Ring Noetherian dan Ring Artinian

Ukuran: px

Mulai penontonan dengan halaman:

Download "Ring Noetherian dan Ring Artinian"

Liana Makmur
6 tahun lalu
Tontonan:

1 Jual Saismat, Maet 2013, Halama ISSN htt://ojs.um.ac.id/idex.h/saismat Vol. II, No. I Rig Noetheia da Rig Atiia The Atiia Rig ad The Noetheia Rig Fitiai Juusa Matematia Seolah Tiggi Ilmu Keguua da Pedidia Yayasa Pedidia Ujug Padag. Jl. Adi Too 17, Maassa Received 15 Jauai 2013 / Acceted 15 Febuai 2013 ABSTRAK Dalam tulisa ii, dieeala dua las husus dai ig yaitu Rig Noetheia da Rig Atiia. Beawal dai adaya suatu ig omutatif yag memuyai suatu ideal (ideal ii da ideal aa). Aabila ideal tesebut memeuhi odisi agaia ai (ascedig chai coditio/acc) maa tebetulah las yag dieal sebagai ig Noetheia da aabila ideal tesebut memeuhi odisi agai tuu (descedig chai coditio/dcc) maa tebetulah las yag dieal sebagai ig Atiia. Selajutya diaaa ula defiisi da cotoh dai ig Noetheia da ig Atiia. Selai itu, dibeia teoema yag mejelasa eadaaa dai ig embagi ada suatu ig Noetheia. Kata uci : Rig Komutatif, Kodisi Ragaia Nai Da Tuu, Bebas Liea. ABSTRACT I this ae, eseted two secial classes of ig, they ae Noetheia Rig ad Atiia Rig. Statig fom the existece of a commutative ig which have ideal (left ideal ad ight ideal). If these ideal meet the of aisig chai coditio (ascedig chai coditio/acc) the a class will fom ow as Noetheia Rig ad if that ideal meet the doig chai coditio (descedig chai coditio/dcc) the a class will fom ow as Atiia Rig.Futhemoe, defeitio is also eseted ad the examle of Noetheia ig ad Atiia Rig. Moeove,a theoem give which exlai the cicumstaces of the ig divide i a Noetheia ig. Keywods: Comutative ig, ideal, ascedig ad descedig chai coditio, ideedet vaiables. Koesodesi: fitiai_b@yahoo.com 79

2 Fitiai (2013) PENDAHULUAN Rig meuaa suatu sistem matematia ( R,, ) yag melibata dua oeasi bie sedemiia higga ( R, ) gu omutatif, ( R, ) semigu da memeuhi sifat distibutif (Adis, 1992). Aabila ig ( R,, ) tehada oeasi edua ( R, ) meuaa semigu omutatif maa ( R,, ) disebut ig omutatif (Mali, 1997). Salah satu cotoh yaitu himua semua matis beodo 2x2 atas bilaga bulat yag diotasia M 2 (Z) dega oesi ejumlaha da oesi ealia, (M 2 (Z),+, ). Dalam ig, dieal ula suatu ideal. Dibeia suatu ig R da I R, I disebut ideal dai R jia da haya jia memeuhi : 1. I subgu tehada oeasi ejumlaha dai R 2. I I, R 3. I I, R Lebih lajut jia I memeuhi 1 da 2 maa I disebut ideal ii, da jia I memeuhi 1 da 3 maa I disebut ideal aa. Sebagai cotoh, dibeia Z da I={Z}. I meuaa subgu dai Z, utu setia Z, ( ) ( ) I da ( ) ( ) I, esimulaya I ideal dai ig (Z,+, ). RING NOETHERIAN Sebelum medefiisia ig Noetheia, telebih dahulu dieeala defisi dai suatu odisi agaia ai (ascedig chai coditio/acc) yaitu : Defiisi 2.1 (Adis, 1992) : Suatu ig R diataa memeuhi odisi agaia ai dai ideal ii(aa) aabila utu suatu baisa dai ideal ii(aa) A1, A2, A 3,... dai R dega A1 A2 A3..., tedaat suatu bilaga bulat ositif sedemiia higga A A 1 A 2... Bedasaa defiisi 2.1 jelas bahwa ideal ii(aa) dai suatu ig yag memeuhi ACC adalah behigga. Selai itu, ideal tesebut juga meuaa embagu behiga dai igya. Sebagai cotoh, setia ideal utama dai suatu ig R memeuhi odisi ACC. Suatu ideal utama dai suatu ig R adalah ideal yag haya dibagu oleh haya satu eleme. Selajutya dibeia defiisi beseta cotoh dai suatu ig Noetheia. Defiisi 2.2 (Mali, Modeso, Se; 1997): Suatu ig yag memeuhi odisi agaia ai (ACC) utu ideal ii(aa) disebut ig Noetheia ii(aa). Aabila ig R meuaa ig Noethia ii sealigus Noetheia aa maa ig R disebut ig Noetheia. Adau cotoh dai ig Noetheia yaitu, suatu ideal utama dai suatu ig meuaa ig Noetheia da suatu ig oliomial atas laaga juga meuaa ig Noetheia. Beiut dibeia bebeaa teoema yag teait dega ig Noetheia. Teoema 2.3 (Moedeso, Se; 1997): Jia R ig Noetheia ii maa image homomoisma dai R juga meuaa ig Noetheia ii. Buti : 1. Dibeia R suatu ig Noetheia ii da f : R S suatu eimoisma dai ig. Dibeia J J J,

3 Rig Atiia da Rig Noetheia sebaag agaia ai dai ideal ii ada S. 2. Dibeia 1, maa I f 1 ( J ) utu setia I meuaa ideal ii dai R utu setia da I1 I 2 I3.... Megigat R ig Noetheia maa tedaatbilaga bulat ositif sedemiia higga I I i 1. Dibeia y J, i 1 i i. Megigat f fugsi ada, maa tedaat x R sedemia higga f ( x) y. Jia x Ii I maa y J. 3. Aibatya J J 1i 1 meujua bahwa S meuaa Noetheia ii. Beiutya, dibeia suatu teoema yag mejelasa odisi yag tejadi ada ig embagi R tehada idealya. Teoema 2.4 (Dummit, 1997) : Dibeia I ideal dai suatu ig R. Jia I da R / I meuaa ig Noetheia ii maa R Noetheia ii. Buti : 1. Dibeia A1 A2 A3... suatu agaia ai dai ideal ii ada R. 2. Dibeia : R R / I homomoisma atual dai R e R / I. ( A ) ( A ) ( A )... suatu agaia ai dai ideal ii ada R / I. Megigat R / I Noetheia ii, tedaat bilaga bulat ositif sedemiia higga ( A ) ( A i ) utu setia i 1. A1 I A2 I A3 I... juga meuaa agaia ai dai ideal ii ada I. Megigat I meuaa Noetheia ii, tedaat bilaga ositif m sedemiia higga A I A I utu setia i 1. m m i Misala max( m, ) maa ( A ) ( A i ) da A I A i I utu setia i 1. Misala b A i, tedaat x A sedemiia higga ( b) ( x), yaitu b I x I sehigga, b x I da juga b x A i. Hal ii meyebaba b x A I A I. Dieuhi i ula b x A da b A. 3. Dieoleh A A utu setia 1 i Aibatya R ig Noetheia ii. RING ARTINIAN Sama halya ada ig Noetheia, telebih dahulu dieeala defisi dai suatu odisi agaia tuu (descedig chai coditio/dcc) yaitu Defiisi 3.1 (Adis, 1992) meyataa bahwa suatu ig R diataa memeuhi odisi agaia tuu dai ideal ii(aa) aabila utu suatu baisa dai ideal ii(aa) A1, A2, A 3,... dai R dega A1 A2 A3..., tedaat suatu bilaga bulat ositif sedemiia higga A A 1 A 2... Bedasaa defiisi 3.1, setia baisa ideal ii yag memeuhi DCC juga behigga. Beiut dibeia defiisi dai ig Atiia, yaitu : Defiisi 3.2 (Mali, Modeso da Se; 1997) : Suatu ig yag memeuhi DCC dai ideal ii(aa) disebut ig Atiia ii(aa). Sebagai cotoh, misala ima teta da didefiisia 81

4 Fitiai (2013) daat ditujua bahwa ( Z ( ),, ) meuaa ig omutatif dega dega oeasi etama meuaa modulo 1 da a b 0 utu setia a, b Z ( ). Bedasaa defiisi, setia subgu dai ( Z ( ), ) meuaa suatu ideal. Misala I ideal dai Z ( ), bilaga bulat teecil sedemiia higga q utu suatu bilaga bulat q, 0 q. q Jia q, maa I utu suatu 1 bilaga bulat a, 0 a 1, otadisi dega emiliha. Aibatya gcd(,q) = 1. Padag J 0,,,..., himua bagia dai I, ditujua I J. Misala bilaga atioal, dega gcd(, ) 1 da I. Ambil I, megigat gcd(, ) 1, tedaat bilaga bulat x da y sedemiia higga x y 1. Selajutya x x y y da yag meuaa aggota 1 dai I, dieoleh 1 x y I. Hal ii otadisi dega emiliha, sedaga I J 0,,,..., Ideal tesebut diotasia dega I. Jelas bahwa utu sebaag bilaga bulat ositif, I ideal Z ( ). Oleh aea itu ideal tesebut megiuti odisi agaia tuu, aibatya Z ( ) adalah Atiia. KESIMPULAN Dega adaya suatu odisi agaia ai (ACC/Ascedig Chai Coditio) dai suatu ideal ada suatu ig meyebaba tebetulah suatu las ig yag dieal dega ig Noetheia. Demiia ula dega odisi agaia tuu (DCC/Descedig Chai Coditio) dai ideal ada suatu ig meyebaba tebetulah las ig yag dieal dega ig Atiia. DAFTAR PUSTAKA Adis, William A., Weitaub ad Steve. H Algeba (A Aoach via Module Theoy). New Yo. Bihoff ad McLae A Suvey of Mode Algeba. New Yo. Bow ad William C Matices Ove Commutative Rig. Uited State of Ameica. Dummit, David S, ad Foote, Richad M Abstact Algeba. Uited State of Ameica. Faleigh ad Joh B A Fist Couse i Abstact Algeba. Philiies. Hestei, I N Toics i Algeba. Uited States of Ameica. Howie ad Joh M Fudametals of Semigou Theoy. New Yo. Mali, D.S, Modeso, Joh N ad Se, M.K Abstact Algeba. Sigaoe. 82

5 Rig Atiia da Rig Noetheia Mali, D.S, Modeso ad Joh N Fuzzy Commutative Algeba. Lodo. Modeso, Joh M., Bhutai ad Kia R Fuzzy Gou Theoy. Sige. 83

dokumen-dokumen yang mirip

BAB II LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan dibahas mengenai definisi suatu ring serta

BAB II LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan dibahas mengenai definisi suatu ring serta BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ii aka dibahas megeai defiisi suatu rig serta beberaa sifat yag dierluka dalam embahasa oliomial ermutasi Pejelasa megeai rig dimulai dega defiisi dari suatu sistem matematika