LAMPIRAN A. (Beberapa Besaran Fisika, Faktor konversi dan Alfabet Yunani)

Transkripsi

1 LAMPIRAN A (Bebeapa Besaan Fisika, Fakto konvesi dan Alfabet Yunani) Bebeapa Tetapan dan Besaan Fisika Massa matahai Jai-jai matahai Massa bumi Kecepatan cahaya Konstanta gavitasi = 1, kg = 6, km = 5, kg = m/s = 6, m 3 /s 2 kg Alfabet Yunani Alpha Α α Nu Ν ν Beta Β β Xi Ξ ξ Gamma Γ γ Omicon Ο ο Delta Δ δ Pi Π π Epsilon Ε ε Rho Ρ ρ Zeta Ζ ζ Sigma Σ σ Eta Η η Tau Τ τ Theta Θ θ Upsilon Υ υ Iota Ι ι phi Φ φ, φ Kappa Κ κ Chi Χ χ Lambda Λ λ Psi Ψ ψ Mu Μ μ Omega Ω ω

2 LAMPIRAN B PENYELESAIAN METRIK SCHWARZSCHILD Penyelesaian Schwazschild Hubungan affine (affine connection) atau lambang Chistoffel dapat dihitung dengan menggunakan fomula : Γ λ μv = 1 2 gλρ g ρμ x v + g vρ x μ g μv (B. 1) xρ Dengan umus diatas dan metik yang dibeikan oleh pesamaan (2.29) dan (2.30), komponen lambang Chistoffel yang tak lenyap benilai Γ = 1 da() 2A() d Γ θθ = A() Γ φφ = sin2 θ A() Γ tt = 1 db() 2A() d Γ θ θ = Γ θ θ = Γ φ φ = Γ φ φ = 1 Γ θ φφ = sinθcosθ Γ φ φθ = Γ φ θφ = cotθ Dan Γ t t = Γ t t = 1 db() 2B() d

3 Lebih lanjut, dibutuhkan besaan tenso Ricci yang diumuskan sebagai R μκ = Γ μλ λ x κ Γ λ μκ x λ + Γ μλ η Γ λ κη Γ η λ μκ Γ λη (B. 2) Dai lambang-lambang Chistoffel diatas, komponen-komponen tenso Ricci dibeikan sebagai R = B"() 2B() 1 B () () 4 B() A A() + B () B() 1 A () A() R θθ = 1 + 2A() A () A() + B () B() + 1 A() R φφ = sin 2 θr θθ R tt = B () 2A() + 1 B () () 4 A() A A() + B () B() 1 B () A() Dan R μv = 0 untuk μ v (B. 3) Pada pesamaan-pesamaan diatas, tanda aksen beati tuunan/deivative ke. Dai hasil diatas, komponen R θ, R φ, R tθ R θt dan R θφ lenyap, seta R φφ = R θθ sin 2 θ yang menunjukkan konsekuensi dai invainasi tehadap tansfomasi otasi pada metik tesebut. Sementaa itu R t lenyap akibat konsekuensi adanya invaiasni bentuk metik ketika dilakukan tansfomasi pembalikan waktu t t. Selanjutnya pesamaan medan gavitasi Einstein akan diteapkan untuk metik isotopik statik tesebut. Pesamaan medan gavitasi Einstein untuk uang kosong tesebut bebentuk R μv = 0 Hubungan dai pesamaan antaa R dan R tt dapat ditulis menjadi R A + R tt B = 1 A A A + B (B. 4) B

4 Dengan meneapkan pesamaan R μv = 0, maka pesamaan diatas menjadi A A = B B (B. 5) Atau A()B() = konstan (B. 6) Selanjutnya syaat batas untuk A dan B adalah bahwa untuk, bentuk metik isotopik statik tesebut haus kembali kebentuk metik Minkowski dalam koodinat bola, yang beati lim A() = lim B() = 1 (B. 7) Dengan syaat batas ini hubungan antaa A() dan B() dapat dituliskan secaa lebih eksplisit dalam bentuk A() = 1 (B. 8) B() Adapun komponen tenso Ricci yang lain pada pesamaan R dan R θθ dapat dituliskan menjadi R θθ = 1 + B () + B() (B. 9) Dan R = B 2B + B B = R θθ 2B (B. 10) Yang dengan mengingat bahwa R θθ = 0 maka B + B = d (B) = 1 (B. 11) d Solusi pesamaan difeensial diatas adalah B() = + tetapan (B. 12)

5 Untuk menentukan nilai tetapan integasi diatas, kita mengetahui bahwa untuk jaak yang cukup jauh dai pusat massa M yang teletak dipusat koodinat O, komponen g tt = B haus benilai mendekati (1+2U) dengan U adalah potensial Newton benda bemassa M pada jaak yang benilai U = GM/. Jadi nilai tetapan integasi diatas adalah -2GM, sehingga B() = 1 2GM (B. 13) Dan A() = 1 2GM 1 (B. 14) Akhinya bentuk metik isotopik statik untuk uang waktu 4 dimensi bekoodinat bola adalah ds 2 = 1 2GM dt2 1 2GM 1 d (dθ 2 + sin 2 θdφ 2 ) (B. 15) Bentuk metik ini petama kali dituunkan oleh K.Schwazschild pada tahun Kaena itu, metik ini seing disebut metik Schwazschild. Bentuk metik tesebut masih mengisikan nilai c=1. Apabila nilai c diisikan, bentuk metik Schwazschild menjadi ds 2 = 1 2GM c 2 c2 dt 2 1 2GM c 2 1 d (dθ 2 + sin 2 θdφ 2 ) (B. 16) Bentuk 2GM/c 2 seing disingkat menjadi m (besatuan panjang), sehingga metik diatas menjadi ds 2 = 1 2m c2 dt 2 1 2m 1 d (dθ 2 + sin 2 θdφ 2 ) (B. 17) Metik Schwazschild ini besifat simeti bola dan meepesentasikan medan gavitasi dilua suatu patikel besimeti bola dengan pusat patikel teletak pada pusat koodinat bola.

6 LAMPIRAN C HUBUNGAN SIMBOL CHRISTOFFEL DENGAN TENSOR METRIK Untuk mempeoleh hubungan antaa simbol Chistoffel dengan tenso metik, petama kita mengingat umus untuk tenso metik yaitu g μν = ξα x μ ξ β x ν η αβ (C. 1) Dituunkan tehadap x λ membeikan g μν x λ = 2 ξ α ξ β x λ x μ x ν η αβ + ξα 2 ξ β x μ x λ x ν η αβ Dengan mengingat defenisi koneksi affine (simbol Chistoffel) yaitu Sehingga akan didapat g μν x λ Γ λ μν = xλ 2 ξ α ξ α x μ x ν = Γ ρ ξ α ξ β λμ x ρ x ν η ρ ξ α ξ β αβ + Γ λν x μ x ρ η αβ Dengan menggunakan kembali tenso metik akan didapat g μν x λ = Γ ρ λμg ρν + Γ ρ λν g ρμ (C. 2) Tambahkan pesamaan (C.2) dengan pesamaan yang sama dengan petukaan μ dan λ seta kuangkan dengan pesamaan sama dengan petukaan ν dan λ. Selanjutnya akan didapat g μν x λ + g λν x μ g μλ x ν = Γ λμ κ g κν + Γ κ λν g κμ + Γ κ μλ g κν + Γ κ μν g κλ Γ κ νμ g κλ Γ κ νλ g κμ

7 g μν x λ + g λν x μ g μλ x ν = 2g κ κνγ λμ (C. 3) κ (Γ μν dan g μν simeti dibawah petukaan μ dan ν.) dengan mengalikan pesamaan ini dengan g νσ, dan mengingat bahwa didefenisikan g νσ g κν = δ κ σ Yang kemudian membeikan hasil akhi Γ λμ σ = 1 2 gνσ g μν x λ + g λν x μ g μλ (C. 4) xμ

8 LAMPIRAN D JUMLAH KUADARAT PERSAMAAN (4.11) Jumlah kuadat pesamaan (4.11) dx 2 + dy 2 + dz 2 = (sinθcosφ d + cosθcosφ dθ sinθsinφ dφ) 2 + (sinθsinφ d + cosθsinφ dθ + sinθcosφ dφ ) 2 + (cosθ d sinθ dθ) 2 (D. 1) Maka dipeoleh dx 2 + dy 2 + dz 2 = sin 2 θcos 2 φd cos 2 θcos 2 φdθ sin 2 θsin 2 φdφ 2 +2sinθcosθcos 2 φ ddθ 2sin 2 θsinφ cosφ ddφ 2 2 cosθcosφsinθsinφdθdφ + sin 2 θsin 2 φd cos 2 θsin 2 φdθ sin 2 θcos 2 φdφ 2 + 2sinθcosθsin 2 φddθ + 2sin 2 θsinφ cosφddφ cosθsinθcosφsinφdθdφ + cos 2 θd sin 2 θdθ 2 2sinθcosθ ddθ (D. 2) Maka dx 2 + dy 2 + dz 2 = sin 2 θ(cos 2 φ + sin 2 φ)d cos 2 θ(sin 2 φ + cos 2 φ)dθ sin 2 θ(sin 2 φ + cos 2 φ)dφ 2 + 2sinθcosθ(cos 2 φ + sin 2 φ) ddθ + cos 2 θd sin 2 θdθ 2 2sinθcosθ ddθ dx 2 + dy 2 + dz 2 = sin 2 θd cos 2 θdθ sin 2 θdφ 2 + 2sinθcosθ ddθ + cos 2 θd sin 2 θdθ 2 2sinθcosθ ddθ dx 2 + dy 2 + dz 2 = d 2 (sin 2 θ + cos 2 θ) + 2 (cos 2 θ+sin 2 θ)dθ sin 2 θdφ 2 Sehingga dipeoleh dx 2 + dy 2 + dz 2 = d dθ sin 2 θdφ 2 dx 2 + dy 2 + dz 2 d 2 = 2 (dθ 2 + sin 2 θdφ 2 ) (D. 3