Ensembel Kanonik Klasik

Ukuran: px

Mulai penontonan dengan halaman:

Download "Ensembel Kanonik Klasik"

Yanti Kusumo
6 tahun lalu
Tontonan:

1 nsmbl Kanonik Klasik

2 Mnghitung Banyak Status Kaaan Sistm Misal aa ua sistm A an B yang bolh brtukar nrgi tai tiak bolh tukar artikl. Misal status kaaan an nrgi masing-masing sistm aalah sbb: Status A nrgi A Status B nrgi B Status B A otal status kombinasi A+B yang mungkin aalah: 2x = = 2= =2 2 2=2 22=2 2=

3 Mnghitung Banyak Status Kaaan Sistm Misalkan banyak status sistm A+B ngan nrgi total 2 ngan status A=2 aa = 2 yaitu 2 an 2 2. Jai : Banyak status A+B g nrgi 2 an ngan status A: 2 = Banyak status B yg trkait yg nrginya = 2-nrgi A

4 Mol nsmbl Kanonik Dalam knyataan nsmbl mikrokanonik sring tiak ralistis karna sulit mncari sistm yang bnar-bnar trisolasi. Lbih umum ijumai sistm-sistm yang alam kstimbangan thrmal. nsmbl Kanonik aalah kumulan sistm-sistm ngan tmratur yang sama karna alam ksmtimbangan ngan rsrvoir kalor. Mol: R V R R S V S S R: rsrvoir kalor R R V R S: sistm S S V A

5 Mol nsmbl Kanonik Antara rsrvoir an sistm bolh brtukar nrgi akan ttai tiak bolh brtukar jumlah artikl. Gabungan antara R+S mmbntuk nsmbl mikrokanonik: R + S = = konstan ngan R >>> S R S : : konstan V S V R : konstan

6 Fungsi Distribusi Kanonik Dalam kstimbangan thrmal S = R = Misalkan : Γ R R : volum i ruang fasa rsrvoir R ngan nrgi = R Probabilitas mnmukan sistm S alam suatu status microstat i alam lmn volum s s skitar s s yang mmiliki nrgi = - R tiak uli status kaaan R tntu akan sbaning ngan volum-volum: s s Γ R R = s s Γ R - Jai fungsi raat kaaan banyak kaaan/volum i ruang S akan sbaning ngan : ρ s s = C Γ R - C: konstanta Rsrvoir jauh lbih bsar ari sistm shingga << : maka ntroinya: S R R = S R - S R S R SR R R S R

7 Fungsi Distribusi Kanonik Dalam kstimbangan thrmal maka S = R = Misalkan : Γ R R : volum i ruang fasa rsrvoir R ngan nrgi = R Probabilitas mnmukan sistm S alam suatu status microstat i alam lmn volum s s skitar s s yang mmiliki nrgi = - R tiak uli aa status kaaan R tntu akan sbaning ngan volumvolumnya : s s Γ R R = s s Γ R -

8 Fungsi Distribusi Kanonik Jai fungsi raat kaaan banyak kaaan/volum i ruang S akan sbaning ngan banyak kaaan i R yang trkait: ρ s s = C Γ R - C: konstanta Rsrvoir jauh lbih bsar ari sistm shingga << : maka ntroinya: S R R = S R - S S S S R R R R R R

9 Dfinisi nsmbl Kanonik Suku rtama RS hanyalah konstanta maka brarti raat kaaan i ruang fasa sistm S ngan status trtntu aalah ngan = : lah igunakan notasi =s untuk mnkankan bahwa sistm S alam status microstat trtntu. Kumulan sistm ngan fungsi istribusi i atas isbut nsmbl Kanonik. x / x ln k k S S k S R R R R R x k C

10 Fungsi Partisi Kanonik nsmbl kanonik = kumulan sistm yg mmiliki tmratur yang sama. Fungsi raat kaaan jumlah i ruang fasa sistm ngan status systm yang mmiliki nrgy trkait ngan nsmbl kanonik ini: C x k Jumlah sluruh kaaan systm yang trkait ngan macrostat volum V an tmratur trtntu isbut fungsi artisi kanonik:

11 Fungsi Partisi Kanonik lah iakai :. Sistm artikl i ruang ngan volum V 2. =/k. Faktor korksi untuk Corrct Boltzmann Counting /! Sbnarnya intgral ini tiak rlu ilakukan i sluruh volum sbab fungsi raat kaaan istribusi tak nol jika S. h h V Q!!

12 Fungsi Partisi Kanonik Akan ttai kontribusi trbsar hanya akan trjai i skitar nilai nrgi kat ngan th most robabl valu ari nrgi! Jai tak masalah kalau intgralnya ilas samai sluruh volum. ilai rata-rata suatu bsaran f ibrikan olh: f f

13 Sistm on Intracting Misal systm triri ari artikl yang tiak saling brintraksi. amiltonian artikl aalah h i i maka amiltonian systm : = Fungsi artisi kanonik systm : i= h i i Q = x β! h =! i h x βh i i i i

14 Fungsi Partisi Kanonik Sistm ak Brintraksi Maka fungsi artisi kanonik systm artikl alam kasus ini aat inyatakan sbg: Q = Q! ngan fungsi artisi kanonik artikl Q : Q = x βh h

15 ubungan nsmbl Kanonik & hrmoinamika ubungan ngan thrmoinamika irolh mlalui finisi A sbb: Q V A V Bsaran A ini tak lain aat ibuktikan aalah fungsi nrgi bbas lmhotz. Di hrmoinamika yang iknal sbg: ngan U = <>= nrgi rata-rata sistm: A= U S A k ln Q V

16 Bukti A : Fungsi nrgi Bbas lmhotz Bukti: Mulai ari finisi A mnurut mkanika statistik: atau Ambil rivativ th : V A V Q A Q! V A A h Q A A A A

17 ubungan nsmbl Kanonik & hrmoinamika Shingga: Brarti : Jika iakai finisi A mnurut hrmoinamika Diaatkan: Dngan U : nrgi rata-rata sistm. 0 V A A A V 0 A V A 0 V A V A V A S S U S A

18 nrgi Rata-rata Sistm nrgi rata-rata sistm : Fungsi artisi Kanonik : Jika iambil rivativ th : U h h V Q!! h h Q!!

19 nrgi Rata-rata Sistm Shingga: Dan ini brarti nrgy rata-ratanya aalah: h Q! Q U ln

20 Stratgi Mnrakan nsmbl Kanonik. Daatkan fungsi artisi kanonik bagi sistm yg ibahas: Q V A V A k ln Q V 2. Pakai A untuk mnurunkan brbagai hubungan hrmoinamika yg lainnya misal : P A V S A V. Dmikian juga nrgi U ln Q

21 Stratgi Mnrakan nsmbl Kanonik Bukti: A= U S A = U-S S k hrmo: Q = U + PV ngan Q=S maka S = U + PV 2 Sub. 2 k : A = S-PV-S-S A = -PV S Dari hubungan trakhir iaatkan ungkaan 2 i atas jika A=AV

22 Pnraan nsmbl Kanonik : Gas Ial Mol : gas ial monoatomik artikl alam volum V an tmratur. iak aa intraksi/otnsial. amiltonian : Fungsi Partisi Kanonik: Dngan Q : fungsi artisi artikl: i i m 2 2 i i i m h h V Q i i 2 2!! i i m i i m Q h V h V V Q i i i 2 2!!! 2 2

23 Pnraan nsmbl Kanonik : Gas Ial Dngan Q : fungsi artisi artikl: Q 2 V V 2 m i 2 i h h Maka untuk artikl : Dfinisikan thrmal wavlngth: Q mk / 2 V! h 2 / 2 mk h / 2 2mk Q V!

24 Pnraan nsmbl Kanonik : Gas Ial Brbagai sifat trmoinamika bisa iturunkan. Misal nrgi rata-rata U ngan =/k: U ln Q V ln! ln U ln / k asil ini sama ngan yg irolh mmakai tori kintic gas. Akan ttai alam formulasi nsmbl mmungkinkan mnangani gas yg tiak ial.

25 Pnraan nsmbl Kanonik : Gas Ial Brbagai ungkaan lain aat iturunkan srti: nrgi Bbas lmhotz A 2 / 2 h A k ln Q V k ln V 2mk Prsamaan kaaan gas ial : PV k ntroi sistm : S V kln V 2mk 2 h / 2 5 2

26 Fluktuasi nrgi Paa nsmbl Kanonik Walauun alam nsmbl kanonik sistm-sistm anggota nsmbl bolh mmiliki anka nrgi akan ttai mayoritas sangat bsar nrgi sistm akan braa i skitar nilai trtntu saja! Sbaran istribusi nrgy igambarkan olh stanar viasi atau altrnatifnya : man suar of nrgy fluctuation-nya. Jika U aalah nrgy rata-rata an aalah amiltonian atau nrgy systm : = rata-rata kuarat fluktuasi nrginya.

27 Fluktuasi nrgi Paa nsmbl Kanonik Daat ibuktikan bahwa : Atau = U β U β += 0 = k2 U = k2 C V lah iakai finisi kaasitas kalor aa volum tta C V. Untuk sistm makroskoik tntu saja nrgi rata-rata sistm <>=U shingga C V.

28 Fluktuasi nrgi Paa nsmbl Kanonik Ini brarti rasio : U 2 = < 2 > < > 2 < > 2 2 = Atau < 2 > <> 2 <> 2 Artinya lbar rlatif istribusi nrgi th rata-rata nrgi sbaning ngan /. Brarti jika maka lbar trsbut 0. Brarti sbagian sangat bsar istribusi nrgi hanya iskitar nilai rata-rata saja!

29 Fluktuasi nrgi Paa nsmbl Kanonik Δ <> Brarti nsmbl kanonik kivaln ngan nsmbl mikrokanonik alam limit tak hingga. Daat ibuktikan bahwa alam limit ini istribusi nrgi ari nsmbl kanonik brua istribusi Gaussian brusat iskitar nrgi alam sistm U.

30 Bukti Kbrgantungan Fluktuasi th Kita hitung nrgi rata-rata sistm alam nsmbl kanonik: U < > = β β agar notasi srhana iakai Fungsi artisi kanonik aalah: Q = intitas: h! h! β βa V = yang β A V = * mmbrikan Mmakai finisi AV sblumnya maka nrgi rata-rata U aat iungkakan sbagai:

31 Bukti Kbrgantungan Fluktuasi th U < > = β h! βa V = Dari intitas iaat: h Uβ A V =! βa V h! U Kombinasi kua hal iatas: U β A V = 0 Ambil rivativ th ngan mngingat U=U=U = an A=AV: [ U β β A V +U β A V β ] = 0

32 Bukti Kbrgantungan Fluktuasi th U β β A V + β A V U A A = 0 Pakai intitas * i sli sblumnya rs. rakhir aat ituliskan: h! U β + β A V U A A = 0 tai A=U-S an S = A A A = A + S = U shingga

33 Bukti Kbrgantungan Fluktuasi th U β + h! β A V U 2 = 0 U + β h! β U 2 /Q = 0 U β += 0

34 Bntuk Fungsi Distribusi Kanonikal Fungsi artisi kanonik aat iungkakan alam variabl nrgi ngan bantuan nsity of stats alam variabl nrgi: β! h = 0 ω β = 0 β+lnω tai lnω = S/k shingga fungsi artisi i atas aat ituliskan sbb: 0 β+lnω = 0 βs =

35 Bntuk Fungsi Distribusi Kanonikal lah iakai finisi ntroi srti i nsmbl mikrokanonik. Baik ntroi mauun nrgi alam sistm akan sbaning ngan. Jai alam limit thrmoinamika bntuk xonn tsb akan sangat bsar nilainya. Kontribusi trutama akan atang ari nilai aa kaaan stimbang yg trkait ngan nilai maksimum = * yaitu yg mmnuhi syarat: S = an 2 S < 0 = 2 = ilai * = U = nrgi alam sistm alam kstimbangan.

36 Bntuk Fungsi Distribusi Kanonikal Prsyaratan kua brarti sbb: 2 S 2 = S = = 2 = = = = C V 2 < 0 = Karna untuk sistm fisis C V >0 >0 maka rsyaratan ini slalu inuhi. Uraian aylor i skitar nilai maksimum bagi S= *+: S = S + S Δ + 2 S = 2 2 Δ 2 + =

37 Bntuk Fungsi Distribusi Kanonikal tai suku kua =0 aa titik maksimum! shingga bagian ksonn aat ikati ngan uraian : S S + 2 S 2 2 Δ 2 = S S U U 2 lah iakai * =U = nrgi alam sistm. C V U 2

38 Bntuk Fungsi Distribusi Kanonikal Fungsi artisi kanonik aat ikati ngan : 0 βs β S U 0 2C V k 2 2 Fungsi alam intgran i atas jlas aalah fungsi Gaussian yg brusat i =U ngan lbar istribusi stanar viasi : Δ = 2C V k 2 Karna U maka C V juga. Brarti lbar istribusi SD th rata-rata nrgi : ΔU U

39 Bntuk Fungsi Distribusi Kanonikal Jai jika maka istribusinya mnkati lta irac! Di skitar =U. Muah ibuktikan bahwa fungsi nrgi bbas lmhotz mngikuti nkatan ini aalah: A U S 2 klnc V Dalam limit thrmoinamika suku trakhir kcil ibaningkan U- S! Sbab U an S sbaning mikian juga C V sbaning. Maka suku trakhir ln tntu sangat kcil jika ibaningkan jika bsar skali limit thrmoinamika

dokumen-dokumen yang mirip

Ensembel Kanonik Klasik

Ensembel Kanonik Klasik Menghitung Banyak Status Keadaan Sistem Misal ada dua sistem A dan B yang boleh bertukar energi (tapi tidak boleh tukar partikel). Misal status keadaan dan energi masing-masing