BAB II LANDASAN TEORI

Transkripsi

1 BAB II LANDASAN EORI. ijaua Puaka Daa ruu waku adalah daa yag dikumpulka meuru urua waku dalam uau reag waku ereu (Roadi, 006). Secara umum aalii ruu waku mempuyai ujua uuk pemodela da peramala. Pemodela berujua medapaka uau model aiik yag cocok dalam merepreeaika perilaku jagka pajag uau daa ruu waku. Peramala berkaia dega pembeuka model da meode yag dapa diguaka uuk meghailka uau ramala yag akura (Suharoo, 007). Daa fiaial yag merupaka daa ruu waku, erig mempuyai keadaa leverage effec ehigga dibuuhka model yag dapa meagkap gejala heerokedaiia da keaimeria ii. Model aimeri yag cocok diaaraya adalah model ARCH da EGARCH. Pemodela megguaka ARCH da EGARCH memerluka beberapa eori diaaraya uji akar ui, reur, fugi ACF da PACF, uji auokorelai eror, uji efek heerokedaiia da keaimeria... Uji Akar Ui Keaioera daa dapa diidikaika megguaka uji akar ui. Hipoei dalam uji erebu dalam ay (00) diulika ebagai H 0 : η = (daa mempuyai akar ui) H : η < (daa idak mempuyai akar ui). Saiik uji merupaka raio dari koefiie eimai dikuragi dega adar deviaiya. Augmaed Dickey-Fuller (ADF) aau raio dirumuka ebagai ADF = η ς(η) = = Z Z Z = = (Z ηz ) (.) dega Z 0 = 0, adalah ukura ampel da Z adalah daa pegamaa ke. H 0 diolak keika raio > α,( ). 4

2 .. Reur Reur adalah pegembalia aau keuuga yag diperoleh dari uau iveai (iveorword.com). Log reur dalam ay (00), dirumuka ebagai r = l (Z /Z ), (.) dega Z adalah daa pada obervai ke...3 Fugi ACF da PACF Meuru Bollerlev (986), ala uuk megideifikai model ARMA adalah ACF da PACF. Fugi auokorelai adalah fugi yag meujukka bearya korelai aara pegamaa pada waku ke- dega pegamaa pada waku-waku ebelumya, edagka PACF adalah fugi yag meujukka bearya korelai parial aara pegamaa pada waku ke- dega pegamaapegamaa pada waku-waku ebelumya. Meuru Cryer (986) proe r dikaaka aioer apabila E r = μ, Var r = ς adalah koa da Cov r, r +k = E r μ, r +k μ = γ k, dega Cov r, r adalah fugi dari eliih waku. Korelai aara r da r +k adalah ρ k = corr r, r +k = cov(r, r +k ) Var(r ) Var(r +k ) = γ k γ 0, dega γ 0 = Var r = Var(r +k ) da ρ k adalah fugi auokorelai aau ACF. Auokorelai parial aara r da r +k adalah korelai aara r da r +k eelah keergauga liearya dega r +, r +, r +k dihilagka. Auokorelai parial aara r da r +k, dioaika dega Φ kk, dieuka dega Φ kk = ρ ρ ρ k ρ ρ ρ ρ k 3 ρ ρ k ρ k ρ k 3 ρ ρ k ρ ρ ρ k ρ k. ρ ρ ρ k 3 ρ k ρ k ρ k ρ k 3 ρ 5

3 ..4 Model ARMA Floro (005) mejelaka bahwa ARMA merupaka beuk model ruu waku liear yag beruaha uuk megideifikaika peramaa regreiya dega haya megguaka ilai maa laluya aau kombiai ilai maa lalu da eror maa laluya. Model ARMA megadug dua kompoe yaiu model AR da MA dega order dari AR adalah p da order dari MA adalah q. Box e al. (008) meulika model AR(p) ebagai beriku B r = ε, dega B = B B p B p da ε adalah eror model raa-raa beryara aau r = r + r + + p r p + ε uuk p =,,. Proe AR(p) aioer apabila akar dari B = 0 berada di luar ligkara aua, yaiu B i >, i =,, p (Box, Jeki da Reiel, 008). Model MA(q) diulika θ B ε = r, dega θ B = θ B θ B θ q B q, aau r = ε θ ε θ ε θ q ε q uuk q =,,. Proe MA(q) mempuyai iver apabila akar dari θ B = 0 berada di luar ligkara aua, yaiu B i >, i =,, q. Model ARMA(p,q) merupaka gabuga dari model AR(p) da MA(q) ehigga beuk umumya adalah r = r + r + + p r p + ε θ ε θ q ε q dega adalah parameer dari AR, ε adalah eror, θ adalah parameer dari MA da r adalah variabel radom ormal yag idak berkorelai. Meuru aro (008), berdaarka ilai ACF da PACF, dapa dilakuka ideifikai model AR(p), MA(q) da ARMA(p,q) eperi yag ercaum dalam abel.. 6

4 abel. ciri-ciri eorii ACF da PACF uuk model ARMA(p,q) Model ACF PACF AR(p) uru ecara ekpoeial erpoog eelah lag p MA(q) erpoog eelah lag q uru ecara ekpoeial ARMA(p,q) erpoog eelah lag(q-p) erpoog eelah lag (q-p)..5 Eimai Parameer AR() da MA() Eimai parameer AR() da MA() dapa megguaka meode kuadra erkecil. Priip dari meode ii adalah mecari ilai parameer yag dapa memiimumka jumlah kuadra eror (Cryer, 986). Berdaarka model AR() r μ = φ r μ + ε, maka eimai meode kuadra erkecil adalah dega memiimumka jumlah kuadra dari r μ φ r μ yag merupaka eror dari model AR(). Jumlah kuadra eror dirumuka ebagai S φ, μ = (r μ φ r μ. = Nilai μ da φ yag dipilih adalah ilai yag dapa memiimumka S φ, μ, yaiu dega μ = φ = = r φ = r φ r Model MA() dapa diulika =(r r ) r r r r = r = peramaa (.3) dapa diulika kembali dega., r =. r = ε θε, (.3) ε = r + θε. (.4) Megguaka peramaa (.4), ε, ε,, ε dapa dihiug ecara rekurif apabila dikeahui ilai dari ε 0. Dega pemiliha ε 0 = 0 diperoleh ε = r ε = r + θε 7

5 ε = r + θε Parameer θ yag memiimumka jumlah kuadra eror dicari megguaka algorima Gau-Newo. Algorima ii meyeleaika ε = ε θ dega fugi liear dari θ. Algorima erebu diulika ebagai beriku ε θ ε θ + θ θ dε θ dθ dega θ adalah ilai akira dari θ. dε (θ)/dθ dapa dihiug ecara rekurif dega medifereialka peramaa (.5) ehigga diperoleh dega dε 0 (θ)/dθ = 0. dε θ dθ = θdε θ dθ + ε θ,,..6 Diagoik Model Diagoik model adalah pegujia erhadap model ARMA(p,q) ebagai model raa-raa beryara da model heerokedaiia yag elah diperoleh. ujua dari diagoik model adalah uuk megeahui apakah model cocok uuk diguaka. Kecocoka model diliha dari erorya, eror dari model dikaaka baik apabila udah idak erdapa auokorelai, variaiya homoge da memiliki ilai MSE yag kecil. Oleh karea iu, dilakuka uji auokorelai eror, uji homogeia variai da peghiuga ilai MSE. Apabila eror idak memeuhi iga hal erebu, maka model yag diperoleh kurag cocok dega daa, ehigga perlu dilakuka ideifikai da eimai lagi...6. Uji Auokorelai Eror Model raa-raa beryara da model heerokedaiia dikaaka baik apabila eror yag dihailka udah idak memiliki auokorelai. Hal ii dapa diliha dari plo ACF da PACF. Apabila idak ada ilai yag igifika berbeda dega ol berari udah idak ada auokorelai dalam eror da megidikaika bahwa model udah cukup baik. Beuk plo ACF da PACF merupaka idikai awal adaya auokorelai. Uji aiik perlu dilakuka uuk meyakika idikai awal. Oleh karea iu, 8

6 diguaka uji Breuch-Godfrey uuk meliha auokorelai daa. Hipoeiya adalah H 0 : idak erdapa auokorelai di dalam eror model raa-raa beryara H : erdapa auokorelai di dalam eror model raa-raa beryara. Uji Breuch-Godfrey dirumuka ebagai = ( k)r (.5) dega adalah ukura ampel, k adalah jumlah lag da R adalah koefiie deermiai dari model regrei. Saiik uji dibadigka dega ilai abel χ k. Apabila ilai lebih bear dari ilai χ k maka H 0 diolak...6. Homokedaiia Variai Homokedaiia variai dapa diliha dari plo eror. Apabila plo memperlihaka adaya variai yag iggi pada beberapa periode da variai yag kecil pada beberapa periode yag lai, kemugkia erdapa efek heerokedaiia dalam daa (Wagle, 009) MSE Model Kecocoka model dapa diliha dari ilai Mea Squared Error (MSE). Model yag lebih cocok adalah model dega ilai MSE yag lebih kecil, dega rumu MSE = Z Z = (.6) dega Z adalah daa obervai ke-, Z adalah ilai ramala ke da adalah ukura ampel...7 Efek Heerokedaiia Daar dari pemodela heerokedaiia adalah eror dari model raa raa beryara idak memiliki auokorelai aau mempuyai korelai pada order lag yag iggi. Selai iu, eror dari model raa raa beryara haru depede. Depedei ii diujukka dega plo ACF da PACF dari kuadra eror model raa raa beryara yag igifika erdapa auokorelai. 9

7 Selai iu, efek heerokedaiia dapa diperika melalui uji pegali Lagrage yag dilakuka pada eror model raa raa beryara. Hipoeiya adalah H 0 : α = α = = α k = 0 (idak ada efek ARCH ampai lag k) H : palig ediki erdapa au α k 0 (erdapa efek ARCH, palig idak pada ebuah lag) Saiik uji yag diguaka adalah ξ = R (.7) dega adalah ukura ampel da R adalah koefiie deermiai. H 0 diolak apabila ilai ξ lebih bear dari χ k...8 Keaimeria Model Volailia dapa didefiiika ebagai variai beryara dari uau daa relaif erhadap waku. Kodii eror lebih kecil dari ol yag erig diebu dega iilah bad ew da kodii eror yag lebih bear dari ol diebu good ew. Apabila bad ew da good ew memberika pegaruh yag idak ama erhadap volailia, keadaa ii dikeal ebagai leverage effec (Che, 005). Leverage effec dapa diamai dega membua plo cro correlogram aara kuadra dari adar erorya (e ) dega lagged adar erorya (e k )...9 Model ARCH da EGARCH Eror egaif (ε < 0) da eror poiif (ε > 0) pada model GARCH aka memberika pegaruh yag ama erhadap volailiaya. Model ARCH da EGARCH memiliki aumi ilai ε < 0 da ε > 0 aka memberika pegaruh yag berbeda erhadap volailiaya. Ozdemir da Yigi (009) merepreeaika model ARCH(m,) dega ε ψ ~N(0, σ ) m ς = ω + α i ε i + γ i ε i d + β j ς j. i= i= j = 0

8 dega d =, uuk ε < 0, emeara peramaa model EGARCH (r,) 0, uuk ε 0 oleh Berume, Mei-Ozka da Neyapi (00) direpreeaika dega l ς = a + r i= b i ε ψ ~N(0, σ ) lς + c j ε j j = ς j + d j ε j j = ς j E ε j ς j dega ς adalah variai eror pada waku, ε adalah eror pada waku, ω adalah uau koaa da α, β, γ adalah parameer. Eimai parameer yag diguaka adalah meode Berd Hall Hall Hauma (BHHH). Meode ii diemuka oleh Berd e al dega berdaar pada meode Newo Rapho (Bollerlev, 986). Meode ii dapa diguaka uuk mecari eimai parameer ARCH da EGARCH. Ierai pada meode Newo Rapho diyaaka ebagai ρ (i+) = ρ (i) + λ i H ρ (i) g ρ (i) (.8) dega H adalah marik Heia, λ i adalah variabel ep legh da g ρ = l l l,,, ρ ρ ρ Pada meode BHHH, ilai dari marik Heia pada peramaa (.8) digai = g g, dega g = l. Meode BHHH megguaka urua ρ perama fugi log likelihood uuk megeimai parameer model. Peramaa regrei yag dimiliki adalah r = x μ + ε r = μ 0 + μ x + ε,. =,,, dega ε adalah eror model da x adalah variabel ekoge, dega ς = ω + i= α i ε i + ε ψ ~N(0, σ ) i= m γ i ε i d + β j j = ς j uuk model ARCH(m,) da uuk EGARCH(r,) peramaa variaiya adalah l ς = a + r i= b i lς + c j ε j j = ς j + d j ε j j = ς j E ε j ς j..

9 Oleh karea iu, dimiliki vekor parameer Θ uuk ARCH(m,) da Φ uuk EGARCH(r,). Vekor erebu diulika ebagai Θ = μ 0, μ, ω, α,, α, γ,, γ, β,, β m = μ, φ Φ = μ 0, μ, a, b,, b r, c,, c, d,, d = μ, ϑ dega μ = μ 0, μ, φ = ω, α,, α, γ,, γ, β,, β m da ϑ = a, b,, b r, c,, c, d,, d. adalah Megguaka aumi ormalia, fugi deia probabilia dari ε ψ f ε ψ = ε πσ e σ. Fugi log likelihood uuk obervai ke- adalah l = log f ε ψ = log π log σ. (.9) σ Vekor parameer variai yaiu φ da ϑ dieimai megguaka urua perama dari fugi log likelihood pada peramaa (.9) erhadap parameer φ da ϑ, yaiu l = σ φ σ φ l = σ ϑ σ ϑ dega u = σ, v φ = σ da w ϑ = ε. σ ε σ ε σ Sehigga megguaka meode BHHH diperoleh beuk ierai eimai parameer variai yag dirumuka ebagai φ i+ = φ i + λ i ϑ i+ = ϑ i + λ i = = σ u w σ v w u σ w v σ w ε = u σ w (.0) = v σ w (.) Ierai pada peramaa (.0) dapa diuli ke dalam beuk marik ebagai dega φ i+ = φ i + λ i GG G C

10 G = l ω = ε ς σ g g g = l = α i ς ε i ( ) l γ i = ς ε i ( ) d l = β j ς σ j ( ) l ω l ω l ω ε σ ε σ l α l α l α ε σ l α l α l α l γ l γ l γ l l γ β l l γ β l l γ β l β m l dega =,,,, i =,,,, j =,,, m da C =,,, adalah marik. dega β m l Peramaa (.) dapa diuli ke dalam beuk marik ebagai ϑ i+ = ϑ i + λ i JJ J C β m J = j j j = l a l a l a l b l b l b l b l b l b l c l c l c l l c d l l c d l l c d l d r l d r l d r l a = σ ε σ l = b i σ lς ε i σ i l c j = σ ε j ( ) σ j ( ) ε σ l d j = σ ε j ( ) σ j ( ) E ε j ( ) σ j ( ) ε σ dega =,,,, j =,,, da i =,,, r. Uuk megeimai parameer dari raa-raa yaiu μ, diguaka urua perama dari fugi likelihood pada peramaa (.0) erhadap parameer μ. Pada model ARCH(m,) urua peramaya yaiu 3

11 Mial σ μ l = l ε + l σ μ ε μ σ μ = ε x + σ σ σ μ ε σ (.) = f da ε = w σ maka peramaa (.) mejadi l μ = ε x σ + σ f w. Ierai uuk eimai parameer raa-raa adalah μ i+ = μ i + λ i dega ε x + σ σ f w ε x = f = σ μ = i= α i σ + σ f w x i ε i + i= γ i x i ε i d + ε x + σ = (.3) m j = σ f w β j f j uuk model ARCH(m,), edagka uuk EGARCH(r,) adalah r f = σ μ = b if i + c j i= + d j j = ς j j = ς j E ς j. Peramaa (.3) dapa diuli ke dalam oai marik ebagai μ i+ = μ i + λ i BB B C dega B uuk model ARCH(m,) adalah B = l μ 0 l μ 0 l μ 0 l μ l μ l μ l μ = ε x σ + σ i= α i x i ε i + i= edagka uuk model EGARCH(r,) adalah γ i x i ε i d + m j = β j f j ε σ l μ = ε x σ + σ b i f i + c j r i= j = ς j + d j j = ς j E ς j ε σ dega = 0, da =,,, da C =,,, adalah marik. 4

12 ..0 Krieria Iformai Meuru Wiaro (007) model heerokedaiia yag cocok dapa dipilih berdaarka AIC da SC. Kedua krieria erebu dapa dirumuka ebagai AIC = log SC = log = e = e + k (.4) + k log (.5) dega = e adalah kuadra dari eror ke, k adalah jumlah variabel idepede da adalah ukura ampel. Model yag dipilih uuk meramalka daa adalah model dega AIC da SC erkecil... Kuroi Beuk diribui dari eror dapa diliha dari ilai kuroiya. Nilai kuroi yag lebih bear dari iga megidikaika bahwa eror memiliki diribui dega ekor yag lebih pedek dari diribui ormal, hal ii meyebabka diribuiya berbeuk lepokurik. Meuru Suprao (000), kuroi dirumuka ebagai Kuroi = = Z μ 4 ς 4 (.6) dega Z adalah daa ke, μ adalah raa-raa daa, ς adalah variai daa da adalah ukura ampel.. Keragka Pemikira Nilai ukar kur euro erhadap rupiah merupaka derea obervai variabel radom yag dapa diyaaka ebagai daa ruu waku karea merupaka himpua obervai eruru. Daa ii diraformai ke dalam beuk log reur uuk megecilka daa. raformai ii megakibaka daa aioer dalam raa-raa eapi memiliki variai idak koa. Daa ruu waku dapa dimodelka megguaka model liear ARMA. Model ii memiliki aumi heerokedaiia variai. Model yag dapa meagkap gejala heerokedaiia adalah ARCH da GARCH. Model ii 5

13 memiliki aumi bahwa kodii bad ew da good ew memberika pegaruh yag imeri erhadap volailiaya. Daa ilai ukar kur euro periode 8 Jauari 00 ampai 5 Okober 009, memiliki kodii bad ew da good ew yag idak imeri erhadap volailiaya ehigga model ARCH da GARCH kurag cocok uuk diguaka. Model yag cocok uuk memodelka keaimeria adalah ARCH da EGARCH. Kedua model ii memerluka aumi eror model raa-raa beryara idak memiliki auokorelai. Lagkah perama dalam pembeuka model ARCH da EGARCH adalah meguji keaioera daa. Apabila daa belum aioer maka dilakuka raformai. raformai yag dapa dilakuka diaaraya dega megubah daa ke dalam beuk log reur. Seelah iu, lagkah berikuya adalah mecari model raa-raa beryara ARMA. Eror model ARMA yag elah diperoleh haru diuji efek heerokedaiia da keaimeriaya. Apabila erdapa efek heerokedaiia da aimeri, maka lagkah elajuya adalah megeimai parameer model ARCH da EGARCH da melakuka uji diagoik model. Semua model ARCH da EGARCH yag cocok kemudia diguaka uuk meramalka daa. Model yag baik adalah model yag memiliki ilai peramala medekai ilai daa ali. 6