METODE ELEMEN BATAS (MEB) UNTUK SOLUSI NUMERIK MASALAH STATIK DARI MATERIAL ELASTIS ISOTROPIK TAK-HOMOGEN
|
|
- Shinta Agusalim
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 METODE ELEMEN BATAS (MEB) UNTUK SOLUSI NUMERIK MASALAH STATIK DARI MATERIAL ELASTIS ISOTROPIK TAK-HOMOGEN Mohammad Ivan Azis ) ABSTRACT A boundary element method is derived for the solution of static boundary value problems for inhomogeneous isotropic elastic materials. Some particular problems are considered to illustrate the application of the method. Keywords: Boundary Element Method, Static, Boundary Value Problem, Inhomogeneous, Isotropic, Elastic ) Dosen tetap pada Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Hasanuddin Makassar PENDAHULUAN Pendekatan persamaan integral untuk masalah nilai batas elastostatik sudah lama telah diperkenalkan oleh Rizzo (1967). Sejak saat itu sudah banyak penulis yang ikut menggunakan metode elemen batas untuk menentukan solusi numerik dari berbagai masalah statik untuk material elastis, isotropik dan homogen (lihat misalnya Brebbia dan Dominguez (1989)). Dalam pertentangan, applikasi dari metode elemen batas ke masalah untuk material elastis isotropik tak-homogen sangat terbatas jumlahnya dan hal ini disebabkan oleh karena kesulitan dalam memperoleh 1
2 fungsi Green sebagai kernel dari persamaan integral batas yang bersesuaian. Baru-baru ini Manolis and Shaw (1996) menurunkan suatu fungsi Green dari persamaan gelombang vektor untuk media isotropik heterogen lemah (mildly heterogeneous). Fungsi Green ini diturunkan untuk material dengan parameter yang bervariasi secara tertentu dan secara khusus terbatas untuk kasus dimana parameter Lamé λ dan µ sama. Hal ini berarti nilai ratio Poisson s adalah 0, 25 yang membatasi applikasi. Tetapi seperti yang Manolis dan Shaw (1996) katakan nilai ratio Poisson s ini adalah biasa untuk material batuan (lihat Turcotte dan Schubert (1982)). Tulisan ini mengembangkan kerja Manolis dan Shaw (1996) untuk membangun suatu prosedur perturbasi untuk menentukan solusi masalah statik dua dimensi untuk media isotropik tak-homogen dengan parameter Lamé λ(x) = λ (0) g(x) + ɛλ (1) (x), µ(x) = µ (0) g(x) + ɛµ (1) (x), dimana x = (x 1, x 2, x 3 ) adalah suatu vektor di R 3, g(x) suatu fungsi yang memenuhi batasan tertentu, λ (0) = µ (0) adalah konstanta dan ɛ suatu parameter kecil. Dalam batasan ini, bentuk parameter Lamé di atas menawarkan pilihan keberagaman parameter λ(x) dan µ(x) yang cukup luas. PERSAMAAN DASAR Dengan merujuk pada kerangka Cartesian Ox 1 x 2 x 3 persamaan kesetimbangan (the equilibrium equations) dalam suatu material elastis tanpa gaya badan (body force) dapat ditulis dalam bentuk σ ij,j = 0, (1) dimana σ ij untuk i, j = 1, 2, 3 melambangkan tensor stress, tanda koma terindeks mengindikasikan turunan parsial terhadap kordinat 2
3 spasial x j dan konvensi penjumlahan indeks berulang (jumlahan dari 1 sampai 3) diterapkan. Hubungan displacement-stress dapat dituliskan sebagai σ ij = λ(x) δ ij u k,k + µ(x) (u i,j + u j,i ), (2) dimana u k untuk k = 1, 2, 3 menyatakan displacement dan δ ij adalah operator delta Kronecker. Juga dalam Pers. (2) λ(x) dan µ(x) dengan x = (x 1, x 2, x 3 ) adalah parameter Lamé yang diasumsikan fungsi yang punya turunan kedua (twice differentiable). Substitusi Pers. (2) ke Pers. (1) menghasilkan [λ(x) δ ij u k,k + µ(x) (u i,j + u j,i )],j = 0. (3) MASALAH NILAI BATAS Suatu material isotropik tak-homogen berada pada daerah Ω dalam ruang tiga dimensi R 3 dengan batas Ω yang terdiri atas sejumlah berhingga permukaan tertutup dan mulus (smooth) bagian demi bagian. Pada Ω 1 displacement u i ditentukan dan pada Ω 2 vektor stress P i = σ ij n j diketahui dimana Ω = Ω 1 Ω 2 dan n = (n 1, n 2, n 3 ) melambangkan vektor normal satuan mengarah keluar pada permukaan Ω. Dikehendaki untuk menentukan displacement dan stress dalam material. Dengan demikian solusi untuk Pers. (3) yang berlaku dalam domain Ω dan memenuhi syarat batas pada Ω akan dicari. PENURUNAN PERSAMAAN DENGAN KOFI- SIEN KONSTAN Dalam pasal ini prosedur yang dikembangkan dalam Manolis dan Shaw (1996) dipakai untuk menurunkan suatu metode persamaan integral batas untuk kelas kofisien λ(x) and µ(x) tertentu. Penurunan ini diperoleh dengan memperkenalkan suatu transformasi dari peubah 3
4 tak-bebas u i (x) untuk mentransformasikan Pers. (3) ke suatu persamaan dengan kofisien konstan. Kofisien λ(x) dan µ(x) disyaratkan mengikuti bentuk λ(x) = λ (0) g(x), µ(x) = µ (0) g(x), (4) dimana λ (0) dan µ (0) konstan. Misalkan ψ i (x) = g 1/2 (x) u i (x) (5) Substitusi Pers. (4) dan Pers. (5) ke dalam Pers. (3) menghasilkan g [ 1/2 λ (0) δ ij ψ k,k + µ (0) (ψ i,j + ψ j,i ) ],j [ λ (0) ψ k g 1/2,ki + µ (0) ψ i g 1/2,jj + µ (0) ψ j g 1/2 ],ij ( λ (0) µ (0)) [ ] 1 2 g 1/2 [g,k ψ k,i g,i ψ k,k ] = 0. (6) Jika g(x) diasumsikan memiliki bentuk g(x) = (αx 1 + βx 2 + γx 3 + δ) 2, (7) dimana α, β, γ dan δ adalah konstanta dan λ (0) = µ (0), (8) sehingga λ(x) = µ (0) (αx 1 + βx 2 + γx 3 + δ) 2 = µ(x) maka Pers. (6) dapat ditulis sebagai [ λ (0) δ ij ψ k,k + µ (0) (ψ i,j + ψ j,i ) ],j = 0 (dengan λ(0) = µ (0) ). (9) Dengan kata lain, jika ψ i adalah solusi displacement dari persamaan kesetimbangan untuk material isotropik homogen dengan konstanta 4
5 Lamé λ (0) dan µ (0) maka solusi bersesuaian dari persamaan kesetimbangan untuk material elastis isotropik tak-homogen dengan parameter Lamé λ(x) dan µ(x) yang diberikan dalam bentuk multiparameter Pers. (4) dapat ditulis, dari Pers. (5), dalam bentuk u i (x) = g 1/2 (x) ψ i (x) = (αx 1 + βx 2 + γx 3 + δ) 1 ψ i (x). Tensor stress diperoleh dari Pers. (2) diberikan oleh dimana σ ij = ψ k σ [g] ijk + g1/2 σ [ψ] ij σ [g] ijk = λ (0) δ ij (g 1/2 ),k + µ (0) [ δ ki (g 1/2 ),j + δ kj (g 1/2 ),i ], σ [ψ] ij = λ (0) δ ij ψ k,k + µ (0) (ψ i,j + ψ j,i ) dan vektor stress dimana P [g] ik P i = ψ k P [g] ik = σ[g] ijk n j, + g1/2 P [ψ] i, (10) P [ψ] i = σ [ψ] ij n j. (11) Persamaan integral batas untuk solusi Pers. (9) dengan ψ i diberikan pada Ω 1 dan P [ψ] i diberikan pada Ω 2 diberikan dalam Brebbia dan Dominguez (1989) dalam bentuk η ψ j (x 0 ) = Ω [ Φij P [ψ] i Γ ij ψ i ] ds. (12) dimana x 0 adalah titik sumber, η = 0 jika x 0 / Ω Ω, η = 1 jika x 0 Ω dan η = 1 jika x 2 0 Ω dan Ω memiliki tangen membelok 5
6 secara kontinyu pada x 0. Juga untuk kasus tiga dimensi 1 Φ ij = 16πµ (0) (1 ν)d [(3 4ν)δ ij + d,i d,j ], (13) 1 Γ ij = 8π(1 ν)d 2 [ ] d n {(1 2ν)δ ij + 3d,i d,j } + (1 2ν) (n i d,j n j d,i ) (14) dan untuk kasus dua dimensi 1 Φ ij = [(3 4ν) log 1 ] 8πµ (0) (1 ν) d δ ij + d,i d,j, (15) 1 Γ ij = 4π(1 ν)d [ ] d n {(1 2ν)δ ij + 2d,i d,j } + (1 2ν) (n i d,j n j d,i ), (16) dimana d = x x 0, ν = λ (0) /(2(µ (0) + λ (0) )) dan d/ n = d,k n k. Substitusi Pers. (5) dan Pers. (10) dalam Pers. (12) menghasilkan [( ) ηg 1/2 (x 0 )u j (x 0 ) = g 1/2 Φ ij Pi ( g 1/2 Γ kj P [g] ki Φ ] ij) uk ds. Ω (17) Persamaan integral batas ini dapat dipakai untuk penentuan solusi u i dan σ ij pada semua titik dalam domain Ω. METODE PERTURBASI Prosedur elemen batas yang disebutkan dalam pasal sebelumnya menawarkan metode numerik efektif untuk penentuan solusi u i (x) pada saat g(x) memiliki bentuk Pers. (7) dan parameter λ (0) dan µ (0) memenuhi Pers. (8). Pada pasal ini suatu prosedur baru ditemukan untuk kasus pada saat kofisien λ(x) dan µ(x) diganggu sedikit 6
7 (perturbed) di sekitar λ (0) g(x) dan µ (0) g(x) sementara Pers. (7) dan Pers. (8) tetap dipertahankan. Kofisien λ(x) dan µ(x) disyaratkan mengambil bentuk dengan λ(x) = λ (0) g(x) + ɛλ (1) (x), (18) µ(x) = µ (0) g(x) + ɛµ (1) (x), (19) λ (0) = µ (0) and g 1/2,ij = 0 dimana λ (1) dan µ (1) fungsi yang memiliki turunan kedua. Sehingga dari Pers. (3) [ g { λ (0) δ ij u k,k + µ (0) (u i,j + u j,i ) }],j = ɛ [ λ (1) δ ij u k,k + µ (1) (u i,j + u j,i ) ],j. (20) Penggunaan transformasi (5) dan mengikuti analisis yang digunakan untuk menurunkan Pers. (6) dari Pers. (3) menghasilkan [ λ (0) δ ij ψ k,k + µ (0) (ψ i,j + ψ j,i ) ],j = ɛg 1/2 [ λ (1) δ ij u k,k + µ (1) (u i,j + u j,i ) ],j. (21) Solusi dari Pers. (21) dicari dalam bentuk ψ i (x) = r=0 ɛ r ψ (r) i (x). (22) Dari Pers. (5) dan Pers. (22) displacement u k dapat dituliskan dalam bentuk deret u k (x) = ɛ r u (r) k (x), (23) r=0 7
8 dimana u (r) k berkorespondensi dengan ψ (r) k menurut relasi ψ (r) k (x) = g1/2 u (r) (x), untuk r = 0, 1,.... (24) k Substitusi Pers. (22) ke dalam Pers. (21) dan menyamakan kofisien dari suku-suku dalam ɛ berpangkat menghasilkan [ λ (0) δ ij ψ (r) k,k + ( µ(0) ψ (r) i,j + ψ (r) )] j,i =,j h(r) untuk r = 0, 1,..., (25) dimana h (0) (x) = 0, (26) h (r) (x) = g 1/2 [ λ (1) δ ij u (r 1) k,k untuk r = 1, 2, µ (1) (u (r 1) i,j Persamaan integral untuk Pers. (25) adalah η(x 0 ) ψ (r) j (x 0 ) = + Ω untuk r = 0, 1,..., dimana P [ψ(r) ] i Ω [ Γ ij (x, x 0 ) ψ (r) + u (r 1) j,i ) ],j i (x) Φ ij (x, x 0 ) P [ψ(r) ] i ] (x) (27) ds(x) h (r) i (x) Φ ij (x, x 0 ) ds(x) (28) = [ λ (0) δ ij ψ (r) k,k + µ(0) ( ψ (r) i,j + ψ (r) j,i )] nj. Juga dimana P [ψ(r) ] i = g 1/2 P (r) i + u (r) k P [g] ik untuk r = 0, 1,..., (29) P (r) i (x) = [ λ (0) δ ij u (r) k,k + ( µ(0) u (r) i,j + u (r) )] j,i nj, (30) 8
9 dan P [g] ik diberikan dalam Pers. (11). Sehingga persamaan integral (28) dapat ditulis dalam bentuk η(x 0 ) g 1/2 (x 0 ) u (r) { (r) j (x 0 ) = u i (x) [ g 1/2 (x) Γ ij (x, x 0 ) Ω P [g] ki (x) Φ kj(x, x 0 ) ] P (r) i (x) [ g 1/2 (x) Φ ij (x, x 0 ) ]} ds(x) + Ω h (r) i (x) Φ ij (x, x 0 ) ds(x). (31) Nilai P i dapat ditulis sebagai dimana P i = gp (0) i + r=1 ɛ r (gp (r) i + G (r) i ), (32) G (r) i (x) = [ λ (1) δ ij u (r 1) k,k + µ (1) (u (r 1) i,j + u (r 1) j,i ) ] n j. Untuk memenuhi syarat batas seperti yang disebutkan dalam pasal sebelumnya disyaratkan bahwa u (0) P (0) i = u i pada Ω 1, i = g 1 P i pada Ω 2, dimana u i mengambil nilai tetapannya pada Ω 1 dan P i mengambil nilai tetapannya pada Ω 2. Akibatnya, bahwa untuk r = 1, 2,... dari Pers. (23) dan Pers. (32) diperoleh u (r) P (r) i i = 0 pada Ω 1, = g 1 G (r) i pada Ω 2 Sekarang, persamaan integral (31) dapat digunakan untuk menentukan nilai numerik dari anu (unknowns) pada batas Ω dan nilai 9
10 numerik dari u (r) i dan turunannya dalam domain Ω untuk r = 0, 1,.... Pers. (23) dan Pers. (32) kemudian memberikan nilai u i dan P i di seluruh domain Ω. HASIL NUMERIK Dalam pasal ini beberapa masalah renggangan bidang (plane strain) akan diselesaikan secara numerik dengan menggunakan persamaan integral yang diperoleh pada pasal sebelumnya. Dalam pemakaian metode ini untuk memperoleh hasil numerik prosedur elemen batas baku digunakan (lihat misalnya Clements (1981)). Untuk variasi parameter elastisitas terpilih ruas kanan dari Pers. (27) dianggap sangat kecil sehingga hanya perlu untuk mempertahankan dua suku pertama dari ekspresi deret Pers. (23). Untuk semua masalah yang diperhatikan domain Ω berupa suatu bujur sangkar bersisi l dan masing-masing sisi dari bujur sangkar itu dibagi menjadi sejumlah M (kelipatan dari 5) segmen dengan panjang sama. Integral numerik Gaussian dipakai untuk penghitungan integral garis pada setiap segmen. Sedangkan untuk integral domain dalam Pers. (31) domain dibagi atas sejumlah M 2 sel bujur sangkar yang sama dan fungsi yang diintegralkan (integrand) diasumsikan konstan dan mengambil nilainya pada titik pusat dari setiap sel. Tetapi, nilai dari solusi iterasi sebelumnya u (r 1) i beserta turunannya dalam Pers. (27) dihitung hanya pada sejumlah 5 5 titik pusat dari bujur sangkar bagian bersisi l/5 dan diasumsikan konstan di dalam setiap bujur sangkar bagian itu. Dengan kata lain nilai u (r 1) i beserta turunannya dalam suatu bujur sangkar bagian tertentu adalah sama untuk sejumlah (M/5) 2 sel yang termuat dalam bujur sangkar bagian itu. Problem 1 Perhatikan masalah nilai batas yang memenuhi solusi analitik u 1 = x 1/[4.4( x 1)], u 2 = x 2/[4.4( x 1)] dan σ 11 = 10
11 x 1, σ 12 = 0.1x 2/4.4, σ 22 = x 1 untuk suatu material dengan kofisien elastisitas λ (x) = 1.2( x 1) 2, (33) µ (x) = ( x 1) 2, (34) dimana x i = x i /l, u i = u i /u, σ ij = σ ij /P (untuk i, j = 1, 2), λ = λ/λ, µ = µ/λ, l, λ dan u masing-masing adalah panjang, modulus elastis dan displacement rujukan, serta P = λu/l. Kofisien elastisitas Pers. (33) dan Pers. (34) memiliki bentuk Pers. (18) dan Pers. (19) dengan g(x) = ( x 1) 2, λ (0) = µ (0) = λ, λ (1) = λ( x 1) 2, µ (1) = 0 dan ɛ = 0.2. Syarat batasnya (lihat Gambar 1) adalah dimana P i = P i /P. P 1 dan u 2 diketahui pada AB, P 1 dan P 2 diketahui pada BC, P 1 dan u 2 diketahui pada CD, u 1 dan u 2 diketahui pada AD, Tabel 1 2 memperlihatkan solusi eksak dan MEB untuk beberapa titik dalam domain dan untuk kasus dimana batas domain dibagi atas 80, 160 dan 320 segments. Hasil dalam tabel konvergen ke solusi eksak sejalan dengan bertambahnya jumlah segmen. Hal ini sesuai dengan apa yang diharapkan, karena semakin kecil ukuran segmen semakin akurat nilai integral numerik. Khusus untuk kasus 320 segmen solusi displacement memperlihatkan keakuratan sampai pada desimal keempat, dan solusi stress pada desimal ketiga. Problem 2 Perhatikan masalah nilai batas untuk suatu material bujur sangkar tak homogen yang diberi beban dari atas dan terklem pada bagian bawah serta dibiarkan bebas pada sisi kiri dan kanan, seperti 11
12 x 2 (0, 1) D P 1, u 2 diketahui C u 1, u 2 diketahui P 1, P 2 diketahui A P 1, u 2 diketahui B x 1 (1, 0) Gambar 1: Geometri untuk Problem 1 Tabel 1: Solusi MEB dan eksak untuk σ ij dari Problem 1 Posisi 80 segmen 160 segmen (x 1, x 2) σ 11 σ 12 σ 22 σ 11 σ 12 σ 22 (.1,.5) (.3,.5) (.5,.5) (.7,.5) (.9,.5) Posisi 320 segmen Eksak (x 1, x 2) σ 11 σ 12 σ 22 σ 11 σ 12 σ 22 (.1,.5) (.3,.5) (.5,.5) (.7,.5) (.9,.5)
13 Tabel 2: Solusi MEB dan eksak untuk u i dari Problem 1 Posisi 80 segmen 160 segmen 320 segmen Eksak (x 1, x 2) u 1 u 2 u 1 u 2 u 1 u 2 u 1 u 2 (.1,.5) (.3,.5) (.5,.5) (.7,.5) (.9,.5) terlihat pada Gambar 2. Material ini memiliki kofisien elastisitas λ (x) = 1.5(1 + αx 1 + βx 2) 2, (35) µ (x) = (1 + αx 1 + βx 2) 2. (36) Kofisien elastisitas pada Pers. (35) dan Pers. (36) memiliki bentuk Pers. (18) dan Pers. (19) dengan g(x) = (1+αx 1+βx 2) 2, λ (0) = µ (0) = λ, λ (1) = λ(1 + αx 1 + βx 2) 2, µ (1) = 0 dan ɛ = 0.5. Bila λ = ksi maka material yang diperhatikan adalah magnesium alloy. Kordinat titik sudut material ini adalah A(-0.5,-0.5), B(0.5,-0.5), C(0.5,0.5) dan D(-0.5,0.5), dan syarat pada batas adalah u 1 = 0, u 2 = 0, pada AB, P 1 = 0, P 2 = 0, pada BC, P 1 = 0, P 2 = 1, pada CD, P 1 = 0, P 2 = 0, pada AD. Empat kasus yang diperhatikan menyangkut kofisien keelastikan material λ dan µ yaitu kasus material homogen (α = β = 0) dan tiga kasus material tak-homogen (α = 0, β = 0.1; α = 0.1, β = 0; α = 0.1, β = 0.1). 13
14 D(-.5,.5) C(.5,.5) x 2 x 1 A(-.5,-.5) B(.5,-.5) Gambar 2: Geometri untuk Problem 2 Gambar 3 dan 4 memperlihatkan hasil deformasi sisi material dan sisi daerah 0.25 x , 0.25 x dalam material. Dari kedua gambar ini dapat disimpulkan bahwa fungsi ketakhomogenan g sangat mempengaruhi hasil deformasi. Dalam hal ini peningkatan nilai fungsi ketakhomogenan g akan meningkatkan nilai kofisien keelastikan khususnya rigiditas µ. Sistem kordinat baru X i dalam Gambar 3 dan 4 adalah sistem untuk material hasil deformasi. Dalam hal ini variabel kordinatnya didefinisikan sebagai X i = x i + u i untuk i = 1, 2. SUMMARY Metode elemen batas untuk solusi suatu kelas masalah nilai batas untuk material isotropik tak-homogen telah berhasil ditemukan. Metode ini cukup mudah digunakan untuk memperoleh solusi nu- 14
15 X α = 0.0, β = 0.0 α = 0.0, β = 0.1 α = 0.1, β = 0.0 α = 0.1, β = X 1 Gambar 3: Hasil deformasi sisi material X α = 0.0, β = 0.0 α = 0.0, β = 0.1 α = 0.1, β = 0.0 α = 0.1, β = X 1 Gambar 4: Hasil deformasi sisi daerah 0.25 x 1 x dalam material 0.25,
16 merik dari suatu masalah tertentu. Hasil numerik yang telah diperoleh mengindikasikan bahwa metode ini mampu memberikan solusi yang akurat. DAFTAR RUJUKAN Brebbia, C. A. dan Dominguez, J., (1989), Boundary Elements An Introductory Course, Computational Mechanics Publications, Boston. Clements, D. L., (1981), Boundary Value Problems Governed by Second Order Elliptic Systems, Pitman. Manolis, R. P. dan Shaw, R. P., (1996), Green s function for the vector wave equation in a mildly heterogeneous continuum, Wave Motion, Volume 24, Halaman Rizzo, F. J., (1967), An Integral Equation Approach to Boundary Value Problems of Classical Elastostatics. Quarterly of Applied Mathematics, Volume 25, Halaman Turcotte, D. L. dan Schubert, P., (1982), Geodynamic Applications of Continuum Physics to Geological Problems, Wiley, New York. 16
Metode Elemen Batas (MEB) untuk Model Konduksi-Konveksi dalam Media Anisotropik
Metode Elemen Batas (MEB) untuk Model Konduksi-Konveksi dalam Media Anisotropik Moh. Ivan Azis September 13, 2011 Daftar Isi 1 Pendahuluan 1 2 Masalah nilai batas 1 3 Persamaan integral batas 2 4 Hasil
Lebih terperinciMetode Elemen Batas (MEB) untuk Model Perambatan Gelombang
Metode Elemen Batas (MEB) untuk Model Perambatan Gelombang Moh. Ivan Azis September 13, 2011 Abstrak Metode Elemen Batas untuk masalah perambatan gelombang akustik (harmonis) berhasil diturunkan pada tulisan
Lebih terperinciModel Perpindahan dan Penyebaran Pollutan
Model Perpindahan dan Penyebaran Pollutan Moh. Ivan Azis Abstrak Metode Elemen Batas diturunkan untuk penentuan solusi masalah nilai batas yang membangun model Model Perpindahan dan Penyebaran Pollutan.
Lebih terperinciSuatu Metode Numerik Untuk Komputasi Perembesan Air Ke Dalam Tanah Pada Sistim Irigasi
Suatu Metode Numerik Untuk Komputasi Perembesan Air Ke Dalam Tanah Pada Sistim Irigasi Moh. Ivan Azis Abstrak Suatu metode numerik ditemukan untuk menghitung kandungan air dalam tanah pada suatu sistim
Lebih terperinciMETODE ELEMEN BATAS UNTUK MASALAH TRANSPORT
METODE ELEMEN BATAS UNTUK MASALAH TRANSPORT Agusman Sahari. 1 1 Jurusan Matematika FMIPA UNTAD Kampus Bumi Tadulako Tondo Palu Abstrak Dalam paper ini mendeskripsikan tentang solusi masalah transport polutan
Lebih terperinciSOLUSI NUMERIK PERSAMAAN LAPLACE DAN HELMHOLTZ DENGAN MENGGUNAKAN METODE ELEMEN BATAS
SOLUSI NUMERIK PERSAMAAN LAPLACE DAN HELMHOLTZ DENGAN MENGGUNAKAN METODE ELEMEN BATAS NUMERICAL SOLUTION OF LAPLACE AND HELMHOLTZ EQUATION BY BOUNDARY ELEMENT METHOD Cicilia Tiranda Dr. Jeffry Kusuma Dr.
Lebih terperinciMetode Elemen Batas (MEB) untuk Model Konduksi Panas
Metode Elemen Batas MEB) untuk Model Konduksi Panas Moh. Ivan Azis October 14, 011 Abstrak Metode Elemen Batas untuk masalah konduksi panas pada media ortotropik berhasil ditemukan pada tulisan ini. Solusi
Lebih terperinciSolusi Persamaan Helmholtz untuk Material Komposit
Vol. 13, No. 1, 39-45, Juli 2016 Solusi Persamaan Helmholtz untuk Material Komposit Jeffry Kusuma Abstrak Propagasi gelombang pada material homogen telah banyak dibahas dan didiskusikan oleh banyak ahli.
Lebih terperinciBab IV Persamaan Integral Batas
Bab IV Persamaan Integral Batas IV.1 Konvensi simbol ebelum memulai pembahasan, kita akan memperkenalkan sejumlah konvensi simbol yang akan digunakan pada tesis ini. imbol x, y, x 0 akan digunakan untuk
Lebih terperinciBab V Prosedur Numerik
Bab V Prosedur Numerik Pada bab ini, metode numerik digunakan untuk menghitung medan kecepatan, yakni dengan menghitung batas dan domain integral. Tensor tegangan tak Newton melalui persamaan Maxwell Linear
Lebih terperinciMETODE DEKOMPOSISI ADOMIAN UNTUK MENYELESAIKAN PERMASALAHAN NILAI BATAS PADA PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL NONLINEAR ABSTRACT
METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN UNTUK MENYELESAIKAN PERMASALAHAN NILAI BATAS PADA PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL NONLINEAR Birmansyah 1, Khozin Mu tamar 2, M. Natsir 2 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika
Lebih terperinciMODIFIKASI METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH NILAI AWAL SINGULAR PADA PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE DUA ABSTRACT
MODIFIKASI METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH NILAI AWAL SINGULAR PADA PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE DUA Kristiani Panjaitan 1, Syamsudhuha 2, Leli Deswita 2 1 Mahasiswi Program
Lebih terperinciBab III Model Proses Deformasi Benang Viscoelastis Linear di Lingkungan Fluida Newton
Bab III Model Proses Deformasi Benang Viscoelastis Linear di Lingkungan Fluida Newton III.1 Stress dan Strain Salah satu hal yang penting dalam pengkonstruksian model proses deformasi suatu fluida adalah
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Matematika merupakan suatu ilmu pengetahuan yang sering disebut sebagai induk dari ilmu-ilmu pengetahuan yang lain. Hal ini karena, matematika banyak diterapkan
Lebih terperinciBab II Konsep Dasar Metode Elemen Batas
Bab II Konsep Dasar Metode Elemen Batas II.1 II.1.1 Kalkulus Dasar Teorema Gradien Misal menyatakan domain pada ruang dimensi dua dan menyatakan batas i x + j 2 2 x 2 + 2 2 elanjutnya, penentuan integral
Lebih terperinciLAMPIRAN I. Alfabet Yunani
LAMPIRAN I Alfabet Yunani Alha Α Nu Ν Beta Β Xi Ξ Gamma Γ Omicron Ο Delta Δ Pi Π Esilon Ε Rho Ρ Zeta Ζ Sigma Σ Eta Η Tau Τ Theta Θ Usilon Υ Iota Ι hi Φ, Kaa Κ Chi Χ Lambda Λ Psi Ψ Mu Μ Omega Ω LAMPIRAN
Lebih terperinciKONSEP METODE ITERASI VARIASIONAL ABSTRACT
KONSEP METODE ITERASI VARIASIONAL Yuliani 1, Leli Deswita 2, Agusni 2 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2 Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus
Lebih terperincimatematis dari tegangan ( σ σ = F A
TEORI PERAMBATAN GELOMBANG SEISMIk Gelombang seismik merupakan gelombang yang merambat melalui bumi. Perambatan gelombang ini bergantung pada sifat elastisitas batuan. Gelombang seismik dapat ditimbulkan
Lebih terperinciPENYELESAIAN MASALAH NILAI AWAL PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE DUA MENGGUNAKAN MODIFIKASI METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN
Buletin Ilmiah Mat. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 04, No. 1 (2015), hal 9 16. PENYELESAIAN MASALAH NILAI AWAL PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE DUA MENGGUNAKAN MODIFIKASI METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN
Lebih terperinciPENYELESAIAN PERSAMAAN POISSON 2D DENGAN MENGGUNAKAN METODE GAUSS-SEIDEL DAN CONJUGATE GRADIENT
Teknikom : Vol. No. (27) E-ISSN : 2598-2958 PENYELESAIAN PERSAMAAN POISSON 2D DENGAN MENGGUNAKAN METODE GAUSS-SEIDEL DAN CONJUGATE GRADIENT Dewi Erla Mahmudah, Muhammad Zidny Naf an 2 STMIK Widya Utama,
Lebih terperinciPenyelesaian Persamaan Poisson 2D dengan Menggunakan Metode Gauss-Seidel dan Conjugate Gradient
Teknikom : Vol. No. (27) ISSN : 2598-2958 (online) Penyelesaian Persamaan Poisson 2D dengan Menggunakan Metode Gauss-Seidel dan Conjugate Gradient Dewi Erla Mahmudah, Muhammad Zidny Naf an 2 STMIK Widya
Lebih terperinciBAB III TEORI FISIKA BATUAN. Proses perambatan gelombang yang terjadi didalam lapisan batuan dikontrol oleh
BAB III TEORI FISIA BATUAN III.1. Teori Elastisitas Proses perambatan gelombang yang terjadi didalam lapisan batuan dikontrol oleh sifat elastisitas batuan, yang berarti bahwa bagaimana suatu batuan terdeformasi
Lebih terperinciPengantar Metode Perturbasi Bab 1. Pendahuluan
Pengantar Metode Perturbasi Bab 1. Pendahuluan Mahdhivan Syafwan Jurusan Matematika FMIPA Universitas Andalas PAM 454 KAPITA SELEKTA MATEMATIKA TERAPAN II Semester Ganjil 2016/2017 Review Teori Dasar Terkait
Lebih terperinciSOLUSI NUMERIK PERSAMAAN INTEGRAL VOLTERRA-FREDHOLM NONLINEAR MENGGUNAKAN FUNGSI BASIS BARU ABSTRACT
SOLUSI NUMERIK PERSAMAAN INTEGRAL VOLTERRA-FREDHOLM NONLINEAR MENGGUNAKAN FUNGSI BASIS BARU Vanny Octary 1 Endang Lily 2 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2 Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika
Lebih terperinciBab 4 DINDING SINUSOIDAL SEBAGAI REFLEKTOR GELOMBANG
Bab 4 DINDING SINUSOIDAL SEBAGAI REFLEKTOR GELOMBANG Pada bab sebelumnya telah dibahas mengenai dasar laut sinusoidal sebagai reflektor gelombang. Persamaan yang digunakan untuk memodelkan masalah dasar
Lebih terperinciMetode elemen batas untuk menyelesaikan masalah perpindahan panas
Metode elemen batas untuk menyelesaikan masalah perpindahan panas Imam Solekhudin 1 Jurusan Matematika FMIPA UGM Yogyakarta, imams@ugm.ac.id Abstrak. Permasalahan perpindahan panas keadaan stasioner dimodelkan
Lebih terperinciMETODE DEKOMPOSISI ADOMIAN LAPLACE UNTUK SOLUSI PERSAMAAN DIFERENSIAL NONLINIER KOEFISIEN FUNGSI
METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN LAPLACE UNTUK SOLUSI PERSAMAAN DIFERENSIAL NONLINIER KOEFISIEN FUNGSI Yuni Yulida Program Studi Matematika FMIPA Unlam Universitas Lambung Mangkurat Jl. Jend. A. Yani km. 36
Lebih terperinciPENERAPAN TRANSFORMASI SHANK PADA METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR ABSTRACT
PENERAPAN TRANSFORMASI SHANK PADA METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR Muliana 1, Syamsudhuha 2, Musraini 2 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2 Dosen Jurusan Matematika
Lebih terperinciBab 2 TEORI DASAR. 2.1 Linearisasi Persamaan Air Dangkal
Bab 2 TEORI DASAR 2.1 Linearisasi Persamaan Air Dangkal Persamaan air dangkal merupakan persamaan untuk gelombang permukaan air yang dipengaruhi oleh kedalaman air tersebut. Kedalaman air dapat dikatakan
Lebih terperinciBAB II PERAMBATAN GELOMBANG SEISMIK
BAB II PERAMBATAN GELOMBANG SEISMIK.1 Teori Perambatan Gelombang Seismik Metode seismik adalah sebuah metode yang memanfaatkan perambatan gelombang elastik dengan bumi sebagai medium rambatnya. Perambatan
Lebih terperinciPersamaan Poisson. Fisika Komputasi. Irwan Ary Dharmawan
(Pendahuluan) 1D untuk syarat batas Robin 2D dengan syarat batas Dirichlet Fisika Komputasi Jurusan Fisika Universitas Padjadjaran http://phys.unpad.ac.id/jurusan/staff/dharmawan email : dharmawan@phys.unpad.ac.id
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Air merupakan kebutuhan penting bagi pertumbuhan tanaman. Namun, pada saat musim kemarau tiba atau di daerah dengan intensitas hujan rendah, ketersediaan air
Lebih terperinciMETODE BENTUK NORMAL PADA PENYELESAIAN PERSAMAAN RAYLEIGH
Jurnal Matematika UNAND Vol. 5 No. 3 Hal. 77 84 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND METODE BENTUK NORMAL PADA PENYELESAIAN PERSAMAAN RAYLEIGH EKA ASIH KURNIATI, MAHDHIVAN SYAFWAN, RADHIATUL
Lebih terperinciPEMBAHASAN. (29) Dalam (Grosen 1992), kondisi kinematik (19) dan kondisi dinamik (20) dapat dinyatakan dalam sistem Hamiltonian berikut : = (30)
5 η = η di z = η (9) z x x z x x Dalam (Grosen 99) kondisi kinematik (9) kondisi dinamik () dapat dinyatakan dalam sistem Hamiltonian : δ H t = () δη δ H ηt = δ Dengan mengenalkan variabel baru u = x maka
Lebih terperinciMODIFIKASI METODE HOMOTOPY PERTURBASI UNTUK PERSAMAAN NONLINEAR DAN MEMBANDINGKAN DENGAN MODIFIKASI METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN ABSTRACT
MODIFIKASI METODE HOMOTOPY PERTURBASI UNTUK PERSAMAAN NONLINEAR DAN MEMBANDINGKAN DENGAN MODIFIKASI METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN Handico Z Desri 1, Syamsudhuha 2, Zulkarnain 2 1 Mahasiswa Program Studi S1
Lebih terperinciKONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL
KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL A. PENGERTIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL Dalam pelajaran kalkulus, kita telah berkenalan dan mengkaji berbagai macam metode untuk mendiferensialkan suatu fungsi (dasar). Sebagai
Lebih terperinciPENDEKATAN TEORITIK. Elastisitas Medium
PENDEKATAN TEORITIK Elastisitas Medium Untuk mengetahui secara sempurna kelakuan atau sifat dari suatu medium adalah dengan mengetahui hubungan antara tegangan yang bekerja () dan regangan yang diakibatkan
Lebih terperinciBAB III METODE KAJIAN
24 BAB III METODE KAJIAN 3.1 Persiapan Memasuki tahap persiapan ini disusun hal-hal penting yang harus dilakukan dalam rangka penulisan tugas akhir ini. Adapun tahap persiapan ini meliputi hal-hal sebagai
Lebih terperinciMETODE ITERASI KSOR UNTUK MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR ABSTRACT
METODE ITERASI KSOR UNTUK MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR Adek Putri Syafriani, Syamsudhuha 2, Zulkarnain 2 Mahasiswa Program Studi S Matematika 2 Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan
Lebih terperinciPENGGUNAAN METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN UNTUK MENYELESAIKAN PERMASALAHAN PADA KALKULUS VARIASI ABSTRACT
PENGGUNAAN METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN UNTUK MENYELESAIKAN PERMASALAHAN PADA KALKULUS VARIASI Febrian Lisnan, Asmara Karma 2 Mahasiswa Program Studi S Matematika 2 Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika
Lebih terperinciBAB V PERAMBATAN GELOMBANG OPTIK PADA MEDIUM NONLINIER KERR
A V PERAMATAN GELOMANG OPTIK PADA MEDIUM NONLINIER KERR 5.. Pendahuluan erkas (beam) optik yang merambat pada medium linier mempunyai kecenderungan untuk menyebar karena adanya efek difraksi; lihat Gambar
Lebih terperinciBab 2. Geometri Riemann dan Persamaan Ricci Flow. 2.1 Geometri Riemann Manifold Riemannian
Bab 2 Geometri Riemann dan Persamaan Ricci Flow 2.1 Geometri Riemann Geometri Riemann pertama kali dikemukakan secara general oleh Bernhard Riemann pada abad ke 19. Pada bagian ini akan diberikan penjelasan
Lebih terperinciBAB II KAJIAN TEORI. representasi pemodelan matematika disebut sebagai model matematika. Interpretasi Solusi. Bandingkan Data
A. Model Matematika BAB II KAJIAN TEORI Pemodelan matematika adalah proses representasi dan penjelasan dari permasalahan dunia real yang dinyatakan dalam pernyataan matematika (Widowati dan Sutimin, 2007:
Lebih terperinciPertemuan 1 dan 2 KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL
Pertemuan 1 dan 2 KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL A. PENGERTIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL Dalam pelajaran kalkulus, kita telah berkenalan dan mengkaji berbagai macam metode untuk mendiferensialkan suatu
Lebih terperinciDAFTAR SIMBOL. : permeabilitas magnetik. : suseptibilitas magnetik. : kecepatan cahaya dalam ruang hampa (m/s) : kecepatan cahaya dalam medium (m/s)
DAFTAR SIMBOL n κ α R μ m χ m c v F L q E B v F Ω ħ ω p K s k f α, β s-s V χ (0) : indeks bias : koefisien ekstinsi : koefisien absorpsi : reflektivitas : permeabilitas magnetik : suseptibilitas magnetik
Lebih terperinciMETODE TRANSFORMASI ELZAKI DALAM MENYELESAIKAN PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA LINEAR ORDE DUA DENGAN KOEFISIEN VARIABEL ABSTRACT
METODE TRANSFORMASI ELZAKI DALAM MENYELESAIKAN PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA LINEAR ORDE DUA DENGAN KOEFISIEN VARIABEL Marpipon Haryandi 1, Asmara Karma 2, Musraini M 2 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika
Lebih terperinciKestabilan Aliran Fluida Viskos Tipis pada Bidang Inklinasi
1 Jurnal Matematika, Statistika, & Komputasi Vol 5 No 1, 1-9, Juli 2008 Kestabilan Aliran Fluida Viskos Tipis pada Bidang Inklinasi Sri Sulasteri Jurusan Pend. Matematika UIN Alauddin Makassar Jalan Sultan
Lebih terperinciMETODE ITERASI VARIASIONAL HE UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN INTEGRAL VOLTERRA-FREDHOLM NONLINEAR ABSTRACT ABSTRAK
METODE ITERASI VARIASIONAL HE UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN INTEGRAL VOLTERRA-FREDHOLM NONLINEAR Istawi Arwannur 1, Endang Lily 2 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2 Dosen Jurusan Matematika Fakultas
Lebih terperinciDASAR-DASAR TEORI RUANG HILBERT
DASAR-DASAR TEORI RUANG HILBERT Herry P. Suryawan 1 Geometri Ruang Hilbert Definisi 1.1 Ruang vektor kompleks V disebut ruang hasilkali dalam jika ada fungsi (.,.) : V V C sehingga untuk setiap x, y, z
Lebih terperinciPERTEMUAN 2 STATISTIKA DASAR MAT 130
PERTEMUAN 2 STATISTIKA DASAR MAT 130 Data 1. Besaran Statistika berbicara tentang data dalam bentuk besaran (dimensi) Besaran adalah sesuatu yang dapat dipaparkan secara jelas dan pada prinsipnya dapat
Lebih terperinciLAMPIRAN A. Ringkasan Relativitas Umum
LAMPIRAN A Ringkasan Relativitas Umum Besaran fisika harus invarian terhadap semua kerangka acuan. Kalimat tersebut merupakan prinsip relativitas khusus yang pertama. Salah satu besaran yang harus invarian
Lebih terperinciDISPLACEMENT PADA BATANG PRISMATIS DENGAN LUAS PENAMPANG BERVARIASI. Mekanika Kekuatan bahan 2 nd and 3 rd session
DISPLACEMENT PADA BATANG PRISMATIS DENGAN LUAS PENAMPANG BERVARIASI Mekanika Kekuatan bahan 2 nd and 3 rd session hadisaputra@live.com Page 1 Contoh Soal : Mekanika Kekuatan bahan 2 nd and 3 rd session
Lebih terperinciDERET FOURIER. n = bilangan asli (1,2,3,4,5,.) L = pertemuan titik. Bilangan-bilangan untuk,,,, disebut koefisien fourier dari f(x) dalam (-L,L)
DERET FOURIER Bila f adalah fungsi periodic yang berperioda p, maka f adalah fungsi periodic. Berperiode n, dimana n adalah bilangan asli positif (+). Untuk setiap bilangan asli positif fungsi yang didefinisikan
Lebih terperinciPERBAIKAN METODE OSTROWSKI UNTUK MENCARI AKAR PERSAMAAN NONLINEAR. Rin Riani ABSTRACT
PERBAIKAN METODE OSTROWSKI UNTUK MENCARI AKAR PERSAMAAN NONLINEAR Rin Riani Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Riau Kampus
Lebih terperinciMETODE ITERASI VARIASIONAL UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN INTEGRAL DAN INTEGRO-DIFERENSIAL VOLTERRA LINEAR DAN NONLINEAR ABSTRACT
METODE ITERASI VARIASIONAL UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN INTEGRAL DAN INTEGRO-DIFERENSIAL VOLTERRA LINEAR DAN NONLINEAR Nasrin 1, Zulkarnain 2 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2 Dosen Jurusan Matematika
Lebih terperinciPengantar Gelombang Nonlinier 1. Ekspansi Asimtotik. Mahdhivan Syafwan Jurusan Matematika FMIPA Universitas Andalas
Pengantar Gelombang Nonlinier 1. Ekspansi Asimtotik Mahdhivan Syafwan Jurusan Matematika FMIPA Universitas Andalas PAM 672 Topik dalam Matematika Terapan Semester Ganjil 2016/2017 Pendahuluan Metode perturbasi
Lebih terperinciBab 2. Landasan Teori. 2.1 Persamaan Air Dangkal (SWE)
Bab 2 Landasan Teori Dalam bab ini akan dibahas mengenai Persamaan Air Dangkal dan dasar-dasar teori mengenai metode beda hingga untuk menghampiri solusi dari persamaan diferensial parsial. 2.1 Persamaan
Lebih terperinciMETODE ITERASI ORDE EMPAT DAN ORDE LIMA UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR. Imaddudin ABSTRACT
METODE ITERASI ORDE EMPAT DAN ORDE LIMA UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR Imaddudin Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas
Lebih terperinciSolusi Problem Dirichlet pada Daerah Persegi dengan Metode Pemisahan Variabel
Vol.14, No., 180-186, Januari 018 Solusi Problem Dirichlet pada Daerah Persegi Metode Pemisahan Variabel M. Saleh AF Abstrak Dalam keadaan distribusi temperatur setimbang (tidak tergantung pada waktu)
Lebih terperinciC iklm = sebagai tensor elastisitas
Teori elastisitas menjadi dasar pokok untuk mendiskripsikan perambatan gelombang elastik. Tensor stress σ ik dan tensor strain ε ik dihubungkan oleh persamaan keadaan untuk suatu medium. Pada material
Lebih terperinciPENGANTAR MATEMATIKA TEKNIK 1. By : Suthami A
PENGANTAR MATEMATIKA TEKNIK 1 By : Suthami A MATEMATIKA TEKNIK 1??? MATEMATIKA TEKNIK 1??? MATEMATIKA TEKNIK Matematika sebagai ilmu dasar yang digunakan sebagai alat pemecahan masalah di bidang keteknikan
Lebih terperinciBAB 2 TINJAUAN PUSTAKA
BAB TINJAUAN PUSTAKA. Definisi Gelombang dan klasifikasinya. Gelombang adalah suatu gangguan menjalar dalam suatu medium ataupun tanpa medium. Dalam klasifikasinya gelombang terbagi menjadi yaitu :. Gelombang
Lebih terperinciBAB II PENGANTAR SOLUSI PERSOALAN FISIKA MENURUT PENDEKATAN ANALITIK DAN NUMERIK
BAB II PENGANTAR SOLUSI PERSOALAN FISIKA MENURUT PENDEKATAN ANALITIK DAN NUMERIK Tujuan Instruksional Setelah mempelajari bab ini pembaca diharapkan dapat: 1. Menjelaskan cara penyelesaian soal dengan
Lebih terperinciBAB 2 TINJAUAN PUSTAKA
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA Penelitian dunia yang berkenaan dengan gelombang ultrasonik bukan hal yang baru melainkan sudah berlangsung cukup lama sehingga pemahaman ilmuwan mengenai sifat dan interaksinya
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Matematika merupakan suatu ilmu pengetahuan yang sering disebut sebagai induk dari ilmu-ilmu pengetahuan yang lain. Di antara beberapa disiplin ilmu, fisika
Lebih terperinciMETODA ELEMEN HINGGA UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN DIFUSI NEUTRON SATU DIMENSI DUA GRUP
METODA ELEMEN HINA UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN DIFUSI NEUTRON SATU DIMENSI DUA RUP Utaja *, Topan Setiadipura **, Khairina Ns ABSTRAK METODA ELEMEN HINA UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN DIFUSI NEUTRON SATU
Lebih terperinciMETODE TRANSFORMASI DIFERENSIAL UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN INTEGRAL VOLTERRA JENIS KEDUA. Edo Nugraha Putra ABSTRACT ABSTRAK 1.
METODE TRANSFORMASI DIFERENSIAL UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN INTEGRAL VOLTERRA JENIS KEDUA Edo Nugraha Putra Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Lebih terperinciMetode Beda Hingga untuk Penyelesaian Persamaan Diferensial Parsial
Metode Beda Hingga untuk Penyelesaian Persamaan Diferensial Parsial Ikhsan Maulidi Jurusan Matematika,Universitas Syiah Kuala, ikhsanmaulidi@rocketmail.com Abstract Artikel ini membahas tentang salah satu
Lebih terperinciFAMILI BARU METODE ITERASI BERORDE TIGA UNTUK MENEMUKAN AKAR GANDA PERSAMAAN NONLINEAR. Nurul Khoiromi ABSTRACT
FAMILI BARU METODE ITERASI BERORDE TIGA UNTUK MENEMUKAN AKAR GANDA PERSAMAAN NONLINEAR Nurul Khoiromi Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau
Lebih terperinciKEKONVERGENAN SOLUSI PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE SATU MENGGUNAKAN METODE ITERASI VARIASIONAL
KEKONVERGENAN SOLUSI PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE SATU MENGGUNAKAN METODE ITERASI VARIASIONAL Dita Apriliani, Akhmad Yusuf, M. Mahfuzh Shiddiq Program Studi Matematika Fakultas MIPA Universitas Lambung
Lebih terperinciSIMULASI Kendalan (Reliability Simulation)*
TKS 6112 Keandalan Struktur SIMULASI Kendalan (Reliability Simulation)* * Pranata, Y.A. Teknik Simulasi Untuk Memprediksi Keandalan Lendutan Balok Statis Tertentu. Prosiding Konferensi Teknik Sipila Nasional
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Matematika merupakan salah satu ilmu pengetahuan yang sudah lama dipelajari dan berkembang pesat. Perkembangan ilmu matematika tidak terlepas dari perkembangan
Lebih terperinciMETODE ITERASI BARU BERTIPE SECANT DENGAN KEKONVERGENAN SUPER-LINEAR. Rino Martino 1 ABSTRACT
METODE ITERASI BARU BERTIPE SECANT DENGAN KEKONVERGENAN SUPER-LINEAR Rino Martino 1 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya
Lebih terperinciBab II Teori Pendukung
Bab II Teori Pendukung II.1 Sistem Autonomous Tinjau sistem persamaan differensial berikut, = dy = f(x, y), g(x, y), (2.1) dengan asumsi f dan g adalah fungsi kontinu yang mempunyai turunan yang kontinu
Lebih terperinciMODEL MATEMATIKA MANIPULATOR FLEKSIBEL
Bab 3 MODEL MATEMATIKA MANIPULATOR FLEKSIBEL Pada Bab ini akan dibahas mengenai model matematika dari manipulator fleksibel. Model matematika yang akan diturunkan akan menggunakan teori balok Timoshenko
Lebih terperinciMODIFIKASI METODE CAUCHY DENGAN ORDE KONVERGENSI EMPAT. Masnida Esra Elisabet ABSTRACT
MODIFIKASI METODE CAUCHY DENGAN ORDE KONVERGENSI EMPAT Masnida Esra Elisabet Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Riau Kampus
Lebih terperinciBab 2. Persamaan Einstein dan Ricci Flow. 2.1 Geometri Riemann
Bab 2 Persamaan Einstein dan Ricci Flow 2.1 Geometri Riemann Sebuah himpunan M disebut sebagai manifold jika tiap titik Q dalam M memiliki lingkungan terbuka S yang dapat dipetakan 1-1 melalui sebuah pemetaan
Lebih terperinciABSTRAK METODE ELEMEN BATAS UNTUK PENYELESAIAN MASALAH PEMBENTUKAN DROPLET PADA BENANG FLUIDA VISCOELASTIS A.WAHIDAH.AK NIM : 20105013.
ABSTRAK METODE ELEMEN BATAS UNTUK PENYELESAIAN MASALAH PEMBENTUKAN DROPLET PADA BENANG FLUIDA VISCOELASTIS Oleh A.WAHIDAH.AK NIM : 20105013 Proses deformasi benang fluida tak Newton (Viscoelastis) menjadi
Lebih terperinci(R.1) KAJIAN MODEL GEOGRAPHICALLY WEIGHTED POISSON REGRESSION UNTUK MASALAH DATA SPASIAL DISKRIT
REGRESI 2 (R.1) KAJIAN MODEL GEOGRAPHICALLY WEIGHTED POISSON REGRESSION UNTUK MASALAH DATA SPASIAL DISKRIT Dani Robini, Budi Nurani R., Nurul Gusriani Jurusan Matematika FMIPA Universitas Padjadjaran Jl.
Lebih terperinciBab I Pendahuluan. I.1 Latar Belakang Masalah
Bab I Pendahuluan I.1 Latar Belakang Masalah Proses deformasi benang fluida telah banyak dikaji oleh beberapa peneliti sebelumnya, seperti Savart (1833), Plateau (1849), Rayleigh (1878), dan Tomotika (1935).
Lebih terperinciKALKULUS MULTIVARIABEL II
Pada Bidang Bentuk Vektor dari KALKULUS MULTIVARIABEL II (Minggu ke-9) Andradi Jurusan Matematika FMIPA UGM Yogyakarta, Indonesia Pada Bidang Bentuk Vektor dari 1 Definisi Daerah Sederhana x 2 Pada Bidang
Lebih terperinciPENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA NONLINIER ORDE DUA DENGAN MENGGUNAKAN METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN LAPLACE
PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA NONLINIER ORDE DUA DENGAN MENGGUNAKAN METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN LAPLACE TUGAS AKHIR Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains Pada
Lebih terperinciBab 2. Teori Gelombang Elastik. sumber getar ke segala arah dengan sumber getar sebagai pusat, sehingga
Bab Teori Gelombang Elastik Metode seismik secara refleksi didasarkan pada perambatan gelombang seismik dari sumber getar ke dalam lapisan-lapisan bumi kemudian menerima kembali pantulan atau refleksi
Lebih terperinciFAMILI METODE ITERASI BEBAS TURUNAN DENGAN ORDE KONVERGENSI ENAM. Oktario Anjar Pratama ABSTRACT
FAMILI METODE ITERASI BEBAS TURUNAN DENGAN ORDE KONVERGENSI ENAM Oktario Anjar Pratama Mahasiswa Program Studi S Matematika Dosen Jurusan Matematika Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Lebih terperinciPersamaan Diferensial Parsial CNH3C3
Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3 Week 4: Separasi Variabel untuk Persamaan Panas Orde Satu Tim Ilmu Komputasi Coordinator contact: Dr. Putu Harry Gunawan phgunawan@telkomuniversity.ac.id 1 Persamaan
Lebih terperinciANALISIS METODE DEKOMPOSISI SUMUDU DAN MODIFIKASINYA DALAM MENENTUKAN PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL NONLINEAR
Buletin Ilmiah Mat. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 05, No. 2 (2016), hal 103-112 ANALISIS METODE DEKOMPOSISI SUMUDU DAN MODIFIKASINYA DALAM MENENTUKAN PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL
Lebih terperinciBAB 10 GELOMBANG BUNYI DALAM ZAT PADAT ISOTROPIK
BAB 10 GELOMBANG BUNYI DALAM ZAT PADAT ISOTROPIK Sepertinya bunyi dalam padatan hanya berperan kecil dibandingkan bunyi dalam zat alir, terutama, di udara. Kesan ini mungkin timbul karena kita tidak dapat
Lebih terperinciMASALAH SYARAT BATAS (MSB)
Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Unmuh Ponorogo PENDAHULUAN MODEL KABEL MENGGANTUNG DEFINISI MSB Persamaan diferensial (PD) dikatakan berdimensi 1 jika domainnya berupa himpunan bagian pada R 1.
Lebih terperinciMETODE BERTIPE STEFFENSEN SATU LANGKAH DENGAN KONVERGENSI SUPER KUBIK UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR. Neng Ipa Patimatuzzaroh 1 ABSTRACT
METODE BERTIPE STEFFENSEN SATU LANGKAH DENGAN KONVERGENSI SUPER KUBIK UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR Neng Ipa Patimatuzzaroh Mahasiswa Program Studi S Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Lebih terperinciPENYELESAIAN MASALAH STURM-LIOUVILLE DARI PERSAMAAN GELOMBANG SUARA DI BAWAH AIR DENGAN METODE BEDA HINGGA
PENYELESAIAN MASALAH STURM-LIOUVILLE DARI PERSAMAAN GELOMBANG SUARA DI BAWAH AIR DENGAN METODE BEDA HINGGA oleh FIQIH SOFIANA M0109030 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh
Lebih terperinciPerbandingan Model Black Scholes dan Brennan Schwartz untuk Menentukan Harga American Option
J. Math. and Its Appl. ISSN: 829-605X Vol. 4, No., May 2007, 47 58 Perbandingan Model Black Scholes dan Brennan Schwartz untuk Menentukan Harga American Option Endah Rokhmati MP, Lukman Hanafi, Supriati
Lebih terperinciPEMILIHAN KOEFISIEN TERBAIK KUADRATUR KUADRAT TERKECIL DUA TITIK DAN TIGA TITIK. Nurul Ain Farhana 1, Imran M. 2 ABSTRACT
PEMILIHAN KOEFISIEN TERBAIK KUADRATUR KUADRAT TERKECIL DUA TITIK DAN TIGA TITIK Nurul Ain Farhana, Imran M Mahasiswa Program Studi S Matematika Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Lebih terperinciperpindahan, kita peroleh persamaan differensial berikut :
1.1 Pengertian Persamaan Differensial Banyak sekali masalah terapan (dalam ilmu teknik, ilmu fisika, biologi, kimia, sosial, dan lain-lain), yang telah dirumuskan dengan model matematika dalam bentuk persamaan
Lebih terperinciDERET TAYLOR UNTUK METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN ABSTRACT
DERET TAYLOR UNTUK METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN Lucy L. Batubara 1, Deswita. Leli 2, Zulkarnain 2 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2 Laboratorium Matematika Terapan, Jurusan Matematika Fakultas Matematika
Lebih terperinciBab 2 LANDASAN TEORI. 2.1 Penurunan Persamaan Air Dangkal
Bab 2 LANDASAN TEORI 2.1 Penurunan Persamaan Air Dangkal Persamaan air dangkal atau Shallow Water Equation (SWE) berlaku untuk fluida homogen yang memiliki massa jenis konstan, inviscid (tidak kental),
Lebih terperinciKONSEP DASAR STATISTIK
KONSEP DASAR STATISTIK DATA STATISTIK Data 1. Besaran Statistika berbicara tentang data dalam bentuk besaran (dimensi) Besaran adalah sesuatu yang dapat dipaparkan secara jelas dan pada prinsipnya dapat
Lebih terperinciBAB IV TEGANGAN, REGANGAN, DAN DEFLEKSI
BAB IV TEGANGAN, REGANGAN, DAN DEFLEKSI 4.1. Tegangan Salah satu masalah fundamental dalam mechanical engineering adalah menentukan pengaruh beban pada komponen mesin atau peralatan. Hal ini sangat essensial
Lebih terperinciTeori Dasar Gelombang Gravitasi
Bab 2 Teori Dasar Gelombang Gravitasi 2.1 Gravitasi terlinearisasi Gravitasi terlinearisasi merupakan pendekatan yang memadai ketika metrik ruang waktu, g ab, terdeviasi sedikit dari metrik datar, η ab
Lebih terperinciII. LANDASAN TEORI. sєs (S ruang sampel) dengan sebuah bilangan real. Salah satu peubah acak adalah
II. LANDASAN TEORI Peubah acak X(s) merupakan sebuah fungsi X yang menetapkan setiap anggota sєs (S ruang sampel) dengan sebuah bilangan real. Salah satu peubah acak adalah peubah acak diskrit, yaitu banyaknya
Lebih terperinciKemudian, diterapkan pengortonormalan terhadap x 2 dan x 3 pada persamaan (1), sehingga diperoleh
SOLUSI VAKUM PERSAMAAN MEDAN EINSTEIN UNTUK BENDA SIMETRI AKSIAL STASIONER MENGGUNAKAN PERSAMAAN ERNST Aldytia Gema Sukma 1, Drs. Bansawang BJ, M.Si, Dr. Tasrief Surungan, M.Sc 3 Universitas Hasanuddin,
Lebih terperinci