Kemudian, diterapkan pengortonormalan terhadap x 2 dan x 3 pada persamaan (1), sehingga diperoleh

Transkripsi

1 SOLUSI VAKUM PERSAMAAN MEDAN EINSTEIN UNTUK BENDA SIMETRI AKSIAL STASIONER MENGGUNAKAN PERSAMAAN ERNST Aldytia Gema Sukma 1, Drs. Bansawang BJ, M.Si, Dr. Tasrief Surungan, M.Sc 3 Universitas Hasanuddin, Indonesia Abstrak. Telah diperoleh solusi vakum persamaan medan gravitasi Einstein simetri aksial stasioner. Solusi ini diperoleh dengan penelusuran tensor Ricci dari metric Lewis-Papapetrou. Persamaan yang diperoleh selanjutnya diselesaikan menggunakan metode Ernst dengan potensial Ernst orde pertama sehingga didapatkan metrik Kerr. Sebagai pelengkap, disajikan pula metrik Kerr dalam koordinat Boyer-Lindquist, persamaan geodesik dan gambaran horison peristiwa dalam kasus lubanghitam Kerr untuk m > a. Kata Kunci: medan gravitasi Einstein, persamaan Ernst, simetri aksial stasioner, geodesik. I. PENDAHULUAN Penelitian yang dilakukan ini merupakan penelusuran kembali solusi vakum persamaan medan Einstein simetri aksial stasioner. Pencarian solusi dilakukan dengan memilih jalan penelusuran tensor Ricci dari metrik Lewis sampai kepada tensor Ricci dari metrik Papapetrou, untuk kemudian diselesaikan persamaan medannya dengan menggunakan persamaan Ernst. II. METRIK LEWIS-PAPAPETROU DAN PERSAMAAN MEDAN VAKUMNYA Karakteristik metrik dari ruangwaktu simetri aksial stasioner mengharuskan adanya koefisien metrik yang tidak bergantung terhadap t (waktu) dan ϕ (azimuth), dalam hal ini diperkenalkan g μν = g μν (x,x 3 ) dengan x dan x 3 merupakan dua koordinat spasial. Elemen garis berdasarkan metrik tersebut ditulis sebagai = g 00 (dx o ) g 01 dx 0 dx 1 g 11 (dx 1 ) g (dx ) g 3 dx dx 3 g 33 (dx 3 ) (1) Kemudian, diterapkan pengortonormalan terhadap x dan x 3 pada persamaan (1), sehingga diperoleh = g 00 (dx o ) g 01 dx 0 dx 1 g 11 (dx 1 ) ±e μ [(dx ) (dx 3 ) ] () dengan μ merupakan fungsi dari x dan x 3 [1]. Persamaan () dapat ditulis kembali dalam bentuk [] = A(dt) B dt dφ C(dφ) e μ (dx ) e μ 3 (dx 3 ) (3) dengan menampakkan sumbu azimut dan temporal, serta pemilihan ansatz berbeda pada dx dan dx 3. Persamaan (3) dikenal sebagai elemen garis Lewis. Jika dilakukan pemilihan koordinat silinder kanonik x = dan x 3 = z pada persamaan (3), kemudian dilakukan transformasi A = f, B = ωf, C = fω dan μ = μ 3 = γ 1 f ln(f)[3], dan selanjutnya dikenakan syarat vakum, maka akan diperoleh bentuk tensor Ricci dari metrik Papapetrou. Penerapan beberapa aljabar sederhana pada tensor Ricci

2 metrik Papapetrou, menghasilkan persamaan medan vakum Papapetrou f ( f z f 1 f4 f) [( ω) ( z ω) ] ( z f) ( f) = 0 f ( ω z ω 1 ω) ( f ω z f z ω) = 0 z γ = f f f zf ω z ω γ = 4f [( f) ( z f) ] f 4 [( ω) ( z ω) ] (4) III. PERSAMAAN ERNST Metode Ernst merupakan salah satu metode yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan (4) yakni persamaaan differensial non-linier, dengan membawa fungsi potensial f, ω, γ ke dalam bentuk potensial kompleksnya. Dari salah satu persamaan (4) dapat diperloleh bentuk f ω = 0 (5) dengan dalam koordinat silinder. Diperkenalkan vektor A yang memenuhi hubungan f ω = A (6) yang mana ω orthogonal terhadap azimutal (φ ). Melalui hubungan persamaan (5) dan (6) diperoleh ( A) φ = 0 (7) yang memberikan syarat A z z A = 0 sehingga A z = z A (8) yang mana persamaan (8) mengharuskan munculnya sebuah fungsi F(, z, φ) yang memberikan A = F dan A z = z F (9) Subtitusi persamaan (9) ke dalam persamaan (7), diperoleh jalinan persamaan A = [ 1 ( φ z F z A φ )] z [ 1 ( A φ φ F)] (10) Diperkenalkan fungsi potensial baru dengan definisi Ω φ F A φ yang selanjutnya disubtitusikan ke dalam persamaan (10), Sehingga dari persamaan (10) tersebut diperoleh bentuk persamaan (6) ( ω ẑ z ω) = f ( z Ω z Ω) (11) Hubungan ruas kiri dan ruas kanan persamaan (11) memberikan hubungan z Ω = f ω dan Ω = f zω (1) Persamaan (4) bagian satu dan dua dapat ditulis kembali berdasarkan persamaan (1) dengan ekspresi f f f f Ω Ω = 0 (13) f Ω ( f Ω) = 0 (14) dengan dan adalah operator gradien dan operator Laplacian dimensi dalam koordinat silinder. Mengalikan persamaan (14) dengan bilangan imaginer, didapatkan if Ω i( f Ω) = 0 (15) Penjumlahan persamaan (13) dan (15) menghasilkan f f if Ω = f f Ω Ω i( f Ω) (16) Diperkenalkan suatu fungsi potensial kompleks Ԑ (, z) dengan definisi [13] Ԑ f iω (17) Penerapan persamaan (17) ke dalam persamaan (16) memberikan

3 (ReԐ) Ԑ = Ԑ Ԑ (18) Persamaaan (18) dikenal sebagai persamaan Ernst. Selanjutnya diperkenalkan potensial kompleks baru ξ(, z) melalui transformasi Mobius untuk memperoleh bentuk alternatif persamaan Ernst, yakni: Ԑ = ξ1 ξ1 (19) Mensubtitusi persamaan (19) ke dalam persamaan (18) diperoleh (ξξ 1) ξ = ξ ξ ξ (0) dengan ξ merupakan kompleks konjugat ξ [4]. IV. ANZATS PAPAPETROU DALAM POTENSIAL ERNST Dari persamaan (17) dan (19) diperoleh jalinan f iω = ξ1 ξ1 (1) Berdasarkan persamaan (1), diperoleh f dan Ω dalam potensial Ernst sebagai berikut. f = Ω = ξξ 1 (ξ1)(ξ 1) ξξ i(ξ1)(ξ 1) () (3) Mensubtitusi persamaan () dan (3) ke dalam persamaan (1) diperoleh ω = [ z ξ(ξ 1) z ξ (ξ1) ] i(ξξ 1) (4) z ω = [ ξ(ξ 1) ξ (ξ1) ] i(ξξ 1). (5) Mensubtitusi persamaan (), (3), (4) dan (5) ke dalam persamaan (4) diperoleh γ = (ξξ 1) { ξ ξ z ξ z ξ } (6) z γ = (ξξ 1) { ξ z ξ ξ z ξ} (7) Sumber medan gravitasi yang ditinjau merupakan benda berbentuk elipsoid yang berotasi stasioner, sehingga persamaan Ernst lebih mudah diselesaikan dalam koordinat spheroidal. Untuk itu dipilih koordinat prolate spheroidal (x,y) = k(x 1) 1 (1 y ) 1 (8) z = kxy (9) Dengan membawa persamaan (0) ke dalam koordinat prolate spheroidal berdasarkan persamaan (8) dan (9) diperoleh (ξξ 1)[(x 1) x ξ x x ξ (1 y ) y ξ y y ξ] = ξ [(x 1)( x ξ) (1 y )( y ξ) )] (30) Kemudian, pemilihan parameter ξ = e iα coth ψ (31) pada persamaan (30) dengan α sebagai konstanta dan ψ = ψ(x, y), memberikan persamaan Laplace ψ = 0 (3) Penerapan separasi variabel terhadap persamaan (3) memberikan dua persamaan Legene (x 1) d X dx dx x l(l 1)X = 0 (33) dx (x 1) d X dx dx x l(l 1)X = 0 (34) dx dengan solusi untuk l = 0 yakni ψ = a 0 ln (x1 ) (35) x1 yang mana a 0 merupakan parameter deformasi. Dengan menerapkan syarat limit medan lemah dan mensubtitusi persamaan (35) ke dalam persamaan (31), kemudian dipilih a 0 = 1 maka diperoleh solusi kombinasi linier yang memenuhi persamaan (30), yakni ξ = px iqy (36) dengan p dan q merupakan konstanta yang memenuhi hubungan p q = 1. [3] V. METRIK KERR Sajian persamaan (), (4), (5), (6) dan (7) dalam koordinat prolate

4 speroidal dengan potensial (36) adalah f = p x q y 1 (px1) q y (37) dω dx dω ) ((px 1) q y ) kq (1y = (38) (p x q y 1) 1)(px 1) = 4kpqy(x (39) dy (p x q y 1) dγ dx = x(1 y ) (p x q y 1)(x y ) dγ = y(x 1) dy (p x q y 1)(x y ) (40) (41) Kemudian, dilakukan pengintegralan pada persamaan (38), maka diperoleh potensial ω ω = kq(1y )(px1) (4) p(p x q y 1) Selanjutnya, dengan mengintegralkan persamaan (40) diperoleh e γ = C p x q y 1 (43) x y Untuk x dan y diperoleh konstanta integrasi C = 1 p sehingga persamaan (43) menjadi e γ = p x q y 1. (44) p (x y ) Selanjutnya, dilakukan transformasi pada persamaan (3) melalui hubungan (8) dan (9), kemudian mensubtitusi persamaan (37), (4) dan (44) pada metrik (3), maka diperoleh = p x q y 1 [dt (px1) q y kq(1y )(px1) dφ] p(p x q y 1) (px1) q y x q y 1 p x q y 1 {p [( x y p (x y ) ( x y 1y ) k dy ] k (x 1)(1 x 1 ) k dx y )dφ } (45) yang mana persamaan (4.10) merupakan metrik Kerr dalam koordinat prolate spheriodal (t, φ, x, y). Ekspresi ruangwaktu Kerr dalam koordinat Boyer-Lindquist (t, φ, r, θ) (bentuk standar metrik Kerr) diperoleh dengan mentransformasi persamaan (45) melalui hubungan t = t, φ = φ, px = r m 1 dan qy = a cos θ dengan p = k, q = a m m m, k = (m a ) 1 r m, x = dan y = cos θ, sehingga diperoleh = (1 mr (m a ) 1 ) (dt mra sin θ mr mr sin θ dφ dφ) dθ (46) dengan r a cos θ, r mr a. Jika dipilih a = 0 pada persamaan (4.1), maka diperoleh = (1 m ) r (dt) r sin θ dφ (1 m r )1 r dθ (47) yang mana persamaan (47) merupakan metrik Scwarzschild untuk solusi vakum medan gravitasi statik simetri bola [1]. Perbedaan antara metrik Scwarzschild dan metrik Kerr terletak pada rotasi dari sumber medan gravitasi. Untuk itu dapat diidentifikasi bahwa a pastilah merupakan parameter momentum sudut. VI. GEODESIK KERR Persamaan geodesik yang menggambarkan perilaku gerak dari partikel uji di sekitar ruangwaktu Kerr diperoleh melalui persamaan d x α Γ μν α dxμ dx ν = 0[6], sehingga berdasarkan persamaan (46) diperoleh geodesik Kerr : - Untuk x α = x 0 = t diperoleh d t m sin θ (r a cos θ) [(r a mr a sin θ ) r a cos θ (r a cos θ) mr a sin θ r a cos θ (a cos θ r )] dt 4mr a sin 3 θ cos θ (r a cos θ) [ (r a mr a sin θ r a cos θ ) mr ( a sin θ r a cos θ

5 1)] dt dθ 4 ma sin θ (r a cos θ) [r 4mr a sin θ mr a sin θ (r a cos θ) r a cos θ a cos θr r a cos θ (r a mr a sin θ dφ )] r a cos θ 4mr a 3 sin 5 θ cos θ (mr (r a cos θ) r dθ = 0 a ) dφ - Untuk x α = x 1 = φ diperoleh d φ ma sin θ [ a cos θr dt (r a cos θ) ] 4mra sin θ cosθ sin θmr (r a cos θ) (a r a cos θ (48a) 1) dt dθ sin θ ( m ra 4 sin θ cos θ4m r a sin θm r 3 a sin θ (r a cos θ) 3 m ra sin θmr a sin θ (r a cos θ) d t mr ma sin θmr r) dφ r 4 r a cos 4ma θ r 4 sin θ cos θ [r a 4mr a sin θmr 3 mr a r a cos θ mr a 4 sin 4 θ4m r a 8m r a sin θ (r a cos θ) 4m r a 4 sin 4 θ4m r a 4 sin θ ] dφ dθ = (r a cos θ) 3 0 (48b) - Untuk x α = x = r diperoleh d r m(r a cos θ)(r mra ) ( dt (r a cos θ) 3 ma sin θ(a cos θr )(r mr a ) dt (r a cos θ) 3 (r mr a ) sin θ r a cos θ mr a sin θ (r a cos θ) m a sin θ ] r a cos θ (dφ ) [r rm r mr a) ( ) a cos θ sin θ dθ r a cos θ r(r mr a ) r a cos θ (dθ ( ) = 0 - Untuk x α = x 3 = θ ) r r a cos θ (48c) dφ d θ mr a cos θ sin θ (r a cos θ) 3 (dt ) 4mra sin θ cos θ ( a sin θ (r a cos θ) r a cos θ 1) dt dφ 4mr a sin θ r a cos θ sin θ cos θ r a cos θ [r a mr a 4 sin 4 θ (r a cos θ) ] (dφ ) a cos θ sin θ (r a cos θ)(r mra ) ( ) r dθ r a cos θ a sin θ cos θ r a cos θ (dθ ) = 0 (48d) Untuk gerak pada daerah equator sumber massa (θ = π dθ dan = 0) diperoleh persamaan geodesik berdasarkan persamaan (48a)-(48d) : - Untuk x α = x 0 = t d φ (r a ) dt 4ma r 3 ma a dφ r] - Untuk x α = x 1 = φ [3 = 0 ma dt a r (4m r 4 ma 4m a ma m r r 3 r r) dφ = 0 - Untuk x α = x = r d r m ( dt r 4 ) ma r 4 ma r 3 dt dφ ma ] r (dφ ) r [r (49a) (49b) ( 1 rm ) r ( ) = 0 (49c) - Untuk x α = x 3 = θ d θ = 0 (49d) VII. LUBANGHITAM KERR Karakteristik singularitas untuk kasus lubanghitam Kerr dapat dilihat pada persamaan (46) untuk kasus g 00 = 0 dan g =. Pada g diperoleh singularitas koordinat dengan syarat = 0, sehingga horison peristiwa dapat diidentifikasi melalui

6 persamaan r mr a = 0 yang akarakar persamaannya yaitu r ± = m ± m a (50) Batas permukaan horison peristiwa tidak berhimpit pada g 00, sehingga untuk batas limit statik hanya bisa diperoleh dari g 00 = 1 mr a cos θmr r a cos θ = 0 yang mana hanya bisa terpenuhi pada r a cos θ mr = 0, yang mana akar-akar persamaannya adalah r e± = m ± m a cos θ (51) Melalui persamaan (50) dan (51) dapat dipetakan batas singularitas dan masingmasing horison r = m m a (5a) r = m m a (5b) r e = m m a cos θ (5c) r e = m m a cos θ (5d) r = 0 (5e) Diperkenalkan parameter transformasi dari Boyer-Lindquist (t, φ, r, θ) ke Kerr-Schild (t, x, y, z) t = t x = (r a ) 1 sin θ cos φ y = (r a ) 1 sin θ sin φ z = r cos θ (53) Dengan menggunakan parameter transformasi (53) diperoleh hubungan z = r (1 x y r a (54) Berdasarkan persamaan (5a)-(5e) dan (54) diperoleh gambaran horison metrik Kerr berdasarkan hasil plot Gambar 1 Batas-batas permukaan horison dan singularitas lubanghitam Kerr untuk m > a. Urutan permukaan horison pada gambar 1 diperoleh dengan meninjau daerah ekuator (θ = 90) pada persamaan (5a) (5d), sehingga dapat disimpulkan bahwa r e > r > r > r e. Pada persamaan (54) dan (5e) diperoleh singularitas pada daerah x y = a dengan z = 0. Pada permukaan r e, berdasarkan persamaan (46) diperoleh metrik = a sin θ dt dφ (r a a sin θ) sin θ dφ mr mrdθ (55) yang mengartikan bahwa benda apapun pada daerah antara r e dan r tidak boleh berada pada kondisi statik melainkan harus berotasi dibawa pengaruh parameter momentum sudut sebesar a sin θ menuju pusat medan gravitasi. Pada daerah r g menjadi tak hingga sehingga permukaan r ini disebut horison peristiwa, yang mana pada daerah ini foton tidak dapat lolos dari tarikan gravitasi. Karena r > r > r e, maka pengamat tidak dapat memperoleh informasi dari daerah r dan r e (daerah dalam lingkup horison peristiwa). r e r r r e r = 0

7 DAFTAR ACUAN [1] Chanasekhar, S The Mathematical Theory of Black Holes. Oxford University Press. [] Lewis, T Some Special Solutions of the Equations of Axially Symmetric Gravitational Fiel. ( [3] Carmeli, M Classical Fiel: General Relativity and Gauge Theory. John Wiley and Sons. [4] Ernst, F. J New formulation of the axially symmetric gravitational field problem. Phys. Rev. 167, [5] Heinicke, C., Hehl W,F Schwarzschild and Kerr Solutions of Einstein s Field Equation - an introduction -. arxiv: v1. [6] Purwanto, A Pengantar Kosmologi. Surabaya: ITS Press.