4. Orbit dalam Medan Gaya Pusat. AS 2201 Mekanika Benda Langit

Transkripsi

1 4. Orbit dalam Medan Gaya Pusat AS 2201 Mekanika Benda Langit

2 4. Orbit dalam Medan Gaya Pusat 4.1 Pendahuluan Pada bab ini dibahas gerak benda langit dalam medan potensial umum, misalnya potensial sebagai fungsi r, tapi tidak selalu bervariasi dalam 1 r. Page 2

3 4.2 Gerak dalam Medan Gaya Pusat Gerak benda dalam medan gaya pusat dikarakterisasi oleh fungsi energi potensial per satuan massa V r. Jika medan gaya ada di pusat, maka: h = r 2 θ (4.1) merupakan gerak yang tetap. Secara umum persamaan (3.28) dapat dinyatakan dengan: d 2 u + u = 1 dv dθ 2 h 2 du Dengan u = r 1 (4.2) Bila dianggap bahwa potensial V r dapat menyebabkan orbit spiral: r = r 0 θ 2 (4.3) Maka substitusikan u = dv r 0 θ 2 1 ke persamaan (4.2), sehingga: du = h2 6r 0 u 2 + u (4.4) Bila kita lakukan integrasi, didapat: Page 3

4 V u = h 2 2r 0 u 3 + u2 2 (4.5) V r = h 2 2r 0 r r 2 (4.6) Dengan perkataan lain, pola spiral pada persamaan (4.3) merupakan penggabungan dari kebalikan kwadrat jarak dan pangkat tiga jarak! Page 4

5 4.3 Gerak orbit hampir lingkaran Tidak semua gaya dihasilkan oleh orbit lingkaran yang stabil, kita lihat berikut (bentuk umum dari pers. 3.25): r h2 r3 = f r adalah gaya radial per satuan massa (4.7) Untuk orbit lingkaran, r = 0, maka: h2 r c), r 3 c adalah radius lingkaran (4.8) Andaikan ada sebuah perpindahan kecil sejauh x = r r c (4.9) Maka x h2 r c +x 3 = f r c + x (4.10) Dengan melakukan ekspansi deret pangkat untuk r c + x dalam x r c, dan diambil hanya untuk orde pertama, maka: x h2 r c x r c = f r c + f r c x (4.11) Page 5

6 Akarnya >0 persamaan gerak harmonik sederhana, kalau negatif? Dengan memanfaatkan persamaan (4.8), maka: x + 3f r c r c f r c x = 0 (4.12) Jadi, kriteria stabil untuk orbit lingkaran dengan radius r c dalam medan gaya pusat dikarakterisasi oleh fungsi gaya radial (per satuan massa) f(r): f r c + r c f r 3 c < 0 (4.13) Contoh, fungsi deret pangkat f c = cr n, c > 0 (4.14) Substitusikan ke dalam kriteria stabil cr c n cn 3 r c n < 0 (4.15) Atau n > 3 (4.16) Pada orbit lingkaran dalam medan gaya pusat yang sangat kuat hingga penurunannya lebih dari r 3, maka orbit tersebut tidak stabil. Page 6

7 Kasus khusus bila n = 3, karena orde pertama dalam perluasan persamaan (4.10) akan hilang, dan perlu untuk mempertahankan orde kedua. Dengan demikian, maka orbit lingkaran juga tidak stabil untuk gaya inverse-cube (n = 3). Apsis, yaitu titik dalam orbit dimana jarak radial r bernilai maksimum atau minimum. Titik perihelion dan aphelion merupakan titik-titik apsis pada orbit planet. Sudut yang dibentuk vektor radius untuk berputar di antara dua apsis berturut-turut disebut sudut apsidal. Dengan demikian, sudut apsidal untuk orbit elips (dalam satu per kuadrat medan gaya) adalah π. Untuk kasus orbit stabil hampir lingkaran, r berosilasi secara sinuoidal dengan harga rata-rata r c. Periode pada persamaan (4.12) adalah: T = 3f r c rc 2π f r c 1 2 (4.17) Page 7

8 Sudut apsidal dinyatakan dengan θ dan berharga antara nilai maksimum dan minimum r. Jika θ = h r2, dengan h adalah konstanta gerak, dan r juga hampir konstan, maka dapat dianggap θ juga konstan. Jadi: (lihat lagi persamaan (4.8)) θ h = f r 1 2 c r 2 c r c Sudut apsidal, ψ: (4.18) ψ = T θ f r 1 2 = π 3 + r c 2 c (4.19) f r c Untuk kasus f r = cr n, c > 0, sudut apsidal adalah: π ψ = (4.20) 3+n 1 2 Dalam satu orbit, sudut apsidal berharga maksimal 2π. Untuk (n = 2), sudut apsidal adalah π, untuk gaya linear (n = 1) sudut apsidal = π. Untuk 2 fungsi kuadratik (n = 2) atau kubik (n = 3), sudut apsidal menjadi fraksi irasional dari 2π Page 8

9 4.4 Presesi Perihelion Planet Sistem Tatasurya: bintang induk dengan 8 buah planet (Merkurius hingga Neptunus), orbit elips, co-planar. Kita abaikan gravitasi antar planet, maka perihelium terhadap Matahari menjadi fix! Ternyata perihelium tiap planet berpresesi secara lambat terhadap Matahari. Kita dapat menghitung presesi periheliu sebuah planet dengan menganggap bahwa planet lain mengorbit membentuk cincin konsentris yang berpusat di Matahari. Di sini, yang dimaksud dengan massa adalah massa planet, dan jarak adalah jarak rata-rata planet tersebut. Sekarang kita beri indeks angka 1 hingga 8 untuk planet Merkurius hingga Neptunus. M i dan R i masing-masing adalah massa dan radius orbit planet ke-i, sedangkan massa Matahari dinyatakan dengan M o. Dr persamaan. (2.7), potensial gravitasi planet ke-i oleh planet lain: (4.21) Page 9

10 Gaya radial per satuan massa yang bekerja pada planet ke-i dituliskan sebagai f R i = dφ R i dr, akan memberikan: (4.22) Dengan demikian, kita bisa dapatkan: (4.23) Dengan d dr, sehingga: (4.24) Page 10

11 Dengan bantuan persamaan (4.19), sudut apsidal planet ke-i: (4.25) Perihelion planet ke-i dijabarkan sebagai: (4.26) radians per revolusi mengelilingi Matahari. Waktu untuk sekali revolusi adalah T i = 2π dengan ω 2 ω i = GM 0 i R 3. i Page 11

12 Jadi presesi perihelion rata-rata (dalam detik busur/tahun "/tahun) adalah: (4.27) Page 12

13 Perbandingan hasil perhitungan dengan planetary data Page 13

14 Perbandingan hasil perhitungan dengan planetary data Page 14

15 Perbandingan hasil perhitungan dengan planetary data Page 15

16 4.5 Presesi Perihelion Merkurius Jika persamaan (2.70) dan (2.72) diekspansi dan dihitung dengan lebih cermat: a, e, i ternyata planet Merkurius mengalami presesi perihelion sebesar 5". 2/tahun akibat koreksi relativitas umum terhadap gravitasi Newton. Relativitas umum menimbulkan koreksi kecil terhadap gaya per satuan massa yang diberikan oleh Matahari kepada planet yang mengorbit lingkaran dengan radius r, dengan momentum sudut per satuan massa h. Koreksi ini karena ada kelengkungan ruang di sekitar matahari. Karena itu, formula f dimodifikasi menjadi: f GM 3GMh2 (4.28) r 2 c 2 r 4 Dengan cadalah kecepatan cahaya di ruang vakum. rf 3h2 = (4.29) f c 2 r 2 Dari persamaan (4.19), sudut apsidal adalah: ψ π 1 + 3h2 c 2 r 2 (4.30) Page 16

17 Maka perihelion maju sebesar: δψ 6πGM (4.31) c 2 r radian/revolusi akibat koreksi relativitas umum pada gravitasi Newton. Di sini h 2 = GMr. Dengan demikian, maka rata-rata presesi perihelion akibat koreksi relativitas umum adalah: δψ ( /tahun) (4.32) RT dengan R adalah radius orbit rata-rata (dalam radius orbit Bumi, au), dan T adalah periode orbit (dalam tahun). Untuk planet Merkurius (tabel 5.1), kontribusi relativitas umum pada δψ 0.41 /tahun. Hitung δψ untuk planet yang lain! Page 17

18 Jika perhitungan di atas dilakukan dengan lebih akurat, dengan mengambil eksentrisitas orbit Merkurius ke dalam perhitungan, maka kontribusi relativistik umum untuk δψ menjadi 0,43 /tahun, sehingga presesi perihelion total Mercury adalah 5.32 /tahun + 0,43 /tahun = 5,75 /tahun. Hal ini sesuai dengan presesi perihelion yang diamati. Salah satu keberhasilan besar pertama dari teori ini relativitas umum adalah dapat menjelaskan perbedaan antara pengamatan dan perhitungan mekanika Newton terhadap presesi perihelion Merkurius. Page 18

19 Contoh Gangguan orbit-orbit oleh planet-planet - Karena gangguan dan penyimpangan kecil dari elips yang tidak tertutup, orientasi nodal orbit planet-planet terus berubah sedikit. Satu efek adalah presesi perihelium. - Contoh terbaik: planet Merkurius, presesi perihelium detikbusur/abad. Terjadi atas: 5025 detikbusur/abad dari sistem koordinat yang kita pilih-(presesi equinox, oleh presesi sumbu rotasi) sisanya 576 detikbusur/abad oleh gangguan: 280 detikbusur/abad dari Venus 151 detikbusur/abad dari Yupiter 102 detikbusur/abad dari planet lain (terutama Bumi) 43 detikbusur/abad dari relativitas umum (pelekukan ruang-waktu oleh Matahari)