I. PENDAHULUAN II. LANDASAN TEORI

Transkripsi

1 5 I PENDAHULUAN Latar Belakag Persaaa diferesial adalah suatu persaaa ag egadug sebuah fugsi ag tak diketahui dega satu atau lebih turuaa [Stewart, 3] Persaaa diferesial dapat dibedaka eurut ordea, salah satua persaaa diferesial orde dua Selai itu, berdasarka keeksplisita variabel bebas dala persaaaa, persaaa diferesial dapat dibagi ejadi dua aitu persaaa diferesial otoo da takotoo Persaaa diferesial otoo secara eksplisit tidak euat variabel bebas, sedagka persaaa diferesial takotoo euat variabel bebas Variabel bebas erupaka variabel ag tidak bergatug pada variabel lai Persaaa diferesial takotoo orde dua dapat diaplikasika ke dala beberapa bidag, salah satua bidag fisika Cotoh aplikasi dala bidag fisika adalah persaaa diferesial utuk eodelka gerak siste ekaik ag edapat gaa eksteral ag terjadi secara periodik Dala kara iliah ii aka dibahas persaaa diferesial takotoo orde dua ag eiliki kodisi batas periodik aka eghasilka suatu solusi periodik Metode Carathéodor diguaka utuk ecari solusi periodik persaaa diferesial takotoo orde dua tersebut Utuk eggabarka solusi periodik dari persaaa diferesial takotoo orde dua diguaka batua software Matheatica 6 ujua ujua dari kara iliah ii adalah epelajari pegguaa etode Carathéodor utuk ecari solusi periodik dari persaaa diferesial takotoo orde dua II LANDASAN EORI Defiisi (Persaaa Diferesial Orde Dua) Persaaa diferesial orde dua adalah persaaa diferesial ag eiliki betuk uu F(,, ) = diaa dituruka terhadap, d = d d =, d [Farlow, 994] Defiisi (Persaaa Diferesial akotoo), = disebut persaaa diferesial takotoo V :, kotiu da Persaaa orde dua V ( ) diaa [ ] periodik di dega periode da fugsia dapat dituruka da turuaa kotiu di, V V V V (, ) =,,, [Ji & Shi,6] Defiisi 3 (Solusi Periodik) Aggap bahwa =Φ () t adalah solusi periodik utuk persaaa & = f ( ); D da terdapat bilaga positif, sedeikia sehigga Φ + = Φ utuk t aka ( t ) ( t) Φ ( t) disebut solusi periodik dari =Φ ( t) dega periode Jika Φ ( t) eiliki periode, aka Φ ( t) juga eiliki periode, 3, Jika adalah periode terkecil aka disebut periodik- [Verhulst, 99]

2 6 Defiisi 4 (Nilai Batas) Jika kodisi tabaha utuk persaaa diferesial ag diberika eghubugka dua atau lebih ilai, kodisia disebut kodisi batas atau ilai batas [Rice & Strage, 994] Defiisi 5 (Kalkulus Variasi) Kalkulus variasi adalah salah satu teori ateatika ag berhubuga dega asalah optiisasi ag eliputi eaksiuka atau eiiuka ilai sebuah itegral Betuk itegral ag dipakai dala kalkulus variasi adalah b (,, ) I = L d a d dega = da ( ) C [ a, b] d Fugsi L diasusika epuai turua parsial pertaa ag kotiu terhadap seua arguea Utuk pebahasa selajuta ditetapka a =, b = Sehigga betuk itegral di atas dapat diubah ejadi (,, ) I = L d dega ( ) C [, ] Masalah selajuta adalah eilih fugsi ( ) dala C [, ] dega sarat da kedua titik ujug peubah ( ) ditetapka aitu ( ) = da ( ) =, agar I ( ) optiu (aksiu atau iiu) [Wa, 995] Defiisi 6 (Fugsi Lagragia) Betuk itegral ag dipakai dala kalkulus variasi adalah (,, ) I = L d dega d = da ( ) C [, ] d Betuk (, ( ), ( ) ) L disebut fugsi Lagragia [Wa, 995] Defiisi 7 (Pajag atau Nor Vektor) Pajag atau or dari suatu vektor =,,, di dala didefiisika sebagai = Ruus diatas diaaka or Euclidea [Mathews, 99] Defiisi 8 (Hasil kali dala) Misalka da erupaka vektor berukura, hasil kali dala dari vektor da adalah, = + + +, = i i i = Suatu vektor juga erupaka suatu atriks ag haa eiliki satu kolo Oleh karea itu, persaaa diatas dapat ditulis ejadi = [Beezer, 6] Defiisi 9 (Hipua koveks da Fugsi Koveks) Misalka C adalah hipua vektor Maka C disebut sebagai hipua koveks jika utuk seua, ' C terdapat λ [,] aka λ + λ C Misalka f erupaka fugsi dega peubah ag terdefiisi pada hipua koveks C Maka f disebut sebagai fugsi koveks jika f eeuhi persaaa (( λ) λ ) ( λ) λ ( ) f + f + f Jika f eiliki turua kedua, aka f disebut sebagai fugsi koveks jika da haa jika, f C

3 7 da erupaka strictl cove jika f >, C [Hau, 6] Defiisi (Persaaa Euler-Lagrage) Persaaa d = d disebut persaaa Euler-Lagrage dega fugsi Lagragia f (,, ) [Sios, 99] Defiisi (Persaaa Euler-Lagrage Pada Kalkulus Variasi) Pejelasa tetag persaaa ii dirigkaska dari buku Differetial Equatios with Applicatios ad Historical Notes Secod Editio [Sios, 99] Diasusika fugsi ( ) eiiuka itegral ag (,, ) I = f d () Aka dihasilka persaaa diferesial utuk dega ebadigka ilai I ag sesuai utuk pedekata fugsi ( ) Ide utaaa aitu ( ) eberika ilai iiu utuk I, I aka bertabah jika ( ) diubah-ubah Perubaha ii disusu sebagai berikut η adalah sebarag fugsi Misalka ( ) dega diketahui η ( ) fugsi kotiu da η ( ) η( ) = = () Jika α adalah paraeter, keudia αη = + (3) eggabarka kelopok satu paraeter dari fugsi ( ) Peipaga vertikal dari kurva pada kelopok satu paraeter berasal dari kurva ( ) ag eiiuka I aitu αη ( ), ditujukka pada gabar berikut (, ) ( ) = ( ) +αη ( ) αη ( ) (, ) η( ) Gabar Peipaga vertikal kurva () Maksud dari persaaa (3) bahwa utuk setiap kelopok pada tipe ii, aitu utuk asig-asig ilai pada fugsi η ( ), fugsi ( ) ag eiiuka I terasuk kelopok satu paraeter da sesuai dega ilai paraeter α =

4 8 Dega η ( ) tetap, = + αη da = + αη disubstitusika ke itegral (), da diperoleh fugsi dari α ( α ) (,, ) I = f d [, αη, αη ] = f + + d (4) Saat α =, persaaa (3) eghasilka ( ) ( ) =, da karea ( ) eiiuka itegral, diketahui bahwa I ( α ) harus iiu saat α = Dega kalkulus dasar, kodisi petig utuk eiiuka adalah ejadi olka turua I ( α ) saat α = aitu I ( ) = urua I ( α ) dapat dihitug dega euruka persaaa (4) I ( α ) = f (,, ) d (5) α Dega ragkaia cara utuk euruka fugsi dari beberapa variabel diperoleh f (,, ) = + + α α α α = η + ( ) η ( ) Jadi persaaa (5) dapat ditulis ( α) η( ) η I = + d (6) ( ) I =, jadi letakka α = pada persaaa (6) eghasilka + η η d = (7) Pada persaaa ii turua η ( ) ucul bersaa dega fugsi η ( ) η ( ) dapat dieliiasi dega egitegralka bagia kedua, f d f η d = η η d d = η ( ) d d d karea persaaa () Persaaa (7) dapat ditulis dala betuk d ( ) d η d = (8) Pearika kesipula pada asalah ii berdasarka pada ilai tetap fugsi η ( ) Meskipu deikia karea itegral pada persaaa (8) harus ejadi ol utuk setiap fugsi, disipulka bahwa perataa dala tada kurug juga harus saa dega ol Sehigga dihasilka d = d (9) ag disebut sebagai persaaa Euler- Lagrage Defiisi (Fugsi Hailtoia) Persaaa H(,, s) = s, F(,, ) disebut sebagai fugsi Hailtoia dega F,, adalah fugsi Lagragia da (,, ) s = F [Wa, 995] Defiisi 3 (Persaaa Hailtoia- Jacobi) Utuk fugsi Hailtoia H(,, s ), persaaa diferesial H,, ϕ + ϕ = disebut persaaa Hailtoia-Jacobi dega ϕ, adalah fugsi ϕ : [Wa, 995]

5 9 Lea 4 Misal :[, ] S adalah fugsi ag dapat dituruka da turuaa kotiu da eeuhi = S, S,, S S,,, ( ) = ( ) sehigga sarat berikut dipeuhi,,,, () Utuk setiap [ ] L % (,, ) () Utuk setiap (, ) [, ] persaaaa %,, L,, q = epuai solusi q = q(, ) eeuhi q, = q, Misal q = q(, ) solusi dari L % (,, q ) = q, = q, Jika ag eeuhi *: [, ] solusi = (, ), [, ] q ( ) () = () keudia *( ) iiizer dari persaaa aka *( ) adalah solusi periodik dari persaaa diferesial takotoo [bukti lihat Lapira ] eorea 5 Asusika bahwa :[, ] S solusi dari persaaa Hailtoia-Jacobi S (, ) + H (,, S (, ) ) = da :[, ] L ( q( ) ) S( ) q eeuhi,,,, = q Jika *:[, ] solusi = (, ), [, ] q ( ) ( ) () = (3) keudia *( ) iiizer dari persaaa ( ) i I, Ω ( ) I = L,, d, aka *( ) solusi periodik dari persaaa diferesial takotoo [bukti lihat Lapira ] ( ) i I, Ω ( ) I = L,, d, III PEMBAHASAN Peruusa Masalah Didefiisika persaaa diferesial takotoo V, = (4) diaa :, [ ] V kotiu da periodik di dega periode da dapat dituruka da turuaa kotiu di V V V V (, ) =,,, Aka dicari solusi periodik utuk persaaa diferesial takotoo (4) Persaaa diferesial takotoo (4) eiliki ilai batas periodik ( ) = ( ), ( Metode Carathéodor = ) (5) Pada teori kalkulus variasi [Sios, 99], dijelaska bahwa diasusika ada fugsi ( ) ag eiiuka itegral I = L,, d (6)