilih bilaga omples b sehigga b 1 da b(a) = M. Maa fgsi paharmoi berilai real Re(b) aa mecapai ilai masimm M di sat titi a di dalam. Ii bertetaga dega prisip masimm fgsi paharmoi. Jadi harslah mecapai ilai masimm pada batas. Cotoh 3 Misala (x,y) = e x + i e- x pada caram D(,R). Maa e x e x cosh x. Dari sii bisa dihitg bahwa ilai masimm aa dicapai di batas caram, yait (-R,) da (R,), da ilai miimm aa dicapai disepajag garis x= pada caram D(,R). 7

8 Melihat eyataa cotoh 3 di atas, maa ilai miimm secara mm tida terjadi di batas. Secara eselrha prisip masimm da miimm fgsi paharmoi berbeda dega prisip masimm da miimm fgsi harmoi. Daftar Pstaa [1] E. Cahya, Paharmoics Fctios (dalam persiapa pbliasi). [] R.J. Dffi, Yawa Potetial Theory, J. Math. Aal. Appl. 35(1971) [3] W. Setyabdhi, Fgsi Paharmoi di Caram, MIHMI 6() [4] S. Axler, P. Bordo, W. Ramey, Harmoic Fctio Theory, Spriger Verlag, New Yor,