Persamaan Poisson. Fisika Komputasi. Irwan Ary Dharmawan

Transkripsi

1 (Pendahuluan) 1D untuk syarat batas Robin 2D dengan syarat batas Dirichlet Fisika Komputasi Jurusan Fisika Universitas Padjadjaran dharmawan@phys.unpad.ac.id

2 (Pendahuluan) 1D untuk syarat batas Robin 2D dengan syarat batas Dirichlet 1 (Pendahuluan) 2 3 1D untuk syarat batas Robin 4 2D dengan syarat batas Dirichlet

3 (Pendahuluan) 1D untuk syarat batas Robin 2D dengan syarat batas Dirichlet Dalam pertemuan ini kita akan membahas untuk menyelesaikan persamaan Poisson di bawah ini 2 u(r) = v(r). (1) dengan u dan v(r) menyatakan potensial dan sumber. Dalam kasus Elektrostatik biasanya ditulis sebagai E = φ. (2) dengan E menyatakan medan listrik dan φ adalah medan potensialnya. Potensial itu sendiri memenuhi persamaan Poisson sebagai berikut 2 φ = ρ ǫ 0, (3) Dengan ρ(r) menyakan rapat massa dan ǫ 0 adalah permitivitas ruang hampa

4 (Pendahuluan) 1D untuk syarat batas Robin 2D dengan syarat batas Dirichlet Dalam kasus gravitasi Newtonian f dapat dinyatakan sebagai gaya akibat medan potensial φ f = φ. (4) Potensialnya sendiri memenuhi persamaan Poisson berikut 2 φ = 4π 2 G ρ, (5) ρ(r) menyatakan rapat massa dan G adalah konstanta Gravitasi.

5 (Pendahuluan) 1D untuk syarat batas Robin 2D dengan syarat batas Dirichlet Misalkan kita memiliki persamaan Poisson 1D d 2 u(x) dx 2 = v(x), (6) dengan x l x x h, syarat batas Dirichlet u(x l ) = u l dan u(x h ) = u h. Sebagai langkah awal kita bagi domain x l x x h ke dalam segmen yang serbasama x i = x l + i (x h x l ), (7) N + 1 Untuk i = 1, N, dan batas x l dan x h berada di titik i = 0 dan i = N + 1 berturut-turut.

6 (Pendahuluan) 1D untuk syarat batas Robin 2D dengan syarat batas Dirichlet Selanjutnya kita diskritisasi d 2 u/dx 2 pada titik-titik grid. Diskritisasi yang paling mudah dengan menggunakan d 2 u(x i ) dx 2 = u i 1 2 u i + u i+1 ( x) 2 + O( x) 2. (8) Persamaan (8) merupakan persamaan central difference orde 2. Persamaan (8) dapat ditulis kembali menjadi u i 1 2 u i + u i+1 = v i ( x) 2, (9) untuk i = 1, N dengan v i v(x i ), selanjutnya u 0 = u l dan u N+1 = u h, dengan v i menyatakan suku sumber yang telah didiskritisasi.

7 (Pendahuluan) 1D untuk syarat batas Robin 2D dengan syarat batas Dirichlet Jika u = (u 1, u 2,, u N ) adalah vektor dari nilai u dan w = [v 1 ( x) 2 u l, v 2 ( x) 2, v 3 ( x) 2,, v N 1 ( x) 2, v N ( x) 2 u h ] (10) merupakan vektor sumber. Maka diskritisasi persamaan menjadi Mu = w. (11)

8 (Pendahuluan) 1D untuk syarat batas Robin 2D dengan syarat batas Dirichlet Jika ditulis dalam bentuk matriks maka akan menjadi : M = (12) Matriks M merupakan matriks tridiagonal. Untuk menyelesaikan persamaan (12) maka dapat digunakan persamaan berikut u = M 1 w, (13) Dengan M 1 menyatakan inverse matriks dari M. Persamaan (13) bisa diselesaikan menggunakan metoda iterasi untuk persamaan linier.

9 (Pendahuluan) 1D untuk syarat batas Robin 2D dengan syarat batas Dirichlet Pada slide sebelumnya kita membahas persamaan Poisson untuk syarat batas Dirichlet, lalu bagaimana jika kita menerapkan syarat batas Robin untuk kasus ini, misalkan pada x = x l, kemudian α l u(x) + β l du(x) dx = γ l, (14) α h u(x) + β h du(x) dx = γ h, (15) pada x = x h. Dengan α dan β merupakan konstanta, dan syarat batas di atas dikenal sebagai syarat batas Robin karena merupakan campuran antara syarata batas Dirichlet dan Neumann

10 (Pendahuluan) 1D untuk syarat batas Robin 2D dengan syarat batas Dirichlet Jika persamaan (14) dan (15) kita diskritisasi akan menghasilkan α l u 0 + β l u 1 u 0 x = γ l, (16) dan u N+1 u N α h u N+1 + β h = γ h, (17) x Ekspresi di atas dapat ditulis kembali menjadi u 0 = γ l x β l u 1 α l x β l, (18) u N+1 = γ h x + β h u N α h x + β h. (19)

11 (Pendahuluan) 1D untuk syarat batas Robin 2D dengan syarat batas Dirichlet Dengan menggunakan persamaan (8) dan (18), masalah dapat direduksi menjadi persamaan tridiagonal matriks Mu = w dengan elemen diagonal kiri, tengah dan kanan menggunakan elemen sebagai berikut : a i = 1 untuk i = 2, N kemudian β l b 1 = 2, (20) α l x β l dan b i = 2 untuk i = 2, N 1 dan β h b N = 2 +, (21) α h x + β h dan c i = 1 untuk i = 1, N 1. Sedangkan ruas kanan w 1 = v 1 ( x) 2 γ l x, (22) α l x β l dengan w i = v i ( x) 2 untuk i = 2, N 1. dan w N = v N ( x) 2 γ h x α h x + β h. (23)

12 (Pendahuluan) 1D untuk syarat batas Robin 2D dengan syarat batas Dirichlet Misalkan kita memiliki persamaan Poisson 2D 2 u(x, y) x u(x, y) y 2 = v(x, y), (24) Dalam domain Ω = {(x, y) 0 x L,0 y H} dengan syarat batas Dirichlet sebagai berikut (x, 0) = 0, (0, y) = 0, (L, y) = 100 dan (x, H) = 0. Persamaan (24) dapat didiskritisasi dengan pendekatan central differences menjadi u i 1,j 2u i,j + u i+1,j ( x) 2 + u i,j 1 2u i,j + u i,j+1 ( y) 2 = v(x i, y j ) (25)

13 (Pendahuluan) 1D untuk syarat batas Robin 2D dengan syarat batas Dirichlet Untuk memudahkan persoalan kita set x = y sehingga persamaan (25) menjadi u i 1,j + u i+1,j + u i,j 1 + u i,j+1 4u i,j = x 2 v i,j (26) Pertanyaan kita selanjutnya adalah bagaiman kita membangun matriks dari persamaan (26)

14 (Pendahuluan) 1D untuk syarat batas Robin 2D dengan syarat batas Dirichlet Contoh : sebuah plat konduktor berukuran bujursangkar