Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1. Integral Lipat Dua Atas Daerah Persegipanjang
|
|
- Hengki Hartanto
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 ingkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1 Integral Lipat Dua Atas Daerah Persegipanjang Perhatikan fungsi z = f(x, y) pada = {(x, y) : a x b, c y d} Bentuk partisi P atas daerah berupa n buah persegipanjang 2 yang dibentuk dari garis 2 yang sejajar dengan sumbu-x dan sumbu-y seperti pada gambar di atas. Sebut partisi tersebut sebagai k, k = 1, 2,,n. Perhatikan persegipanjang ke k, yaitu k. Luasnya adalah A k = x k y k. Selanjutnya pilih titik wakil (x k, y k ) k. Perhatikan balok yang terbentuk dengan alas k dan tinggi f(x k, y k ). Volumenya adalah f(x k, y k ) A k (lihat gambar di atas yang di tengah). Jumlah iemann dari z = f(x, y) atas partisi P adalah: n J = f(x k, y k ) A k k=1 Mialkan P adalah elemen partisi yang paling luas, integral lipat dua atas daerah adalah: n f(x k, y k ) A k f(x, y) da = lim P 0 k=1 Sifat (jaminan integral lipat dua ada): Bila fungsi f(x, y) terdefinisi pada persegipanjang tertutup dan kontinu (kecuali mungkin di sebanyak berhingga titik) maka f terintegralkan. UL:materikuliah.math.itb.ac.id
2 ingkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 2 Secara geometri, bila f(x, y) 0, integral lipat dua menyatakan volume benda yang alasnya dan atapnya permukaan z = f(x, y). Bila ada daerah dengan f(x, y) 0, integral lipat dua menyatakan volume benda pada daerah z positif dikurangi volume benda pada daerah z negatif (lihat gambar di samping). Sifat 2 : a. kf(x, y) da = k f(x, y) da (f(x, y) + g(x, y)) da = f(x, y) da + g(x, y) da b. Jika = 1 2 maka f(x, y) da = f(x, y) da + f(x, y) da 1 2 c. Jika f(x, y) g(x, y) maka f(x, y) da g(x, y) da d. 1 da = A dengan A adalah luas daerah. UL:materikuliah.math.itb.ac.id
3 ingkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 3 Latihan: 1. Misalkan = {(x, y) : 0 x 3, 0 y 3}. Tentukan 1 0 x 3, 0 y 1 f(x, y) da bila f(x, y) = 2 0 x 3, 1 < y x 3, 2 < y 3 2. Misalkan = {(x, y) : 0 x 4, 0 y 8}. Tentukan jumlah 64 8x + y 2 iemann dari da dengan membagi atas empat bagian yang 16 sama dan titik wakilnya dipilih pusat dari masing-masing persegipanjang. UL:materikuliah.math.itb.ac.id
4 ingkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 4 Perhitungan Integral Lipat Sebagai Integral Berulang Pada pasal ini akan dibahas cara menghitung integral lipat dua atas daerah persegipanjang untuk fungsi sebarang. Perhatikan f(x, y) atas daerah = {(x, y) : a x b, c y d}. Pembahasan rumus berikut akan berlaku untuk sebarang fungsi f, namun demikian untuk memudahkan intepretasi geometri, diambil f(x, y) > 0. Irislah benda yang akan dihitung volumenya (gambar paling kiri) menjadi keping-keping tipis yang sejajar dengan bidang xz (gambar tengah). Misalkan lebar keping tersebut y. Luas permukaan keping tersebut hanya bergantung pada posisi y (jelaskan!), notasikan A(y). Volume keping tipis tersebut adalah V = A(y) y. Dengan demikian volume benda adalah: V = d c A(y) dy Dilain pihak, luas permukaan keping sejauh y dari bidang xz (y konstanta) adalah b a f(x, y) dx. Dengan demikian volume benda adalah: V = d c [ b a ] f(x, y) dx dy Alternatif lain bila kita membuat irisan kepingnya sejajar dengan bidang yz maka rumus yang diperoleh adalah b [ d ] V = f(x, y) dy dx a c Hati 2 : Batas-batas integrasi harus sesuai dengan urutan perhitungan integral. UL:materikuliah.math.itb.ac.id
5 ingkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 5 Contoh-contoh: 4 [ 2 ] 1. Hitung 6x 2 y dx 2 1 dy 2. Hitung soal no 1. dengan urutan pengintegralan yang berbeda. 3. Hitung volume benda dibawah permukaan f(x, y) = x 2 + y pada = {(x, y) : 1 x 1, 0 y 2} dan di atas bidang z = 1. Integral Lipat Dua atas Daerah Sebarang Perhitungan integral lipat atas daerah sebarang secara umum sulit dilakukan. Kita akan melihatnya pada dua jenis daerah berikut: S = {(x, y) : a x b, φ 1 (x) y φ 2 (x)} disebut y-sederhana S = {(x, y) : ψ 1 (y) x ψ 2 (y), c y d} disebut x-sederhana Jenis daerah lain yang tidak termasuk ke dalam dua tipe di atas pada umumnya dapat dipartisi menjadi beberapa bagian yang masing-masingnya berbentuk daerah x-sederhana atau y-sederhana. Diskusi: a. Adakah daerah yang sekaligus x-sederhana dan y-sederhana? b. Carilah daerah yang tidak dapat dipartisi jadi bagian-bagian daerah x-sederhana dan y-sederhana. UL:materikuliah.math.itb.ac.id
6 ingkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 6 Untuk daerah y-sederhana, rumus integrasinya adalah sebagai berikut: [ b ] φ2 (x) f(x, y) da = f(x, y) dy dx a φ 1 (x) dengan argumentasi serupa, rumus untuk daerah x- sederhana: [ d ] ψ2 (x) f(x, y) da = f(x, y) dx dy Contoh 2 : 1. Hitung 1 y c 2ye x dx dy ψ 1 (x) 2. Hitung volume benda pada oktan pertama yang terletak diantara paraboloida z = x 2 + y 2 dan silinder x 2 + y 2 = Hitung y 2 e x2 dx dy (petunjuk: gambar daerah integrasinya lalu ubah urutan integrasinya) UL:materikuliah.math.itb.ac.id
7 ingkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 7 Integral Lipat Dua pada Koordinat Polar Seringkali daerah integrasi dari integral lipat dua berbentuk sebuah busur. Daerah seperti ini lebih mudah direpresentasikan dalam bentuk koordinat polar ketimbang dalam koordinat kartesius. Perhatikan sistem koordinat polar seperti terlihat pada gambar di samping. Di sini sebuah titik pada bidang dinyatakan sebagai (r, θ) dengan r menyatakan jarak dari titik pusat koordinat dan θ adalah sudut yang dibentuk antara sumbu polar dengan garis yang menghubungkan pusat koordinat dan titik tersebut. Hubungan titik di koordinat kartesius dan koordinat polar adalah: x = r cosθ dan y = r sin θ Perhatikan sebuah persegi panjang polar (gambar di atas, sebelah kiri) = {(r, θ) : a r b, α θ β}. Fungsi dua peubah z = f(x, y) terdefinisi pada daerah tersebut (gambar sebelah kanan). Dalam bentuk polar, fungsi tersebut berbentuk z = f(r cos θ, r sin θ) Perhatikan persegipanjang (pp) polar di samping. Partisikan pp tersebut atas n bagian. Selanjutnya perhatikan elemen partisi ke k. Ukuran elemen ini adalah r k dan θ k. Pilih wakil ( r k, θ k ) dengan r k titik tengah antara r k 1 dan r k sedangkan θ k sebarang. Luas elemen ini adalah A k = r k r k θ k (buktikan!) Bila z = f(x, y) > 0 maka volume benda di atas elemen tersebut adalah: V = f( r k cos θ k, r k sin θ k ) r k r k θ k UL:materikuliah.math.itb.ac.id
8 ingkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 8 Dengan demikian, volume benda di bawah permukaan f(x, y) dan di atas daerah adalah: V = f(r cosθ, r sin θ) r dr dθ Contoh: Tentukan volume benda di bawah permukaan z = e x2 +y 2 dan di atas daerah = {(r, θ) : 1 r 3, 0 θ π/4} Sebuah daerah S disebut daerah r-sederhana bila berbentuk S = {(r, θ) : φ 1 (θ) r φ 2 (θ), α θ β} Integral lipat dua atas r-sederhana: β φ2 (θ) f(x, y) da = f(r cosθ, r sinθ) r dr dθ α φ 1 (θ) Sebuah daerah S disebut daerah θ-sederhana bila berbentuk S = {(r, θ) : a r b, ψ 1 (r) θ ψ 2 (r)} Integral lipat dua atas daerah θ-sederhana: b ψ2 (r) f(x, y) da = f(r cosθ, r sin θ) r dθ dr a ψ 1 (r) UL:materikuliah.math.itb.ac.id
9 ingkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 9 Contoh 2 : 1. Tentukan volume benda di bawah permukaan x = x 2 + y 2 di atas bidang xoy dan di dalam silinder x 2 + y 2 = 2y 2. Gunakan koordinat polar untuk menghitung e x2 +y 2 da dengan S = {(x, y) : x 2 + y 2 4}. 3. Ubahlah dalam koordinat kartesius, lalu hitunglah 4π/3 5 secθ 3π/4 0 r 3 sin 2 θ dr dθ UL:materikuliah.math.itb.ac.id
10 ingkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 10 Momen dan Pusat Massa Perhatikan sebuah lamina (keping tipis 2 dimensi) tak homogen S (gambar sebelah kiri). Misalkan rapat masssanya adalah δ(x, y). Partisikan S atas pp-pp kecil seperti pada gambar sebelah kanan. Perhatikan elemen ke k. Pilih wakil ( x k, ȳ k ). Massa elemen ini adalah m = δ( x k, ȳ k ) A k. Massa lamina: m = δ(x, y) da Sedangkan momen terhadap sumbu x dan sumbu y masing-masing: M x = yδ(x, y) da dan M y = xδ(x, y) da Pusat massa dari lamina: ( x, ȳ) = ( M y m, M x m ) Contoh 2 : 1. Sebuah lamina dengan rapat massa δ(x, y) = xy dibatasi oleh sumbu-x, garis x = 8 dan kurva y = x 2 3. Tentukan massa dan pusat massanya. 2. Sebuah lamina berbentuk seperempat linkaran berjari-jari a, rapat massanya sebanding dengan jaraknya dari pusat lingkaran tersebut. Tentukan pusat massanya (gunakan koordinat [polar). UL:materikuliah.math.itb.ac.id
11 ingkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 11 Momen Inersia Perhatikan sebuah benda (berbentuk titik) bermassa m dan berjarak sejauh r dari suatu garis. Momen inersia dari benda didefinisikan sebagai: momen inersia : I = mr 2 Sekarang perhatikan sebuah lamina pada bidang xy. Misalkan rapat massanya δ(x, y). Momen inersia benda terhadap sumbu-x, sumbu-y dan pusat koordiant adalah: I x = y 2 δ(x, y) da, I y = x 2 δ(x, y) da dan I z = (x 2 + y 2 ) δ(x, y) da = I x + I y Contoh: Tentukan momen inersia terhadap sumbu-x, sumbu-y dan pusat koordinat dari dua contoh terakhir. I Jari-jari girasi didefinisiakan sebagai : r = m. UL:materikuliah.math.itb.ac.id
12 ingkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 12 Persamaan Diferensial Persamaan diferensial (Biasa), disingkat PD, adalah persamaan yang melibatkan turunanturunan dari suatu fungsi f(x). contoh 2 : 1. y + 2 sinx = 0 2. d2 y dx 2 + 3x dy dx 2y = 0 3. y + (y ) 5 e x = 0 Turunan tertinggi yang muncul pada suatu PD disebut orde dari PD tersebut. Pada contoh di atas ordenya masing-masing satu, dua dan tiga. Fungsi y = f(x) disebut solusi dari suatu PD bila fungsi tersebut memenuhi PD tersebut. Sebagai contoh fungsi y = sinx merupakan solusi dari y + y = 0 (tunjukan!). Fungsi y = cosx, juga merupakan solusi dari PD tersebut. Secara umum solusinya berbentuk y = A sin x+b cosx dengan A dan B konstanta. Solusi umum dari PD orde n selalu memuat n buah konstanta. Bila sebuah PD dilengkapi dengan syarat-syarat maka konstanta pada solusi umum dapat dieliminasi. Solusi ini disebut solusi khusus. Sebagai ilustrasi bila PD y + y = 0 dilengkapi syarat y(0) = 3 dan y (0) = 0 maka solusi khususnya y = 3 cosx PD linear orde n: y (n) + a 1 (x) y (n 1) + + a n 1 (x) y + a n (x) y = k(x) Fungsi a 1 (x), a 2 (x),, a n (x) disebut koefisien dari PD linear tersebut. Perkuliahan ini akan membahas pencarian solusi untuk PD linear orde satu dan orde dua saja. UL:materikuliah.math.itb.ac.id
13 ingkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 13 Perasamaan Diferensial Linear Orde Satu Bentuk Umum : y + p(x) y = q(x) Tetapkan faktor pengintegral e p(x)dx, lalu kalikan pada PD semula. y e p(x)dx + y p(x) e p(x)dx = q(x) e p(x)dx d dx [y e p(x)dx ] = q(x) e p(x)dx y e p(x)dx = q(x) e p(x)dx dx Contoh: y = e p(x)dx q(x) e p(x)dx dx 1. Tentukan solusi dari dy dx + 2 x y = sin(3x) x 2, y(1) = Tangki berisi 120 liter air asin, mengandung 75 gram garam. Air asin yang berisi 1,2 gram garam per liter memasuki tangki dengan laju 2 liter/menit dan air asin keluar dari tangki dengan laju sama. Jika larutan garam dalam tangki selalu homogen, tentukan konsentrasi garam dalam tangki setelah 1 jam dan setelah 100 jam. Tugas baca: Kalkulus Purcell (terjemahan bahasa Indonesia) Edisi 5 hal 437, tentang kelistrikan. UL:materikuliah.math.itb.ac.id
14 ingkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 14 Persamaan Diferensial Linear Orde Dua Bentuk Umum : y + a 1 (x) y + a 2 (x) y = k(x) Pembahasan akan dilakukan hanya untuk a 1 (x) dan a 2 (x) berupa fungsi konstan, yaitu y + a 1 y + a 2 y = k(x) Bila k(x) = 0 maka PD tersebut disebut PD linear orde 2 homogen. Untuk mencari solusi PD linear homogen (dengan koefisien konstan), kita harus mencari dahulu solusi PD homogennya. Perhatikan PD linear orde dua homogen berikut: y + a 1 y + a 2 y = 0 Misalkan solusinya adalah y = e rx dengan r suatu konstanta. Kita harus menentukan nilai r. Substitusikan solusi ini pada PD homogen semula: r 2 e rx + a 1 re rx + a 2 e rx = 0 ( r 2 + a 1 r + a 2 ) e rx = 0 r 2 + a 1 r + a 2 = 0 (disebut persamaan karakteristik) Misalkan r 1 dan r 2 solusi persamaan karakteristik tersebut, maka tiga bentuk yang mungkin terjadi a. r 1 & r 2 real berbeda, solusi PD homogen: y = c 1 e r 1x + c 2 e r 2x b. r 1 & r 2 real kembar, solusi PD homogen: y = c 1 e r 1x + c 2 xe r 1x c. r 1 & r 2 kompleks r 1 = α + β i dan r 2 = α β i solusi PD homogen: y = c 1 e αx sin(βx) + c 2 e αx cos(βx) Contoh: Tentukan solusi umum dari PD berikut: 1. y 2y y = 0 2. y 6y + 9y = 0 3. y 4y + 13y = 0 4. y + y = 0 UL:materikuliah.math.itb.ac.id
15 ingkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 15 Sekarang kita akan mencari solusi umum dari PD linear orde dua tak homogen. Perhatikan PD tak homogen y + a 1 y + a 2 y = k(x) Tahap pencarian solusinya adalah sebagai berikut: Cari solusi PD homogennya, misalkah y h = c 1 u 1 (x) + C 2 u(2x) Fungsi u 1 (x) dan u 2 (x) disebut solusi fundamental. Cari sebuah solusi PD tak homogennya, misalkan y p. Solusi umum PD tak homogen adalah y = y h + y p. Mencari y h sudah dibahas, jadi sekarang tinggal mencari sebuah y p. Ada dua metode pencarian y p yang akan dibahas: Metode koefisien tak tentu (metode coba-coba) Metode variasi parameter Metode Koefisien Tak Tentu Metode ini hanya dapat dipakai untuk beberapa bentuk dari k(x) seperti yang tercantum pada tabel berikut: k(x) a. ce αx te αx b. c cos(αx) d sin(αx) c cos(αx) + d sin(αx) y p dimisalkan s cos(αx) + t sin(αx) c. c 0 + c 1 x + + c n x n t 0 + t 1 x + + t n x n Solusi y p dimisalkan seperti yang tercantum pada kolom tiga, dengan catatan: Bila k(x) merupakan kombinasi linear dari bentuk (a), (b) dan (c) maka pemisalan y p juga diambil dari kombinasi kolom ketiga. Bila pemisalan y p bentuknya sama dengan solusi fundamental, maka pemisalan tersebut harus dikali dengan x atau x 2 sampai bentuk pemisalan tersebut tidak sama dengan solusi fundamental. UL:materikuliah.math.itb.ac.id
16 ingkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 16 Contoh 2 : 1. y 3y 4y = 3x y + 2y = 3x y + 4y = sin(2x) 4. y 3y 4y = 3e x + 3x Metode Variasi Parameter Metode ini dapat dipakai untuk sebarang bentuk k(x). Perhatikan kembali PD tak homogen y + a 1 y + a 2 y = k(x). Misalkan solusi homogennya y h = c 1 u 1 (x) + c 2 u 2 (x). Salosi y p yang memenuhi PD tak homogennya adalah: y p = v 1 (x) u 1 (x) + v 2 (x) u 2 (x) dengan v 1 dan v 2 fungsi-fungsi yang memenuhi hubungan { v 1 u 1 + v 2 u 2 = 0 v 1 u 1 + v 2 u 2 = k(x) Contoh: Tentukan solusi umum PD y + y = sec x. Tugas Baca: Penerapan PD linear orde 2 pada masalah pegas. UL:materikuliah.math.itb.ac.id
Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1. Integral Lipat Dua Atas Daerah Persegipanjang
ingkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1 Integral Lipat Dua Atas Daerah Persegipanjang Perhatikan fungsi z = f(x,y) pada = {(x,y) : a x b, c y d} Bentuk partisi P atas daerah berupa n buah persegipanjang
Lebih terperinciKalkulus Multivariabel I
Penerapan Integral Lipat-Dua Atina Ahdika,.i, M.i tatistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 214 Penerapan Integral Lipat-Dua Penerapan Integral Lipat-Dua Penerapan lain dari integral lipat-dua antara
Lebih terperinciDIKTAT KALKULUS MULTIVARIABEL I
DIKTAT KALKULUS MULTIVARIABEL I Oleh Atina Ahdika, S.Si, M.Si Ayundyah Kesumawati, S.Si, M.Si (Program Studi Statistika) FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS ISLAM INDONESIA 214/215
Lebih terperinciIntegral lipat dua BAB V INTEGRAL LIPAT 5.1. DEFINISI INTEGRAL LIPAT DUA. gambar 5.1 Luasan di bawah permukaan
BAB V INTEGRAL LIPAT 5.1. DEFINISI INTEGRAL LIPAT DUA gambar 5.1 Luasan di bawah permukaan 61 Pada Matematika Dasar I telah dipelajari integral tertentu b f ( x) dx yang dapat didefinisikan, apabila f
Lebih terperinciKalkulus Multivariabel I
Integral Lipat-Dua dalam Koordinat Kutub Atina Ahdika, S.Si, M.Si Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 214 / 2 Integral Lipat-Dua dalam Koordinat Kutub Terdapat beberapa kurva tertentu pada suatu
Lebih terperinciPERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER NON HOMOGEN
LINIER NON HOMOGEN Contoh PD linier non homogen orde 2. Bentuk umum persamaan PD Linier Non Homogen Orde 2, adalah sebagai berikut : y + f(x) y + g(x) y = r(x) ( 2-35) Solusi umum y(x) akan didapatkan
Lebih terperinciBAB VI INTEGRAL LIPAT
BAB VI INTEGRAL LIPAT 6.1 Pendahuluan Pada kalkulus dan fisika dasar, kita melihat sejumlah pemakaian integral misal untuk mencari luasan, volume, massa, momen inersia, dsb.nya. Dalam bab ini kita ingin
Lebih terperinciPD Orde 2 Lecture 3. Rudy Dikairono
PD Orde Lecture 3 Rudy Dikairono Today s Outline PD Orde Linear Homogen PD Orde Linear Tak Homogen Metode koefisien tak tentu Metode variasi parameter Beberapa Pengelompokan Persamaan Diferensial Order
Lebih terperinciSIFAT-SIFAT INTEGRAL LIPAT
TUGAS KALKULUS LANJUT SIFAT-SIFAT INTEGAL LIPAT Oleh: KAMELIANI 46 JUUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA AN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVESITAS NEGEI MAKASSA 4 SIFAT-SIFAT INTEGAL LIPAT A. SIFAT-SIFAT INTEGAL
Lebih terperinciPENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 1 - I
PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 1 - I 1. Pendahuluan Pengertian Persamaan Diferensial Metoda Penyelesaian -contoh Aplikasi 1 1.1. Pengertian Persamaan Differensial Secara Garis Besar Persamaan
Lebih terperinciUniversitas Indonusa Esa Unggul Fakultas Ilmu Komputer Teknik Informatika. Persamaan Diferensial Orde II
Universitas Indonusa Esa Unggul Fakultas Ilmu Komputer Teknik Informatika Persamaan Diferensial Orde II PDB Orde II Bentuk umum : y + p(x)y + g(x)y = r(x) p(x), g(x) disebut koefisien jika r(x) = 0, maka
Lebih terperinciProgram Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Persamaan Diferensial Orde II
Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Persamaan Diferensial Orde II [MA4] PDB Orde II Bentuk umum : y + p(x)y + g(x)y = r(x) p(x), g(x) disebut koefisien jika r(x) = 0, maka Persamaan
Lebih terperinciPERSAMAAN DIFFERENSIAL LINIER
PERSAMAAN DIFFERENSIAL LINIER Persamaan Differensial Linier Pengertian : Suatu persamaan differensial orde satu dikatakan linier jika persamaan tersebut dapat dituliskan sbb: y + p x y = r(x) (1) linier
Lebih terperinciKalkulus Multivariabel I
Integral Lipat-Dua dalam Koordinat Kutub Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Terdapat beberapa kurva tertentu pada suatu bidang yang lebih mudah dijelaskan dengan menggunakan koordinat Kutub.
Lebih terperinci1.1 Fungsi Dua Peubah Atau Lebih 1.2 Turunan Parsial Fungsi Dua Peubah atau Lebih
] 1 Pada Bab 1 ini akan dibahas antara lain sebagai berikut. 1.1 Fungsi Dua Peubah Atau Lebih 1.2 Turunan Parsial Fungsi Dua Peubah atau Lebih Tema sentral dari bab ini adalah kalkulus dari fungsi peubah
Lebih terperinciKalkulus Multivariabel I
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Salah satu jenis generalisasi integral tentu b f (x)dx diperoleh dengan menggantikan himpunan [a, b] yang kita integralkan menjadi himpunan berdimensi dua dan
Lebih terperinciProgram Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom [MA1124] KALKULUS II
Program Peruliahan asar Umum Seolah Tinggi Tenologi Telom Integral Lipat ua [MA4] Integral Lipat ua Misalan z f(,) terdefinisi pada merupaan suatu persegi panjang tertutup, aitu : {(, ) : a b, c d} b a
Lebih terperinciSaat mempelajari gerak melingkar, kita telah membahas hubungan antara kecepatan sudut (ω) dan kecepatan linear (v) suatu benda
1 Benda tegar Pada pembahasan mengenai kinematika, dinamika, usaha dan energi, hingga momentum linear, benda-benda yang bergerak selalu kita pandang sebagai benda titik. Benda yang berbentuk kotak misalnya,
Lebih terperinciBAB II PENGANTAR SOLUSI PERSOALAN FISIKA MENURUT PENDEKATAN ANALITIK DAN NUMERIK
BAB II PENGANTAR SOLUSI PERSOALAN FISIKA MENURUT PENDEKATAN ANALITIK DAN NUMERIK Tujuan Instruksional Setelah mempelajari bab ini pembaca diharapkan dapat: 1. Menjelaskan cara penyelesaian soal dengan
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Kompetensi
BAB I PENDAHULUAN Kompetensi Mahasiswa diharapkan 1. Memiliki kesadaran tentang manfaat yang diperoleh dalam mempelajari materi kuliah persamaan diferensial. 2. Memahami konsep-konsep penting dalam persamaan
Lebih terperinciMACLAURIN S SERIES. Ghifari Eka
MACLAURIN S SERIES Ghifari Eka Taylor Series Sebelum membahas mengenai Maclaurin s series alangkah lebih baiknya apabila kita mengetahui terlebih dahulu mengenai Taylor series. Misalkan terdapat fungsi
Lebih terperinciPersamaan Diferensial
TKS 4003 Matematika II Persamaan Diferensial Linier Homogen & Non Homogen Tk. n (Differential: Linier Homogen & Non Homogen Orde n) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya Pendahuluan
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Kompetensi
BAB I PENDAHULUAN Kompetensi Mahasiswa diharapkan 1. Memiliki kesadaran tentang manfaat yang diperoleh dalam mempelajari materi kuliah persamaan diferensial. 2. Memahami konsep-konsep penting dalam persamaan
Lebih terperincipanjang yang berukuran x i dan y i. Ambil sebuah titik pada sub persegi d
INTEGAL ANGKAP. Integral angkap Dua. Volume dan Pusat Massa. Integral angkap Tiga.4 Koordinat Tabung dan Koordinat Bola.. Intergral angkap Dua Misal diberikan daerah di bidang XOY ang berbentuk persegi
Lebih terperinciPersamaan Di erensial Orde-2
oki neswan FMIPA-ITB Persamaan Di erensial Orde- Persamaan diferensial orde-n adalah persamaan yang melibatkan x; y; dan turunan-turunan y; dengan yang paling tinggi adalah turunan ke-n: F x; y; y ; y
Lebih terperinciMEDAN LISTRIK. Oleh Muatan Kontinu. (Kawat Lurus, Cincin, Pelat)
MDAN LISTRIK Oleh Muatan Kontinu (Kawat Lurus, Cincin, Pelat) FISIKA A Semester Genap 6/7 Program Studi S Teknik Telekomunikasi Universitas Telkom Medan listrik akibat muatan kontinu Muatan listrik kontinu
Lebih terperinciKalkulus Multivariabel I
atas Persegi Panjang Integral dalam uang Berdimensi n: atas Persegi Panjang Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 atas Persegi Panjang Sifat-Sifat Perhitungan pada Masalah-masalah yang dipecahkan
Lebih terperinciCatatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I
Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Oleh Hendra Gunawan, Ph.D. Departemen Matematika ITB Sasaran Belajar Setelah mempelajari materi Kalkulus Elementer I, mahasiswa diharapkan memiliki (terutama):
Lebih terperinciBab II Konsep Dasar Metode Elemen Batas
Bab II Konsep Dasar Metode Elemen Batas II.1 II.1.1 Kalkulus Dasar Teorema Gradien Misal menyatakan domain pada ruang dimensi dua dan menyatakan batas i x + j 2 2 x 2 + 2 2 elanjutnya, penentuan integral
Lebih terperinciDIKTAT KALKULUS MULTIVARIABEL I
DIKTAT KALKULUS MULTIVARIABEL I Oleh Atina Ahdika, S.Si, M.Si Ayundyah Kesumawati, S.Si, M.Si (Program Studi Statistika) FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS ISLAM INDONESIA 214/215
Lebih terperinciPERSAMAAN DIFERENSIAL I PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA
PERSAMAAN DIFERENSIAL I PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA Persamaan Diferensial Biasa 1. PDB Tingkat Satu (PDB) 1.1. Persamaan diferensial 1.2. Metode pemisahan peubah dan PD koefisien fungsi homogen 1.3. Persamaan
Lebih terperinciKalkulus Multivariabel I
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 214 Salah satu jenis generalisasi integral tentu b f (x)dx diperoleh dengan menggantikan himpunan [a, b] yang kita integralkan menjadi himpunan berdimensi dua
Lebih terperinciPersamaan Diferensial
TKS 4003 Matematika II Persamaan Diferensial Linier Homogen Tk. 2 (Differential: Linier Homogen Orde 2) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya PD linier homogen orde 2 Bentuk
Lebih terperinciANALISIS VEKTOR. Aljabar Vektor. Operasi vektor
ANALISIS VEKTOR Aljabar Vektor Operasi vektor Besaran yang memiliki nilai dan arah disebut dengan vektor. Contohnya adalah perpindahan, kecepatan, percepatan, gaya, dan momentum. Sementara itu, besaran
Lebih terperinciINTEGRAL. disebut integral tak tentu dan f(x) disebut integran. = X n+1 + C, a = konstanta
INTEGRAL Jika f(x) = F (x) adalah turunan pertama dari fungsi F(x) maka F(x) adalah antiturunan dari f(x)dan ditulis dengan F(x) = (dibaca integral f(x) terhadap x) = lambang integral, f(x) = integran.
Lebih terperinciCatatan Kuliah KALKULUS II BAB V. INTEGRAL
BAB V. INTEGRAL Anti-turunan dan Integral TakTentu Persamaan Diferensial Sederhana Notasi Sigma dan Luas Daerah di Bawah Kurva Integral Tentu Teorema Dasar Kalkulus Sifat-sifat Integral Tentu Lebih Lanjut
Lebih terperinciBAB 2 PERSAMAAN DIFFERENSIAL BIASA
BAB 2 BIASA 2.1. KONSEP DASAR Persamaan Diferensial (PD) Biasa adalah persamaan yang mengandung satu atau beberapa penurunan y (varibel terikat) terhadap x (variabel bebas) yang tidak spesifik dan ditentukan
Lebih terperinciBagian 7 Koordinat Kutub
Bagian 7 Koordinat Kutub Bagian 7 Koordinat Kutub mempelajari bagaimana teknik integrasi yang telah Anda pelajari dalam bagian sebelumnya dapat digunakan untuk menyelesaikan soal yang berhubungan dengan
Lebih terperinciKalkulus Peubah Banyak Modul Pembelajaran. January UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH MALANG ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI, M.Pd
Kalkulus Peubah Banyak Modul Pembelajaran January UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH MALANG ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI, M.Pd IDENTITAS MAHASISWA NAMA : KLS/NIM :. KELOMPOK:. A l f i a n i A t h m a P u t r i R
Lebih terperinciPERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE SATU
PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE SATU Definisi: Persamaan diferensial adalah suatu hubungan yang terdapat antara suatu variabel independen x, suatu variabel dependen y, dan satu atau lebih turunan y terhadap
Lebih terperinciHendra Gunawan. 23 April 2014
MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan Semester II, 2013/2014 23 April 2014 Kuliah ang Lalu 13.11 Integral Lipat Dua atas Persegi Panjang 13.2 Integral Berulang 13.3 33Integral Lipat Dua atas Daerah Bukan
Lebih terperinciperpindahan, kita peroleh persamaan differensial berikut :
1.1 Pengertian Persamaan Differensial Banyak sekali masalah terapan (dalam ilmu teknik, ilmu fisika, biologi, kimia, sosial, dan lain-lain), yang telah dirumuskan dengan model matematika dalam bentuk persamaan
Lebih terperinciPertemuan 1 dan 2 KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL
Pertemuan 1 dan 2 KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL A. PENGERTIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL Dalam pelajaran kalkulus, kita telah berkenalan dan mengkaji berbagai macam metode untuk mendiferensialkan suatu
Lebih terperinciKalkulus II. Institut Teknologi Kalimantan
Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () 2018 1 / 71 Kalkulus II Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Teknologi Kalimantan
Lebih terperinciKalkulus Multivariabel I
atas Persegi Panjang Integral dalam uang Berdimensi n: atas Persegi Panjang Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia atas Persegi Panjang Masalah-masalah yang dipecahkan dengan menggunakan integral
Lebih terperinciMatematika Teknik Dasar-2 10 Aplikasi Integral - 1. Sebrian Mirdeklis Beselly Putra Teknik Pengairan Universitas Brawijaya
Matematika Teknik Dasar- 10 Aplikasi Integral - 1 Sebrian Mirdeklis Beselly Putra Teknik Pengairan Universitas Brawijaya Volume Benda-Putar Sebuah bentuk bidang yang dibatasi kurva y = f(x), sumbu-x, dan
Lebih terperinciINTEGRAL (ANTI DIFERENSIAL) Tito Adi Dewanto S.TP
A. Soal dan Pembahasan. ( x ) dx... Jawaban : INTEGRAL (ANTI DIFERENSIAL) Tito Adi Dewanto S.TP ( x) dx x dx x C x C x x C. ( x 9) dx... x Jawaban : ( x 9) dx. (x x 9) dx x 9x C x x x. (x )(x + ) dx =.
Lebih terperinciBAB III HASIL DAN PEMBAHASAN. analitik dengan metode variabel terpisah. Selanjutnya penyelesaian analitik dari
BAB III HASIL DAN PEMBAHASAN Pada bab ini akan dibahas penurunan model persamaan panas dimensi satu. Setelah itu akan ditentukan penyelesaian persamaan panas dimensi satu secara analitik dengan metode
Lebih terperinciPersamaan Diferensial
Orde Satu Jurusan Matematika FMIPA-Unud Senin, 18 Desember 2017 Orde Satu Daftar Isi 1 Pendahuluan 2 Orde Satu Apakah Itu? Solusi Pemisahan Variabel Masalah Gerak 3 4 Orde Satu Pendahuluan Dalam subbab
Lebih terperinciTeorema Divergensi, Teorema Stokes, dan Teorema Green
TEOREMA DIVERGENSI, STOKES, DAN GREEN Materi pokok pertemuan ke 13: 1. Teorema divergensi Gauss URAIAN MATERI Untuk memudahkan perhitungan seringkali dibutuhkan penyederhanaan bentuk integral yang berdasarkan
Lebih terperinciPada integral diatas, dalam mencari penyelesaiannya, pertama diintegralkan terlebih dahulu terhadap x kemudian diintegralkan lagi terhadap y.
PENDAHULUAN Pada bagian ini akan dibahas perluasan integral tertentu ke bentuk integral lipat dua dari fungsi dua peubah Akan dibahas bentukbentuk integral lipat dalam koordinat kartesius koordinat kutub
Lebih terperinci1. (25 poin) Sebuah bola kecil bermassa m ditembakkan dari atas sebuah tembok dengan ketinggian H (jari-jari bola R jauh lebih kecil dibandingkan
. (5 poin) Sebuah bola kecil bermassa m ditembakkan dari atas sebuah tembok dengan ketinggian H (jari-jari bola R jauh lebih kecil dibandingkan dengan H). Kecepatan awal horizontal bola adalah v 0 dan
Lebih terperinciKurikulum 2013 Antiremed Kelas 11 Matematika
Kurikulum 03 Antiremed Kelas Matematika Turunan Fungsi dan Aplikasinya Soal Doc. Name: K3ARMATPMT060 Version: 05-0 halaman 0. Jika f(x) = 8x maka f (x). (A) 8x (B) 8x (C) 6x (D) 6x (E) 4x 0. Diketahui
Lebih terperinciK13 Revisi Antiremed Kelas 11 Matematika
K3 Revisi Antiremed Kelas Matematika Turunan - Latihan Soal Doc. Name: RK3ARMATWJB080 Version: 06- halaman 0. Jika f(x) = 8x maka f'(x) =. (A) 8x (B) 8x (C) 6x (D) 6x (E) 4x 0. Diketahui y = sin ( π x),
Lebih terperinciMatematika I: Turunan. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
Matematika I: Turunan Dadang Amir Hamzah 2015 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 1 / 61 Outline 1 Garis Singgung Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 2 / 61 Outline 1 Garis Singgung
Lebih terperinciIntegral yang berhubungan dengan kepentingan fisika
Integral yang berhubungan dengan kepentingan fisika 14.1 APLIKASI INTEGRAL A. Usaha Dan Energi Hampir semua ilmu mekanika ditemukan oleh Issac newton kecuali konsep energi. Energi dapat muncul dalam berbagai
Lebih terperinciFT UNIVERSITAS SURABAYA VARIABEL KOMPLEKS SUGATA PIKATAN. Bab V Aplikasi
Bab V Aplikasi Selain aplikasi yang sudah diperkenalkan di bab I, teori variabel kompleks masih memiliki banyak ragam aplikasi lainnya. Beberapa di antaranya akan dibahas di dalam bab ini. Perhitungan
Lebih terperinciOpen Source. Not For Commercial Use
Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1 Limit dan Kekontinuan Misalkan z = f(, y) fungsi dua peubah dan (a, b) R 2. Seperti pada limit fungsi satu peubah, limit fungsi dua peubah bertujuan untuk mengamati
Lebih terperinciMateri UTS. Matematika Optimisasi. Semester Gasal Pengajar: Hazrul Iswadi
Materi UTS Matematika Optimisasi Semester Gasal 6-7 Pengajar: Hazrul Iswadi Daftar Isi Pendahuluan...hal Pertemuan...hal - Pertemuan...hal - 9 Pertemuan...hal - 5 Pertemuan 4...hal 6 - Pertemuan 5...hal
Lebih terperinciKalkulus Multivariabel I
dan Fungsi Implisit dan Fungsi Implisit Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia dan Fungsi Implisit Ingat kembali aturan rantai pada fungsi satu peubah! Jika y = f (x(t)), di mana baik f maupun t
Lebih terperinciListrik Statik. Agus Suroso
Listrik Statik Agus Suroso Muatan Listrik Ada dua macam: positif dan negatif. Sejenis tolak menolak, beda jenis tarik menarik. Muatan fundamental e =, 60 0 9 Coulomb. Atau, C = 6,5 0 8 e. Atom = proton
Lebih terperinciCatatan Kuliah MA1123 KALKULUS ELEMENTER I BAB III. TURUNAN
BAB III. TURUNAN Kecepatan Sesaat dan Gradien Garis Singgung Turunan dan Hubungannya dengan Kekontinuan Aturan Dasar Turunan Notasi Leibniz dan Turunan Tingkat Tinggi Penurunan Implisit Laju yang Berkaitan
Lebih terperinciPersamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat satu atau lebih turunan fungsi yang tidak diketahui.
1 Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat satu atau lebih turunan fungsi yang tidak diketahui. Jika persamaan diferensial memiliki satu peubah tak bebas maka disebut Persamaan Diferensial
Lebih terperinciKalkulus Multivariabel I
dan Gradien dan Gradien Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia dan Gradien Turunan-turunan parsial f x (x, y) dan f y (x, y) mengukur laju perubahan (dan kemiringan garis singgung) pada arah sejajar
Lebih terperincidigunakan untuk menyelesaikan integral seperti 3
Bab Teknik Pengintegralan BAB TEKNIK PENGINTEGRALAN Rumus-rumus dasar integral tak tertentu yang diberikan pada bab hanya dapat digunakan untuk mengevaluasi integral dari fungsi sederhana dan tidak dapat
Lebih terperinciBAB IV PERSAMAAN TAKHOMOGEN
BAB IV PERSAMAAN TAKHOMOGEN Kompetensi Mahasiswa mampu 1. Menentukan selesaian khusus PD tak homogen dengan metode koefisien tak tentu 2. Menentukan selesaian khusus PD tak homogen dengan metode variasi
Lebih terperinciSoal-Jawab Fisika Teori OSN 2013 Bandung, 4 September 2013
Soal-Jawab Fisika Teori OSN 0 andung, 4 September 0. (7 poin) Dua manik-manik masing-masing bermassa m dan dianggap benda titik terletak di atas lingkaran kawat licin bermassa M dan berjari-jari. Kawat
Lebih terperinciSELEKSI OLIMPIADE NASIONAL MIPA PERGURUAN TINGGI (ONMIPA-PT) 2014 TINGKAT UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH JAKARTA BIDANG FISIKA
SELEKSI OLIMPIADE NASIONAL MIPA PERGURUAN TINGGI (ONMIPA-PT) 2014 TINGKAT UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH JAKARTA BIDANG FISIKA Hari, tanggal: Rabu, 2 April 2014 Waktu: 60 menit Nama: NIM: 1. (50 poin) Sebuah
Lebih terperinciK 1. h = 0,75 H. y x. O d K 2
1. (25 poin) Dari atas sebuah tembok dengan ketinggian H ditembakkan sebuah bola kecil bermassa m (Jari-jari R dapat dianggap jauh lebih kecil daripada H) dengan kecepatan awal horizontal v 0. Dua buah
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA. tegak, perlu diketahui tentang materi-materi sebagai berikut.
BAB II TINJAUAN PUSTAKA Sebelum pembahasan mengenai irisan bidang datar dengan tabung lingkaran tegak, perlu diketahui tentang materi-materi sebagai berikut. A. Matriks Matriks adalah himpunan skalar (bilangan
Lebih terperinciDIKTAT KULIAH KALKULUS PEUBAH BANYAK (IE-308)
DIKTAT KULIAH (IE-308) BAB 7 INTEGRAL PERMUKAAN Diktat ini digunakan bagi mahasiswa Jurusan Teknik Industri Fakultas Teknik Universitas Kristen Maranatha Ir. Rudy Wawolumaja M.Sc JURUSAN TEKNIK INDUSTRI
Lebih terperinciMA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegral
MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegralan Do maths and you see the world Integral atau Anti-turunan? Integral atau pengintegral adalah salah satu konsep (penting) dalam matematika disamping
Lebih terperinciBab 1 Vektor. A. Pendahuluan
Bab 1 Vektor A. Pendahuluan Dalam mata kuliah Listrik Magnet A, maupun mata kuliah Listrik Magnet B sebagaii lanjutannya, penyajian konsep dan pemecahan masalah akan banyak memerlukan pengetahuan tentang
Lebih terperinciCatatan Kuliah FI2101 Fisika Matematik IA
Khairul Basar atatan Kuliah FI2101 Fisika Matematik IA Semester I 2015-2016 Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Bandung Bab 6 Analisa Vektor 6.1 Perkalian Vektor Pada bagian
Lebih terperinciTUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS
PREVIEW KALKULUS TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Mahasiswa mampu: menyebutkan konsep-konsep utama dalam kalkulus dan contoh masalah-masalah yang memotivasi konsep tersebut; menjelaskan menyebutkan konsep-konsep
Lebih terperinciTURUNAN. Bogor, Departemen Matematika FMIPA-IPB. (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, / 50
TURUNAN Departemen Matematika FMIPA-IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 1 / 50 Topik Bahasan 1 Pendahuluan 2 Turunan Fungsi 3 Tafsiran Lain Turunan 4 Kaitan
Lebih terperinciKONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL
KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL A. PENGERTIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL Dalam pelajaran kalkulus, kita telah berkenalan dan mengkaji berbagai macam metode untuk mendiferensialkan suatu fungsi (dasar). Sebagai
Lebih terperinciKALKULUS MULTIVARIABEL II
Pada Bidang Bentuk Vektor dari KALKULUS MULTIVARIABEL II (Minggu ke-9) Andradi Jurusan Matematika FMIPA UGM Yogyakarta, Indonesia Pada Bidang Bentuk Vektor dari 1 Definisi Daerah Sederhana x 2 Pada Bidang
Lebih terperinciDIKTAT KULIAH KALKULUS PEUBAH BANYAK (IE-308)
DIKTAT KULIAH (IE-308) BAB 5 INTEGRAL LIPAT Diktat ini digunakan bagi mahasiswa Jurusan Teknik Industri Fakultas Teknik Universitas Kristen Maranatha Ir. Rudy Wawolumaja M.Sc JURUSAN TEKNIK INDUSTRI -
Lebih terperinciCatatan Kuliah FI1101 Fisika Dasar IA Pekan #8: Osilasi
Catatan Kuliah FI111 Fisika Dasar IA Pekan #8: Osilasi Agus Suroso update: 4 November 17 Osilasi atau getaran adalah gerak bolak-balik suatu benda melalui titik kesetimbangan. Gerak bolak-balik tersebut
Lebih terperinciKalkulus 2. Teknik Pengintegralan ke - 1. Tim Pengajar Kalkulus ITK. Institut Teknologi Kalimantan. Januari 2018
Kalkulus 2 Teknik Pengintegralan ke - 1 Tim Pengajar Kalkulus ITK Institut Teknologi Kalimantan Januari 2018 Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 1 / 36 Daftar
Lebih terperinciGambar 7.1 Sebuah benda bergerak dalam lingkaran yang pusatnya terletak pada garis lurus
BAB 7. GERAK ROTASI 7.1. Pendahuluan Gambar 7.1 Sebuah benda bergerak dalam lingkaran yang pusatnya terletak pada garis lurus Sebuah benda tegar bergerak rotasi murni jika setiap partikel pada benda tersebut
Lebih terperinciMatematika I: APLIKASI TURUNAN. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 70
Matematika I: APLIKASI TURUNAN Dadang Amir Hamzah 2015 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 1 / 70 Outline 1 Maksimum dan Minimum Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 2 / 70 Outline
Lebih terperinciBAB II KAJIAN TEORI. dalam penulisan bab III. Materi yang diuraikan berisi tentang definisi, teorema,
BAB II KAJIAN TEORI Pada bab ini akan dibahas tentang beberapa hal yang menjadi landasan dalam penulisan bab III. Materi yang diuraikan berisi tentang definisi, teorema, dan beberapa kajian matematika,
Lebih terperinciListrik Statik. Agus Suroso
Listrik Statik Agus Suroso Muatan Listrik Ada dua macam: positif dan negatif. Sejenis tolak menolak, beda jenis tarik menarik. Muatan fundamental e =, 60 0 9 Coulomb. Atau, C = 6,5 0 8 e. Atom = proton
Lebih terperinciKeep running VEKTOR. 3/8/2007 Fisika I 1
VEKTOR 3/8/007 Fisika I 1 BAB I : VEKTOR Besaran vektor adalah besaran yang terdiri dari dua variabel, yaitu besar dan arah. Sebagai contoh dari besaran vektor adalah perpindahan. Sebuah besaran vektor
Lebih terperinciRingkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 36
Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 36 Irisan Kerucut animation 1 animation 2 Irisan kerucut adalah kurva ang terbentuk dari perpotongan antara sebuah kerucut dengan bidang datar. Kurva irisan ini
Lebih terperinciMA1201 KALKULUS 2A Do maths and you see the world
Catatan Kuliah MA20 KALKULUS 2A Do maths and you see the world disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 203 Catatan kuliah ini ditulis
Lebih terperinciMATEMATIKA TEKNIK 2 S1-TEKNIK ELEKTRO. Mohamad Sidiq
MATEMATIKA TEKNIK 2 S1-TEKNIK ELEKTRO REFERENSI E-BOOK REFERENSI ONLINE SOS Mathematics http://www.sosmath.com/diffeq/diffeq.html Wolfram Research Math World http://mathworld.wolfram.com/ordinarydifferentialequation.h
Lebih terperinciSebuah garis dalam bidang xy bisa disajikan secara aljabar dengan sebuah persamaan berbentuk :
Persamaan Linear Sebuah garis dalam bidang xy bisa disajikan secara aljabar dengan sebuah persamaan berbentuk : a x + a y = b Persamaan jenis ini disebut sebuah persamaan linear dalam peubah x dan y. Definisi
Lebih terperinciKALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia
KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia BAB II. FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN Fungsi dan Operasi pada Fungsi Beberapa Fungsi Khusus Limit dan Limit
Lebih terperinciSoal dan Solusi Materi Elektrostatika
P Soal dan Solusi Materi Elektrostatika 1. Tentukan medan listrik pada jarak z di atas salah satu ujung kawat sepanjang L yang membawa muatan berdistribusi seragam dengan rapat muatan, seperti gambar berikut
Lebih terperinciBab 16. LIMIT dan TURUNAN. Motivasi. Limit Fungsi. Fungsi Turunan. Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan 1/35
Bab 16 Grafik LIMIT dan TURUNAN Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 1/35 Grafik Pada dasarnya, konsep limit dikembangkan untuk mengerjakan perhitungan matematis yang melibatkan: nilai sangat kecil; Matematika
Lebih terperinciIII HASIL DAN PEMBAHASAN
Fungsi periodizer kutub tersebut dapat dituliskan pula sebagai: p θ, N, θ 0 = π N N.0 n= n sin Nn θ θ 0. () f p θ, N, θ 0 = π N N j= j sin Nj θ θ 0 diperoleh dengan menyubstitusi variabel θ pada f θ =
Lebih terperinciIKIP BUDI UTOMO MALANG. Analytic Geometry TEXT BOOK. Alfiani Athma Putri Rosyadi, M.Pd
IKIP BUDI UTOMO MALANG Analytic Geometry TEXT BOOK Alfiani Athma Putri Rosyadi, M.Pd 2012 DAFTAR ISI 1 VEKTOR 1.1 Vektor Pada Bidang... 4 1.2 Vektor Pada Ruang... 6 1.3 Operasi Vektor.. 8 1.4 Perkalian
Lebih terperinciBAB III Diferensial. Departemen Teknik Kimia Universitas Indonesia
BAB III Diferensial Departemen Teknik Kimia Universitas Indonesia BAB III. TURUNAN Kecepatan Sesaat dan Gradien Garis Singgung Turunan dan Hubungannya dengan Kekontinuan Aturan Dasar Turunan Notasi Leibniz
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Matematika bersifat universal dan banyak kaitannya dengan kehidupan nyata. Matematika berperan sebagai ratu ilmu sekaligus sebagai pelayan ilmu-ilmu yang lain. Kajian
Lebih terperinciPembahasan Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN)
Pembahasan Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri SNMPTN) Bidang Matematika Kode Paket Oleh : Fendi Alfi Fauzi. Lingkaran x 6) 2 + y + ) 2 menyinggung garis y di titik a), ) b), ) c) 6, ) d) 6,
Lebih terperinciKalkulus Variasi. Persamaan Euler, Masalah Kalkulus Variasi Berkendala, Syarat Batas. Toni Bakhtiar. Departemen Matematika IPB.
Kalkulus Variasi Persamaan Euler, Masalah Kalkulus Variasi Berkendala, Syarat Batas Toni Bakhtiar Departemen Matematika IPB Februari 214 tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari 214 1
Lebih terperinciMODUL MATEMATIKA II. Oleh: Dr. Eng. LILYA SUSANTI
MODUL MATEMATIKA II Oleh: Dr. Eng. LILYA SUSANTI DEPARTEMEN RISET TEKNOLOGI DAN PENDIDIKAN TINGGI UNIVERSITAS BRAWIJAYA FAKULTAS TEKNIK JURUSAN TEKNIK SIPIL KATA PENGANTAR Puji sukur kehadirat Allah SWT
Lebih terperinci