KONVERGENSI MODIFIKASI METODE NEWTON GANDA DENGAN MENGGUNAKAN KELENGKUNGAN KURVA

Transkripsi

1 Vol. 9. No. Jural Sais Tkologi da Idustri KONVERGENSI MODIFIKASI METODE NEWTON GANDA DENGAN MENGGUNAKAN KELENGKUNGAN KURVA Yuslita Muda Wartoo Novi Maulaa Laboratorium Matmatika Trapa Jurusa Matmatika Program Studi S Jurusa Matmatika Fakultas Sais da Tkologi UIN Sulta Sari Kasim Riau il_77@ui-suska.ac.id ABSTRAK Mtod Nto Gada adalah salah satu mtod itrasi ag diguaka utuk mtuka akar-akar prsamaa oliir dga kovrgsi ord mpat. Baaka itrasi ag diguaka olh sbuah mtod itrasi brgatug kpada ord kovrgsia. Smaki tiggi ord kovrgsia smaki sdikit itrasi ag dilakuka. Olh kara itu pada kajia ii pulis mmodiikasi mtod Nto Gada dga mgguaka klgkuga kurva utuk migkatka ord kovrgsi. Brdasarka hasil plitia diprolh baha modiikasi mtod Nto Gada dga mgguaka klgkuga kurva mghasilka sbuah mtod itrasi baru dga kovrgsi ord dlapa. Katakuci: Klgkuga Kurva Mtod Nto Gada Ord Kovrgsi. ABSTRACT Th Doubl Nto s mthod is a itrativ mthods or solvig oliar quatios ith ourth-ordr covrgc. Th umbr o itratios usd b a itratio mthod dpds o th ordr o covrgc. Th highr ordr o covrgc th r itratios ar prormd. Th mai aim o this papr is to modi th Doubl Nto s mthod b usig curvatur to icras th ordr o covrgc. Basd o this rsarch shod that th modiicatio o Doubl Nto s mthod b usig curvatur producs a itrtiv mthod ith ighth-ordr covrgc. Kords: Curvatur Doubl Nto s mthod Ordr o covrgc. PENDAHULUAN Ptua akar-akar prsamaa mrupaka salah satu prsoala ag trdapat dalam prsamaa oliar. Utuk mtuka akar-akar prsamaa suatu prsamaa oliar ag cukup rumit diguaka mtod itrasi sbagai pdkata hasil umrik. Salah satu mtod itrasi ag srig diguaka aitu mtod Nto dga ord kovrgsi brbtuk kuadratik. Olh kara kovrgsia brord dua maka mtod Nto cukup cpat mghampiri akar-akar prsamaa oliir. Btuk umum mtod Nto adalah:... Blakaga ii bbrapa pliti tlah mlakuka brbagai macam pdkata utuk migkatka ord kovrgsi suatu mtod itrasi. Salah satua adalah Mtod Nto Gada ag mmiliki ord kovrgsi tigkat mpat. Btuk umum dari mtod Nto Gada Traub 964 adalah 79

2 Vol. 9. No. Jural Sais Tkologi da Idustri 8 dga Slajuta prsamaa dimodiikasi dga mlakuka bbrapa pdkata utuk migkatka ord kovrgsi shigga mghasilka akarakar utuk mghampiri ilai ksak dga rror ag kcil. Saja K. Khattri da Ravi P. Agaral tlah mmodiikasi mtod Nto Gada dga Kuadratur ag mghasilka ord kovrgsi dlapa. Slai itu Saja K. Khattri da Ioais K. Argros juga tlah mmodiikasi mtod Nto Gada dga kspasi Talor ag mghasilka ord kovrgsi tujuh. Slai tkik pdkata kuadratur da kspasi Talor trdapat sbuah tkik ag juga dapat migkatka ord kovrgsi suatu mtod itrasi ag disbut klgkuga kurva. Yog-Il Kim da Chagbu Chu tlah mmodiikasi mtod Jarratt dga mgguaka Klgkuga Kurva ag mghasilka ord kovrgsi dua blas. Olh kara itu pada makalah ii pulis trtarik utuk mlakuka plitia dga mmodiikasi mtod Nto Gada dga mgguaka Klgkuga Kurva utuk mghasilka ord kovrgsi ag tiggi. BAHAN DAN METODE Padag prsamaa mtod Nto Gada sbagai brikut: dga da klgkuga kurva di adalah sbagai brikut: " " " 4 Shigga utuk klgkuga kurva ag brada pada dapat dirumuska kmbali mjadi " " " 5 Prsamaa 5 di atas slajuta diaproksimasi pada titik trhadap sumbu shigga diprolh " " " 6 Apabila maipulasi aljabar dilakuka trhadap prsamaa 6 di atas maka didapat " " 7 Kmudia prsamaa 7 diaktorisasi trhadap shigga prsamaa 7 mjadi " " 8

3 Vol. 9. No. Jural Sais Tkologi da Idustri 8 Slajuta dga mlakuka maipulasi aljabar trhadap prsamaa 8 didapat " " Variabl ag trltak disblah kaa prsamaa 8 di atas disubstitusika dga itrasi Nto ag mghasilka " " " " 9 Pada prsamaa 9 dibutuhka valuasi turua kdua. Utuk itu turua kdua pada prsamaa 9 di atas diaproksimasika pada " dga Sdmikia shigga diprolh " " Olh kara maka prsamaa mjadi ] [ ] [ Slajuta prsamaa dapat disdrhaaka shigga diprolh 4

4 Vol. 9. No. Jural Sais Tkologi da Idustri Cara brbda dapat dituruka dga mmaipulasi prsamaa 7. Variabl digati dga itrasi Nto ag mghasilka 5 " " Kmudia maipulasi aljabar dapat dilakuka pada prsamaa 5 shigga diprolh " 6 Slajuta dga mgguaka aproksimasi prsamaa trhadap prsamaa 6 di atas maka didapatka 7 dga da. Prsamaa 7 di atas mrupaka mtod itrasi baru ag diprolh dari modiikasi mtod Nto Gada mgguaka klgkuga kurva. Aproksimasi ilai suatu ugsi dga mgguaka prsamaa 7 utuk stiap itrasi dilakuka dga am valuasi ugsi aitu tiga valuasi ugsi da tiga da trdiri dari mpat tahap aitu mcari. da HASIL DAN PEMBAHASAN Pada bagia ii aka dibahas mgai aalisa kovrgsi prsamaa 7 di atas utuk mgtahui ord kovrgsi dari prsamaa 7 itu. Brikut ii torma ag mmbrika prsamaa tigkat ksalaha dari prsamaa 4. ag mujukka ord kovrgsia. trbuka. Jika mghampiri maka prsamaa 7 di atas mmpuai ord kovrgsi dlapa dga prsamaa galat c O 8 k dga da C k k! k =... Bukti: Misalka adalah akar dari maka. Asumsika da da dga mgguaka rumus kspasi Talor utuk mgaproksimasi ugsi di skitar diprolh Torma. Dibrika adalah ugsi brilai rill ag mmpuai turua di : I R R utuk I itrval 4 " O 9!! Olh kara = maka dga mlakuka maipulasi aljabar pada prsamaa 9 diprolh 4 " O!! 4 C C O 8

5 Vol. 9. No. Jural Sais Tkologi da Idustri Jika utuk dilakuka kspasi Talor di skitar maka " O! C C O Apabila prsamaa dibagi dga prsamaa diprolh 4 c c O c shigga 4 c c c O dga dmikia maka 4 c c c O 4 da 4 c 4c c c O 5 Slajuta dga cara ag sama maka diprolh 4 5 c c c c O 6 Shigga diprolh maka c Shigga c 4 5 O c 4 5 O 4c O c O Kmudia substitusika prsamaa 7 da k dalam prsamaa shigga didapatka 8c O Sdmikia shigga 7 8c da 8 9 O O 6c Slajuta dga cara ag sama maka diprolh c O 4 Shigga prsamaa 7 diprolh prsamaa galata sbagai brikut: c O Simulasi Numrik Pada bagia ii aka dibrika simulasi umrik mgguaka sotar Matlab vrsi 7..4 dga digit rror = -6 da kritria pghtia program komputr: i. ii. ag brtujua utuk mmbadigka jumlah itrasi bbrapa mtod itrati dalam mghampiri akar prsamaa dari ugsi-ugsi brikut: 8

6 Vol. 9. No. Jural Sais Tkologi da Idustri cos Brdasarka hasil prhituga komputasi atau simulasi umrik diprolh jumlah itrasi dari brbagai mtod sprti: NW diotasika sbagai mtod Nto dga ord kovrgsi dua NG diotasika sbagai mtod Nto Gada dga ord kovrgsi mpat JMC diotasika sbagai mtod Jarrat ag dimodiikasi mgguaka klgkuga kurva dga ord kovrgsi dua blas olh Youg Il- Kim OM diotasika sbagai modiikasi mtod Ostroski dga ord kovrgsi dlapa olh Guog Zhag 9 da NGC diotasika sbagai prsamaa 7 dga ord kovrgsi dlapa. Brikut ii adalah tabl prbadiga jumlah itrasi dari mtod trsbut. Tabl. Prbadiga Jumlah Itrasi Jumlah Itrasi NW NG JMC OM NGC Slajuta utuk mgaska tigkat ord kovrgsi suatu mtod itrasi prlu dilakuka prbadiga trhadap hampira akar-akar dari sbuah ugsi. Salah satu mtod ag diguaka utuk pgasa itu dikal dga istilah Computatioal Ordr o Covrgc COC. Brikut ii dibrika diisi ttag COC. Diisi Computatioal Ordr o Covrgc Wrakoo. Dibrika adalah akar dari da da brturut-turut alalah itrasi ag dkat dga maka Computatioal Ordr o Covrgc COC dapat diaproksimasika dga mgguaka rumus l / l / Atau l / l / Prhituga COC mlibatka hasil pmograma pada tabl da mgguaka sotar Mapl vrsi 9.5. Brikut ii adalah COC dari brbagai tabl prbadiga mtod trsbut diatas. 84

7 Vol. 9. No. Jural Sais Tkologi da Idustri Tabl. Prbadiga Nilai COC COC NW NG JMC OM NGC Ttd Ttd Ttd Ttd Ttd Ttd Ttd KESIMPULAN Pada makalah ii dibrika sbuah mtod itrasi baru ag diprolh dga cara mmodiikasi mtod Nto Gada dga mgguaka klgkuga kurva sprti trdapat pada prsamaa 7. Aproksimasi ilai suatu ugsi dga mgguaka prsamaa 7 utuk stiap itrasi dilakuka dga am valuasi ugsi aitu tiga valuasi ugsi da tiga da trdiri dari mpat tahap aitu mcari da. Brdasarka hasil simulasi umrik pada Tabl da Tabl NGC scara umum mmiliki itrasi ag lbih sdikit da ilai COC ag lbih tiggi dibadigka mtod itrasi Nto da Nto Gada. Shigga mtod ii lbih kti dalam mlsaika prsamaa oliir dibadigka mtod laia ag mmiliki ord kovrgsi ag lbih rdah. DAFTAR PUSTAKA Chapra Stv C. Ramod P. Caal 6 Numrical Mthods or Egirs ith ditio MC Gra Hill Sigapura. F Traub J. 964 Itrativ Mthod or Th Solutio o Equatios Prtic Hall N York. JR Frak Ars & Elliot Mdlso 4 Kalkulus Edisi Kmpat Erlagga Jakarta Khattri Sajai K. & Ioais K. Argros Ho to Dvlop Fourth ad Svth Ordr Itrativ Mthods? Novi Sad J. Math Vol. 4 No.. Kim Yog-Il & Chagbu Chu N Tlth-Ordr Modiicatios o Jarratt s Mthod or Solvig Noliar Equatios Studis i Noliar Scics : 4-8. Kim Yog-Il Chagbu Chu Woba Kim Som Third-Ordr Curvatur Basd Mthods or solvig Noliar Equatios Studis i Noliar Scics :7-76. Purcll Edi J. Dal Varbrg. Stv E. Rigdo 4 Kalkulus Edisi Kdlapa. Jilid Erlagga Jakarta. Smith Robrt T. & Rolad B. Mito Calculus Scod Editio MC Gra Hill N York. Wrako S. & Frado T.G.I. A Variat o Nto s Mthod With Acclratd Third-Ordr Covrgc. Applid Mathmatics Lttrs. :