MAKALAH TUGAS AKHIR DIMENSI PARTISI PADA PENGEMBANGAN GRAPH KINCIR DENGAN POLA K 1 +mk n

Transkripsi

1 MAKALAH TUGAS AKHIR DIMENSI PARTISI PADA PENGEMBANGAN GRAPH KINCIR DENGAN POLA K 1 +K Oleh : MOHAMMAD IQBAL Pebibig : Drs. Suhud Wahyudi, M.Si ABSTRAK Graph adalah hipua pasaga terurut (V,E) diaa V adalah hipua vertex da E adalah hipua edge yaitu pasaga vertex dari V. Jika G adalah graph terhubug, isalka S V(G) da titik v V(G), jarak atara v dega S adalah d(v,s) dega d(v,s) = i { d(v,x) x S}. Misalka k buah partisi da hipua terurut Π = {S 1, S,, S k } dari vertex vertex dala graph terhubug G da vertex v pada V(G), represetasi dari v terhadap Π adalah r(v Π) dega r(v Π) = (d(v,s 1 ), d(v,s ),, d(v,s k )). Jika k-vektor r(v Π), utuk setiap vertex v pada V(G) berbeda, aka Π disebut hipua resolvig partisi dari V(G). Hipua resolvig partisi dega kardialitas iiu dari V(G) disebut diesi partisi dari G da diotasika dega pd(g). Pada Tugas Akhir ii ditetuka diesi partisi pada pegebaga graph kicir w dega pola K 1 + K dega,. Dari aalisis yag telah dilakuka diperoleh hasil bahwa diesi partisi w, pd(w )=k dega k adalah iteger terkecil yag eeuhi k, utuk,,, bilaga bulat positif. Kata Kuci : hipua resolvig, diesi partisi, graph kicir. I. PENDAHULUAN Graph erupaka salah satu bidag dala ateatika da struktur dasar dari ilu koputer. Graph adalah sebuah diagra yag euat titik titik, disebut vertex, da garis yag eghubugka vertex - vertex disebut edge, didefiisika G=(V,E), diaa V adalah kupula dari vertex da E adalah kupula dari edge. Setiap edge eghubugka tepat dua vertex, da setiap vertex dapat eiliki bayak edge yag eghubugka dega vertex yag laiya. Dari perasalaha yag terdapat pada berbagai disipli ilu dapat diselesaika dega ebuat odel graph. Misalka graph erepresetasika betuk olekul air yag terdiri dari ato oksige da hidroge. Masalah da solusi yag didapat dari cotoh kasus tersebut erupaka tekik dari teori graph. Teori graph dapat diguaka utuk eyelesaika beberapa perasalaha suatu bidag. Sebagai cotoh, dala pebuata gae, graph eegag peraa petig terutaa pada pegguaa utuk avigasi atau pathfidig, lalu jika terdapat aget aka diperluka depedecy graph da state graph, lalu dala eyelesaika perasalaha deadlock atau proses dala siste operasi yag tidak berjala karea tidak ada kouikasi lagi dala proses tersebut, diguaka graph sebagai visualisasi utuk pedeteksia. Deikia, beberapa cotoh dari sekia bayak aplikasi graph yag ecagkup disipli ilu yag luas. Berikut diberika gabara egeai diesi partisi. Misalka sebuah propisi pada suatu egara terdapat berbagai kota. Keudia kota kota tersebut dibagi ejadi beberapa kelopok dega ketetua dala sebuah kelopok tersebut tidak terdapat kota yag saa. Hitug jarak iiu dari asig asig kota terhadap seua kelopok, jika terdapat dua kota yag berjarak saa aka ubah kebali pebagia kelopok tersebut sapai didapatka jarak iiu tiap kota berbeda. Bayakya kelopok yag dibuat seiial ugki ii diaaka dega diesi partisi. 1

2 Sejauh ii diesi partisi pada pegebaga graph kicir dega pola K 1 + K belu diteuka, sehigga pada Tugas Akhir ii dibahas egeai diesi partisi pada pegebaga graph kicir dega pola K 1 + K. II. TINJAUAN PUSTAKA.1 Graph Graph tak berarah, selajutya disebut sebagai Graph G, didefiisika sebagai pasaga terurut G(V,E) diaa V adalah hipua higga tidak kosog {v 1, v,, v } da E adalah hipua bagia dari VxV diaa berlaku (u,v) E egakibatka (v,u) E. Aggota dari V disebut vertex digabarka sebagai ligkara atau titik da edge digabarka sebagai ruas garis yag eghubugka dua buah vertex. Bayakya vertex dari G dilabagka dega V = p da bayakya edge dari G dilabagka dega E = q. Secara uu suatu graph G yag epuyai p-vertex da q-edge dituliska dega (p,q)-graph G. (Harary, 199). Suatu graph dikataka terhubug jika dapat dibuat litasa yag eghubugka setiap dua vertex pada graph tersebut. Cotoh dari graph terhubug da graph tidak terhubug dapat dilihat pada Gabar.1. e1 e v e v v e v e v v1 e e5 v5 Gabar.1 Cotoh Graph Terhubug da Graph Tidak Terhubug Graph sederhaa adalah graph yag tidak euat loop da sisi ragkap (ultiple edge). Loop adalah sisi yag eghubugka suatu titik dega diriya sediri. Jika terdapat lebih dari satu sisi yag eghubugka dua titik, aka sisi-sisi tersebut diaaka sisi ragkap (ultiple edge). Graph tak-berarah (udirected graph) adalah graph yag sisiya tidak epuyai orietasi arah, da uruta pasaga titik- titik yag dihubugka oleh sisi tidak diperhatika.(harary, 199).. Operasi Julaha dari Graph e v e1 v1 e5 e v5 Misalka G 1 da G adalah dua buah graph. Peggabuga graph G 1 da G yaitu graph G 1 G, dega hipua vertex V(G 1 G ) = V(G 1 ) V(G ) diaa V(G 1 G ) = da hipua edge E(G 1 G ) = E(G 1 ) E(G ). Maka defiisi operasi julaha pada graph G 1 da G adalah graph G= G 1 + G dega hipua vertex V(G) = V(G 1 ) V(G ) da hipua edgeya E(G) = E(G 1 ) E(G ) {uv u V(G 1 ) da v V(G )}. Berikut cotoh ilustrasi operasi pejulaha pada graph terlihat pada gabar.. u 1 u u v 1 v v Graph G 1 Graph G u 1 u u u 1 u u v 1 v v v 1 v v Graph G 1 G Graph G 1 +G Gabar. Operasi pejulaha graph G= Graph G 1 +G. Jeis Jeis Graph Berikut ii aka dijelaska beberapa jeis dari graph khusus, didalaya diberika pejelasa tetag pegertia graph, disertai dega cotoh-cotohya. 1. Graph Legkap Graph legkap adalah sebuah graph sederhaa diaa setiap dua buah vertex yag berbeda da diotasika dega K. Pada uuya graph legkap epuyai julah vertex da edge asig asig ( 1) adalah V(K ) = da K =. Akibatya, tiap titik di K bertetagga dega titik laiya di K sehigga setiap titik di K eiliki julah tetagga yag saa d K (v) = 1. K eiliki diaeter D(K ) = 1 atau disebut juga dega uit distace. (Purwoo, 009) K5: K: (a) Gabar. Graph K 5 da K. Graph Kicir Graph kicir diotasika dega W adalah graph yag dibagu dega (b)

3 eghubugka seua vertex K dega sebuah vertex yag disebut vertex pusat c. Secara ateatis graph kicir W = K 1 + K. Vertex pusat dala graph kicir diberi aa c, sedagka u i da v j utuk dua vertex luar dibilah i diaa 1 i. (Purwoo, 009). Sebagai cotoh graph kicir dega - bilah (W ) dapat dilihat pada Gabar.. y1 y y1 c y1 y y y11 y1 Gabar. Graph kicir dega -bilah (W ). Pegebaga Graph Kicir K 1 +K Jeis graph berikut ii erupaka pegebaga dari graph kicir K 1 +K, sehigga epuyai pola K 1 +K diaa dau kicir yag diguaka adalah graph legkap (K ). Sebagai cotoh pegebaga pada graph kicir dega pola K 1 +K dapat dilihat pada Gabar.5. y1 y y y1 y1 y cc y y y y11 y1 y1 Gabar.5 Graph kicir dega pola K 1 + K. Eksetrisitas Jarak (distace) atara vertex u da v d u, v pada graf G, diotasika dega ( ) adalah pajag litasa terpedek atara u da v pada graf G. Jika tidak ada litasa atara u da v, aka d(u,v)= Gabar. Graph dega 7 vertex da 7 edge Cotoh.1 Pada Gabar. d(v 1, v ) =, d(v, v 5 ) = 1, d(v 1, v 5 ) =, d(v 1, v ) = 1, d(v, v ) =, d(v, v 7 ) =, d(v, v ) =, d(v 5, v ) =. Eksetrisitas vertex v pada graf G, diotasika dega ecc ( v) adalah jarak terjauh (aksial litasa terpedek) dari v ke setiap vertex di G, dega kata lai ecc( v) = ax { d( u, v) u V ( G) }. Cotoh. Pada Gabar. ecc ( v 1 ) = dega vertex eksetrik v ecc ( v 1 ) = dega vertex eksetrik v 5 ( v ) = v ecc dega vertex eksetrik Diaeter pada graf G, diotasika dega dia ( G) didefiisika sebagai eksetrisitas aksiu dari G, atau dega kata lai jarak aksiu atara dua vertex pada G dia G = ax ecc x = ax d x, y. ( ) { ( )} { ( )} Cotoh. x V x, y G V G Pada Gabar., dia ( G) = Radius pada graf G, diotasika dega rad ( G) didefiisika sebagai eksetrisitas rad G = i ecc x. iiu dari G. ( ) { ( )} Cotoh. x V G Pada Gabar., rad ( G) = 1.5 Diesi Partisi Misalka terdapat sebuah graph terhubug G dega V(G) adalah hipua titik titikya, S V(G) da titik v V(G), jarak atara v dega S yag diotasika d(v,s) didefiisika sebagai d(v, S) = i{d(v, x) x S}. Misalka terdapat sebuah graph terhubug G da k buah partisi da utuk hipua terurut

4 Π = {S 1, S,, S k } dari vertex vertex dala graph terhubug G da vertex v pada V(G), represetasi dari v terhadap Π adalah k-vektor. r(v Π) = (d(v,s 1 ), d(v,s ), d(v,s ),, d(v,s k )) Jika k-vektor r(v Π), utuk setiap vertex v pada V(G) berbeda, aka Π disebut hipua resolvig partisi dari V(G). Hipua resolvig partisi dega kardialitas iiu disebut diesi partisi dari G diotasika dega pd(g).(syah, 008). Lea.1 jika d(u, w) = d(v, w), utuk seua w ε V(G) {u, v} aka u da v harus berada di kelas partisi yag berbeda. (Chartrad, Salehi, Zhag:000) Proporsi.1 Misal G adalah graph terhubug orde. Jadi, pd(g) = jika da haya jika G=P.(Syah, 008). Proporsi. Misal G adalah graph terhubug orde. Jadi, pd(g) = jika da haya jika G = K.(Syah, 008). Sehigga berdasarka proporsi.1 da., seua graph G selai graph P da K eiliki pd(g) -1. Cotoh.5 Diberika graph kicir dega -bilah dau kicir G = w seperti yag ditujukka pada Gabar.7, ditetuka diesi partisi dari graph w tersebut. y1 y11. Graph Kicir K 1 +K Pegebaga Graph kicir w =K 1 +K adalah graph dega vertex pusat c da c terhubug pada seua vertex graph K, diaa, bilaga bulat positif da,,. Graph w ii epuyai dau kicir da setiap dau kicir epuyai vertex yag diotasika dega {y i1, y i, y i,, y i }, utuk setiap dau kicir 1 i. Pegebaga graph kicir w adalah G(V,E) dega hipua vertex V(w ) = {v 1, v, v,, v, v +1 } dega v 1 = {y 11, y 1, y 1,, y 1 },v = y 1, y, y,, y,, v = {y 1, y, y,, y }, v +1 = {c}, sedagka edge E(w ) = {cy i1, cy i, cy i,, cy i,, y i1 y i, y i1 y i,, y i( 1) y i 1 i. Julah vertex da edge asig asig adalah V(w ) = + 1 da E(w ) = (+1).. Sebagai cotoh utuk =5 da = yag dapat dilihat pada Gabar.8. c y y1 Gabar.7 Graph Kicir dega -bilah (w ) Misal diabil Π = {S 1, S, S }, diaa S 1 = {c, u 1, v }, S = {v 1 }, S ={u } aka diperoleh represetasi setiap vertex pada graph w relatif terhadap Π adalah : r(c Π)=(0, 1, 1), r(u 1 Π)=(0, 1, ), r(u Π)=(1,, 0), r(v 1 Π)=(1, 0, ), r(v Π)=(0,, 1). Oleh karea itu represetasi setiap vertex pada w berbeda, aka didapatka Π erupaka hipua resolvig partisi dari w, sehigga Π adalah hipua resolvig partisi iiu dari w dibuktika dari teorea.1 da., aka graph w tidak ugki epuyai diesi partisi lebih dari yaitu pd(g)=. Gabar.8 Graph Kicir dega pola K 1 +K.7 Diesi Partisi Pada Graph Kicir K 1 +K Diesi Partisi pada Graph kicir G hasil dari operasi julaha (operasi +) graph legkap (K 1 ), da graph legkap (K ), diaa, bilaga bulat positif da,, diotasika G=K 1 +K, diperoleh elalui kardialitas iiu dari hipua resolvig partisi dari graph G=K 1 +K. III. METODOLOGI PENELITIAN Metode peelitia yag diguaka dala Tugas Akhir ii eliputi : 1. Studi Literatut.

5 . Aalisis perasalaha.. Evaluasi.. Peyipula Hasil Peelitia. IV. ANALISIS DAN PEMBAHASAN Pada bab berikut dijelaska egeai aalisis perasalaha beserta pebahasaya dala eyelesaika Tugas Akhir ii. Dala bab berikut dibahas egeai diesi partisi dari pegebaga graph kicir dega pola K 1 +K secara uu dega,, dega, bilaga bulat positif. Utuk edapatka diesi partisi tersebut aka dilakuka dega eetuka kardialitas iiu dari hipua resolvig partisi. Utuk edapatka kardialitas iiu dari hipua resolvig partisi aka diguaka beberapa lea da teorea berikut: Lea.1 Misalka terdapat graph kicir dega pola K 1 +K dega, aka berlaku, Bukti : jika u da v pada satu dau kicir yag saa da graph yag diguaka pada dau kicir adalah graph legkap utuk graph kicir dega pola K 1 +K, aka jarak dari setiap vertexya adalah 1, hal ii disebabka karea setiap vertex terhubug dega sebuah edge, sedagka jika u da v pada dau kicir yag berbeda, aka jarak atara u da v adalah, sedagka jarak setiap vertex terhadap pusat kicir c adalah 1..1 Diesi Partisi Graph Kicir K 1 +K Dega = Secara uu graph kicir K 1 +K dega =, diotasika dega w dapat digabarka seperti pada Gabar.1. y1 y5 y y51 y y5 y1 y y y y c y y1 y y1 y11 y1 y1 Gabar.1 Graph Kicir w dega =, secara uu. Utuk eetuka diesi partisi dari graph w, pd(w ) dibutuhka Lea. da. berikut yag berhubuga dega kardialitas partisi yag euat atau tidak euat titik pusat : Lea. Misalka terdapat graph kicir w dega pola K 1 +K dega. Misal c adalah titik pusat da Π = {S 1, S,, S k } erupaka resolvig partisi dari V(w ). Jika c ε S 1 aka S 1 k k+. Bukti : Misalka c ε S 1, aka koordiat titik pusat c adalah r(c Π) = (0,1,1,,1) da utuk setiap v ε S 1 \{c}, r(v Π) = (0,1, ). Dari Lea.1 elee vektor dari koordiat r(v Π) utuk v ε S 1 \{c} haya boleh diisi oleh agka 1 da. Aka tetapi, boleh diisi palig bayak elee yag berilai 1. Hal ii disebabka oleh derajat setiap titik v ε S 1 \{c} adalah, yaitu terhadap titik pusat c da titik u ε V\{c, v} da titik t ε V\ {c, v, u}. Lebih lajut, v ε S 1 \{c} tidak boleh bertetagga dega titik u ε S 1 \{c} da t ε S 1 \{c} karea aka egakibatka r(v Π)=.r(u Π)= r(t Π)=(0,,,,,) Sehigga, palig tidak (k 1) posisi yag haya boleh diisi dega buah agka 1 keudia sisaya dapat diisi dega agka. Jadi, bila ditabahka dega titik pusat, aka terdapat palig bayak 1 + k 1 koordiat yag berbeda, atau S k 1 = 1 + (k 1)! (k )!! = +k k+ = k k+ 5

6 Jadi, S 1 k k+. Lea. Misalka terdapat graph kicir w dega pola K 1 +K dega. Misal c adalah titik pusat da Π = {S 1, S,, S k } erupaka resolvig partisi dari V(w ). Jika c ε S 1 aka S i k k+, i k. Bukti : Abil sebuah hipua resolvig partisi selai S 1, isalka c ε S 1, sebut S yag tidak euat titik pusat. Koordiat utuk setiap wεs adalah r(w Π) = (1,0, ). Terdapat (k ) posisi didala vektor koordiat yag dapat diisi palig bayak dua buah agka 1 da sisaya dapat diisi agka. Jadi, terdapat palig bayak k + k 1 koordiat yag berbeda utuk setiap wεs, atau S i k + k, i k 1 = (k )! + (k )!, i k (k )!! (k )!1! = k k+, i k Jadi, S i k k+, i k. Lea. Utuk graph kicir w dega pola K 1 + K dega secara uu, bilaga bulat positif, aka berlaku pd(w )=k, dega k adalah iteger terkecil yag eeuhi k. Bukti : Utuk ebuktika ditetuka batas atas da batas bawah dari diesi partisi w. Misal graph kicir w dega buah dau kicir da Π = {S 1, S,, S k } erupaka hipua resolvig partisi dari V(w ). Misal c adalah titik pusat da cεs 1, dari Lea. da., aka V(w ) = S 1 + S i, i k + 1 k k+ + k k+, i k + 1 k k+ + (k 1) k k+ + k k + k + k k + k k(k 1)(k )! k. Da jika Π = {S 1, S,, S k 1 } aka pasti diteuka represetasi koordiat vertex yag saa yaitu pasti terdapat d u, S j = d v, S j, 1 j k 1, aka sesuai dega Lea.1 u da v harus berada pada partisi yag berbeda sehigga Π buka erupaka hipua resolvig partisi, aka pd(w ) k. Jadi, pd(w ) k dega k iteger terkecil yag eeuhi k (1) Misalka Π = {S 1, S,, S k } erupaka hipua resolvig partisi dari V(w ). Perhatika (k 1)(k ) dau kicir. (k 1)(k ) buah titik yag berlabel 1 erupaka aggota S 1, sedagka (k 1)(k ) titik laiya adalah aggota (k 1) partisi selai S 1. Keudia, perhatika (k 1)(k ) 1 dau kicir selajutya. (k 1)(k ) 1 buah titik yag berlabel 1 adalah aggota S, sedagka utuk (k 1)(k ) 1 titik yag laiya adalah aggota (k ) partisi selai S 1 da S. Proses ii diteruska sapai tersisa 1 dau kicir diaa kedua titikya belu tergabug dala partisi aapu. Pada batag terakhir, titik berlabel gajil adalah aggota S k 1 da titik berlabel geap aggota dari S k. Dega egguaka Lea.1 aka aka diperoleh koordiat dari setiap titik. r(y 11 Π)=(0,1,1,,,,), r(y 1 Π)=(1,0,1,,,,), r(y 1 Π)=(1,1,0,,,,), r(y 1 Π)=(0,1,,1,,,), r(y Π)=(1,0,,1,,,), r(y Π)=(1,1,,0,,,), r(y(k 1)(k ) Π)=(0,1,,,,1,,,), 1 r(y(k 1)(k ) Π)=(1,0,,,,1,,,), r(y(k 1)(k ) Π)=(1,1,,,,0,,,), c = (0,1,1,,1) Jadi, terdapat (1++++ (k 1)(k ) kicir atau (k 1)(k ) k(k 1)(k ) k(k 1)(k )! k ) dau

7 Jadi, pd(w ) k dega k adalah bilaga terkecil yag eeuhi k () Sehigga, dari persaaa (1) da () aka diperoleh pd(w )=k, dega k adalah iteger terkecil yag eeuhi k. Jadi, pd(w )=k, dega k adalah iteger terkecil yag eeuhi k.. Diesi Partisi Graph Kicir K 1 +K Dega = Secara uu graph kicir K 1 +K dega =, diotasika dega w dapat digabarka seperti pada Gabar.5. y1 y5 y y51 y y5 y1 y y5 y y y y y c y y1 y.. y1 y y1 y1 y y11 y1 Gabar.5 Graph Kicir w dega =, secara uu Utuk eetuka diesi partisi dari graph w, pd(w ) dibutuhka Lea.5 da. berikut yag berhubuga dega kardialitas partisi yag euat atau tidak euat titik pusat : Lea.5 Misalka terdapat graph kicir w dega pola K 1 +K dega. Misal c adalah titik pusat da Π = {S 1, S,, S k } erupaka resolvig partisi dari V(w ). Jika c ε S 1 aka S 1 k k +11k. Bukti : Misalka c ε S 1, aka koordiat titik pusat c adalah r(c Π) = (0,1,1,,1) da utuk setiap v ε S 1 \{c}, r(v Π) = (0,1, ). Dari Lea.1 elee vektor dari koordiat r(v Π) utuk v ε S 1 \{c} haya boleh diisi oleh agka 1 da. Aka tetapi, boleh diisi palig bayak elee yag berilai 1. Hal ii disebabka oleh derajat setiap titik v ε S 1 \{c} adalah, yaitu terhadap titik pusat c da titik u ε V\{c, v} da titik t ε V\ {c, v, u}, serta titik pεv\{c, v, u, t}. Lebih lajut, v ε S 1 \{c} tidak boleh bertetagga dega titik u ε S 1 \{c}, t ε S 1 \{c}, da p ε S 1 \ {c} karea aka egakibatka r(v Π)=r(u Π)=r(t Π) = r(p Π)=(0,,,,,). Sehigga, palig tidak (k 1) posisi yag haya boleh diisi dega buah agka 1 keudia sisaya dapat diisi dega agka. Jadi, bila ditabahka dega titik pusat, aka terdapat palig bayak 1 + k 1 koordiat yag berbeda, atau S k 1 (k 1)! = 1 + (k )!! = 1 + (k 1)(k )(k )(k )!..1.(k )! = +k k +11k Jadi, S 1 k k +11k = k k +11k Lea. Misalka terdapat graph kicir w dega pola K 1 +K dega. Misal c adalah titik pusat da Π = {S 1, S,, S k } erupaka resolvig partisi dari V(w ). Jika c ε S 1 aka S i k k +11k, i k. Bukti : Abil sebuah hipua resolvig partisi selai S 1, isalka c ε S 1, sebut S yag tidak euat titik pusat. Koordiat utuk setiap wεs adalah r(w Π) = (1,0, ). Terdapat (k ) posisi didala vektor koordiat yag dapat diisi palig bayak dua buah agka 1 da sisaya dapat diisi agka. Jadi, terdapat palig bayak k + k koordiat yag berbeda utuk setiap wεs, atau S i k = (k )! (k 5)!! + (k )! (k )!! + k, i k, i k = k k +11k, i k Jadi, S i k k +11k., i k. Lea.7 Utuk graph kicir w dega pola K 1 + K dega secara uu, bilaga bulat positif, aka berlaku pd(w )=k, dega k adalah iteger terkecil yag eeuhi k. Bukti : Utuk ebuktika ditetuka batas atas da batas bawah dari diesi partisi w. Misal graph kicir w dega buah dau kicir da Π = {S 1, S,, S k } erupaka hipua resolvig partisi dari V(w ). Misal c adalah titik pusat da cεs 1, dari Lea.5 da., aka V(w ) = S 1 + S i, i k 7

8 + 1 k k +11k + k k +11k, i k + 1 k k +11k +(k 1) k k +11k + k k + 11k k + k k + 11k k k(k 1)(k )(k )! k Da, jika Π = {S 1, S,, S k 1 } aka pasti diteuka represetasi koordiat vertex yag saa yaitu pasti terdapat d u, S j = d v, S j, 1 j k 1. aka sesuai dega Lea.1 u da v harus berada pada partisi yag berbeda sehigga Π buka erupaka hipua resolvig partisi, aka pd(w ) k. Jadi, pd(w ) k dega k iteger terkecil yag eeuhi k () Misalka Π = {S 1, S,, S k } erupaka hipua resolvig partisi dari V(w ). Perhatika (k 1)(k )(k ) dau kicir. (k 1)(k )(k ) buah titik yag berlabel 1 erupaka aggota S 1, sedagka (k 1)(k )(k ) titik laiya adalah aggota (k 1) partisi selai S 1. Keudia, perhatika (k 1)(k )(k ) selajutya. (k 1)(k )(k ) 1 dau kicir 1 buah titik yag berlabel 1 adalah aggota S, sedagka utuk (k 1)(k )(k ) 1 titik yag laiya adalah aggota (k ) partisi selai S 1 da S. Proses ii diteruska sapai tersisa 1 dau kicir diaa kedua titikya belu tergabug dala partisi aapu. Pada batag terakhir, titik berlabel gajil adalah aggota S k 1 da titik berlabel geap aggota dari S k. Dega egguaka Lea.1 aka aka diperoleh koordiat dari setiap titik. r(y 11 Π)=(0,1,1,1,,,,), r(y 1 Π)=(1,0,1,1,,,,), r(y 1 Π)=(1,1,0,1,,,,), r(y 1 Π)=(1,1,1,0,,,,), r(y 1 Π)=(0,1,1,,1,,,), r(y Π)=(1,0,1,,1,,,), r(y Π)=(1,1,0,,1,,,), r(y Π)=(1,1,1,,0,,,), r(y(k 1)(k )(k ) Π)=(0,1,1,,,,1,,,), 1 r(y(k 1)(k )(k ) Π)=(1,0,1,,,,1,,,), r(y(k 1)(k )(k ) Π)=(1,1,0,,,,1,,,), r(y(k 1)(k )(k ) Π)=(1,1,0,,,,1,,,), c = (0,1,1,,1) Jadi, terdapat ( (k 1)(k )(k ) ) dau kicir atau (k 1)(k )(k ) k(k 1)(k )(k )! k Jadi, pd(w ) k dega k adalah iteger terkecil yag eeuhi k () Sehigga, dari persaaa () da () aka diperoleh pd(w )=k, dega k adalah iteger terkecil yag eeuhi k. Jadi, pd(w )=k, dega k adalah iteger terkecil yag eeuhi k.. Diesi Partisi Graph Kicir K 1 +K Dega secara uu Utuk secara uu diperoleh graph kicir w dega pola K 1 +K, dega,. dibutuhka Lea.1 da.1 berikut yag berhubuga dega kardialitas partisi yag euat atau tidak euat titik pusat : Lea.8 Misalka terdapat graph kicir w dega pola K 1 +K dega,. Misal c adalah titik pusat da Π = {S 1, S,, S k } erupaka resolvig partisi dari V(w ). Jika c ε S 1 aka S k 1 1 Bukti : Misalka c ε S 1, aka koordiat titik pusat c adalah r(c Π) = (0,1,1,,1) da utuk setiap v 1 ε S 1 \{c}, r(v 1 Π) = (0,1, ). Dari Lea.1 elee vektor dari koordiat r(v 1 Π) utuk v 1 ε S 1 \{c} haya boleh diisi oleh agka 1 da. Aka tetapi, boleh diisi palig bayak -1 elee yag berilai 1. Hal ii disebabka oleh derajat setiap titik v 1 ε S 1 \{c} adalah, yaitu terhadap titik pusat c da titik v ε V\{c, v 1 }, titik v ε V\ {c, v 1, v },, titik 8

9 v 1 εv{c, v 1, v,, v 1 }. Lebih lajut, v 1 ε S 1 \{c} tidak boleh bertetagga dega titik v ε S 1 \{c}, v ε S 1 \{c},, v 1 ε S 1 \{c} karea aka egakibatka r(v 1 Π) = r(v Π) = r(v Π) = = r(v 1 Π) = (0,,,,,). Sehigga, palig tidak (k 1) posisi yag haya boleh diisi dega 1 buah agka 1 keudia sisaya dapat diisi dega agka. Jadi, bila ditabahka dega titik pusat, aka terdapat palig bayak 1 + k 1 1 atau S k 1 1 koordiat yag berbeda, Jadi, S k 1 1. Lea.9 Misalka terdapat graph kicir w dega pola K 1 +K dega,. Misal c adalah titik pusat da Π = {S 1, S,, S k } erupaka resolvig partisi dari V(w ). Jika c ε S 1 aka S i, i k. Bukti : Abil sebuah hipua resolvig partisi selai S 1, isalka c ε S 1, sebut S yag tidak euat titik pusat. Koordiat utuk setiap wεs adalah r(w Π) = (1,0, ). Terdapat (k ) posisi didala vektor koordiat yag dapat diisi palig bayak dua buah agka 1 da sisaya dapat diisi agka. k 1 1 Jadi, terdapat palig bayak k + k 1 koordiat yag berbeda utuk setiap wεs, atau S i k + k, i k 1 = (k )!, i k (k )! (k 1)!( 1)! + = (k )! (k )!( )! k 1 (k )!( 1)!, i k = (k 1)!, i k (k )!( 1)! = k 1, i k 1 Jadi, S i k 1, i k. 1 Teorea.1 Utuk graph kicir w dega pola K 1 + K dega,,, bilaga bulat positif, aka berlaku pd(w )=k, dega k adalah iteger terkecil yag eeuhi k. Bukti : Utuk ebuktika ditetuka batas atas da batas bawah dari diesi partisi w. Misal graph kicir w dega buah dau kicir da Π = {S 1, S,, S k } erupaka hipua resolvig partisi dari V(w ). Misal c adalah titik pusat da cεs 1, dari Lea.5 da., aka V(w ) = S 1 + S i, i k k 1 + k 1, i k 1 1 k 1 + (k 1) k = k 1 (1 + k 1) 1 k(k 1)(k ) (k +1)(k )! (k )! k Da, jika Π = {S 1, S,, S k 1 } aka pasti diteuka represetasi koordiat vertex yag saa yaitu pasti terdapat d u, S j = d v, S j, 1 j k 1. aka sesuai dega Lea.1 u da v harus berada pada partisi yag berbeda sehigga Π buka erupaka hipua resolvig partisi, aka pd(w ) k Jadi, pd(w ) k dega k iteger terkecil yag eeuhi k (7) Misalka Π = {S 1, S,, S k } erupaka hipua resolvig partisi dari V(w ). Perhatika (k 1)(k ) (k +1) (k 1)(k ) (k +1) dau kicir. buah titik yag berlabel 1 erupaka aggota S 1, sedagka (k 1)(k ) (k +1) titik laiya adalah aggota (k 1) partisi selai S 1. Keudia, perhatika (k 1)(k ) (k +1) selajutya. (k 1)(k ) (k +1) 1 dau kicir 1 buah titik yag berlabel 1 adalah aggota S, sedagka utuk (k 1)(k ) (k +1) 1 titik yag laiya adalah aggota (k ) partisi selai S 1 da S. Proses ii diteruska sapai tersisa 1 dau kicir diaa kedua titikya belu tergabug dala partisi aapu. Pada batag terakhir, titik berlabel gajil adalah aggota S k 1 da titik berlabel geap aggota dari S k. Dega egguaka Lea.1 aka aka diperoleh koordiat dari setiap titik. r(y 11 Π)=(0,1,1,1,,1,,,,), r(y 1 Π)=(1,0,1,1,,1,,,,), r(y 1 Π)=(1,1,0,1,,1,,,,), r(y 1 Π)=(1,1,1,1,,0,,,,), 9

10 r(y 1 Π)=(0,1,1,1,,,1,,,), r(y Π)=(1,0,1,1,,,1,,,), r(y Π)=(1,1,0,1,,,1,,,), r(y Π)=(1,1,1,1,,,0,,,), r(y(k 1)(k ) (k +1) Π)=(0,1,1,1,,,,,1,,.. 1.,), r(y(k 1)(k ) (k +1) Π)=(1,0,1,1,,,,,1,,...,), r(y(k 1)(k ) (k +1) Π)=(1,1,0,1,,,,,1,,...,), r(y(k 1)(k ) (k +1) Π)=(1,1,1,1,,,,,0,,...,), c = (0,1,1,,1) Jadi, terdapat (1++(+1)++ (k 1)(k ) (k +1) ) dau kicir atau ( + 1) + (k 1)(k ) (k +1) k(k 1)(k ) (k +1) k Jadi, pd(w ) k dega k adalah iteger terkecil yag eeuhi k (8) Sehigga, dari persaaa (7) da (8) aka diperoleh pd(w )=k, dega k adalah iteger terkecil yag eeuhi k. Jadi, pd(w )=k, dega k adalah iteger terkecil yag eeuhi k. Publishig Copay,Ic. []Purwoo, Johaes A Diesi Metrik Pada Pegebaga Graph Kicir Dega Pola K 1 +K. Tugas Akhir, Jurusa Mateatika FMIPA ITS. []Syah, N Diesi Partisi Graf Kipas da Graf Kicir. Tugas Akhir, Jurusa Mateatika FMIPA ITB. V. Kesipula Sesuai dega Teorea.1, dapat disipulka bahwa diesi partisi pada pegebaga graph kicir w dega pola K 1 + K,,, diperoleh pd(w )= k dega k adalah iteger terkecil yag eeuhi k. DAFTAR PUSTAKA [1] Chartrad, G., Salehi, E., Zhag, P. The Partitio Diesio of a Graph. Aequatioes Math. Vol 59 No. 5-5, 000. []Harary, F Graph Teory, Wesley 10