Penerapan Teorema Perron-Frobenius pada Penentuan Distribusi Stasioner Rantai Markov

Transkripsi

1 Vol. 3, No., 85-9, Juli 6 Peerapa Teorea Perro-Frobeius pada Peetua Distribusi Stasioer Ratai Markov Jusawati Massalesse Abstrak Perilaku suatu ratai Markov setelah berala ukup laa dapat diketahui elalui distribusi lt peluagya. Sifat ergodik da reguler ratai Markov eai eksistesi lt peluag. Dala tulisa, diperlihatka bahwa ilai eige Perro-Frobeius dari atriks trasisi ratai Markov adalah da oralisasi vektor eige kiri yag bersesuaia dega ilai eige dari atriks trasisi P erupaka distribusi stasioer ratai Markov. Kata Kui Matriks stokastik, ilai eige Perro-Frobeius, vektor eige kiri.. Pedahulua Persoala yag earik utuk dikai dari suatu ratai Markov atara lai adalah bagaiaa peluag perpidaha dari satu keadaa ke keadaa yag lai, apakah setelah berpidah proses asih aka kebali ke keadaa awal, serta bagaiaa proporsi waktu yag dibutuhka oleh siste utuk eapai suatu keadaa setelah berlagsug ukup laa. Jika ratai Markov bersifat ergodik da reguler, aka perpidaha atar keadaa aka selalu teradi sehigga eugkika utuk eapai suatu keadaa dari aapu proses berawal. Keudia yag eadi pertayaa adalah, bagaiaakah distribusi peluag dari suatu ratai Markov setelah berala utuk agka waktu yag sagat laa. Pertayaa aka terawab elalui distribusi stasioer dari ratai Markov. Teorea Perro Frobeius eai bahwa setiap atriks reguler eiliki ilai eige Perro Frobeius. Tulisa eapilka beberapa teorea da akibat dari Teorea Perro Frobeius, khususya yag berkaita dega atriks peluag trasisi ratai Markov. Peerapa teorea pada atriks stokastik reguler eperlihatka adaya kaita atara vektor eige kiri dari atriks trasisi yag bersesuaia dega ilai eige Perro Frobeius dega distribusi stasioer ratai Markov.. Ladasa Teori.. Ratai Markov Misalka X,,,, X adalah proses stokastik diaa X eyataka keadaa dari siste pada saat. Jika seua ilai dari X erupaka elee dari suatu hipua S, aka S disebut ruag keadaa. Utuk ratai Markov dega ruag keadaa erupaka hipua S,,. Peulisa X i berhigga atau terhitug, aka hipua S dapat dituliska Jurusa Mateatika, Fakultas Mateatika da Ilu Pegetahua Ala, Uiversitas Hasauddi, Jl. Peritis Keerdekaa K., Taalarea, Makassar, eail usawati@gail.o

2 Jusawati Massalesse 86 eyataka bahwa proses berada di keadaa i pada saat. Ratai Markov erupaka proses stokastik dega ruag keadaa berhigga da terhitug, serta eiliki sifat Markovia yag seara foral didefsika sebagai berikut. Defsi. Proses Stokastik X,,,, PX X i, X i,, X i PX X i pi X disebut ratai Markov dega ruag keadaa S ika, utuk setiap i, i,, i, i, S da utuk setiap,,,. Notasi p i eyataka peluag perpidaha atau peluag trasisi dari keadaa i ke keadaa dala satu lagkah atau trasisi, da eeuhi sifat, i, S da p, i S. p i S i Peluag perpidaha proses dari keadaa i ke keadaa setelah egalai trasisi dikeal sebagai peluag trasisi -lagkah, diotasika dega p. Jadi P( X X i p. i ) Utuk keperlua praktis, peluag trasisi ratai Markov dituliska dala betuk atriks peluag trasisi P diaa p i erupaka elee baris ke-i kolo ke- dari P. Kaia egeai perilaku siste dari suatu ratai Markov diawali dega elihat klasifikasi dari keadaa-keadaa ratai Markov. Da utuk eahai klasifikasi da sifat ratai Markov, beberapa istilah diperkealka dala defsi berikut. Defsi. Keadaa dikataka aessible dari keadaa i ika terdapat sedeikia sehigga. Defsi 3. Keadaa i dikataka berkouikasi dega keadaa ika keadaa i aessible dari da keadaa aessible dari keadaa i. Keadaa i berkouikasi dega keadaa ditulis dega otasi i. Kosep koukasi i erupaka suatu kelas ekuivalesi. Dega relasi ekuivalesi, ruag keadaa S aka terdiri atas satu atau beberapa kelas ekuivalesi. Jika suatu ratai Markov haya eiliki satu kelas ekuivalesi aka ratai Markov tersebut diaaka ratai Markov irreduible. Setiap kelas ekuivalesi bersifat reurret atau trasiet, tergatug dari ilai f f o p i, diaa adalah peluag suatu ratai Markov yag pada suatu saat berada di keadaa i aka kebali ke i. Jika f aka keadaa i bersifat reurret, sedagka ika f aka keadaa i bersifat trasiet. Sifat reurret dari suatu keadaa berarti bahwa apabila proses berawal dari keadaa tersebut, aka proses aka selalu kebali ke keadaa tersebut. Sedagka sifat trasiet dari suatu keadaa berarti bahwa ika ratai Markov pada suatu saat berada pada keadaa tersebut, aka terdapat peluag positif bahwa proses tidak aka kebali ke keadaa tersebut. Suatu i f keadaa yag bersifat reurret da eeuhi reurret. f o disebut bersifat positif

3 Jusawati Massalesse 87 Defsi 4. Keadaa i dikataka epuyai periode d(i)=d ika d adalah pebagi bersaa terbesar dari hipua. p Jika d(i) = utuk suatu i S aka keadaa i dikataka aperiodi. Suatu ratai Markov dikataka aperiodi ika d(i)= utuk setiap i S. Ratai Markov yag bersifat irreduible, reurret positif da aperiodik disebut ergodik. Berikut sebuah teorea yag petig berkaita dega sifat ergodik dari suatu ratai Markov. Teorea. (Ross, ) Jika sebuah ratai Markov bersifat ergodik aka dsalka li P ada da bebas terhadap i. Da ika li P,, () i aka erupaka peyelesaia satu-satuya dari persaaa i. P, i i Jadi erupaka lt peluag dari ratai Markov, yag eyataka bahwa diulai dari keadaa apapu, proses aka berada di keadaa setelah trasisi. Selai itu, dapat uga berarti proporsi waktu dari proses aka berada di keadaa setelah berala ukup laa. Da utuk ratai Markov ergodik, ( ), =,, erupaka distribusi stasioer... Matriks Stokastik da Teorea Perro-Frobeius Matriks stokastik adalah atriks diaa setiap elee berilai atara da (terasuk da ), da ulah elee setiap baris adalah. Jadi atriks peluag trasisi P adalah atriks stokastik. Disapig itu, atriks peluag trasisi erupaka atriks tak egative karea setiap eleeya berilai positif atau ol. Bayak sifat dari atriks yag dituruka dari atriks tak egatif. Beberapa sifat da pegertia yag eadi dasar kaia dala tulisa seperti teorea Perro-Frobeius (tidak dibuktika), ilai eige Perro-Frobeius, vektor eige kiri da vektor eige kaa egelaborasi sifat-sifat dari atriks tak egative da atriks stokastik. Defsi 5. Misalka A Rx adalah atriks buursagkar da adalah ilai eige A. Vektor x yag eeuhi Ax x ( xa x ) disebut vektor eige-kaa (vektor eige kiri) dari A. Teorea. (Robiso, ) Misalka A R adalah atriks tak egatif da regular, yaitu setiap elee A tak egative x k da A utuk suatu k N, aka i ()

4 Jusawati Massalesse 88 - Terdapat ilai eige dega vektor eige kiri da vektor eige kaa positif, - Utuk setiap ilai eige dari A, ika aka, - Nilai eige bersifat siple, yag berarti epuyai ultiplisitas. Nilai eige selautya disebut ilai eige Perro-Frobeius dari A. Sebuah akibat dari teorea Perro-Frobeius diyataka dala Akibat berikut. Akibat. Jika A adalah atriks stokastik, aka A epuyai vektor eige tak egatif dega ilai eige. 3. Peerapa Nilai Eige Perro-Frobeius dala Meetuka Distribusi Peluag Sebagai atriks stokastik dega ulah elee setiap baris adalah, aka dega udah dapat dipahai bahwa vektor T erupaka vektor eige kaa yag bersesuaia dega ilai. Nilai eige epuyai ultiplisitas, da sekaligus erupaka ilai eige Perro-Frobeius. Lebih khusus lagi, ika ratai Markov bersifat irreduible, aperiodi da reguler, aka ilai-ilai eige yag lai eeuhi. Da ika diasusika A dapat didiagoalisasi, aka terdapat atriks ivertible sehigga P CC, C R x sedeikia diaa kolo pertaa C erupaka vektor T,,, adalah ilai eige P yag bersifat i, i,,. Dari sifat atriks diagoal utuk sebarag N berlaku P C C. Jika aka i, i,3,, sehigga

5 Jusawati Massalesse 89 P C C. (3) epuyai elee pada baris pertaa kolo pertaa yag erupaka Karea atriks elee satu-satuya yag tidak ol, da kolo pertaa C adalah vektor T, aka hasil perkalia pada persaaa (3) erupaka perkalia kolo pertaa C da baris pertaa C -. Jadi P C C.. (4) diaa adalah baris pertaa C -. Dega ebadigka persaaa () da (4), diperoleh bahwa Pada keyataaya, baris pertaa C - adalah vektor eige-kiri dari P yag bersesuaia dega ilai eige (sebut v ), sehigga erupaka oralisasi vektor eige kiri tersebut ke vektor satua. Dari s disipulka bahwa oralisasi vektor eige kiri yag bersesuaia dega ilai eige Perro-Frobeius dari atriks trasisi P erupaka lt peluag da distribusi stasioer dari ratai Markov. Ilustrasi egeai hasil yag diperoleh diterapka pada sebuah otoh seperti berikut..

6 Jusawati Massalesse 9 Cotoh Sebuah ratai Markov eiliki peluag trasisi sebagai berikut,5,3 P,,8,3,3 Tetuka distribusi peluag P.,.,4 Jawab Asusi ergodik dipeuhi oleh ratai Markov. Nilai eige yag bersesuaia dega atriks trasisi P tersebut adalah,,5,,. Vektor eige kiri yag bersesuaia dega ilai eige Perro-Frobeius adalah v.3.6. Jadi distribusi lt ratai Markov adalah eyelesaika persaaa () Hasil yag saa diperoleh dega. 3 Daftar Pustaka Ayoous,. Covergee of regular Markov hai, Leture Note. Website diakses pada taggal 5 Deseber. Clark, R.R.,. Perro-Frobeius theore. Website diakses pada taggal 7 Deseber. Mas75,. Probability odelig Leture 9, Ltig ad equilibriu behaviour of Markov hai. Website diakses pada taggal Deseber. Ross, S.M.,. Itrodutio to Probability Model. Elsevier I., Oxford, USA.