JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS JEMBER

Transkripsi

1 STATISTIK CUKUP Oleh: Ramayai Rizka M ( ), Dey Ardiao ( ), Ikfi Ulyawai ( ), Falviaa Yulia Dewi ( ), Ricki Dio Rosada ( ), Nurma Yuia D ( ), Wula Niiasui F. ( ), ( * ) JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS JEMBER 014

2 STATISTIK CUKUP Oleh: Ramayai Riska M ( ), Dey Ardiao ( ), Ikfi Ulyawai ( ), Falviaa Yulia Dewi ( ), Ricki Dio Rosada ( ), Nurma Yuia D ( ), Wula Niiasui F. ( ), ( * ) Saisic adalah sembarag ilai yag mejelaska ciri suau cooh. Parameer adalah sembarag ilai yag mejelaska ciri populasi. Sedagka pegeria populasi sediri adalah keseluruha pegamaa yag mejadi perhaia kia. Cooh adalah himpua bagia dari populasi 1. Iformasi dalam sampel X = (X 1, X..., X ) aka diguaka uuk melakuka iferesi eag θ. Daa erobservasi x = (x 1, x..., x ) merupaka dafar bilaga yag sukar uuk diierpreasika, sehigga aka dilakuka pedugaa melalui peghiuga saisik T(X) yag merupaka fugsi dari sampel. Ari dari saisik sediri adalah pedugaa parameer, sehigga ilmu yag mempelajari pedugaa parameer dikeal dega saisika. Misal X 1,..., X ~ p x; θ, misal X (X 1,..., X ), fugsi T = (X 1,..., X ) iu sediri adalah variabel acak yag aka kia amaka saisic. Saisik cukup uuk parameer θ adalah saisik dalam ari ereu dapa meyerap semua iformasi eag θ yag ermua dalam sampel. Bila T(X) adalah saisic cukup uuk θ maka seiap iferesi eag θ harus ergaug pada sampel X = (X 1, X..., X ) haya melalui T(X). Defiisi : Adaika X 1,..., X ~ p x; θ. T adala saisik cukup uuk θ jika disribusi bersyara dari X 1,..., X T idak bergaug pada θ. Jadi, p x 1,..., x ; θ) = p x 1,..., x ). Ii berari dapa meggai X 1,..., X dega T(X 1,..., X ) aaupu T(X) apa kehilaga iformasi Roald E. Walpole, Pegaar Saisika, PT Gramedia Pusaka Uama, Jakara, 199, hlm.

3 Maksud dari defiisi diaas yaiu : bila f x θ) adalah desias dari X = (X 1,..., X ) da g T x θ ) adalah desias dari T(X), maka T X adalah saisik cukup uuk θ bila uuk seiap X = (X 1,..., X ) dalam ruag sampel, rasio = (f x θ ) g T x θ ) idak bergaug pada θ. Cooh 1: Disribusi Poisso X 1,..., X ~ poisso (θ ). Misal T =. px T x = P X = x T X = ) = P(X = x da T = ) P(T = ) Teapi, P X = x da T = = T x = P(X = x ) = x i = P T = = e θ (θ) P(X =x ) P(T=) =! saisik cukup uuk θ.! 0 P X 1 = x 1,..., X = x e θ θ x i x i! = e θ θ (x i!) T x 1,..., x T x 1,..., x = = e θ θ (x i!) yag idak bergaug pada θ. Jadi, T = x ( xi )! i adalah Cooh : Disribusi Beraulli Misalka X 1,..., X variabel radom idepede berdisribusi Beraulli dega parameer θ, 0 < θ < 1. aka diujukka bahwa : T X = X 1 + X X = adalah saisik cukup uuk θ. Peyelesaia : X i ~ B 1, θ desias dari X i adalah : f x i θ) = θ x i(1 θ) 1 x i dega i=0,1 f x i θ) = f x 1 θ). f x θ). f x θ) = θ x 1 1 θ 1 x 1. θ x 1 θ 1 x... θ x 1 θ 1 x

4 = θ (1 θ) Fugsi pembagki mome dari X i adalah MX i ()= θe + 1 θ M x i = MX 1. MX.... MX = θe + 1 θ. θe + 1 θ.. θe + 1 θ = (θe + 1 θ ) yag merupaka fugsi pembagki mome dari disribusi biomial (, θ) Sehigga, T X = Maka : berdisribusi Biomial (, θ) g T x θ ) =. θ i=i x i (1 θ) xi (f x θ ) g T x θ ) = θ. (1 θ) =. θ. (1 θ) yag idak bergaug pada θ. Jadi T X = adalah saisik cukup uuk θ. 1 Cooh 3 : Disribusi Normal Misalka X 1, X..., X variabel radom idepede berdisribusi ormal dega raa-raa μ da variasi 9. Aka diujukka bahwa raa-raa sampel : T X = Peyelesaia : adalah saisik cukup uuk μ. X i ~ N μ, 9 maka desias dari X i adalah : f x i μ) = π exp( 1.9 x i μ ) f x i μ) = f x 1 μ). f x μ). f x μ) = π exp( 1.9 x 1 μ ). π exp( 1.9 x μ ) π exp( 1.9 x μ ) = π exp( 1 18 μ ) Selajuya aka dieuka desias dari T X yaiu g T x μ).

5 x = berdisribusi ormal dega raa-raa μ da variasi 9/ g T x μ) = π exp( 1 18 (x μ) ) (f x θ ) = g T x θ ) 1 π ( 1) 1) ( 9 exp( 1 18 megadug μ sehigga T X = x = xi x ) beuk ii sudah idak saisik cukup uuk μ. TEOREMA FAKTORISASI Jika T X adala saisik cukup uuk θ, maka fugsi kepadaa peluag bersama Cooh 4: dari X dapa difakorka mejadi p x ; θ = x x g ; θ. Misal X 1, X..., X ~ poisso. maka Cooh 5: p x ; θ = e θ θ (x i!) X 1, X..., X ~ N μ, σ. maka p x ; μ, σ = a) Jika σ dikeahui : p x ; μ = 1 πσ b) Jika (μ, σ ) idak dikeahui : = 1 (x i!) e θ θ / 1 πσ exp (x i x ) + (x μ ) πσ x i x x μ exp πσ exp σ Maka T = ( x, S ) adalah saisik cukup. jadi T = ( X i, X i ). STATISTIK CUKUP MINIMAL ( miimal sufficie saisics ) Cooh 6: X 1, X..., X ~ N 0, σ. beberapa saisik cukupya adalah : T X 1, X..., X = (X 1, X..., X )

6 T X 1, X..., X = (X 1, X ) m T X 1, X..., X = ( X i T X 1, X..., X = X i, X i i=m+1 ) T adalah saisik cukup miimal jika dua peryaaa dibawah ii bear : 1. T adalah saisik cukup. Jika U adalah saisik cukup yag lai maka T = g(u) uuk beberapa fugsi g. Cooh 7 : misal X 1, X, X 3 ~ beraulli(θ). Misal T = 3 T u P(x u ) (0, 0, 0) =0 1 U= 0 1 (0, 0, 1) =1 1/3 U=1 1/3 (0, 1, 0) =1 1/3 U=1 1/3 (1, 0, 0) =1 1/3 U=1 1/3 (0, 1, 1) = 1/3 U=73 1/ (1, 0, 1) = 1/3 U=73 1/ (1, 1, 0) = 1/3 U=91 1 (1, 1, 1) =3 1 U=103 1 U da T merupaka saisika cukup, eapi U buka saisik cukup miimal. MENEMUKAN STATISTIK CUKUP MINIMAL Defiisi : R(x, y ; θ) = p(y ; θ) p(x ; θ) R x, y ; θ idak bergaug pada θ jika da aya jika T y = T x. Maka T adalah saisic cukup miimal. Cooh 8 : Y 1, Y..., Y berdisribusi poisso (θ )

7 p y ; θ = e θ θ y i, p(y yi xi ; θ) p(x ; θ) = θ y i! x i! y i Adalah idepede pada θ jika y i = x i. secara idak lagsug T Y = y i adalah saisic cukup miimal uuk θ. Saisic cukup uuk θ idak uggal, seiap fugsi sau sau dari saisic cukup uuk θ adalah juga saisic cukup uuk θ. Sebagai cooh yag palig sederhaa bila adalah saisic cukup uuk maka / juga merupaka saisik cukup uuk θ. ( * ) Correspodig auhor: alfhadi@uej.ac.id afhadi.blog.uej.ac.id