DISTRIBUSI BINOMIAL. (sukses sebanyak x kali, gagal sebanyak n x kali)

Transkripsi

1 DISTRIBUSI BINOMIAL Distribusi bioial berasal dari percobaa bioial yaitu suatu proses Beroulli yag diulag sebayak kali da salig bebas. Distribusi Bioial erupaka distribusi peubah acak diskrit. Secara lagsug, percobaa bioial eiliki ciri-ciri sebagai berikut: percobaa tersebut dilakuka berulag-ulag sebayak kali setiap percobaa eghasilka keluara yag dapat dikategorika sebagai gagal da sukses probabilitas sukses p tetap kosta dari satu percobaa ke percobaa lai percobaa yag berulag adalah salig bebas Ruag sapel A utuk percobaa E yag terdiri dari hipua tak higga tetapi asih terhitug dari titik titik sapel: Jika S = Sukses da G = Gagal E 1 : S (sukses pada percobaa pertaa) E : GS (gagal pada percobaa pertaa da sukses pada percobaa kedua) E 3 : SG (sukses pada percobaa pertaa, gagal pada percobaa kedua) E 4 : GGS (gagal pada percobaa 1 da, sukses pada percobaa ketiga) E 5 : GSG (gagal pada percobaa 1 da 3, sukses pada percobaa kedua) E 6 : SGG (gagal pada percobaa da 3, sukses pada percobaa pertaa) E : SSS... S GGG... G (sukses sebayak kali, gagal sebayak kali) Jika peluag sukses diotasika dega p aka peluag gagal adalah q = 1 p. Peubah acak X eyataka bayakya sukses dari percobaa yag salig bebas. Maka peluag X pada asig asig percobaa E adalah:

2 P(X) p utuk E P(X) qp pq utuk E P(X) pq utuk E P(X) utuk q p pq E P(X) utuk qpq pq E P(X) utuk pqq pq E P(X) p q utuk E Dapat dilihat bahwa E da E 3 eberika hasil yag saa. Julahya, yaitu 1 julah seua titik sapel yag ugki eghasilka = 1 yag sukses da = 1 = 1 yag gagal dari percobaa. Begitupu utuk E 4, E 5, da E 6 juga eberika hasil yag saa. Julahya 3, yaitu julah seua titik sapel yag 1 ugki yag eghasilka = 1 yag sukses da = 3 1 = yag gagal dari 3 percobaa. Secara uu, julah titik sapel yag ugki utuk eghasilka sukses da gagal dala percobaa adalah bayakya cara yag berbeda dala edistribusika sukses dala barisa percobaa, sehigga terdapat cara. Da distribusi peluag atau Probability Mass Fuctio (PMF) X diyataka pada defiisi berikut: utuk 1,,..., da 0 p 1. P(X ) f ( ) p q p (1 p) Pebuktia distribusi Bioial erupaka suatu PMF. Bukti: Utuk ebuktika suatu peubah acak adalah PMF, aka harus ditujuka: 1. f( ) 0. f( ) 1

3 Aka ditujukka distribusi bioial eeuhi kedua syarat di atas: 1. f( ) 0 Karea 0 p 1 da ilai kobiasi pasti positif aka f() pasti positif.. f( ) 1 Megguaka persaaa bioial Newto pada f( ), aka diperoleh: f ( ) p (1 p) ( p (1 p)) (1) Dari 1 da dapat dikataka bahwa distribusi bioial erupaka PMF. Mea Jika X B(, p ) ( X variabel rado berdistribusi Bioial), aka ilai ekspektasi dari X adalah E( X ). P( ) P( X ). p (1 p). p (1 p)!. p (1 p)!( )!.( 1)! p p p.( 1)!( )! 1... (1 ) 1 ( 1)! ( 1)!( )! 1 p p (1 p) Misalka = 1 da s = 1, aka persaaa di atas ejadi! s E( X ) p p (1 p) s!( s)! s0 s Berdasarka (1), s0! s s p (1 p) 1, aka s!( s)!

4 ! s E( X ) p p (1 p) s!( s)! s0 p.1 p s Sehigga didapat ea dari X, E( X ) p Variasi Var( X ) E( X ) ( E( X )) Dala eecari Var(X), kita harus tahu ilai ekspektasi dari X :! E X P X p p!( )! ( ). ( ). (1 ) 0 0 E X ( ). P( ) P X. ( ). (1 ). (1 )!. (1 )!( )! p p p p p p 1.( 1)!... (1 ).( 1)!( )! 1 p p p ( 1)! p p p ( 1)!( )! 1. (1 ) Misalka = 1 da s = 1, aka persaaa di atas ejadi! E X ps p p p s p p s0 s!( s)! s0 s s s s s ( ) ( 1) (1 ) ( 1) (1 )

5 ! E X p s p p s!( s)! s s ( ) ( 1) (1 ) s0 s p( s 1) p (1 p) s0 s p. s. p (1 p) 1. p (1 p) s0 s s0 s p[ p 1] p[( 1) p 1] p[ p p 1] Var( X ) E( X ) ( E( X )) p[ p p 1] ( p) ( p) p p ( p) p p p(1 p) s s s s s Sehigga didapat variasi dari X, Var( X ) p(1 p) Cotoh: 1. Probabilitas bahwa sejeis kopoe tertetu yag lolos uji kelayaka adalah ¾. Tetuka probabilitas diaa dari 4 kopoe yag selajutya diuji aka diyataka layak! P(X ) f ( ) p q p (1 p) p = ¾, q = 1 ¾ = ¼ utuk = PX ( ) Berdasarka data biro perjalaa PT Setosa, yag khusus eagai perjalaa wisata turis acaegara, 0% dari turis eyataka sagat puas berkujug ke Idoesia, 40% eyataka puas, 5% eyataka biasa saja, da sisaya eyataka kurag puas. Apabila kita berteu dega 5 orag dari peserta wisata turis acaegara yag perah egguaka jasa biro perjalaa tersebut. Tetuka probabilitas: a. Tepat diataraya eyataka biasa saja

6 b. Palig bayak diataraya eyataka sagat puas Jawab: = 5 a. p = 0.5, q = = PX ( ) b. p = 0., q = 1 0. = 0.8 P( X ) P( X 0) P( X 1) P( X ) (0.) (0.8) (0.) (0.8) (0.) (0.8)