LAMPIRAN A. Ringkasan Relativitas Umum

Transkripsi

1 LAMPIRAN A Ringkasan Relativitas Umum Besaran fisika harus invarian terhadap semua kerangka acuan. Kalimat tersebut merupakan prinsip relativitas khusus yang pertama. Salah satu besaran yang harus invarian adalah jarak. Harus invarian terhadap semua kerangka acuan berarti harus memiliki bentuk yang sama baik ditinjau dari kerangka yang diam maupun bergerak. Atau harus invarian terhadap transformasi Lorentz. Jarak secara umum dituliskan ds 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 (A.1) Namun bentuk di atas tidak invarian terhadap transformasi Lorentz. Sehingga jarak antara dua titik, harus mendapatkan tinjauan baru untuk memenuhi prinsip relativitas. Dengan alasan tersebut, didefinisikan fungsi jarak dalam teori relativitas sebagai berikut ds 2 = c 2 dt 2 dx 2 dy 2 dz 2 (A.2) bentuk di atas invarian terhadap transformasi Lorentz. Bentuk di atas secara umum dituliskan 3 3 ds 2 = g µν dx µ dx ν µ=0 ν=0 (A.3) dengan dx 0 = cdt dx 1 = dx dx 2 = dy dx 3 = dz (A.4) 131

2 sedangkan notasi g µν memiliki nilai nol, kecuali g 00 = 1 g 11 = 1 g 22 = 1 g 33 = 1 (A.5) notasi g µν kemudian dinamakan metrik, yang menggambarkan struktur ruangwaktu. Dalam representasi matriks dituliskan g µν = (A.6) Metrik di atas disebut dengan metrik ruang-waktu datar, atau metrik Minkowski yang sering ditulis dengan notasi η µν. Untuk ruang-waktu datar digunakan teori relativitas khusus, maka untuk ruang-waktu secara umum digunakan teori relativitas umum. Dalam relativitas umum, terdapat dua jenis sistem koordinat, yaitu koordinat kovarian dan kontravarian. Dua sistem koordinat ini merupakan generalisasi dari sistem koordinat Cartesian dari ruang-waktu datar. Untuk membedakan dua sistem koordinat ini, digunakan indeks atas untuk kontravarian dan indeks bawah untuk kovarian. Sementara keberlakuan prinsip relativitas pada teori relativitas umum, ditunjukkan dengan sifat invarian akibat transformasi koordinat[?]. Secara umum dituliskan A µ A µ (x ) = x µ x ν Aν (x) (A.7) dengan A µ merupakan vektor kontravarian. Begitu juga dengan vektor kovarian A µ A µ(x ) = xν x µ A ν(x) (A.8) 132

3 Semua kuantitas fisis harus invarian terhadap transformasi koordinat ini. Tak terkecuali turunan dari vektor. Namun turunan biasa tidak invarian terhadap transformasi koordinat µ A ν xµ x µ x ν x ν µa ν (A.9) sehingga operator turunan harus diredefinisi dalam teori relativitas umum. Yaitu dengan menambahkan suatu koefisien yang nantinya disebut koefisien koneksi. Diberikan operator turunan yang baru, yang disebut turunan kovarian sebagai berikut µ A ν = µ A ν + Γ ν µλa λ (A.10) sehingga invarian terhadap transformasi koordinat µ A ν = xµ x µ x ν x ν µa ν (A.11) Turunan kovarian memiliki jumlah koefisien koneksi bergantung pada rank tensor yang dioperasikan. Secara umum dituliskan sebagai berikut µ T α β = µ T α β + Γ α λµt λ β Γ λ βµt α λ (A.12) Metrik apabila diturunkan dengan turunan kovarian memiliki nilai sama dengan nol(kompatibilitas metrik), atau secara umum dituliskan ρ g µν = 0 (A.13) dengan sifat ini, maka bisa diungkapkan koefisien koneksi dengan metrik. Caranya adalah sebagai berikut, diberikan tiga persamaan turunan kovarian metrik ρ g µν = ρ g µν Γ λ ρµg λν Γ λ ρνg µλ = 0 µ g νρ = µ g νρ Γ λ µνg λρ γµρg λ νλ = 0 ν g ρµ = ν g ρµ Γ λ νρg λµ Γ λ νµg ρλ = 0 (A.14) ketiga persamaan di atas dieliminasi dan dengan menggunakan sifat simetri dari koneksi, diperoleh ρ g µν µ g νρ ν g ρµ + 2Γ λ µνg λρ = 0 (A.15) 133

4 kemudian dikalikan dengan g ρσ sehingga diperoleh hasil Γ σ µν = 1 2 gσρ ( µ g νρ + ν g ρµ ρ g µν ) (A.16) Setelah membahas turunan kovarian dan koneksi, berikutnya akan dibahas tentang kurvatur. Kurvatur adalah kuantitas yang dideskripsikan dengan tensor Riemann yang diturunkan dari koneksi. Misalkan pada vektor V σ pertama bergerak pada arah A µ, kemudian B ν, setelah itu kembali berbalik arah vektor A µ dan B ν. Bila terjadi perubahan vektor δv σ, maka berarti struktur ruang-waktu tidak datar. Perubahan vektor bergantung pada vektor sebelum digerakkan V σ, dan juga bergantung pada A µ dan B ν, atau dituliskan Gambar A.1: Loop sangat kecil oleh dua vektor A µ dan B ν δv ρ = R ρ σµνv σ A µ B ν (A.17) dengan = Rσµν ρ dikenal sebagai tensor Riemann. Untuk menghitung secara tensor Riemann, maka vektor V σ harus dilakukan pararel transport seperti gambar di bawah Gambar A.2: Komutasi dua turunan kovarian secara eksak dihitung sebagai berikut. [ µ, ν ] V ρ = µ ν V ρ ν µ V ρ = µ ( ν V ρ ) Γ λ µν λ V ρ + Γ ρ µσ ν V σ ν ( µ V ρ ) + Γ λ νµ λ V ρ Γ ρ νσ µ V σ = µ ν V ρ + ( µ Γ ρ νσ) V σ + Γ ρ νσ µ V σ Γ λ µν λ V ρ Γ λ µνγ ρ λσ V σ + Γ ρ µσ ν V σ + Γ ρ µσγ σ νλv λ ν µ V ρ ( ) ν Γ ρ µρ V σ + Γ ρ µσ ν V σ Γ λ νµ λ V ρ +Γ λ νµγ ρ λσ V σ Γ ρ νσ µ V σ Γ ρ νσγ σ µλv λ (A.18) 134

5 persamaan di atas disederhanakan menjadi [ µ, ν ] V ρ = ( ) µ Γ ρ νσ ν Γ ρ µσ + Γ ρ µλ Γλ νσ Γ ρ νλ Γλ µσ V σ (A.19) dituliskan [ µ, ν ] V ρ = R ρ σµνv σ (A.20) dengan demikian diperoleh tensor riemann sebagai berikut R ρ σµν = µ Γ ρ νσ ν Γ ρ µσ + Γ ρ µλ Γλ νσ Γ ρ νλ Γλ µσ (A.21) setelah tensor Riemann, langkah selanjutnya adalah mencari tensor Ricci. Tensor ricci diperoleh dari R µν = R λ µλν (A.22) tensor Ricci memiliki sifat simetrik, R µν = R νµ. Trace dari tensor Ricci adalah skalar Ricci. R = R µ µ = g µν R µν (A.23) 135

6 - 136

7 LAMPIRAN B Invers dan Determinan Metrik Kaluza Klein Untuk mendapatkan invers dari metriks g AB dalam representasi matrik, adalah sama dengan mencari invers matriks. Yaitu pertama dituliskan metrik g AB g AB = g µν + κ 2 φ 2 A µ A ν κφ 2 A µ κφ 2 A ν φ 2 (B.1) dituliskan secara lengkap komponen-komponennya menjadi g 00 + κ 2 φ 2 A 0 A 0 g 01 + κ 2 φ 2 A 0 A 1 g 02 + κ 2 φ 2 A 0 A 2 g 03 + κ 2 φ 2 A 0 A 3 κφ 2 A 0 g 10 + κ 2 φ 2 A 1 A 0 g 11 + κ 2 φ 2 A 1 A 1 g 12 + κ 2 φ 2 A 1 A 2 g 13 + κ 2 φ 2 A 1 A 3 κφ 2 A 1 g AB = g 20 + κ 2 φ 2 A 2 A 0 g 21 + κ 2 φ 2 A 2 A 1 g 22 + κ 2 φ 2 A 2 A 2 g 23 + κ 2 φ 2 A 2 A 3 κφ 2 A 2 g 30 + κ 2 φ 2 A 3 A 0 g 31 + κ 2 φ 2 A 3 A 1 g 32 + κ 2 φ 2 A 3 A 2 g 33 + κ 2 φ 2 A 3 A 3 κφ 2 A 3 κφ 2 A 0 κφ 2 A 1 κφ 2 A 2 κφ 2 A 3 φ 2 (B.2) Untuk menentukan determinan matriks 5 5 di atas digunakan program Mathematica dengan mengetikkan perintah Det[ ], dengan semua komponen matriks 5 5 diletakkan dalam tanda [ ] perintah tersebut. Program Mathematica akan mengeluarkan hasil { g00g13 2 g22 + g03 2 (g12 2 g11g22) + 2g00g12g13g23+ g01 2 g23 2 g00g11g23 2 2g03(g02g12g13 g01g13g22 g02g11g23 + g01g12g23) g00g12 2 g33 g01 2 g22g33 + g00g11g22g33 + g02 2 (g13 2 g11g33) + g01g02( 2g13g23 + 2g12g33)} [φ] 2 (B.3) 137

8 Kuantitas-kuantitas yang terdapat dalam kurung {} di atas merupakan nilai determinan dari matriks g = g 00 g 01 g 02 g 03 g 10 g 11 g 12 g 13 g 20 g 21 g 22 g 23 g 30 g 31 g 32 g 33 (B.4) sehingga dari hasil perhitungan Mathematica di atas, maka nilai determinan dari metrik g AB adalah g AB = φ 2 g (B.5) Sedangkan untuk menentukan invers, pertama tuliskan perintah Inverse[ ] dengan komponen matriks 5 5 dalam kurung [ ], yang kemudian menghasilkan hasil perhitungan yang cukup panjang untuk ditampilkan di sini. Setelah itu, ditulis perintah Simplify[ ], dengan hasil perhitungan tadi di taruh dalam kurung [ ], sehingga diperoleh seperti terlampir. Bentuknya kemudian dianalisa, dan diperoleh suku-suku kovaktor yang salah satu contohnya berbentuk g02 2 g13 + g01g03g22 g00g13g22 + g00g12g23 g02(g03g12 + g01g23) (B.6) dan juga suku yang direpresentasikan sebagai salah satu komponen 1 φ 2 +g µν A ν (A1g02g03g12 A0g03g12 2 A1g02 2 g13 + A0g02g12g13 A1g01g03g22 + A0g03g11g22 + A1g00g13g22 A0g01g13g22 + A3(g02 2 g11 2g01g02g12 + g00g g01 2 g22 g00g11g22) (B.7) 138

9 dan yang merupakan komponen κg µν A µ A ν ((A1g02g03g12 A0g03g12 2 A1g02 2 g13 + A0g02g12g13 A1g01g03g22 + A0g03g11g22 + A1g00g13g22 A0g01g13g22 + A3(g02 2 g11 2g01g02g12 + g00g g01 2 g22 g00g11g22) + A1g01g02g23 A0g02g11g23 A1g00g12g23 + A0g01g12g23 + A2( g02g03g11 + g01g03g12 + g01g02g13 g00g12g13 g01 2 g23 + g00g11g23))k), (g00g13 2 g22 2g00g12g13g23 g01 2 g g00g11g g00g12 2 g33 + g01 2 g22g33 g00g11g22g33 + A3 2 g00g12 2 k 2 φ 2 2A2A3g00g12g13k 2 φ 2 + A2 2 g00g13 2 k 2 φ 2 +A3 2 g01 2 g22k 2 φ 2 A3 2 g00g11g22k 2 φ 2 + 2A1A3g00g13g22k 2 φ 2 2A0A3g01g13g22k 2 φ 2 + A0 2 g13 2 g22k 2 φ 2 2A2A3g01 2 g23k 2 φ 2 + 2A2A3g00g11g23k 2 φ 2 2A1A3g00g12g23k 2 φ 2 + 2A0A3g01g12g23k 2 φ 2 2A1A2g00g13g23k 2 φ 2 + 2A0A2g01g13g23k 2 φ 2 2A0 2 g12g13g23k 2 φ 2 + A1 2 g00g23 2 k 2 φ 2 2A0A1g01g23 2 k 2 φ 2 + A0 2 g11g23 2 k 2 φ 2 + A2 2 g01 2 g33k 2 φ 2 A2 2 g00g11g33k 2 φ 2 + 2A1A2g00g12g33k 2 φ 2 2A0A2g01g12g33k 2 φ 2 + A0 2 g12 2 g33k 2 φ 2 A1 2 g00g22g33k 2 φ 2 + 2A0A1g01g22g33k 2 φ 2 A0 2 g11g22g33k 2 φ 2 g03 2 (g12 2 g11g22 A2 2 g11k 2 φ 2 + 2A1A2g12k 2 φ 2 A1 2 g22k 2 φ 2 ) g02 2 (g13 2 g11g33 A3 2 g11k 2 φ 2 + 2A1A3g13k 2 φ 2 A1 2 g33k 2 φ 2 ) + 2g03(A0( A3g A2g12g13 + A3g11g22 A1g13g22 A2g11g23 + A1g12g23)k 2 φ 2 +g02(a1(a2g13 A1g23)k 2 φ 2 + g12(g13 + A1A3k 2 φ 2 ) g11(g23 + A2A3k 2 φ 2 )) + g01(a1( A3g22 + A2g23)k 2 φ 2 g13(g22 + A2 2 k 2 φ 2 ) + g12(g23 + A2A3k 2 φ 2 ))) + 2g02(A0(A3g12g13 A2g13 2 A3g11g23 + A1g13g23 + A2g11g33 A1g12g33)k 2 φ 2 +g01(a1(a3g23 A2g33)k 2 φ 2 + g13(g23 + A2A3k 2 φ 2 ) g12(g33 + A3 2 k 2 φ 2 )))) 139

10 dan juga nilai determinan φ 2 g sebagai pembagi. Sehingga bentuk invers metriknya adalah g 00 g 01 g 02 g 03 κσ 3 ν=0g 0ν A ν g 10 g 11 g 12 g 13 κσ 3 ν=0g 1ν A ν g AB = g 20 g 21 g 22 g 23 κσ 3 ν=0g 2ν A ν g 30 g 31 g 32 g 33 κσ 3 ν=0g 3ν A ν κσ 3 µ=0g µ0 A µ κσ 3 µ=0g µ1 A µ κσ 3 µ=0g µ2 A µ κσ 3 µ=0g µ3 A µ G(55) dengan atau g AB = G(55) = 1 φ 2 + κ 3 µ=0 ν=0 3 g µν A µ A ν gµν κg µν A ν κg µν A µ 1 + κg ρσ A φ 2 ρ A σ (B.8) (B.9) 140

11 LAMPIRAN C Fungsi Analitik Apabila terdapat persoalan integrasi f(k)d d k (C.1) maka solusinya adalah sebagai berikut. Pertama dianalogikan dengan persoalan mengubah integrasi dalam koordinat kartesian ke koordinat polar. dk x dk y = kdkdϕ (C.2) dengan k 2 = k 2 x + k 2 y (C.3) apabila digeneralisir menjadi integrasi 3-dimensi, maka akan diperoleh dk x dk y dk z = k 2 sin θ 1 dkdθ 1 dϕ (C.4) dengan k 2 = k 2 x + k 2 y + k 2 z (C.5) Integrasi 2-dimensi dan 3-dimensi diperbandingkan dan diamati polanya. Diperoleh bahwa untuk kenaikan satu dimensi, maka pangkat k naik satu kali, dan muncul integrasi sudut sin θ 1 dθ 1. Kasus ini digeneralisasi hingga diperoleh d 4 k = k 3 sin 2 θ 1 sin θ 2 dkdθ 1 dθ 2dϕ d 5 k = k 4 sin 3 θ 1 sin 2 θ 2 sin θ 3 dkdθ 1 dθ 2 dθ 3 dϕ (C.6) dan seterusnya hingga untuk integrasi d dimensi, bisa dituliskan [ d 2 ] d d k = k d 1 (sin θ i ) d 1 i dθ i dϕdk (C.7) i=1 141

12 apabila diaplikasikan pada integrasi, diperoleh d d k = d 2 k d 1 dk π 2π (sin θ i ) d 1 i dθ i dϕ 0 i=1 0 0 (C.8) dengan menggunakan sifat fungsi gamma π 0 (sin θ) 2n 1 (cos θ) 2m 1 dθ = Γ(n)Γ(m) Γ(n + m) (C.9) integrasi θ i diperoleh sehingga π 0 d 2 π i=1 0 (sin θ i ) d 1 i dθ i = Γ[ 1 2 (d i)]γ( 1 2 ) Γ[ 1 2 (d i + 1)] (C.10) (sin θ i ) d 1 i dθ i = d 2 i=1 Γ[ 1 (d i)]γ( 1) 2 2 Γ[ 1 (d i + 1)] 2 = ( π ) d 2 1 Γ( d 2 ) (C.11) disubtitusikan ke persoalan awal, hingga diperoleh f(k)d d k = 2πd/2 Γ( d d ) 0 f(k)k d 1 dk (C.12) 142