Deret Fourier dan Transformasi Fourier

Transkripsi

1 Bab 6 caku fi58 by khbasar; sem 2-2 Deret Fourier dan Transformasi Fourier 6. Fungsi Periodik Suatu fungsi dikatakan periodik jika niai fungsi tersebut beruang untuk seang besaran tertentu. Secara definisi, dapat dikatakan bahwa suatu fungsi f(x) disebut periodik jika f(x+p) f(x) untuk setiap x; biangan p disebut sebagai perioda. Misanya fungsi f(x) sin x periodanya adaah ( karena ) x sin(x+) sinx. Secara umum diperoeh perioda dari fungsi sin T adaah T. Gerak benda yang dinyatakan daam gerak harmonik sederhana (simpe harmonic motion) dapat dinyatakan daam bentuk fungsi sinus ataupun fungsi cosinus. Teah diuraikan disinggung sebeumnya bahwa biangan kompeks (diagram Argand) dapat juga digunakan untuk menyatakan posisi benda. Hubungan antara penuisan biangan kompeks dengan sinus dan cosinus juga teah dibahas pada BAB V, yaitu yang dapat dituiskan daam bentuk z x+iy A(cosωt+sinωt) Ae iωt (6.) 6.2 Niai Rata-rata suatu Fungsi Konsep niai rata-rata suatu fungsi serupa dengan konsep rata-rata suatu kumpuan biangan. Bia terdapat sekumpuan biangan, maka niai rata-rat biangan tersebut adaah diperoeh dengan menjumahkan biangan-biangan tersebut kemudian membaginya dengan banyaknya biangan yang dijumahkan. Demikian hanya dengan rata-rata suatu fungsi f(x). Misakan ingin 7

2 8 Deret Fourier dan Transformasi Fourier dicari rata-rata suatu fungsi f(x) daam seang interva antara x a sampai x b. Rata-rata tersebut dapat diperoeh dengan menjumahkan niai fungsi f(x) di setiap niai x kemudian membaginya dengan banyaknya x. Seperti hanya konsep integra sebagai penjumahan strip-strip di bawah suatu fungsi sebagaimana yang teah di bahas pada BAB IV, maka penjumahan fungsi daam konsep rata-rata juga dinyatakan daam bentuk integra. Dengan demikian rata-rata suatu fungsi f(x) pada interva [a, b] dapat dinyatakan sebagai f(x) [a,b] b a f(x)dx b a (6.2) Tinjau dua buah fungsi yang dinyatakan dengan f(x) sin 2 x dan g(x) cos 2 x. Niai rata-rata fungsi ini untuk interva [,] (satu periode) adaah sin 2 x [,] cos 2 x [,] sin 2 xdx cos 2 xdx Kemudian bia keduanya dijumah, maka akan dapat dinyatakan sin 2 x [,] + cos 2 x [,] (sin 2 x+cos 2 x)dx Karena uas daerah di bawah kurva sin 2 x dan cos 2 x untuk interva [,] adaah sama, berarti dapat diperoeh bahwa sin 2 x [,] cos 2 x [,]. Dengan demikian dapat dinyatakan sin 2 x [,] cos 2 x [,] 2 (6.3) Ha yang sama juga beraku untuk sin 2 nx dan cos 2 nx sin 2 nx [,] cos 2 nx [,] 2 (6.4) 6.3 Koefisien Fourier Tinjau suatu fungsi periodik yang merupakan superposisi dari fungsi-fungsi harmonik sinus dan cosinus daam bentuk f(x) 2 a +a cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+... +b sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+... (6.5)

3 6.3 Koefisien Fourier 9 Karena sin nx dan cos nx mempunyai perioda sebesar, maka berarti fungsi f(x) tersebut juga mempunyai perioda sebesar. Kemudian dengan mengingat beberapa hubungan berikut ini sinmxcosnx [,] sinmxcosnxdx (6.6) caku fi58 by khbasar; sem 2-2 sinmxsinnx [,] sinmxsinnxdx, m n 2, m n, m n cosmxcosnx [,] cosmxcosnxdx, m n 2, m n, m n dx+a +b (6.7) (6.8) Bia f(x) pada persamaan 6.5 dikaikan dengan kemudian diintegrakan pada interva [, ] maka akan diperoeh f(x)dx a cosxdx+a 2 cos2xdx yang memberikan f(x)dx a 2 sinxdx+... a f(x) dx (6.9) Kemudian koefisien a dapat diperoeh dengan mengaikan fungsi f(x) dengan cosx au mengintegrakannya daam interva [,] f(x)cosxdx a cosxdx+a cos 2 xdx 2 +a 2 cos2x cosxdx+... +b sinx cosxdx+...

4 2 Deret Fourier dan Transformasi Fourier dan dengan menggunakan persamaan , maka akan diperoeh f(x)cosxdx a cos 2 xdx a 2 atau a f(x)cosxdx Cara yang sama dapat diakukan untuk memperoeh koefisien a n ainnya, yang secara umum memberikan a n f(x)cosnx dx (6.) Seanjutnya bia fungsi f(x) tersebut di atas dikaikan dengan sinx dan kemudian mengintegrakannya pada interva [, ] maka akan diperoeh koefisien b n dengan cara yang sama yaitu yang dapat dinyatakan daam bentuk umum sebagai berikut b n f(x)sinnx dx (6.) Dengan cara seperti yang dijeaskan di atas, maka suatu fungsi periodik dapat diuraikan (dieskpansikan) ke daam suatu deret sinus cosinus yang dikena sebagai deret Fourier. Contoh Suatu fungsi yang dinyatakan dengan f(x) {, < x <,, < x <, uraikanah fungsi f(x) tersebut daam deret Fourier. Untuk mengekspansikan fungsi tersebut berarti harus dicari koefisien a n dan

5 6.4 Deret Fourier daam Bentuk Kompeks 2 b n yang bersesuaian dengan menggunakan persamaan 6. dan 6.. caku fi58 by khbasar; sem 2-2 a n f(x)cosnx dx [ cosnxdx+ cos nxdx {, untuk n,, untuk n b n f(x)sinnx dx [ sinnxdx+ Dengan demikian diperoeh sin nxdx, untuk n genap, 2, untuk n ganji n f(x) ( sinx + sin3x 3 ] cosnxdx ] sinnxdx + sin5x 5 ) +... Uraian deret Fourier dari fungsi f(x) untuk n 3,9dan5 ditunjukkan daam Gambar 6.. Terihat bahwa semakin banyak n yang digunakan, uraian deret Fourier akan semakin mendekati fungsi yang dimaksud. 6.4 Deret Fourier daam Bentuk Kompeks Daam pembahasan tentang biangan kompeks, teah diuraikan bahwa fungsi sinus dan cosinus dapat dinyatakan daam bentuk biangan kompeks yaitu sinnx einx e inx, cosnx einx +e inx 2i 2 (6.2)

6 22 Deret Fourier dan Transformasi Fourier n 3 n 9 n Gambar 6.: Uraian deret Fourier dari fungsi f(x) untuk n 3,9dan5. Dengan demikian berarti deret Fourier dapat pua dinyatakan daam bentuk fungsi kompeks. f(x) c +c e ix +c e ix +c 2 e 2ix +c 2 e 2ix +... n+ n Tinjau kembai persamaan 6.5 c n e inx (6.3) f(x) 2 a +a cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+... +b sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+... a ( ( ) e ix 2 +a +e ix e )+a 2ix +e 2ix ( ( ) e ix e ix e +b )+b 2ix e 2ix i 2i Sehingga dapat dituiskan daam bentuk f(x) c +c e ix +c e ix +c 2 e 2ix +c 2 e 2ix +c 3 e 3ix +c 3 e 3ix +... n+ n c n e inx (6.4)

7 6.4 Deret Fourier daam Bentuk Kompeks 23 caku fi58 by khbasar; sem 2-2 Untuk memperoeh koefisien c n cara yang sama juga diakukan sebagaimana ketika menentukan koefisien a n dan b n. Perhatikan integra berikut ini e ikx dx eikx eik e ik (6.5) ik ik Dengandemikianbiafungsif(x)dikaikandengan kemudiandiintegrakan dari x hingga x, maka akan diperoeh f(x)dx c c f(x)dx Seanjutnya bia fungsi f(x) tersebut dikaikan dengan e inx kemudian diintegrakan dari x hingga x, maka akan diperoeh f(x)e inx dx c +c e inx dx+c yang memberikan niai untuk koefisien c n yaitu c n e inx e ix dx+... e inx e ix dx f(x)e inx dx (6.6) Uraian deret Fourier di atas adaah untuk fungsi dengan periode sebesar dengan interva [, ]. Fungsi dengan periode namun dengan interva ainnya yaitu misanya [,] juga mempunyai bentuk ungkapan koefisien a n, b n dan c n yang sama, hanya berbeda pada batas integranya, yaitu a n b n c n f(x)cosnx dx (6.7) f(x)sinnx dx (6.8) f(x)e inx dx (6.9) Bagaimana hanya dengan uraian untuk fungsi yang periodanya tidak sama dengan tapi misakan 2 (baik daam interva [,] ataupun [,2])? Untuk mendapatkan ungkapan koefisien deret Fourier ( daam bentuk yang nx ) ebih umum tersebut perhatikanah bahwa fungsi sin mempunyai perioda sebesar 2, yang dapat ditunjukkan dengan ( n ) ( nx ) ( nx ) sin (x+2) sin +2n sin

8 24 Deret Fourier dan Transformasi Fourier ( nx ) Demikian juga hanya dengan fungsi cos dan e inx/ yang mempunyai perioda sebesar 2. Dengan demikian f(x) daam persamaan 6.5 diuraikan menggunakan fungsi sinus dan cosinus yang mempunyai perioda 2 sehingga menjadi f(x) 2 a +a cos x +b sin x +a 2 cos x +b 2 sin x +a 3 cos 3x +b 3 sin 3x (6.2) Demikian juga f(x) pada persamaan 6.3 dapat dituiskan daam bentuk f(x) c +c e ix/ +c e ix/ +c 2 e 2ix/ +c 2 e 2ix/ +... n+ n c n e inx/ (6.2) Kemudian dengan menggunakan beberapa persamaan sebagaimana persamaan , namun dengan perioda dan interva yang berbeda sin mx cos nx 2 sin mx sin nx dx 2 cos mx cos nx dx 2 dx (6.22), m n 2 (6.23), m n, m n 2 (6.24), m n Seanjutnya dengan proses yang sama sebagaimana ketika mendapatkan koefisienkoefisien Fourier di atas, maka akan diperoeh (untuk interva [, ]) a n b n c n 2 f(x)cos nx f(x)sin nx dx dx f(x)e inx/ dx (6.25)

9 6.4 Deret Fourier daam Bentuk Kompeks 25 sedangkan untuk interva [, 2] dapat dinyatakan a n b n c n f(x)cos nx dx f(x)sin nx dx f(x)e inx/ dx (6.26) caku fi58 by khbasar; sem 2-2 Contoh Ekspansikan fungsi berikut daam deret Fourier. f(x) {, < x <,, < x < 2, Fungsi tersebut didefinisikan daam interva [, 2], bia digunakan koefisien c n maka dapat dinyatakan dan juga c n 2 2 f(x)e inx/ dx 2 e inx/ dx+ e inx/ dx e inx/ dx [ ] e inx/ in/, n genap in, n ganji 2 (e 2in e in ) 2in c f(x)dx 2 2 Dengan demikian diperoeh f(x) 2 ( e ix/ e ix/ + i 3 e3ix/ ) 3 e 3ix/ ( sin x + ) 3x sin Pot uraian Fourier fungsi tersebut untuk ditunjukkan daam gambar 6.2.

10 26 Deret Fourier dan Transformasi Fourier n 3 n 7 n Gambar 6.2: Uraian deret Fourier dari fungsi f(x) untuk n 3,7dan7 dengan. 6.5 Fungsi Genap dan Fungsi Ganji Suatu fungsi f(x) dikatakan sebagai fungsi genap jika f( x) f(x). Misanya adaah f(x) x 2, f(x) cosx dan ain sebagainya. Sedangkan suatu fungsi f(x) dikatakan sebagai fungsi ganji jika f( x) f(x). Contoh fungsi ganji adaah f(x) x, f(x) sinx, f(x) x 3 dan ain sebagainya. Secara grafis fungsi genap ditandai dengan kesimetrian terhadap sumbu vertika sedangkan fungsi ganji ditandai dengan kesimetrian terhadap titik pusat koordinat. Dengan sifat kesimetrian fungsi genap dan fungsi ganji tersebut, maka dapat dituiskan bahwa 2 f(x)dx, jikaf(x)fungsi genap f(x)dx (6.27), jika f(x) fungsi ganji Tinjau suatu fungsi f(x) yang merupakan fungsi ganji dan fungsi ain g(x) yang merupakan fungsi genap. Misakan perkaian kedua fungsi tersebut dinyatakan dengan h(x) f(x)g(x). Dengan menggunakan sifat fungsi ganji dan fungsi genap dapatah dinyatakan bahwa h( x) f( x)g( x) f(x)g(x) h(x) Ha tersebut menunjukkan bahwa hasi perkaian dua fungsi yang berbeda (yang satu fungsi ganji dan yang ain fungsi genap) akan menghasikan fungsi

11 6.5 Fungsi Genap dan Fungsi Ganji 27 ganji. Sedangkan jika keduanya merupakan fungsi ganji atau keduanya merupakan fungsi genap maka akan diperoeh hasi kai keduanya berupa fungsi genap. Teah diperoeh sebeumnya ungkapan koefisien deret Fourier a n dan b n daam bentuk yang umum sebagaimana dinyatakan daam persamaan Daamhainijikaf(x)adaahfungsiganji, makaf(x)cos nx menghasikan fungsi ganji (karena fungsi cosinus adaah fungsi genap) sehingga berdasarkan persamaan 6.27 dapat diperoeh caku fi58 by khbasar; sem 2-2 a n f(x)cos nx dx Sedangkan f(x)sin nx menghasikan fungsi genap, sehingga dengan persamaan 6.27 diperoeh b n f(x)sin nx dx 2 f(x)sin nx Sebaiknya jika f(x) adaah fungsi genap, maka f(x)cos nx menghasikan fungsi genap sehingga berdasarkan persamaan 6.27 dapat diperoeh a n f(x)cos nx dx 2 f(x)cos nx Sedangkan f(x)sin nx menghasikan fungsi ganji, sehingga dengan persamaan 6.27 diperoeh b n f(x)sin nx dx dx dx Jadi dapat disimpukan a n Jikaf(x)fungsi ganji maka b n 2 a Jikaf(x)fungsi genap maka n 2 b n f(x)sin nx f(x)cos nx dx dx (6.28) (6.29)

12 28 Deret Fourier dan Transformasi Fourier 6.6 Teorema Parseva Tinjau persamaan 6.5, yang dapat dituiskan kembai daam bentuk f(x) 2 a + a n cosnx+ b n sinnx (6.3) Niai rata-rata suatu fungsi daam interva [, ] teah dijeaskan pada bagian awa BAB ini. Bia dicari niai rata-rata dari fungsi [f(x)] 2 untuk seang [, ] maka dapat dituiskan Dengan mengingat bahwa [f(x)] 2 [,] ( 2 a ) 2 [,] 2 a2 n dan (b n sinnx) 2 [,] 2 b2 n, maka dapat dinyatakan [f(x)] 2 dx (6.3) ( 2 a ) 2, (an cosnx) 2 [,] [f(x)] 2 [,] [f(x)] 2 dx ( ) 2 2 a + 2 a 2 n + 2 b 2 n (6.32) Persamaan 6.32 merupakan saah satu bentuk teorema Parseva. 6.7 Transformasi Fourier Deret Fourier sebagaimana yang diuraikan pada bagian terdahuu digunakan untuk mengekspansi suatu fungsi periodik. Bagaimana hanya dengan fungsi nonperiodik? Fungsi nonperiodik dapat dipandang sebagai fungsi periodik dengan periode tak hingga. Tinjau kembai persamaan 6.2 yang menunjukkan uraian deret fourier untuk fungsi yang periodik dengan interva [, ]. Jika digunakan variabe baru ω n n, maka persamaan tersebut dapat dituiskan kembai sebagai f(x) a 2 + a n cosω n x+ n b n sinω n x (6.33) n

13 6.7 Transformasi Fourier 29 dengan a f(τ) dτ a n f(τ)cosω n τ dτ (6.34) caku fi58 by khbasar; sem 2-2 b n f(τ)sinω n τ dτ sebagaimana persamaan Dengan demikian persamaan 6.33 menjadi f(x) 2 Kemudian karena f(τ) dτ + + n n ω ω n+ ω n (n+) maka dapat dituiskan kembai f(x) 2 + ω f(τ) dτ cosω n x n cosω n x sinω n x n f(τ)cosω n τ dτ f(τ)sinω n τ dτ f(τ)cosω n τ dτ +sinω n x ω (6.35) f(τ)sinω n τ dτ Untuk fungsi nonperiodik, sebagaimana teah disebutkan di atas, berarti, dan ω dω. Maka dapat dituiskan f(x) + + cos ωx f(τ)cosωτ dτ +sinωx f(τ)sinωτ dτ dω

14 3 Deret Fourier dan Transformasi Fourier Jika kemudian digunakan notasi A(ω) + f(τ)cosωτ dτ Maka dapat dinyatakan f(x) B(ω) + A(ω)cosωx dω + f(τ)sinωτ dτ B(ω) sin ωx dω (6.36) Persamaan 6.36 tersebut di atas dikena sebagai ungkapan integra Fourier (Fourier Integra) atau juga sering dinyatakan sebagai transformasi Fourier. Jika f(x) mempunyai sifat sebagai fungsi ganji atau fungsi genap, maka ungkapan integra Fourier dapat menjadi ebih sederhana. Jika f(x) merupakan + + fungsi genap, maka f( x) f(x) dan f(x) dx 2 f(x) dx. Seain itu f(τ)sinωτ menjadi bersifat fungsi ganji sehingga B(ω). Dengan demikian jika f(x) merupakan fungsi genap, maka diperoeh integra Fourier cosinus : f(x) A(ω)cosωx dω A(ω) 2 f(x)cosωx dx (6.37) Sedangkan jika f(x) merupakan fungsi ganji maka f( x) f(x) dan + f(x) dx, seanjutnya f(x)cosωx bersifat fungsi ganji sehingga diperoeh A(ω). Dengan demikian diperoeh ungkapan integra Fourier sinus: Beberapa buku teks menggunakan ungkapan yang sedikit berbeda berkaitan dengan konstanta daam integra Fourier. Misanya daam buku BOAS, ungkapan integra Fourier cosinus dinyatakan sebagai f(x) 2 A(ω)cosωx dω dan A(ω) 2 f(x)cosωx dx

15 6.7 Transformasi Fourier 3 f(x) B(ω)sinωx dω B(ω) 2 f(x)sinωx dx (6.38) caku fi58 by khbasar; sem 2-2 Integra Fourier dapat juga diungkapkan daam bentuk fungsi eksponen, yaitu daam bentuk Contoh f(x) + C(ω) C(ω)e iωx dω + f(x)e iωx dx Suatu fungsi nonperiodik dinyatakan dengan {, < x < f(x), x > Nyatakanah fungsi tersebut daam bentuk integra Fourier. (6.39) Fungsi f(x) tersebut merupakan fungsi genap, sehingga dapat dinyatakan A(ω) 2 2 sinω ω f(x)cosωx dx 2 f(x) A(ω)cosωx dω cosωx dx 2 [sinω ] ω 2 ( sinω ω ) cosωx dω