Teori Efektif Energi Rendah dan Kosmologi Braneworld

Transkripsi

1 Bab V Teori Efektif Energi Rendah dan Kosmoogi Braneword V. Pendahuuan Di daam Bab IV teah dipeajari bahwa persamaan-persamaan induksi pada brane mengandung sebuah tensor Wey terproyeksi yang membawa informasi medanmedan gravitasiona pada buk. Agar persamaan gravitasiona pada brane menjadi tertutup, maka persamaan Einstein 5-dimensi pada buk harus diseesaikan meaui informasi yang ada pada buk. Secara prinsip, bagi pengamat yang terokaisasi pada brane sangat suit untuk mengetahui geometri buk. Zen, dkk., (6) teah mengkaji bahwa jika sousi vakum brane teah diketahui maka perturbasi terhadap sousi vakum dapat dipandang sebagai penambahan materi pada brane dan persamaan tensor Wey terproyeksi dapat diseesaikan meaui pendekatan perturbatif. Bab ini bertujuan untuk mencari teori efektif energi rendah untuk sistem satu dan dua buah brane dengan menggunakan skema gradien ekspansi serta meninjau aspek kosmoogi brane. Tanpa mengetahui geometri dari buk, keberadaan tensor Wey dapat diseesaikan secara ajabar meaui eeminasi angsung sehingga persamaan Einstein pada brane secara utuh ditentukan oeh besaran-besaran pada brane. Sehingga efek dari dimensi ekstra daam teori efektif -dimensi dapat diamati secara angsung meaui persamaan-persamaan gravitasiona pada brane yang diseesaikan untuk masing-masing orde ekspansi. Sistematika pembahasan pada bab ini adaah sebagai berikut: Sub Bab V. membahas mode untuk sistem satu buah brane dan persamaan persamaan pada buk diturunkan dari aksi meaui variasi terhadap metrik. Sub Bab V. diturunkan persamaan-persamaan efektif pada brane serta apikasi kosmoogi braneword daam mode kosmoogi FRW. Persamaan Friedmann termodifikasi diturunkan untuk orde- dan mengkonfirmasi hasinya dengan sousi eksak yang diperoeh oeh Charmousis dan Dufaux () serta Maeda, dkk., (). Sub Bab V. persamaan efektif -dimensi diperoeh untuk sistem dua buah brane. Dengan asumsi bahwa metrik pada masing-masing brane dihubungan secara konforma, penurunan persamaan medan gravitasiona dapat diperoeh secara serempak. 89

2 Impikasi kosmoogi dan dinamika radion dibahas pada Sub Bab V.5. Sub Bab V.6 merangkum hasi-hasi yang diperoeh. V. Sistem Satu Buah -brane V.. Mode Mode satu buah -brane dengan tegangan σ dan dimasukan daam ruang-waktu AdS 5 yang memiiki sebuah skaa kurvatur buk, dapat digambarkan meaui aksi berikut di mana R dan κ 5 S = d x g R d x h L + + mat κ ( σ ), (V.) berturut-turut adaah skaar Ricci dan konstanta gravitasiona daam 5-dimensi. Diasumsikan pua ada simetri Z daam ruang-waktu AdS 5 dan brane ditempakan di y = daam sistem koordinat yang diberikan oeh persamaan (V.). Medan-medan materi, L mat, adaah terokaisasi pada brane. Metrik induksi pada brane dinyatakan oeh h. Aksi 5-dimensi (V.) seanjutnya diseesaikan meaui metode ekspansi gradien untuk memperoeh aksi efektif braneword energi rendah. Dengan memiih sistem koordinat Gaussian sebagai atar beakang sousinya, (, ) ds dy g y x dx dx = +, (V.) maka persamaan-persamaan medan pada buk diberikan oeh () () y K R = δ R, (V.) K = R + yk K =, (V.) (), (V.5) K =. (V.6) Di daam persamaan di atas, kurvatur ekstrinsik didekomposisikan menjadi bagian traceess dan bagian trace sebagai berikut K = + δ K, K = og g. (V.7) y 9

3 Dekomposisi ini bertujuan untuk menyederhanakan persamaan-persamaan dan memudahkan daam perhitungan. Syarat junction untuk sistem satu buah -brane diberikan oeh κ5 K δ K y= = ( σδ + T ). (V.8) Persamaan (V.) adaah sebuah persamaan tensor yang menggambarkan bagaimana materi-materi pada brane dapat menyebabkan keengkungan pada brane, sesuai dengan prinsip reativitas umum. Persamaan tensor ini menentukan evousi dari kurvatur ekstrinsik. Persamaan (V.) dan (V.5) adaah persamaanpersamaan skaar, bagaimana keengkungan pada buk dapat memberikan tekanan pada brane sebagaimana teah dijeaskan pada bab IV. Ha ini juga mengakibatkan brane meengkung. Persamaan (V.6) adaah sebuah persamaan vektor yang memberikan kendaa bagi evousi kurvatur ekstrinsik. Persamaanpersamaan (V.) (V-6) bersama-sama dengan persamaan (V.8) menggambarkan dinamika evousi untuk sistem satu buah brane. Aksi efektif -dimensi dapat diperoeh dengan mensubstitusikan sousi dari persamaan (V.) (V-6) ke persamaan aksi (V.) dan mengintegrasikan terhadap koordinat dimensi ekstra, y. V.. Ekspansi Energi Rendah Daam metode iterasi energi rendah atau dinamakan dengan metode ekspansi gradien, parameter ekspansi didefinisikan pada daerah energi rendah, yaitu rapat energi pada brane jauh ebih keci dari tegangan brane, (V.9) Ini berarti bahwa rapat energi pada brane dapat diabaikan terhadap tegangan brane. Kondisi ini berhubungan dengan orde ke- daam perturbasi dan merupakan sousi vakum. Untuk orde yang ebih tinggi, kondisi vakum ini harus diganggu dengan menambahkan materi pada brane. Syarat yang diberikan oeh persamaan (V.9) dapat diterjemahkan sebagai berikut: (V.) Kemudian meaui anaisis dimensi persamaan (V.) menghasikan 9

4 (V.) di mana adaah skaa kurvatur brane. Parameter ekspansi kemudian didefinisikan oeh (V.) Parameter ekspansi ini dapat diartikan bahwa kurvatur pada brane dapat diabaikan dibandingkan dengan kurvatur ekstrinsik pada energi rendah. Iterasi kemudian diakukan dengan menuiskan metrik sebagai jumah dari tensor-tensor oka yang dibangun oeh metrik induksi pada brane. Metrik sebagai sebuah deret perturbatif diberikan oeh () () ds = dy + a ( y) h ( x ) g ( y, x ) g ( y, x + + ) + dx dx Metrik induksi pada brane diberikan oeh h = g ( y =, x). Daam perumusan. (V.) kurvatur kovarian (Shiromizu dan Koyama, ), ekspansi secara angsung diakukan pada kurvatur ekstrinsik dan tensor Wey, kemudian persamaan gerak diseesaikan pada buk. Kuantitas-kuantitas ain yang diekspansi adaah tensor kurvatur ekstrinsik K, K = K + εk + ε K +. (V.) () () () Sousi masing-masing orde dari ekspansi kemudian diakukan sebagai berikut: untuk orde ke-, suku kurvatur pada brane diabaikan. Dengan kata ain tidak ada materi pada brane dan hanya ada tegangan brane. Berikut diseesaikan masingmasing orde perturbasi. V. Persamaan-Persamaan Efektif pada Brane V.. Sousi Orde- Tanpa keberadaan materi pada brane, sousi orde- terkait dengan sousi vakum dan sousinya diberikan oeh K = δ, K =. (V.5) () () Dengan menggunakan definisi kurvatur ekstrinsik 9

5 K =, y g (V.6) () () diperoeh metrik buk orde- sebagai berikut ds = dy + a ( y) h ( x ) dx dx. (V.7) di mana a(y) menyatakan factor keengkungan yang diberikan oeh ay = exp y. (V.8) Tensor h adaah konstanta integrasi yang hanya bergantung pada koordinat brane x dan menyatakan metrik induksi pada brane. Tanpa keberadaan materi pada brane, sousi orde ke- menghasikan sebuah kendaa antara tegangan brane dan konstanta kosmoogi pada buk. Dari syarat junction, hubungan antara parameter-parameter tersebut diberikan oeh 6 σ =. (V.9) κ Sebagaimana diharapkan, persamaan yang diperoeh adaah syarat ketertaaan untuk mode satu buah brane yang memberikan impikasi fisis bahwa konstanta kosmoogi brane menjadi enyap yaitu berkaitan dengan brane Minkowski. V.. Sousi Orde- Sousi orde- diperoeh dengan mengambi perhitungan dari suku-suku yang diabaikan pada orde-. Pada orde ini, keberadaan materi pada brane menjadi reevan daam persamaan dinamika. Untuk orde-, persamaan (V-) (V-6) menjadi () () () () y = R( g) δ R( g) (), (V.) () () K =, (V.) yk 6 K () () () = R( g), (V.) () () D DK =, (V.) 9

6 di mana D adaah turunan kovarian terhadap metrik induksi h. Kemudian () R ( g) () menyatakan ekspansi orde- dengan tensor Ricci diambi untuk komponen metrik a ( y) h, sehingga tensor Ricci pada brane terhadap metrik induksi dapat dituiskan sebagai () R ( h). Substitusi metrik orde- pada skaar Ricci R(g), maka persamaan (V.) menghasikan bagian trace kurvatur ekstrinsik, K = R( h ). (V.) 6a () () Dapat diihat bahwa persamaan (V.) secara trivia dipenuhi. Seanjutnya, bagian traceess kurvatur ekstrinsik diperoeh dengan mengintegrasikan persamaan (V.). Hasinya adaah () () () () χ = R ( h) R( h) δ +. (V.5) a a Disini () χ adaah sebuah konstanta integrasi yang memenuhi χ =. Dengan () menggabungkan persamaan (V.5) dan bagian trace kurvatur ekstrinsik (V.), sousi tensor kurvatur ekstrinsik orde- adaah () () () () χ K = R ( h) R( h) δ +, (V.6) a 6 a Tensor kurvatur ektrinsik (V.6) terkait dengan tensor energi-momentum pada brane meaui syarat junction dan menentukan persamaan dinamika gravitasiona pada brane. Syarat junction pada orde- menjadi κ K K R R x T () () () () () δ y= = δ + χ =. (V.7) Persamaan evousi tensor Wey dengan metrik (V.7) diberikan oeh λ β E = yk δ yk KλK + δkβk δ. (V.8) Dengan menggunakan ungkapan tensor kurvatur ekstrinsik serta trace-nya yang dinyatakan oeh persamaan (V.8), maka sousi tensor Wey untuk orde- adaah ( ). (V.9) () () E x = χ x 9

7 Persamaan (V.7) bersama-sama dengan persamaan (V.9) menghasikan persamaan gravitasiona pada brane pada orde-: κ =. (V.) () () () R δ R T E () Konstanta integrasi χ terkendaa oeh persamaan Codacci (V.), () () () () D () χ () D DK = D R R D R δ + a a 8a () D x () χ = D R R δ a + a Sehingga diperoeh D ( x ) () χ = D G + a a = D χ =, χ =. (V.) () () Jadi konstanta integrasi memiiki sifat transversa dan traceess terhadap geometri brane. Dapat diihat bahwa persamaan Einstein daam reativitas umum diperoeh () pada sousi orde ke- dengan suku tambahan E = χ / yaitu tensor Wey terproyeksi pada brane. Pada bab IV teah dibahas bahwa proyeksi tensor Wey memberikan efek non-oka yang mengakibatkan persamaan pada brane menjadi tidak tertutup. Namun pada penurunan di atas () χ adaah konstanta integrasi () () yang hanya bergantung pada koordinat brane, yang berarti pua E = E ( x). Efek dari buk dibawa oeh proyeksi tensor Wey meaui kuantitas skaa kurvatur buk,, diberikan oeh persamaan (V.9). Daam kosmoogi Friedmann- Robertson-Waker, suku ini berhubungan dengan radiasi geap karena berbanding terbaik dengan faktor skaa pangkat empat. V.. Sousi Orde- Untuk meihat koreksi ain dari reativitas umum daam teori efektif -dimensi seain konstanta integrasi χ (), dihitung sousi orde-. Di daam perhitungan 95

8 berikut ini kontanta integrasi diambi () χ =. Untuk sousi orde-, persamaan (V.) (V.6) menjadi () () () () () () () δ, y = R g R g K + (V.) () () () () () β yk K = K + β, (V.) 6 () () () () β () () K = K + β + R( g), (V.) () () () () () () D DK +Γ Γ =, (V.5) Tensor Ricci dan skaar Ricci orde- dihitung dengan menggunakan metrik buk sampai pada orde-, yaitu () g ( y, x ) a ( y) h ( x ) g ( y, x = + + () () = a ( y) h ( x ) + ( a ) R ( h) h R( h) 6. (V.6) Sehingga diperoeh () () () σ () σ () R δ R = a a D D Rσ + D D ( Rσ ) + + σ () () () D D R D σ D R D σ σ δ D R () () () () () β () () + R R R R δ R Rβ R 6 6 () () ( a a ) S( x ) R R δ R + 6, (V.7) di mana () β () () () () β () () S = R Rβ R R δ R Rβ + δ R + () σ () σ () DD σ R DDσ R DD R σ () () D Dσ R δ D D R 6. (V.8) 96

9 Sifa-sifat dari tensor ini dapat diihat dari persamaan (V.7) dan memenuhi hubungan S =, D S =. (V.9) Dengan menggunakan persamaan (V.7) dan hasi dari orde- dapat diperoeh K R R a () () () () () = δ dan integrasi persamaan evousi (V.) menghasikan R, χ = + + a a a a () () y () () () S R R R δ (V.), (V.) di mana χ () adaah konstanta integrasi yang hanya bergantung pada koordinat brane x. Untuk memahami arti fisis dari konstanta integrasi ini, didefinisikan χ () () = χ + S + 8 () () () () () () β () R R R R δ Rβ R R. (V.) Sehingga persamaan tensor Wey terproyeksi orde- pada brane dapat dituis serupa dengan persamaan (V.9), Daam ungkapan χ () E () ( x ) () χ =, (V.), kurvatur ekstrisik pada brane adaah 5 K R R R R R R R () () () () () () () () β = y δ + δ = β + χ. (V.) () Dengan mengambi trace persamaan ini, dapat disusun sebuah persamaan dengan () () () K δk = P + χ, (V.5) = δ () β () () () () () () P R Rβ R R R R R Secara forma persamaan Codacci dapat diintegrasi untuk memperoeh () () K δ K = τ + cs + c Z. (V.7). (V.6) 97

10 Di sini τ adaah tensor yang tidak dapat dinyatakan daam ungkapan kuantitaskuantitas oka, Kuantitas-kuantitas dan c adaah koefisien-koefisien konstan. c Sedangkan bagian oka Z adaah tensor bebas divergensi yang didefinisikan oeh = +. (V.8) () () () () () Z R R R D D R D D δ δ R Tensor S dan Z adaah bebas inear, sehingga kombinasinya menghasikan sebuah tensor bebas divergensi, H = S + Z. (V.9) Masing-masing dari tensor ini dapat diperoeh meaui variasi terhadap metrik dari aksi-aksi berikut ini δ = β d x R Rβ R d xs g δ, (V.5) d xr d xz δ g, (V.5) δ = β ( β ) δ = d x R R d xh g δ. (V.5) Dengan mensubstitusikan persamaan (V.7) ke persamaan (V.5) maka diperoeh () τ = P + χ cs cz, (V.5) () Persamaan ini menghubungan konstanta integrasi χ dengan bagian tensor non oka τ dan parameter-parameter bebas dan c. Syarat traceess c χ = () menghasikan Jadi () R R R c D D R. (V.5) 8 () β () () τ = β τ menyatakan anomai trace daam konteks korespondensi AdS/CFT (Madacena, 998) serta daam braneword (Gidding, dkk.,, Hawking, dkk.,, Gubser,, Shiromizu dan Ida, ; Koyama dan Soda,, Padia, 6). Sifat non oka tensor τ menunjukan bahwa tensor ini berhubungan dengan energi-momentum dari CFT hoografik pada brane. 98

11 Dengan memasukkan sousi-sousi orde- ke daam syarat junction maka dapat diperoeh persamaan efektif pada brane yang meiputi koreksi untuk persamaan gravitasiona -dimensi reativitas umum. Syarat junction kemudian menjadi () () () () κ K δk + K δk = T. (V.55) Substitusi hasi-hasi perhitungan sebeumnya ke persamaan (V.55) maka diperoeh Atau () κ G = T ( τ + cs + cz). (V.56) κ = +. (V.57) () () G T P χ Tensor P dapat ditentukan secara oka dan mengandung suku kuadratik energimomentum tensor sehingga persamaan (V.57) menjadi tertutup. Untuk memperoeh orde ke-n dapat digunakan formua rekursif berikut ini, ( n) n n () () ( p) ( p ) = dy a R R K δ a, (V.58a) p= K K K n ( n) ( p) ( n p) ( p) ( n p) β () ( n) = + β + R 6 p=, (V.58b) n ( n) ( n) ( p) ( n p) ( p) ( n p) β yk K = K K + β p=, (V.59a) D D K + Γ Γ n p ( n) ( n) ( p) ( n p) ( p) ( n ) p=. (V.59b) Bagian traceess dan trace kurvatur ekstrinsik didefinisikan oeh persamaan (V.7). V.. Impikasi Kosmoogi Sistem Satu Buah Brane Sebagai apikasi kosmoogi ), tinjau kosmoogi homogen dan isotropik pada brane dengan metrik induksi diberikan oeh ) Apikasi kosmoogi untuk orde- dapat diihat pada paper Zen, dkk., (6) di mana persamaan 8π G C Friedmann dengan koreksi radiasi geap diberikan oeh H = ρ +. a 99

12 i h dx dx = dt + a () t γ ijdx dx j. (V.6) Disini at () adaah sebuah faktor skaa. Komponen yang tidak enyap dari tensor P adaah t j Pt = H, Pi = H + H H δ j i, (V.6) Perhitungan secara angsung menghasikan bahwa tensor P memenuhi Sehingga dari persamaan (V.57) diperoeh DP =. (V.6) D χ =. (V.6) () Jadi χ adaah komponen pada kosmoogi brane yang berperiaku sebagai suku radiasi geap. Komponen-(tt) dari persamaan (V.57), dengan mengabaikan suku () radiasi, menghasikan persamaan Friedmann termodifikasi H κ = ρ + H. (V.6) Charmousis dan Dufaux () serta Maeda dan Torii () teah memperoeh bentuk sousi eksak dari persamaan Friedmaan termodifikasi daam braneword Gauss-Bonnet tanpa suku radiasi geap, hasi ringkasnya dapat dituis sebagai berikut κ ( ρ + σ) = H + ( + H ). (V.65) Disini adaan parameter konstan, kontribusi dari suku Gauss-Bonnet. Daam kasus yang diturunkan di atas maka untuk =, κ ρ σ + = 6 H +. (V.66) Jika ruas kanan persamaan (66) diekspansi untuk parameter ekspansi yang keci ε = H, H + = + H H +, (V.67) 8 maka diperoeh persamaan yang sama seperti persamaan (V.6). Jadi dapat dikonfirmasi vaiditas dari ekspansi gradien. Sehingga menarik juga untuk dikaji jika aksi (V.) ditambahkan suku Gauss-Bonnet daam skema ini.

13 V. Sistem Dua Buah Brane Pada pasa sebeumnya, mode dengan satu buah brane dapat digambarkan oeh sebuah teori efektif -dimensi daam energi rendah. Berikut ini dikaji sebuah sistem dengan dua buah brane pada imit energi rendah. Dinamika untuk sistem dua buah brane sedikit ebih rumit dari sistem dengan satu buah brane. Jarak antara kedua brane dapat mempengaruhi dinamika kedua brane dan dinamika dari sistem secara keseuruhan. Sebagaimana diperihatkan di bawah ini, jika ada dua buah brane dimasukan daam ruang-waktu buk, teori -dimensi efektif berperiaku seperti teori Brans-Dicke (secara umum adaah teori skaar-tensor) dan medan skaar Brans-Dicke bekerja sebagai sebuah radion. Asumsi yang sama seperti pasa sebeumnya bahwa tegangan-tegangan brane σ + dan σ jauh ebih besar dari rapat energi ρ + dan ρ. Untuk sistem dua buah brane, ada satu buah derajat kebebasan tambahan yaitu radion yang juga harus diambi daam perhitungan dan memodifikasi skema ekspansi. V.. Mode Aksi untuk sistem dengan dua buah brane diberikan oeh 5 S = d x g R + κ d x h ( + ) ( L ( + ) σ ( + ) ) d x h ( ) ( L ( ) σ ( ) ). (V.68) + + Metrik 5-dimensi dapat dipiih daam suatu bentuk di mana radion secara ekspisit ada daam metrik, φ ( yx, ) ds = e dy + g ( y, x ) dx dx. (V.69) Brane yang memiiki tegangan positif ditempatkan di y = sedangkan brane yang memiiki tegangan negatif di y =. Daam kasus ini φ ( yx, ) menentukan jarak wajar antara kedua brane (Lihat Gambar V.), φ ( y', x) ' d x = e dy. (V.7) Daam sistem koordinat (V.69), persamaan-persamaan medan buk dapat diperoeh meaui variasi aksi (V.68):

14 = δ φ φ φ φ () () e y Q R R ( Q β ) R β + δ ( φ + φ φ), (V.7) = +, (V.7) e φ β yq Q β = φ + φ φ, (V.7) Q =, (V.7) Dan syarat junction diberikan oeh κ = + δ σ δ ( + ) ( + ) Q ( T ) y= κ = + δ σ δ ( ) ( ) Q ( T ) y=, (V.75). (V.76) Bagian traceess dan trace dari kurvatur ekstrinsik didefinisikan φ φ e K = + g K, Q = e og g. (V.77) y Gambar V. Radion sebagai jarak antara dua brane.

15 Dengan menggunakan prosedur yang sama seperti pada sub bab sebeumnya, persamaan-persamaan Einstein pada masing-masing brane, sampai pada orde-, dapat dituis secara serempak sebagai berikut di mana χ ± G κ ( ± ) ( ± ) =± T χ ±, (V.78) adaah konstanta integrasi. Tanda ± di daam persamaan (V.78) masing-masing berhubungan dengan brane yang memiiki tegangan positif dan negatif. Metrik induksi pada masing-masing brane dihubungkan meaui transformasi konforma dengan faktor konforma diberikan oeh h =Ω h, (V.79) ( ) ( + ) ( e φ ) Ω = exp. (V.8) Untuk sistem dua buah brane adaah mungkin mengeeminasi kuantitas non oka, χ ±, di daam persamaan (V.78) sehingga diperoeh persamaan Einstein oka pada masing-masing brane. Ha ini dapat diakukan jika hubungan antara χ ( + ) dan χ diketahui. Dengan menggunakan persamaan evousi dari tensor Wey terproyeksi (IV.75) untuk orde- dan persamaan (V.79), tensor Wey terproyeksi adaah dihubungan secara konforma, E =Ω E. (V.8) ( )() ( + )() Berikut ini diturunkan persamaan Einstein pada masing-masing brane daam bentuk tertutup. V.. Teori Efektif pada Brane Dengan menggunakan persamaan (A.) pada ampiran A, persamaan Einstein pada brane yang memiiki tegangan negatif dapat dinyatakan daam ungkapan kuantitas-kuantitas pada brane yang memiki tegangan positif, = Ω Ω Ω ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) G G D D h D D + Ω Ω Ω Ω ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) D D h D D Ω, (V.8)

16 Persamaan (V.8) bersama-sama dengan persamaan (V.9) untuk kasus dua brane, suku non oka Eeminasi χ ± χ ± dihubungakan secara konforma sebagai berikut χ =Ω χ. (V.8) ( ) ( + ) pada persamaan (V.78) mengimpikasikan bahwa κ G G T T =Ω + ( +Ω ) ( + ) ( ) ( + ) Suku pertama pada ruas kanan persamaan (V.8), G. (V.8), dapat dieeminasi dengan menggunakan persamaan (V.8). Dengan mendefinisikan sebuah medan skaar Ψ oeh Ψ = Ω, persamaan Eintein pada brane yang memiiki tegangan positif diperoeh G κ T T D D h D D Ψ Ψ ( ( ) ) ( Ψ ) ( + ) ( + ) ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) = + Ψ + Ψ ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) D D h D D + Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ. (V.85) (V.86) Dengan hasi ini, kuantitas non oka dapat dinyatakan daam ungkapan kuantitaskuantitas pada brane, κ = Ψ + Ψ Ψ Ψ Ψ χ ( )( T T ) ( D D h D D ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) D D h D D Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ. (V.87) Karena Ω (atau ekuivaen dengan Ψ ) mengandung informasi jarak antara kedua brane, Ω (atau Ψ ) dinamakan radion. Persamaan gerak untuk medan skaar radion diperoeh dengan mengambi trace persamaan (V.87), di mana κ D D D D T T ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( ) Ψ+ Ψ Ψ= ( Ψ ) + ( Ψ) ( Ψ) ( ) ( ) ( ) T h T., (V.88) = (V.89) Persamaan-persamaan (V.86) dan (V.88) merepresentasikan sebuah teori gravitasi skaar-tensor pada brane yang memiiki tegangan positif dan dapat diturunkan dari aksi efektif -dimensi:

17 + + + ( + ) ( + ) S = d h R D D Ψ ( ) Ψ κ Ψ Ψ ( ) + + Ψ ( d h + L + d h + L ). (V.9) Prosedur yang sama juga dapat digunakan untuk memperoeh persamaanpersamaan efektif pada brane yang memiiki tegangan negatif dan diperoeh: G κ T T D D h D D Φ Φ ( ( ) ) ( Φ ) ( ) ( ) ( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + +Φ + Φ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) D D h D D Φ Φ Φ Φ +Φ Φ. ( +Φ) κ D D D D T T ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( + ) Φ Φ Φ= ( +Φ ) + ( +Φ) κ = +Φ + Φ Φ Φ Φ χ + ( )( T T ) ( D D h D D ) (V.9), (V.9) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) D D h D D + Φ Φ Φ Φ Φ +Φ. (V.9) Aksi efektif -dimensi untuk brane yang memiiki tegangan negatif diberikan oeh ( ) ( ) S = d h R D D Φ + ( ) Φ κ Φ +Φ di mana ( ) + + +Φ ( d h L d h L ) +, (V.9) Φ =Ω. (V.95) Hasi-hasi di atas memperihatkan bahwa jika dinamika dari sebuah brane diketahui maka dinamika pada brane yang ain juga dapat diperoeh. Ketidakbebasan dinamika pada kedua brane dapat dinyatakan meaui hubungan berikut: Ψ Φ=. (V.96) Ψ Persamaan-persamaan Einstein dan persamaan-persamaan gerak untuk medan skaar pada brane adaah tertutup, yang dapat direpresentasikan meaui kekekaan materi pada masing-masing brane, 5

18 ( ± ) ( ± ) D T =. (V.97) Terhadap metrik pada brane yang memiiki tegangan positif, h ( + ) kekekaan (V.97) dapat dituiskan menjadi D Ψ D T D T T T Ψ Ψ ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) D +, Ψ = = Jadi terhadap metrik h ( + ), persamaan. (V.98), tensor energi-momentum pada brane yang memiiki tegangan positif memenuhi hukum kekekaan sedangkan divergensi tensor energimomentum pada brane yang ain ditentukan oeh jarak antara kedua brane. Aksi-aksi efektif yang digambarkan oeh persamaan-persamaan (V.9) dan (V.9) tidak ain adaah aksi gravitasi skaar-tensor di mana koping gravitasiona pada masing-masing brane ditentukan oeh medan skaar Brans-Dicke Φ untuk brane yang memiiki tegangan negatif dan Ψ untuk brane yang memiiki tegangan positif. Gravitasi skaar-tensor pada masing-masing brane dibedakan oeh ungkapan parameter koping ω( Φ ) = /( +Φ) tegangan negatif dan ω( Ψ ) = Ψ/( ) positif. Φ untuk brane yang memiiki Ψ untuk brane yang memiiki tegangan V.5 Impikasi Kosmoogi Sistem Dua Buah Brane Pada sub bab ini dibahas impikasi kosmoogi untuk sistem dua buah brane. Persamaan-persamaan efektif -dimensi untuk brane yang memiiki tegangan positif dapat dinyatakan kembai daam bentuk persamaan dinamika berikut: ( Ψ) R ( + ) κ T ( + ) T + κ T T = δ + δ Ψ Ψ ( Ψ) ω + δ D D Ψ+ D D Ψ+ D ΨD Ψ Ψ Ψ ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( ) ( + ) ( + ) dω ( + ) ( + ) κ T + T Ψ+ Ψ Ψ= D D D D ω+ dψ ω+ dengan parameter koping ω ( Ψ ) didefinisikan oeh Ψ, (V.99), (V.) Ψ ω ( Ψ ) = Ψ, (V.) 6

19 Medan skaar Ψ daam ungkapan medan φ adaah Ψ= exp( e φ ), (V.) yang mengimpikasikan Ψ [,]. Daam imit Ψ berhubungan dengan gravitasi daam reativitas umum dan terkait dengan keadaan di mana kedua brane terpisah pada jarak yang sangat besar, Sedangkan daam imit d( x) = e φ = n( Ψ), φ +. (V.) Ψ kedua brane bertumbukan: d, φ. berhubungan dengan sebuah keadaan di mana Materi fuida pada brane yang memiki tegangan positif adaah fuida idea, ( ρ ), T P UU Pg P + = + + = Γ, (V.) di mana Γ adaah indeks barotropik. Misanya, Γ = / menyatakan materi radiasi dan Γ = berhubungan dengan konstanta kosmoogi. Pada brane yang memiki tegangan negatif, tensor energi-momentumnya diberikan oeh ( ) ( T = λ ) () t δ, (V.5) Jika metrik induksi pada brane diberikan oeh metrik FRW, persamaan (V.6), maka menghasikan hukum kekekaan untuk fuida idea, a ρ = Γ ρ, ρ = ρa Γ, (V.6) a dan persaman untuk λ ( ) adaah λ λ Sousi persamaan ini adaah ( ) ( ) = Ψ. (V.7) Ψ ( ) exp( e φ ) λ = λ Ψ = λ. (V.8) ( ) ( ) ( ) Jadi evousi dari materi pada brane yang memiki tegangan negatif diparameterisasi oeh jarak wajar antara kedua brane. Jika φ adaah besar (jarak antara brane menjadi besar) materi pada brane yang memiki tegangan negatif menjadi enyap λ. Sebaiknya, jika jarak antara brane menjadi keci, maka materi pada brane yang memiki tegangan negatif, niainya tidak no. 7

20 Dengan metrik FRW, persamaan medan -dimesi (V.99) dan (V.) dapat diperoeh sebagai berikut: ( Ψ) ( Ψ)( Γ) κ ( Ψ) ( Γ) Ψ κ Ψ+ HΨ+ = ρ H ( Γ) κ λ, (V.9) H + H = ρ, (V.) 6 Ψ Ψ κ Ψ Ψ Ψ Ψ ( ) + H = ρ ( Ψ) ( ) λ. (V.) Persamaan (V.9) dan (V.) berturut-turut adaah persamaan dinamika untuk Ψ dan H dan persamaan (V.) adaah persamaan Friedmann. Persamaan (V.) tidak mengandung suku tambahan yang menggambarkan pengaruh dari brane yang memiki tegangan negatif dan medan skaar. Sedangkan persamaan (V.9) mengandung suku tambahan pada ruas kanan persamaannya yang menunjukan ketidakinearan persamaan. Berikut ini dikaji sousi-sousi khusus dari persamaan-persamaan tersebut. V.5. Dinamika Radion Pertama tinjau kasus Γ = (konstanta kosmoogi). Hukum kekekaan (V.6) menghasikan ρ = ρ = konstan, dan persamaan (V.) menjadi κ + H = ρ, (V.) H Sousi trivia dari persamaan ini diberikan oeh parameter Hubbe konstan, H = ( κ / ) ρ tetapi ini bukan sousi umum (ihat pasa V.5.). Untuk sousi trivia menghasikan evousi faktor skaa daam bentuk eksponensia: exp κ a = a ρ t. (V.) Persamaan (V.) dapat diseesaikan secara ajabar dan menghasikan sousi κ Ψ= ρ ρ exp ρ ± λ ( ) A t, (V.) 8

21 di mana A adaah konstanta integrasi. Dengan memiih kontanta integrasi / / A = ρ λ maka ρ κ Ψ= exp ρ t ± λ, (V.5) Sousi persamaan (V.) menentukan jarak wajar antara kedua brane φ κ λ dt () = e = n Aexp t ± ( ) () t ρ ρ Untuk t + maka d + dan juga diperoeh sebuah sousi ( λ ρ) ± ( ) c n /, κ ρ, (V.6) t = t = A d =. (V.7) Sousi persamaan (V.) tidak memiiki singuaritas ketika brane bertumbukan d = dan dapat diteruskan untuk daerah di mana dt () <. Ini dapat diinterpretasikan sebagai suatu perubahan kedudukan kedua brane sepanjang ( + ) sumbu-y: untuk perubahan kedudukan ( σ, σ ) berhubungan dengan dt () > ( ) ( + ) dan dt () < untuk arah sebaiknya ( σ, σ ). Kanno, dkk., () memperkenakan skenario kosmoogi BAB (Born-Again-Braneword) bahwa tanda dari tegangan brane dapat berubah seteah tumbukan, σ ( ) σ ( + ). Dari pembahasan di atas mekanisma ini muncu secara aamiah. Misanya untuk kasus d = ( Ψ), (V.8) berhubungan dengan peruasan domain Ψ yaitu Ψ [,]. Berikut ditinjau evousi dari jarak wajar untuk dt () < untuk masing-masing tanda yang diberikan oeh sousi persamaan (V.5). Untuk sousi negatif, jika t = maka d. Kemudian jarak wajar antara brane memiiki domain pada seuruh sumbu rii faktor skaa at () d [, ] untuk tidak pernah enyap. Sedangkan untuk sousi positif t [, + ] dan ( ) λ t +, d = n <, (V.9) ρ 9

22 Gambar V. Jarak wajar antara dua buah brane untuk Γ =, tanpa pengaruh radiasi geap. Warna merah adaah kurva untuk og(.5(exp(. t)- )) dan kurva warna biru untuk og(.5(exp(. t)-)). Daam ha ini dua buah brane dipisahkan pada jarak berhingga dan faktor skaa eksponensia (V.) pada brane yang memiiki tegangan positif cenderung menuju no (aam semesta memiiki singuaritas t + ). Situasi ini diperihatkan pada Gambar V.. Konstanta-konstanta ditetapkan sebagai berikut : / A ρ / λ / = =.5, ( κλ / / ) =. dan ( κ ρ / ) =.. Berikutnya tinjau untuk faktor skaa pada brane yang memiiki tegangan positif yang digambarkan oeh sebuah fungsi pangkat a = a t m. Dari persamaan (V.) dan hukum kekekaan, sousi untuk indek pangkatnya adaah m = /Γ, Γ, dan sebuah kendaa untuk niai awa adaah κ ρ Γ ( a ) =. (V.) 9 Γ Sehingga evousi untuk faktor skaa dan parameter Hubbe diberikan oeh

23 / at () at =, H= t. Γ (V.) Persamaan-persamaan evousi ini terkait dengan jarak wajar yang diberikan oeh / κλ Γ Γ / dt () = n At t, Γ Γ (V.) κ dt n At λ = n t, Γ (V.) Gambar V. Jarak wajar antara dua buah brane untuk Γ = /, Γ = / dan Γ = /. Kurva warna merah, biru, hitam, kuning dan hijau masingmasing untuk kurva: og(.(t.5 +t)), og(.(t -t)), og(.(t +t)), og(.(t-og(t))) dan og(.(t+og(t))). di mana A dan A adaah konstanta integrasi. Dari ungkapan ini dapat ditentukan waktu terjadi tumbukan, t, antara kedua brane. Daam ha ini diperoeh t. c Berarti bahwa faktor skaa adaah reguar pada saat terjadi tumbukan dan bagi pengamat yang berada pada brane yang memiiki tegangan positif tumbukan ini tidak diamati, karena tidak ada pengaruh evousi dari faktor skaa. Pada saat t = c

24 adaah singuar, jarak antara kedua brane cenderung menuju dan faktor skaa menuju no (singuaritas). Jika konstanta integrasi A dipiih sebagai berikut maka diperoeh Γ κλ / A = Γ, (V.) Dapat diihat bahwa untuk t Γ Ψ= Γκ λ ( ) ( t /Γ ) t, (V.5) (ate times) maka Ψ dan sousinya mendekati sousi reativitas umum. Situasi ini ditunjukan pada Gambar V.. V.5. Pengaruh Radiasi Geap Secara umum persamaan (V.) adaah persamaan diferensia orde dua untuk factor skaa: ( a ) d dt Integrasi pertama terhadap waktu menghasikan κ ρ Γ = ( Γ ) a. (V.) a Γ d a + κ ρ κ ρ = dt, (V.) C di mana C adaah konstanta integrasi sebagai suku radiasi geap yang membawa informasi pengaruh buk pada brane. Persamaan (V.) menghasikan persamaan Friedmann κ C H = ρ +, (V.) a Berikut ini ditinjau untuk berbagai niai dari indeks barotropikγ : Γ=. Sousi dari persamaan (V.) adaah κ ρ C a t t = exp ( ) κ ρ κ ρexp ( t t) Γ= /., (V.5)

25 κ ρ a = + C( t t ), H = t t ( ), (V.6) Jadi untuk kasus materi radiasi, radiasi geap tidak berpengaruh pada parameter Hubbe dari brane yang memiki tegangan positif. Γ= /. κ ρ C a t t H κ ρ ( t t ) = ( ), = κ ρ a. (V.7) Γ= di mana a / / = β + C β + C, (V.8) κρ β = ( t t ) C 8 8 ( t t ) C κ ρ ( t t ) κ ρ (V.9) Persamaan (V.) dapat digunakan untuk mencari sousi numerik dari medan Ψ dengan bentuk sebagai berikut κ ρ ( Ψ) Ψ Ψ κ λ ( Ψ) C H + =, (V.) Γ a Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ a dengan H dan a ditentukan dari persamaan (V.). V.6 Rangkuman Pada bab ini teah diperoeh persamaan-persamaan gravitasiona energi rendah pada brane untuk sistem satu buah brane dan dua buah brane. Persamaanpersamaan evousi buk diseesaikan secara iteratif dengan mengekspansi persamaan-persamaan yang reevan daam parameter ekspansi ε = (/ L) < <, dengan adaah skaa kurvatur buk dan L adaah skaa kurvatur brane. Ekspansi orde- menghasikan ketertaaan antara tegangan brane dan konstanta kosmoogi buk. Persamaan reativitas umum dengan suku-suku koreksi diperoeh untuk ekspansi orde- dan seterusnya. Untuk sistem satu buah brane, terdapat suku non oka τ dan dua buah parameter bebas yang berhubungan dengan derajat

26 kebebasan buk. Disamping itu pua, persamaan medan gravitasiona menjadi tertutup, yaitu dapat ditentukan meaui besaran-besaran pada brane. Aspek kosmoogi untuk masing-masing konfigurasi menghasikan persamaan Friedmaan termodifikasi oeh keberadaan tensor Wey terproyeksi yang diinterpretasikan sebagai radiasi geap daam mode kosmoogi FRW. Ditinjau pua sebuah skenario kosmoogi di mana dua buah brane bergerak dan bertumbukan di daam ruang-waktu buk 5-dimensi. Materi pada brane yang memiiki tegangan positif digambarkan oeh fuida idea dan pada brane yang memiiki tegangan negatif adaah konstanta kosmoogi bergantung waktu. Diperoeh sousi-sousi khusus untuk faktor skaa pada brane yang memiiki tegangan positif dan radion yang menentukan jarak wajar antara kedua brane. Dari sousi anaitik juga menunjukkan bahwa evousi dari faktor skaa adaah berbeda untuk atar beakang materi dengan indeks barotropik berbeda.