BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA

Transkripsi

1 BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA Hukum gravitasi Newton mampu menerangkan fenomena benda-benda langit yang dipengaruhi oleh gaya gravitasi antar benda. Namun, hukum gravitasi Newton ini tidak sesuai dengan teori relativitas khusus Einstein. Ini dikarenakan menurut hukum gravitasi Newton jika ada sebuah benda digerakkan maka gaya gravitasi antar benda akan berubah dalam sekejap. Dengan kata lain, efek gravitasi haruslah merambat dengan kecepatan tak hingga. Oleh karena itu Einstein berupaya menyempurnakan hukum gravitasi Newton agar sesuai dengan teori relativitas khususnya. Pada tahun 1915 Einstein menghasilkan Persamaan medan gravitasinya atau dikenal dengan Teori Relativitas Umum (TRU). Einstein mengatakan bahwa gravitasi merupakan efek dari kelengkungan ruang-waktu karena adanya penyebaran massa dan energi di dalam ruang waktu tersebut. TRU dibangun atas dua prinsip, yaitu prinsip ekuivalensi (kesetaraan) dan prinsip kovariansi umum. Prinsip ekuivalensi berbunyi; Tidak ada percobaan yang dapat dilakukan dalam daerah kecil (lokal) yang dapat membedakan medan gravitasi dengan sistem yang dipercepat yang setara. Sedangkan prinsip kovariansi umum berbunyi; Hukum alam haruslah memiliki bentuk yang tetap terhadap sebarang pemilihan transformasi koordinat. Prinsip kovariansi hanya dipenuhi dengan menggunakan tensor ruang waktu dalam formulasi matematis teori yang bersangkutan [Purwanto,2009 dan Anugraha,2005].(Definisi untuk tensor dan beberapa sifat tensor dapat dilihat di lampiran 1,2 dan 3) 4

2 5 2.1 Persamaan Medan Tensor Kurvatur Medan gravitasi Einstein menyatakan tentang kelengkungan ruang waktu, oleh karena itu tensor yang dipakai adalah tensor kelengkungan atau tensor Riemann. Pada ruang Riemann, perpindahan paralel suatu vektor antara dua titik secara umum bergantung lintasan. Bila suatu vektor ditranslasikan secara paralel sepanjang lintasan tertutup C, vektor akhir secara umum tidak berhimpit dengan vektor awal. Perubahan vektor selama perpindahan paralel sepanjang kontur tertutup kecil yang dinotasikan sebagai A µ dinyatakan sebagai [Dalarson,2005] A µ = Γ ν µτa µ dx (µ, ν, τ = 0, 1, 2, 3) (2.1) C Dengan menggunakan teorema Stokes, integral garis sepanjang kontur tertutup C dapat ditransformasikan ke dalam integral permukaan meliputi permukaan S yang dibatasi oleh kontur tertutup C dapat dinyatakan sebagai A µ = 1 2 [D ρ (Γ ν µτa µ ) D σ (Γ ν µρa ν )] ρσ (2.2) C dengan D ρ menyatakan operator turunan kovarian yang dinyatakan sebagai D ρ = D Dx ρ. (2.3) Untuk kesederhanaan penulisan dikenalkan operator turunan biasa ρ yang dinyatakan sebagai ρ = x ρ (2.4)

3 6 persamaan (2.2) dapat dinyatakan sebagai A µ = 1 2 [ ρ (Γ ν µτa µ ) σ (Γ ν µρa ν )] ρσ C atau A µ = 1 2 [ ρ Γ ν µτa ν + Γ ν µτ k A ν σ Γ ν µρa ν Γ ν µργ ν µρa ν ] ρσ (2.5) C Mengingat perubahan vektor A ν sepanjang kontur C hanya disebabkan oleh translasi paralel maka berlaku τ A ν = Γ β ντa β sehingga pers. (2.5) menjadi A µ = 1 2 R ν µρσa ν ρσ (2.6) C dengan R ν µρσ = ρ Γ ν µσ τ Γ ν µρ + Γ β µσγ ν βρ Γ β µργ ν βσ (2.7) Tensor R ν µρσ yang diberikan oleh pers. (2.7) disebut sebagai tensor kurvatur Riemann Persamaan Geodesik Lintasan terpendek yang menghubungkan dua titik dalam suatu ruang disebut sebagai geodesik. Di dalam koordinat kartesian, geodesik adalah sebuah garis lurus. Untuk mendapatkan bentuk persamaan geodesik yang mendefinisikan kurva dengan panjang busur stasioner, dipilih panjang busur itu sendiri sebagai integran dari integral aksi yang dinyatakan sebagai [Dalarson,2005 dan

4 7 Purwanto,2009] I = S B S A g ρν dx ρ Mengingat definisi integral aksi yang diberikan oleh dx ν (2.8) I = S B S A L(x µ, dx µ, S) (2.9) dengan L menyatakan fungsi Lagrange, maka pers.(2.8) dapat dinyatakan sebagai L = g ρν dx ρ dx ν. (2.10) Untuk mendapatkan persamaan geodesik, fungsi Lagrange pers.(2.10) disubtitusikan kepersamaan Lagrange yang diberikan oleh ( ) L x d L µ ( ) = 0. (2.11) x µ Evaluasi setiap suku pers.(2.11) untuk fungsi Lagrange pers.(2.10) memberikan L ( dx ) β = g x µ µβ (2.12) dan ( ) d L ( ) x µ d 2 x β = g µβ + g µβ dx ρ dx β 2 x ρ (2.13) Subtitusi pers.(2.12) dan pers.(2.13) ke prs.(2.11) memberikan d 2 x ν 2 + dx β dx ρ Γν βρ = 0 (2.14)

5 8 yang dikenal sebagai persamaan geodesik. Persamaan geodesik ini merupakan persamaan gerak suatu benda yang dipengaruhi oleh medan gravitasi. Selanjutnya, persamaan ini akan dipakai untuk mendapatkan persamaan medan gravitasi Einstein Medan Untuk mendapatkan persamaan medan Einstein, pertama-tama tinjau persamaan geodesik yang dituliskan seperti persamaan (2.14)[Purwanto,2009] d 2 x ν 2 + dx β dx ρ Γν βρ = 0 (2.15) persamaan geodesik tersebut jika memenuhi tiga syarat berikut: 1. Kecepatan non relativistik Pada kecepatan non relativistik (v c) dxν dt c, (ν = 0, 1, 2, 3) (2.16) persamaan geodesik menjadi d 2 x ν 2 + Γ0 νν ( ) dx 0 2 = 0, (ν = 0, 1, 2, 3) (2.17) 2. Medan gravitasi lemah Di dalam medan gravitasi lemah, g αβ = η αβ + h αβ, h αβ 1 (2.18)

6 9 dengan η αβ adalah tensor metrik ruang datar Minkowski η µν = dan h αβ adalah tambahan kelengkungan ruang-waktu. 3. Medan statik Pada medan statik atau tetap dan tak bergantung waktu g α,β x 0 = 0 dengan x 0 = ct, akan memberikan nilai simbol Cristoffel jenis kedua Γ ν 00 = 1 g 2 gνρ 00, (ν, ρ = 0, 1, 2, 3) (2.19) xρ karena medan statik maka turunan ke-0 tidak ada, maka pers.(2.19) menjadi Γ n 00 = 1 2 h 00, (n = 1, 2, 3) (2.20) xn dengan mensubtitusikan hasil pers.(2.20) ke dalam hasil pers.(2.17) akan didapat h 00 d 2 x n c 2 dt x = 0 n d 2 x n dt + c2 h x = 0 (2.21) n

7 10 sedangkan bentuk persamaan gerak Newton d 2 r dt + φ = 0 2 d 2 r dt 2 + x n φ = 0 (2.22) memberikan h 00 = 2 c 2 φ (2.23) dan jika ketiga syarat terpenuhi, maka g 00 = η 00 + h 00 = η Tensor Einstein Selanjutnya,tensor Riemann memenuhi identitas Bianchi [Purwanto,2009], yaitu: D γ R µνρσ + D µ R νγρσ + D ν R γµρσ = 0 (2.24) bila pers.(2.24) dikalikan dengan tensor metrik kontravarian g µσ maka akan memberikan g µσ (D γ R µνρσ + D µ R νγρσ + D ν R γµρσ ) = 0 g νρ (D γ R νρ + D µ g µρ R νγρσ D ν R γρ ) = 0 g ργ (D γ R 2D ν Rγ) ν = 0 2D γ (R γρ 1 ) 2 gγρ R = 0 D γ G γρ = 0 dengan G γρ = R γρ 1 2 gργ R. (2.25)

8 Persamaan (2.25) disebut sebagai tensor Einstein. Bentuk tersebut dapat dibentuk menjadi tiga bentuk yaitu: 11 G γρ = R γρ 1 2 gργ RG ρ ν = R ρ ν 1 2 δρ νrg µν = R µν 1 2 g µνr (2.26) Potensial Gravitasi Newton Besarnya gaya gravitasi menurut hukum Newton antara dua benda yang masing-masing bermassa M dan m yang dipisahkan oleh jarak sejauh r adalah F = G Mm ˆr (2.27) r2 dan hukum ke-2 Newton memberikan F = m g( r) (2.28) dengan mensubtitusikan kedua persamaan tersebut akan didapat g( r) = G M r ˆr. (2.29) Bila persamaan (2.29) diintegralkan sepanjang lintasan tertutup S akan didapat g( r) s = GM S g( r) = 4φGρ 2π π 0 0 r 2 sin θdθdφ r 2 2 φ = 4φGρ (2.30) dengan g( r) = φ serta G adalah tetapan gravitasi universal dan ρ adalah rapat massa sumber gravitasi.

9 Persamaan Medan Untuk mendapatkan persamaan medan gravitasi Einstein, pertama-tama kembali meninjau potensial gravitasi Newton atau persamaan (2.30) 2 φ = 4φGρ bentuk potensial tersebut identik dengan persamaan berikut G µν = χt µν R µν 1 2 g µνr = χt µν (2.31) atau R µν = χt µν g µνr (2.32) serta T µν = (p + ρc 2 )U µ U ν g µν p (2.33) dengan T µν merupakan tensor energi-momentum. Pada kasus non-relativistik, R µν dan T µν akan menjadi R 00 = 1 2 χt 00 (2.34) T 00 = ρc 2 (2.35) Pada medan lemah persamaan (2.34) akan menjadi R 00 = g 00 (2.36) dengan mensubtitusikan pers.(2.34) dan pers.(2.35) ke dalam pers.(2.36) akan

10 13 diperoleh g 00 = 1 2 χρc2 (2.37) dengan memasukkan nilai g 00 = 1 + 2φ/c 2, maka akan didapatkan 2 φ = 1 2 χρc4 (2.38) dan dengan membandingkan dengan persamaan potensial gravitasi Newton 2 φ = 4πGρ didapatkan nilai χ yaitu χ = 8πG c 4 (2.39) dengan demikian, tensor Einstein akan menjadi R µν 1 2 g µνr = 8πG c 4 T µν (2.40) persamaan (2.40) disebut sebagai persamaan medan gravitasi Einstein.