PERBANDINGAN PENDEKATAN SEPARABLE PROGRAMMING DENGAN THE KUHN-TUCKER CONDITIONS DALAM PEMECAHAN MASALAH NONLINEAR

Transkripsi

1 Jural Tei da Ilmu Komputer PERBANDINGAN PENDEKATAN SEPARABLE PROGRAMMING DENGAN THE KUHN-TUCKER CONDITIONS DALAM PEMECAHAN MASALAH NONLINEAR Budi Marpaug Faultas Tei da Ilmu Komputer Jurusa Tei Idustri Uiversitas Kriste Krida Wacaa - Jaarta budi.marpaug@urida.ac.id Abstra Pemrograma terpisah adalah pedeata yag diguaa utu memecaha masalah oliier dega Metode Simplex. Metode ii terbuti dalam memecaha masalah oliier, yag sampai searag tida memilii metode seperti dalam masalah pemrograma liier stadar. Tulisa ii mecoba membadiga proses da hasil dari pedeata Pemrograma terpisah dega Kodisi Kuh-Tucer. Terbuti bahwa eduaya memberia hasil yag serupa, tetapi dega cara yag berbeda. Pedeata Pemrograma terpisah sebaiya diguaa utu memecaha masalah oliier yag memilii esulita etia diselesaia dega Pedeata Kodisi Kuh-Tucer. Kata Kuci: pemrograma terpisah, odisi Kuh-Tucer, pemrograma oliier, titi grid, cembug, ceug, riteria, ormulasi, optimal Abstract Separable Programmig is the approach used to solve oliier problems with the Simplex Method. This method is prove to solve oliier problem, which util ow has o way lie the stadard liear programmig problems. This paper tries to compare the process ad results o Separable Programmig approach to the Kuh-Tucer Coditio. Proved that both give similar result, but i a dieret way. Separable Programmig Approach should be used to solve oliear problems who have diiculty whe solved by the Kuh-Tucer Coditios Approach. Keywords: separable programmig, the Kuh-Tucer Coditios, oliier programmig, grid poit, covex, cocave, criteria, ormulatio, optimal 1. PENDAHULUAN 1.1 Latar Belaag Masalah Higga saat ii masalah dalam betu model oliier belum dapat dipecaha dega satu metode stadar. Setiap model masalah oliier memilii tei peyelesaia tersediri. Situasi ii sagat berbeda dega program liier yag telah memilii satu metode peyelesaia yag palig ampuh, yaitu Metode Simplex, yag diembaga oleh G.B. Datzig. Karea eampuha Metode Simplex dalam meyelesaia masalah oliier, maa C.E. Miller pada tahu 1963 megembaga Separable Programmig. Pada prisipya Separable Programmig merupaa metode yag melaua oversi masalah model oliier mejadi model liier. Dalam hal ii masalah model oliier diubah mejadi model liier, utu emudia dipecaha dega Metode 153

2 Vol. 01 No. 02, Apr - Ju 2012 Simplex. Solusi Separable Programmig merupaa solusi yag bersiat tasira (aproximatio), amu ilaiya medeati ilai optimal yag sesugguhya baha pada asus tertetu ilai optimal dega pedeata Separable Programmig persis sama dega ilai optimal sesugguhya bila megguaa metode dega pedeata model oliier. Peelitia ii mecoba meyelesaia sebuah masalah oliier dega pedeata Separable Programmig da pedeata The Kuh-Tucer Coditios. Kedua metode dibadiga dalam aspe hasil da prosesya. Utu memudaha proses pecaria solusi optimal pada Separable Programmig diguaa sotware Wi QSB Perumusa Masalah Poo permasalaha yag dibahas dalam tulisa ii adalah memormulasia sebuah masalah oliier dalam betu Separable Programmig, meemua solusi optimalya, da membadiga hasilya dega pedeata The Kuh-Tucer Coditios. 1.3 Tujua da Maaat Peelitia Tujua peelitia ii adalah utu meemua ormulasi matematis problem oliier yag dipecaha dega pedeata Separable Progammig da pedeata The Kodisi Kuh-Tucer Coditios, yag emudia dibadiga proses da hasilya. Peelitia ii diharapa dapat mejadi pertimbaga dalam meetua metode yag dipilih dalam memecaha masalah oliier. 1.4 Pembatasa Masalah Masalah yag dibahas dalam peelitia ii haya pada masalah miimisasi dalam tiga variabel da tiga edala, di luar edala oegativitas. 2. PEMECAHAN MASALAH NONLINEAR 2.1 Separable Programmig Higga saat ii masalah dalam betu model oliier dipecaha dalam beberapa cara, diataraya Fiboacci ad Golde Sectio Search, The Hooe ad Jeeves Search Algorithm, Dieresial/Taylor Series, Lagrage Multiplier, Costraied Derivatives, Projected Gradiet Method, The Kuh-Tucer Coditios, Quadratic Programmig, Complemetary Pivot Algorithm, da sejumlah metode laiya. Berbagai metode tersebut memilii prisip yag berbeda da coco diguaa utu model masalah tertetu. Situasi ii berbeda dega program liier yag telah memilii satu metode peyelesaia yag palig ampuh, yaitu Metode Simplex. Walaupu emudia mucul beberapa tei peyelesaia dalam berbagai masalah model liier, seperti Metode Big-M, Metode Dua Phase, Metode Dual Simplex, Metode Revised Simplex, Metode Koig, Metode Brach & Boud, Metode Cuttig Plae, Algoritma Partisi, da laiya, amu semua metode itu pada dasarya masih megguaa prisip Metode Simplex. Separable Programmig adalah metode pemecaha masalah yag megoversi masalah oliier mejadi model liier, utu emudia dipecaha dega Metode Simplex. Dalam Separable Programmig, masalah program oliier dipecaha melalui peasira (aproximatig) ugsi oliier mejadi ugsi liier yag mejadi pasagaya, yag emudia dipecaha dega Metode Simplex [1]. Asumsi dasar dalam Separable Programmig adalah semua ugsi diyataa dalam betu terpisah. 154

3 Perbadiga Pedeata Separable Sebuah ugsi dapat diyataa sebagai ugsi separable bila ugsi tersebut dapat diyataa dalam betu pejumlaha ugsi masig-masig variabel, atau secara matemati diyataa sebagai: x j x j j1... (1) Misala sebuah ugsi otiu (x) dari satu variabel tuggal x, yag terdeiisi utu semua x dalam iterval 0 x a. Fugsi tersebut dapat diyataa dalam Gambar 1. Misala ditetapa sebuah titi (selajutya dapat disebut grid poit) yag berada dalam ilai iterval x. Selajutya utu setiap x ilai ugsi (x ) da meghubuga titi (x, ) da (x +1, +1 ), maa aa terbetu ugsi peasira (x), yag merupaa ugsi liier. Dari Gambar 1 terlihat bahwa ugsi peasira pada iterval tertetu memilii jara dari ugsi awal, amu sagat deat (baha meempel) pada ugsi awalya. Fugsi peasira aa semai deat dega ugsi awal bila jumlah grid poit diperbaya [1]. (x) D A B C E F (x) G 0 x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 =a Gambar 1. Peasira ugsi oliier Fugsi peasira (x) dapat diyataa secara aaliti. Berdasara pada Gambar 1 terlihat bahwa dalam iterval x x x +1, ugsi (x) ditasir dega (x), yaitu: 1 x x... (2) x 1 x Jia x terleta di atara x x x +1, maa dapat diyataa dega: utu semua λ, 0 λ 1. Dari persamaa (3), maa diperoleh: x = λx +1 + (1-λ)x... (3) x x = λ (x +1 - x ) = λ(x +1 x )... (4) 155

4 Vol. 01 No. 02, Apr - Ju 2012 Bila persamaa (4) disubstitusi e persamaa (2), maa diperoleh: (1 )...(5) Misala λ = λ +1 da 1- λ = λ, maa utu x x x +1, ada ilai λ da λ +1 yag ui, sehigga: x = λ x + λ +1 x (6) (7) dimaa λ 0; λ +1 0 λ + λ +1 = 1... (8) Dega uraia di atas, utu setiap ilai x, 0 x a, maa dapat ditulisa: r x r 0... (9) x r...(10) 0 dimaa 1; 0, = 0,..., r...(11) 0 Nilai r merupaa bilaga bulat yag meyataa jumlah segme yag terbetu atas pembagia domai x. Dega megiuti proses di atas, maa model Separable Programmig dapat diyataa sebagai beriut [2]. Mi./Mas. j Z...(12) 1 j j d./s.t. g 0 da / atau g 0 utu semua i...(13) j1 0 ij ij j1 ij ij 1utu semua...(14) x j 0 utu semua j... (15) Namu utu medapata solusi optimal dega pedeata Metode Simplex pada masalah dalam betu Separable Programmig harus memeuhi dua hal. Pertama, jia Separable Programmig adalah masalah masimisasi maa setiap j (x j ) harus cocave da setiap g ij (x j ) adalah covex. Kedua, bila Separable Programmig adalah masalah miimisasi, setiap j (x j ) adalah covex da setiap g ij (x j ) adalah covex. 2.2 The Kuh-Tucer Coditio The Kuh-Tucer Coditio merupaa teori yag diembaga utu meyelesaia masalah model oliier secara umum. Terdapat empat model/program Kodisi Kuh-Tucer. Salah satu diataraya memilii betu sebagai beriut [1]. Mi (x)... (16) d.. g i (x) 0 utu i = 1, 2, 3,..., m... (17) x 0... (18) 156

5 Perbadiga Pedeata Separable Terdapat eam syarat yag harus dipeuhi utu masalah model seperti betu di atas, yaitu: 1) x j 0 utu j = 1,2,...,...(19) m g ( ) i x 2) x j i 0...(20) x j i1 x j m g i 3) i 0 utu j = 1,2,...,...(21) x j i1 x j 4) u i 0, utu i = 1,2,..., m...(22) 5) u i g i 0 utu i = 1, 2,3,..., m...(23) 6) g i (x) 0...(24) Utu medapata solusi optimal dilaua dega pemerisaa terhadap eeam syarat di atas. Dari beberapa solusi yag diperoleh, maa solusi optimal adalah solusi yag memberia ilai palig optimal dari semua alterati yag memeuhi syarat [3]. 3. STUDI KASUS PENETAPAN JUMLAH PRODUKSI OPTIMAL 3.1 Gambara Umum Sebuah perusahaa yag memprodusi peralata eletroi medapat otra utu meyediaa televisi 50 uit pada ahir bula pertama, 100 uit pada ahir bula edua, da 150 uit pada ahir bula etiga. Biaya produsi x uit televisi sebesar x 2. Perusahaa dapat memprodusi lebih dari ebutuha pada suatu bula, dega oseuesi aa meimbula biaya persediaa sebesar 50 satua harga dari barag yag diprodusi bula lalu e bula beriutya. Bila di awal bula tida ada persediaa, tetua jumlah produsi tiap bula agar biaya total mejadi miimum. 3.2 Formulasi Pada tahap ormulasi maa masalah di atas diubah dalam betu Noliier Programmig. Terdapat tiga tahapa dalam ormulasi, dega uraia sebagai beriut: Lagah I Lagah II : Idetiiasi variabel eputusa. Hal yag aa dilaua adalah meetua jumlah uit produsi pada bula pertama, edua, da etiga, diyataa dalam simbol aljabar, sebagai beriut: x 1 jumlah uit produsi pada bula pertama x 2 jumlah uit produsi pada bula edua x 3 jumlah uit produsi pada bula etiga : Idetiiasi semua edala dalam masalah. Utu masalah ii edala adalah bagaimaa memeuhi pesaa sesuai jumlah otra setiap bula, yaitu: x 1 50 x x Lagah III : Idetiiasi sasara atau riteria. Sasara dalam masalah ii adalah megusahaa agar biaya total mejadi miimum. Dalam hal ii biaya yag timbul adalah biaya produsi ditambah biaya peyimpaa barag, sehigga diyataa dega persamaa matematis: 157

6 Vol. 01 No. 02, Apr - Ju 2012 Mi Z = x x x (x 1-50) + 50(x 1 + x ) Masalah di atas secara legap ditulisa sebagai beriut: Mi Z = x x 1 + x x 2 + x d.. x 1 50 x x x 1, x 2, x Solusi Separable Programmig Solusi Separable Programmig diawali dega proses oversi model program oliier mejadi model program liier. Bayaya grid poit dapat ditetua secara sembarag, amu semai baya grid poit semai bai ugsi yag dibetu dapat measir ugsi awal. Dalam masalah ii ditetapa jumlah grid poit sebaya eam, sehigga diperoleh ilai ugsi utu setiap grid poit dalam Tabel 1 beriut. Tabel 1. Nilai ugsi pada grid poit K x = x x g 11 = x g 21 = x g 31 = x x = x x g 12 = x g 22 = x g 32 = x x = x g 13 = x g 23 = x g 33 = x Dega batua Tabel 1, maa problem oliier dapat dioversi mejadi problem liier sebagai beriut. Mi Z = 7500λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ 63 d.. 50λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ

7 Perbadiga Pedeata Separable 0λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ 11 + λ 21 + λ 31 + λ 41 + λ 51 + λ 61 = 1 λ 12 + λ 22 + λ 32 + λ 42 + λ 52 + λ 62 = 1 λ 13 + λ 23 + λ 33 + λ 43 + λ 53 + λ 63 = 1 x j 0 utu = 1, 2, 3, 4, 5, da 6; j = 1, 2, da 3. Masalah model oliier yag sebelumya memilii tiga variabel da tiga edala telah berubah mejadi model liier dega 18 variabel da 6 edala. Dega demiia Metode Simplex dapat diguaa utu memecaha masalah ii. Utu memudaha perhituga maa diguaa Sotware Wi QSB+, sebagai beriut. 1) Iput Nama Problem, Jumlah Variabel, Kedala, da Jeis Masalah Gambar 2. Iput ama masalah, jumlah variabel, edala, da jeis masalah pada Wi QSB 159

8 Vol. 01 No. 02, Apr - Ju ) Iput Data Problem 3) Solusi Gambar 3. Iput data problem pada Wi QSB+ 3.4 Aalisis Hasil Wi QSB Gambar 4. Solusi optimal pada Wi QSB+ Hasil perhituga dega megguaa Wi QSB+ pada Gambar 4 di atas diguaa utu medapata ilai x 1, x 2 da x 3, dega megguaa rumus (9), sehigga diperoleh: x 1 = x 11 λ 11 + x 21 λ 21 + x 31 λ 31 + x 41 λ 41 + x 51 λ 51 + x 61 λ 61 = (50)(1) + (80)(0) + (110)(0) + (140)(0) + (170)(0) + (200)(0) =

9 Perbadiga Pedeata Separable x 2 = x 12 λ 12 + x 22 λ 22 + x 32 λ 32 + x 42 λ 42 + x 52 λ 52 + x 62 λ 62 = (100)(1) + (120)(0) + (140)(0) + (160)(0) + (180)(0) + (200)(0) = 100 x 3 = x 13 λ 13 + x 23 λ 23 + x 33 λ 33 + x 43 λ 43 + x 53 λ 53 + x 63 λ 63 = (150)(1) + (160)(0) + (170)(0) + (180)(0) + (190)(0) + (200)(0) = 150 Mi Z = (50) (50) + (100) (100) + (150) = Dega demiia, melalui Pedeata Separable Programmig diperoleh bahwa jumlah produsi bula pertama sebesar 50 uit, bula edua 100 uit, da bula etiga 150 uit sedaga total biaya miimum yag diperoleh sebesar Solusi The Kuh-Tucer Coditios Solusi pedeata The Kuh-Tucer Coditio diperoleh sesuai persyarata yag harus dipeuhi sebagai beriut. 1) x 1 0; x 2 0; x 3 0 2) x 1 (2x u 1 ) = 0 3) x 2 (2x u 2 ) = 0 4) x 3 (2x 3 u 3 ) = 0 5) 2x u 1 (1) u 2 (0) u 3 (0) = 0, atau 2x u 1 = 0 2x u 1 (0) u 2 (1) u 3 (0) = 0, atau 2x u 2 = 0 2x 3 + u 1 (0) u 2 (0) u 3 (1) = 0, atau 2x u 3 = 0 6) u 1 0; u 2 0; u 3 0 7) u 1 (x 1 50) = 0 8) u 2 (x 2 100) = 0 9) u 3 (x 3 150) = 0 10) x 1 50; x 2 100; x Solusi yag memeuhi eeam syarat di atas adalah x 1 = 50; x 2 = 100; da x 3 = 150; da Z = KESIMPULAN Dari hasil pembahasa di atas diperoleh esimpula sebagai beriut: Pedeata Separable Programmig da The Kuh-Tucer Coditios memberia solusi optimal yag sama, yaitu jumlah produsi bula pertama 50 uit, bula edua 100 uit, da bula etiga 150 uit, dega total biaya miimum Utu masalah yag sulit dipecaha dega The Kuh-Tucer Coditios sebaiya megguaa pedeata Separable Programmig. Hasil Separable Programmig aa semai membai bila jumlah grid poit ditambah. Namu peambaha grid poit aa meambah jumlah variabel, yag tetu semai meyulita dalam medapata solusi optimal. REFERENSI [1]. Do T. Philips, et.al., Operatio Research: Priciple ad Practice, 2 d editio, Joh Wiley ad Sos, [2]. Beale, E.M.L, P.J Coe, ad A.D. J. Flowerdew, Separable Programmig Applied to a Ore Purchasig Problem, Joural o Applied Statistics, [3]. Hillier ad Lieberma, Itroductio to Mathematical Programmig, 1 st editio, McGraw-Hill,