METODE TRANSFORMASI ELZAKI DALAM MENYELESAIKAN PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA LINEAR ORDE-N DENGAN KOEFISIEN KONSTANTA. Mahasiswa Program S1 Matematika 2

Transkripsi

1 METODE TRANSFORMASI ELZAKI DALAM MENYELESAIKAN PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA LINEAR ORDE-N DENGAN KOEFISIEN KONSTANTA Roki Nuari *, Aziskha, Edag Lily Mahasiswa Program S Maemaika Dose Jurusa Maemaika Fakulas Maemaika da Ilmu Pegeahua Alam Uiersias Riau Kampus Biawidya Pekabaru (89), Idoesia *roki.uari@yahoo.com ABSTRACT This paper discusses ELzaki s rasformaio ad is properies for scalar, polyomial ad expoeial fucios. The his rasformaio is applied o sole a iiial alue problem of liear differeial equaios wih a cosa coefficie. Keywords: deriaie, ELzaki s rasformaio, liear ordiary differeial equaio of -h order wih cosa coefficie. ABSTRAK Makalah ii membahas rasformasi ELzaki da sifa-sifaya uuk fugsi kosa, poliomial da ekspoesial. Selajuya rasformasi ii diguaka uuk meyelesaika persamaa diferesial liear orde- koefisie kosaa dega syara awal. Kaa kuci: persamaa diferesial biasa liear orde- dega koefisie kosaa, rasformasi ELzaki, urua fugsi.. PENDAHULUAN Persamaaa diferesial biasa liear orde- dega koefisie kosaa adalah persamaa diferesial biasa liear dega pagka deriaif eriggiya da semua koefisie pada persamaa ersebu adalah kosaa yag beuk umumya diberika oleh, a a a a y g( ), () d d d dimaa a, a,... a, a adalah kosaa dega a. Jika g( ) maka persamaa () dikaaka homoge da sebalikya dikaaka ohomoge.

2 Persamaaa () yag homoge dapa diselesaika dega meode karakerisik [, h.6], yag meghasilka solusi umum, r y( ) c e r c e r c e, () dimaa c, c,..., c adalah kosaa da r, r,..., r adalah akar-akar karakerisiik dari persamaa (). Persamaaa () yag ohomoge dapa diselesaika dega meode koefisie ak eu [, h.], yag meghasilka solusi umum, y y ( ) y ( ), () dega y c () merupaka solusi kompleme da () c y p p adalah solusi khusus. () Persamaa () dega syara awal y(), y'(),..., y () dapa diselesaika dega megguaka rasformasi ELzaki, da sifa-sifaya, melalui proses peggaia seiap uruaya dega rasformasi ELzaki. Iilah yag mejadi pembahasa pada makalah ii yag sekaligus merupaka reiew dari makalah Elzaki T.M. da Elzaki S.M. yag berjudul O he ELzaki Trasform ad High Order Ordiary Diferesial Equaios [].. TRANSFORMASI ELZAKI Trasformasi ELzaki adalah rasformasi iegral suau fugsi yag didefiisika sebagai beriku. Defiisi [] Diberika himpua A dega aggoaya adalah fugsi ekspoesial berpagka, sehigga A dapa diulis, / k j j A f ( ) : M, k, k, f ( ) Me, if ( ),, dega M adalah bilaga berhigga da k,k adalah bilaga berhigga aau ak berhigga. Maka rasformasi ELzaki f () adalah f, f e d, k, k,. ) E Sifa-sifa rasformasi ELzaki diberika berdasarka Teorema beriku. Teorema [] Jika T () adalah rasformasi ELzaki dari f (), maka : T ( ). E[ f '( )] f (). T ( ). E[ f "( )] f () f '(). ( ) T ( ) k ( k ). E[ f ( )] f (). k Teorema diguaka uuk meyelesaika persamaa diferesial biasa liear orde- dega koefisie kosaa. Kemudia diperoleh solusi persamaa diferesial biasa liear orde- dega koefisie kosaa dalam beuk rasformasi ELzaki. (4)

3 Dega megguaka skema rasformasi ELzaki, diperoleh solusi sebearya dari persamaa diferesial biasa liear orde- dega koefisie kosaa. Dalam [4] diyaaka bahwa uuk f ( ), maka Dega cara yag sama uuk Uuk kasus umum dega Uuk fugsi ekspoesial berbeuk f E() e E(). f ( ), diperoleh E( ) E( ) e. ( ), jika d, d. adalah bilaga bula, maka E ( )!. (5) f a ( ) e, diperoleh a a e e d, E e e. E a (6) a Skema rasformasi ELzaki uuk fugsi rigoomeri da fugsi hiperbolik dapa diyaaka sebagai beriku [4], si a E a, a cos E a, a sih a E a, a cosh E a. a. METODE TRANSFORMASI ELZAKI DALAM MENYELESAIKAN PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA LINEAR ORDE-N DENGAN KOEFISIEN KONSTANTA Pada bagia ii diberika cooh persamaa diferesial biasa liear orde- dega koefisie kosaa, yag diselesaika dega megguaka meode rasformasi ELzaki, kemudia aka dibadigka dega meode karakerisik da meode koefisie ak eu.

4 Cooh Temukalah solusi dari persamaa diferesial liear orde iga homoge dega koefisie kosaa sebagai beriku, 6, d d d (7) dega syara awal y( ), y'() da y "() 5. (8) Solusi : Misalka y f (), berdasarka Teorema () diperoleh T T Ey' '' y" 6y y y' y" y y' T 6 6y. (9) Subsiusika syara awal pada persamaa (8) ke dalam persamaa (9), diperoleh T T T 5 6 6, 6 T ( ), 4 T ( ), () 6 persamaa () dapa diulis, T 6. () Dega megguaka skema rasformasi ELzaki uuk persamaa (), diperoleh y e e. 6 Bila diguaka meode karakerisik uuk meyelesaika persamaa (7) dega syara awal pada persamaa (8) diperoleh solusi yaiu, y e e. 6 Cooh Temukalah solusi dari persamaa diferesial liear orde iga ohomoge dega koefisie kosaa sebagai beriku, y, () d d d dega syara awal y ( ), y' () da y "(). () Solusi : Misalka y f (), berdasarka Teorema () diperoleh ) ) ) y() y'() y"() y() y'() y() ). (4) Subsiusika syara awal pada persamaa () ke dalam persamaa (4), diperoleh 4

5 ) ) ) ), ), 5 6 T ( ), (5) persamaa (5) dapa diulis, ). (6) Dega megguaka skema rasformasi ELzaki uuk persamaa (6), diperoleh y e. Bila diguaka meode koefisie ak eu uuk meyelesaika persamaa () dega syara awal pada persamaa () diperoleh solusi yaiu, y e. Berdasarka Cooh da erliha bahwa rasformasi ELzaki dapa diguaka uuk meyelesaika persamaa diferesial liear yag homoge da ohomoge dega syara awal yag diberika, sedagka meode karakerisik haya dapa diguaka uuk meyelesaika persamaa diferesial homoge da meode koefisie ak eu haya dapa meyelesaika persamaa diferesial ohomoge. Disampig iu solusi yag didapa dega rasformasi ELzaki sama dega solusi yag didapa dega meode karakerisik da meode koefisie ak eu. Selajuya dega megguaka sraegi yag sama dapa dierapka uuk meyelesaika persamaa diferesial liear orde- yag homoge da ohomoge dega syara awal diberika. DAFTAR PUSTAKA [] Abell, M.L & J.P. Braselo. Differeial Equaios wih Mahemaica, h Ediio. Elseier Academic Press. USA. [] Boyce, W.E & R. Diprima.. Elemeary Differesial Equaios ad Boudary Value Problems, 7h Ediio. Joh Wiley ad Sos. New York. [] Elzaki, T.M & S.M. Elzaki.. O he Elzaki Trasform ad Higher Ordiary Differesial Equaios, Adaces i Theoreical ad Applied mahemaics, 6(). pp. 7-. [4] Elzaki, T.M.. The New Iegral Trasform Elzaki Trasform, Global Joural of Pure ad Applied Mahemaics, 7(). pp