BAB 2 LANDASAN TEORI. lebar pita sinyal tersebut. Pada kebanyakan aplikasi, termasuk kamera digital video dan

Transkripsi

1 BAB LADASA TEORI Teorema Shao-yquist meyataa agar tida ada iformasi yag hilag etia pecuplia siyal, maa ecepata pecuplia harus miimal dua ali dari lebar pita siyal tersebut. Pada ebayaa apliasi, termasu amera digital video da citra, ilai yquist-rate sagat tiggi sehigga meghasila jumlah data yag baya sehigga pemampata sagat diperlua sebelum data disimpa atau diirima. Pada apliasi-apliasi lai seperti pecitraa medis da high-speed ADC meigata ecepata pecuplia memerlua biaya yag sagat mahal.. Represetasi da Aprosimasi Represetasi adalah bagaimaa meyataa suatu siyal dalam basis pembetuya. Represetasi siyal satu dimesi adalah meyataa suatu siyal satu dimesi dalam basis pembetuya. Represetasi tida megubah baya data siyal asli. Represetasi dilaua dega harapa suatu siyal diyataa dalam basis pembetu yag tepat sehigga meghasila pemampata atau sparsity. Dega sparsity maa haya sebagia ilai oefisie yag besar yag memuat sebagia besar iformasi dari siyal. Sedaga sebagia besar laiya memilii ilai oefisie yag ecil yag tida memuat iformasi dari siyal sehigga dapat dihilaga. 7

2 8 Rumus represetasi adalah sebagai beriut: f i I α ϕ i i ) Dimaa : f α i ϕ i : suatu siyal : oefisie : basis Basis dalam suatu trasformasi bergua utu merepresetasia sebuah siyal da ilai. Misala pada fourier trasform yag memilii basis sius maa dapat diataa bahwa siyal yag dihasila aa berbetu sius da memilii ilai-ilai tertetu. Basis sius diguaa juga pada teorema samplig yag dapat merepresetasia setiap fugsi yag dibatasi fiite fuctio) da prosesya dapat diselesaia dega sampel-sampel. Selai itu basis juga berpegaruh dalam aprosimasi. Basis yag berbeda dapat memberia ilai aprosimasi yag berbeda pula. Aprosimasi merupaa pedeata dalam megambil suatu data. Data yag diambil haya sebagia sedaga sisa dataya dijadia ol. Ketia melaua aprosimasi maa aa terdapat selisih atara data asli dega data yag diaprosimasi. Selisih ii yag dieal dega sebuta orm error. Beriut adalah betu persamaaya [7] : f t) fˆ t) f t) fˆ t) dt / )

3 9 Aprosimasi dapat dibedaa mejadi dua jeis yaitu: Aprosimasi liier Pada aprosimasi liier sebagia data yag diambil adalah data yag terleta di bagia depa sedaga sisaya dijadia ol. Baya data yag diambil tergatug dari persetase data yag diigia. Cotohya dapat dilihat di bawah ii: Misala terdapat data siyal iput: - 0,03-0,0-0,07-0,0 0, 0,0 0,08-0,43-0,7 0,09 Bila persetase data yag diigia adalah 0 % maa data yag diambil adalah sebaya data. Hal ii didapat dari 0 % dialia dega bayaya jumlah data siyal iput. Dari cotoh di atas jumlah data siyal iput adalah sebaya 0 data. Jadi data yag diambil 0 % x 0 data. Sehigga data siyal iput aa mejadi: - 0,03-0, Aprosimasi oliier Pada aprosimasi oliier sebagia data yag diambil adalah data yag palig besar setelah data-data tersebut diabsoluta. Data-data yag tida diambil dijadia ol. Sama seperti aprosimasi liier baya data yag diambil pada aprosimasi oliier tergatug dari

4 0 persetase data yag diigia. Cotohya dapat dilihat di bawah ii: Misala terdapat data siyal iput: - 0,03-0,0-0,07-0,0 0, 0,0 0,08-0,43-0,7 0,09 Beriut adalah data siyal iput di atas yag telah diabsoluta: 0,03 0,0 0,07 0,0 0, 0,0 0,08 0,43 0,7 0,09 Bila persetase data yag diigia adalah 40 % maa data yag diambil adalah sebaya 4 data. Hal ii didapat dari 40 % dialia dega bayaya jumlah data siyal iput. Dari cotoh di atas jumlah data siyal iput adalah sebaya 0 data. Jadi data yag diambil 40 % x 0 4 data. Sehigga data siyal iput aa mejadi: , 0 0-0,43-0,7 0,09. Sparsity Kebayaa siyal alami memilii represetasi yag padat etia diyataa e dalam basis yag tepat. Sebagai cotoh, pada Gambar. a) da trasformasi wavelet-ya pada Gambar. b). Walaupu hampir seluruh pisel citra memilii ilai tida ol, amu ebayaa oefisie wavelet-ya berilai ecil da haya sediit oefisie yag berilai besar dimaa memuat sebagia besar iformasi dari citra.

5 Gambar. a) Citra asli beruura Megapisel. b) Koefisie-oefisie wavelet. c) Reotrusi citra yag didapata dega haya megguaa oefisie wavelet terbesar. Secara matemati, jia suatu vetor x R yag direpresetasia megguaa basis orthoormal misalya basis wavelet) Ψ [ ψ ψ... ] seperti persamaa beriut: ψ x i siψ i ) t 3) Dimaa s i adalah oefisie dari x didapata dari, s i x, ψ, biasaya i 3) ditulisa dalam betu matris x Ψs dimaa Ψ adalah matris sedaga x da s berupa vetor olom ). Siyal x diataa K-sparse jia haya K dari oefisie-oefisie s berilai tida ol sedaga sejumlah -K) oefisie berilai ol. Jia K <<, maa siyal x diataa compressible [8]. Dega haya megambil oefisie-oefisie berilai besar da megabaia sisaya mejadi prisip dasar pemampata data seperti JPEG-000 da stadar

6 pemampata data laiya [9]. Tei pemampata data seperti di atas disebut dega trasform-codig, walaupu memberia pemampata data yag bai da diguaa pada baya stadar pemampata saat ii, amu memilii etidaefisie-a yaitu pertama jumlah data semula mugi sagat besar walaupu jumlah K ecil, e-dua seluruh oefisie trasformasi harus dihitug walaupu atiya haya sejumlah K oefisie terbesar yag diambil sedaga sisaya dibuag, e-tiga loasi dari K oefisie terbesar tersebut harus disimpa, Gambar. memperlihata etidaefisie-a tersebut [0]. Gambar. Blo diagram stadar trasform-codig yag saat ii diguaa..3 Fourier Trasform Trasformasi Fourier) Dipereala pertama ali oleh Jea Baptiste Joseph Fourier pada tahu 807. Dia meyataa bahwa semua siyal periodi yag otiu dapat diyataa sebagai jumlah dari siyal-siyal siusoidal dega freuesi, amplitudo, da fasa yag tertetu [][]. Dega fourier trasform, suatu siyal

7 3 dalam domai watu dapat direpresetasia e dalam domai freuesi. ilaiilai freuesi dari siyal tersebut dapat dietahui setelah direpresetasia e dalam domai freuesi. amu dalam domai freuesi tida terdapat iformasi watu apa freuesi-freuesi tersebut mucul. Karea hal iilah maa fourier trasform haya coco utu siyal stasioer da tida coco utu siyal o-stasioer. Hal ii disebaba fourier trasform megaalisa siyal dalam eseluruha watu dari awal samplig higga ahir samplig) sehigga mucul asumsi bahwa iformasi freuesi siyal tersebut terjadi dalam setiap watu. Padahal belum tetu freuesi-freuesi tersebut terjadi dalam setiap watu pada siyal tersebut. Iilah yag mejadi euraga dari fourier trasform dalam megaalisa suatu siyal..4 Discrete Cosie Tasform DCT) Discrete Cosie Trasform DCT) merupaa suatu tei yag diguaa utu melaua oversi siyal e dalam ompoe freuesi pembetuya dega cara memperhituga ilai riil dari hasil trasformasiya. Dari amaya dapat dietahui bahwa DCT haya megguaa gelombag cosius cosie waves). DCT merupaa trasformasi yag berhubuga dega fourier trasform, amu DCT haya megguaa bilaga-bilaga riilya [3]. DCT dapat dielompoa mejadi dua yaitu DCT maju da DCT bali.

8 4.4. Discrete Cosie Trasform Maju Forward DCT) Persamaa forward DCT yag diguaa yaitu:, ) ) )cos ) ) x w y π,..., Dimaa,, ) w adalah pajag dari x), x) adalah ilai siyal asli, y) adalah ilai dari forward DCT, x) da y) mempuyai uura yag sama..4. Discrete Cosie Trasform Bali Iverse DCT) Pada iverse DCT dilaua proses reostrusi yaitu megembalia ompoe freuesi mejadi ompoe siyal semula. Persamaa yag diguaa yaitu:, ) ) )cos ) ) y w x π,..., Dimaa,, ) w.4) 5) 6)

9 5 adalah pajag dari y), y) adalah ilai dari forward DCT, x) adalah ilai dari iverse DCT, x) da y) mempuyai uura yag sama..5 Wavelet Trasform Trasformasi Wavelet) Dega berembagya tei-tei aalisa siyal maa mucullah suatu osep baru yag dapat megatasi euraga dari fourier trasform da tei aalisa siyal tersebut diamaa dega Wavelet Trasform. Wavelet trasform mulai dipereala pada tahu 980-a oleh Morlet da Grossma sebagai fugsi matematis utu merepresetasia data atau fugsi sebagai alteratif trasformasi-trasformasi matematia yag lahir sebelumya utu meagai masalah resolusi. Sebuah wavelet merupaa gelombag sigat small wave) yag eergiya terosetrasi pada suatu selag watu utu memberia emampua aalisis trasie, etidastasioera, atau feomea berubah terhadap watu time varyig). Karateristi dari wavelet atara lai adalah berosilasi sigat, traslasi pergesera), da dilatasi sala). Wavelet trasform memilii emampua utu megaalisa suatu data dalam domai watu da domai freuesi secara bersamaa. Aalisa data pada wavelet trasform dilaua dega medeomposisia suatu siyal e dalam ompoe-ompoe freuesi yag berbeda-beda da selajutya masigmasig ompoe freuesi tersebut dapat diaalisa sesuai dega sala resolusiya atau level deomposisiya. Hal ii seperti proses filterig, dimaa siyal dalam domai watu dilewata e dalam low-pass filter LPF) da high-

10 6 pass filter HPF) utu memisaha ompoe freuesi tiggi da freuesi redah [4]. Tahap pertama aalisis wavelet adalah meetua tipe wavelet atau mother wavelet yag aa diguaa. Hal ii perlu dilaua area fugsi wavelet sagat bervariasi. Beberapa cotoh mother wavelet adalah Haar, Daubechies, Biortoghoal, Coiflets, Symlets, Morlet, Mexica Hat, da Meyer. Setelah pemiliha mother wavelet, tahap selajutya adalah membetu basis wavelet yag aa diguaa utu metrasformasia siyal. Berdasara jeis siyal yag diprosesya, wavelet trasform dapat dibagi mejadi dua bagia besar, yaitu Cotiuous Wavelet Trasform CWT) da Discrete Wavelet Trasform DWT)..5. Discrete Wavelet Trasform Trasformasi Wavelet Disrit) Discrete wavelet trasform DWT) secara umum merupaa deomposisi siyal pada freuesi subbad siyal tersebut. Kompoe subbad wavelet trasform dihasila dega cara peurua level deomposisi. Implemetasi DWT dapat dilaua dega cara melewata siyal melalui sebuah LPF da HPF serta melaua dowsamplig pada eluara masig-masig filter seperti yag ditujua pada Gambar.3 [5].

11 7 Gambar.3 Proses DWT. Dimaa : x[] : Siyal asli g[] : Low-Pass Filter LPF) h[] : High-Pass Filter HPF) Keluara dari LPF merupaa oefisie aprosimasi dari DWT da eluara dari HPF merupaa oefisie detail dari DWT. DWT yag diguaa dalam peelitia ii adalah Liftig Wavelet Trasform LWT)..5. Liftig Wavelet Trasform Trasformasi Wavelet Liftig) Liftig wavelet trasform LWT) adalah salah satu bagia dari DWT yag dieala oleh Wim Sweldes. LWT ii emudia disebut sebagai geerasi edua DWT. Pada DWT dilaua proses beberapa filter secara terpisah, sedaga dega LWT operasi proses dibagi da diproses secara bersamaa [6]. Proses pada LWT diamaa dega Predict P) da Update U).

12 8 Gambar.4 Proses LWT. Dapat dilihat pada Gambar.4 bahwa pada proses LWT, proses Predict P) da Update U) dibagi mejadi dua bagia da diproses secara bersamaa. Cara erja LWT seperti iilah yag membuat tei ii lebih efisie dibadiga dega DWT. Dalam peelitia ii, tipe wavelet atau mother wavelet yag aa diguaa adalah jeis Biortoghoal Liftig Wavelet Trasform Maju Forward LWT) Gambar.5 Sema Liftig Wavelet Trasform Maju. Proses forward LWT adalah dega membagi split) siyal Sj yag masu e dalam tahap yaitu utu gajil eve j+ ) da geap odd j+ ). Dimaa pada

13 9 tahap gajil eve j+ ) diambil ilai siyal dari S 0 sampai S/)-, sedaga pada tahap geap odd j+ ) diambil ilai siyal dari S/)- sampai Sj-. Tahap gajil dilaua dega oefisie Predict P) sedaga tahap geap dilaua dega oefisie Update U)..5.. Liftig Wavelet Trasform Bali Iverse LWT) Gambar.6 Sema Liftig Wavelet Trasform Bali. Iverse LWT adalah proses reostrusi yaitu megembalia ompoe freuesi mejadi ompoe siyal semula..6 Mea Square Error MSE) Mea Square Error MSE) merupaa uura otrol ualitas yag diguaa utu megetahui ualitas dari suatu proses. MSE meghitug seberapa besar pergesera data atara siyal sumber da siyal hasil eluara, dimaa siyal sumber da siyal hasil eluara memilii uura yag sama. ilai MSE yag bai adalah medeati ol MSE 0).

14 0 Rumus dari perhituga MSE adalah [7] : MSE i S S e ) 7) Dimaa : MSE : Mea Square Error S : Siyal sumber S e : Siyal Hasil Keluara : Pajag siyal.7 Pea Sigal to oise Ratio PSR) Pea Sigal to oise Ratio PSR) adalah perbadiga atara ilai masimum siyal sumber dega ilai rata-rata uadrat error MSE). ilai PSR yag bai adalah ta higga PSR ). PSR dihitug dalam satua desibel db). Desibel adalah satua yag serigali diguaa dalam meyataa perbedaa relatif euata siyal. Desibel diyataa sebagai logaritmi basis 0 yag merupaa rasio dari dua siyal.

15 Rumus dari perhituga PSR adalah [8] : PSR db) 0x log 0 Max siyal MSE 8) Dimaa : PSRdB) : Pea Sigal to oise Ratio dalam desibel Max Siyal : ilai masimum siyal sumber MSE : Mea Square Error