PENDEKATAN TEORITIK. Elastisitas Medium

Transkripsi

1 PENDEKATAN TEORITIK Elastisitas Medium Untuk mengetahui secara sempurna kelakuan atau sifat dari suatu medium adalah dengan mengetahui hubungan antara tegangan yang bekerja () dan regangan yang diakibatkan (). Jika suatu bentuk kubus kecil dipandang sebagai bagian pembentuk suatu medium maka akan ada enam tegangan (Gambar 7) dan enam regangan (Gambar 8) pada bidang elemen kubus tersebut. Setiap tegangan dinyatakan dengan ij dan setiap regangan dinyatakan dengan ij, dimana indeks kedua (j) menyatakan arah bidang dimana tegangan itu bekerja, yaitu arah normal bidang tersebut. Jika indeks i j maka tegangannya merupakan tegangan longitudinal dan regangannya merupakan regangan longitudinal. Jika indeks i j maka tegangannya disebut tegangan geser dan regangannya disebut regangan geser. Gambar 7 Komponen-komponen tegangan pada bidang elemen kubus.

2 8 Gambar 8 Komponen-komponen regangan pada bidang elemen kubus. Tegangan-tegangan yang bekerja pada elemen kubus dapat dinyatakan secara utuh oleh enam komponen tegangan yang bebas, yaitu tiga tegangan longitudinal:,, dan, ditambah tiga tegangan geser: y,, dan z. Sedangkan regangan-regangan (fraksi perubahan panjang) yang diakibatkan, yaitu tiga regangan longitudinal:,, dan ditambah tiga regangan geser: y,, dan z. Menurut hokum Hooke, jika tegangan yang bekerja berada di bawah batas elastisitas medium maka akan sebanding dengan regangan yang terjadi. Secara umum setiap tegangan dapat dinyatakan sebagai fungsi linier dari keenam komponen regangan. c z 16 y c z 6 y c c z z y y () z c z 56 y y c z 66 y

3 9 Konstanta-konstanta berbentuk c rs (indeks r dan s bernilai 1 hingga 6) persamaan adalah konstanta-konstanta elastik medium. Terlihat bahwa untuk dapat mengetahui secara sempurna kelakuan atau sifat dari suatu medium diperlukan 36 koefisien, namun karena adanya konstanta simetri pada konstanta elastik (c rs c sr ) maka jumlah konstanta elastik yang diperlukan hanya menjadi 1 konstanta. Bahan yang mempunyai 1 konstanta elastik ini adalah bahan anisotropik sedangkan bahan isotropik hanya mempunyai konstanta elastik yang bebas. Kedua konstanta ini disebut konstanta Lame yang diberi notasi λ dan μ. Untuk bahan isotropik berlaku hubungan-hubungan sebagi berikut: c 1 c 1 c 13 c 31 c 3 c 3 λ c c c c 55 c c μ λ + μ (3) c rs yang lain 0 Dengan demikian hubungan tegangan dan regangan untuk medium isotropik dapat dinyatakan dengan persamaan-persamaan : ( λ + μ) + λ + λ λ + ( λ + μ) + λ λ μ + λ + ( λ + μ) (4) z μ z y μ y Di dalam menentukan keelastisan bahan, dalam prakteknya kedua konstanta Lame (λ dan μ) jarang digunakan. Ada empat istilah konstanta elastik yang lebih sering digunakan dalam menentukan keelastisan bahan, yaitu : Young modulus, bulk modulus, shear modulus, dan Poisson ratio. Young modulus berkenaan dengan terjadinya deformasi satuan panjang bahan, bulk modulus berkenaan dengan deformasi satuan volume bahan, dan shear modulus berkenaan dengan

4 30 adanya pergeseran bentuk bahan. Poisson ratio didefinisikan sebagai perbandingan antara konstraksi lateral (pengurangan diameter) dan ekspansi aksial (pertambahan panjang). Keempat istilah konstanta elastik dalam menentukan keelastisan bahan tersebut masing-masing dituliskan dengan persamaan : Y( Young Modulus) μ( 3λ + μ ) λ + μ tegangan regangan F A δl L FL AδL (5) B( Bulk Modulus) + tekanan dilatasi ii + P δv V λ + μ 3 (6) G( Shear ij Modulus) ij μ tegangan dilatasi F A δv V FV AδV (7) λ v( poisson ratio ) (8) ( λ + μ ) Jenis modulus elastis yang relevan akan bergantung pada sistem gelombang yang dirambatkan (arah getar dan arah perambatannya), berupa gelombang longitudinal atau gelombang transversal. Gelombang transversal adalah gelombang yang arah getarnya tegak lurus dengan arah perambatannya, sedangkan gelombang longitudinal adalah gelombang yang arah getarnya berhimpit atau sejajar dengan arah perambatannya. Gelombang akustik termasuk kedalam gelombang longitudinal.

5 31 Identifikasi Gelombang Ultrasonik dan Karakteristik Gelombang Ultrasonik Identifikasi Gelombang Ultrasonik Gelombang adalah suatu gejala terjadinya suatu gangguan melalui suatu medium, dimana setelah gangguan tersebut lewat medium akan kembali seperti keadaan semula. Gelombang dapat disebut pula sebagai getaran yang merambat yaitu gerakan bolak balik secara berulang akibat suatu simpangan (simpangan terbesar disebut amplitudo). Bila besaran gangguan tadi berupa perpindahan partikel dari suatu medium dan berada pada titik keseimbangannya yang disebabkan oleh adanya gaya-gaya mekanik, maka gelombang ini disebut gelombang mekanik Sifat-sifat gelombang mekanik tergantung pada sifat-sifat elastik dari medium yang dilaluinya sehingga gelombangnya disebut juga sebagai gelombang elastik (Goberman, 1968). Akibat perpindahan partikel-partikel tadi maka rapat masanya akan berubah karena massanya tetap dan selanjutnya akan menyebabkan tekanannya berubah. Jika melihat terjadinya perubahan tekanan maka gelombang tersebut disebut gelombang akustik. Gelombang akustik yang paling umum adalah gelombang suara yang biasa kita dengar. Ada tiga jenis gelombang akustik jika didasarkan pada banyaknya pengulangan bergetarnya partikel-partikel di dalam medium elastis dalam satu detiknya atau yang disebut frekuensi (Cracknel, 1980). Ketiga jenis gelombang akustik tersebut adalah : 1 Gelombang infrasonik, yaitu gelombang akustik yang memiliki frekuensi sangat rendah sehingga tidak dapat didengar oleh manusia. Batas tertinggi frekuensinya adalah sekitar 0 Hz. Gelombang sonik atau suara, yaitu gelombang akustik yang memiliki frekuensi di antara batas pendengaran telinga manusia sehingga dapat didengar atau sering disebut bunyi. Batas bawah dan atas frekuensi gelombang akustik ini masing-masing adalah sekitar 0 Hz dan 0 khz. 3 Gelombang ultrasonik adalah gelombang akustik yang memiliki frekuensi lebih tinggi dari gelombang sonik dengan batas bawah lebih besar dari 0 khz,

6 3 sedangkan batas atasnya belum ditentukan secara jelas. Yang diketahui adalah daerah-daerah frekuensi yang biasa dipakai dalam berbagai macam aplikasi. Jenis gelombang elastis ini tidak dapat didengar oleh telinga manusia karena frekuensinya yang tinggi. Kecepatan Rambat Seperti telah diuraikan pada bab sebelumnya bahwa gelombang didefinisikan sebagai suatu gejala terjadinya penjalaran suatu gangguan melalui suatu medium dimana setelah gangguan ini lewat, medium akan kembali ke keadaan semula seperti sebelum gangguan itu datang. Diumpamakan gangguan tersebut merupakan suatu besaran sembarang θ dengan kecepatan c yang menjalar sepanjang sumbu dari suatu koordinat kertesian, seperti digambarkan pada Gambar 9. Gambar 9 Perambatan gelombang di dalam suatu medium. Selama menjalar, besar dan bentuk besaran θ dianggap tidak berubah. Pada saat t 0 maka besaran θ akan merupakan suatu fungsi dari : θ f ( ) (9)

7 33 Setelah selang waktu t, θ akan menjalar sejauh ct. Oleh karena besar dan bentuk θ dianggap tidak berubah, maka besaran θ akan tetap dinyatakan oleh persamaan 9 asalkan pusat sumbu dari sistem koordinat semula dipindahkan ke posisi ct. Jadi jika dinyatakan dalam sistem koordinat semula akan didapat : θ f ( ct ) (10) Jila besaran θ yang dinyatakan oleh persamaan 10 diturunkan dua kali terhadap dan t maka berturut-turut akan diperoleh : θ θ c t f ''( f ''( ct ) ct ) (11) (1) Hubungan antara turunan kedua θ terhadap dan turunan kedua terhadap t diperoleh dari persamaan 11 dan 1 : θ c t θ (13) Persamaan diferensial yang ditunjukkan pada persamaan 13 di atas adalah persamaan dasar dari suatu gelombang. Seperti telah diuraikan sebelumnya bahwa gelombang akustik (ultrasonik) merupakan gelombang mekanik. Sifat-sifat dari perambatan gelombang mekanik ini dipengaruhi oleh sifat-sifat elastis dari medium yang dilaluinya. Sedangkan keelastisan bahan dapat ditentukan dari besaran Young modulus bahan tersebut. Bila besaran gangguan berupa perpindahan partikel-partikel di dalam medium maka akan terjadi perubahan rapat massa karena massa dari medium yang dilalui tersebut adalah tetap.

8 34 Diumpamakan suatu gelombang menjalar ke satu arah pada suatu medium padatan berbentuk batang yang mempunyai luas penampang A dengan Young modulus Y dan rapat massa ρ (Gambar 10). Gambar 10 Elemen volume dalam padatan pada keadaan setimbang (atas) dan pada saat dilalui gelombang akustik (bawah). Dengan memandang sebuah elemen volume setebal Δ yang terletak sejauh dari salah satu ujung batang. Pada saat terjadi gelombang maka elemen volume ini akan mengalami deformasi sehingga kedua permukaannya berpindah tempat dengan jarak yang berbeda. Deformasi ini terjadi karena adanya tegangan (stress) yang mengakibatkan adanya regangan (strain). Dengan menggunakan deret Taylor pada perpindahan dan gaya akan diperoleh : ( + Δ ) ( ) + Δ F F( + Δ ) F( ) + Δ ( + Δ ) ( ) Δ (14) F F f ( + Δ ) f ( ) Δ (15)

9 35 Dari hukum Hooke akan diperoleh : (16) AY F F AY F Y Y A F Y Δ Δ Δ Δ Dari persamaan gerak Newton akan diperoleh : (17) Y t t ) A ( AY ma F ρ Δ ρ Δ Sehingga kecepatan rambat gelombang akustik di dalam padatan adalah : ρ ρ Y c Y c (18) Koefisien Atenuasi Pada kenyataannya, besaran amplitudo atau intensitas atau energi suatu gelombang ketika dirambatkan pada suatu medium akan mengalami penurunan secara eksponensial terhadap jarak rambat. Penurunan total intensitas atau energi gelombang setelah melewati medium diistilahkan dengan atenuasi. Misalkan suatu berkas gelombang akustik menjalar dalam suatu medium (Gambar 11). Karena terjadi atenuasi maka jika intensitasnya diukur sebagai fungsi pada bidang akan lebih rendah dibanding intensitas pada bidang 1 (intensitas semula).

10 36 Gambar 11 Atenuasi gelombang akustik pada medium rambat. Cracknel (1980) mendefinisikan pengertian atenuasi secara umum bahwa intensitas akhir dari perambatan gelombang ultrasonik melalui suatu medium dengan jarak tertentu adalah sebanding dengan intensitas asal dan jarak rambatnya. I ( α) I 0 ep (19) Dari rumus persamaan 19, koefisien atenuasi tersebut dapat diturunkan menjadi : ( I / I ) ln α 0 (0) Satuan unit koefisien atenuasi yang digunakan pada persamaan 0 adalah Neper/m (Np/m). Selain unit satuan Np/m dapat juga dan lebih sering digunakan unit satuan desibel/m (db/m). Dengan menggunakan satuan db/m, persamaan 0 berubah menjadi : 10 log (I 0 /I) α (1)

11 37 Bila yang diukur berupa tekanan akustiknya, maka persamaan untuk menentukan koefisien atenuasi adalah : 0 log ( P0 / P) α () Persamaan didasarkan bahwa berkurangnya tekanan akustik akibat dari peristiwa absorbsi. Persamaan untuk menyatakan berkurangnya tekanan akustik akibat peristiwa defleksi dan absorsi adalah : P 0 log 0 P α (3) Dalam penelitiannya, Mizrach et al. (1991) menggunakan amplitudo (tegangan dalam mv) sebagai intensitas gelombang ultrasonik dan Np sebagai satuan koefisien atenuasinya. Dengan demikian persamaan untuk menentukan koefisien atenuasi adalah : ln (Am0 /Am1 ) α (4) Atenuasi gelombang akustik dapat diakibatkan oleh sifat-sifat sumber gelombang, dimana pada dasarnya radiasi gelombang dari sumber gelombang akan menyebar (luas berkas gelombang bertambah) sehingga intensitasnya berkurang. Atenuasi gelombang akustik juga dapat diakibatkan oleh peristiwaperistiwa gelombang, sebagai misal adalah terjadinya pemantulan dan pembiasan yang terjadi pada bidang batas antara dua medium yang mempunyai impendansi akustik yang berbeda. Peristiwa gelombang ini (pemantulan dan pembiasan) akan menyebabkan berubahnya arah penjalaran gelombang sehingga intensitas gelombang yang menjalar pada arah tertentu menjadi lebih rendah dari gelombang semula. Namun jika gelombang akustik merupakan gelombang bidang datar yang

12 38 menjalar dalam suatu medium maka gelombang akustik tersebut tidak akan mengalami atenuasi. Hal ini dikarenakan bahwa jenis gelombang datar ini arah penjalaran berkas gelombangnya tidak menyebar dan juga tidak mengalami peristiwa-peristiwa gelombang (perubahan arah gelombang). Namun atenuasi pada gelombang akustik jenis ini akan tetap terjadi karena akan mengalami absorbsi oleh medium yang dilewatinya. Atenuasi oleh absorbsi medium ini tergantung pada jenis mediumnya. Atenuasi akan semakin besar dengan urutan medium padatan, cairan, dan gas. Jadi besarnya atenuasi merupakan kebalikan dari besarnya kecepatan rambat gelombang akustik. Absorbsi oleh medium biasanya dinyatakan dengan koefisien atenuasi. Berbeda dengan atenuasi yang diakibatkan oleh sifat-sifat sumber gelombang (terjadinya penyebaran berkas gelombang) dan yang diakibatkan peristiwa-peristiwa gelombang (terjadinya perubahan arah gelombang berupa refleksi dan refraksi), atenuasi yang diakibatkan peristiwa absorbsi oleh medium adalah karena terjadinya peristiwa konversi energi dari energi akustik menjadi energi dalam bentuk-bentuk lain. Secara umum disipasi energi pada gelombang akustik dapat dibagi menjadi dua kategori, yaitu disipasi yang terjadi di dalam medium dan disipasi yang terjadi pada bidang-bidang medium. Disipasi yang terjadi di dalam medium akan penting terutama jika volume mediumnya jauh lebih besar disbandingkan dengan luas bidang-bidang batasnya, sedangkan disipasi yang terjadi pada bidang-bidang medium akan penting jika volume medium jauh lebih kecil dibandingkan dengan bidang-bidang batasnya. Tiga penyebab utama (masing-masing berbeda mekanismenya) hilangnya energi di dalam medium adalah : 1 Viskositas Konduktivitas panas 3 Pertukaran energi molekuler Phenomena absorbsi oleh medium yang sedang dilewati oleh gelombang akustik dapat ditinjau secara umum dengan menggunakan pengertian waktu relaksasi yang merupakan ukuran dari keterlambatan medium melakukan respon terhadap perubahan yang dialaminya. Di dalam fluida, kondensasi akan tertinggal

13 39 oleh perubahan tekanan akustik sedangkan di dalam padatan regangan selalu tertinggal oleh tegangan. Absorbsi yang dialami oleh gelombang ultrasonik yang sedang merambat di dalam suatu medium, menurut teori klasik disebabkan oleh dua sifat makroskopik fluida, yaitu : viskositas (η) dan konduktivitas panas (κ) yang masing-masing menyebabkan terjadinya gradien kecepatan dan gradien tempertur (Gooberman, 1968). Medium yang dilalui gelombang ultrasonik akan memberi reaksi berupa proses penyamaan kecepatan dan penyamaan temperatur yang akan mengembalikan ke keadaan semula. Kedua proses ini akan memerlukan energi dan ini diambil dari gelombang yang melewatinya. Besarnya koefisien atenuasi akibat viskositas dan konduktivitas panas ini dapat ditentukan dari persamaanpersamaan (Gooberman, 1968) sebagai berikut : ω η (5) 3 ρ 0c 0 α VIS 3 α TH 1 ( γ 1) ω κ (6) 3 ρ c 0 0 C p Jika kedua persaman di atas (persamaan 5 dan 6) digabungkan maka akan diperoleh koefisien atenuasi klasik : α 1 ω 4 ( γ 1) η + κ 3 ρ 0c0 3 C p KLASIK (7) Power Spectral Density Power spectral density merupakan suatu karakteristik sinyal dari suatu gelombang yang merambat pada suatu medium tertentu, dan sering dilambangkan sebagai Mo. Setiap karakteristik sinyal berbeda tergantung dari bentuk dan struktur bahan yang dirambatkan gelombang. Dengan mengetahui besarnya nilai

14 40 Mo kita dapat mengetahui besarnya jumlah energi yang dapat ditransmisikan ke bahan medium yang dirambatkan gelombang. Nilai Mo ditentukan dari jumlah luasan di bawah kurva dari power spectral density yang dapat dihitung menggunakan integrasi numerik (Cheng dan Haugh, 1994). Power spectrum density adalah hasil transformasi hubungan antara amplitudo (tegangan) dengan waktu perambatan gelombang ultrasonik. Ketika gelombang ultrasonik dirambatkan ke dalam medium, data sinyal gelombang (tegangan vs waktu rambat) direkam, lalu dianalisis menggunakan Fast Fourier Transform (FFT) dengan bantuan program yang dibuat dalam bahasa program MatLab. Kemudian Mo dikuantitatifkan menggunakan integrasi numerik. Bagan alir program komputer untuk pengolahan dan analisa sinyal tersebut disajikan pada Gambar 1. Gambar 1 Diagram alir program pengolahan power spectral density gelombang ultrasonik. Prediksi Masa Simpan Buah Manggis Menurut Kwolek dan Bookwalter (1971), hubungan mutu suatu produk dengan masa simpan dapat dijelaskan dengan persamaan regresi, baik dalam bentuk regresi sederhana, logaritma, maupun bentuk transformasi lainnya. Secara sederhana persamaan regresi tersebut dapat ditulis :

15 41 Y a ± (8) M bt S Selanjutnya Labuza (1983) menyatakan bahwa apabila perubahan mutu (D) dipandang sebagai reaksi kimia dalam sistem makanan, maka perubahan mutu tersebut umumnya mengikuti persamaan diferensial orde pertama (pseudo firstorder). Apabila perubahan zat A menjadi zat B maka persamaan diferensial ordo pertama dapat ditulis dd ± kd (9) dt Dengan mengintegrasikan persamaan 9 dan dengan memasukkan kondisi batas t 0 dan D D 0 maka didapat D1 D1 D0 ep( -kt) ln kt D (30) 0 Besarnya konstanta laju penurunan indeks mutu (k) merupakan slope dari grafik antara indeks mutu tersebut dan lama penyimpanan, namun secara matematik besarnya konstanta laju penurunan indeks mutu tersebut merupakan koefisien dari suatu persamaan regresi.