FOURIER Oktober 2014, Vol. 3, No. 2,

Transkripsi

1 FOURIER Oktober 2014, Vo. 3, No. 2, PENYELESAIAN MATCHING GRAF DENGAN MENGGUNAKAN METODE HUNGARIAN DAN PENERAPANNYA PADA PENEMPATAN KARYAWAN DI SUATU PERUSAHAAN Auia Rahman 1, Muchammad Abrori 2, Noor Saif Muhammad Musafi 3 1, 2, 3 Program Studi Matematika, Fakutas Sains dan Teknoogi, Universitas Isam Negeri Sunan Kaijaga, Yogyakarta Abstrak Semakin meningkatnya kompetisi goba menuntut setiap perusahaan untuk meningkatkan kuaitas serta efektifitas kinerja karyawannya yang pada akhirnya diharapkan dapat meningkatkan keuntungan. Penempatan sejumah X karyawan pada Y pekerjaan dimana masing-masing karyawan mempunyai kompetensi untuk menyeesaikan semua pekerjaan dengan mempertimbangkan beberapa aspek seperti memaksimakan keuntungan yang diperoeh atau meminimakan waktu yang diperukan sebagai akibat dari penempatan karyawan pada pekerjaan dikena dengan Optima Assignment Probem. Tujuan dari penuisan ini adaah untuk mencari sousi pada Optima Assignment Probem dimana aspek yang akan dioptimakan adaah keuntungan dari penempatan sejumah karyawan pada pekerjaan yang dapat diperoeh dengan menerapkan konsep teori graf. Daam ha ini permasaahan dinyatakan sebagai graf bipartit khususnya graf bipartit engkap berbobot yang menerapkan konsep matching, yaitu pencarian matching sempurna dengan bobot paing optima. Untuk mencari matching sempurna dengan bobot paing optima maka dapat digunakan sebuah agoritma optimasi yaitu metode Hungarian. Dengan menggunakan metode Hungarian, diperoeh matching sempurna dengan bobot yang optima pada graf bipartit engkap berbobot. Matching dikatakan sempurna jika teah memenuhi semua himpunan simpu dan. Matching yang dihasikan merupakan sousi dari Optima Assignment Probem yakni memasangkan seorang karyawan tepat satu dengan sebuah pekerjaan dan bobotnya menyatakan keuntungan optima yang akan diperoeh oeh suatu perusahaan. Kata kunci : Matching, Optima Assignment Probem, Metode Hungarian. 1. PENDAHULUAN Pada dasarnya pencarian matching sempurna dengan bobot maksima dapat diakukan dengan mendaftar semua matching sempurna yang berbeda dan menghitung jumah bobot dari setiap matching sempurna yang diperoeh. Banyaknya matching sempurna yang berbeda pada suatu graf bipartit engkap dengan simpu pada masing-masing partisinya adaah sebanyak! cara. Sangat tidak efisien jika cara ini digunakan, karena semakin banyak jumah simpu maka semakin banyak pua matching sempurna yang berbeda. Untuk memudahkan pencarian 98

2 Penyeesaian Matching Graf Dengan Menggunakan Metode Hungarian dan Penerapannya pada Penempatan Karyawan di Suatu Perusahaan sousi matching sempurna dengan bobot maksima, dapat digunakan sebuah agoritma optimasi yaitu metode Hungarian. Metode Hungarian adaah sebuah agoritma kombinasiona untuk optimasi, yang dapat digunakan untuk menemukan sousi optima dari masaah penempatan karyawan. Versi awanya, yang dikena dengan metode Hungarian, ditemukan dan dipubikasikan oeh Harod Kuhn pada tahun Agoritma ini kemudian diperbaiki oeh James Munkres pada tahun Oeh karena itu, agoritma ini kemudian dikena juga dengan nama agoritma Kuhn Munkres. Pada peneitian ini akan dibahas metode Hungarian untuk menyeesaikan matching pada graf bipartit engkap berbobot dimana masaah yang ingin dipecahkan adaah mencari sousi terbaik maksimum pada penempatan karyawan. Keuntungan terbesar penggunaan metode Hungarian adaah kompeksitas agoritmanya yang poynomia. Metode yang digunakan daam agoritma Hungarian daam memecahkan masaah sangat sederhana dan mudah dipahami. 2. PENEMPATAN KARYAWAN Daam suatu perusahaan sering muncu permasaahan, saah satunya adaah penempatan karyawan ( tenaga ahi) pada suatu pekerjaan sehingga penempatan tersebut merupakan penempatan yang optima. Penempatan tenaga kerja merupakan suatu usaha untuk menyaurkan kemampuan sumber daya manusia sebaik-baiknya dengan jaan menempatkan karyawan pada pekerjaan yang paing sesuai. Peaksanaan penempatan karyawan yang tepat akan tercipta, manakaa kemampuan bekerja dari pegawai sudah sesuai dengan standar yang dibutuhkan untuk meakukan pekerjaan yang dipercayakan kepadanya. Keputusan mengenai penempatan dimaksudkan untuk menempatkan orang yang tepat pada posisi yang tepat. Penempatan karyawan di suatu perusahaan merupakan saah satu kasus atau permasaahan daam Optima Assignment Probem, yaitu merupakan masaah menempatkan sejumah pekerja (,,,,., ) untuk menyeesaikan pekerjaan (,,,,, ), daam ha ini jumah anggota himpunan maupun diasumsikan sama. Daam masaah Optima Assignment Probem sejumah tugas atau assignment akan diberikan kepada sejumah penerima tugas atau assignee daam basis satu-satu dengan memperhatikan faktor tertentu seperti memaksimakan keuntungan atau meminimakan kerugian. Daam ha ini yang dimaksud dengan kerugian adaah biaya dan waktu sedangkan yang dimaksud dengan keuntungan adaah pendapatan atau aba. Data pokok pertama yang harus dimiiki daam menyeesaikan suatu masaah penugasan atau penempatan karyawan adaah jumah assignee dan jumah assignment. 99

3 Auia Rahman, Muchammad Abrori, & Noor Saif Muhammad Musafi Masaah penempatan karyawan dapat dimodekan dengan menggunakan graf bipartit engkap berbobot = (, ), dimana adaah merupakan himpunan karyawan dan adaah merupakan himpunan pekerjaan. Sisi-sisi yang menghubungkan antara dan adaah menyatakan hubungan antara karyawan dengan pekerjaan tersebut. Daam ha ini aspek yang akan dioptimakan adaah bobot atau peuang penempatan tiap karyawan pada pekerjaan, dimana bobot masing-masing karyawan berbeda karena tingkat keterampian, pengaaman kerja dan atar beakang pendidikan. Contoh 3.1: Sebuah perusahaan distro mempunyai 5 pekerjaan yang berbeda yaitu: Pekerjaan I : Memproduksi jaket Pekerjaan II : Memproduksi rok Pekerjaan III : Memproduksi hem Pekerjaan IV : Memproduksi baju safari Pekerjaan V : Memproduksi ceana panjang. Pekerjaan-pekerjan tersebut akan diseesaikan oeh 5 karyawan dimana setiap karyawan mempunyai tingkat ketrampian, pengaaman kerja dan atar beakang pendidikan yang berbeda. Jumah produk yang dihasikan masing-masing karyawan berbeda tiap buannya, sehingga produktifitas atau keuntungan yang timbu dari berbagai aternatif penugasan dari ke-5 karyawan tersebut juga berbeda. Akan ditentukan sousi agar masing-masing karyawan menepati posisi pekerjaan, sehingga menjadi penempatan paing optima bagi perusahaan. Jumah produk yang dihasikan masing-masing karyawan setiap buannya dapat diihat pada Tabe 3.1 berikut: Tabe 3.1. Tngkat Ketrampian Pekerjaan Masing-masing Karyawan Pekerjaan Karyawan I II III IV V Afif Bady Dzaky Faras Ghazy Penyeesaian: 100

4 Penyeesaian Matching Graf Dengan Menggunakan Metode Hungarian dan Penerapannya pada Penempatan Karyawan di Suatu Perusahaan Untuk menyeesaikan permasaahan di atas, setiap karyawan dan setiap pekerjaan dapat dinotasikan sebagai berikut: = Afif = Pekerjaan I = Bady = Pekerjaan II = Dzaki = Pekerjaan III = Faras = Pekerjaan IV = Ghazy = Pekerjaan V Tabe 3.1 dapat diiustrasikan dengan graf bipartit, berbobot dengan partisi himpunan simpu = {,,,, } dan = {,,,, } seperti pada gambar 3.1 berikut ini: Gambar 3.1 Graf dari iustrasi penempatan karyawan Untuk mencari sousi optima dari penempatan karyawan sama hanya dengan mencari matching sempurna dengan bobot maksimum pada graf bipartit pada gambar 3.1. Karena graf merupakan graf bipartit engkap yang memiiki partisi {, } dengan = dan ( ) ( atau ), berdasarkan teorema marriage yang teah dijeaskan pada bab sebeumnya, maka pada graf bipartit ini terdapat matching sempurna. Daam ha ini karena = = 5, maka dapat ditentukan kemungkinan matching sempurnanya sebanyak 5! = 120. Pada dasarnya pencarian matching sempurna dengan bobot maksima dapat diakukan dengan mendaftar semua matching sempurna yang berbeda, dan menghitung jumah bobot dari tiap matching sempurna yang diperoeh. Daam masaah ini, karena kemungkinan matching sebanyak 120, pencarian sousi dengan mendaftar semua matching sempurna yang mungkin pada graf bipartit tersebut sangat tidak efisien untuk digunakan. Oeh karena itu, 101

5 Auia Rahman, Muchammad Abrori, & Noor Saif Muhammad Musafi untuk memudahkan pencarian sousi dari penempatan karyawan tersebut, akan digunakan sebuah metode optimasi yaitu metode Hungarian. Sebeum menguraikan angkah-angkah daam metode Hungarian, akan didefinisikan terebih dahuu feasibe abeing dan equaity subgraph Feasibe Labeing Misakan terdapat suatu graf bipartit engkap dengan bobot yang dinotasikan dengan (, ). Feasibe abeing pada graf didefinisikan sebagai fungsi niai rea pada sedemikian sehingga untuk setiap dan beraku: ( ) + ( ) w(, ) Saah satu cara untuk menemukan feasibe abeing adaah dengan mendefinisikan semua ( ) = 0 untuk dan untuk setiap, ambi bobot maksimum pada sisi yang bersisian dengan x. Y, ( ) = 0 untuk Y X, ( ) = max {w(, )} untuk X Contoh 3.2: Gambar 3.2 Graf bipartit engkap berbobot Akan ditentukan feasibe abeing dari graf bipartit berbobot pada gambar 3.2. Diperoeh matriks ketetanggaan yang bersesuaian dengan gambar 3.2 adaah:

6 Penyeesaian Matching Graf Dengan Menggunakan Metode Hungarian dan Penerapannya pada Penempatan Karyawan di Suatu Perusahaan Dari penjeasannya sebeumnya saah satu cara untuk menemukan feasibe abeing adaah dengan mendefinisikan semua ( ) = 0 untuk dan untuk setiap, ambi bobot maksimum pada sisi yang bersisian dengan., ( ) = 0 untuk, (x) = max {w(x, y)} untuk Daam ha ini untuk mendefinisikan ( ) = 0 untuk, dapat diakukan dengan menuiskan angka 0 dibawah matriks untuk masing-masing seperti pada matriks berikut ini: Seanjutnya untuk mendefinisikan x, (x) = max {w(x, y)} dapat diakukan dengan cara mencari niai maksimum untuk setiap baris yang sama kemudian menuiskannya pada samping kanan matriks, seperti pada matriks berikut ini: (Catatan: angka yang dicetak teba menunjukkan niai maksimum di setiap baris) maka diperoeh feasibe abeing yang diiustrasikan pada matriks berikut ini: Peabean simpu yang bersesuaian dengan gambar 3.2 adaah sebagai berikut: y, (,, ) = (0, 0, 0), (,, ) = (4, 6, 2) 2.2. Equaity Subgraph 103

7 Auia Rahman, Muchammad Abrori, & Noor Saif Muhammad Musafi Misakan terdapat suatu feasibe abeing pada graf, maka equaity subgraph yang berkorespondensi dengan feasibe abeing didefinisikan sebagai spanning subgraph dari dengan himpunan sisi E, dengan E = { : ( ) + ( ) = w(, )}, dan dinotasikan dengan G. Contoh 3.3 Akan ditentukan equaity subgraph dari graf bipartit engkap berbobot pada gambar 3.2. Penyeesaian: Untuk mencari equaity subgraph dapat diakukan dengan menghimpun semua sisi E yang bersesuaian dengan feasibe abeing dari graf bipartit berbobot pada gambar 3.2, sedemikian sehingga E = { : ( ) + ( ) = w(, )}, dengan kata ain sisi adaah sisi yang mempunyai bobot yang sama dengan feasibe abeing yaitu (,,, ). Seanjutnya diperoeh equaity subgraph seperti pada gambar 3.3 berikut ini: Gambar 3.3. Contoh equaity subgraph Teorema 3.1 Jika adaah feasibe abeing dan adaah matching sempurna pada E, maka merupakan matching dengan bobot maksimum. (Junming Xu, 2003) Bukti: Misakan adaah matching sempurna dari suatu equaity subgraph, maka juga merupakan matching sempurna dari karena adaah spanning subgraph dari. Masing-masing merupakan anggota dari dan simpu-simpu akhir dari sisi pada menyatukan setiap simpu tepat satu kai, maka diperoeh: ( ) = ( ) = (x) Jika adaah sebarang matching sempurna ain dari, maka: (1) ( ) = ( ) ( ) 104 (2)

8 Penyeesaian Matching Graf Dengan Menggunakan Metode Hungarian dan Penerapannya pada Penempatan Karyawan di Suatu Perusahaan Dari (1) dan (2) diperoeh ( ) ( ), maka M* adaah matching optima dari. 3. METODE HUNGARIAN Untuk menyeesaikan masaah penempatan karyawan, metode Hungarian dapat direpresentasikan dengan graf bipartit engkap berbobot. Adapun angkah-angkah daam metode Hungarian adaah sebagai beikut: 1. Meakukan inisiaisasi peabean simpu dan bentuk Equaity subgraph : a., (y) = 0 b., ( ) = max { (, )}. 2. Piih sebarang matching di. 3. Jika mendapatkan sempurna berdasarkan teorema 3.1, maka proses berhenti. Jika tidak piih sebarang simpu yang unsaturated di, dan didefinisikan = { }, = ( dan ). 4. Jika ( ) =, maka perbaharui abe, jika tidak anjut ke angkah 5. Hitung dan tambahkan sisi pada graf. =, {( ) + ( ) w(, )} Maka beraku peabean simpu yang baru : ( ) = ( ) S ( ) + T ( ) 5. ( ), maka piih ( ) Jika matched misakan sampai, dengan dan, maka bentuk intasan - aternating dengan menambahkan = { } dan = { }, kemudian kembai ke angkah 4. Sebaiknya apabia bebas ( unmatched), maka akan terdapat yang merupakan intasan -augmenting, kemudian ganti dengan =, yaitu mengganti sisi matching menjadi tidak matching dan sebaiknya pada intasan kembai ke angkah 3. Contoh 3.4: Akan dicari sousi dari contoh 3.1 dengan menggunakan metode Hungarian. Penyeesaian: 105 -Augmenting dan 1. Meakukan peabean simpu dan dibentuk equaity subgraph. Diperoeh feasibe abeing yang diiustrasikan pada matriks berikut ini:

9 Auia Rahman, Muchammad Abrori, & Noor Saif Muhammad Musafi Sehingga diperoeh peabean simpu : a., (,,,, ) = (0, 0, 0, 0, 0, 0) b., (,,,, ) = (15, 15, 12, 16, 17 ) Berdasarkan peabean simpu, diperoeh equaity subgraph seperti pada gambar 3.4 berikut ini: Gambar 3.4. Equaity subgraph 2. Piih sebarang matching (ditandai dengan sisi yang dicetak teba) di equaity subgraph pada gambar 3.4, misa dipiih = (, ), (, ) Gambar 3.5. Matching 106

10 Penyeesaian Matching Graf Dengan Menggunakan Metode Hungarian dan Penerapannya pada Penempatan Karyawan di Suatu Perusahaan 3. Matching pada gambar 3.5 bukan merupakan matching sempurna, karena beum memuat semua simpu dan masih terdapat simpu pada yang unsaturated di, maka piih sebarang yang unsaturated di. Didapatkan simpu,,, sehingga didefinisikan ={,, } dan T =. 4. Berdasarkan angkah 3, diperoeh ={,, }, T = dan simpu yang bertetangga dengan simpu di adaah dan, maka ( ) ={, }. Karena ( ), anjutkan ke angkah 5 menggunakan agoritma hungarian, yaitu piih ( ). Misakan matched sampai, dengan dan, maka bentuk intasan - aternating dengan menambahkan = { } dan = { }. Daam ha ini diperoeh, ( ), karena, Matched di Matching dengan, dan,, maka akan dibentuk intasan -aternating dengan menambahkan ={,, } {, } atau ={,,,, } dan = {, } atau = {, }. (a) (b) Gambar 3.6 (a) Lintasan (b) Lintasan (c) Lintasan (c) -aternating berawa dari simpu -aternating berawa dari simpu -aternating berawa dari simpu 5. Berdasarkan angkah 4 diperoeh ={,,,, }, = {, } dan simpu yang bertetangga dengan simpu-simpu di adaah dan, maka ( )={, }. Daam ha ini ( ) = maka anjutkan ke angkah 4 daam agoritma. Hitung 107

11 Auia Rahman, Muchammad Abrori, & Noor Saif Muhammad Musafi =, = 5, (, ) = 3, (, ) = 5, (, ) + =, (, ) = 5, (, ) = 6, (, ) = 3, (, ) = 4, (, ) = 5, (, ) = 3, (, ) + =, (, ) = 8, (, ) = 7, (, ) = 4, (, ) = 3, (, ) = 1 Diperoeh = 1 yaitu pada (, ), (x, y ) dan tambahkan sisi-sisi tersebut pada graf. Kurangi eemen-eemen pada abe ={,,,, } dengan 1, dan tambahkan eemeneemen abe dari = {, } dengan 1. ( ) = ( ) 1 S ( ) + 1 T ( ) 108

12 Penyeesaian Matching Graf Dengan Menggunakan Metode Hungarian dan Penerapannya pada Penempatan Karyawan di Suatu Perusahaan Sehingga diperoeh peabean simpu : a. y, (,,,, ) = (0, 0, 0, 0, 1, 1) b. X, (,,,, ) = (14, 14, 11, 15, 16 ) Berdasarkan gambar 3.5 dan peabean simpu baru diperoeh equaity subgraph dan sebarang matching yang ditandai dengan sisi yang dicetak teba seperti pada gambar 3.7 berikut: Gambar 3.7. Equaity subgraph dan matching 6. Berdasarkan angkah 5 dan gambar 3.7, diperoeh ={,,,, }, = {, } dan simpu-simpu yang bertetangga dengan simpu-simpu di adaah,, dan sehingga ( ) ={,,, }. Karena ( ), maka anjutkan ke angkah 5 menggunakan agoritma hungarian, yaitu piih ( ) T. 7. Daam ha ini diperoeh, ( ). Karena, bebas ( unmatched), sehingga menurut angkah 5 daam agoritma Hungarian akan terdapat P yang merupakan intasan -augmenting, yaitu = {(, ), (, ), (, )} dengan dua titik akhir bebas, 109

13 Auia Rahman, Muchammad Abrori, & Noor Saif Muhammad Musafi maka ganti dengan = yaitu mengganti sisi matching menjadi tidak matching dan sebaiknya pada intasan -augmenting dan kembai ke angkah 3. = = {(, ), (, )} {(, ), (, ), (, )} = {(, ), (, ), (, )} Gambar 3.8. Lintasan -Augmenting Berdasarkan gambar 3.8 didapatkan matching baru = (, ), (, ), (, ). Matching M tersebut bukan merupakan matching sempurna, karena masih terdapat simpu pada yang unsaturated di, maka piih sebarang yang unsaturated di. Didapatkan simpu, sehingga didefinisikan ={, } dan =. Gambar 3.9 Equaity Subgraph dan Matching 8. Berdasarkan angkah 7 dan gambar 3.9 diperoeh ={, }, = dan simpu yang bertetangga dengan simpu-simpu di adaah maka ( ) ={ }. Karena ( ), maka anjutkan ke angkah 5 menggunakan agoritma hungarian, yaitu piih ( ). Misakan matched sampai, dengan dan maka bentuk intasan -aternating dengan menambahkan = { } dan = { }. Daam ha ini diperoeh ( ) T, matched di matching dengan dan, maka akan dibentuk intasan -aternating dengan menambahkan = {, } { } atau ={,, } dan = { } atau = { }. 110

14 Penyeesaian Matching Graf Dengan Menggunakan Metode Hungarian dan Penerapannya pada Penempatan Karyawan di Suatu Perusahaan (a) Gambar (a) Lintasan (b) Lintasan (b) -aternating berawa dari simpu -aternating berawa dari simpu 9. Berdasarkan angkah 8 diperoeh = {,, }, = { } dan simpu yang bertetangga dengan simpu-simpu di adaah, maka ( )={ }, daam ha ini ( ) = maka anjutkan ke angkah 4 daam agoritma. Hitung =, = = 4, (, ) + =, (, ) = 4, (, ) = 7, (, ) + =, (, ) = 3, (, ) = 4, (, ) = 4, (, ) = 6, (, ) = 3, (, ) + =, (, ) = 6, (, ) Didapatkan = 2 yaitu pada (, ), (, ) dan (, ). Tambahkan sisi-sisi tersebut pada graf. 111

15 Auia Rahman, Muchammad Abrori, & Noor Saif Muhammad Musafi Kurangi eemen-eemen pada abe ={,, } dengan 2 dan tambahkan eemen abe dari = { } dengan 2. ( ) 2 S ( ) = ( ) + 2 T ( ) Sehingga diperoeh peabean simpu : a. y Y, (,,,, ) = (0, 0, 0, 0, 1, 3) b. X, (,,,, ) = (12, 14, 9, 15, 14 ) Berdasarkan gambar 3.9 dan peabean simpu baru diperoeh equaity subgraph dan matching M yang ditandai dengan rusuk yang dicetak teba seperti pada gambar 3.11 berikut:: Gambar Equaity subgraph dan matching 10. Berdasarkan angkah 9, dan gambar 3.11 diperoeh ={,, }, = { } dan simpusimpu yang bertetangga dengan simpu-simpu di adaah,, dan maka ( ) ={,,, }. Karena ( ) maka anjutkan ke angkah 5 menggunakan agoritma hungarian, yaitu piih y ( ) T. 112

16 Penyeesaian Matching Graf Dengan Menggunakan Metode Hungarian dan Penerapannya pada Penempatan Karyawan di Suatu Perusahaan 11. Berdasarkan angkah 10 diperoeh,, ( ). Daam ha ini matched di dan, bebas (unmatched) sehingga menurut angkah 5 daam agoritma Hungarian akan terdapat yang merupakan intasan -augmenting. Berdasarkan gambar 3.11 diperoeh 2 intasan -augmenting yaitu: = {(, ), (, )(, )(, )(, )} = {(, ), (, ), (, )} maka ganti dengan = yaitu mengganti sisi matching menjadi tidak matching dan sebaiknya pada intasan -augmenting dan kembai ke angkah 3. = = {(, ), (, ), (, )} {(, ), (, )(, )(, )(, )} {(, ), (, ), (, )} ={(, ), (, ), (, ), (, ), (, )} Gambar Lintasan -augmenting Gambar Lintasan -augmenting Berdasarkan Gambar 3.11 didapatkan matching baru ={(, ), (, ), (, ), (, ), (, )}. Matching tersebut dapat dikatakan sempurna karena sudah memuat semua simpu daam equaity subgraph, sehingga matching tersebut sudah optima sehingga agoritma berhenti. 113

17 Auia Rahman, Muchammad Abrori, & Noor Saif Muhammad Musafi Gambar Equaity subgraph dan Matching 12. Dari angkah-angkah di atas diperoeh matching sempurna ={(, ), (, ), (, ), (, ), (, )}, maka diperoeh niai sousi optima dengan menjumahkan niai-niai feasibe abeing pada equaity subgraph, yaitu: = 68. Perhatikan bahwa niai ini akan sama dengan tota bobot dari matching sempurna yaitu: (, ) + w(, ) + (, ) + w(, ) + w(, ) = = Jadi penempatan karyawan pada masing-masing pekerjaan adaah sebagai berikut: Gambar Matching sebagai sousi masaah penempatan karyawan Berdasarkan hasi matching pada gambar 3.15 untuk mendapatkan hasi yang optima, maka penempatan karyawan yang sebaiknya diakukan oeh perusahaan adaah sebagai berikut: Karyawan Afif ( ) ditugaskan mengerjakan pekerjaan II ( ), dengan produk yang dihasikan sebanyak 12. Karyawan Bady ( ) ditugaskan mengerjakan pekerjaan I ( ), dengan produk yang dihasikan sebanyak

18 Penyeesaian Matching Graf Dengan Menggunakan Metode Hungarian dan Penerapannya pada Penempatan Karyawan di Suatu Perusahaan Karyawan Dzaki ( ) ditugaskan mengerjakan pekerjaan V ( ), dengan produk yang dihasikan sebanyak 12. Karyawan Faras ( ) ditugaskan mengerjakan pekerjaan IV ( ), dengan produk yang dihasikan sebanyak 16. Karyawan Ghazy ( ) ditugaskan mengerjakan pekerjaan III ( ), dengan produk yang dihasikan sebanyak 14. Dengan demikian dapat disimpukan bahwa dengan metode Hungarian, masaah penempatan karyawan pada perusahaan distro dapat diseesaikan dengan jumah produk maksimum yang dapat dihasikan adaah sebanyak 68 tiap buannya. 4. KESIMPULAN Dari penjeasan yang teah diuraikan sebeumnya, maka dapat disimpukan beberapa ha sebagai berikut: 1. Langkah-angkah metode Hungarian pada graf bipartit engkap berbobot dengan =, akan menghasikan matching sempurna dengan bobot yang optima, dimana semua himpunan simpu di dan saturated oeh matching. 2. Masaah penempatan karyawan dengan jumah karyawan sama dengan jumah pekerjaan, dapat dimodekan dengan menggunakan graf bipartit engkap berabe = (, ), dimana adaah merupakan himpunan karyawan dan adaah merupakan himpunan posisi (pekerjaan). Sisi-sisi yang menghubungkannya adaah menyatakan hubungan antara karyawan dengan posisi (pekerjaan) tersebut. Daam ha ini aspek yang akan dioptimakan adaah bobot atau peuang penempatan tiap karyawan pada pekerjaan. Untuk mencari sousi optima dari penempatan karyawan sama hanya dengan mencari matching sempurna dengan bobot maksima pada graf bipartit. Dengan menerapkan angkah-angkah pada metode hungarian akan didapatkan sousi optima dari penempatan karyawan. 5. DAFTAR PUSTAKA [1] Chartrand,G. and Zhang, P Chromatic Graph Theory. Chapman & Ha/CRC Press, Boca Raton, FL. [2] Deiste, Reinhard Graph Theory Eectronic edition. Springer-Verag Heideberg. New York. [3] Fournier, Jean-caude Graph Theory and Appications with Exercises and Probems. ISTE Ltd, London. [4] Harris, J.M., Hirst, J.L. and Mossinghoff, M.J., Combinatorics and Graph Theory. Undergraduate Texts in Mathematics (2nd ed.). Springer. [5] Munir, Rinadi Matematika Diskrit. Bandung: Informatika. [6] Rosen, Kenneth H Discrete Mathematics and Its Appication. McGraw-Hi. [7] Sutarno, Heri. Piatna, Nanang. Nurjanah Matematika Diskrit. Bandung: Universitas Pendidikan Indonesia. [8] Vasudev C Graph Theory with Appications. New Age Internationa, New Dehi. 115

19 Auia Rahman, Muchammad Abrori, & Noor Saif Muhammad Musafi [9] Wijaya, Adi Matematika Diskrit. Bandung: Poiteknik Tekom. [10] Xu, Junming Theory and Appication of Graphs. Kuwer Academic Pubishers, London. [11] diakses pada tangga 11 November 2011 puku [12] diakses pada tangga 10 Maret 2012 puku