FUNGSI GREEN YANG DIKONSTRUKSI PADA PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR TAK HOMOGEN ORDE-N

Transkripsi

1 FUNGSI GREEN YANG DIKONSTRUKSI PADA PERSAMAAN DIFERENSIA INEAR TAK HOMOGEN ORDE-N Wahidah Alwi Program Sudi Mamaika FST - UINAM wahidah.alwi79@gmail.com Wahyui Abidi Program Sudi Mamaika FST - UINAM Raaari Mahaiwa Program Sudi Mamaika FST-UINAM Ifo: Jural MSA Vol. 3 No. Edii: Jauari Jui 25 Arikl No.: 4 Halama: 2-28 ISSN: X Prodi Mamaika UINAM ABSTRAK Pramaa difrial (diffrial quaio) mrupaka uau pramaa yag mlibaka au aau lbih urua fugi yag blum dikahui, da pramaa iu juga mugki mlibaka fugi iu diri da koa.dalam pliia ii mmbaha uau mod uuk mylaika pramaa difrial liir ak homog ord-. Dikmukaka uau mod uuk mylaika pramaa difrial liir ak homog ord- dga mgkoruki fugi Gr yaiu mlalui mod Traformai aplac. Mgkoruki fugi Gr mlalui mod Traformai aplac () Dibrika pramaa difrial liir ak homog. (2) Mcari olui pramaa difrial liir ak homog ord- dga mgguaka mod Traformai aplac.(3) Mgivrka Traformai aplac yag lah didapaka pada poi (2). (4) Mdapaka Fugi Gr yaiu: y( u).. Kaa Kuci: Pramaa Difrial Biaa, Fugi Gr, Traformai aplac. PENDAHUUAN aar Blakag Mauia dicipaka Allah Sw di ia ii adalah bagai khalifah.nilai-ilai da gala kuaya yag braal dari Allah Sw haru digakka dalam khipa diia ii.uuk mgakkaya, maka mauia diamaka bagai khalifa (wakil) Allah Sw dimuka bumi ii uuk mgagka yariayariaya.sorag khalifah aau ia biaa jika hipya idak brbkal ilmu pgahua baik agama maupu umum, maka aka mudah ra. Allah idak haya mmriahka mauia muu ilmu agama yag haya uuk kpiga akhira aja, aka api ilmu-ilmu yag ifaya umum juga aga dibuuhka gua kbrhaila di ia da akhira. Ii ariya muu ilmu yag ifaya umum ara dga muu ilmu yag agama. Trkadag ilmu iu rdapa pada akal pikira, rkadag pada ucapa, da rkadag rdapa pada ulia aga.shigga ada ilmu yag ifaya akal pikira, ucapa da ada yag brupa ulia.di dalam ulia rkadag uur akal pikira da ucapa, api idak brari balikya. Kara iu Allah Sw brfirma dalam urah Q.S. Al-Mujadilah aya yag ariya Hai orag-orag yag brima apabila kamu dikaaka kpadamu: "Brlapaglapaglah dalam majli", Maka lapagkalah icaya Allah aka mmbri klapaga uukmu. da apabila dikaaka: "Brdirilah kamu", Maka brdirilah, icaya Allah aka miggika orag-orag yag brima di aaramu da orag-orag yag dibri ilmu pgahua bbrapa draja. da Allah Maha mgahui apa yag kamu krjaka. Aya ii mragka ag priah uuk mmbri klapaga dalam gala hal kpada orag lai. Aya ii juga idak mybu cara ga bahwa Allah SWT aka miggika 2

2 Jural MSA Vol. 3 No. Ed. Ja-Jui 25 draja orag yag brilmu. Tapi mgaka bahwa mrka mmiliki draja-draja yaki yag lbih iggi dari kadar brima, idak dibuka kaa miggika iu bagai iyara bahwa barya ilmu yag dimiliki iulah yag brpraa bar dalam kiggia draja yag diprolhya.yag dimakud dga yag dibri pgahua adalah mrka yag brima da mghiai diri mrka dga pgahua.ii brari aya di aa mmbagi kaum brima jadi a, yag prama kadar brima da bramal alh, yag ka brima, bramal alh ra mmiliki pgahua. Draja ka klompok ii mjadi lbih iggi, buka aja kara ilai ilmu yag diadagya, api juga amal da pgajaraya kpada pihak lai baik cara lia aau ulia maupu kladaa.ilmu yag dimakud aya di aa buka aja ilmu agama. Aka api ilmu apa aja yag brmafaa. Dga krbaaa mauia dalam mghiug higga bayakfoma dalam khipa hari-hari yag uli dilaika cara lagughigga dibuuhka mamaika bagai ala bau dalam mylaika uaumaalah baik algorima brfikir dari mamaika, cara brhiug, aaupu hayabagai imbol-imbol uuk mydrhaakaya. Kara maki hari maki caggihya ilmu pgahua da kologi yag ada, maka hampir mua maalah rbu dapadilaika.salah au diipli yag dari zama dahulu ampai karag yagmaih uggul diguaka di kalaga brbagai diipli ilmu laiya adalahmamaika. Mamaika mrupaka ilmu pgahua daar yag dibuuhka mua mauia dalam khipa hari-hari baik cara lagug maupu idak lagug yag dapa diguaka bagai ala bau dalam mylaika maalah, pri cara brhiug aaupu haya bagai imbol-imbol yag mydrhaakaya. Aka api rigkali juga dimuka maalah-maalah dalam mylaika modl-modl mamaika.bbrapa modl mamaika yag ada, alah auya adalah ag pramaa difrial. Pramaa difrial mrupaka pramaa yag brkaia dga urua uau fugi aau mmua uku-uku dari fugi rbu da uruaya.dga mlibaka bayakya variabl bba, maka ada a buk pramaa difrial yaiu pramaa difrial biaa da pramaa difrial parial.pramaa difrial biaa yaiu pramaa yag haya mlibaka au variabl bba dagka pramaa difrial parial yaiu pramaa yag mlibaka lbih dari au variabl bba.pramaa difrial yag aka dibaha dalam propoalii adalah pramaa difrial biaa. Fugi Gr mrupaka uau mod pylaia yag didalam pro muka pylaia uau pramaa difrial. Nilai fugi gr dapa diuka dga mgguaka mod raformai laplac da mod variai paramr. Dalam Jural Igral yag brjul Mgkoruki Fugi Gr Pramaa Difrial iir Ord- da juga Dalam kripi yag brjul Mdapaka Fugi Gr yag Dikoruki dari Pramaa iir dalam Bidag Fiika (Sudi Kau: Vibrai im Mkai ) rdapa ara bahwa mod fugi Gr juga dapa dilaika dga pramaa difrial liir ak homog mgguaka mod Traformai aplac. Mod yag biaa diguaka uuk mylaika pramaa difrial adalah mod Traformai aplac.mod Traformai aplac (aplac Traformaio) mrupaka alah au mod yag diguaka uuk mylaika pramaa difrial.mod ii prama kali diprkalka olh Pirr Simo Marqua D aplac orag mamaikawa Praci da orag guru bar di Pari. Kuggula Traformai aplac adalah bahwa maalah ilai awal pramaa difrial liir dapa dilaika cara lagug apa rlbih dahulu muka olui umumya aau pramaa difrial ak homog dapa dilaika apa rlbih dahulu mylaika pramaa homogya. Shigga puli brmoivai uuk mcoba mjlaka da mylaika kpada pmbaca mgai mod fugi gr uuk pramaa difrial liir ak homog 22

3 Jural MSA Vol. 3 No. Ed. Ja-Jui 25 dga mgguaka mod Traformai aplac. Brdaarka laar blakag rbu, maka puli mgambil jul Mdapaka Fugi Gr yag Dikoruki daripramaa Difrial iir Tak Homog Ord-. Rumua Maalah Rumua maalah dalam pliia ii adalah bagaimaa mdapaka fugi Gr yag dikoruki dari pramaa difrial liir ak homog ord- dga mod Traformai aplac? Baaa Maalah a. Mod yag diguaka uuk mgkoruki fugi gr adalah mod Traformai aplac. b. Fugi Gr yag dimakud adalah fugi Gr khuu pada uau igral raformai aau ubiui yag dapa diguaka uuk mylaika pramaa difrial liir ak homog 2. TINJAUAN PUSTAKA Pramaa Difrial Biaa. Pamaa difrial biaa (ordiary diffrial quio), diigka PDB adalah buah pramaa difrial yag mlibaka haya au variabl bba. Cooh. xy + y = 3 2. y + 2 (y ) + y = co x Pramaa Difrialiir Suau pramaa difrial dikaaka liir jika idak ada prkalia aara variabl-variabl ak bba da drivaif-drivaifya. Dga kaa lai, mua kofiiya adalah fugi dari variabl-variabl bba. Scara umum pramaa difrial liir ord diulika bagai: a (x)y () + a (x)y ( ) + + a (x)y = f(x) (2.) di maa f(x) da kofii a i (x), dga i =,, 2,..., rgaug haya pada variabl x. Dga kaa lai, pramaa-pramaa ii idak rgaug pada y aaupu pada urua dari y. Cooh 2. + ( dx )2 = 3 d2 y dx 2adalah pramaa difrial biaa igka a draja au u x 2. 2 u y 2 ( 2 u x y )2 = adalah pramaa difrial biaa igka a draja a. Buk umum pramaa difrial ord a yaiu : y + a y + b y = f(x) (2.2) jikaf(x) = maka pramaa difrial di aa pramaa difrial homog, dagka jika f(x) maka diamaka pramaa difrial ak homog. Mod Traformai aplac Traformai aplac dapa dirapka bagai mod uuk pylaia pramaa difrial, baik bagai maalah ilai awal maupu maalah ilai baa. Uuk mmudahka pro pylaia lagkah dmi lagka, didiaka abl yag mmua Traformai aplac da ivrya. Kuggula Traformai aplac di dalam mylaiaka uau maalah ilai awal cara lagug, ariya bahwa maalah ilai awal dapa dilaika apa rlbih dahulu haru muka olui umumya aau pramaa-pramaa ak homog dapa dilaika apa rlbih dahulu mylaika pramaa homogya. Mialka F( uau fugi dari yag diuka uuk >. Maka Traformai aplac dari F(, yag diyaaka olh {F(}, didfiiika bagai {f(} = F( = f( (2.3) Traformai aplac dari F( dikaaka ada apabila igral (3) kovrg uuk bbrapa harga, bila idak dmikia maka raformai aplac-ya idak ada. 23

4 Jural MSA Vol. 3 No. Ed. Ja-Jui 25 Cooh 3 Dga mgguaka dfiii, ukalah raformai aplac, F( = {f}, dga fugi-fugi briku: f( = a, Pylaia: dga da α koaa ak ol Bila f( = a, muru dfiii raformai aplac dari a dibrika olh: { a } = a b = lim a b = lim [ b b a ( a) ] = lim b [ a ( a)b + ( a)b + b = lim = + = a a a No. f ( F (. 2. a a a 2 2! 3 + a a ] 6 a 7. a 8. i ω 9. co ω.. a Ivr Traformai aplac a ( + a) 2 ω 2 + ω ω 2! +! ( + a) + Jika raformai aplc uau fugif( adalah F(, yaiu {f(} = F(, maka f(dibu ivr raformai aplac dari F( da diuli: {F(} = f((2.4) (2.4) Dga diamaka opraor raformai aplac ivr. Fugi ivr raformai aplac uggal. Briku dibrika pada orma briku. Kovolui Kovolui dari a fugi adalah yag rkai dga prkalia dari fugi-fugi mlalui Traformai aplac balik. Dibrika f ( da, koiu pada lag irval rbaa, kovolui f * g dari f da g adalah * * f ( ( f g)( f ( u). (2.5) Torma Jika f ( da g ( bagaimaa diyaraka di aa da diadaika f ( ( ) * g F( G( yag kival dga 24

5 Buki: * F ( G( f ( ) Dga mgguaka raformai * h( f (, diprolh H ( u u) u ( u) ) Dga mgubah urua pgigrala dari da u pada irval pgigrala, u, u yag kival dga u, u, diprolh igrai H u ( u) ( u ) Dga mgguaka prubaha pubah u, Jural MSA Vol. 3 No. Ed. Ja-Jui 25 Ji pliia yag diguaka puli adalah udi puaka yaiu pliia yag brujua uuk mgumpulaka daa da iformai mgai maalah yag aka dilii dga cara mgumpulka bbrapa mari-mari yag rdapa di ruag prpuakaa, pri bukubuku ag pramaa difrial, buku-buku ag kalkulu, jural-jural dari ir, da lai-lai. Sumbr Daa Sumbr daa dalam pliia ii adalah bukubuku pramaa difrial, buku-buku kalkulu, da buku-buku mamaika laiya yag dapa mkug pro pliia. Pror Pliia agkah-lagkah uuk mgkoruki fugi gr pada pramaa difrial liir ak homog ord- dga mgguaka mod raformai aplac adalah bagai briku: a. Dibrika pramaa difrial liir ak homog. b. Mcari olui pramaa difrial liir ak homog ord- dga mgguaka mod Traformai aplac. c. Mgivrka Traformai aplac yag lah didapaka pada poi (b) d. Mdapaka fugi Gr. H( u ) 4. HASI DAN PEMBAHASAN Hail u F( G( ) Sifa-ifa daar (aljabar) dari kovolui fugi aara lai: * *. f g g f (Komuaif) * * * 2. f ( g h) f g f h (Diribuif) * * * * 3. ( f g) h f ( g h) (Aoiaif) f * * f. 3. METODE PENEITIAN Ji Pliia. Dibrika pramaa difrial liir ak homog. Buk umum pramaa difrialliar ak homog ord yaiu bagai briku : a " x y a x y a xy a xy a 2 x Solui umum pramaa difrial di aa adalah : x yhx ypx x y dimaa y h mrupaka olui umum pramaa difrial homogya da x mrupaka olui khuuya aau Traformai aplac. 2. Mcari olui pramaa difrial liir ak homog ord- dga mgguaka mod Traformai aplac. y p 25

6 Jural MSA Vol. 3 No. Ed. Ja-Jui 25 Uuk mmprolh olui khuuya y p maka dilakuka Traformai aplac rhadap pramaa difrial, maka haru diiga rlbih dahulu bahwa: d uv. dv u v dv u uv. v. (4.2) bila raformai laplac adalah Y( y( maka raformai y(, laplac dari urua prama adalah. Pada pramaa (4.2) dimialka u adalah da v adalah y, maka - y y y y (4.3) Jika diaumika bahwa pada aa grafik y(mgalami kaika cukup lamba dibadig dga grafik uuk higga maka y ( y y() y() Buk pramaa (4.3) dapa didrhaaka mjadi - y y y( ) Y( (4.4) Dari pramaa (4.4), maka Traformai aplac dari urua prama buah fugi adalah: Y( y() aau y( y() Uuk mdapaka Traformai aplac dari urua ka ampai pada urua k- buah fugi dapa dicari dga cara yag ama. Uuk urua ka: 2 d y 2 2 Y( () y() (4.5) Sampai pada Traformai aplac dari urua k uau fugi adalah: d y Aau d y Y( ()... ) 2 ( y () d y Y( y()... ) 2 ( y () (4.6) (4.7) 3. Mgivrka Traformai aplac yag lah didapaka. Dga mgguaka karakriik ifa liiria Traformai aplac, Jika Traformai aplac dari fugi f ( da g ( adalah G(, dga da F(da - F ( f ( f ( - G( 26

7 Jural MSA Vol. 3 No. Ed. Ja-Jui 25 F( da Ivr Traformai aplac dari G(adalah f ( da dga F( f ( ) da G( ). Maka: Da F( f ( G( 4. Mdapaka olui khuuya yaiu fugi Gr Dga orma kovolui higga di dapaka: xy F( G(. y) ( x y) y ) f u ( ) u) u) u) Maka didapaka fugi Gr adalah: y p 5. PENUTUP Kimpula u) (4.8) Brdaarka uraia dari BAB IV dapa diimpulka bahwa uuk mdapaka fugi Gr pada pramaa difrial liir ak homog ord- mlalui mod Traformai aplac adalah bagai briku: y( Sara f u g u Fugi Gr yag dibaha pada uga akhir ii hayalah fugi Gr pada pramaa difrial liir homog ord- dga kofii koa, dimaa uuk mdapaka fugi Gr mgguaka mod Traformai aplac. Uuk iu prlu pgmbaga lbih laju, mialya fugi Gr pada pramaa difrial paria mgguaka mod Traformai Fourir. 6. DAFTAR PUSTAKA Boda,Ali.27. Kalkulu aju, Yogyakara: Graha Ilmu Budi, NugrohoDidi. 2.Pramaa Difrial Biaa da Aplikaiya, Yogyakara: Graha Ilmu Dparm Agama RI. 29. Al-Qur a da Trjmahya,Bag: Bag: PT. Sigma xamdia arkalma Dgg, I Waya. 27. Kalkulu aju Pramaa Difrial da Aplikaiya, Yogyakara: Graha Ilmu El-Mazi, H. Auur Rafqi.26.Pgaar Sudi Ilmu Al-Qur a, Jakara: Puaka Al- Kauar Karoo, 22, Pramaa Difrial Biaa Modl Mamaika Foma Prubaha, Yogyakara: Graha Ilmu Muria, Daag. 25.Mamaika aju uuk Prgurua Tiggi, Bag: Rkayaa Sai Muir, Said, da Marwa, 29, Pramaa difrial, Yogyakara: Graha Ilmu Prayudi.27.Mamaika TkikPramaa difrial, Traformai aplac, Dr Fourir. Yogyakara: Graha Ilmu Purcll, Edwi J Kalkulu da Gomri Aalii. Jakara: Erlagga. Quraih, M. Shihap, 22. Tafir Al-Mihbah; Pa, Ka Da Kraia Al-Qura, Jakara: ra Hai R. Murray, Spigl. 983.Mamaika aju uuk Para Iiyur da Ilmuwa Edii S, Jakara: Erlagga R. Murray, Spigl.999.Tori da Soal-Soal Traformai aplac, Jakara: Erlagga 27

8 Jural MSA Vol. 3 No. Ed. Ja-Jui 25 Siawa, Agu.26. Pgaar Mod Numrik, Yogyakara: Adi Sugiaro, Iwa.Jural Mgkoruki Fugi Gr Pramaa Difrial No liir Ord-.hp// Mar 22). Yai, Ahmad,28.6 Mari Dakwah Piliha Jakara: Gma Iai 28