Chap. 8 Gas Bose Ideal

Transkripsi

1 Chap. 8 Gas Bose Ideal

2 Model: Gas Foton Foton adalah Boson yg tunduk kepada distribusi BE. Model: Foton memiliki frekuensi ω, rest mass=0, spin 1ħ Energi E=ħω dan potensial kimia =0 Momentum p = ħ k, dengan k = ω k /c Polarisasi ( alternatif arah) dengan vektor arah ε Foton ini terkait dengan plane wave E r, t = εei(k.r ωt) Foton dalam kontainer V=L 3 dan memenuhi syarat batas periodik di batas, sehingga k yg diperbolehkan adalah: k = π n, dengan n adalah vektor dengan komponen L bilangan bulat = 0, ±1, ±,

3 Model: Gas Foton Maka jumlah status keadaan k yg diijinkan adalah: Σ p V h 3 d3 p = V h 3 4πħ3 k dk = Total energi sistem gas Foton: V π 3 E n k,ε = ħω k n k,ε dengan n k,ε=0,1,, k,ε 4π k dk Fungsi Partisi Grand Kanonik - tanpa restriksi thd jumlah{n k, } : ζ = e βe{n k,ε} = exp( β ħω k n k,ε ) = {n k,ε } {n k,ε } k,ε

4 Fungsi Partisi Gas Foton ζ = ζ = exp( βħω k n k,ε ) {n k,ε } k,ε exp( βħω k n k,ε ) = k,ε n k,ε =0 k,ε 1 1 exp( βħω k ) ln ζ = k ln{1 exp( βħω k )} Untuk hasil terakhir ini telah dipakai polarisasi hanya ada arah.

5 Okupansi & Energi Gas Foton Rata-rata jumlah foton dengan momentum k (tak peduli polarisasi), telah diturunkan : < n k > = 1 ln ζ dengan ε β ε k = ħω k k exp βħω < n k > = k δ kk = 1 exp βħω k e βħω k 1 k Hasil terakhir ini konsisten dengan perhitungan untuk Boson, dengan faktor sebagai pengali akibat polarisasi berbeda untuk momentum yg sama. Energi sistem foton : U = k < n k > ε k = k ħω k e βħω k 1

6 Okupansi & Energi Gas Foton Dalam limit thermo N,V, maka sbb: U = V π 3 0 dk 4πk ħω e βħω 1 Dengan ω = ω k = kc sehingga dk = 1 dω, sehingga c diperoleh: U = Vħ ω 3 π c 3 dω e βħω 1 0

7 Okupansi & Energi Gas Foton Dengan U/V = rapat energi per volum, yaitu: U V = ħ ω π c 3 0 dω 3 = e βħω 1 0 dωu(ω, T) Dengan u(ω,t) adalah rapat energi spektral (untuk frek tertentu), yg adalah rumus radiasi Planck yg terkenal. u(ω, T) = ħ π c 3 ω 3 e βħω 1

8 Rapat energi spektral dan Rapat Energi Sedangkan integral : 0 ω 3 dω e βħω T 3 T T 1 T 3 >T >T Dapat di evaluasi dengan substitusi x = βħω, maka: ω 0 dω ω 3 e βħω 1 = kt 4 ħ 4 0 x 3 e x 1 dx

9 Rapat energi spektral dan Rapat Energi Dengan cukup banyak trik, menggunakan fungsi Riemannzeta dan fungsi gamma: x 3 π4 0 dx = Γ 4 ζ 4 = 3!, e x 1 90 sehingga rapat energi per volum: U V = ħ π c 3 kt 4 ħ 4 π 4 15 = π kt 4 15 ħc 3

10 Model Gas Fonon Hamiltonian kristal : jumlahan dari osilator harmonis (normal mode). Secara Kuantum partikel terkait dengan normal mode osilasi : fonon Pada suhu rendah : kristal dipandang sbg kumpulan gas fonon tak saling berinteraksi. Fonon : frekuensi karakteristik ω i dengan energi ħω i. Fungsi gelombangnya εe i(k.r ω it) dengan k =ω/c, c: cepat rambat bunyi. Tidak spt kasus foton ε tidak perlu tegak lurus arah propagasi, sehingga arah polarisasi ada 3.

11 Model Gas Fonon Fonon tunduk pada distribusi BE Kristal terdiri dari N atom, maka terdapat 3N normal mode dengan frekuensi karaketeristik : ω 1, ω, ω 3N Nilai ω i bergantung model yang dipakai: Model Einstein : semua sama = ω Model Debye : lowest 3N normal mode

12 Model Debye Model Debye: Model untuk kalor jenis zat padat Kristal : dipandang sebagai medium elastis kontinum dengan volume V dan memenuhi syarat batas periodik yg membawa kepada k= /L n dimana n adalah vektor dengan komponen (0, 1,, ) dan L=V 1/3. Rapat keadaan : banyaknya normal mode antara ω dan ω+ dω adalah f(ω)d ω: f ω dω = 3V 3ω π 3 4πk dk = V π c 3 dω Telah dipakai : polarisasi 3 arah, dan k=ω/c.

13 Model Debye ω Dengan menerapkan syarat bahwa : m 0 f ω dω = 3N, dengan ω m : frek cut off max. Diperoleh: ω m = c π v 1/3 dengan v = V/N Panjang gelombang terkait, λ m = πc ω m 4πv 1 3 jarak antar partikel

14 Energi, Fungsi Partisi dan Okupansi Energi sistem gas fonon untuk suatu konfigurasi okupansi fonon tertentu: Fungsi partisi kanonik sistem: 3N E n i = n i ħω i Q = e βe{ni} = i=1 3N {n i } i=1 3N 1 1 e βħω i ln Q = ln(1 e βħω i) i=1

15 Energi, Fungsi Partisi dan Okupansi Seperti sebelumnya : rata-rata okupansi mode ke-i: < n i > = 1 1 ln Q = β ħω i e βħω i 1 Energi total sistem rata-rata : 3N U = β ln Q = i=1 ħω i < n i > = 3N i=1 Spt biasa, pada limit N,V, maka, sehingga : U = 3V ω m π c 3 dω ω ħω e βħω 1 0 ħω i e βħω i 1

16 Energi, Fungsi Partisi dan Okupansi Dengan substitusi t=βħω, dan memanfaatkan definisi ω m sebelumnya maka : U N = 3 kt 4 ħω 3 m 0 βħω m dt t 3 e t 1 Definisikan fungsi Debye D(x) sbb:d(x) 1 x 3 0 x dt t 3 D x = 1 x 3 0 x dt t 3 e t 1 = 1 e t x x + x 1 π 4 5x 3 x 1

17 Kalor Jenis Zat Padat Dan suhu Debye T D sbg kt D = ħω m = ħc π per atom U/N dapat dituliskan sbg (definisikan u=t D /T: v 1/3, maka rapat energi U N = 3kTD u = 3kT 3kT(1 3 8 π4 5 T T D 3 T D T + T T D + O(e T D T ) T T D Dengan mudah kalor jenis C V per atom: C v N = 1 U N T = 3k(1 3 T D 0 T 1kπ 4 5 T T D 3 + T T D + O(e T D T ) T T D

18 Fitting dengan Eksperimen Dari kalor jenis tsb nampak bahwa Pada suhu tinggi C v /Nk 3 (dikenal dg hukum Empiris Dulong Petit. Sedangkan pada suhu rendah C V /Nk T 3.

19 Model Umum: Gas Bose Ideal Secara umum model gas Boson adalah partikel boson dengan massa masing-masing m dalam volume V dan suhu T serta potensial kimia. Sistem gas ini boleh bertukar energi dan partikel dengan lingkungan ensembel grand kanonik. Asumsi : boson non relativistik, dengan spin s, dengan energi 1 partikelnya hanya kinetik:ε k = ħ k /m. Energi ground state-nya NOL. ε 0 = 0, sehingga potensial kimianya harus memenuhi < μ < 0 Volume wadah gas V= L x L y L Z dengan syarat batas periodik di batas volumenya. Dalam batas limit thermo N,V jumlah boleh diganti

20 Masalah Ground State Ground state Rata-rata okupansi diberikan oleh distribusi BE: 1 < n p > = e β(εp μ) 1 Untuk - <<1, maka untuk ground state ε 0 = 0, e βμ 1 βμ +. Sehingga untuk kondisi ground state: 1 < n 0 > 1 βμ βμ Berarti <n 0 > bisa berharga besar (makroskopik) berapapun juga. Density of state gas boson serupa dengan Fermion yaitu Ω E ~ E 1/. Jika Σ Ω(E)dE maka untuk E=0 berapapun n 0 akan dibobot =0. Sehingga kasus ground state mesti dipisahkan sebelum dilakukan integrasi. (telah dilakukan di slide Boson)

21 Persamaan Bagi Gas Boson Ideal Pers. Bagi gas Bose ideal dengan spin s (serupa dg yg telah diturunkan): P = (s + 1){4π kt h 3 dp p ln 1 z e βp m 1 ln(1 z)} 0 V 1 = s + 1 {4π v h 3 dp p z 0 z 1 e βp V 1 z } m 1 Dengan cara serupa Fermion, persamaan ini dapat diungkapkan z s+1 ln 1 z V sbg: P = s+1 kt λ 3 g5 1 = s+1 v λ 3 g3 z + s+1 V z 1 z

22 Persamaan Bagi Gas Boson Ideal Dengan definisi fungsi g sbb: g 5 z = 4 π 0 dx x ln 1 e x = g3 z = z z g 5 z = z m m 3/ m=1 z m m 5/ m=1

23 Kondensasi Bose Einstein Perilaku Boson dapat kita pelajari dari pers. n = 1 v = 1 λ 3 g 3 z + 1 z V 1 z Spt biasa v=v/n atau n=1/v : rapat partikel. Suku kedua 1/V (z/1-z) menggambarkan rapat partikel dengan momentum NOL. Sedangkan suku pertama adalah rapat partikel dengan momentum TAK NOL.. Fungsi g 3/ (z) memiliki perilaku sbb: g3 z = z m m 3/ m=1 Suku z/(1-z)>=0, sehingga 0<= z <= 1, untuk nilai z ini jelaslah bahwa g 3/ (z) akan terbatas, dan ini berupa fungsi monotonik naik.

24 Kondensasi Bose-Einstein Pada z=1, g 3/ Rieman zeta z divergen, tetapi g 3/ (1) tidak lain adalah fungsi (3/)=.61 berhingga : g 3/ (1)=.61. Sehingga nilai 0 g 3/ (z).61.. Untuk 0 z 1. Suku z/(1-z)=n 0 adalah rapat suku okupansi rata-rata untuk status p=0. Pers. Boson dapat kita tulis ulang sbg: λ 3 n 0 V = λ3 v g 3(z) Untuk kasus tak ada partikel dengan p=0, maka : λ3 v = g3 (z)

25 Kondensasi Bose-Einstein Ruas kanan paling maksimum g 3/ (1)=.61. Jikalau λ3 v >.61 atau g3(1) maka persamaan tsb tak ada solusinya. Pada keadaan ini maka z =1 (maksimum), dan sebagian dari boson mesti menempati status p=0. Keadaan spt ini bisa terjadi misalnya dg menurunkan T ( >>) atau dengan meningkatkan rapat partikel (n>> atau v <<). Berarti n 0 >0 bilamana suhu ( ) dan rapat partikel (atau 1/v) sedemikian sehingga: λ 3 v > g 3(1)

26 Kondensasi Bose-Einstein Artinya pada suhu ini, terdapat sebagian partikel yg berada di status dengan p=0. Fenomena ini dikenal dengan nama kondensasi Bose-Einstein. Pada keadaan ini sistem seperti terdiri dari fasa yaitu : fasa p=0 dan fasa p 0. Jadi seperti terjadi transisi fasa dari fasa p>0, ke fasa campuran dengan p=0. Untuk suatu kerapatan tertentu (1/v), maka temperatur kritis T C diperoleh sebagai solusi dari : λ C 3 = vg3 1 atau kt C = m vg 3 πħ 1 /3

27 Volume dan Temperatur Kritis Sebaliknya untuk suatu suhu tertentu T, maka volume jenis kritis v C didefinisikan sbg: v c = λ3 g 3 1 Jadi daerah kondensasi (p=0) mulai terjadi jika T<T C atau v<v C atau n>n c dengan n=1/v.

28 Perilaku fugacity, z(t) Nilai z sebagai fungsi (v,t) diperoleh dengan mencari solusi dari pers: λ 3 v = g3 z + λ3 V z 1 z Berarti untuk limit V : Jika 3 /v > g 3/ (1) maka z=1 (terjadi kondensasi). Jika 3 /v < g 3/ (1), maka z diperoleh dari solusi λ3 v = g3 (z)

29 Perilaku Fugacity dan Pers Keadaan Dari solusi numerik persamaan untuk suatu nilai λ3 v tertentu: g3 z = λ3 v Dapat di plot perilaku z thd v λ 3 Untuk v λ 3 < 1.61 maka z=1

30 Perilaku Fugacity dan Pers Keadaan Setelah mendapatkan nilai z untuk suatu nilai λ 3 /v maka dapat dicari persamaan keadaan dari : P kt = 1 λ 3 g 5 Yaitu untuk kasus 3 /v < g 3/ (1). Sedangkan untuk kasus 3 /v > g 3/ (1), maka P kt = 1 λ 3 g 5 (z) (1)

31 Persamaan Keadaan Gas Bose Ideal Kurva di samping menunjukkan isotherm. Perhatikan jika v<v C (misal titik B),maka z=1 sehingga tekanan tidak lagi bergantung volume, karena ini fasa kondensasi. Kurva yg dibentuk oleh semua nilai nilai v c (T) disebut garis transisi karena menggambarkan daerah transisi ke kondensasi

32 Persamaan Keadaan Gas Bose Ideal Garis transisi diberikan oleh: P = kt λ 3 g5 (1). Titik B (transisi) terjadi ketika temperaturnya mencapai T c yg didefinisikan dari : λ3 c v = g3 1 kt c = m vg 3 πħ 1 /3 P = πħ mv 5/3 g 5 g

33 Kondensat Ketika terjadi kondensasi, maka: n = 1 = 1 v λ 3 g V z 1 z, atau N = V λ 3 g3 1 + n 0 n 0 = 1 v N λ 3 g3 1 Tetapi volum kritis dan temperatur kritis didefinisikan di depan sbg: 1 = 1 v C λ 3 g 3 1 dan 1/λ 3 1 c = Sehingga : n 0 N = 1 v v C =1-(T/T C ) 3/ vg3(1)

34 Kondensat Berarti: Untuk T>T C, partikel tersebar tipis diantara semua level. Untuk T<T C, sebagian 1-(T/T C ) 3/ menempati p=0 sisanya tersebar tipis ke seluruh p 0. Ketika T=0, semuanya di p=0.

35 Hubungan Thermodinamika Gas Ideal Boson Dengan adanya dua fasa tsb, maka berbagai hubungan Thermodinamika dapat diturunkan. Masing-masing untuk kasus : (a) v>v C (atau T>T C ) (b) v<v C (atau T<T C ) U N = 3 Pv = A NkT = 3 kt v λ 3 g 5 3 kt v λ 3 g 5 v λ 3 g 5 v λ 3 g 5 z, (a) 1, (b) z ln z, (a) 1, (b)

36 Hubungan Thermodinamika Gas Ideal Boson S Nk = 5 5 v λ 3 g 5 v λ 3 g 5 z ln z, (a) 1, (b) C v Nk = 15 4 v λ 3 g v λ 3 g 5 z 9 4 g 3 g1 z z (a) 1, (b)